（概率论与数理统计专业论文）可靠性参数的ebayes统计分析和改午.pdf

，0 独创声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已注明引用的内容以外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：查锄 日期：久f 年6 月, e i ， 、 1竹 可靠性参数的e b a y e s 统计分析和改进 e b a y ess t 厶汀i s t i c a la n a l y s i sa n d m o d i f i c a t i o no fr e l i a b i l i t yp a r a m e t e r s 2 0 1l 垒9 0 5 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 可靠性研究是以产品的寿命特征为主要研究对象，以评价产品的性 能指标为主要研究目的的实用型课题产品的寿命特征是一种随机现象， 评价一种产品的可靠性指标最终需要归结为一个统计推断问题本文将 一 e b a y e s 方法应用于可靠性研究领域，在前人研究成果的基础上，对几个 可靠性问题进行了研究，主要工作包括： 首先，研究了加速寿命试验条件下可靠性参数的统计分析问题在 加速寿命试验基本假定下，利用e b a y e s 方法和g i b b s 抽样方法给出了 产品失效率和加速因子的估计，进而得出产品的平均寿命和可靠度，并 据此建立了加速寿命试验模型同时给出实例进行了模拟比较 其次，研究了在产品寿命分布未知的情况下，产品可靠度的估计问 题利用非参数法，给出了成败型试验中产品可靠度的e b a y e s 估计，并与 产品可靠度的多层b a y e s 估计进行比较同时给出了无失效数据情形下 成败型试验中产品可靠度的e b a y e s 估计和多层b a y e s 估计同时给出实 例进行了比较分析 最后，研究了当产品可靠度r ( 。e ，1 ) 时，可靠度的估计问题以不完 全b e t a 分布为一级先验分布，在平方损失下，给出了产品可靠度的分级 e b a y e s 估计，并讨论了积分区间修正前后可靠度之间的关系同时给出 实例进行了比较分析 关键词：恒加试验，步加试验，b a y e s 估计，g i b b s 抽样，可靠度 。 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e l i a b i l i t yr e s e a r c hi s ap r a c t i c a ls u b j e c tt h a ti st h ep r o d u c tl i f e c h a r a c t e r i s t i c sa st h em a i no b je c to fs t u d ya n dt oe v a l u a t et h er e l i a b i l i t yo f p r o d u c t s f o rm a i nr e s e a r c h p u r p o s e t h e l i f ec h a r a c t e r i s t i co ft h e p r o d u c t i o ni s ar a n d o mp h e n o m e n o n i tc o m e st oas t a t i s t i c a li n f e r e n c e p r o b l e mw h e n w e t r yt oa s s e s st h er e l i a b i l i t yi n d e x e so f t h ep r o d u c t i o n i n t h i sp a p e r , t h ee b a y e sm e t h o di sa p p l i e di nt h er e l i a b l er e s e a r c hf i e l d b a s i n go nt h er e s e a r c hf r u i to ft h ep r e d e c e s s o r s ，t h i sp a p e rm a k e ss o m e r e s e a r c h e so ns e v e r a lr e l i a b i l i t yi s s u e s ，t h em a i nw o r k si n c l u d i n g ： f i r s t l y , t h ep r o b l e mo fs t a t i s t i c a la n a l y s i sf o rr e l i a b i l i t yp a r a m e t e r s u n d e ra c c e l e r a t e dl i f et e s tc o n d i t i o n si sd i s c u s s e d u n d e rt h eb a s i c a s s u m p t i o nf o rt h ea c c e l e r a t e dl i f et e s t ，t h e e s t i m a t i o n sf o rt h ep r o d u c t f a i l u r er a t ea n dt h ea c c e l e r a t i o nf a c t o ra r eg i v e nb yu s i n gt h ee b a y e sa n d t h eg i b b ss a m p l i n gm e t h o d s ，t h e nc o m et ot h el i f ee x p e c t a n c ya n dt h e r e l i a b i l i t y o ft h ep r o d u c t ，a n da c c o r d i n g l yt h ea c c e l e r a t e dm o d e li s e s t a b l i s h e d a tt h es a m et i m e ，t h es i m u l a t i o ne x a m p l e sa r eg i v e nt oh a v ea c o m p a r a t i v ea n a l y s i s s e c o n d l y , t h ep r o b l e m o ft h e p r o d u c tr e l i a b i l i t y e s t i m a t i o ni s d i s c u s s e da tt h ec a s eo fu n k n o w nl i f ed i s t r i b u t i o no fp r o d u c t u s i n g n o n p a r a m e t r i cm e t h o d ，t h ee b a y e se s t i m a t i o nf o rt h ep r o d u c tr e l i a b i l i t y i sg i v e nf o rt h es u c c e s so rf a i l u r et e s t ，a n dc o m p a r ew i t ht h eh i e r a r c h i c a l i i 江苏大学硕士学位论文 b a y e se s t i m a t i o no fp r o d u c tr e l i a b i l i t y t h ee b a y e se s t i m a t i o na n d h i e r a r c h i c a lb a y e se s t i m a t i o no fp r o d u c t sr e l i a b i l i t yf o rt h es u c c e s so r f a i l u r et e s ta r eg i v e nu n d e rt h ez e r o f a i l u r ed a t as i t u a t i o n a tt h es a m et i m e ， t h es i m u l a t i o ne x a m p l e sa r eg i v e nt oh a v eac o m p a r a t i v e a n a l y s i s 7 a tl a s t ，w h e nr ，( r - l e ，1 ) ，t h ep r o b l e mo ft h ee s t i m a t i o no ft h ep r o d u c t r e l i a b i l i t yri sd i s c u s s e d t a k ei n c o m p l e t eb e t ad i s t r i b u t i o nf u n c t i o nb e t h ef i r s tg r a d ep r i o rd i s t r i b u t i o n ，w i t hq u a d r a t i cl o s sf u n c t i o n ，t h eg r a d e e - b a y e se s t i m a t i o no ft h ep r o d u c tr e l i a b i l i t yri sg i v e n ，a n dd i s c u s s e d t h er e l a t i o n s h i po ft h e p r o d u c tr e l i a b i l i t yrb e t w e e nd i f f e r e n ti n t e g r a l i n t e r v a l s a tt h es a m et i m e ，t h es i m u l a t i o ne x a m p l e sa r eg i v e nt oh a v ea c o m p a r a t i v ea n a l y s i s k e yw o r d s ：c o n s t a n t - s t r e s sl i f e t e s t ，s t e p s t r e s s l i f e t e s t ，b a y e s e s t i m a t i o n ，g i b b ss a m p l i n g ，r e l i a b i l i t y 1 1 i 江苏大学硕士学位论文 目录 第一章绪论。1 1 1 研究背景l 1 2 研究现状_ ：2 1 3 研究的内容和意义。3 第二章基本概念山4 2 1 寿命试验4 2 2 加速寿命试验5 2 3 可靠性的基本概念6 2 4b a y e s 估计法8 2 5 常用的寿命分布1 0 2 6g i b b s 抽样1 l 第三章指数分布下加速寿命试验的e b a y e s 可靠性分析1 3 3 1 恒加试验基本假定13 3 2 恒加试验参数的e b a y e s 估计1 4 3 3 指数分布可靠性指标的估计1 7 3 4 步加试验条件下产品可靠性指标的估计1 8 3 5 实例分析2 0 3 6 小结2 2 第四章成败型试验中产品可靠度的e b a y e s 估计。2 3 4 1 可靠度尺的e b a y e s 估计2 3 4 2 可靠度尺的多层b a y e s 估计2 6 4 3 无失效数据情形下可靠度r 的e b a y e s 估计与多层b a y e s 估计2 7 4 4 实例分析2 8 4 5 小结2 8 第五章改进后可靠度的e b a y e s 分析3 0 5 1 改进的e b a y e s 分析方法3 0 5 2 如和如，的关系3 4 5 3 实例模拟3 5 5 4 j 、结3 5 第六章总结与展望3 7 参考文献3 8 攻读硕士期间发表的论文4 0 j i 谢 i v 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 可靠性理论【h 1 涉及基础科学、技术科学和管理科学等诸多领域，是以产品的寿 命特征为主要研究对象，以评价产品的性能指标为主要研究目的的一门综合性学科 可靠性参数统计分析是可靠性研究的重要内容，近年来已经发展成为应用概率统计一，一 的一个重要分支学科 可靠性统计分析所要解决的问题就是对经验信息和实际测得的试验数据进行 各种不同的数据处理，进而来评价产品的可靠性下面介绍一下可靠性理论的研究 背景、研究现状及本文的研究工作 1 1研究背景 国外从5 0 年代起就兴起了可靠性研究可靠性的统计分析方法和技术手段，目 前已经成为保证产品质量和安全的不可或缺的依据和手段 传统的系统可靠性评估方法( 经典法) 是建立在频率稳定性基础之上的，根据中 心极限定理，被估参数被认为是一个与观测过程无关的确定量，当观测样本容量达 到一定数目以后，估计量将趋于被估参数的真值运用经典法进行系统可靠性评估 时，一般要求具有定的试验样本容量，才能得出比较合理的评估结论通常采用先 将单元级试验数据等效折合成系统级的试验数据，得到系统可靠度的精确分布，然 后进行系统的可靠性评估经典法的不足在于实际求解计算十分繁杂，运算量大，不 便于实际工程运用 6 0 年代，就有人将b a y e s 方法应用于可靠性统计分析相比经典法而言，b a y e s 方 法的优点在于降低了经典法对现场试验样本容量的依赖程度，使得在相同评估精度 要求条件下能够充分利用各类先验信息可靠性统计分析的产品大都是比较昂贵的 设备，试验成本较高，试验数据得来不易，而b a y e s 方法正好可以利用以往的经验信 息减少试验次数，降低试验成本需要强调的是，b a y e s 方法能充分运用产品试验之前 和之后的各类信息，包括历史数据，经验信息，专家信息，可靠性试验数据，和仿真信息 等，是一种动态离散数据融合方法，这比常规估计更有效，特别是在处理小样本问题 中具有重要的应用价值，因而十分便于实际工程应用近年来b a y e s 统计方法【5 8 】发 展很快，在可靠性统计分析中越来越多的人对b a y e s 方法产生了兴趣，使之成为可靠 江苏大学硕士学位论文 性评估的重要手段 1 2研究现状 国外可靠性评估技术开展比较早，提出了许多可靠性评估方法，如极大似然估 计法、矩估计法、b a y e s 法f i d u c i a l 法及熵法，比较实用的有极大似然估计法、b a y e s 法等较早的文献是1 9 7 9 年m a r t z h f 和w a l l e r r a 1 9 1 对寿命服从指数分布的产品给 出了一种b a y e s 无失效可靠性控制检验方法b a z e 方法；1 9 8 0 年n e l s o n 【o j 根据物理 学原理提出了在应力水平s 下，产品工作时间内的累积失效概率只( t ) 相当于此种 产品在应力水平昌下工作时间弓内的累积失效概率以功这一原理，即以动= 以功根据 这一关系可以对加速寿命试验数据进行折算，由此统计学者开始采用加速寿命试验 的三个基本假定进行数据分析和参数估计 而在国内直到上个世纪9 0 年代才开始引起统计学者的重视，如茆诗松，程依明i l l j 直接给出了恒加试验中加速模型参数和威布尔分布中形状参数的估计方法，从而避 免了过去方法中由于分二步所累积的误差；茆诗松【1 2 】在指数分布场合下对步加试验 数据进行分析，利用指数分布的性质和次序统计量给出了可靠性参数的极大似然估 计和一致最小方差无偏估计；茆诗松【l3 】在指数分布场合下对截尾数据讨论简单步加 试验，给出了常应力下一些可靠性特征的点估计和置信限，还给出了简单步加试验 的最优设计；程依明【1 4 】在一般k 个未知参数的加速方程下，以m l e 渐近方差最小为 准则，解决了指数分布时k 个应力情况的最优设计问题；茆诗松、罗朝斌【l5 j 提出了无 失效数据的可靠性分析方法一配分布曲线法；鲍志晖6 1 给出了恒定应力加速寿命试 验参数估计的修正似然函数法；凡根喜、熊志昂【l 给出了定期检测数据出现“倒挂” 和零失效、装备储存可靠性的评定方法 近些年来，人们对b a y e s 方法在可靠性评估中的应用进行了深入研究针对工程 中存在大量专家经验知识的情况，部分学者提出了对主观经验知识收集、整理和合 理利用的方案；针对如何利用工程中常见的先验信息类型，部分学者分别对指数分 布和w e i b u l l 分布等寿命分布模型进行了分析并给出了相应参数的估计；当存在一 定量的历史数据时，为减少b a y e s 方法中过多主观因素的引入，部分学者分别提出了 经验b a y e s 思想；针对实际工程中使用环境的不同而造成评估误差问题，部分学者提 出了混合指数分布和混合w e i b u l l 分布的评估问题先验分布的确定是b a y e s 方法的 2 江苏大学硕士学位论文 核心，文献 1 8 1 给出了构造先验分布的方法一减函数法和增函数法自从出现多层先 验分布的构造方法以来，多层b a y e s 方法在可靠性数据的处理上取得了一些进展，如 文献【1 9 】给出了无失效数据情形下可靠度的多层b a y c s 估计但用多层b a y e s 方法 得到的结果一般都要涉及多重积分的计算，在有些问题的实际应用中不便，这在一 定程度上制约了多层b a y e s 方法的应用和发展后来就有学者提出了e b a y e s 方法 【2 0 。2 2 】，该方法先给出参数的b a y e s 估计，再对b a y e s 估计中的参数取数学期望 e b a y e s 方法可以看成是多层b a y e s 估计方法的一种修正实际应用中发现e b a y e s 方法具有较好的稳健性且计算简便，符合工程部门的实际需要，便于工程技术人员 的应用另外，还有文献 2 3 3 0 等都对可靠性统计分析的发展做出了很大的贡献 1 3研究的内容和意义 本文利用e b a y e s 方法研究了可靠性参数的统计分析问题，分析并发展了前人 的理论和算法，主要从以下几个方面来研究： 第三章：在加速寿命试验基本假定下，利用e b a y e s 方法和g i b b s 抽样方法研究了 加速寿命试验条件下可靠性参数的统计分析问题 第四章：在产品寿命分布未知的情况下，利用非参数法和e b a y e s 方法研究了产 品可靠度的估计问题，比较了产品可靠度的e b a y e s 估计和多层b a y e s 估计，并讨论了 无失效数据情形下产品可靠度的e b a y e s 估计和多层b a y e s 估计 第五章：修正了产品可靠度估计时的积分区间，在可靠度置( r 砸，1 ) 情况下，以 不完全b e t a 分布为一级先验分布，研究了产品可靠度的估计问题，并讨论了积分区间 修正前后可靠度估计之间的关系 本文研究的意义：随着产品质量的不断提高，高可靠性、长寿命产品越来越多， 在正常工作条件下实施寿命试验已不能满足可靠性评估的要求，利用加速寿命试验 方法可以在较短时间内对产品的可靠性进行评估，查明产品失效的原因对加速寿 命试验参数的统计分析是近年来遇到的一个新问题；另外在产品寿命分布未知的情 况下对可靠性参数进行估计也是实际中经常遇到的问题；可靠性参数估计时的区间 选取也是一个关系到估计是否精确实用的实际问题这些问题在实际应用中都需要 很好的解决因此，对可靠性参数的统计分析方法的研究和改进具有理论和实际应 用价值 、 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 2 1 寿命试验 ，寿命试验是对产品的可靠性进行调查、分析和评价的一种常用方法通常的寿 命试验是指：从一批产品中随机抽取一定数量的样品组成一个样本将此样本放在 使用环境下进行寿命试验，观测每个样品的失效时间，最后用统计推断方法对这些 试验数据进行处理，从而对这批产品的可靠性进行分析和评价，给出产品的各种可 靠性指标 寿命试验作为一种分析技术，它有如下用途： 1 ) 探索产品在使用环境下可靠性的变化规律，确定产品的寿命分布，给出产品的 各种可靠性指标，如平均寿命、可靠寿命等 2 ) 确定产品是否符合可靠性要求，以作出产品接收或拒收，合格或不合格等结 论 3 ) 弄清产品的失效机理，发现产品在设计、材料和工艺方面的各种缺陷，为产品 的改进提供依据 寿命试验按样品的失效情况可划分为完全寿命试验和截尾寿命试验 ( 一) 完全寿命试验 完全寿命试验要求投试样品全部失效时才结束试验这种试验的优点是可以获 得完整的试验数据，统计推断结果较为可靠但是，缺点是这种试验常常需要较长试 验时间，例如，对于可靠性较高的电子元器件，假如把投试的样品试验到全部失效为 止，则需要很长时间，等他们全部失效，新的元器件可能又已设计出来因此，在一般情 况下完全寿命试验难于采用 ( 二) 截尾寿命试验 截尾寿命试验只要求进行到投试样品中有部分失效就停止试验，如1 5 或5 0 的投试样品失效就停止试验这种试验称为截尾寿命试验一般来说，截尾寿命试验 所需要的试验时间较短，能及时地对产品的可靠性进行评价因此，现在很多产品都 采用截尾寿命试验常用的截尾寿命试验有如下两种 1 | ) 定时截尾寿命试验，又称i 型截尾寿命试验它是指试验进行到事先规定的 时间就停止，这时样品的失效个数是随机的例如，对1 0 0 个样品进行定时截尾寿命 江苏大学硕士学位论文 试验，假设截尾时间为1 5 0 0 h ，那么在1 5 0 0 h 内样品可能失效3 0 个，也可能失效2 个， 甚至可能没有样品失效( 称之为无失效数据) 为了不使失效个数过少或过多，恰当地 规定试验停止时间是实施定时截尾寿命试验的关键 2 ) 定数截尾寿命试验，又称为i i 型截尾寿命试验它是指试验进行到指定的失 效个数就停止，这时试验的停止时间是随机的当试验规定失效个数为样本容量时 则这种试验就是完全寿命试验为了不使试验时间过长，恰当地规定失效个数是实 施定数截尾寿命试验的关键 2 2 加速寿命试验 随着科学技术的发展，高可靠、长寿命产品愈来愈多，为了评定产品的可靠性， 在使用环境条件( 正常应力水平) 下进行截尾寿命试验已无法适应实际需要，为了获 得一定数量的失效数据需要试验很长时间，这样不仅加大了试验费用，而且由于时 间过长，使试验失去了意义为了解决上述矛盾，人们又发展了另一种可以有效缩短 试验时间的寿命试验方法一加速寿命试验 加速寿命试验是在超过使用环境条件的应力水平下对样品进行的寿命试验这 种试验特点是：选择一些比正常使用环境恶劣的应力水平，又称为加速应力水平，在 这些加速应力水平下进行寿命试验由于试验的环境变的恶劣，从而加速了产品失 效，缩短了试验时间 加速寿命试验的类型： 1 ) 恒定应力加速寿命试验( 简称恒加试验) 选定一组加速应力水平s l 是，悬，它们都高于正常应力水平岛，满足& 心l s k 将一定数量的样品分为k 组，分别放置于每一个加速应力水平下进行寿命试 验，直到有一定数量的样品失效为止或者分别规定每个应力水平下的定时截尾时 间 2 ) 步进应力加速寿命试验( 简称步加试验) 选定一组加速应力水平s l ，& ，它们都高于正常应力水平岛，满足s o s l s 2 0 ， ( 2 1 0 ) r r l 记作丁w ( m ，r 1 ) ，其中m 为形状参数且m 0 ；r l 为特征寿命 则其可靠度为： 一( 三) 坍 尺( f ) = e 叩，t 0 ( 2 1 1 ) 失效率为： a ( t ) _ r e 刁( l 刁) 脚一，0 ( 2 1 2 ) 刁刁 不同形状参数m ( r 固定) 对w e i b u l l 分布有很大的影响 1 ) 当m 1 时，密度函数曲线呈单峰状； 4 ) 当m 3 时，密度函数曲线呈单峰对称状，近似于正态分布失效率允( f ) 为增 函数，此时相当于产品损耗失效 2 5 2 指数分布 1 0 江苏大学硕士学位论文 在可靠性理论中，特别是在电子产品的可靠性研究中，指数分布是最基本、最常 用的寿命分布，它的密度函数为： f ( t ) = 2 e ，t 0 ，( 2 1 3 ) 式中a 为非负参数 。 其寿命分布函数为： 。 一一一一 f ( f ) = 1 一p 一，t 0 ( 2 1 4 ) 其可靠度为： r ( f ) = e ，t o ，( 2 1 5 ) 若产品寿命服从指数分布，则其失效率是唯一的常数，即： a ( f ) 霸( 2 1 6 ) 指数分布具有无记忆性：如果已知产品到时刻f 还能正常工作，则它再工作s 小时 不失效的概率与时间f 无关 2 6g i b b s 抽样 m c m c ( m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ) 方法是通过建立一个平稳分布枷( 融疗) 的m a r k o v 链来获得p ( ) 的样本，对于获得的样本再做统计推断其中最简单，应用 较广泛的m c m c 方法是g i b b s 抽样方法，它是1 9 8 4 年由s t u a r t g e m a n 和 d o n a d d g e m a n 在图像分析时所提出的【3 2 1 设有阶随机变量研，晓，最，假定其完全条件分布从纠鳓( 抽) 芦= l 2 ，七是可抽 样的，即当给定随机变量易( 哺) 的一组值时，我们可以产生b 的一个随机样本文献 【3 3 】证明了在适当的条件下完全条件分布唯一的决定了联合分布p ( 岛，仍9 * o9 鳓，因此 决定了所有的边际分锄( 绣) ，s = l ，2 ，舡 g i b b s 抽样方法的过程如下：给定起始点分o ) _ ( 翻( 们，岛m ，6 | i o ) ( 1 ) 从满条件分布p ( 岛，晓( o ) ，鼠( o ) ) 抽取样本岛1 ； ( 2 ) 从满条件分布烈侥融，岛( ，0 3 ( ，砬( o ) 抽取样本晓( 1 ； 。 ( f ) 从满条件分布烈岛h ，岛( n ，易1 n ，靠i 【们，甜o ) 抽取样本硝1 ； ( d 从满条件分布p ( 皖h ，o l n ，鼠l 1 ) ) 抽取样本甜n 江苏大学硕士学位论文 重复上面的第( 1 ) 至( d 步，经过f 步迭代，得至1 m a r k o v 链： 1 = ( 研( n ，0 2 ( n ，硝1 ) ； 分2 = ( 易2 、，岛( 孙，硝2 ) ； ， 幢( 岛，0 2 ( t ) ，皖f ) ) 一 使m a r k o v 链达到均衡状态的样本分即可作为p ( 瞅力的样本 可以证明 3 2 1 在适当的条件下，当迭代次数卜，时，p ( 岛n ，0 2 ( n ，0 勺 印( 岛，0 2 99 0 k ) 由此便可得到所需边际分布密度的一种估计： 夕( 鼠) = 厂( 最p ，s ) ，f 决定了迭代抽样的收敛性 1 2 江苏大学硕士学位论文 第三章指数分布下加速寿命试验的e b a y e s 可靠性分析 近年来，在寿命服从指数分布场合下，利用给定的加速寿命试验统计模型，文献 【3 4 1 给出了定数截尾寿命试验样本的统计分析方法；文献 3 5 1 给出了恒加试验参数 的极大似然估计；文献【3 6 】给出了定数截尾和定时截尾两种情形下步加试验m l e 存 在唯一性的充要条件，并在此基础上得到了f 常应力水平下平均寿命的近似置信区 间和极大似然估计；文献 3 7 】给出了定数截尾情况下，加速寿命试验的带约束条件的 b a y e s 参数估计；文献【3 8 给出了一种定数截尾情况下步加试验的近似b a y e s 参数估 计；文献 3 9 1 给出了指数分布场合步加试验的多层b a y e s 估计 文献 3 7 3 9 】虽然给出了定数截尾情形下指数分布场合步加试验参数的b a y e s 估计，但是一方面没有对先验分布中的超参数很好的考虑，另一方面在后验边际分 布的计算和参数估计中，涉及到复杂的积分计算 基于以上考虑，本章给出了指数分布场合下，加速寿命试验条件下可靠性指标 的e b a y e s 估计e b a y e s 方法对先验分布中的超参数再给出先验分布，从而得到参数 的联合后验概率密度在对联合后验概率密度中参数的估计计算中采用g i b b s 抽样 方法对待估参数进行迭代，得出产品的可靠性指标最后给出实例模拟，对e b a y e s 估 计和极大似然估计进行了比较分析，得出e b a y e s 估计比极大似然估计更加有效，且 结果具有稳健性，具有实用价值 3 1 恒加试验基本假定 确定正常应力水平岛和七个加速应力水平呙，& ，这些应力水平满足 & 心l & s k 从一批产品中抽取疗个样品分为k 组，其样本容量分别为 h i , n 2 ，以甩】+ 耽+ + n k = n ) ，将第f 组样品安排在应力水平s 下进行恒加寿命试验。 在应力水平s 下，失效样品的工作时间为札f f 2 ，0 ( 卢l ，2 ，助，且满足 0 _ t i l 鳓s 0 z i 在定时截尾寿命试验场合，q 为在应力水平s 下给定的试验中止时 间，n 为在应力水平s 下时间研之前失效的样品数；在定数截尾寿命试验场合，为预 先给定的中止试验的样品数 假定l ：在正常应力水平岛和加速应力水平s l 0 为产品在应力水平s 下的失效率，其平均寿命为： b ) = l 2 i ( s t ) 假定2 ：产品的平均寿命仍与加速应力水平s 之间具有加速模型： l n 0 尸z + f l 妒 ) ， 其中乒为待估参数；9 ( 鳓是应力水平s 的已知函数 3 2 恒加试验参数的e b a y e s 估计 3 2 1 恒加试验参数的似然函数 记足= ，：，i = 1 ，2 ，k 则在应力水平s 下的总试验时间为： z ：窆勺+ ( 一r 蚝( 定数截尾恒加试验场合) ， z ：r l 勺+ ( 吩一r ) t ( 定时截尾恒加试验场合) 此时容易获得在应力水平& 下的似然函数为： 二= 丑。e x p ( 一乃z ) 由于各应力水平之间的试验是相互独立的，则恒加试验的似然函数为： ( 3 2 ) ( 3 ：3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) l ( d i & ，五，五) = 兀厶= e x p ( 一丑z ) 兀磊， ( 3 7 ) 其中d = - ( t n ， ，t 2 1 ，t 2 丘，t k i ，) 一l 鳊曼吼 根据假定2 ，由式( 3 3 ) 以及式( 3 2 ) ，可知： a f = 2 0 e x p 够 p ( & ) 一伊( s ) 】 ：i 如口昕 3 q ， ( 3 8 ) 其中，知为产品在正常应力水平& 下的失效率；a = e x p , 8 o ( s o ) 一9 岱1 ) 】_ = a 1 为产品在应力水平s l 和岛之间的加速因子，a l ；= 揣，f _ l 2 ，舷 由式( 3 8 ) ，可将似然函数( 3 7 ) 转换为： 三( d i ，如，丸) = 九7 口 e x p ( - 2 0 口”z ) ， ( 3 9 ) 其中4 = ，厂= t = li = l 此时式( 3 9 ) 中只有两个参数a o 和仅在实际加速寿命试验中，人们最关心的是产 1 4 江苏大学硕士学位论文 品在正常应力水平下失效率知和加速因子c t 由式( 3 9 ) 可得参数知和仅的f i s h e r 信 息矩阵为： f = 1 4 九口 1 了4 若在恒加试验之前产品无任何先验信息，由j e f f r e y 原则可知，参数知和口的无 信息先验密度函数为：万( 五，口) 芘，c t l ，厶 0 由此可知，参数；t o ，a 的先验分布 是相互独立的，此结论和实际经验相吻合 记4 = 口坼z ，则式( 3 9 ) 即： i = l ， ( 九，口) = 厶7 口 e x p ( 一厶4 ) ( 3 1 0 ) 3 2 2e b a y e s 估计 定义【2 1 1 ：称 砧= 舭，( 口，b ) ；r r ( a ，b ) d a d b = 研a ，( 口，6 ) 】， ( 3 11 ) d 为五肭e b a y e s 估计( e x p e c t e db a y e s i a ne s t i m a t i o n ) 式中名，( t 2 , b ) 是无的b a y e s 估计( 用 超参数a , b 表示) ，d = ( 口，6 ) ) ，顽口6 ) 是d 上的密度函数 从a f 的e b a y e s 估计的定义可以看出九的e - b a y e s 估计是五f 的b a y e s 估计对超参数 a , b 的数学期望 e b a y e s 估计是先求出参数的b a y e s 估计，然后对b a y e s 估计中的超参数给出先 验分布，最后关于超参数对b a y e s 估计取数学期望，由此获得e - b a y e s 估计应该说明， 这里a f 的e b a y e s 估计不是多层b a y e s 估计，它可以看成是多层b a y e s 估计的一种修正 3 2 3 确定参数知和口的先验分布求出联合后验密度 根据工程经验可以得出加速因子织的变化范围为l k l a k 2 ( 七l ，k 2 y 捕m ) t 3 ， 为此选取a 的先验分布为均匀分布，其密度函数为： 万( 口) = 口，l 七l 0 ；0 2 0 o o ；b ( a ，6 ) = f t a - 1 ( 1 一f ) 出为b a t a 函数 b e t a 分布是一种很好的分布，它随着参数的改变，可以拟合( o ，1 ) 上的各种密度函数 + 。一 在现代产品高可靠性的情况下，失效率a o 大的可能性小，小的可能性大所以，根 据文献【1 8 ，应选择口和6 使7 c q o l 谚6 ) 为知的减函数易知，当o 口 l ，l b 时，7 【0 0 l 口，6 ) 为如 的减函数因为这两个超参数是不可观察的且实际应用中获得的信息不足以确定 a , b l 拘数值，所以要进一步确定口，6 的具体数值是很困难的因此可在珥6 取值范围上 各定义一个均匀分布，作为超参数a 、6 的超先验分布为此，取a 与b 的超先验分布分 别为： 只口) = 职0 ，1 ) ，尺6 ) = 职l ，c ) ， ( 3 1 4 ) 其中c 为常数考虑至u b e t a 分布在a n 为总体样本容量 我们只关心正常应力水平下的失效率知和加速因子a ，于是如，仅的e - b a y e s 参 数估计分别为： 元2 志，萎，以& 2 志，萎。( 3 1 7 ) 3 3 指数分布可靠性指标的估计 我们的最终目的是估计出正常应力水平下的产品平均寿命吼，然后根据假定2 ， 利用加速模型( 3 3 ) ，估计出加速模型中的参数和屈从而建立加速寿命模型 由式( 3 1 7 ) 我们求出的正常应力水平下的失效率五o ，再根据式( 3 2 ) ，可以得到第 一个可靠性指标二平均寿命的估计为： o o = 1 凡 ( 3 1 8 ) 江苏大学硕士学位论文 由指数分布可靠度的定义，可以得到第二个可靠性指标一可靠度的估计为： r ( t ) = e x p ( - 2 t ) = e x p ( 五of ) ( 3 19 ) 再根据加速模型( 3 3 ) ，有h l 务。邓坳( 岛) 用最小二乘法配一条通过诸点以扔的 分布曲线，即可估计出参数的近似值p 和夕，进而建立加速寿命模型： i n 磅丘+ 夕9 圆) ( 3 ：2 0 ) 3 4 步加试验条件下产品可靠性指标的估计 步加试验也是一种常用的加速寿命试验方式，与恒加试验相比，它不仅节省时 间，还可减少试验样品个数 确定正常应力水平岛和k 个加速应力水平s l 是，趣，这些应力水平满足 i 碣 & ，从一批产品中抽取疗个样品依次进行觅步步加试验 在应力水平s 下，失效样品的工作时间为t a ，境，：f ，：( f = 1 ，2 ，助，且满足 o t a _ t a f ：i ，：甄在定时截尾寿命试验场合，勺为在应力水平s 下给定的试验中止时 间，n 为在应力水平s 下时间之前失效的样品数；在定数截尾寿命试验场合，n 为预 先给定的中止试验的样品数 对于步加试验样本的寿命，在应力水平& 下，失效数据f l l f 1 2 ，f 1 。是样品的寿命； 而当l 时在应力水平s 下其失效数据t i l ，垃，0 并不是样品的真实寿命，因此需要 将失效数据折算成其真实寿命数据步加试验除满足基本假定l 和2 外还需满足假 定3 假定3 ：产品的残余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时应力水平，而与 累积方式无关【埘 根据假定3 ，样品在应力水平s 下工作时间的累积失效概率b ( ) ，相当于该 样品在应力水平s 下工作可时间的累积失效概率b ，( 一) 即： b ( t ) = 忍，( 0 ) ，i j = l ，2 ，丘 ( 3 2 1 ) 再根据假定( 3 1 ) 式可得： 1 - e x p 一丑( s ) t 】= l e x p 一乃( t ) f ( 3 2 2 ) 故有： 1 8 江苏大学硕士学位论文 一= 竽 f ，户1 ，2 ，舷 ( 3 2 3 ) 因此必须将失效数据分别加上低应力水平下的折算部分a ，才能得到样品在这 些应力水平下的真实寿命，其寿命数据为：q + t l ，a ，+ t j 2 ，q + ，：f ，：，i = 1 ，2 ，k ，1 扫( 3 2 3 ) 式可知：口- 。，口22 砉，1 。，魂二- ( 砉。+ 7 z ：) 砉= 砉。+ 砉乞： 般地，在定数转换情形下有m ，2 妻n + 妻岛吒+ 一+ 二 “m 一。( 1 ) ， ( 3 2 4 ) 以几 。 一 在定时转换情形下有：q = 争q + 争吃+ + 年乃一。( 1 ) ( 3 2 5 ) 以以以 f r 一。= r o = 0 i = 1 令导。 (326)r 彳1i _ l - ，：，i = 2 3 ，k 。 1 ) 对于定数转换步加试验情形，为了求得似然函数，现将步加试验数据 以i ，境，0 折算为应力水平& 下的寿命数据，即： z 1 ，z 2 ，焉，z 马+ i ，声r 。，z 。+ i ，z 凡( 1 ) ， ( 3 2 7 ) 式中，龟t + ，= 善知+ 妻川乩2 显然式( 3 2 7 ) 为在应