（概率论与数理统计专业论文）关于pmax型极值理论的若干结果.pdf

致谢 p s 啦2 9 首先衷心地感谢导师林正炎教授、张立新教授，本文 是在林老师和张老师的悉心指导下完成的。在数年的求 学过程中也得到了苏中根副教授的关心和精心指导。各 位老师的辛勤指导和谆谆教诲使我顺利完成学业并在学 业上不断地取得进步，他们严谨的治学作风和高尚的人 格魅力成为我一生中取之不竭的精神动力，将使我受益 终身! 在此向各位先生致以诚挚的谢意! 同时我也向关 心、支持和帮助过我的老师、同学和胴友们致以深深的感 谢f 正是你们的关心和帮助使我度过了这段受益匪浅的 时光。 摘要 本文主要对p m o z 型极值理论进行了初步的研究类似于f m n z 型极值理论中著名的v o n m i s e 条件，本文给出了绝对连续分布函数f 落在 p m 。型极值分布函数的吸收域中的判断条件，给出了样本与真值的误差 不等式，并给出了关于p m 。型极值理论的几乎处处收敛定理。 此外，本文还给出了独立不同分布情况下f m a x 型极值分布几乎处处 收敛和依分布收敛等价的判断条件。 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ee x t r e m ev a l u et h e o r yo fp - m r x s t y l ei ss t u d i e d s i m i l a rt o t h ef a m o u sv o n - m i s ec o n d i t i o no nt h ee x t r e m ev a l u et h e o r yo fl - l n & xs t y l e ，t h e j u d g e c o n d i t i o nt h a ta b s o l u t e l yc o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni si nt h ed o m a i n o fa t t r a c t i o no fp - m a xs t y l ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni s g i v e n a tt h es a m et i m e ，t h e e r r o ri n e q u a l i t yb e t w e e ns a m p l e sa n dt r u ev a l u e si s o b t a i n e d ，a n da l m o s ts u r e c o n v e r g e n c et h e o r e m so nt h ee x t r e m e v a l u et h e o r yo fp - m a x s t y l e & r ea l s og i v e n f u r t h e r m o r e ，t h ee q u i v a l e n tj u d g ec o n d i t i o nb e t w e e n a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e a n d c o n v e r g e n c ei nd i s t r i b u t i o n o ft h ee x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o no f1 - m a xs t y l ei s ， i nt h i st h e s i s ，g i v e ni nt h ec a s eo fi n d e p e n d e d tn o n i d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n 导言 极值通俗概念为稀有重大，在人们经验范围内很少出现或发生的事件， 它在正常系统( 范围) 内很少见随机极值现象曾受许多学者的关注，如， 自然界中百年不遇的洪水、地震、干旱、飓风、火山喷发、雪灾、台风等， 这些事件常打破自然界相对平衡状态，对自然界以及人类生活带来重大的影 响；在社会环境中也有极值现象发生，如经济金融领域中股市价格出现与连 续平滑波动完全不成比例的异常变化，这些变化可视为由经济中的某些不寻 常情况带来的不正常变化，如突发战争、一国政变、重大政治事件、人为投机 等，此类事件的发生造成股市的暴跌，暴涨；保险领域中因异常罕见的自然 灾害或人为恐怖事件造成的重大损失索赔等等，这些异常事件的发生会对人 类社会，经济生活产生重大影响；人类日常生活中也经常会碰到极值问题， 比如最高( 低) 温度、最大人类寿命、物体的最大强度，这些都会对人类的正 常生活产生影响。 为了更好的战胜自然，征服自然，人们开始对与人类生活息息相关的极 值事件开始研究。本世纪3 0 年代，d o d del 1 ，f r e c h e tm 2 j ，f i s h e rr a a n d t i p p e t tlhc 3 】开始对极值理论( e x t r e m e v a l u et h e o r y ) 进行研究，为极 值理论的发展研究奠定了基石，随后，m i s e s 4 】给出了分布函数f 绝对连续 时判断f 属于哪一类极限分布的充分条件，g n e d e n k o 5 对极值理论进行了 进一步研究，他给出了三大类型定理的严格证明及三类极限分布存在的充要 条件，h a n n 6 1 针对吸收域问题给出了完整的结论，近年来仍然有学者研究 吸收域问题1 9 2 0 2 7 。 设x 。，x 2 ，j 厶是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为f ( z ) ，令 尬。三：m “咒，则 靠的分布称为极值分布，若存在a n 0 ，b 。r ，n 之1 使 l 三2 三“ 得对所有z c ( g ) ，有 ，k l i mp ( 竺旦：堡兰z ) = ! i r af “( n 。q - k ) = g ( 茁) ， 一 “n一7 “ 其中c ( c ) 为g 的连续点集。 若g 非退化，则g 的类型必是下列三种类型之一 5 = 2 ( i ) 垂。( z ) ( i i ) 皿。( $ ) = 0 ， e x p ( 一z o ) ， e x p ( - - ( - x ) 0 1 1 当o 0 当o 0 当z 0 当x 0 ( i i i ) a ( x ) = e x p ( - e 1 ) ，o 。 0 ，n l 使得对所有z c ( h ) ， l ， 1 i mp ( 1 等i 阮s i g n ( m n ) 茎z ) ：撬f ”( o n 坩”s i g n ( x ) ) ：日( 。) ， 其中c ( 日) 为日的连续点集，s i g n ( 。；) 1 ，当z 0 c t ，日- 。c z ，= 兰。一。，一。，当。z 。 4 4 ，n 0 ，当z 0 e x p ( 一( 一l o g z 。) ，当0 z 0 1 ，当z 1 0 ，当。 一l e x p ( 一( 一l o g ( 。) ) 一a ) ，当一1 。 0 1 ，当。20 8 x p ( 一( 1 0 9 ( 一。) ) 。) 当。 o 1 ，当。一l ( 5 ) 上如( 。) = 西l ( z ) = ( 6 ) z 6 ( x ) = 皿l ( z ) = 0 ，当o 0 e x p ( 一。一1 ) ，当z 20 e 。，当。 0 1 ，当z 0 h ( x ) 称为p m o 。型极值分布函数( t h ep - m & xe x t r e m ev a l u ed i s t r i b u - t i o n s ) ，若h = h 1 。( z ) ( 或岛。( 。) 或凰，。( z ) 或凰，。( 。) 或墙( z ) 或凰( 。) ) ， 则称分布函数f 在h 1 ，。( z ) ( 或岛，。( 。) 或风，。( o ) ) 或凰，。( 。) 或风( 。) 或 凰( 。) ) 的吸收域，简记作f d p ( h 1 ，。) ( 或f d p ( h 2 ，。) 或f d p ( h 3 4 ) 或 f d p ( 风，。) 或f d p ( 凰) 或f d p ( 凰) ) ，其中p 表示尬。经过乘幂 ( p o w e r ) 正则化 s u b r a m a n y au r ( 1 9 9 4 ) 1 4 给出了与h a n nd e 在【l5 】中关于f m o z 型 极值分布的结果相对应的p m o z 型极值分布的结果，在这篇文章的启发之 下，作者考虑是否可以将某些f m o z 型极值分布的极值理论移植到p m 。z 型极值分布的极值理论中去，于是作者在这方面做了一些尝试，并获得了一 些结果v o nm i s e s 4 在密度函数f ，存在的情况下，给出了f d l ( g ) 的一 系列充分条件，即著名的 c o nm i s e s 条件，与其相对应，作者在第一章中给出 了关于p m n z 型极值分布函数的极值理论的相应条件；第二章中给出利用 5 ，fl，【，、l，、，l = = | i 经验数据( 极值渐进分布) 拟合p m n z 型极值分布的误差估计不等式；对于 f 一7 $ 。a x 型极值分布，显然对任意满足0 一1 ( b ) 溉畿钏+ l 0 注记1 1f 1 5 】：若u ( 。) r ，p l ，则巩( 。) = 厂u ( t ) d t r “ 若v ( x ) r ，p o 定理b 1 3 ：( a ) f d p ( h 2 ，。) 当且仅当0 0 且 7 l i 。鐾罢掣：。- ，9 为实数 嬲f 葡r 。8 4 9 刊头烈 其中r ( t ) = r 王而 f t x 。j - t ( 1 一f ( z ) ) 出，且斤。z “( 1 一f ( z ) ) 出 o ，则f d ，( h 3 一- 定理1 2 ：设分布函数f 绝对连续，其密度函数为f ，则 ( 1 ) 若o 。器。丢c 觜川堋水l ( 2 ) 轴哺十1 0 9 l i m 。) 未( 嘏) _ 0 ，舭d p ( 吣 定理l 1 的证明 我们只证明( 1 ) ，( 2 ) 的证明与( 1 ) 类似 由撬鬻= a ， 有熙篙一 即l i 。掣：。 。f ( t ) d t 】1 m ；篓i ! 卫：。 l z r 一。“ 一。0 e 。，( e 2 ) 出 由注记1 ，1 ，知e x ，( e 。) r v - a 一1 。 ，o 。 再由推论1 1 ，1 一f ( e 2 ) 2 上。，( 。) d 亡r 儿。一l + i 南帝理a ( a 1 知f d 。( 日1 。) 。 8 酬垆等筹， 则z 丽1 一z 9 篙翳出= 一，”i m 卅。， = 一。s ( t f ( e 。) ) i = l o g 三j ； 菩 ，9 高如娟叫丽1 ， ” 1 一f ( e )r ( e 。) l o gf 了两磊呵一可万 即掣= e - s 甫 由定理c ( a ) ，我们只需证当t - + 1 0 9 印时，罢碧_ l ( 1 1 ) 而 等= 等- 器 z ， 故 鬻= l + 等“b ) ( 1 3 ) 但由于 r ( e t ) ，故j 等i z 时，i u ( z ) j j ，则由( 1 6 ) 式，有 ，b 8 “( 1 一f ( 矿) ) d z “( t ) ( 1 一f ( e 。) ) + ；z 1 0 9 “( 1 一f ( 矿) ) d z 广8 “( 1 一f ( e z ) ) 如 2 u ) ( 卜f ( e t f ( e 2 u ( t) ) ( 1 一) ) 如 ) ( 1 一) ) j t f l o g x o f( 1 一f ( e 。) ) 如 即丽f 币矿q 再由( 1 7 ) 式中e 的任意性，知( 1 5 ) 式成立，进而( 1 4 ) 式成立，由( 1 2 ) 知f 1 1 ) 式也成立。证毕。 1 0 第二章p m a x 型极值分布的误差估计不等式 我们来估计由于用极限分布代替确切分布所带来的误差，这些估计有助 于决定观察值独立时运用渐近理论所需要的样本量。g a l a m b o sj 在f 2 5 1 中 给出了，利用经验数据拟合f m a z 型极值分布的误差估计不等式，同样， 我们利用 2 5 j 中的引理给出利用经验数据拟合p m n 。型极值分布的误差估 计不等式。 引理z 1 1 2 5 1 ：对任意0 z 1 ，有l o g ( 1 一z ) 一z 证明我f f l 要证0 z l 时g ( x ) = l o g ( 1 一z ) + 。恒小于0 即可 因为9 ( o ) = l 0 9 1 + 0 = 0 ，又当0 。 l 时，g t b ) = 一_ 二_ = + l = - 二 0 ，故在区间( 0 ，1 ) 上g ( z ) 是减函数，故有t o g ( 1 一z ) 一z 成立。 引理22 2 5 ：对任意0 z 一2 x 证明我们只要证0 z 一2 x 恒大于0 即可。 因为9 ( o ) = l 0 9 1 + 0 = 0 ，又当0 一2 x 成立。之竺 ，故在区间( ，；) 上g ( 。) 是增函数，故有 一z ) 一成立。 引理2 3 1 2 5 1 ：对任意0 z 1 ，有( 1 一z ) “e 1 2 ( 2 1 ) 对任意0 z ；，有 e 一”。一( 1 一z ) “( e 2 “2 一1 ) ( 1 一z ) “茎e 一“。( 2 2 ) 证明我们先证( 2 1 ) 式。 因为( 1 一。) “= e x p ( n ( 1 0 9 ( 1 一z ) ) ) ，教( 2 1 ) 式中( 1 一。) “茎e “。等价于 l o g ( 1 一z ) 一z ，而由引理2 1 知此式成立，故( 2 1 ) 式成立。 下面证( 2 2 ) 式左边成立( 右边是( 2 1 ) 式的直接推论) 。 容易验证0 z ( 1 一z ) ( 一z 一茁2 ) = 一卫十z 3 ： ( 1 一z ) l o g ( 1 一z ) 一z = t - n ( 1 一z ) l o g ( 1 一z ) 一n z 辛e n ( 】一。) l o g ( 1 一z j e 哪 等f l z ) “一n 。 e n 。( 2 3 ) 由( 2 1 ) 式和( 2 - 3 ) 式有， 0 e 一4 。一( 1 一z ) “ ( 1 一z j “一一( 1 一z ) “= ( 1 一z ) “( ( 1 一z ) 一“。一1 ) ( 2 4 ) 而由引理2 2 ，( 1 一z ) 一“z = e ( 一“巾g ( 1 一z ) ) e n x ( 2 z ) = e 2 n 一 故( 24 ) 式变为e - 一一( 1 一。) n ( 1 一z ) n ( e 帅2 1 ) ，即( 2 2 ) 式左边成立。 引理2 3 证完 12， 引理2 4 1 2 5 1 ：对任意；。 q 1 ，有l e 。1 | 十等r 笔 证明由泰勒展式，当；z g l 时 l e 。1 l = i 。+ 箭+ 备+ | i x l + i 可x - + 备+ i h + 西x - j l + ；+ 彘+ j s i x l + x 2 - ! 1 + i ；l + l i l 2 + i 蚱l + 鲁南州+ 萼击 定理2 1 设x 。，x 2 ，是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为 f ( z ) ，令螈圭l m 0 ，我们令磊( 。) = n ( 1 一 f ( a 。川艮s i g n ( x ) ) ) 对日( z ) 0 的z ，令p n ( z ) = 磊( 。) + l o g h ( x ) ，则若。 使日( 。) o 且刍掣si 1 ，我们有 l 尸( “o , h x l 风s i g n ( z ) ) 一日( z ) l 日( 。) ( r l ，。扛) + r 2 ，。缸) + r l , n ( 。) r 2 ，。( 卫。) ) 其札一班掣+ 学而1 ，r 2 小h 硝卅掣焉1 ，这里 g l 且川使得；掣sg 和拟蚓g 证明i p ( m n 0 1 。h 风s i g n ( x ) ) 一日( z ) l = f f ”( c f z f 口n s i g n ( z ) ) 一丑。( z ) s | f “( a 。1 2 1 如s i g n ( z ) ) 一e - - 2 n ( 。) i + i e - z n ( 2 ) 一日( z ) ( 2 5 ) 由引理2 3 的证明过程知f e 一一一( 1 一。) ”f ( 1 一) n ( e 2 n r 1 ) ，将其中 的。用1 一j m ( a 。蚓风s i g n ( x ) ) 替换，则有 a 圭i e 一玉t 扛) 一( 1 一( 1 一f n ( o 。x l z s i g n ( x ) ) ) ) “ f 1 型h 。( z 掣) _ i ) 再由引理2 3 的( 2 ；j 式， a 。f e ( z 掣) 川 ( 其中墨婴；) ，由引理2 4 有， a e 喝( 2 掣+ 2 掣而1 ) ( 2 6 ) nn l 一口 ( 其中掣j 1 和；掣s ) 。 另外，由z j ( z ) 的定义，e - - 2 ”【。j 一日( z ) = e - 【。) + l o gh 一日( z ) = 日( z ) ( e p n ( z ) 一1 ) ，再次利用引理2 4 ，有 e 一厶( z ) 一刖酬( i m ( 。) l + 幽2 - 函1 ) ( 2 7 ) ( 其中；z ) l s 1 ) 。 我们将e - z n ( 。) 写作e - ( 。) 一日( z ) + 日，则( 2 6 ) 式可变换为， a ( e - 引计删卅聊) ) ( 。掣+ 2 掣击) _ ( e 喝删圳( 2 掣+ 2 掣而1 ) + 日( z ) ( 2 型+ 2 掣- 1 ) ( 由( 2 7 1 式) oo _ y 洲州i + 掣击) ( 2 掣+ z 掣而1 ) 删州2 掣+ 2 掣- 击) ( 2 8 ) p ( 靠c i z l 卢“s i g n ( z ) ) 一g ( z ) l 丑( 。) ( n ，。( 。) + r 2 ，。( z ) 十r l ，。( z ) 2 一( 。) ) 定理证完。 1 3 第三章p m n z 型极值分布的几乎处处收敛定理 对于f 一 z 2 x 型极值分布，显然对任意满足0 g ( z ) 1 的。， z - 。o , x l ( m n 一, b n ) 几乎处处不收敛， c h e n gs h i h o n g 1 6 j 等人和f a h r n e ra n d s t a d t m i i l l e r 1 7 分别用不同的方法独立地证明了对其进行加权求和算术平均 之后的发散性和对其进行加权求和对数平均之后的几乎处处收敛定理。相应 地，我们利用c h e n g s h i h o n g 的方法证明了t 一。，叫“j 。v n i 尻- s i g n ( m ) ) 进行 加权求和算术平均之后的发散性和进行加权求和对数平均之后的几乎处处 收敛定理， 定理3 1 设x - ，x 2 ，是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为 f ( z ) ，令呱圭i m 。a x 。x ，若f d p ( h ) ，日为前面介绍的六种尸一 t z a x 型的极值分布之一，则对任意0 sq l 有 1 p ( 溉础s u ( p 日) i ，i - - 。q 磊亡- 一丘一z 川等l 瓦s i g ( 慨”一仃f = 。 = 。( 3 一1 ) 其中c ( h ) = z ：0 h ( x ) l 证明我们只证明g = 0 的情形，0 q _ + 0 ，n 叶+ 。时。 另外由于l 玩i 2 和控制收敛定理，我们有 s l z 1 2 ：，。p ( 1 z 1 2 z ) d x - + o ，n _ + + o 。 ( 3 2 ) j 0 注意到定理中假设f d 。( 日) 等价于 撬p ( q n i z i 如s i g n ( z ) ) = 日v z r ( 33 ) 固定6 l ( 日( 跏) ，1 ) 和如( o ，日( z o ) ) ，由( 33 ) 式，我们可以选择一整数 n o ，使得当n n o 时，d 2 f n ( n 。i z 0 1 n ns i g n ( x o ) ) 三手( ：声 一( 。k i $ o 降商g n ( z 。) ) f l ( 。l z 。b s i g n ( 蛳) ) 去( 一( a k 陬降商g n ( z o ) ) ( o l 。o 卜8 i g n i 。o ”。 一l = 2 n ok ：【；】+ 1 而两习寺莉。1 ) 十萎 f 。( 。k l z 。l a * s i g n ( z 。) ) ( 1 一f ( 。2 l z 。1 8 l , s i 9 1 l ( 。) ) ) ) k = 皓1 + 1 k ： 2 磋等嘉：塞。蒹。l 等 1 6 陋h 群 ，p 卵 望 期刊风 求 0 ，与( 3 2 ) 式矛 ”n 盾。 故我们假设口有正的概率测度是错误的，即p ( b ) = 0 。原命题成立。 例1 若分布函数f 1 ( z ) 定义为如下： f o ， f l ( z ) = il 一( 1 0 9 z ) 一n l 若取o 。= 1 和风= n ，则有f l d p ( h 1 ，。) ( 见 1 4 】) 。那么由定理3 ，l ，对 任意0 q 1 ，我们有 p 溉咄s ( u 叫pi 而x - - q 三n 一。】( 帆一叫z ) l = 。 = 。 其中c ( 风芦) ： 。：0 h 1 ，。( z ) 1 。 例2 若分布函数f 2 ( z ) 定义为如下： 。tz，=i!一ct。scz，一a，耋：z三j_，乏e-二1乏0 p 撬删s u 刊p 丽1 - - q 耋一一( _ ( _ 埘气一( 蚓_ 0 o 其中c ( h 3 ，。) = z ：0 如，。( 。) l 。 定理3 2 设x l ，x 2 ，是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为 f ( z ) ，令圭l m 9 a s x 。x i ，若f 珥( 日) ，日为前面介绍的六种p 一”n 。型 1 7 的极值分布之一，则有 1 ，规志妄；丑一筇i 等i 蘸s i g n ( 慨) ) = 日( z ) 。s v z c ( 日) 其中c ( 日) = z ：0 日( 。) 1 。 证明我们只证h h 。，。( 。) 的情形，其余类似 由于l o g n 一，故我们只要证 1 概n l l m 豇1 备, - li l t 一州f 等i f l k s i g n ( ) ) = 日( 。) 一c ( 日) 高k 证明分两步： s t e p l ：首先我们证f = 日= 日1 。的情形。 取a 。= 1 ，风= 竹， 则f “( o 。x e - ) = f n ( z n o ) = e x p ( n ( - l o g ( x 档) ) 一。) = e x p ( n ( 一n l o g x ) 一a ) ) = e x p ( n ( 一言( 1 0 9 。) - 0 ) ) = e x p ( 一( 1 0 9z ) ”) = f ( z ) 现固定z c ( 卅，对于l k f ，我们有 肌圭e ( 厶一。，别“尬) 2 。) ) ( 一。，。1 ( ( m ) r o ) ) = p ( ( 靠) 2 一。z ，( 西) 2 一。$ ) 一p ( ( m ) 。一。墨) 日扣) - p ( ( m t ) r = 。) 日( z ) + h 2 ( 。) = 日。( 扩 ) h t 。扛 ) 一日。( 舻 ) 日和) 一h ( 一 ) 日( $ ) + 日2 佃) = h ( x ) h 一2 ( 一。) 一h 2 ( z ) = 日( z ) ( 日2 一( 一o ) 一h 2 ( 一) ) 故有 i g k lj 1f 3 2 1 ) 和 g k t 墨e x p ( - q k ) ( 1 0 9 一。) 一。) 一e x p ( 一( 1 0 9 x ) 一n ) = e x v ( - ( 1 7 “) ( 1 0 9 x ) 一。) 一e x p ( 一( 1 0 9 x ) 一。j 孚( i o g z ) 。( 3 2 2 ) 1 8 ( 兵甲最后的小等号是由于( 矿) l 。 o = ( e 。) j z o i ，这也就意味者e 。一e y 。一y ，( z ，y 0 ，由t c h e b y c h e v 不等式 及( 3 2 6 ) 式，有 p ( 1 品。( ) 一日( z ) 一e ( 瓯。( z ) 一日( z ) ) i e ) 一var(snk(x)-h(x)：皇i筮蛙掣 ，c ( x )c ( x ) s 6 2 l o g e k 2 。万歹 因此有p ( i s 。( z ) 一日( z ) i e ) 。o ，由b o r e l c a n t e l l i 引理 3 4 1 ，我们有 女= l p ( i 品。( 。) 一日( 。) 2e ，i o ) = 0 即凫。【。) 一日( z ) _ 0 a 8 3 2 | 了) 2 0 取n k n n k + 1 因为 互1i 壹 一“( 尬) l _ 。) i 拄“ i = 1 。 士l ：熹。扣走i 砉一酗 s 壶i 善一酗1 一丽l 慨一崦叫 鲁2 = 知+ 1 ) 2 搿) = 等- + o ( 3 2 8 ) 所以岛( 。) ：去壹i - o o , z ( ( 蚴) z 一。) r 一1l = l 去妻；i ( - z 。】( ( 尬) r o ) , x击】( ( 尬) “ b 1 r 一1 o s 瓢1c 差+ 。烹。机州c c 删_ i ) + 百1 了( 壹丑一。剥( ( 蛐) 一) ) ( 3 2 9 ) b 桃“ l = l 。 由( 3 2 7 ) 式和( 3 2 8 ) 式知，( 3 2 9 ) 式的右边几乎处处趋向于日( z ) ，当k _ + 。 另外，由于晶( z ) = 击妻t 。】( ( 尬) l _ 上) f 二1 = 1 。 壶静刊c 删 鲁l 芒1 2 拳。宴州“蚓r 。 ( 3 2 l o ) 再由( 3 2 7 ) 式及l i “ t ：- - + 0 0 = 1 ，我们可以得到( 3 2 1 0 ) 式的右边也几乎处 处趋向于日( 。) ，当k _ + 。时。 因此由两边夹准则，当n _ + 。时，晶( z ) 日( 。) 6 8 由1 。，2 。知，对于固定的c ( 日) ，0 骢& ( z ) = 日( z ) - 那么若令 耳= 扣：0 骢& ( r ) = 日( r ) n - s ) ，则p ( 耳) 2 1 令8 = n 耳，其中r 跑遍c ( h ) 所有有理数，则p ( b ) = l 。 注意到日( z ) 连续及品( z ) 单调递增，我们有 撬赤圣越洲( 帆) 扩。) = 日( z ) 一- 比c ( h ) s t e p l 证完，即当分布函数f = h = h 1 4 时，定理成立。 s t e p 2 ：现我们假设x i 分布函数为普通的f ，幅。圭l m 。a 。x 。x i 定义同前，且 f d ，( 日) ，h = 日l ，。再设k ，托，是独立同分布的随机变量序列，其 分布函数为圩1 。 设f 一1 ( 。) = i n f t ：f ( t ) z ) ，则x 。的分布函数与f 叫( 日( k ) ) 的分布 函数相同，为简单起见，我们假设墨= f - 1 饵( k ) ) ，i 1 则 y n l ，m j = f - 1 ( 日( ，粤a 拳k ) ) 由刚才s t e p l 中所证，我们知道 t i = 骢罐( 。) = 日( 。) ：h 1 ，n v z c ( 日) ( 3 2 1 1 ) 2 1 l一，一lf 丽 其中器( z ) 2 遗i 蚤厶一。蚓( 怠善k ) 扩。) 注意到 u ：舰，o t n x b n ) 2 u ：f - 1 ( - ( 。m ；a 。x 。k ) ) sa n 风) 2 “：h ( l m 。a x 。y ) f ( a n 。“) ) 。f u ：e x p ( 一( 1 0 9 ( m 。：a 。x 。y ) ) 一。) sf ( a n z 9 “) 。( u ：一o o g ( m y v , ) ) 。l o g ( f ( a n 。4 ) ) ) 2 扣：( 1 0 9 ( 。m a 。x 。y ) ) ”2 一l o g ( f ( a n 挣) ) 2 扣：l o g ( 燃k ) ( 一l o g ( f ( a n z 如) ) ) 一： 。扣：( 。m a 。x 。y , ) s 唧( ( 一l o g ( f ( a n x 风) ) ) 一；) 。f u ：( 1 m e ，由h ( x ) 的连续性，选择0 d z e ，使得 日扛+ j ) 一日扛一d ) ( 3 2 1 4 ) 再由( 3 2 1 3 ) 式，我们知道，存在n 。当n n 。时 f ( 。) 一z f j 即z 一6 0 ( 4 1 1 ) 这里c + 0 为常数，f 0 是( 0 ，。) 的b o r e l 可测函数，且使得，( z ) 和去 非降，且当n “o 时，( 1 0 9 l o g n ) 一1 一。f ( ec 1 0 9 n ) 1 _ 。) 非降。 同时，我们假设 兰2c ( ) 1 ，f k ，c 0 ，7 0 均为常数( 4 1 2 ) 则对任意分布函数a ( x ) ，以及任意实数序列 6 忆 ，下列条件等价： ( a ) 对任意b o r e l 集a r ，且g ( o a ) = 0 撬去三；h 警叫_ g ( a ) o s 此处的零测集不依赖于a ，陋) 为示性函数。 ( b ) 对任意b o r e l 集a r ，且g ( o a ) = 0 熙赤乏i 1 p 警叫刊a ) 其中l o g 。，l o g l o g z 分别表示l o g ( z v e ) ，l o g l o g ( z ve 8 ) 正明：由l a c e ya n dp h i l i p p ( 3 0 】) 的逐点极限定理，我们只要证明 对于任意有界l i p s c h i t z1 函数g ：r _ r 熙丽1 k n 知= 。一- ( 4 1 3 ) 其中靠：9 ( m k - b k ) 一e g 一( 必) 。 a t ea k 由于g 是有界l i p s c h i t z1 函数，存在常数k ，使得 g ( z ) l k ，l g ( z ) 一9 ( ) 1 k 。i 。一y 我们先证明 蹦圳螂2 警 e ( 靠黝l = j e ( g ( ! 堕台争) - = 一( g ( 导) v z y r l 墨k f( 4 1 4 ) g ( 产) ) ( g ( 学) 一勖( 学) ) g ( 学) ) 由m k 与k + m a x 。五的独立性，我们有 i e ( 靠靠) l = c o ( 9 ( 丝磊蛀) ，9 ( 丛产) 一g ( 旦羔警备一) ) s2 k e ( 胁( 学) 一9 ( 坐堡卜i ) 墨2 k 耳e ( i 警一k + l i l 1 2 ) 2 k 2 e ( i 鲁 a2 ) ( 此不等式是利用( 蚴一m a x ，x i 茎m k ) ) 。 e + l t 、 令 = 旦，以及由定理中，的假设，我们有 “ ， 当。 时，有三嘿，故 聪脚( ；( 篆删) 4 耳。锷铲 鲫。等螂。等叭a ，式魈 下面我们估计e ( ) 2 ： 剧。丕。甜kg 。k l n 扣测卸l 七 nl 一 ( 由( 4 1 4 ) 式) 一 唑 ，e 一 时卜引 墨 陇 孵 烈 一 旺 p 当 螂2 。乏。击l 篱i ( 吣2 ) 式和，的 娜。骥 螂。鳇怎吉 0 则e 磊。 m k = l o 。 由 3 3 】中推论5 2 0 5 页) ： x ，n 1 ) 是随机变量序列，若e ( x k x ) 2 0( 4 翟 这里c + o 为常数，o 是( o ，o 。) 的b o r e l 可测函数，且使得，( 。) 和赢 非降，且当n “o 时，( 1 0 9 l o g n ) 一1 5 ，( e 【1 。g “) 1 _ 5 ) 非降。 同时，我们假设 竺c ( ) 1 ，l k ，c o ，7 0 均为常数 ( 4 2 2 ) 另外，对每二_ 0 ：t 。，o 。，i “m = 1 是 o ，1 的一分划，i ；n ，z = ：， 我们定义一过程m 。( ) ，0 t 墨1 ，m 。( t ) = 竺 堕，t n ，j 墨t i n , j + l ，0 j n 一1 ，例如： m d t ) = 丛净0 t l r 删：j 警，当0 g l 警，当 s t 1 1 当。兰t m 。( ) 。 丝皆当；t ； i 恐 ，当；茎t 0 及对任意z y e d o ，1 ， i g ( z ) 一9 b ) l k d ( x ，v ) ，1 9 扛) i 茎k( 4 2 3 ) 其中d 是s k o r o h o d 度量 3 1 ，由d u d l y r m ( 1 9 7 6 ) 3 2 中定理8 3 ，我们定理 4 2 中的( a ) 和( b 7 ) 分别与下列两 式等价：1 1 + ) 对任意9 e d o ，1 ，。l + i r a 。面1 三1 ( m t ( ) ) 2f g 咖 ( 剐对任瓤d 0 - 1 。1 + i m 。雨1 羡；勖( 酬) = r 咖 故为了证明定理4 2 ：我们县需证明： 撬面1 乏知5 o ，对任意仙( 4 2 4 ) 其中& = 9 ( m k ( ) ) 一e g ( m k ( t ) ) 同定理4 1 的证明我们首先证明 旧的) 玉4 2 譬l f ( 4 删 其中k 是满足( 4 2 3 ) 的常数k 。 定义函数m ；【0 ，1 _ r j - 。b ：z ， 当o ”t 21 生生矍掣，当赴。! 。 。+ ，。j 。一。 。，+ 。l 亏字， 当0 t 例如：当k2 时， m ：z = 蛇q 【警，当 s 1 牝。_ i 耄，冀毫 【墅m a x x i - b 3 ，当；s t l 嘛：j 音， 当o k ； l 必a , 3 ，当； 1 不难计算d ( m f ，m ；，1 ) 茎l i r a 一m ：，f i i o 。警( 利用( m f 一。嚣聚f 五s 慨) ) ，故由( 4 2 3 ) 式，有1 9 ( m f ) 一g ( m 秘) isk 等 2 k 同时，显然有m i ，与m t 相互独立，令a ：旦，则 ” 0 k f ( 靠岛) f = 口( 9 ( m e ) ，9 ( m f ) ) j = c o ( a ( m k ) ，g ( m t ) 一9 ( m ；i ) ) 2 k 2 e ( i 鲁i a 2 ) 4 k 2 e ( ( 器a ) ) 鲫。掣鲫。等螂z 等 参考文献 1 1 d o d de l ( 1 9 2 3 ) t h eg r e a t e s ta n d e a s tv a r i a t eu n d e rg e n e r a ll a w so fe r r o r ， t r a n s a m e r m a t h s o c ，2 5 ，5 2 5 5 3 9 2 】f r e c h e tm ( 1 9 2 7 ) s u rl a l o id ep r o b a l i l i t ed ee c a r tm a x i m u m ，a n n s o c p o l i n a i s em a t h c r a c o w ，6 ，9 3 3 】f i s h e rr a ，t i p p e t tl