（概率论与数理统计专业论文）复杂系统δ冲击模型的研究.pdf

兰卅i 大学硕士学位论文 摘要 本文在单个元件d 冲击模型的基础上，分析了n 个乒冲击模型元件组成的复 杂系统首先，运用“将一般复杂系统转化为并联系统的线性组合”的思想给 出了一般复杂系统6 冲击模型的寿命分布函数然后，主要针对几种重要的关 联系统( 串联，并联，k - o u t - o f - n 系统) 的可靠度界，平均寿命的界，渐进性 质，l a p l a c e - s t i e l t j e 交换，寿命分布类性质等作了一系列的讨论，得到了一些有用 的结果 关键词：6 冲击模型：一般复杂系统；关联系统i 串联系统；并联系统；后一o u t - o f - n 系统；n w u ；n b u 兰= 槲大学硕士学位论文 a b s t ra c t i nt h i sp a p e r , w e i n v e s t i g a t ec o m p l e xs y s t e m sc o n s i s t i n go f ni n d e p e n d e n t a n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dc o m p o n e n t s e a c ho f w h i c hi ss u b j e c tt oa6 - s h o e kw ef i r s to b t a i na g e n e r a l l i f e t i m ed i s t r i b u t i o nf o rt h eg e n e r a lc o m p l e xs y s t e ms u b j e c t 幻& s h o c kb ym a k i n g u s eo ft h ei d e ao fr e d u c t i o no fas y s t e mt oa l i n e a rc o m b i n a t i o n o fp a r a l l e ls y s t e m w et h e nm a i n l yc o n s i d e rt h ec o h e r e n ts y s t e ms u c ha ss e r i e ss y s t e m , p a r a l l e ls y s t e m k o u t - o f - ns y s t e m , a n dd e r i v es o m eu s e f u lr e s u l t si n c l u d i n gr e l i a b i l i t yb o u n d s , b o u n d so f m e a n l i f e t i m e , l i m i t i n gd i s t r i b u t i o n , l a p l a c e s t i e l t j e st r a n s f o r m k e y w o r d s ：& - s h o c k m o d e l ；g e n e r a lc o m p l e xs y s t e m ；s e r i e ss y s t e m ；p a r a l l e ls y s t e m ； k - o u t - o f - r ls y s t e m ；n w u ；n b u 原创性声明 ￥ 7 3 1 8 1 0 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立迸行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 主姜乒 日期：2 垂莶二芏l 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校 保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查 阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人 离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第 一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：酗导师签名：论文作者签名：季：2 兰；墼乡导师签名： 日期：龟尘盟 兰州大学硕士学位论文 第1 章引言 冲击模型( s h o c k m o d e l s ) 是可靠性数学理论中的重要内容之- - 2 ，用以刻 画在随机变化环境下工作的系统的失效、维修等寿命现象冲击模型主要 研究在外界和内在随机因素影响下系统的可靠性，例如，放置于动力车间 的精密仪器会受到设备的运转所产生的随机冲击( 这种冲击可视为外界 冲击) ，另外，仪器也受到自身老化的冲击( 可视为内在冲击) 冲击模 型被广泛应用在物理、通讯、交通、医学、保险、金融、管理等领域早 在1 9 7 5 年，b a r l o w 和p m s c h a n 就在他们的专著中较详细的阐述了遭受随机冲 击的模型的许多基本性质；在大多数情形，冲击模型可用一个二维随机向 量序列 ( 厶，点k ) 函来描述，其中表示第n 次冲击的强度或冲击量，用以 表征第n 次冲击对系统的影响效应，蜀。表示相邻两次冲击之间的时间间隔 ( ) ，t 0 ) 是由间隔序列f 占k ) 黑。生成的计数过程，称为冲击模型的基础过 程，冲击模型研究的中心问题是系统失效时r 司( s y s t e m f a i l u r et i m e ) 或系统寿 命( s y s t e ml i f e t i m e ) 传统的冲击模型主要考虑两类基本情形： ( i ) 逐次冲击的强度累积值落入某参数区域导致系统失效； ( i i ) 单个冲击的强度落入某参数区域导致系统失效； 后来，m a u o r 乖l o m e y 9 又定义了一类新的情形： ( i i i ) 相继七次冲击的强度均落入某参数区域导致系统失效 以上三类情形对应的模型分别称为累积模型( c u m u l a t i v es h o c k r o o d - e l s ) ，极端值模型( e x t r e m es h o c km o d e l s ) ，连续模型( r u ns h d c km o d e l s ) 实际 上( i i ) 是( i i i ) 中k = 1 的特殊情形1 9 8 3 ，1 9 8 4 年s h 距i b j h l m a r 和s 啪i t a 在他们的 文献中对k = 1 情形作了大量的研究和讨论，得到了许多有价值的结果此 外，m a l l o r 和s t a l 伽s 进一步将模型按a 。与上k 是否独立( 对固定的m 进行分类 在如与岛相依的情形，由于a 表示第礼次冲击的强度，于是当玩分别表示 第n 一1 次与第竹次之间的间隔或第n 次与第n + 1 次冲击的间隔时，模型就具有 兰州大学硕士学位论文 了明显的区别相应的情形被分别定义为模型( i ) 和模型( i i ) 在模型( i i ) 中，首 次冲击被假定于t = o n 发生；而对模型( i ) ，总假定a o = b o = 0 ，且任一冲击 不会影响将来事件的发生各类模型中最简单的情形，均基于a 。独立于鼠， 且蜀为独立同分布的指数随机变量序列，此时模型被称为p o s s i o n 冲击模型， 参见e s a r y 等 1 1 】，g a v e r 1 2 】和r o s s 1 3 考虑这样一种特殊的情形：当相邻两次冲击的时间间隔属于与事先给定 的某个量6 有关的失效域时，系统失效具体地，设( 矗 甚。为一非负随机变量 序列，其中表示第n 一1 次与第n 次冲击之间地间隔， ( t ) ；t o 为相应的 计数过程，c ( d 是失效域，则 t 讣甘 侧n a ；五g ( 占) ，i ( t ) ) 我们称如上定义的模型为6 冲击模型( 6 s h o c km o d e l ) 以下考虑d 。冲击模型的一种特殊情形，即基于齐次p o i s s o n 过程的模 型，最早是由李( 1 9 8 4 ) 3 9 】在研究交通流问题时提出元件受到冲击强度 为舶q p o i s s o n 流的冲击，五，m = 0 ，1 ，2 ) 是第n 一1 次与第n 次冲击的时间 间隔若五。6 ，在第n 次冲击到达时元件恢复正常，不会引起失效；若墨。 6 ， 元件将失效李等( 1 9 9 9 ) 1 根据第一次冲击失效或不失效，提出模型( i ) 和模 型0 i ) 模型( d 中，假定t = o 时刻系统启动，相当于一个冲击发生，或取一个冲 击发生时刻开始计时，因此墨 t ) 为系统在年龄t 的剩余寿命 o x ，y 为非负随机变量。若对任意t o j g p ( x t ) p ( y t ) ，则 称x 随机地小于y ，记作x 时y ；若对任意的t o 有p t ) p ( y t ) ， 则称x 随机地大于y ，记作x 。ty 2 ) 对任意的t 0 ，若寿命x 满足五鲥x ，则称x 属于新比旧好( n e w b e t t e r t h a nu s e d ) 的分布类，记作x n b u ；若寿命x 满足蕊戚x ，则称x 属于新 比旧差( n e w w o r s e ：t h a nu s e d ) 的分布类，记作x n w u 3 ) 若e x = 弘 七l + ， l 0 ， m 佗o r 忌 n | | 巍三 卜 咖，m ) ： 哪 1 0 ， 【1 ， 若住 2 k ，则： 7 m = k t i t , = 七+ 1 k + 1 7 , n 一1 m = n 兰州大学硕士学位论文 f9 ( 竹一1 ，m ) + 1 ， m = k 9 ( n ，m ) = 9 ( n 1 ，m ) 一1 ， m = 奄+ 1 ig ( n 一1 ，m ) 一g ( 扎一k 一1 ，m k ) + 9 ( n 一七一1 ，m k 一1 ) ，k + 1 t ) ，因此有 应( t ) f 露以= 弘e 蟊( u ) 乱芦一谊( t ) 即露0 ) 篇下面证此上晃是紧的 构造可靠度函数： 酢= 莓( 寿) ) 其中， r 一l ，卫( ( n - 1 ) t ，佗司 h l o ，z ( - 1 ) t ，删 那么，对应的寿命珞均值为： 9 兰型奎堂堡圭堂壁笙壅 加= z 营煮脚，如 = 霎e 燕，”如 2 “ 另一万回，对任惑s 0 ，嚣0 ， 陧设z ( ( 一1 ) ，硐，s ( ( m 一1 ) t ，僻球则 有，z + s ( ( 惫+ m 2 ) t ，( 惫+ m ) t 】，1 k 0 0 ，1 m o o 若。+ s ( ( 七+ m 一2 ) t ，( 忌4 - m 一1 ) 司，则 酢删= ( 寿) 一； ； 铷+ s ( ( 后4 - m 1 ) t ，( 后+ 竹1 ) t j ，贝u 稚俐= ( 寿) 州 因此，对任意的s 0 ，茁0 ，都有 豆潮) 佧栅划z 晰) - 也就是说。日n w u 因此，我们构造的可靠性函数日与元件的寿命分布耳均值相同且都属 于n w u 类又曰( 茁；t ) i e 一2 寿，达到此上界，这就证明t m ( t ，p ) = 燕 是露的紧的上界 ( b ) 反证法 令o t 假设1 一专不是彭( 刁的下晃，即存在一个是n b u 的，均值 为，满足蜀( t ) 1 一由于硝是n b u 的，故对z ( 疵，( 仡+ 1 ) 葫有 商( z ) ) ( 或( t ) ) n ( 1 一专) n ，n ：o ，1 ，2 因此，露( t ) 的均值满足如下不等式： = z ”础肌喜一挣t 譬“ 1 0 兰州大学硕士学位论文 矛盾故卜专是露( t ) 的下界 构造可靠度函数； o o g 缸t ) = ( 卜专) ”北) ，o t p n = o 。 对应的寿命均值为： 尸 2 上 = ( n = o 2 “ 容易验证g 是u 的，且g ( t + ) = 1 一专 故1 一专( o 0 ，q 0 j 0 再由引理3 2 得到 靠0 ) = b ( k ( t ) ；a ，b ) b ( 彘；a ，6 ) 的情形类似( a ) 可证 定理证毕口 注：在定理3 3 中，若我们把串联和并联分别看作1 一o u t - o f - n 系统和礼o u t o b n 系统，将七= 1 和七= n 分别代入启( 彘；n 一后+ l ，惫) 或b ( 1 一t ；n k + 1 ，k ) e e ，同样可以得到定理中关予串联和并联的结果 吁点 兰娟大学硕士学位论文 第4 章串联，并联及后- o u t o f - n 系统c 一冲击模型平均 寿命的界 对于串，并联系统，我们将利用单个元件寿命分布的n 、，( n b u ) 性推 导出它们的平均寿命的界首先，给出两个有用的引理， 引理4 1 假设f ig 是两个概率分布函数，x l f ( o ) = a ( o ) = 0 ，p ，g 分别表示 相应的生存函数对所有的t 0 ， ( a ) 若f 2 f i ( x ) d x j 晓 ) 如，则 1 一i i 蜀( z ) 如! 1 一q ( 嚣) 如 j i 一1 ， i 一1 ( ”若霆如) 如t g - 如，则 z 婴司甸趁上缈扛h 缸 此引理的证明见b a f l o wa n d p r o c h a n 3 ( 1 9 8 t ，p 1 2 1 ) 引理4 2 假设毋是n b i i e o 啊九】e ) 的，其均值为胁，i = 1 ，2 ，n ，那么对t 0 ， 我们有如下的结果： ( a ) f 1 一h ：1 最( 。) ) 如( ) 铲 l n 墨1 ( 1 一e x p ( 一毒) ) ) d 。 o ) f ；1l - i , ：，晟( $ ) d 茹( ) ( 墨。击) 1 ( 1 一e x p ( 一t 墨l 击) ) 证明我们只尉t n b u e 的情形进行证明，将下面所有的不等号反向就可得 n n w u e i i 形的证明 ( a ) 鼠n b u e = 亭只h n b u e 令& ( z ) = ( 3 - - 盍，z 0 e 扫i - i n b u e 的定义知， 厂喇如他e 噎：厂。o t ( x ) d z ，霞( z ) 如他e 一击= ， 再利用引理4 1 中的( a ) 可得， 厂。0 i - f i 羁( z ) 如厂0 。f l ( z ) ) 如：f 。0 1 一矗( 1 一。一云) ) 如 i 羁( z ) 如z ( z ) ) 如2 z 1 一翼( 1 一e 一云) ) 如= 1 i - i = 1 兰州大学硕士学位论文 ( b ) p t = ”扇( 茹) d 茁= j fg i ( x ) d = 由( a ) 知，m f d f i ( z ) d x m j ：o t ( ) d ， 因此，菇霭( 。) 如& ( 茁) 如 再利用引理4 1 ( b ) 即可得到证明 引理证毕 口 下面，我们给出串联和并联系统品冲击模型平均寿命的界 定理4 3 ( a ) 在模型( d 假定下，串联系统的平均寿命e 巩去2 而再兰：邓；并 联系统的平均寿命e ( 警1 ) 卢= ( ：1 ) 丽三邓 嘞在模型( i d 假定下，串联系统在区间【0 ，】的平均寿命磁告( 1 一 e 印( 一n ) ) 证明( a ) 由引言中列出的关于 1 】的结果知道，单个元件寿命t 的分 布k ( ) 是n w u 的，则必为n w u e 的 对于串联系统，用引理4 2 中的结果( b ) ， 观= j ( 露( 茹) p d x 差2 丽翮1 对于并联系统，用引理4 2 中的结果( a ) ， e 耳= i o ( i 一暇( z ) p ) d x f o 。( i 一( 1 一e 一；) ”) 出 = 芦詹普d s ( 这里作代换s = 1 一e - ；) = pj ；( 1 + s + 十s ”1 ) 如 = ( 釜。 ) t ( b ) 由引理4 2 ( b ) 立即得到结果 引理证毕 口 对于k - o u t - o f - n 系统，我们有如下结果 1 4 兰州大学颁士学位论文 定理4 4 ( a ) 在模型( d 假定下，k - o u t - o f - n 系统的平均寿命e 陬。 有一个下 界 一抖- ，一个上界面雨南 在模型( ) 假定下，惫一叫t _ o f n 系统在区间【0 ，】的平均寿命e 【，。1 有 个下界熹p 。 证哽( a ) 在上一章中，我们已经得到七o u t o 婶系统的寿命死，。具有生存函数 矾( t ) = b ( 霞( t ) ；n 一七十1 ，七) l 2 丽再i 辅丽 厂蜊”扩。( 1 - x ) 如 d o = i 姜+ 。g ) 胪 ( 这里，b ( t ；血，6 ) 表示参数为a ，6 ( o ) 的b e t a 分布函数，口( p ，q ) = 詹妒一1 ( 1 一 茁) 9 d x ，p 0 ，q 0 为b e 协函数) 对于单个元件的生存函数露 ) ，我们有， 詹( 曲= p ( t t ) = p ( t t ，( t ) = 凫) 这里，( t ) 表示到时刻t 为止发生的冲击次数 因此， 从而， 厩0 ) e 陬n 】= 1 k + 1 ，k ) ，一 厂。一mi 茁”( 1 一。) k - - 1 d x 0 ) ( 1 一e 一1 ) “一 z 0 。础) 出 t 曼。( 弘1 气1 - e - p 2 r 岛 f f ，p 。胤 + 沁 一 一 e e = 一 吁点 一兰型奎堂堡主耋壁堡塞 2 ；圭。( ? ) f c e 一c 1 - - e - t r 出 一；：n 壹- - k + ，g ) 掣 = 妻i - - - n 妻- k + 。丢 倒数第二个等号通过分部积分可以得到 下面，再来看上界的情形 在上一章，我们得到七。o u t - o f - n 黼一个可靠度上界b ( 景；n k + l ，七) ， 其中b ( 亡n ，6 ) 表示参数为n ，b ( ao ) 的b e t a 分布函数因此， c o ) e 陬崩 ，( 。b ( 燕”出 z ”；：喜。( ? ) c 赤) i ( 志广 2 p 墨。一女+ ，( 竹) 片一2 ( 1 一。) “一d x ( 作变换$ = 燕) 一；n 壹- k + ，臀 2 掣；：三。志 k 2 i i p 是 2 ( n - k ) a ( 1 - e 6 ) e 。 z ”即专；n - k + l , k ) 毗 = z “薹。( 护瓣r 疵 1 6 兰州大学硕士学位论文 定理证毕 = 羔。一。+ ，( 詹x ( 1 - 茁) ”如( 作变换z = 1 一) “熹。( ：) 黼 七 ， 2 i 万肛 口 注：串联系统可看作是1 - o u t - o f - n 系统由定理4 4 ( a ) 可以得到模型( d 串联 系统平均寿命的一个下界击，一个上界而雨妥扛= 研然而，此上界显然不如 在定理4 3 ( a ) 得到的上界赢南好同样，由定理4 4 ( b ) 可得到模型( i i ) 串联 系统平均寿命的一个下界矗，经验证知，此下界不如在定理4 3 ( b ) 得到的下 界告( 1 一e 印( n ) ) 好 兰州大学硕士学位论文 第5 章单元件与佗个元件系统6 一冲击模型寿命的渐进 性质 首先，我们来讨论单个元件6 - 冲击模型寿命分布的拉酱拉斯变换以及利 用拉普拉斯变换导出当躏于。时，t i e i t 及? 7 目j 的极限分布 若f 是分布函数j t f ( o ) = 0 ，定义 幻( s ) = 铲e - “d f ( x ) ，岛( s ) = 铲e 1 。f ( x ) d x 容易看至i l f ( s ) = l s l 夤( s ) ， 在得到我们的结果以前，需要用到下面的引理 引理5 1 ( a ) 在模型( d 假定下，k ( o 是绝对连续的，其密度函数为， ，0 ) = a 露( t ) 一a e 一1 6 露o 一6 ) j ( 亡6 ) 这里，i ( t 6 ) 是示性函数 ( b ) 在模型( i i ) 假定下，( t ) 是绝对连续的，其密度函数为， ，= 博黻：篡6 证明( a ) 由于， 霞。) ：1 一k o ) ：e 一射e 峙1 学，t 。 容易看出在区间( 们，+ 1 ) 6 ) 上，霞( t ) 是连续的坼= 0 ，1 ) ， 那么，在t = 谢m = l ，2 ，) 上， 胁_ ：e - h a 6 萎掣，剀 r ( n 5 ) = 露( 礼辞) ：e 棚a 妻学 兰州大学硕士学位论文 ：e n x $ 萎学，t 0 ：e f 业二= 竽芝， f k = o 因而，r ( n 5 一) = k ( n 5 ) = k ( n 6 + ) ，礼= 1 ，2 ，- 一 这就证明了露( t ) 在整个定义域上是连续的，故而也是绝对连续的设密 度函数为，( f ) ，对t 【m s , ( m + 1 ) 6 ) ，m = 1 ，2 ， ，( t ) = ( 露( t ) ) 7 = _ ( e 哦妻盟产) 7 一枷薹唑掣哦州e 州“薹掣 = z r ( t ) 一a e m r ( t j ) 另外，当t f 0 ，剀时，k ( t ) = e m ，厂( 亡) = a e 。 t 【0 ，巧) 时，f ( t ) = e - a t ( 1 + 沁) ，因此， ，7 ( = 一( 彰( t ) ) = a 2 t e m = a 霞7 ( ) a e 一她 t 6 时，证法类似( a ) 这就得到了引理的全部结果 引理证毕 定理5 2 ( a ) ? 的分布( 舒拉普拉斯变换： l t ( s ) = l i 五= 南 当6 0 时，t e t 的极限分布是参数为1 的指数分布 ( b ) ，的分布k ( ) 有拉普拉斯变换： 洲：訾喾半 当6 0 时，t e t 1 的极限分布是参数为l 的指数分布 口 兰州大学硕士学位论文 i e 明( a ) 由扩的定义知道， ，o o 睇( s ) = e - * 。r ( x ) d x j 0 ：一1 一一1 ，”e s z ，( z ) d x = 一z 。e s 。( 露( 。) 一a e 一 5 蟊( z d ) ，( z 6 ) ) d 。 = ；一- 。1 a l ( s ) + 害e - a 5 z o o e 一诉卅堆猢如 另一方面， z 。e 一”霞( z 一6 ) j r ( z 6 ) 出 = 。e - s = k ( z 一扪如 = e - - s 6 j ( 。e 一诉) 如 = e 一3 吃 ( s ) 整理上面的两个等式，就可以得到， 玷( s ) 2 再丁恚丽 因此，l r ( s ) = 1 8 埠( s ) = 1 一甭鬲知 当d 一0 时， 工r ( s e ( t ) ) = 一天虱丁二i = = 晤产警妻三亏舌 一1 一r 丙 1 2 雨 南是参数为1 的指数分布的拉普拉斯变换，再根据分布函数与拉普拉斯 变换的一一对应性知， 当d 一0 时，引e t t 的极限分布是参数为1 的指数分布 ( b ) 耳( s ) 2 o e 一”露( ) 如 兰州大学硕士学位沦文 = ；一( z o o e 一8 ，( 茁) d 茁) = ；一；( z 6e 一“( a j r ( 茁) _ a e - , x x ) d 露+ ，。e 一”( a j r ( z ) _ a e - m 露( 。一占) ) d z = ；一- 1 s a ( l ；, ( s ) + 杰( e 呻删- 1 ) + e 嘶砷6 辱( s ) ) 整理上式可得： 洲= 铡黼 因此， 当6 0 时， 定理证毕 洲= 1 - s l 孔，= 譬拦= 半 幻( s e ( 一) ) 一熹 口 注： 1 】中用将t 分解的办法给出了t 曰i t l 的极限分布，我们这里给出了 另外一种方法，也给出了t 的拉普拉斯变换的具体表达式 定理5 3 ( a ) 在模型( d 假定下，当6 一o 时， 串联系统的分布函数( t ) 一1 一e - - 茸田，t 0 ； 并联系统的分布函数嚣j ( t ) 一( 1 一e 一面i 玎) ”，t 0 ； k - o u t - o f - n 系统的分布函数 靠( ) 一1 一b ( e 一市，7 , 一k 十1 ，七) ，t 0 在模型o r ) 假定下，当6 0 时， 串联系统的分布函数砭( t ) 一1 一es 【t i 】，t 0 ； 并联系统的分布函数或( t ) 一( 1 一e 。一1 ) ”，t 0 ； 南一d u t _ o f 系统的分布函数磁0 ) 一1 一b ( ee 酽1 ，n 一膏+ l ，七) ，t 0 证明只对( a ) 的情形进行证明， 的情形类似可证。 j 矗( t ) = 1 一j 矗0 ) = 1 一p ( 正 t ) 2 1 兰州大学硕士学位论文 = 1 一( p ( t t ) ) “ = 1 _ ( p ( 南 莉t ) ) n 一1 一e 一赫一o ) 三k ( t ) = p ( 耳t ) = ( p ( t ) ” = ( p ( 莉t 莉t ) ) n 一( 1 一e - 嘲) ” 一o ) ( t ) = 1 一。( t ) = 1 一日( 露( t ) i 竹一k + 1 ，k ) 。1 一萌矿妄了丽z 8 一南x n - k ( 1 一z 严一z 出 + 。) = 1 一b ( e 一南，他一j c + l ，七) 定理证毕 口 下一步，我们将讨论6 。冲击模型串，并联和惫o u t - o f - n 系统的极限寿命分 布，也就是当系统元件的个数凡趋于无穷大时，讨论系统的极限分布 在阐述我们的结果之前，需要用到下面的几个定义和引理，它们 在b a r l o w 和p r o s c h a n 3 ( 1 9 8 i ) 的书中可以找到 定义5 4 分布函数g 和日是同种类型的当且仅当存在常数a o ，b 满足 对所有的峦，g ( a x + b ) = 日( z ) 定义5 5 对于分布函数f 和g ，若存在常数a 。 0 ，风满足f ”( 茁+ 风) b 0 扛) ( r 马骧示l i m 一。咒( 茁) = f 扛) ) ，则称分布f 属于分布g 的最小吸 引域( m i n m u m d o m a i n o f a t t r a c f i o n ) 类似的，若存在常数o t 。 0 ，风满足p ( a 。z + 风) g ( z ) ，则称分 布f 属于分布g 的最大吸引域( m a x i 越吼d o m a i no f a t t r a c t i o n ) 兰州大学硕士学位论文 引理5 6 假设靠= r a i n ( t 1 ，已) ，噩，已是任意一个分布的随机样本， 那么，厶的可能的极限分布类型只有 班，w 2 ，a 三种 m ( $ ) = 1 e 一。，z 0 ，。 0 w ，2 ( z ) = l e - ( 一曲一。，。0 ，o 0 h ( z ) = 1 e 一。， 一o 。 0 a + ( z ) = e 一8 2 ， 一0 0 z 0 的最小吸引域当且仅当 ( a ) 存在z o 使得f ( x o ) = 0 ，且对所有的 0 ，f ( x o + s ) 0 ( b ) l i m t x o f ( x t + z o ) f ( 亡+ x o ) 】= 茁o ， 茹0 ，口 0 由以上结果，我们得到如下的定理 定理5 1 0 ( 1 ) 在模型假定下， ( a ) 彤 ) 属于韦布分布m 0 ) 的最小吸引域也即是说，模型中的串联系 统的寿命瓦有极限分布肌( z ) = 1 一e 一，茹0 兰州大学硕士学位论文 ( b ) 耳( $ ) 属于l 盼( z ) 或”( 茁) 的最大吸引域也即是说，模型中的并联系统 的寿命弓可能的极限分布只有i 咙或” ( c ) 模型中的七o u t - o f - n 系统可能的极限分布只有毋或& ( 2 ) 在模型( ) 假定下， ( a ) k ( 。) 属于韦布分布w i ( 茹) 的最小吸引域也即是说，模型中的串联系 统的寿命有极限分布w i ( ) = 1 一e 一， z 0 ( b ) ( z ) 属于i 磁 ) 或”扛) 的最大吸引域也即是说，模型中的并联系 统的寿命可能的极限分布只有w ；或 ( c ) 模型 酗k - o u t - o f - n 系统可能的极限分布只有岛或岛 证明( 1 ) k ( o ) = l 一露( o ) = 0 ，且对任意的 0 ，k ( e ) 0 船鬻= 珊帮 = 船掣黯等蒜写器掣 = 船鬻 荐由引理5 9 知，他一0 0 时，e 的极限分布为1 一e ， 卫0 由于寿命长度只艨为正，因此引理5 7 中的w 和引理5 8 中的岛在这里没 有实际意义，故得到定理中的 和( c ) ( 2 ) ( 0 ) = 0 ，且对任意的s o ，0 ) 0 船帮= 船帮 = 船等k 耢a e n oa ( t ) 一 一“ 其它情形类似( 1 ) 可证 口 兰州大学硕士学位论文 第6 章串联，并联及七一o u t - o f - 扎系统占一冲击模型的寿 命分布类性质 我们已经知道，n b u 性对关联系统是封闭的，而n w u 性对于一般的关联 系统是不封闭的但是对于串联系统，m 1r 性是否封闭呢? 我们有下面的性 质 性质6 1n w u 性对于串联系统是封闭的 证明设x 1 ，墨是串联系统中扎个独立同分布的元件的寿命，x f ， 且五n w - 0 0 = 1 ，设墨为串联系统的寿命，墨一g 因为五n 狮t ( i = 1 ，九) ，所以对任意的茁0 ，t o 有 因而， p ( 蕊 茹+ t1 x ； 。) p ( 蔑 母， 1 is 札 啦 州l 跏z ) = 错 p ( 五 茹+ 亡，- 一，x n s + t ) p ( x 1 茁，矗 z ) ，p 隅 z + t ) 、” 2 l 1 霭两， = ( p ( 五 g + ti 恐 。) ) ” ( p ( 五 幻) “ = p ( 墨 t ) 因此，墨u 性质证毕 由性质6 1 立即可以得到下面的结果， 推论6 2 ( a ) 在模型( d 假定下，串联系统的寿命瓦是属于n w u 的 c o ) 在模型( ) 假定下，串联系统的寿命及并联系统的寿命巧都是 兰州大学硕士学位论文 属于n b u 的 在我们的k o u t - o f - , n 系统中，设丑1 ) ，噩。1 为孔，一，霸的顺序统计 量，则系统的寿命。可以用第七顺序统计量卫女) 来刻画给定第一1 ) 个顺 序统计量丑k n = t ，t 0 ，k o u t - o f - n 系统的剩余寿命为， 兄工鼠，n ，= ( 噩匐一丑k 1 ) l 殁扣1 ) = 谚 用三瓯表示第一1 ) 个元件失效后剩下的佗一后十1 个元件组成的串联系统的 寿命，贝f j l s k = 研n 那么，我们有下面的性质， 性质6 3 t w 3 u ( n w - u ) = l 鼠耵( 。t ) r l s k 川 l a n g b e r g 等在文献【4 给出了这个性质的证明这个性质说明，在 我们的k o u t - o f - n 系统模型( d ( 模型( i i ) ) 中，n 个元件寿命的第k 个顺序统 计量矸 ) 随机小于等于( 大于等于) 在给定元件寿命第 一1 ) 个顺序统计 量丑女一1 ) = t 的条件下，系统的剩余寿命丑) 一丑一1 ) 兰型查堂堡圭兰堡笙塞 参考文献 1 】李泽慧。黄宝胜，王冠军( 1 9 9 9 ) 种冲击源下冲击模型的寿命分布及其统计性质兰州 大学学报3 5 ( 4 ) ，i - 7 【2 1 程侃( 1 9 9 9 ) 寿命分布类与可靠性数学理论，科学出版杜。 3 】i k l a wr e a n dp r o d m nf ( 1 9 8 1 ) s t a t i s t i c a lt h e o r yo fr e l i a b i l i t ya n dl i f et e s t i n g s i l v e r s p r i n g m a r y l a n d 【4 】l a n b “gn a l e o nr v p r o s c h a ne ( 1 9 8 0 ) c h a r a c t e r i z a t i o n so f n o p p a m m e t r i ec l a s s e so f l i f e d i s t r i b u t i o n t h e a n n a l s o f p r o b a b i l i t y8 ，1 1 6 3 - 1 1 7 0 【s 】s k o u l a k i s g ( 2 0 0 0 ) a g e n e r a l s h o c k m o d e l f o r a r e l i a b i l i t y s y s t e m j a p p l p r o b 3 7 ，9 2 5 - 9 3 5 6 】c h r y s s a l u h i n o u0 a n d p a p a s t a r r i d i ss ，( 1 9 9 0 ) r e f i a b i l i t ye r a c o n s c c l i v e - k - - o u t - o f - ns y s t e mi na r a n d o m e n v i r o n m e n t j a p p l p r o b 2 7 ，4 5 2 - 4 5 8 7 】p e t e k o sk a n dt s a p e l s sz ( 1 9 9 7 ) r e l i a h f i t ya n a l y s i sf o rs y s t e m si nar a n d o me n v k o m e n t ，j a p p l p r o b 3 4 , 1 0 2 1 - 1 0 3 1 【8 】s h a k e dm a n ds h a n t h i k u m a rj g ( 1 9 9 4 ) s t o c h a t i co r d e r sa n dt h e i ra p p l i c a f i o s a nd i e g o c 缸a c m e m e cp i e s s 【9 】m a l l e t e a n d o m e y e ( 2 0 0 1 ) s h o c k s ，r u n s a n d r a n d o m s u l n s j o u r a n l o f a p p l i e d p r o b a b i l i t y 3 8 ， 4 3 84 4 8 【1 0 】m a l l o r ea n ds a n t o s j ( 2 0 0 3 ) c l a s s i f i c a t i o no f s h o c k m o d e l si ns y s t e mr e l i a b i l i t y m o n o g r a f i a s d e ls e m i n 。m a t e m g a r c i ad eg a l d e a n o2 7 ，4 0 5 - 4 1 2 【1 1 】e s a r yj ，m a r s h a l la a n dp r o s c h a ne ( 1 9 7 3 ) s h o c km o d e l se n d w e a rp r o c e s s t h ea n n a l so f p r o b a b i l i t yi ( 1 7 ) ，6 2 7 - 6 4 9 【1 2 】 【1 3 】 【1 4 】 1 5 】 g a b e r d p ( 1 9 6 3 ) r a n d o m h a z a r d i n r e l l a b i t i t y p r o b l e m s ，t e c h n o m e t d c s5 ，2 1 1 - 2 6 6 r o s ss m ( 1 9 8 1 ) g e n e r a l i z e dp o i s s o ns h o c km o d e l s t h ea n n a l so f p r o b a b i l i t y9 ，8 9 6 - 8 9 8 g u t a | ( 2 0 0 1 ) m i x e ds h o c k m o d e l s b e r n o u l l i7 ，5 4 1 5 5 5 a - h a m e e dm s a n dp r o s c h a nf ( 1 9 7 3 ) n o n s t a t i o n a r ys h o c km o d e l s s t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n d t h e i ra p p l i c a t i o n st ( 1 0 ) ，3 8 3 - 4 0 4 【1 6 】k l e f s j 6 b ( 1 9 8 1 ) s u r v i v a l u n d e r t h e p u r e b i r t hs h o c k m o d e l j o u r n a l o f a p p l i e d p r o b a b i l i t y1 8 ， 5 5 4 5 6 0 【1 7 k l e f s j 6 b ( 1 9 8 1 ) h n b u e m r v i v a l u n d e r s o m e s h o c k m o d e l s s c