（概率论与数理统计专业论文）复次高斯变量的性质.pdf

摘要 该文以实次g a u s s 变量为基础，研究了复次高斯变量的性质在第一章。 介绍了一些相关知识第二章主要研究了复随机变量的次高斯性。碍到复随机 变量是次高斯的充分必要条件是域= 0 且e ( 蚓加) = o ( k “n ! ) ，并进一步讨 论了某些随机三角级数的性质最后，以b a n a c h 空间为背景。讨论了随机元 的次高斯性 关键词t 复次高斯变量；复次正态变量；随机三角级数 a b s t r a c t t h ep r o p e r t i e so fc o m p l e xs u b g a u s s i a nr a n d o mv a r i a b l e 珊m a i n l ys t u d i e di n t h i s t h e s i s i nt h ef i r s tp a r t ，i n t r o d u c es o m er e l a t i v ek n o w n l e d g e i nt h es e c o n dp a r t ， m a j n l ys t u d yt h ec o m p l e xs u b g a u s s i a nr a n d o mv a r i a b l e ，as i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n t h a ta c o m p l e xr a n d o mv a r i a b l efi sas u b g a u s s i a nv a r i a b l ew h e na n do n l yw h e n 联= 0a n d s a t i s f i e se ( 撼i 孙) = o ( k “n ! ) i so b t a i n e d a n dt h e nt h ep r o p e r t i e so f i o m er a n d o mt r i g o n o m e t r i cs e r i e sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y , d i s c u s s8 0 m ep r o p e r t i e so fa r a n d o mv a r i a b l eo nb a d 【目0 i 埘【do fb a n a c hs p a c e k e yw o r d s ：c o m p l e xs u b g a u s s i a nv a r i a b l e ；c o m p l e xs u b n o r m a lv a r i a b l e ；r a n d o r n t r i a n g l es e r i e s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名： 日期：t “) 年 舍钔 r 月垆日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的 印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、数 字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学 位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：机日期：1 1 年f 月弘日 指导教师签名： 、。最虞日期：。7 年乡月彬日 一序言 一序言 著名数学家高斯在1 8 0 9 年发表了关于正态分布的著作，从而得名了高斯 分布后来，它被公认为正态分布的同义诃，正态分布在概率中起着举足重轻 的作用。在各种分布中，它居于首要地位我们实际中常遇到一些变量，它们 近似于正态分布在数学中。我们可以这样来定义，我们考虑满足 e ( e x e - ) = e ”t ( 一 a ) ， 矗为独立实随机变量序列。则靠称为高斯正态变量序列因为有这个前提， 我们不禁会产生这样的疑问，若e ( e m - ) se 等时。满足这个条件的靠又是什 么变量呢? 我们又能得到什么结论呢? 这就是本文要讨论的重要随机变量 即我们把满足e ( e ) e 等的独立随机变量序列厶称为次正态序列为了很 好地研究它的性质，我们先从他的一般形式次高斯情形出发，即满足 e ( e m - 1 e 竿 ( 其中r 为常数) 的独立随机变量序列矗称为次高斯变量序列本文对复 次高斯变量的某些重要性质作了详细讨论第二章给出了相关的知识介绍， 第三章以实次高斯变量为基础，研究了复次高斯变量的性质，得到了结论。 复随机变量是次高斯的充分必要条件是e ( i f i 翻) = o ( k ”n t ) 接着，对形如 p ( t ) = 靠 ( t ) ，( 厶( t ) 为次数不超过n 的实或复的三角多项式) 的随机多项 式的一些重要性质进行了讨论最后在b a n a c h 空间进一步探讨了随机变量的次 高斯性在k p k a h a n e 的函数项随机级数一书中，给出了随机三角级数 x e o s ( n t + 如) ( 1 ) n - - o 其中e 是独立对称的复随机变量( j 和是实的) ，及其特别情形 z 。e o s ( n t + 如) ( 2 ) 其中和奴是给定的实数。e 。是r a d e m a e h e r 序列 r n e o s ( n t + 2 口) ( 3 ) n = 0 湖北大学硕士学位论文 其中是给定的h 0 ) ，t g n 是s t e i n h a u s 序列 的一系列性质，如收敛性，有界性，连续性和( 1 ) ec 的一个充分条件及连 续模的估计等 本文讨论了在次高斯情形下，随机三角多项式的性质 2 二相关知识简介 二相关知识简介 2 1 相似 假定对给定的概率空问( n ，p ) ，q 和一个集合e ，e 的随机元素或随机对 象是从n 到e 的映射x 这时对每一t o n ，都有x ( u ) e 这时用简写形式 体b 代替x - 1 ( b ) 或和：x ( ，) b ，并且称为事件”x 属于b ”当在 x b 上定义关系冗( x ) 时，我们用僻伍) 代替 x b ，并称事件”x 满 足兄( x ) ”如果这个事件是几乎必然的，我们称”x 几乎盛然满足冗俩r ，并且 记为。冗) a s 若取由所有使得x - 1 ( 口) 的子集b 构成，对每一个b 日x ，定义 p x ( b ) = r ( x “( 口) ) 正测度p 。称为x 的分布，则显然可知( 昱，黟誓，胀) 是概率空间给定两个在e 上取值，并定义的两个概率空间上的随机对象x l 和拖，如果( e ，取l ，p x 。) 和 ( e ，欺2 ，弘x ：) 是相同的概率空间，则称x l 和相1 乳如果e 是拓扑空间，当 且仅当b o r e l 域或8 包含在b z 内时，随机对象x 是随机变量如果e 是拓扑 空间，x l 和恐是在e 中同分布的随机变量，则它们相似反之。如果蜀 和恐是相似的随机变量，则它们是同分布的从现在起。我们可以说在线性 空间中相似的随机向量，相似的随机序列，或相似的随机级数，而不要假设给 定任何拓扑 2 2 标准模型，独立性，r a d e r m a c h e r 序列，s t e i n h a u s 序列 为了进行研究，最方便的概率空间将是乘积空间n = n f n 。，其中对每一 n ，是区间【o ，1 】， 是l e b e s g u e 可测集所构成的口一域，及是l e b e s g u e 测度。n 称为标准概率空间，它的元素记为u = l ，2 ，) ，其中对 所有的n ，0 1 ，则定义在。上的随机变量序列c ，l ，2 ，称为标 准的s t e i n h a u s 序列标准的r a d e m a c h e r 序列是形为 1 e 。( ，) = l ，汕。【0 ，言) 3 湖北大学硕士学位论文 1 e n ( ，) = - 1 ，点1 1 的独立对称随机向量序列r a d e m a c h e r 序列与r a d e m a c h e r 级数是r a d e m a c h e r 在1 9 2 2 年提出来的概念 与标准的r a d e m a c h e r 或s t e i n h a u s 序列相似的随机向量序列称为l 瑚e i n a c - h e r 序列或s t e i n h a u s 序列换句话说，s t e i n h a u s 序列是在【0 ，1 】上均匀同分布 的独立随机变量的序列r a d e m a c h e r 序列是以相同的概率取值+ 1 或1 的相 互独立的随机变量序列 2 3 对称随机向量 在线性空间中取随机向量x 。如果x 和x 相似，我们称x 是对称随机 向量，给定一个定义在n 上的随机向量x 。定义在乘积空间nx n 上的随机 向量y ( u ，) = x ( u ) 一x ( ) ，它显然是个对称随机向量，有时我们可以证 明y a s 满足一个给定的性质( 在o n 中) ，由此可以推出存在着n 和 一固定向量$ = x ) ，使得x - x s 满足同一性质( 在。中) ，此即对称化 方法 2 4 随机三角多项式的一个界及应用 给出随机三角多项式 n p ( t ) = 郇。c o s ( n t + 妒n ) n = o 的工* 一范数的一个估计，其中l ，岛是r a d e r m a c h e r 序列，范数m = i i p i i 。= s u pl p ( t ) j 是一个随机变量，主要结果是属于s a l e m 和z y g m u n d 的。 当a 或n 很大时，尹( m a ( n ：l n ) ) 接近1 为了近一步的应用。需要一 个更一般的结果，代替r a d e m a c h e r 序列岛考虑满足 e ( e h ) e 譬( 一 0 ，使得e ( 细) = o ( k “n ! ) 证明( 必要性) 由是次g a u s s 的，存在f 0 使得 e ( e k + e k ) 2 e 氇苎( f o ) ， 即 球= 妻箐知学， e ( e m + e 咄) = 箐2 e 孚， n = o 、 当然 姿孥。学 ( 2 n ) ! 、。 令t 2 a 2 = 2 n ，则 墨2 ”酉e n t 2 n ( 2 n ! ) 由于n ! 圭瓜( 詈) “，( 2 n ! ) 圭瓢( 警) 2 n ，得 厌加研西e n 而t 2 、，2 7 r 圳i 2 n ) 翻= c ( 骺- 2 t 2 ) “n ! e ( 2 西2 ) “n ! = c 驴n ! 其中a ，c 均为常数 ( 充分性) 由条件e ( f 2 ”) = 0 ( 驴n ! ) 知。存在l o 0 ，使得 e ( f 加) l o 妒n ! ，则e ( 4 “) l o k 2 ( 2 n ) ! ，e 2 l o b 且歇= 0 ，故 聃= 枷f + 塞箐 n = 2 、。 = + 薹t 等+ 踹， 三一壅盗壹堑銮兰 一 一 ；t + 嘉驴( - + 羔) 】 + 耋南厣俪+ 羔，2 = l + n = l 1 + n = l 赢厨 蒜妒，t v 礁- - x 2 l o k l + 昌n = l ( - - p 面n ) i , 佤两丽腼 一差舄何丽而 薹赢何瓣面女 一妻惫一x 2 n c 厕o l o k n + 一十薹鬻 = 1 + n = 1 = 1 + = l恻一主掣 何( ：) “2 ，i篙“2 州。” m 2 n ：o o i 幽r n ；e 学 j n ! 厶x 2 n ( n j ! k ) 弘2 n l 2 n n = o 其中二l ：血铲，r ；狐厶五为大于。的常数故e 是次g 糊的 定理3 1 4 复随机变量是次g a - 瑚的充分必要条件是职= 。，且存在 。= 篡麓三二舢偶。啪均为服从参数为匍的 证明( 必要性) 令f = 如+ 岫，则由引埋3 知专o ，) 0 川爿眼肌9 ”。 实次高斯变量，根据定理1 ，存在h = ( 和) ，使得 e ( 醯n ) = d ( 碲”! ) ，e ( 带) = d ( 碲n ) 即存在二l o ， 0 ，使 e ( 孝) 工1 船n ! ，e ( 静) 如碲m 9 湖北大学硕士学位论文 一一 令工= m a x ( l l ，l 2 ) ，则 e ( 1 斟2 n ) = e l 如+ i 啦i 孙e ( i 岛i + i ，j 0 1 ) 孙 e 【2 m a x ( 1 如i ，i , 1 0 1 ) ) 2 n = 2 钿m a x ( e 悸o i 加，e i , 阳i 知) ，一2 2 n m a x ( l l k d n ! ，工2 船 ! ) = 2 2 n l k 3 n 一 = l ( 4 k o ) ”n ! = l 女”n ! 其中i = 4 k o ，即e 2 n = d ( 矿“! ) ( 充分性) 由条件e ( 2 n ) = o ( 驴n ! ) 知存在 o 使得e ( 2 ”) 工o “n ! ， 考虑到职= 0 则f ( 皿( k ) ) = 0 于是 酢啪= l 删删) + 墨警 一薹c 警+ 絮簪， 蹦三0 0 丽1 删知( 1 + 等) 1 薹南瓜丽褥 = - + 薹南厮 + 三o o 丽1 厮 - + 壹臁厮1 + 淼徊铲 n = l 、 + 幽2 n 掣1 + 警警 。 十 ( 2 n 十l j 。 - + 手n = l 鲣t z n j 瓜啊藤 - + 星际何丽厅丽 一至v c 南2 n 厕丽 + 量蹁面丽腼 学 三复次高斯变量 = l + 。妻：。1 ) 。q 2 。n 。c o i l ，o k n 。+ 5 ，= 1 + 。壹：。i a l 2 。n c 。o l o 。k + 5 - = t + 薹业翳霉n 妻= 0 嗡 ：手筚：。犁 n “= 0 n ! 其中工l = h 烨，r = 弧工，工为大于0 的常数故f 是次g a u s s 的 定理3 1 5 若f l ，6 均为服从参数为7 0 的复次高斯变量，则f l + 6 也是次 高斯的 证明由于f 1 ，6 均为服从参数为匍的复次高斯变量，根据定义3 1 2 有 e ( e m ( 2 墙) e 毕，e ( e 胁( 2 拖) se 坠乒 则 e ( e l t e ( 代l + 6 ) ) ) = e ( e 船( m l + 6 ) ) = e ( e n e ( x f i ) 幸e m ( m 2 ) ) 一 讧面丽何面面= 肛面画、e ( e x e ( 2 m 2 ) ) 以毕、。毕：e 2 1 x l z 话：。l 学 其中r = 2 r 0 ，故6 + 已是服从参数为2 t o 的次高斯变量 推论3 1 1 若实随机变量f l ，均为次高斯的，则l + 如也是次高斯的 若随机变量f 莓多次高斯的，显然也是次高斯的。其中c 为常数因 为e ( e 血( 吠) e 1 1 学，于是我们有 推论3 1 2 若矗( i = 1 ，2 ，女) 均为复次高斯变量，则垒l a & 也是次高 斯的，qo = 1 2 k ) 为常数 3 2 随机三角级数的性质 引理3 2 1 f 1 1 随机三角多项式p ( f ) = 靠厶( t ) ，其中厶是次数不超过n 的 实或复三角多项式，矗是次正态序列，是有限和，则 p ( i i p i i 。g ( 笔崦) ；) 萨1 ， 其中g 为一绝对常数 引理3 2 2 1 1 l 考虑8 个变量的随机三角多项式 p ( h ，t 2 ，t ) = 厶厶( 九t 2 ，t 。) ， 1 1 湖北大学硕士学位论文 其中厶是次数小于等于n 的复三角多项式， 。) 是一个次正态序列，是 有限和，则p ( 恻i 。g 扣0 厶0 蛩m ) 1 2 ) 一2 e 一其中c 是一绝对常数 推论3 2 1 随机三角多项式p ( t ) = e 。厶( t ) ，其中厶是次数不超过的 实或复三角多项式，矗是实次g t 埔嘲变量序列，是有限和，则 p ( f l p l l 。2c ( e o 厶l e l 卵) ) 丽1 ， 其中g 为一绝对常数 证明：因为厶是实次g a u s s 变量序列。设其服从参数r ，则由定义3 1 1 注 知晕是次正态序列。从而由引理3 2 1 知 一p ( i i 掣2a ( o ，n 慨2 - 呷叫z 1 ) 丽1 ， 即p ( 0 擎1 l 。c s i ei i f 1 l l l o g n ) ) s7 1 记q r = g ，则上式即为p ( o 掣o 。c ( e l i 厶l l 毛i 叼) ；) s 南，其中d 为 一绝对常数 类似地有 推论3 2 2 考虑s 个变量的随机三角多项式 p ( t l ，幻，如) = 矗厶( t 1 ，t 2 ，t s ) ， 其中，n 是次数小于等于n 的复三角多项式， 矗 是个实次高斯变量序列， 是有限和，则 p ( 1 1 p o 。c 扣1 1 1 1 2 z - n ) 1 2 ) n 一2 e 一 其中c 是一绝对常数 定理3 2 1 随机三角多项式p ( t ) = e 靠厶( t ) ，其中厶是次数不超过n 的 实或复三角多项式，是有限和，随机变量r - f 歹! j 矗是复次高斯的。则 p ( i l p l l 。c ( 1 1 1 i l ll o g n ) ) 斋， 其中g 为一绝对常数 证明当厶是次数不超过n 的实三角多项式时，矗是服从参数为r 的 复次高斯变量序列，设如= 6 o + 。由引理3 知和伽。均为服从参数为 f 的实次高斯变量序列，又因为p ( t ) = 厶( t ) - t - i ，n ( t ) ，由引理4 知 p ( 1 l r e p ( t ) l l 。c l ( i i f i i 2l o g n ) ) 击， 1 2 三复次高斯变量 p ( 1 l i m p ( t ) 仍( i 。2h j g 川孙1 丽1 故p ( i i pj l 。c ( e0 厶慨l o g ) ；) 萨2 ，其中c = q + 0 2 为一绝对常数 当厶是次数不超过n 的复多项式时，证明与上类似 定理3 2 2 考虑8 个变量的随机三角多项式 。p ( t l , t 2 ，“) = 矗厶o l ，t 2 ，t ，) ， 其中厶是次数小于等于n 的复三角多项式， 厶) 是个复次高斯变量序列。 是有限和，则p ( i i p l l 。c ( s l i a l l 毛l n l v ) m ) 2 n _ 2 e 其中c 是一绝对 常数 证明当厶是次数小于等于n 的实三角多项式时，矗是服从参数为r 的 复次高斯变量序列，设靠= 岛+ i 协l o ，由引理3 1 5 知6 l o 和均为服从参数 为r 的实次高斯变量序列，又因为 尸( o l ，t 2 ，t ，) = 由推论3 2 2 知 靠厶( t 1 ，t 2 ，如) 厶( l ，t 2 ，t ，) + i 厶( t l ，t 2 ，t o ) ， p ( 1 l e 唧l l 。0 1 ( 8 i i f 1 l 毛z n n ) m ) n 。2 e 一， p ( 1 l l m p h 。c 2 ( 8 i i a i l 毛t n n ) 1 7 2 ) 一2 e 故 p ( i i p i i m c ( 8 i i a i l 蛩t n n ) 1 2 ) 2 n 一2 e 一 其中g = a + 伤为一绝对常数 当，n 是次数不超过的复多项式时，证明与上类似 推论3 2 3 随机三角多项式p ( t ) = 矗厶( t ) ，其中厶是次数不超过的 实或复三角多项式，是有限和，且对复随机变量序列靠存在 0 ，使 e ( 1 l 抽) = o ( t o n ! ) ，则p ( i l p l l * c ( ei i i i 色l o g n ) ；) 丽2 ，其中o 为一绝对 常数 推论3 2 4 考虑8 个变量的随机三角多项式 p ( h ，t 2 ，t 。) = 靠厶( t i ，t 2 ，t 。) ， 】3 湖北大学硕士学位论文 一一 其中厶是次数小于等于n 的复三角多项式，且对 矗) 复随机变量序列，存 在詹 0 ，使e ( 2 n ) = o ( k “n ! ) 是有限和，则 p ( i i p l l 。c 扣l i 厶1 1 各l l ) 1 7 2 ) 2 n 一2 e - 。， 其中c 是一绝对常致 推论3 2 5 设b 是具有正浏度_ i i 的测度空间，p ( e ) 0 具有下列性质。 若，b 是实函数，则存在可测集i ：l ( f ) ce ，使得p ( j ) p ( e ) p ，且当t i 时，i f ( t ) l ；1 1 f l l 。考虑随机有限和p ( t ) = a e o s ( n t + 2 霄) ，其中是 s t e i n l m u s 序列，a n 0 ，则f ( 1 l p l l 。g ( o ：l n ) ) 2 n ( 这里c 是某一 绝对常数) 证明设q ( t ) = 艺钿s ( n t + 2 h ) ，其中h 是r a d e m a c h e r 序列。则p ( t ) 0 与q ( t ) 相似而 e ( 洲t ) ；e 【n 。概c c o b ( n t + 2 一n 】：ne ( e ，s - 傩( - i t + 2 一) ；i v 甄i 1 唧【k 嘲( n t + 2 7 r w n ) ) + 互1 exp【一xacos(nt+2，r1 ) ) ) 5 耳e l i 唧【k 嘲( ) ) + 互e x p ( - i n l 。，p ( 石i 2 程。2 ( m + 2 撕) ) i i 。翠 - a - ， i l “p 互 2 程。嘲2 ( m + 2 r “h ) ) e 1 1 ， 记o ：= r ，即e ( e x q ( ) ) e 孚记s u p q ( t ) l = m = 1 1 口j l * 则 e 半se 州t ) ise x q ( t ) + e - m ( t ) j p ，使得p ( j ) 华故 郎坝e 半) s 胛网e 半抑z 球( d t ) ：p e ( e 半p ( d t ) ) p e ( ( e 蛔( ) + e x q ( ) p ( d t ) ) j i j i p e ( f e ( e l q ( t ) + e - x q ( t ) ) 胎) ) _ p 上俾( e 。+ c 嘲o ) ) m ( d t ) ，e p 厶l 2 e t ) 1 2 r p ( d t ) = 2 p e 串p ( e ) 故球半) s 2 p e 孛，则紫； 三复次高斯变量 即e ( e 学一季- 2 l n p ) ；，即e ( e ( f 一打一 l n 力) si 2 则 ，-e 吾( j i f h 一要l p ) d p + e 鲁( j i f 一如一量l n 力咖兰 j 盯2 h + l n pj j i f r 矧咖s 厶狮知，翻肛扣咖s 石2 ， 即p ( m a r + ；l n 力； 令a = ( ；l n 户) ，则p ( m 5 ( 吒2 m 卅，t ) s ；， 令p = 2 则 p ( m c ( e 2l o g - vjz 1 ) 丽2 这里c 是某一绝对常数 由p ( t ) 与q ( t ) 相似知 p ( i l p l l 。c ( 以1 n ) ；) 2 n 一2 推论3 2 6 考虑随机三角多项式p ( x ) = e 。( z ) ，其中钿是r a d e m a c h e r 0 序列，a n o ，m 是次数小于等于n 的多项式，则存在绝对常数c ，使 尹( 一。；。i p ( x ) i c ( k ，；) 一2 证明：令霉= c o s t 由引理3 2 1 即可证之 3 3 b e m a c h 空间的次高斯变量 定义3 3 1 设为b a c h 空间，矿是茁的共轭空间，f 是b 值随机元， 若对任意的，( f ) 都是次高斯的，则称中的随机元f 是次g a u s s 的 定理3 3 1 设毒为b a n a c h 空间，记b 中的范数为卧i i ，茁是茁的共轭空 间。f 是b 值随机元，若联= 0 且存在i 0 ，使得e ( 俐饥) = o ( k “n ! ) ，则随 机元是次g a m e s 的 证明对任意的f 矿，有i ，( ) i l i f l l l l f l l 毡 对任意的数a ，a 的数域，有i m ( ，( f ) ) i ，( f ) i 又由条件e ( 1 2 “) = o ( k ”，l ! ) 知，存在l o 0 ，使得刀( 蚓l 孙) l o k “n ! ，则 e ( i if1 1 4 - ) l o k 2 n ( 2 n ) ! ，e ( i i l o k 考虑到厌= 0 则e ( f ( o ) = 0 故对任 1 5 湖北大学硕士学位论文 球m ，( f ) ) = 1 惆脚胀) ) ) + 妻墨笔华 - 1 + 耋【警n = 2 + 可e ( r e a f ( ) ) 2 n + 1 】 = l + o o 丽1 琊脚他) ) ) 加( 1 + 气辫) 】 - + 量南何瓣丽伍爵 = + 薹南厕+ 掣+ 哿 = + 薹南厕+ 臀 l + 虽上瓜而而而_ i - ，。瞠幽坚剑业= i ( 2 nj r l ) 2 = + 薹嗥萨俪而+ 攀铲 t + 薹峰萨何丽 + 觜 l + 主警厕瓜丽 = - + 薹嗥萨何瓣面莉 - + 量铲网历 ：l + 手唑幽垒墨! 型：l + 手唑些竺：! 。鲁 ( 2 n ) !n 厶= l a ( 警) 孙 = ，+ 薹号拶一1 妻t = 1 山掣 = - + 薹脚垩掣 薹咄学 ；手些啦：。掣 n - = o n ! 三复次高斯变量 其中r = 二弧i l f l l ，工为大于0 的常数 故，( f ) 是服从参数为r = l 、，僖l i f l i 的次g a u s s 变量，再由定义3 3 1 知b 值随机元f 是次g a u s s 的 引理3 3 1 【2 】若m 0 ，则 s u p l n ( e t x l m 了矿- i , x i m 一) 0 使得雌临m 则f 是次高斯 的 证明对任意的，z ，有i f ( o i i i f l l l l l l ，k ， 对任意的数a ，a 的数域，有i 觑( a ，( f ) ) i ，( ) i 则 ，。血n ，( f ) ) 、一虽e ( 觑( a ，( f ) ) p 职产n 瓜”) - 丕墼半丛n = u t + 墨华 + 主半 = e 协l l l l i l m i a i l i f l i m se 肘2 i i 1 1 2 ：。掣=p2 其中r = 以m0 川，从而f 是次高斯随机元 定理3 3 3 若f 1 ，均为b a n a c h 空间中的次高斯随机元，则1 l + 乜6 也 是次高斯的，其中l ，也为常数 证明由于f l ，f 2 是次高斯的，则对任意的 存在n ，豫使得 e ( e m m - ，( f 1 ) ) e 坠滥2，e ( e m ( 勰2 ，( 妇) ) e ? ! 兰乒 从而 e ( e p e ( 1 ( ，( i l + 2 矗) ) ) 、=e ( e 血( 从l ，( 1 ) + 1 b ，她) ) ) e ( e m ( 1 1 ，( 1 ) ) xe m m v 慨) ) ) 1 7 湖北大学硕士学位论文 扫万而丽扫面而面 佰覃办事 ：e i a l 2 ( i k l p 唁+ 1 k 2 1 2 唁) ：e 世竽 其中r = 丽瓦阿r f l i 习丽，故女- f l + 乜f z 是次高斯的 推论3 3 1 若随机元f l ，勃都有界，且联l = oe 2 = 0 ，则女l f l + 6 是次 高斯的，其中h ，k 2 为常数 推论3 3 2 若随机元l ，如满足联l = 0 厌2 = 0 ，且存在k 0 ，使得 e ( 临0 知) = o ( k ”n ! ) ，e ( i i f 2 1 1 2 “) = d ( 妒t i ! ) 则c l f l + c 2 2 是次高斯的，其中c l c 2 为常数 1 8 参考文献 参考文献 【1 】1j - p 卡昂纳函数项随机级数m 田武汉t 武汉大学出版社。1 9 9 3 【2 】吴尚文次高斯变量【j 】湖北大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 3 ，v 0 1 2 5 ，n o 0 4 【3 】吴智泉，王向忱巴氏空间的概率论m 硼吉林z 吉林大学出版社，1 9 9 0 【4 】张恭庆，林源渠泛函分析讲义【m 】北京，北京大学出版社，1 9 9 0 【5 】马俊，何南忠，h a 柯尔波夫二重三角级数和函数的范数研究【j 】应 用数学，2 0 0 2 1 5 ( 4 ) 1 3 4 - 1 3 9 【6 】马俊，何南忠关于二重三角级数的有关讨论【j 】应用数学，2 0 0 4 1 7 ( 1 ) t 1 5 5 - - 1 5 9 【7 】汪明瑾一类随机级数的收敛性及和的分布【j 】烟台师范学院学报( 自然 科学版) ，1 9 9 6 ，1 2 ( 4 ) 。1 7 2 1 7 3 【8 】王志明p a l e y - z y g m u n d 引理的推广【j 】武汉冶金科技大学学报( 自然科 学版) ，1 9 9 6 ，2 2 ( 2 ) ，1 9 8 1 9 9 【9 】肖益民指数型随机三角级数的一些性质【j 】数学季刊，1 9 9 2 ，7 ( 2 ) t 1 0 5 1 0 6 【l o k a h a n e ，j p s o m er a n d o m s e r i e so f f u n c t i o n j 】2 n d ，e d i t i o nc a m b r i d g eu n i v ，p r e s s 1 9 8 5 【l l 】张宏志随机级数的收敛性数学杂志，1 9 9 9 ( 1 9 ) l 4 0 8 4 1 0 【12 】余家荣s o m ep r o p e r t i e so fm u l t i p l et a y l o rs e r i e sa n dr a n d o mt a y l o r 鲥i e s m 数学物理学报，赫，2 6 b ( 3 ) ：5 6 8 5 7 6 1 9 湖北大学硕士学位论文 【1 3 】章逸平，范爱华l o c a li n e q u a l i t i e sf o rs i d o ns u m 8a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s j 数 学物理学报，2 0 0 5 ，2 r i d