（概率论与数理统计专业论文）可修系统的最优更换策略及系统稳态可用度的区间估计.pdf

摘要 本文是在攻读硕士学位期间完成的，全文共分为三章，讨论了可修系统的最 优更换策略及系统稳态可用度的区间估计问题 第一章主要是对可靠性数学理论背景的介绍和全文组织结构的介绍 第二章介绍了可修系统的最优更换策略，包括四个部分第一部分介绍最简 单的单部件系统，考虑了一个新的基于维修时间达到r 的更换策略，考虑了三种 目标函数，并可以证明在一定的条件下这三种目标函数的一致性；第二部分讨论 的是增加了预防性维修的单部件系统的基于系统年龄7 的更换策略；第三部分是 可修冷储备系统的基于第一个部件的工作时间丁和它的失效次数的二元的最 优更换策略，并说明了采用二元的更换策略( r ，) 比单纯的采用更换策略要 好；第四个部分是一个单部件多状态可修系统的基于系统年龄r 的最优更换策略 的讨论，当引入调和均值以后，它与两状态的几何过程模型是致的，因为基于 系统年龄丁策略下的单位时间内的期望费用的表达式是一样的 第三章通过运用广义p 值的方法，讨论了寿命服从极值分布，修理时间服从 对数正态分布的系统的稳态可用度a 的假设检验问题和置信区间 a b s t r a c t t h i st h e s i si sf i n i s h e dd u r i n gm ym a s t e ro fs c i e n c ea n di tc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s ，i nw h i c hw ed i s c u s st h eo p t i m a lr e p l a c e m e n tp o l i c yf o ra r e p a i r a b l es y s t e ma n dt h ec o n f i d e n c ei n t e r v a lf o rs t e a d ys t a t ea v a i l a b i l i t y o fa s p e c i a l l ys y s t e m c h a p t e ris h o w st h eb a c k g r o u n do ft h er e l i a b i l i t yt h e o r y ，a n dt h e o r g a n i z a t i o na n ds t r u c t u r eo f t h i st h e s i s i nc h a p t e ri i ，w ei n t r o d u c et h eo p t i m a lr e p l a c e m e n tp o l i c yf o ra r e p a i r a b l es y s t e m ，a n d i th a sf o u rp a r t s f i r s t p a r t ，w ei n t r o d u c et h e s i m p l e s tr e p a i r a b l es y s t e mw i t ho n ec o m p o n e n t w ed i s c u s san e wk i n d o fr e p l a c e m e n tp o l i c yto ft h es y s t e mb a s e do nt h et o t a lr e p a i rt i m e ， a n dg i v et h r e ek i n d so fo b j e c tf u n c t i o n s ，u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，w ec a n p r o v et h a tt h et h r e eo b j e c tf u n c t i o n sa r ee q u a l s e c o n dp a r t ，w eb r i n ga p r e v e n t i v e m a i n t e n a n c ei n t ot h ea b o v e s y s t e ma n dc o n s i d e rt h e r e p l a c e m e n tp o l i c yt ，w h i c hi sb a s e do nt h ea g eo ft h es y s t e m i nt h e t h i r dp a r t ，w ed i s c u s sab i v a r i a t eo p t i m a lr e p l a c e m e n tp o l i c yf o rac o l d s t a n d b yr e p a i r a b l es y s t e mw i t ht w oc o m p o n e n t s t h ep o l i c yi sb a s e do n t h ew o r k i n ga g eo fc o m p o n e n t1a n di t sf a i l u r et i m e s w ep r o v et h a tt h e b i v a t a t ep o l i c y ( f ，n ) i sb e t t e rt h a nt h ep o l i c yn i nt h el a s tp a r t ，a m o n o t o n ep r o c e s sm o d e lf o rao n ec o m p o n e n ts y s t e mw i t h s + ls t a t e si s s t u d i e s ，a n dw ec o n s i d e rt h ep o l i c yt ，w h i c hi sb a s e do nt h ea g eo ft h e s y s t e m w h e nw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft h eh a r m o n i cm e a n ，w ec a n s h o wt h a tt h em o d e li s e q u i v a l e n tt oag e o m e t r i cp r o c e s sm o d e lf o ra t w o s t a t eo n ec o m p o n e n ts y s t e m ，b e c a u s eb o t ho ft h e mh a v et h es a m e l o n g - r u na v e r a g ec o s tp e ru n i tt i m eu n d e r t h es a m ep o l i c yt 。 i nc h a p t e r ，t h r o u g ht h eg e n e r a l i z e dp - v a l u em e t h o d ，w ed i s c u s s t h e h y p o t h e s i sp r o b l e m a n dc o n f i d e n c ei n t e r v a lf o r s t e a d y s t a t e a v a i l a b i l i t yo fas y s t e mw i t he x t r e m ev a l u eo p e r a t i n gt i m ea n dl o g n o r m a l r e p a i rt i m e 祈江大学硕士学位论文 第一章弓l 言 第一章引言 1 1 可靠往数学理论的背景 可靠性数学理论大约起源于上世纪三十年代最早被研究的领域之一是机器 维修问题，另一个重要的研究工作是将更新论应用于更换问题此外，在三十年 代威布尔( w e i b u l l ) 、龚贝尔( g u m b e l ) 和爱泼斯坦( e p s t e i n ) 等还研究了材料 的疲劳寿命向题和有关的极值理论 可靠性问题在第二次世界大战前后，才真正开始受到重视原因之一是军事技 术装备越来越复杂复杂化的目的在于使技术装备具有更高的性能，但是装备越 复杂，往往就越容易发生故障到了复杂化的程度严重影响设备可靠性时，设备 复杂化也就失去了意义因此，复杂性和可靠性之间存在着尖锐的矛盾另一个原 因是，新的军事技术装备的研制过程是一场争时间争速度的竞赛，但是研制周期 又很快，经不起研制过程的重大反复这就需要有一整套科学的方法，将可靠性 的考虑贯穿于研制、生产和使用维修的全过程因此复杂设备的可靠性成了相当 严重而又迫切需要解决的问题从五十年代至今，可靠性理论这门新兴学科以惊 人的速度发展着，各方面积累了丰富的经验可靠性理论的应用也已从最初的军 事技术扩展到了国民经济的许多领域随着现代技术的不断发展，也推动了可靠 性理论的迅速发展和日趋完备 可靠性数学是应用概率和数理统计的一个重要分支，同时因为它又涉及到许 多决策和最优化问题，因此它又是运筹学的一个分支在解决可靠性问题中所用 到的数学模型大致可分为两类：概率模型和统计模型概率模型是指，从系统的 结构及部件的寿命分布、修理时间分布等等有关的信息出发，来推断与系统寿命 有关的可靠性数量指标，进一步可讨论系统的最优设计、使用维修策略等等统 计模型是指，从观察数据出发，对部件或系统的寿命、可靠性指标等进行估计、 检验等 新江大学硕士学位论文 第章引言2 1 2 本文的组织结构 本文共分为三章： 第一章主要是对可靠性数学理论背景的介绍和全文组织结构的介绍 第二章介绍了可修系统的最优更换策略，包括四个部分第一部分介绍最简 单的单部件系统，考虑了一个新的基于维修时间达到t 的更换策略，考虑了三种 目标函数，并可以证明在一定的条件下这三种目标函数的一致性；第二部分讨论 的是增加了预防性维修的单部件系统的基于系统年龄r 的更换策略；第三部分是 可修冷储备系统的基于第一个部件的工作时间丁和它的失效次数的二元的最 优更换策略，并说明了采用二元的更换策略f r ，1 比单纯的采用更换策略要 好；第四个部分是一个单部件多状态可修系统的基于系统年龄丁的最优更换策略 的讨论，当引入调和均值的定义以后，它与两状态的几何过程模型是一致的，因 为基于系统年龄7 1 策略下的单位时间内的期望费用的表达式是一样的 第三章通过运用广义p 值的方法，讨论了寿命服从极值分布，修理时间服从 对数正态分布的系统的稳态可用度a 的假设检验问题和置信区间 浙江大学硕士学位沦文第二章可修系统的最优垦塑堕堕 第二章可修系统的最优更换策略 2 1 简介 最早最简单的更换模型考虑的是只有一个部件和一个修理工的情形( 被称为 简单可修系统) 并且假定这个系统在维修后是修复如新的，这种维修就称为完 全维修在失效后替换上一个新的，完全相同的部件就可以算作一种完全维修但 是在现实中绝大多数的维修都不可能是修复如新的，因此b a r l o wa n dh u n t e r 3 1 首先提出了最小维修模型，它是指维修活动并不会改变系统原来的失效率，从而 也不会改变系统的年龄不久后，b r o w na n dp r o s c h a n 5 r 考虑了一种不完全维修 模型，它是指维修工作修复如新的概率是p ，最小维修的概率是1 一p ( o s p 1 、 接下来有许多研究工作是关于最小维修和不完全维修的，详见p a r k 1 8 1 ，b l o c k e t a l 4 ，k i j i m a 10 】等等 对于一个可修系统来说，在维修了以后，它的连续工作时间变得越来越短，而 维修时间却是越来越长的最后，系统的t 作时间会变成零，维修时间将变成无穷 大，也就是系统将不能再工作，也不能被修理为了很好的描述这种破坏性系 统，l a m 1 l ，i 2 首次引进了几何维修模型，并给出了两种更换策略，分别是基于系 统的工作时间t 的更换策略和基于系统的失效次数n 的更换策略目的是分别找 到最优的更换策略丁和+ ，使得系统长期的单位时间的期望损失最小在一定的 条件下，l a m 1 2 还证明了策略比策略，更优越由于几何过程是单调过程的 一个特例，所以s t a d j ea n dz u c k e r m a n 2 0 又提出了一种广义的单调过程的可修模 型，从而推广了l a m 的工作z h a n g 2 6 也通过一个二元的更换策略( r ，) 从另一 方面推广了l a m 的工作策略f r ，1 是指系统的工作时间达到t 或者失效次数达 到n 两者哪一个先发生，就采用哪一种更换策略，并证明了这种二维策略比单 一的策略和策略丁都要好z h a n ge ta l 2 8 通过在此系统中加入一个预防性维 修从而使得在这种情况下的更换策略也比l a m 1 2 l r p 的策略要好更多的 浙江大学硕士学位论文第二章可修系统的最优更换黄略 关于几何过程模型的研究著作可参见s t a d j ea n dz u c k e r m a n 1 9 ，f i n k e l s t e i n 7 】， 咀及s t a n l e y 2 】等 以上的各种研究都是基于简单可修系统的，后来z h a n g 2 7 又将几何过程引 进到了含有两个同型部件，个修理工的冷储备可修系统中，并计算了基于第 个部件的失效次数| 的更换策略 在以上所有的可修更换模型中，都是假设部件只有两种可能状态：即工作状 态和失效状态，经典的可靠性理论都是基于这种两状态假设的，也就是每个部件 要么处于完全的工作状态，要么彻底地失效但是在许多现实的情况中，系统以 及它的部件会有多于两种的可能状态例如：系统中的一个机械部件可能会有不 同程度的失效，轻微的或是严重的：一个无线电设备或是微波发射机可能会具有 完整的发射射程，较弱的射程或者完全失效：一辆汽车的性能分为非常棒，比较 好，以及较差等等这些系统或部件都是具有一个工作状态和两个及以上失效状 态的，这就是多状态系统对于一个具有5 + 1 种状态的破坏性的可修系统，它是 包含一种工作状态，j 种失效状态的l a me ta 1 1 3 1 5 qz h a n ge ta 1 1 2 9 1 考虑了这种多 状态模型的基于系统失效次数的更换策略，并证明了这种多状态的单调过程 模型与一个部件两种状态的几何过程模型是一样的，因为它们的长期单位时间期 望损失是一样的，最优的+ 也相同 本章的第二节介绍最简单的单部件系统，考虑了一个新的基于维修时问达到 r 的更换策略，及三种目标函数，并证明了在一定的条件下这三种目标函数的一 致性：第三节讨论的是增加了预防性维修的单部件系统的基于系统年龄r 的更换 策略；第四节是可修冷储备系统的基于第一个部件的工作时间7 1 和它的失效次数 的二元的最优更换策略；第五节是一个单部件多状态可修系统的基于系统寿 命r 的最优更换策略的讨论 首先给出下面的内容中将要用到的几何过程的定义 定义2 1 i t ”1 设善，r 为两个随机变量，若对任意实数口有 p ( 亭口) p ( r 口) ， 则称# 随机地大于_ ，记为f 。叩：或者称为叩随机地小于毒，记为r 0 - ”= 1 ，2 ，3 ，则 瓦，n = l ，2 3 ) 就称为一个 几何过程 显然，当o i 1 时， 以， = l ，2 ，3 是随机递城的，也就是x 。 。x 。， ”= l ，2 3 ：当0 “ 0 假设3 ：设y ，为系统第h 次故障后的维修时间，它的分布函数为g ( 6 ”f ) ， 其中0 6 0 假设4 ：剩余寿命瓦和维修时间y 。，n = l ，2 ，3 相互独立 假设5 ：系统在单位时间内的维修费用为c ，单位时间内的工作报酬为c 。， 一次更换费用为c l a m 1 2 得到了两种更换策略，基于系统的工作时间t 的更换策略和基于系 统的失效次数n 的更换策略，还证明了策略比策略r 更优越 在此基础上本节需要特别假定的是，假设6 ：当修理工累计的维修时间达到 r 时，系统将用一个同类型的部件更换，且更换时间忽略不计 2 2 2 策略r 下的三种更换模型 设互为系统第一次更换时刻，t 为系统第 一1 次与第”次更换之间的时间闻 浙江大学硕士学位论文第二章可修系统的最优更换策略 隔， = 2 ，3 ，显然 ，h = 1 ，2 ，3 0 为一个更新过程 2 2 2 1 策略7 下单位时间内的期望费用 设q ( t ) 为在策略t 下系统经长期运行单位时间内的期望费用，则由于 瓦，”= 1 ，2 ，3 ) 为一个更新过程，所以相邻两次更新时间间隔为更新周期长，由 更新理论可得： e l ( 耻慧黜瓣t 我们的目的就是要找到最优的r 使得上述的c 。( t ) 达到最小现在我们再设一个 更新周期的长度为w ，则= r + 墨，k = 1 2 。此处的k 是一个随机变量，表 示一个更新周期内的失效次数，令= r ，它的分布函数为g 。( f ) ，我们先来 l _ l 计算芷的概率分布 所以 p ( k t ) = p ( 圪一。 r ) = q 一，( t ) p ( k + 1 ) = p ( k r ) = g ( t ) p ( k = i ) = q 一，p ) 一q ( t ) ( 2 2 1 ) 眦e ( 喜置 = e 睢班心( 喜甜c m 喜每丁， 从而有e ( ) = r + e ( 喜置 = r + 五k ”_ 1 a k l _ 1 k r ) ，这就是更新周期的期望长度 又可算得更新周期内的期望费用为：c r t q = ；： 一p ) + c t ，1 “ 从而在策略r 下系统经长期运行单位时间内的期望费用即为 ( 2 2 2 ) 坐 趣扣驾噶 僻 浙江 人学矾士学位论文第二章可修最绕的最优更换荒略 医为对于v f ，有喜；“( 丁) c 喜击 1 ，0 鱼 1 ，0 甄。也就是 x ：，h = 1 , 2 。0 和 碰，”= 1 2 ) 都是递减的几何过程； ，”= 1 ，2 ) 和 球1 ，n = 1 ，2 ) 都是递增的 几何过程并且有矗0 ，h 0 ，i = 】，2 假设6 ：以，e ，乙相互独立，e 和相互独立 z h a n ge ta 1 1 2 8 1 提出了一个新的目标函数，即在基于失效次数n 的策略下系统 长期运行单位工作时间内的期望损失。 本节仍然使用系统长期运行单位时间内的期望损失这一目标函数，但是在 浙江大学硕士学位论文 第二章可修系统的最优更换策略 系统的年龄达到t 的时候对部件进行更换，因此需要特别假定的是，假设7 ：设系 统在故障维修状态时达到系统年龄7 1 2 3 3 基于系统的龄丁策略下的单位时间内的期望费用 设i n n 统第- - 次更换时刻，瓦为系统第n 一1 次与第n 次更换之间的时间间 隔， = 2 ，3 ，显然 l ，”= 1 ，2 ，3 - ) 为一个更新过程c ( r ) 为在策略t 下系统经长 期运行单位时间内的期望费用，则由于 ， = 1 ，2 ，3 为一个更新过程，所以相 邻两次更新的时间间隔t 即为更新周期长，由更新理论可得： c c r ，= 慧黜糌， 我们的目的就是要找到最优的r 使得上述的c ( t ) 达到最小我们再设一个更新 周期内所有的工作时间之和为矿，则： 2 荟( ”一f + 砖啪7 挎k j ，丘= 1 ，2 ，此处的k 是一个随机变量设一个更新周 期网所伺明坝明任堆1 劈嗣1 日j z 利力r ，则： r ：窆窆zj ，k 同上那么故障维修时间之和：7 1 一矿一r 下面先给出些结果，具体的证明可参见z h a n ge ta 1 1 2 8 1 结果t ：e ( z ) 2 嘉，e ( 圳) 2 寺，e ( e ) 2 斧 结果2 ；e ( k ) 2 百p n ，至n = t 堕q n l ，o b 0 我们可以看出，系 统的s 种故障状态是随着i 变得越来越严重的，i = 1 ，2 ，s ，因此对于i l ，我们 有： x ，i s ( t 。) = l 。x z l s ( t 。) = f 以及z i s ( ) = 1 s 。r l s ( , 。) = f 也可以看出当口l = 呸= = q = a n b l = 如= = 也= b 时，上面介绍的模型就退化 成了我们前面研究过的几何过程模型了 我们先来计算咒和的分布函数( 可参见l a me ta l 1 3 ) ， p ( x ：f ) = p ( 五 0 ，有 塑望监硕兰学位论文第二章可修系统的最优更换最略 p ( 瓦 r ) 。尸( 也+ r ) ，尸( k r ) 。e f t , , + ，) 证明可参见l a me ta l 1 3 所以上面介绍的模型是多状态的单调过程模型 我们再来计算以和巧的期望，首先设e ( x ) = f f 战，( f ) = 丑， e ( i ) = f t d v ( t ) = i t ，那么 弧) _ 暑篱硝州嘶卜训 = f 黜( 轳榭一( 扯+ ， 刻以地：e ( k ) 。l 号 “+ 等j ，见l a m e ta l 【1 3 】 2 5 3 基于系统年龄r 策略下的单位时间内的期望费用 仍然设z 为系统第一次更换时刻，为系统第n - 1 次与第”次更换之间的时 f 目j n n ，”= 2 ，3 ， l ，”= l ，2 ，3 ，0 为一个更新过程用c ( r ) 表示在策略r 下系统 经长期运行单位时间内的期望费用，由更新理论有 c f r l ：里堑型塑宴塑塑望鍪旦 。7 更新周期的期望长度 ：兰 ：耋：三：生：耋：卫兰： ! 生：至兰! ：! 薹兰 兰：! 。： 。， 其中置是一个随机变量，表示【o ，明内系统的故障次数，取值为1 ，2 ，；l ，1 8 是 示性函数， 4 = ( 墨+ i ) 7 ( x ，+ i ) + x 。 ，显然它是指系统在工作时达到年龄7 1 ； k l k b = ( 墨+ l - ) + 戤 r ( 五十，：) ，是指系统在修理时达到年龄r 再记置和z 的分布函数分别为只( ，) 和q ( t ) ，k = l ，2 ，我们来求k 的概 浙江大学硕士学位论文第二章可修系统的最优更换策略 ，k - i、厂kk - i、 p ( 足) = p ( 爿，+ e ) + x 。 丁l = p 【x ，+ 丁i 皇日。( 7 1 ) i = lf = lj = l 分布函数h k ( f ) = ( r ) + q 一。( f ) ，+ 表示卷积所以 p ( k = 女) = h 。( 丁) 一h k + ，( t ) ( 喜五 = e 三( 喜五l k = 砉e ( 喜置l k = t p c 足= t ， = 砉f 喜 等+ + 等 1 峨( r ) 一以+ ( r ) 2 喜五c 等+ t + 譬j 珥( 丁) ； e ( 粪r = 善 昔+ “+ 每丁c 丁， 由以上各式，得到： c f r 、 + ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ：! ( 耋：! ：兰生：! ( 墨：! 弱： ：( ：( 耋二立3 ：( 墨兰塑! ： ： 一c 。+ c ，一 嘲砉芦( + 每) 引丁) c q + q ，砉五( 等+ + 毒厂珥t r ( 1 - p ) + 事 运用分析法或数值法对上式求出最优策略，使得c ( r ) 达到最小 ( 2 5 4 ) 浙江大学硕士学位论文第二章可修系统的最优更换荒略2 4 2 5 4 讨论和比较 我们先来给出调和均值的定义 定义2 5 4 1 ：给定随机变量x ，若e ( 1 ) 存在，那么的调和均值记为 m 。= l e o x ) 调和均值的几个性质： ( i ) 如果x 是离散的均匀分布的随机变量即x = 置的概率为1 i n ，i = 1 ，n ， 那么m 。= ”( 1 x ，) ，这就是x ，矗的调和均值 ( i i ) 如果口 ，则口 肌h 0 ，那么茎e ( x ) 在上一小节中，若我们令n = ( 喜等 _ 1 ，。= ( 喜昔 _ l ，也就是吼a 分别为q ，岛 的调和均值，i = 1 ，1 1 那么根据性质( i i ) 我们有1 a 1s 口妄q ，0 眈s b s b l 1 此时的 c ( r ) = 。( 。+ 气) 喜参风( r ) 一c 。+ 2 詈一 p + ic ， c r + c w ) 善砉以( r ) = l “ r ( 1 一p ) + 导 这就与两状态的几何过程模型的基于系统年龄丁策略下的单位时间内的期望费 用的表达式是一样的了，这也说明了多状态的单调过程模型与两状态的几何过程 模型的一致性 浙 = l 大学礤士学位论文 第三章系统的稳态可用度的置信区间 第三章寿命服从极值分布， 修理时间服从对数正态分布的系统的稳态可用度的置信区间 3 1 简介 在一个连续工作的系统中，衡量该系统长期性能的一个非常重要的指标是系 统的稳态可用度，用爿表示因此，我们对系统的稳态可用度的置信区间的构造 以及假设检验问题是很感兴趣的在可靠性工程，环境工程等领域中，当我们考 虑一个可修系统的可用度时，这种类型的统计问题经常会碰到 系统的稳态可用度a 的定义是：a = ! l ，其中、是系统寿命分布的均 ”。+ 弘。 值；, u x 是修理时间的均值此处，我们分别用随机变量x ，y 来描述系统的修理 时间的分布和寿命分布我们知道，系统的修理时间一般都用一个对数正态分布 来刻画【9 ，1 4 ，1 5 但是由于使用了对数正态分布，相应地会带来一些麻烦，我们经 常是假设此对数正态分布的的方差已知( i e 1 n x ( 卢，d 2 ) ，盯2 已知，以下简称 盯2 已知) ，或者用一些相对简单的统计分布，例如指数分布来代替对数正态分布 寿命和修理时间均服从指数分布的情况，t h o m p s o n 2 2 已经给出了系统稳态 可用度a 的置信区间和假设检验寿命服从指数分布，修理时间服从对数正态分 布且盯2 已知的情况，g r a ya n dl e w i s 【8 】也给出了稳态可用度a 准确的置信区间 但计算过程中涉及n - - 维积分的数值计算问题，他们已经将一些特殊情形下，构 造置信区间时用到的系数计算出来，并列成了表格此后，其他的一些修理时间 服从对数正态分布的情形，在讨论稳态可用度爿的置信区间时，也都是假设盯2 已 塑坚盔堂堡主堂壁鲨塞第三章系统的稳态可用度的置信区间 知，并且都要利用到g r a ya n dl e w i s 8 1 9 漩供的表格，因此又被称为g l 方法 例如：寿命服从g a m m a 分布，修理时间服从对数正态分布且口2 己知时m a s t e r s a n dl e w i s 1 6 给出了a 的准确置信区间；寿命服从w e i b u l l 分布，修理时间服从 对数正态分布且o - 2 已知时，m a s t e r se ta 1 1 7 给出了一的准确置信区间；寿命 和修理时间均服从对数正态分布且仃2 已知时，c h a n d r a s e k h a re ta l 【6 给出了一 的准确置信区间 以上各种情形都是在假设0 2 已知的前提下进行的，当口2 未知时，m a r t za n d w a l l e r 【1 5 】将b a y e s i a n 技巧引入到上面提到的一些情况中另外，对于盯2 未知时 我们还可以用旷2 的估计代替盯2 ，使其变成已知( 尽管这时的有些统计性质我们并 不了解) ，从而就可以使用m a s t e r sa n dl e w i s 【1 6 】，m a s t e r se ta 1 1 7 1 c h a l l d m s e l ( 1 1 a re ta 1 8 忡用到的方法了不过从g r a ya n ds c h u c a n y 【9 中的模拟结 果显示，对于一个1 0 + 1 0 的样本( 即1 0 次失效，1 0 次维修) ，用此方法计算的 当旷2 的真值是1 0 ，而其估计值从0 5 到3 0 变化时，4 的9 0 的置信区间的概 率覆盖却是从9 9 变化到5 9 的由此可见此方法有时候并不是非常准确，希望能 够有更好的方法 随着t s u ia n dw e e r a h a n d i 2 3 对广义p 值方法的介绍，修理时间服从对数正 态分布的方差o - 2 未知的情况也可以得到很好的解决了在讨论a 的置信区间和假 设检验的统计问题中，未知的盯2 对于我们来说就是一个讨厌参数，而广义p 值方法 正是在假设检验的显著性检验中含有讨厌参数的情况下引入的在许多含有讨厌 参数的统计问题中，传统的统计方法并不能给出精确的解答，因此，即使在小样本 的情况，操作者往往也只好采取渐进的方法，而大家知道，渐进方法在小样本的情 浙江大学硕士学位论文第三章系统的稳态可用度的置信区问2 7 形是非常不准确的广义p 值方法因为是以精确的概率为基础的，因而要比渐进 方法优越基于广义p 值方法又导出了广义置信区间的概, 4 g 2 5 1 ，从而可以构造a 的广义置信区间利用广义的方法，a n a n d a 【1 】给出了寿命服从指数分布修理时 间服从对数正态分布且所有参数未知的系统的稳态可用度爿的置信区问和假设 检验问题a n a n d aa n dg a m a g e 2 又给出了寿命分别服从w e i b u l l ，g a m m a ，对数 正态分布，修理时间服从对数正态分布且盯2 未知的系统的稳态可用度a 的置信 区间和假设检验问题并且根据模拟的结果显示，使用广义的方法得出的结果比 用渐进的方法优越很多 本章讨论的是寿命服从极值分布，修理时间服从对数正态分布的系统的稳态 可用度一的假设检验问题和置信区间广义的方法已经成功的应用到统计中的许 多领域，包括方差分析，回归分析，混合模型，生长曲线模型等想要了解更多 具体的细节请参看w e e r a h a n d i 2 4 3 2 极值分布介绍及其与w e i b u l l 分布的关系 极值分布是对应于大量子样的最小值或最大值的分布，因此它分为两种，极 小值分布和极大值分布，它主要用来描述一个随机变量出现极小值或极大值的现 象这类问题很多，例如，建筑工程中结构构件抗力的最小值分布，结构载荷的 最大值分布；机械工程中导致机械产品失效的强度或寿命的最小值分布，短期过 载的最大值分布：串联系统的“最弱”元件；并联系统中“最强”元件等等 我们知道，如果影响产品功能参数的随机因素很多，但又不存在一个主要随 堑堡盔兰堡堂些堡塞 整三童至堕塑 墨查里里鏖墼翼焦堕囹 塑 机因素时，分布必渐近于正态分布相反，若存在一个主要作用因素，则分布必 定偏斜对于有这样一个主要随机因素存在，而且功能参数取决于该因素的大小 时，一般可用极值分布来描述 在自然界中，一些自然现象的变化如气温、降雨量及暴风雨等的极值是由 于特殊情况或一些偶然出现的情况，可用极值分布来描述这些自然现象的变化 同样，工程中也由于某个特殊因素造成了系统的强度( 或寿命) 的极值，如并联 系统的寿命取决于“最强”部件的寿命；串联系统的寿命取决于“最薄弱”部件的寿 命等 弟i 型檄小值分币： 分布函数：f ( f ) = 1 一e x p e 了t - - t g ，o 。 t ， 0 ； 概率密度函数：，( f ) = i 1p 等- e - c x p 孚，一。( t ， o 期望为一，盯，y = o 5 7 7 2 ( e u l e r 常数) ；方差为等盯2 ， o 极大情分布分为三种情况： 第1 型极大值分布 r 十“ 分布函数：f q ) = e x p 一e 一了) ，一。 t ， 0 概率密度函数：，厂( f ) ：一i 巳等e q 等 ，一c o t ， o ； 概率密度函数：厂( f ) 。= 8 i 一姒了，一c o 0 分布函数：，。，：。_ ( i w - 了t ) “，一。，。， 。，。，。，为某常数 1 , t w ， 三种极大值分布之问可相互转化，因此我们只需考虑第1 型极大值分布 极值分布与w e i b u l l 分布之间有着密切的联系，若w w e f b u l l 分布，则 x = i n w 一第1 型极小值分布，而y x l n w 第1 型极大值分布w e i b u l l 分布是可 靠性中广泛使用的一种连续型分布，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效，如 用来描述疲劳失效，真空管失效和轴承失效等寿命分布 其分布函数为：f ( o = i p 一( 4 “，t o 概率密度函数：，( f ) = 五a ( m ) ”1 p 一( “，t o ，口，丑 o 3 3估计和检验问题 假设修理时间x 服从对数正态分布，据有参数和仃2 - 即 才 ， ， 数 函 布分 如 川 字 h 卜 唧 攀 堂坚丕兰堕主芏堡堡垒 塑三童墨壅塑堕查亘塑堕塑墨堡垒旦 ! ! 其中，。和口2 都未知我们感兴趣的是在得到修理时间五，x ：，以和寿命 x ，匕，匕的基础上，以下的假设检验问题 风：a a ov s h 1 ：a 4 以及构造爿的置信区间问题 和仃2 都未知，为了更好的描述这个系统，我们令 西= 喜= 喜( 哪) 2 m _ 1 ) ，z 一蔫一丁( n - 1 ) s 2 川s z ) 其中v = i n ( x ，) ，k 1 2 ， 那么有z n ( o ，i ) ，v 正。 3 3 1 寿命y 服从第1 型极小值分布 具有参数h 和q ，即 m ，= 击唧( 警h 一一( 半 卜c yc c o 其中o 1 已知，。未知系统的稳态可用度a 就可以表示成 4 ：丝 ： p 。+ p 。 其中y 是e u l e r 常数，7 = 0 5 7 7 2 一 ( 3 3 4 ) 堑婆大学硕士学位论文 第三章系统的稳态可用度的置信区问 并且当r 服从第1 型极小值分布时r = e o 服从w e i b u l l 分布，具有概率密度 函数：f ( ，) = 咒口( 加) 口一1 p 一( f ) 口，f 0 ，口，五 o ，且岱= 1 ，五= p 一“ 良 再令c = 芝f 。= 芝( e t ) “= 芝e “r 那么有：2 4 “c = 2 e “z 乞 “1 若令：矿= 2 e 一记，则有厄 首先我们来考虑构造爿的置信区间的问题 3 3 i ia 的广义置信区间 定义随机变量 ( 3 3 5 ) - - ( 9 li n _ 一1 肛；5 磊石意赢巧面两一3 3 6 此处z ，y ，形是分别服从标准正态分布，自由度为”一1 的c h i s q u a r e 分布和自由 度为2 m 的c m s q u a r e 分布一u ，s 2 ，c 分别是( 3 3 2 ) 和( 3 3 5 ) 中西，s 2 c 的观测值4 的1 0 0 ( 卜口) 的广义单侧置信区间是( ，o ，1 ) ，l o 是随机变量 r 的口分位数，也即p r ( r 1 0 1 = 搿a 的1 0 0 ( 卜口) 的广义对称双侧置信区间 是( ，1 2 ) ，是随机变量r 的等分位数，2 是其的1 一号分位数，o ，o 7 2 的值都 可以通过m o n t ec a r l o 随机模拟的方法求出，只要分别从z ，v ，矿的分布中产生大 量的随机数，然后计算r ，再通过r 的经验分布即可得到 证明广义置信区间 浙江大学硕士学位论文 第三章系统的稳态可用度的置信区阳 (