（应用数学专业论文）饱和非线性广义schrodinger方程的行波解定性与分叉研究.pdf

摘要 饱和非线性广义s c h r s d i n g e r 方程的行波解 定性与分叉研究 摘要 随着社会进步和科学研究的不断深入，在工程实际和自然科学 各分支学科甚至社会科学领域涌现出大量非线性数学模型，等待各 学科的科学工作者去研究与线性问题不同的是，非线性问题在一般 情况下很难求得精确解非线性s c h r 6 d i n g e r 方程就是最典型的例子 这类方程在流体力学、等离子物理、蛋白质化学、生物学以及工程 科学中广泛存在，对其各种解的性质的深入研究和认识具有重要的 理论意义现实的工程实用价值在对非线性s c h r c s d i n g e r 方程的理论 研究中，包括孤立波在内的各类有限行波解的研究是一个非常重要 的研究课题出现了大量研究成果和求解方法和技巧，其中包括反射 法、d a r b o u x 变换法、h i r o t a 双线性法、t a n h 法等这些方法的基本 想法就在于通过各种变换技巧将方程化为相对易于求解的形式，特别 在某些特定情况下求出方程的孤立子等特殊精确解迄今国内外数学 物理研究者利用这些方法已获得了大量研究成果然而，这些方法除 了确定一些特定情况下的精确解外，对方程的参数变化对其孤子解等 特殊有限解存在性的影响却不能给出较完整的回答国内外近年来的 最新研究表明，微分方程定性理论和动力系统分又理论可以弥补上 述求精确解方法在这方面的不足，甚至可以用动力系统的观点对某些 已知精确解提供更深刻的认识 基于上述，本文利用微分方程定性理论与动力系统分叉理论( 特 别是h a m i l t o n 系统相图分析技巧) ，研究如下具有饱和非线性特性的 广义s c h r & l i n g e r 方程的各类行波解随参数的分叉性质： 0 = 珏 u 9 一 + j 塑舻1 2 + c 罨瓦 摘要 其中，9 u ) 是一个非 型非线性实值函数，反映物理问题的饱和型 k e r r 非线性特性： 9 ( ) 5 互 丽一1 】， ( 2 ) 其中a 0 是物理参数，在光学孤子模型中，它表示最大光线强度 。与饱和光线强度l 。t 的比值，即口= k 。厶咖p 0 称为饱和指 标参数 上述模型中当p = 1 或p = 2 时，文献 2 6 ，2 7 l 己证它存在亮孤 子和暗孤子等局域解，并求出了相应精确解的解析式但对更一般的 p 值情况如何呢? 虽然已有文献指出p 2 时也存在上述孤子解，但 据我所知，还未见深入系统的研究结果本文运用微分方程定性理论 和动力系统分支理论，特别是平面h a m i l t o n 系统相图分析技巧。在一 般饱和指标参数条件p 0 下，完整地研究了上述广义s c h r t j d i n g e r 方程的各类行波解随参数变化的分叉性质，获得了相应的四维参数 空间( a ，p ，波速u 及光背景强度q ) 的分叉条件本文的研究结果表 明，p 2 对应的饱和非线性模型在一定参数条件下可以出现包括 p 2 ，a sw ek n o w , t h e r ea r e f e wf u r t h e r m o r er e s e a r c h e sf o rt h i sc a s e b yu s i n gt h eb i f u r c a t i o nt h e o r y o fd y n a m i c a ls y s t e ma n dq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n p a r t i c u l a r , t h em e t h o do fp h a s ea n a l y s i sf o rh a m i l t o n i a ns y s t e m ，u n d e rt h e g e n e r a ls a t u r a t i o ni n d e xp 0 ，w el e a r na d e q u a t e l ya b o u tt h ep a r a m e t e r s b i f u r c a t i o nf o rv a r i o u st r v a l l i n gt r a v e l l i n gw a v eo fm e n t i o n e dg e n e r a l i z e d n l s e ，a n do b t a i nb i f u r c a t i o nc o n d i t i o n si nc o r r e s p o n d i n gf o u rd i m e n s i o n s p a r a m e t e r ss p a c e ( a ，p ，t h es o l i t o nv e l o c i t yua n dt h ei n t e n s i t yqo ft h e b a c k g r o u n d ) t h er e s u l to ft h i sp a p e r i n d i c a t e st h a ts a t u r a b l en o n l i n e a r i t y m o d e l sc o r r e s p o n d i n gp 2h a v ea l lk i n d so fs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n d 。i v a b s t r a c t p e r i o ds o l u t i o n sw h i c hi n c l u d et h es o l u t i o n so fm o d e l sw h e np 2 ，w h i l e c e r t a i ns o l i t o n sa l en o te x i s ti nt h e s em o d e l sw h e np 2 k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs c h r & l i n g e re q u a t i o n ，b i f u r c a t i o n t h e o r y ，t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n ，s o l i t a r yw a v e ，p e r i o d i cw a v e ，s a t u r a b l e n o n l i n e a r i t y v 声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论交中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 己在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：要丢及 日期：o - , z 2 彳 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位沦文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印什和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 一躲夏咏跏繇瀚脚弘叫 4 5 承诺书 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年 份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文 中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：景弦融 一驯分晦彳 一、绪论 一、绪论 随着社会进步和科学研究的不断深入，在工程实际和自然科学各 分支学科甚至社会科学领域涌现出大量非线性数学模型，等待各学科 的科学工作者去研究与线性问题不同的是，非线性问题在一般情况 下很难求得精确解非线性s c h r f d i n g e r 方程就是最典型的例子这类 方程在流体力学、等离子物理、蛋白质化学、生物学以及工程科学 中广泛存在，对其各种解的性质的深入研究和认识具有重要的理论意 义和现实的工程实用价值在对非线性s c h r i i d i n g e r 方程的理论研究 中，包括孤立波在内的各类有限行波解的研究是一个非常重要的研 究课题 ( 一) 、关于行波解与孤立波 有关非线性偏微分方程的行波解，例如孤立波、周期波、扭子波 与反扭子波等，在物理、数学、生物学、工程科学等学科都有广泛的 研究行波不仅是一个重要的物理现象，也是纯粹和应用数学领域的 一项具有挑战性的研究波的数学理论研究形形色色的波的运动规 律，以精确的方式描述不同形式的波的运动性质以及彼此间的关系 由于许多物理，化学以及生物现象呈现出震动现象以及以有限速度传 播的现象，而形如u ( z ，) = 妒扛一c t ) = 西( ) 的行波解正好能表现这 两个性质，因而研究反映众多物理、化学和生物中数学模型的非线性 偏微分方程行波解的存在性成了非线性科学中的一个很重要的问题 从物理学角度看，波解往往描述的是传播过程，而有限波( 波前解、孤 立波、周期波等) 更具有现实的物理意义 行波不仅在现实自然中无所不在，而且也可以通过人为的实验得 到孤立波作为一种特殊类型的形波，最早在1 8 3 4 年英国科学家罗素 ( j ，s r u s s e l ) 在英国爱丁堡到格拉斯哥的运河中观察到在运河中，他 偶然发现个保持其原有形状和不变速度，而光滑、轮廓分明、孤立 的水波时，他感到十分惊奇，称之为“移动的巨波”【1 ，2 1 后来在1 9 6 5 年，俄罗斯的n z a b u s k y 和m k r u s k a l 通过计算机实验发现，两个孤波 碰撞后能保持波形和速度不变地进行传播，这一性质使人们想起质点 粒子与波粒二象性等物理现象，遂将这种波定义为孤粒子通常所说 的孤波，是指非线性演化方程的局域行波解。所谓“局域”，指非线性 演化方程的解在空问的无穷远处趋于0 或者某个确定常数的情形目 前，已证明一些非线性演化方程存在孤波解除了著名的k d v 方程 外，比较重要的还有非线性薛定萼方程( n l s 方程) 、正弦一戈登方程 ( s i n e g o r d o n 方程) 以及最近研究比较多的材料学中的动态形变方程 等 ( 二) 、非线性偏微分方程求解的几种常见方法 众多数学家和物理学家越来越注意对孤立波的研究，并形成了非 线性科学的一个重要研究领域迄今为止，许多专著和文献【3 8 研 究了非线性方程中的孤波解、1 扭波解( k i n k ) 或反扭波解( a n t i k i n k ) 、 周期波解等，而且发展了许多方法用于求解有限行波，如反散射变换 方法( i s t ) ，d a r b o u x 变换方法，h i r o t a 双线性方法，代数几何法和t a n h 法等下面简要的介绍一下其中几种常用方法的基本思想 ( 1 ) 、反散射变换方法( i s t ) ：利用非线性偏微分方程的l a x 对和 常微分方程的潜理论，把c a u c h y 问题转化为求解线性积分方程，在退 化核的情况下，能给出显示的解 ( 2 ) 、d a r b o u x 变换方法：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的 解，用代数算法及微分运算朱得出非线性方程的新解和l a x 对相应的 解d a r b o u x 变换的实质也是以已知解为种子来导出新解，该方法具 有很高的普适性 ( 3 ) 、h i r o t a 双线性方法：在函数变换中同时引进两个未知函数， 一2 一 一、绪论 然后通过选择其中一个函数或选择两个函数问某种关系使原非线性 方程化为双线性形式求解 上述方法的基本想法就在于通过各种变换技巧将方程化为相对 易于求解的形式，特别在某些特定情况下求出方程的孤立子等特殊精 确解迄今国内外数学物理研究者利用这些方法已获得了大量研究成 果然而，这些方法除了确定一些特定情况下的精确解外，对方程的参 数变化对其孤子解等特殊有限解存在性的影响却不能给出较完整的 回答另一方面，对大部分非线性模型而言，用上述方法求精确解都会 遇至0 相当大的困难，甚至根本得不到精确解。 国内外近年来的最新研究表明，微分方程定性理论和动力系统分 叉理论在一定程度上可以弥补上述方法的这些不足，甚至可以用动力 系统的观点对某些己知精确解结果提供更深刻的认识 下面介绍利用动力系统分支理论研究非线性微分方程行波解一 般思想1 9 j - 我们考虑一类非线性k d v 方程g ( m ，孔) 毗+ a ( u ”) 。+ ( u “) 。茁z = 0 ， ( 1 1 ) 其中m ，n 是整数，a 是实参数，仳( z ，t ) 是关于时间参数t 与空间参数z 的一个未知函数 假设方程( 1 1 ) 有形式为( z ，t ) = 咖( 。一c t ) = ( ) 的行波解，c 指 行波速度，则把它代回方程( 1 1 ) 中，我们得到如下常微分方程 一c + o ( 咖p ) 7 + ( 妒) = 0 ( 1 2 ) 方程( 1 2 ) 关于一次积分得 一c 妒+ o 痧“+ 竹( 咒一1 ) 庐“一2 ( ) 2 + 凡妒一1 矿= 9 ， ( 1 3 ) 、绪论 其中夕袁是个积分常数令= y ，则上式转化为如下平面自治 系统 豸d e2 | ：咒一，。一。可。n 。+ 。+ 夕 。 1 褰= 尘型等掣， u 卅 础= m n - 2 y 2 + 熹矿一熹一鲁) = ( 1 5 ) f 里= 出f 墨= p 绪论 方程( 1 1 ) 的周期行波解对应于系统( 1 4 ) 的周期轨 因此，如果我们能够找到系统( 1 4 ) 的所有同宿轨、异宿轨以及周期 轨对参数的依赖关系，我们就可以确定方程( 1 1 ) 的所有的孤波解、 扭波解( 或者反扭波解) 以及周期行波解对参数的依赖关系( 即分支 情况) 由此，我们可以建立起平面动力系统理论应用于行波解理沦研 究的桥梁在本文中，平面动力系统理论中的分支思想f l o _ 1 3 】对于研 究行波解的特性问题可以起到重要的作用 ( 三) 、论文结构与主要成果 本文的主要内容组织如下：第一章为绪论，简单介绍行波解与孤 立子的基本知识以及非线性偏微分方程求解的几种常见方法，特别 介绍了用动力系统分叉理论研究行波解的一般方法第二章是本篇 论文的主体部分，分为四个小部分展开在第一部分介绍广义非线性 s c h r o d i n g e r 方程及其相关背景知识，详细罗列了几种非k e r r 型非线 性类型及其相关的研究结果，讨论并引出用动力系统分叉理论研究非 线性方程的行波解的重要意义和本文将研究的问题第二部首先从饱 和非线性s c h r o d i n g e r 方程的驻波解出发导出相应的非线性常微分方 程组，它的求解可以转化为一个含四个参数的平面h a m i l t o n 系统的 研究其次，利用平面h a m i l t o n 分叉理论对这个h a m i l t o n 方程的平衡 点及相图进行了细致分析，获得了相应平衡点的分叉参数条件以及各 种相图的分叉参数集特别地，分别对饱和指标p 在ps2 和p 2 两种不同情况讨论的发现，p 2 情况下具有更丰富的周期轨和同宿 轨道类型紧接着，在第三小节，结合上节获得的相图分又结果，分别 对p 2 和p 2 两种不同情况，得出了原饱和非线性s c h r o d i n g e r 方 程的各类行波解及其参数条件，并讨论了两种p 值条件下行波解的差 异最后- - d , 节讨论了行波解的解析式，并利用m a p l e 软件画出了几 类典型波的波形图 二、饱年l i 非线性s c h r k l i n g e r 方程的行波解 二、饱和非线性s c h r l k ：l i n g e r 方程的行波解 ( 一) 、非k e r r 型非线性孤子方程的若干模型 为方便后面论述，先介绍一些关于广义非线性s c h r s d i n g e r 方程 的相关背景知识，更详细的介绍可参看文献【1 4 光纤孤子通信是 高码率全光通信系统，由于它能实现超高速远程通信，从1 9 7 3 年 h a s e g a w a 和t a p p e r t l l 5 ) 预言在光学非线性介质( 如光纤) 中，光学孤 子传输的可能性至今三十多年，光孤子通信原理、传输特性、光孤 子源、传输系统等方面都已取得蓬勃发展在非线性光学理论中，描 述光孤子的传输方程足非线性s c h r f d i n g e r 方程，这类方程在流体力 学、等离子物理、蛋白质化学、生物学以及工程科学中也广泛存 在，并发挥着重要的作用本文涉及的是具有如下形式的广义非线性 s c h r s d i n g e r 方程1 1 6 ( 简称g n l s e ) ： i 豢+ ；篆+ 一札1 2 ) 9 ( i “锄( 2 1 ) 2 瓦+ 互瓦再+ 札“2 u ，【2 1 ) 其中，第二项表示色散效应，第三项表示非线性效应g 是一个实 值函数方程( 2 1 ) 是一个抛物型方程，一般而言是不可积的其不可 积性与方程中的非线性关系没有必然的联系更高次的色散效应或双 折射也会使系统不可积，尽管方程仍然保持h a m i l t o n 系统的形式 当日( ，) = ，时，称为k e r r 型非线性，此时的方程( 2 1 ) 称为三次非 线性s c h r f d i n g e r 方程，通过z a k h a r o v 和s h a b a t 首先发现的反散射变 换( 简称1 s t ) 可征得它是可积的【1 7 1 ，而且还可求得具有精确解析式 的孤子解i s t 是傅立叶变换的非线性对应变换，后者可用于求解线 性偏微分方程，而前者是用于求解非线性偏微分方程的这种k e r r 型 的非线性s c h r s d i n g e r 方程广泛存在于流体力学、非线性光学和生物 三：塑塑苎垡丝壁! 型垫壁! 互壁堕! ! ：堕鳖 学中的一螺旋状蛋白质等多种相关领域【1 9 ，2 0 1 当g ( i ) i 时，称为非k e r r 型非线性此时可证方程( 2 1 ) 不是 p a i n l e v e 型1 17 f ，因此无法用i s t 来分析从严格意义上讲，不可积系 统的脉冲解不是孤子，但“孤子”这一名词仍然被广泛地用于描述不 可积系统的解与三次n l s e 具有无穷多个守恒量不同，方程( 2 1 ) 表 示的非k e r r 型g n l s e 只有少数几个守恒量虽然它也存在驻定孤子 解，并且某些解也可以有解析形式，但是两类方程的孤子性质是不同 的 具有非k e r r 型非线性方程( 2 1 ) 有如下三个守恒量： ， e = m 2 d x ， ( 2 2 ) m = ；仁：- - l z * u x ( 2 s ) 日= 仁* 1 2 - - a m l 2 ) ， ( 2 - 4 ) 其中 ，f g ( i ) = 7g ( i ) d i ， 式( 2 2 ) 定义的守恒量( e ) 的具体含义依方程( 2 1 ) 应用的特定问题 的背景而定它通常称为波能量( w a v ee n e r g y ) 而在光学中，称它为 波动力( w a v ep o w e r ) ，它相当于数学上所说的l 2 范数由式( 2 3 ) 定 义的守恒量( m ) 称为动量，式( 2 4 ) 定义的守恒量( h ) 称为哈密顿量 方程( 2 1 ) 可以改写成如下正则形式： 地= 筹， ( 2 5 ) 一7 一 二、饱和非线性s c h r i s d i n g e r 方柑的行i ! f f 解 i ：= 一面o h ， ( 2 6 ) 式( 2 5 ) 和式( 2 6 ) 定义了随z 趋于无穷时极限为零的两个复函数 乱，i t + 所构成的无限维相空间上的h a m i l t o n 系统，它可利用无穷维 h a m i l t o n 系统理论进行定性分析实际上，方程( 2 1 ) 的稳态解也可通 过列。无穷维系统的奇点及其稳定性分析获得 k e r r 型非线性在描述强度较弱的光孤子是很有效的。相关的研 究已有很多，包括孤子的精确解等，文献 1 4 进行了较全面的介绍 当光强度较高时，k e r r 型非线性近似就不能很好描述介质的非线 性本质，必须考虑更高阶的非线性，因此应研究所谓非k e r r 型非线性 下面是文献中常见的几种非k e r r 型非线性模型。 ( 1 ) 竞争动力型：g ( z ) = a l p + f l l 2 p 其中o t 与p 是常数，且叩 o ，p o - 系统( 2 1 6 ) 是一个关于四个参数 3 ，g ，o ，p 的平面h a m i l t o n 系统， 其h a m i l t o n 函数为( 2 1 5 ) 所示一般而言，系统所含的参数越多，那 么它的相图分析就越复杂注意方程( 2 1 6 ) 右端在( 圣，妒) 相平面上 圣= 0 时无定义 按动力系统定性研究的一般步骤，先从分析( 2 1 6 ) 的平衡点个数 随参数的变化关系开始，进而讨论平衡点的类型 显然，在相平面( 圣，妒) 上，系统( 2 1 6 ) 的平衡点的坐标必为( 哦，o ) ， 而其中的横坐标哦0 就是如下函数的零点： g ( 西) = v 2 q 2 + 2 9 ( q ) 一u 2 2 9 ( 0 2 ) 】中4 ，( 2 。1 7 ) 三：塑型韭垡丝! ! ! 型虫! ! 互壁盟堑丝堡 方便起见，我们令西2 = z ，那么上式( 2 1 6 ) 就改写成 c ( x ) = v 2 q 2 + 2 9 ( q ) 一v 2 2 9 ( z ) z 2 ，x 0 ( 2 1 8 ) 易得 c ( q ) = 0 ，c ( o ) = v 2 q 2 ( 2 1 9 ) 也就是说背景强度确定了方程( 2 1 8 ) 的一个零点，因此，在下文分 析系统平衡点时，也详细分析了q 所决定的平衡点类型由( 2 1 8 ) 可 知，函数c ( x ) 的曲线必经过两点( 0 ，v 2 q 2 ) ，( q ，o ) 类似文献 2 8 1 中关 于函数零点的讨论，我们首先对函数a ( x ) 关于2 3 求导得 g ( z ) = 一2 。 2 9 ( z ) + 9 7 ( 。) z + u 2 2 9 ( q ) 】， ( 2 2 0 ) 由此可知，g 7 ( z ) 的正根由如下方程确定： 于是，若令 2 9 ( x ) + g t ( x ) x + v 2 2 9 ( q ) = 0 ， ( 2 2 1 ) g i ( x ) = 2 9 ( x ) + g l ( 茁) z ， ( 2 2 2 ) 则( 2 2 0 ) 可改写为 g 7 ( 。) = 一2 x a l ( x ) + u 2 2 夕( q ) 】， ( 2 2 3 ) 为分析g 7 ( z ) 的正根，首先我们分析函数g i ( x ) 的性质由( 2 2 2 ) 易知 l i m g l ( x ) = - 1 ，l i mg i ( x ) = 0 ( 2 2 4 ) o + 0 0 一一v 三：塑塑苎垡些! 塑! 塑虫望! 查塑丝堑丝坚 ，弘ji：一lz 1 0 ”渺7 叶。 ( 2 一l - 1 )( 2 一l - 2 ) 蚓2 一i ：函数g l ( z ) 的图象： ( 2 一l 1 ) p 2 ( 2 1 2 ) p 2 l 蠡2 ( 1 + a x ) p + 2 ，篡亿2 5 ，h 垆堑盟型，p 2 u 。训 其中矿2 赢茅与，为g - ( z ) 的极值点，相应极值记为 蛳) 娟( 一志【2 ( 1 捌帕- 2 ) ( 籍川 。， 并结合图2 - 1 ，分析可得如下： ( i ) 当p 2 时 ( i ) 若 1 3 2 2 9 ( 口) o 即u 2 一面r 五a p 驴q o 时，则g ( 茁) 有两个单根 z 1 x 2 = q ( 见图2 - 2 2 ) 若g 7 ( 口) o 时，则g ( z ) 有两个单根 q = 茁1 1 时，g 7 ( z ) 必无零点，且根据 l i r aa ( x ) = 一o o 可得c ( x ) 只有一个单根x l = q ( 见图2 - 2 4 ) ( i i i ) 若u 2 2 9 ( q ) = 1 时，把它代入方程( 2 1 8 ) 得 a ( x ) = 1 + 2 9 ( q ) q 2 - 1 + 2 9 ( z ) 】z 2 = 1 + 2 9 ( q ) q 2 荐1 a x ) p ( 2 2 7 ) f + 一一 三：堡塑! ! ! 垡丝! ! ! 型垄坚互型丝堑塑坚 再得 g 协) = 1 ( p - 再2 ) a 万x 2 - - 广2 x 。， ( 2 2 8 ) 此时a ( x ) 是一个单凋递减函数，且当p 一( p ) ，g ，( z ) 必无零点，此时a ( x ) 只有一个单 根x l = q ，与p 2 中的( i i ) 相同( 见图2 2 ) ( i i ) 若u 2 2 9 ( q ) l ，对应于g 7x ) 的唯一正零点，a ( x ) 只有一个 正极点z 6 ，则其零点的个数及其相对位置与p 2 中的( i ) 相同、( 见图 2 2 1 ( i i i ) 若1 u 2 2 9 ( q ) 一( p ) ，此时对应于g 7 ( z ) 有两个正 零点0 z j x 1 2 ，即满足条件g 7 ( z ：) = g ，( z ；) = 0 ，是c ( x ) 在正 半轴上的两个极点令其极值就为g 扛：) ，g ( 。；) ，则极值大小必为 g ( z j ) g ( z ；) 由于q 必为a ( x ) 的一个零点，则零点的个数及其相 对位置有以下分类： 6 一 三：塑塑j ! 垡丝! ! ! 型虫g ! ! 互型盟! ! 堡坚 。j 帷a 3 多” “ | 。7 。” ( 2 2 1 )( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) l ：。一。， | | 一 ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 翻2 - 2 ：p s2 时，州定参数q = 0 5 凼数g ( x 零点与参数关系 ( 2 2 1 ) u 2 2 9 ( q ) l ；d ( 口) = 0 ( 2 2 2 ) t j 2 一劫( q ) 0 ( 2 - 2 3 ) 伊一2 9 ( q ) 1 g 7 ( q ) 0 ( 2 ，2 - 4 ) p s2 ，u 2 2 9 ( q ) 1 ；p 0 时，c ( x ) 有三个单根x l z 2 = q x 3 ( 见图2 - 3 一1 ) 当g 7 ( g ) = 0 时，c ( x ) 有一个重根与一个单根： 当q 矿= 3 a ( p 一2 ) 】时，有q = x l z + = 3 a ( p 一2 ) 】时，有x l x 2 = q ( 见图2 - 3 - 3 ) 当g 7 ( g ) 0 时，此时零点位置关系又可分为两种情况讨论： 当q 矿= 3 a ( p 2 ) 】时，若g ( z j ) 0 ，则有 q = x l x 2 z 3 ( 见图2 3 4 ) ；若g ( z ；) = 0 ，则有g = x l z 2 ( 见图2 3 5 ) ；若g ；) 0 ，则c ( z ) 只有一个正单根w l ，且 z l = q 矿= 3 a ( p 一2 ) 】时，若g i ) 0 ，则有 x 1 z 2 x 2 ( 见图2 - 3 9 ) ( i v ) 若u 2 2 9 ( q ) = 1 ，由( 2 2 7 ) 可得此时极限 l i r a a ( x ) = 1 + 2 9 ( q ) q 2 ， o + o 。 由( 2 2 8 ) 可得此时g ) 只有一个正极点z 6 = 虿习2 ，且至少有一个零 点为q ，且 因此分三利，情况讨论 g ，( q ) - 鬈 【1 十刨1 若g ，( q ) = 0 ，即q = 2 陋白一2 ) 】，则g ( z ) 只有一个正重根x l ，且 x l = x 0 = q ( 见图2 - 4 1 ) 若g 7 ( q ) 0 ，即q 2 陋( p 一2 ) 】时，则a ( x ) 有两个单根z l z 2 = q ( 见图2 4 2 ) 若g 7 ( 口) 0 ，即q 2 陋一2 ) 时，则c ( x ) 有两个单根q = z 1 2 时，固定参数q = 0 5 ，函数g f x ) 在第( i i i ) 种情形下零点与参数关系 ( 2 3 一”g ，( q ) 0 ( 2 - 3 - 2 ) g ，( 叮) = 0 。g 可孑酉( 2 3 - 4 ) g ) 0 ， q 采与，g ( 。：) ( ) ( 2 - 3 5 ) g ) 0 ，q i i 与，g ( z ) = 0 ， 2 3 6 ) g ，( 吁) o 。 q 赤与，g ( z ；) 0 - 一1 9 _ f 卜一 三：塑型苎塑堡! ! ! 塑! ! 竺互型塑堑丝堡 f 2 4 1 ) 孙一。 ：抑一 f 2 4 2 ) 。 一 ( 2 4 3 ) 罔2 - 4 ：p 2 于雨数g f x ) 存第f l y ) 种情形下零点与参数关系 ( 2 4 _ ljq = 面2 面( 2 4 2 ) q 南( 2 - 4 - 3 ) q 2 时函数g f x ) 在第( v ) 种情形下零点。j 参数天系 ( 2 5 j ) u 右b 2 1 ) 一 m 飞咄芷j 三：塑翌! ! 垡丝! ! ! 堡翌虫! ! 互矍塑! ! 丝坚 有一个零点为g ，此时需要根据g ( g ) 的正负性来判断零点个数及其 相对位置关系，也就是说，当我们任取定一个q 值时，把其代入g ( z ) ， 在参数平面( u ，a ) 上就可以找到满足各种条件的参数而当g 7 ( z ) 有 两个正零点z i 2 时，系统( 2 1 5 ) 最多有六个平衡点接下来，本文根据定 理2 1 与定理2 2 详细分析系统( 2 1 6 ) 的平衡点类型与相图 2 2 、平衡点类型与相图分析 以上本文就系统平衡点的个数分又的各个参数条件已经分析清 、， 9 22 ，l 0 0 | | | | 、)、j q q，k，【 9 g 2 2 一 一 2 2 u u + + l t 2 z 、)、j 十l 2 茁 z ，l，【 夕 9 + + 、j、j+ l 2 雾 z l，【 9 夕 2 2 十1 2 z g 2 2 一 一 l i = 、j、jl 十2 z z l，l g g ，j(1【 纛 二、饱和非线性s c h r m i n g e r 方柙的i j 波解 楚了，在本小节中本文利用平面动力系统系统的定性理论与h a m i l t o n 系统理论来分析系统( 2 1 6 ) 的相图，在这之前，首先划分各个参 数条件下的平衡点类型若令( 吼，0 ) 为系统( 2 1 6 ) 的平衡点，即 g ( 嚷) = 0 ，其中吼：士 面( z o ) 令m ( 峨，0 ) 为零点( 峨，0 ) 的伴 随矩阵，于是我们有 ，( 中。，o ) = d e tm ( o 。，0 ) = 一2 m ：g ( 西。) 那么根据平面动力系统理论l l o , n 1 ，我们有以下推论： 推论2 1 假设( 眈，0 ) 为系统( 2 1 6 ) 的平衡点。则 ( 1 ) 若g 7 ( 眈) 0 ，则平衡点( 吼，0 ) 是一个中心 ( 2 ) 若g 7 ( 啦) 0 ，即l ，( 哦，0 ) 0 ，则平衡点( 吼，0 ) 是一个鞍点 ( 3 ) g 7 ( 中。) = 0 ，且( 圣。，0 ) 的p