（应用数学专业论文）非线性随机参数系统的动力学与控制研究.pdf

曲北工业人学硕十学位论文 摘要 摘要 本文研究了两个具有随机参数的非线性动力系统的分岔、混沌和混沌控制。 主要内容如下： 第一章首先叙述了非线性动力学的研究背景，继而给出了具有随机参数的随 机非线性动力系统的发展历史和研究现状，还对本文所采用的研究方法进行了详 细的说明，最后给出了本文的主要研究内容。 第二章运用c h e b y s h e v 正交多项式逼近法研究了随机b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系 统的随机倍周期分岔和随机h o p f 分岔行为。此方法将随机非线性动力系统转化为 一个与之等价的确定性非线性动力系统，继而运用有效的数值方法进行研究。数 值结果表明随机b o n h o e f f e r v a nd e rp o l 系统中存在与确定性b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统类似的分岔行为，但在随机因素的影响下还有一定的区别。同时验证了 c h e b y s h e v 交多项式逼近法对于研究一些具有随机参数的典型非线性动力系统 的动力学问题的有效性。 第三章中继续采用上章中得到的等价确定性系统，研究了具有有界随机参数 的随机系统的随机混沌现象，数值结果表明，随机b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统和确 定性b o n h o e f f e r - v a n d e r p o l 系统中的混沌行为极为相似。随后采用非反馈的噪声控 制法和时滞反馈控制法对随机b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统的等价确定性系统取不 同随机参数强度的情况均实现了混沌控制。由于随机因素的作用，混沌分析和控 制中均呈现出一些特点。 第四章中，我们对随机d u i t i n g v a i l d e r p o l 系统的混沌进行了分析，继而应用 噪声控制法对其控制问题迸行了一定的研究。 第五章给出全文总结和进一步的展望。 关键词：c h e b y s h e v 正交多项式逼近随机b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统随机 d u f f i n g v a l ld e rp o l 系统随机倍周期分岔随机h o p f 分龠随机混沌混 沌控制 西北工业大学硕七学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t b i f u r c a t i o n s ，c h a o sa n di t sc o n t r o li nt h es t o c h a s t i cn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s w i t hr a n d o mp a r a m e t e ra r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r a r ea sf c l l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，t h er e s e a r c h i n gb a c k g r o u n do fn o n l i n e a rd y n a m i c si sm e n t i o n e d a f t e rt h a t ，t h ed e v e l o p m e n th i s t o r ya n dt h ec u r r e n td e v e l o p m e n t so fs t o c h a s t i cn o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e mw i t hr a n d o mp a r a m e t e ra r ei n t r o d u c e dh e r e f i n a l l y , t h e r es h o w st h e r e s e a r c h i n gm e t h o d sa n dt h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h es t o c h a s t i cd o u b l e p e r i o db i f u r c a t i o n a n dt h es t o c h a s t i ch o p fb i f u r c a t i o ni nt h es t o c h a s t i cb o n h o e f f e r - v a nd e rp o ls y s t e ma r c r e s e a r c h e db yt h ec h e b y s h e vo a h o g o n a lp o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，w h i c h f i r s t l yr e d u c e st h es t o c h a s t i cn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mi n t oi t se q u a ld e t e r m i n i s t i c n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ，t h e ng e r i n gt h er e s u l t sb yu s i n gt h ee f f e c t i v en u m e r i c a l m e t h o dt ot h i se q u a ls y s t e m t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h es t o c h a s t i cb i f u r c a t i o n s i nt h es t o c h a s t i cb o n h o e f f e r - v a nd e rp o ls y s t e ma r cb ya n dl a r g es i m i l a rt ot h a ti nt h e d e t e r m i n i s t i cb o n h o e f f e r - v a nd e rp o ls y s t e m b u tw i t ht h ee f f e c to ft h er a n d o mf a c t o r , t h e r ea r es t i l ls o m ef e a t u r i n gd i f f e r e n c e sb e t w e e nt h e m m e a n w h i l e ，t h eo b t a i n e dr e s u l t s s h o wt h a tc h e b y s h e vp o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o ni sa ne f f e c t i v ea p p r o a c ht od y n a m i c a l p r o b l e m si ns o m et y p i c a ln o n l i n e a rs y s t e m sw i t hb o u n d e dr a n d o mp a r a m e t e ro fa n a r c h l i k ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n i nt h ec h a p t e rt h r e e ，u s i n gt h es a m ee q u a ld e t e r m i n i s t i cs y s t e mi nt h ec h a p t e rt w o ， t h es t o c h a s t i cc h a o si nt h es t o c h a s t i cs y s t e mw i t ht h er a n d o mp a r a m e t e ri ss t u d i e d t h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ec h a o sb e h a v i o ri nt h es t o c h a s t i cb o n h o e f f e r - v a nd e rp o l s y s t e mi sb ya n dl a r g es i m i l a r t ot h a ti nt h ed e t e r m i n i s t i cb o n h o e f f e r - v a nd e rp o l s y s t e m a f t e r w a r d ，t h ec h a o t i cb e h a v i o r sa r ec o n t r o l l e db yb o t hn o i s ew h i c hi sn o n - f e e d b a c k c o n t r o lm e t h o da n dt i m e d e l a yf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d b e c a u s eo ft h er a n d o mf a c t o r , t h e r ea r es o m ef u t u r e si nt h ea n a l y s i sa n dc o n t r o l l i n go fc h a o s i nt h ec h a p t e rf o u r , t h ec h a o sb e h a v i o r st h ei nd u f f i n g v a nd e rp o ls y s t e ma r e d i s c u s s e d ，a n dt h ec o n t r o l l i n go f c h a o sb yn o i s ea r er e s e a r c h e dt o o i nt h el a s tc h a p t e r , t h ec o n c l u s i o n so f t h ew h o l ep a p e ra n dt h ep o i n t sf o rt h ef u r t h e r r e s e a r c h e si nt h ef i e l do ft h es t o c h a s t i cn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mw i t ht h er a n d o m p a r a m e t e ra r eg i v e n 1 1 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t k e y w o r d s ： c h e b y s h e vo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o n , s t o c h a s t i c b o n h o e f f e r - v a nd e r p o ls y s t e m ，s t o c h a s t i cd u f f i n g v a nd e rp o ls y s t e m , s t o c h a s t i c p e r i o d d o u b l e b i f u r c a t i o n , s t o c h a s t i c h o p fb i f u r c a t i o n , s t o c h a s t i cc h a o s ，c o n t r o l l i n go f c h a o s 儿l 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文1 作 的知订! 产权单俯属丁舶j ti ：业人学。学校有权保留并向国家有关部f j 或机构送交论文的复 印什荆电子版。本人允许论文被奇阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有芙数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北t 业 人学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位沦文作者签名 沙审 城 爿订日 指导教师签名：二! ! 坌二垒 年；月7 7 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重卢明：所甓交的学位论文，是本人在 导师的指导f 进行研究i 作所取得的成果。辟我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的 地力外，本沦史不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人 或其他已i p 啸学何或其他j _ j 途使_ 【_ 过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人乖i 集体，均 已钮：文中以明确方式表d ；j 。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 蝴论文作者虢一_ l 丕函 砂o 年；月垢 西北工业大学硕士学位论文 第一章 第一章绪论 1 1 引言 自然科学的发展，正在改变着传统的学科划分。数学、物理、力学、化学、 生物等这些基础学科，与新技术相结合，采用了一些新的研究方法，推出了横跨 多种学科的新兴领域，这些新兴领域的最杰出的代表之一就是非线性科学，非线 性科学在最近几十年得到了迅猛的发展【1 】。 工程中的真实动力系统几乎总含有各种各样的非线性因素，例如机械系统中 的间隙、干摩擦、轴承油膜，结构系统的大变形、非线性材料本构关系，控制系 统的非线性控制策略等等。线性系统只是真实动力系统的一种简化模型。通常， 线性系统模型可提供对真实系统动力学行为的很好逼近。然而，这种线性逼近并 非总是可靠的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中引起无法接受的误差。 特别对于系统的长时间历程动力学问题，即使略去很微弱的非线性因素，也常常 会在分析和计算中出现本质性的错误。对于这些现象，只有依靠非线性振动的理 论j 。能得以正确解释。因此，我们有必要研究非线性动力系统的行为，揭示非线 性对系统动力学行为的影响。一旦把握了某种非线性现象的内在规律，就有可能 利用该现象创造出线性动力系统所不具备的功能 2 。 自二十世纪八十年代中期以来，非线性动力学的研究取得一批重要成果，它 不但奠定本学科进一步发展的基础，同时启发人们思索：世界的复杂性，看来只 有用“非线性”观点才有可能解释。所以人们说“2 1 世纪是非线性的世纪” 3 】。 1 2 历史背景及研究现状 对于非线性动力系统的研究，我们可以将这样的系统分为确定性和随机的两 类。随着近几十年非线性研究的发展，确定性领域的研究已经非常广泛，并在理 论和研究方法上均取得了大量的成果，至今仍有很多科学家和研究人员在该领域 进行着深入的研究。 1 9 0 5 年e i n s t e i n 定量描述布朗运动的研究标志着随机动力学研究的开端。随 机因素广泛的存在于工程科学、自然科学和社会科学的各个领域之中，例如，在 物理、化学、生物学中，噪声对非线性动力系统可产生多种重要效应，又如，强 1 西北工业大学硕十学位论文 第一章 风、强震等严重随机载荷可使得高层建筑、大型桥梁、海洋平台等工程结构产生 强烈的非线性随机振动、失稳。因此，越来越多的学者从事非线性随机动力学的 研究 4 9 】。随机动力学的研究主要针对三个方面：随机激励下的确定性动力系统、 具有随机参数的动力系统( 随机结构动力系统) 和随机激励下具有随机参数的动 力系统。 含有随机参数的系统通常在研究中直接被称为随机系统，这里的“随机”由 系统的一些随机参数体现出来，这些随机参数服从一定的概率密度分布。在随机 结构问题的分析中，所用的数值方法主要有三种：随机摄动法、随机模拟法和正 交多项式逼近法。 众所周知，随机摄动法和随机模拟法在非线性随机振动系统的各种动力学现 象的研究中占主要地位，但均有一定的局限性。通过上世纪六十年代到八十年代 的研究 1 0 一2 7 】，人们就发现虽然摄动法在随机结构系统的很多动力学问题的研究 中取得了显著的成功，但是该方法在本质上要求随机系统的随机参数的变异必须 为百个小量，对于变异性较大的情况，计算精度将大幅下降，因此在运用随机摄 动法时会存在难以逾越的约束性。上世纪七十年代s h i n o z u k a 及其同事关于采用随 机模拟方法进行随机结构分析途径的研究 2 8 3 3 1 ，形成了随机结构分析的随机模 拟法。然而，该方法的运用只有在完成很大的计算量的情况下，才能给出较高精 度的结果，特别体现在实际工程中需要对多个随机参数进行处理的情况中。 。 在这样的研究背景下，上世纪八十年代末至九十年代初，最初由s u n 针对具 有随机系数微分方程的求解问题【3 4 】，提出了对随机响应取h e r m i t e 正交多项式展 开的逼近方法，自此，人们开始了采用正交多项式的级数来逼近随机系统响应的 方法，对随机结构动力系统进行研究。随后的研究中s p a n o s 和g h a n e m 采用混沌 多项式展开方式研究了具有随机参数的弹性地基梁的随机振动分析 3 5 3 7 】：j e n s e n 和1 w a n 在随机结构动力学的研究中，推广了s u n 的思想 3 8 - 4 0 。后来又得到了 l i 的进一步发展，他提出了随机函数空间的次序正交分解思想，在泛函意义下建 立了原随机系统的等价确定性扩阶系统，这样就可以采用确定性分析方法，通过 对其等价确定性系统的研究实现对原随机动力系统的研究 4 1 4 7 。2 0 0 2 年又得到 了廖松涛的改进【4 8 】。正交多项式逼近法不需要假定小的随机扰动，计算量相对随 机模拟法较小，因此更加实用。 f a n g ，l e n g 等首次利用c h e b y s h e v 多项式【4 9 、g e g e n b a u e r 多项式 5 0 逼近法研 2 西北工业大学硕士学位论文第一章 究了含有界随机变量的线性随机参数系统的演变随机响应问题，继而又进一步将 这一方法应用到随机d u f f i n g 系统的分岔与混沌的研究中。w u ，m a , s u n 等 8 1 y 应 用这一方法成功的讨论了随机d u f t i n g 、v a n d e r p o l 和d u f f i n g - v a n d e r p o l 系统的分 岔和混沌现象及其控制与同步问题【5 1 - 5 6 】。研究结果不仅说明了正交多项式逼近 方法在研究具有随机参数的随机动力学问题中的有效性，同时也发现了随机动力 系统的一些特点。 1 3 研究方法 1 3 1 随机函数正交分解的基本理论 由概率论和特殊函数的性质 5 7 ，5 8 ，在随机函数空间中，如果存在一组标准正 交基，则此空间中的任意函数可按这一组标准正交函数系，展开为广义f o u r i e r 级 数。对于在 以6 】上服从以p ( 掌) 为概率密度函数的随机变量善，本文所说的正交函 数系，是指函数组 只( f ) ，i = o ，1 ，其中的任意两个函数的加权内积满足如下条 件 伽儿咄烤= 援：篓 ， 在公式( 1 - 1 ) 中，权函数实际上就是随机变量善的概率密度函数，所以上述加权内积 也可以理解为乒，历( 善) j ( f ) 的数学期望。除了满足上述加权正交关系外，正交函数 系通常还满足如下递推关系 伊。( 孝) = 口。以一，( 孝) + 成以( 善) + 以以+ ，( 善) ( 1 2 ) 其中，d 矿几和以根据正交多项式的不同类型，取为不同的常数。 由于上述多项式满足加权正交条件，可以将它们看作是随机函数空间中的一 组正交基。因此，定义在【口，b 】内的随机变量的可测函数，( 善) 均可按这一组基函 数展开，即可写成 ，( 善) = q 日，( 善) ( 1 - 3 ) 其中c ，= f p ( 善) ，( 手) h ，( 善) 蟛，即函数，( 善) 在基函数上的投影。对于多个随机变量 的函数厂( 鼻，磊，彘) ，也有类似的结论。 正交函数系 且( f ) ，i = 0 , 1 ，) 可根据随机变量的分布类型的不同，而取为不同的 3 西北工业大学硕士学位论文 第一章 正交多项式，如服从正态分布的随机变量，其正交多项式基为h e r m i t e 多项式；均 匀分布的随机变量，其正交多项式基为l e g e n d r e 多项式；拱形分御作为均匀分布 的特例，服从该分布的随机变量其正交多项式基为第二类c h e b y s h e v 多项式，等 等。 在后面的研究中，我们仅对服从拱形分布的随机变量为系统随机参数的情形 进行研究，相应的正交多项式取为c h e b y s h e v 多项式。服从该分布的随机变量的 概率密度函数表达式如下，其曲线如图1 - 1 所示。 础) ： ( 2 鬻： m 4 ， 囝1 - 1 随机变量f 的拱形概率密度函数曲线圈 其相应的第二类c h e b y s h e v 多项式为正交多项式的一般表达式为： 账) = 鼢) 斋筠广“ ( 1 _ 5 ) 则 h 。( 孝) = 1 日( 孝) = 2 善 日2 ( 善) = 4 f 2 1 日，( f ) = 8 善一4 善2 日。( 善) = 1 6 f 4 1 2 善2 + l h 5 ( 善) = 3 2 善5 3 2 4 + 6 孝 第二类c h e b y s h e v 多项式的循环递推公式为： 巩( 善) = 争( 伊日肿l ( 纠 4 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 西北工业大学硕十学位论文第一章 其加权正交性可以表示为 e l 昙乒两啪蟛= 拨；( 1 - 8 ) 结合( 1 一1 ) 、( 1 - 4 ) $ f l ( 1 - 8 ) 式可知，上式可以认为是h ，( 善) ，( 善) 乘积的期望。综上， 可将服从拱形分布的随机变量孝的可测函数厂( f ) 展开成如下级数形式： 厂( f ) = q 日。( 善) 其中c ，= f p ( f ) ( 善) 只( f ) d 孝。 1 3 2 混沌控制 2 0 世纪下半叶，非线性科学得到了蓬勃的发展。其中对混沌的研究占了极大 的份额。半个世纪以来，人们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现 已经有了十分丰富的认识。在自然界和人类社会中广泛存在混沌这一事实已被普 遍接受，而如何应用混沌研究成果为人类服务已成为非线性科学发展提出的重要 课题之一。由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌 控制就成为混沌应用的关键环节。目前，人们对混沌控制的理解集中于：自动有 效地影响混沌系统，使之转化为应用需要的状态。如：混沌运动对实际系统有障 碍时，将其抑制住；而需要产生实际需要的具体某种特定性质的混沌运动时使用 控制，从系统的混沌状态中产生出实际需要的各种输出。针对不同的任务目标， 发展不同的控制策略和方法 5 9 ，6 0 1 。我们可以将混沌控制划分为反馈控制与非反馈 控制两大类型。本文中我们就采用非反馈的外部噪声控制法和时滞反馈法对随机 b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统和随机d u f f i n g v a i ld e rp o l 系统进行控制。 l 3 2 1 外部噪声控髻j 法 外部噪声控制法是非反馈控制法的一种，1 9 8 9 年方锦清对两个典型的非线性 系统研究外部噪声控制作用的过程中发现了多种外部噪声效应。到1 9 9 2 年s f a h y 利用噪声驱动实现了混沌与有序的转变及两个系统的混沌同步。1 9 9 4 年a m a r i t a n 和jr n a n a v a r 也应用白噪声实现了对混沌、超混沌和时空混沌的控制与同步。借 助外部噪声进行控制，已成为一个极其重要的控制方法，它已拓广应用于众多领 域，例如，外部随机驱动法可用于对社会系统、经济系统和神经网络系统等进行 5 西北工业大学硕士学傍论文 第一章 宏观控制。在外部噪声的作用下，能够产生多种外部噪声效应，噪声不仅可以实 现混沌控制，而且能达到混沌反控制，还可以实现混沌与有序之间的多次转变 6 0 】。 外部噪声控制法的机制可由以下动力学形式表述： i o ) = f ( x ，f ) + q t l ( t ) q r l ( t ) 为噪声控制器，其中q 为噪声强度，r l ( t ) 为与随机参数b 独立的高斯白 噪声，满足e r l ( t ) ；o ，e r l ( t ) r l ( t + r ) = a ( r ) ，其中a c t ) 为d i r a e d e l t a 函数。 1 3 2 2 延迟反馈控制法 延迟反馈控制法( d f c 法) 首先由皮里格斯( k p y r a g a s ) 提出【6 l 】。这种方 法的主要思路是：巧妙地利用系统本身的输出信号的一部分并经时问延迟后，再 与原来输出信号相差，作为控制信号反馈到系统中去。它直接利用测量数据进行 反馈操作的方法，使系统在自动寻找原混沌系统不稳定周期轨道的同时实现混沌 控制【5 9 】。 霉延迟反馈控制法的机制可由以下动力学形式表述： = i o ) = f ( x ，) + k ( x ( ，) 一x ( t f ) ) 在k ( x ( o x ( t f ) ) = 0 时，原动力系统具有混沌运动轨道，x ( ，) 和x ( f r ) 分别为t 时刻和，一t 时刻测量的x ( ，) 变量的值。延迟时间r 应选取与所要控制的不稳定周期 轨道的周期时间相同，通过调节k 达到混沌控制效果，当x ( t ) = x ( t f ) 时，坝q i ( t ) = f ( x ，t ) ，所以这种延迟反馈控制法并不改变系统原来的行为。 1 4 本文主要内容 本文运用c h e b y s h e v 正交多项式逼近法，研究了两个具有随机参数的非线性 动力系统的分岔、混沌和混沌控制。文章的主要内容如下： 第一章首先叙述了非线性动力学的研究背景，继而给出了具有随机参数的随 机非线性动力系统的发展历史和研究现状，还对本文所采用的研究方法进行了详 细的说明，最后给出了本文的主要研究内容。 第二章运用c h e b y s h e v i e 交多项式逼近法研究了随机b o i l i l o e 脆r - v a i ld e rp o l 系 统的随机倍周期分岔和随机h o p f 分岔行为。此方法将随机非线性动力系统转化为 一个与之等价的确定性非线性动力系统，继而运用有效的数值方法进行研究。数 值结果表明随机b o r d l o e m 弘v a l ld e rp o l 系统中存在与确定性b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 6 西北工业大学硕士学仿论文 第一章 系统类似的分岔行为，但在随机因素的影响下还有一定的区别。同时验证了 c h c b y s h e v i ：交多项式逼近法对于研究一些具有随机参数的典型非线性动力系统 的动力学问题的有效性。 第三章中继续采用上章中得到的等价确定性系统，研究了具有有界随机参数 的随机系统的随机混沌现象，数值结果表明，随机b o n h o e f f c r - v a nd e rp o l 系统和确 定性b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统中的混沌行为极为相似。随后采用非反馈的噪声控 制法和时滞反馈控制法对随机b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统的等价确定性系统取不 同随机参数强度的情况均实现了混沌控制。由于随机因素的作用，混沌分析和控 制中均呈现出一些特点。 第四章中，我们对随机d u f f i n g v a n d e r p o l 系统的混沌进行了分析，继而应用 噪声控制法对其控制问题进行了一定的研究。 第五章给出全文总结和进一步的展望。 7 西北工业大学硕士学位论文 第二章 第二章随机b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l 系统的 随机分岔分析 2 1 引言 b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l ( b v p ) 系统是一个简单的二维系统，是一个被激的神经 细胞膜模型，用来描述电刺激在神经细胞膜上的传播 6 2 1 j i = x j 1 x 3 一y + ，( f ) ( 2 1 ) 眵= c ( x - t - a b y ) 其中，x 可以看作膜电压，y 是一个表征神经细胞膜受刺激后的恢复时间的变量， j 9 ) 是外部刺激电流。参数a ，b 和c 分别是膜半径，膜内液体的电阻和温度因素， 它们都是满足下列不等式的正系数 b 1 3 a + 2 b 3 b v p 系统是一个在生物和物理领域令人感兴趣的系统，它存在丰富的确定性非线 性现象 6 3 6 7 。在没有周期激励存在的情况下，即j ( f ) = 0 时，方程组( 2 1 ) 已被 k a w a t o 和s u z u k i ，o k u d a ，t r e u t l e i n 和s c h u l t e n 进行了充分的研究。对于系统( 2 1 ) ， 在周期电流刺激，( f ) = a lc o $ c o t 作用下的情形已被r a j a s e k a r 和l a l 【s h m a i l a l l 【6 3 ， 还有w e iw a n g 迸行了一定的研究【6 4 】。以上所提及的所有研究都是对于确定性 b v p 系统进行的。而本文我们所研究的是具有有界随机参数的s b v p 系统。本节 中我们将运用c h e b y s h e v 正交多项式逼近法对s b v p 系统的随机倍周期分岔和随 机h o p f 分岔进行分析研究。 2 2 随机b v p 系统的c h e b y s h e v 正交多项式逼近 如果在具有随机参数的随机b o n h o e f f e r - v a nd e rp o l ( s b v p ) 系统( 2 1 ) 中， b = 五十嘭是一个随机参数，其中i 是6 的均值，善为服从 1 ，1 】上拱形分布的随机 8 西北工业大学硕士学位论文 第二章 变量，仃是f 的强度，j ( ，) = f c o s ( c a t ) 。则具有有界随机参数的s b v p 系统表示如 下 膏= 工一l x - y + ，( r )( 2 2 ) 【岁= c x + a 一( 6 + 嘭) y 】 随机系统的响应也是随机的，则系统( 2 - 2 ) 的响应应该是时间f 和随机变量善的函数， 即 j x 2 x ，9 ( 2 - 3 ) i y = y ( t ，善) 运用正交多项式逼近，响应( 2 - 3 ) 可表示为如下级数形式 ix ( t ，善) = 置( 伽r ，( 亭) ： ( 2 - 。) i y ( t ，孝) = y ，o ) 只( 善) 其中f 是c h e b y s h e v 多项式的序数，n 表示所取多项式的最高阶数。当n 一时， 兰t ( r ) e ( f ) 和n 只o ) 日，( 善) 分别严格等价于s b v p 系统的响应z ( f ，f ) 和y ( ，f ) 。 本文我们取n = 4 ，则 x ( t ，善) = t ( f ) ，( 善) 1 0 ( 2 5 ) 4 y ( t ，手) = 只( f ) 日，( f ) 是在最小均方残差意义下的近似解。 将( 2 5 ) 式代入( 2 - 2 ) 式得 i 。o ) _ ( 善) = t ( f ) 只( f ) 一争t ( f ) 日，( 硝一y ，o ) 日，( f ) + m ) o 4 。2 0 4 。o 4 ( 2 6 ) 觅( f ) h 。( 孝) = c 【x ( f ) 日，( 善) + a - i 儿( r ) 只( f ) 一a 等y ，( f ) 日，( 掌) 】 由c h e b y s h e v 多项式h ，( 孝) ，我们可以得到 日；( 善) = h o ( 手) 日? ( 手) = h 3 ( 孝) + 2 ，( 善) ( 2 - 7 ) 9 西北工业大学硕士学位论文第二章 由于任意两个c h e b y s h e v 多项式的乘积都可以转化) b c h e b y s h e v 多项式的线性组合， 贝t l ( 2 6 ) 式中第一个方程的三次项( t ( f ) 墨( 孝) ) 3 最终可以表示为 【( f ) h ( 善) 】3 = 置o ) 只( 孝) ( 2 8 ) 运用c h e b y s h e v 多项式的循环递推公式，贝l j ( 2 6 ) 式中第二个方程式的最后一项可以 化简为 嘴壹y l ( f ) 日，( f ) ；i 1 盯壹_ y 心) 【日。( f ) + h 。( 孝) 】：i 1 盯4 【y ，( r ) + y 。( f ) 】日，( 善) ( 2 9 ) 故实际计算中，x 。和正按近似假设取值为零。 将( 2 8 ) 和( 2 9 ) 代a ( 2 - 2 ) 中，得 4 4 11 24 l 量，( f ) 日，( 孝) = 一( f ) ，( 亭) 一；x ，( f ) 珂，( 亭) 一_ y 。( f ) h ，( 掌) + ，( f ) j ，_ 0 t = 0 oi = 0 ，置0 l 杰岁，( f ) ，( 善) = c ( 4 一( f ) 胃，( 善) + 口一石壹j ，o ) h ，( 孝) 一i 1 仃4 【y 一( f ) + m ( f ) 】，g ) 】 ， ( 2 1 0 ) 在( 2 1 0 ) 式等号两边同时乘以日，( 亭) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 再关于孝取期望，f l ：l c h e b y s h e v 多项 式的正交性，最终可得 k 归一j 1 引f ) 蹦叶引叶m ) k ( f ) = c x o ( t ) + a c - d y 以) 一j 1 阳y ) 卜) 一；蜀国确( f ) + 而( f ) k 归吲沪西j ( ，) 一j 1 ( f ) ( f ) 】 j ：( r ) = 一；r ：o ) 一y 2 ( t _ ：( f ) ( 2 一1 1 ) 咖) 啦”c 砂：沪吾c 嘲( f ) + 肿) 】 ”“ f 加) 一；蜀( f ) 碍( f ) 3 ( f ) l l 岁，( f ) = “3 ( f ) 一c b y 3 ( r ) 一寺c 丁d 2 ( f ) + y ( f ) 】 k 沪一j 1 x 。( f ) 一懿o ) + x 4 ( f ) h ) = 啊( r ) _ 西。一三c 盯儿( ，) 这样就得到了与s b v p 系统( 2 2 ) 等价的确定性系统。由于在以上转化过程中我们 曾对方程关于f 取期望，因而得到的等价确定性系统( 2 - 1 1 ) 是一个加权均值系统， 西北工业大学硕士学位论文第二章 所以等价确定性系统( 2 - 1 1 ) 的响应必将呈现原随机系统( 2 2 ) 的一些均值特性。则系 统( 2 1 1 ) 的集合平均响应可表示为 r4 f 研x o ，乒) 】= 一( f ) 研只( 9 】= x o ( f ) - 4 0 ( 2 1 2 ) e y ( t ，孝) 】- y ，( f ) e 暇( f ) 】_ y o ( f ) l t - o 当f = 0 ，即b = b 时，s b v p 系统的等价确定性系统( 2 1 1 ) 的样本响应可以表示为 4 x ( t ，o ) = x ，o ) ，( o ) = x 。( ，) 一工：o ) + x 。o ) 譬( 2 - 1 3 ) y ( t ，o ) = z y ，( r ) h ，( o ) = y 。( t ) - y 2 ( f ) + y 。( r ) s = 0 当f ；0 时，s b v p 系统( 2 2 ) 简化成确定性b v p 系统( 简称d m b v p 系统) r j 膏。x j 1x 3 一y + ，( r ) ( 2 - 1 4 ) l 少= c ( x + a b y ) 对系统( 2 1 1 ) 和系统( 2 1 4 ) 运用龙格- 库塔方法，可以分别得到等价确定性系统的响 应x ，( r ) 和儿( r ) ( i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) ，确定性系统的响应x o ) 和y ( f ) 。继而得到s b v p 系 统的等价确定性系统( 2 1 1 ) 的集合平均响应( 2 1 2 ) 和样本响应( 2 1 3 ) 。我们也可以对 系统( 2 - 1 4 ) 运用蒙特卡洛方法得到原s b v p 系统( 2 - 2 ) 的随机响应，此响应也可以理 解为随机动力系统的一种加权平均响应。 2 3 随机b v p 系统的随机倍周期分岔 2 3 1 随机倍周期分岔分析 本节中，我们将研究具有随机参数的s b v p 系统中，所具有的丰富的倍周期分 岔现象，同时表明c h e b y r s h e v 正交多项式逼近法在研究一些特殊的随机非线性系 统的动力学行为方面是有效可行的。因而，在本小节中，我们将采用如下四种响 应来进行研究：s r 代表s b v p 系统的等价确定性系统( 2 1 1 ) 的样本响应( 2 1 3 ) ，即 x ( f ，o ) 和y ( t ，0 ) ；d r 表示d m b v p 系统( 2 一1 4 ) 的确定性响应，记作m ) 和y ( r ) ；e m r 代表系统( 2 1 1 ) 1 拘集合平均响应( 2 1 2 ) ，即e x ( t ，孝) 】和e y ( t ，善) 】；w a r 代表由蒙特卡 洛方法得到的原s b v p 系统( 2 2 ) 的随机响应，记作x 。o ) 和y w ( f ) 。这样，我们可以 通过观察这些响应的相图和p o i n c a r 6 截面图分析所给系统在不同情况下的倍周期 西北工业人学硕士学位论文 第二章 分岔现象。s r 是定义在f z 0 的情况下的等价确定性系统的样本响应，所以s r 所 表现出的特性应与d r 接近；同时，e m r 和w a r 从某种意义上讲均为加权平均 的响应，所以它们应该表现出相似的特性。进一步，我们可以通过两组响应d r 和 s r ，e m r 和w a r 分别体现出的一致性来证明c h e b y s h e v 正交多项式逼近法的可 行性。 在下面的讨论中，我们选取系统参数如下： a = 0 7 ，石= 0 8 ，c = o i ，= 1 ，1 7 = 0 0 1 系统( 2 1 1 ) 的初始条件定义为如下形式 i x ( o ) = i x o ( o ) ，x l ( o ) ，x 2 ( o ) ，x 3 ( o ) ，x 4 ( o ) 】7 l y ( o ) = 【y o ( o ) ，y l ( o ) ，y 2 ( o ) ，y 3 ( o ) ，y 一( o ) 】1 与此同时，系统( 2 2 ) 和系统( 2 1 4 ) 的初始条件定义为 x ( o ) = x 0 ( o ) ，y ( o ) = y o ( o ) 其中x o ( 0 ) = - 0 1 ，y o ( o ) = 0 1 ，t ( o ) = 弘( o ) = 0 ，i = 1 , 2 ，3 ，4 誊 从而，初始条件即为： 。 o c ，：裂龆蠕船嚣 9 众所周知，在d m b v p 系统( 2 1 4 ) 中存在着大量的倍周期分岔现象。例如，随 着参数_ 厂的增加，系统从周期1 t ( t = 2 n c o ) 到周期2 t ，从周期2 t 到周期4 t 的 倍周期级联，见图2 - 1 ( a ) ；系统从周期8 t 到周期4 t ，从周期4 t 到周期2 t 的逆 倍周期分岔级联，见图2 - 1 ( b ) 。 ( a )( b ) 图2 - 1 以f 为分岔参数的响应d r 的分岔图，( a ) 0 6 0 0 0 厂0 7 0 6 ( b ) 1 2 9 2 0 f 1 3 0 5 0 首先，我们选择参数，为分岔参数，来探讨s b v p 系统的随机倍周期分岔现 1 2 西北工业大学硕士学位论文第二章 象。当分岔参数0 6 9 1 7 f s o 6 9 9 5 时。图2 - 2 和图2 - 3 所示为其数值结果。 图2 - 2 分岔参数，= 0 6 9 1 7 时，( a ) 响应d r 和s r 的相图；( b ) 响应e m r 和w a r 的相图；( c ) p q 种响席的丰 | 图；( d ) 响应d r 和e m r 的p o i n c a r 6 截面图。 当， = o 6 9 1 7 时，存在个与初始条件0 c ) 相对应的周期2 t 响应，其相图和p o i n c a r 6 截面见图2 2 。当厂= o 6 9 9 5 时，周期2 t 响应被一个与初始条件( i c ) 相对应的周 期4 t 响应所取代，其相图和p o i n e a r 6 截面见图2 - 3 。 从这两组图中可以看出，不同的响应所形成的相轨在同一图中很