（概率论与数理统计专业论文）一类非线性抛物型方程的反问题.pdf

摘要 在偏微分方程中，我们通常研究的是正问题，即给定了方程以及 方程的解应满足的条件，如初始条件，边界条件，或者混合初边值条 件，求满足给定条件的解以及研究解的正则性质然而，在实际问题 中，微分方程的解大多代表某种物理场的性质，我们不仅知道它应取 得的初边值，而且还可以观测到解的某些其它附加信息但是反映源 结构的某些物理参数或几何参数却作为未知量出现在微分方程的系数 中，出现在微分方程的右端部分，或出现在初边值中，要求我们利用 解的某些附加信息去反求这些未知量，这就是偏微分方程的反问题特 别的，当待求的未知量是微分方程的系数时，这个反问题就被称作系 数识别问题 本篇文章主要研究的是利用伴随问题方法解决一类非线性抛物型 方程反问题中的系数识别问题其中，未知系数依赖于正问题的解关 于空间变量的偏导数，并且属于一定的容许系数集合首先，根据反 问题的物理模型，提出一个输入输出映射，输入即为方程的未知 系数，输出则为通过观测得到的附加信息其次，利用抛物型方程的极 大值原理以及与正问题相对应的伴随问题，我们将会得到一些积分等 式利用得到的这些积分等式，就可以证明输入输出映射是连续 的，且严格单调的更进一步地，根据得到的积分等式设计算法，计 算该反问题的近似解，并分析近似解的误差最后，用实际例子说明 伴随问题方法对于系数识别问题的可行性 关键词系数识别，反问题，伴随问题方法，非线性抛物型方程 a bs t r a c t i nt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ep r o b l e mw em o s t l yd i s c u s s e d i st h ed i r e c tp r o b l e m i nd i r e c tp r o b l e m ，t h ee q u a t i o na n dt h ec o n d i t i o n s w h i c ht h es o l u t i o no ft h ep r o b l e ms h o u l ds a t i s f ya r eg i v e n ，s u c ha si n i t i a l c o n d i t i o n s ，b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，o rm i x e di n i t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s a t l a s t ，w em u s tr e q u i r et h es o l u t i o nt h a ts a t i s f i e st h eg i v e nc o n d i t i o n s ，a n d d i s c u s st h er e g u l a r i z a t i o no ft h es o l u t i o n b u ti nf a c t ，t h es o l u t i o no ft h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e p r e s e n t ss o m ep h y s i c a lc h a r a c t e r ，w en o to n l yk n o w t h ei n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，b u ta l s om e a s u r es o m ea d d i t i o n a l i n f o r m a t i o na b o u tt h es o l u t i o n a tt h es a m et i m e ，s o m ep h y s i c a lp a r a m e t e r s o rs o m eg e o m e t r i cp a r a m e t e r sw h i c hr e f l e c tt h es o u r c es t r u c t u r eb e c o m e s u n k n o w n ，t l l e ya p p e a ri nt h ec o e f f i c i e n to f t h ee q u a t i o n ，t h er i g h th a n ds i d e o ft h ee q u a t i o no rt h ei n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n s i tr e q u i r e du s c o m p u t e t h e s eu n k n o w n p a r a m e t e r su s i n g t h e g i v e n a d d i t i o n a l s p e c i f i c a t i o n s ，t h i s i st h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s e s p e c i a l l y ，w h e nt h eu n k n o w np a r a m e t e ri st h et o e f f i c i e n to ft h e e q u a t i o n ，t h i si n v e r s ep r o b l e mi st h ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ec l a s so fi n v e r s ep r o b l e m sf o rc o e m c i e n t i d e n t i f i c a t i o nw i t ha na d jp i n tp r o b l e ma p p r o a c hr e l a t e dt on o n l i n e a r p a r a b o l i cp a v i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eu n k n o w nc o e f ! f i c i e n td e p e n d s o nt h es p a t i a ld e r i v a t i v eo ft h es o l u t i o na n db e l o n g st oas e to fa d m i s s i b l e c o e f f i c i e n t s f i r s t ，a c c o r d i n g t ot h ep h y s i c a lm o d e lo ft h ei n v e r s ep r o b l e m ， w ep r e s e n tac o e f f i c i e n t - t o - d a t am a p p i n g t h e n ，b a s e do nm a x i m u m p r i n c i p l ea n dt h ea d jo i n tp r o b l e mo ft h ed i r e c tp r o b l e m ，t h ei n t e g r a l i d e n t i t i e sw i l lb eo b t a i n e d u s i n gt h e s ei d e n t i t i e s ，w ec a l ls h o wt h a tt h e c o e f f i c i e n t - t o d a t am a p p i n gi sc o n t i n u o u sa n ds t r i c t l ym o n o t o n e f u r t h e r m o r e ，a na p p r o x i m a t es o l u t i o nt ot h ei n v e r s ep r o b l e mi sc o n s t r u c t e d ，a n dt h e e r r o ri sa n a l y z e d f i n a l l y ，t h ea p p l i c a b i l i t yo ft h em e t h o di sd e m o n s t r a t e d o nn u m e f i c a le x a m p l e s k e yw o r d sc o e f f i c i e n ti d e n t i f i c a t i o n ，i n v e r s ep r o b l e m s ，a d j p i n t p r o b l e ma p p r o a c h ，n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s l i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名：功鸯日期：毕月卫日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文 的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文 名：蛳翩虢鱼k 鱼期：萼一月当日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 微分方程是描述与刻画物理过程、系统状态、社会现象与生物现象的有力工 具伟大的科学巨匠牛顿曾经说过：“要想探求自然界的奥秘在于解微分方程 偏微分方程的历史可以追溯到十七、十八世纪微积分的产生，从那时候起，偏微 分方程就成为人们认识自然，改造自然的一种极其重要的数学工具，成为数学科 学与实际应用联系起来的主要途径之一 在自然科学和技术的发展过程中，偏微分方程一方面直接从与生产实际联系 的其他科学技术中汲取活力，另一方面又不断以各个数学学科的新成就来武装自 己，所以它所研究的问题与解决问题的方法越来越丰富尤其是自上个世纪五六 十年代以来，这种发展趋势尤为突出 近年来，在地球物理、生命科学、材料科学、遥感技术、信号处理等众多的 科学技术领域中，都提出了“由效果、表现反求原因、原象 的反问题，由于此 类问题有着广泛而重要的应用背景，其理论又具有鲜明的新颖性与挑战性，因而 吸引了国内外许多学者从事该项研究在这样的背景驱动之下，偏微分方程反问 题的发展逐步壮大1 1 实际上，反问题的研究源远流长，早在1 8 2 3 年，a b e l 问题，即根据爬山的时 间来确定山的形状，就是一种反问题1 8 7 7 年，l o r dr a y l e i g h 和k r e i n 利用弦的 振动频率来推断一个非均匀的振动弦的密度他们被公认为世界上研究反问题的 先驱1 9 0 5 年，h e r g l o t z 在利用地震数据确定地幔结构的工作中，研究了偏微分 方程lv t | - 1 v ( x ) 的反问题，即反求1 ，( x ) 自上个世纪六、七十年代开始，c a n n o n 5 - 1 9 1 、r u n d e l l 2 0 - 2 1 1 等一些数学工作 者，就对一维热传导方程的反问题以及其他类型的偏微分方程反问题进行了比较 深入的理论探讨，到了八十年代初期，以d u c h a t e a u 2 2 。2 5 1 、i s a k o v 2 6 _ 2 9 1 为代表 的一些数学工作者继续了前人的工作，研究了更为广泛的偏微分方程反问题，为 反问题发展成为一门新的数学学科奠定了坚实的基础 近二十多年来，反问题己成为应用数学和工程中发展和成长最快的领域之 一它在理论上具有鲜明的新颖性和挑战性，引起了国内外许多学者和实际工作 者从事研究和应用迄今，它已发展成为具有交叉性的计算数学、应用数学和系 统科学中的一个热门学科方向 硕七学位论文第一章绪论 然而，给反问题下一个确切的定义是很困难的，但是当我们遇到反问题时， 大部分人都能够识别它这种辨别能力源于我们对正问题的直观理解，而正问题 的定义则可以看成是历史发展中科学问题的某种“社会标准 因此，对反问题 的理解必须从正问题入手 偏微分方程的正问题是研究如何描述与刻画各种物理过程、化学过程、系统 状态、社会的以及生物学的现象等等，从而建立偏微分方程，然后根据过程与状 态的特定条件，如初始条件，或者边界条件，去求解这一定解问题，得到对过程 和状态的数学描述它反映的是时空域中顺时针的物理变化过程，一般是按某物 理规律由因而果，由过去、现在来预测未来偏微分方程正问题的研究在理论和 应用上都是比较成熟的，至今仍占着主导的地位 如果在某一函数空间中，某一定解问题的解是存在的、唯一的并且连续依赖 于给定的数据，例如右端项、初边值条件等，则称这个定解问题是适定的偏微 分方程理论中的许多重要结果，基本上都是在满足适定性条件的这类问题中得到 的 偏微分方程反问题是和正问题相对而言的也就是说：如果偏微分方程定解 问题中的某一个或某几个原来的已知量变成未知的了，而原方程的未知量可能仍 然是未知的，或者只知道与这个未知量有关的某些信息，我们要通过方程、定解 条件或者某些附加条件来确定这些未知量，这类问题就称之为偏微分方程反问 题( 一般的反问题是通过对系统未来的观测来确定当前的状态，或通过对系统 变化的观测来确定物理参数) 反问题描述的是时空域逆时针的物理变化过程， 由果探求因 例如：工程中的最优设计与定向设计是由设计的要求确定设计参数或形 状遥测、遥感技术是通过接受回波信息去判断人们感兴趣的物体的形状与参 数地球物理勘探中的反问题，是借助于在地球表面接受到的主动场或被动场的 数据，经过处理，判断地层结构比如：通过对地震波的测量来判断地球内部的 结构或地下矿藏的位置在无损探伤中用红外线扫描来探测固体材料中的缺陷， 通过测量地面上的牛顿引力势来推断地下金属矿藏的位置、形状和密度，利用x 光分层扫描构像来做医学诊断等等，都是在研究对象不能达到或不能直接接触的 情况下，利用特定的物理手段来取得有关解的某些信息，而化为数学上的反问题 来处理的工程中的控制、识别，也都是属于反问题的范畴，数学所有的领域中 几乎都可以提出反问题 偏微分方程反问题大致可分为五大类p w ：系数反问题、反源问题、初始条件 反问题、边界条件反问题、边界形状反问题 ( 1 ) 系数反问题：也称为参数识别问题( p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ) ，是最经典 2 硕士学位论文 第一章绪论 的一类反问题，有比较成熟的分析方法系数反问题可以表述为：通过方程的 解在区域或边界上的部分信息，确定原方程的一个或多个系数方程的系数 一般表征介质的某种性质因此，求解系数反问题通常是推求介质的特性例 如：在地球物理勘探中，由地面上接到的地震波大小来推断地层结构，控制 方程为波动方程，而方程系数为弹性系数和密度分布目前，石油勘探中广 泛采用这种方法 ( 2 ) 反源问题：已知方程中除源项以外的各个系数，通过方程的解在区域或边界 上的部分信息，确定源的强度分布例如：在环境噪声控制工程中，假定已 测得某一曲面的声压，希望反演噪声声源的空间分布 ( 3 ) 初始条件反问题：已知方程的每个系数，对确定的区域和边界，根据边界条 件和终端时刻变量的空间分布，推求初始时刻变量的空间分布 ( 4 ) 边界条件反问题：已知方程的每个系数，对确定的区域或边界，根据函数在 区域或边界上的部分( 或全部) 信息，确定边界条件的类型或参数边界条件 的类型或参数取决于边界的性质，从而取决于边界的材料，因而，选择边界 材料的问题实质上是边界条件反问题一个典型的边界条件反问题就是所谓 的逆s t e f a n 问题现实生活中这样的例子很多，比如在建筑学上，已知厅 堂的混响时间，决定墙面铺设的吸声材料具有的吸声性能 ( 5 ) 边界形状反问题：已知方程的每个系数，根据函数在区域或边界上的部分或 全部信息，确定未知边界的形状这类反问题常称为最优形状设计问题，是 当前反问题研究中最为活跃的领域之一 在这五类问题中，边界形状反问题是通过区域边界的几何形状的变化影响系 统的特性，它不可避免要涉及动边界问题，因而最为复杂 偏微分方程反问题的研究可分为研究和实际应用两个方面，地质工程、医学、 军事、环境、遥测、控制、通讯、气象、经济等领域着重实际的应用，而数学研 究着重研究问题的理论和方法 在实际应用中，概括的说有两种不同的动机驱动着反问题的研究： ( 1 ) 想了解物理过程过去的状态或辩识其参数( 以便为预测的目的服务) ； ( 2 ) 想了解如何通过干预当前的状态或调整某些参数去影响( 或控制) 该系统，以 便使其在未来达到人们所期望的状态 因此可以说，反问题就是要定量的探求在已观察到的效果( 表现) 的背后的动 因究竟是什么，以及对于期望达到的效果而言应当预先施加何种措施或控制 在数学研究中，偏微分方程反问题的研究大体上包含以下几个方面： 第一，在理论上要解决偏微分方程反问题提法的正确性和合理性通常反问 题的完整描述应当包括：微分方程、定解条件( 构成正问题) 以及附加条件，而附加 硕十学位论文 第一章绪论 条件一般是指对解的限制及待定参量的边界条件等等应当如何给出附加条件才 能保证反问题解的存在性、唯一性和稳定性，是需要作深入研究的问题 第二，反问题的求解方法对偏微分方程的正问题已经发展了一系列解析的 或数值的解法，但是这些解法通常不能直接用来求解反问题因此对不同类型的 反问题，必须通过适当的运算或变换，化为可计算的模式如积分方程、积分微 分方程或级数等形式 第三，由于大量的反问题都是不适定的p ”，因此经变换得到的计算模式通 常也是不适定的这样，从数值计算的角度讲，必须解决不适定问题的计算稳定 性问题 因此，偏微分方程反问题的求解比相应的正问题要困难得多，而且必须寻求 合适的特殊方法处理才能得到稳定的解 近年来，在系统控制和识别、地球物理勘探、医学以及量子力学等自然科学 和工程技术领域中，都提出了各种不同形式的反问题和求解反问题的方法 对于理论研究方面主要的方法p ”1 有：( 1 ) 反s l 方法；( 2 ) 紧性原理方法； ( 3 ) 积分变换方法；( 4 ) 弱解方法；( 5 ) 非线性分析的一些方法；( 6 ) 输出最小二乘 法；( 7 ) 混合方法等 在数值研究方面出现了许多不同的方法m 。6 。，如：( 1 ) 各种正则化方法；( 2 ) 量子散射反演法；( 3 ) 迭代方法；( 4 ) 单调同伦方法；( 5 ) 脉冲谱技术；( 6 ) 有限元 反演法；( 7 ) 优化方法；( 8 ) 能量方法：( 9 ) 几种方法的结合等 然而，求解反问题所面临的两个本质性的实际问题是： ( 1 ) 原始数据可能不属于所论问题精确解所对应的数据集合( 例如积分算子或微 分算子的值域) ，因而在经典意义下的近似解可能不存在； ( 2 ) 近似解的不稳定性，即原始数据小的误差( 这在实际中是不可避免的) 会导致 近似解与真解的严重偏离 在已研究出的结果中，求解偏微分方程反问题的普遍适用而且行之有效的方 法是由著名的学者t i k h o n o v 以第一类算子方程为数学框架，于6 0 年代初创造性 的提出，后来得到深入发展的正则化方法( r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ) 正则化方法为处理反问题奠定了坚实而广泛的理论基础，后来的许多发展和 推广盖源于此正则化方法是1 9 6 3 年由苏联数学家a h t i k h o n o v 院士提出来 的，后来他和他的学生们在这方面做了许多工作，到1 9 7 4 年，a h t i k h o n o v 和阿尔先宁合著的不适定问题的解法p 出版，系统地总结了这个方法的理 论其基本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解从 而，如何构造邻近的问题而获得正则算子和正则解、如何构造与原问题的邻近程 度而决定与原始资料的误差水平相匹配的正则参数以及如何实现上述问题，就成 4 硕士学位论文第一章绪论 为正则化方法的核心问题尤其是在数值实验方面，正则化方法显示出了强大的 活力，不少反演算法都是借助于正则化方法实现的迄今为止，正则化方法一直 被人们认为是一种有效的求解反问题的方法 同时，基于积分方程的方法也是研究反问题的主要方法之一它的基本思想 是将反问题的求解归结为一个积分方程的求解问题逆谱方法，b o r g 近似法， 和基于远场模式的方法都是典型的这类方法r a d o n 变换也是研究偏微分方程反 问题的重要手段之一 近年来，新的应用领域( 如图像处理和机器学习) 的出现提出了新的数学和计 算问题此外，大规模反问题的计算也提出了新的求解方法问题，比如正问题和 反问题求解方法的有效耦合 尽管为了求解各种不同形式的反问题，人们已经提出了一些有效的方法，但 是还有很多问题有待进一步的研究和解决 与正问题一样，反问题的研究不仅有重要的理论意义，而且在科学技术的各 个领域也有更直接、更重要的应用价值例如：在医学诊断、资源勘探、定向设 计、语言合成、遥感遥测、金属探伤以及定量经济学等诸多方面，都有具体应用 的成功先例特别是上个世纪8 0 年代中期“i n v e r s ep r o b l e m s 杂志的创立， 更使得反问题这一研究方向成为各门数理学科与工程技术中的热门研究领域 1 2 本文的主要工作 本篇文章主要研究的是一类非线性抛物型方程的反问题，其中我们选取的一 类方程是抛物型方程中的典型方程热传导方程 在热传导方程中，经典的( 适定的) 问题是正问题，在正问题中，给定了热参 数、初始温度、边界的温度或边界的热流，利用这些数值就可以计算物体的温度 变化 热传导的反问题有以下几种： ( 1 ) 由末态的测量温度确定初始温度： ( 2 ) 由测量的温度确定物质的热参数； ( 3 ) 由部分边界的热流和温度的测量确定边界上很难达到的部分的温度 本文中我们讨论的反问题是由测量的温度确定物质的热参数( 即参数识别问 题) 利用测量的温度确定物质的未知参数的方法很多，其中一个最广泛应用的方 法是输出最d , - 乘法( o l s ) ，与输出最小二乘法相反的一个用于系数识别问题的 方法是方程误差法 硕士学位论文第一章绪论 本文采用的方法是伴随问题方法，这种方法主要依赖于正问题的适当的伴随 问题和极大值原理在这种方法中，伴随问题是这样得到的：首先，在正问题的 方程的两边同时乘以一个任意的光滑函数，或者光滑函数的偏导数，然后利用分 部积分进行计算，再根据初始值和边界值进行化简，就会得到与正问题相对应的 伴随问题这就意味着不同的伴随问题可以符合同一个正问题于是，在每一种 情况中，我们都得到了正问题的解和伴随问题的解之间的不同的关系，这些关系 都是以积分的形式给出的，而积分形式是我们所熟悉的形式，这样，就使这种方 法在各种各样的数学和工程的应用中变得可行和有用 在本篇文章中，我们主要研究的是利用伴随问题方法解决一类非线性抛物型 方程反问题中的系数识别问题其中，未知系数依赖于正问题的解关于空间变量 的偏导数，并且属于一定的容许系数集合首先，根据反问题的物理模型提出一 个输入输出映射然后，利用抛物型方程的极大值原理和与正问题相对应的 伴随问题，我们就会得到一些积分等式利用得到的这些积分等式，就可以证明 输入输出映射是连续的，且严格单调的更进一步地，我们计算反问题的近 似解，并分析近似解的误差最后，用实际例子说明这种方法的可行性 本篇文章的主要安排如下：首先，对反问题以及它的研究方法作一个简单的 概括；第二部分，给出方程的初边值问题( 即正问题) ，并在此基础上提出相应的 反问题，在这一部分，我们要证明正问题的解的存在性，以及其他某些性质；证 明输入输出映射的单调性和连续性而且我们将会得到一个重要的积分等 式，这个积分等式就是证明输入输出映射的单调性和连续性的关键以及下一 部分数值实验的基础；在以下的几个部分中，我们主要探讨的是为了证明伴随问 题方法的可行性所做的数值实验，主要包括算法，误差分析以及对实验所得到的 结果的讨论实验过程主要包括：用图形说明反问题的不适定性；在实验的过程 中，采取的节点数目不同，对实验结果的影响也很大，并且用误差数据加以说明； 对于性质不同的函数，用伴随问题方法所得到的近似解的效果不同；最后用图形 说明反问题对噪声现象的敏感性 1 3 预备知识哪! 考虑x ，平面中的矩形区域e ： 0 x ，0 上，温度u ( x ，f ) 已知 6 硕士学位论文第一章绪论 定理1 1假设u ( x ，f ) 在矩形区域e 中满足不等式 m 】- 器一詈 o 则材在闭包e u 饱上的最大值必在三边s ，最或墨之一上取到 注1 1( 1 ) 定理1 1 表明u 的最大值不仅不能在e 的内点取到，而且除可 能在初始点取到外，也不能在“最后 时刻取到 ( 2 ) 定理1 1 不是强形式的最大值原理，因为这个定理允许在边界上和内点 同时取到u 的最大值如果能在e 中取到最大值，那么解必定在某个区域中是常 数( 定理1 2 ) ，其中定理1 1 是一个特殊情形 ( 3 ) 当我们用一u 代替u 时，对l u 】_ 0 的解得到一个相应的最小值原理 ( 4 ) 对于热传导的情形，最大值只能在边界的特定部位上达到，对于以热传 导方程为原型的更一般的方程和更一般的区域，这个事实也是对的 引理1 - 1 设甜在五，平面中的矩形区域e 内满足微分不等式 伽】= - a ( x , t ) 害坝彬) 罢一詈 o 其中口，b 有界，三是一致抛物型的设k 是一个圆，k 连同其边界a k 都包含在e 中假设u 在e 中的最大值为m ，在k 的内部有“ m ，而在k 的边界上某点p 处有甜= m 那么k 在点p 的切线必与x 轴平行( 即：p 或是k 的最高点，或是 k 的最低点) 注1 2 引理1 1 中的圆k 可以用任一凸区域代替 引理1 2 假设在x ，f 平面中的矩形区域e 中甜满足不等式l u 】0 ， 诹】- 口( x , t ) 辜坝彬) 罢一詈 又设在e 的某内点( j c o ，) 上有材 m ，而在e 处处有甜m ，如果d 是e 中包含 ( ，f o ) 的任何水平线段，则在d 上有甜 m 注1 3 引理1 2 说明，如果有一个单个的内点使“= m ，那么在包含该点 且位于e 内的最长水平线段上有甜暑m 引理1 3 假设在x ，f 平面的矩形区域e 中u 满足不等式l u 】0 ， 啦】_ 俐x , t 窘懒，) 罢一詈 又设对某两个固定的数，o ，r l ，在位于带形f o ， t l 中的e 的部分中有” m 则 7 硕士学位论文 第一章绪论 在直线，= t i 的包含于e 内的部分上甜 o o xo t 成立，其中口和6 有界，三在e 中是一致抛物型的如果甜的最大值m 在e 的任 一内点( 葺，) 达到，那么，在e 中每一包含( 五，1 ) 的，并具有性质：使垂直线段 x = 而，t o f 0 在e 中的一个解，其中口和b 有界假设p 是边界饱上的一点，“在点p 达到最 大值，饱在p 的法向不平行于f 轴而且，假设在点尸能做全在e 中的饱的内 切圆，并使u 0 刁p 注1 4 如果把的法向在最大值点处与，轴平行，那么定理1 3 的结论可能 不成立 定理1 4 设定理1 2 的假设在区域e 中成立，并且在e 中有h 0 ，如果材 的最大值m 在某一内点( 而，1 ) 达到，又若膨o ，那么，在位于e 中包含点( 而，1 ) 的水平线段正下方的所有e 中，= 常数的线段上有甜三m 如果在边界点p 上达 到非负最大值，则定理1 3 的结论在点尸成立 8 硕士学位论文 第二章正问题和反问题 第二章正问题和反问题 本章主要以热传导方程为模型研究一类非线性抛物型方程反问题的某些性 质其中包括解的存在性，唯一性等，并且根据与正问题相对应的反问题提出输 入输出映射，再利用伴随问题证明映射的单调性和连续性 2 1 正问题及其主要性质 其中 i = ( 七( ) ) ， u ( x ，o ) = 0 ， ik ( ( u a o ，f ) ) 2 ) u a 0 , t ) = 0 ，后( ( 以( 1 ，f ) ) 2 ) u a l ，f ) = g ( f ) ， ( x ，f ) 鳞， x e ( 0 , 1 ) ， ( 2 - 1 ) f ( o 乃 绋= ( x ，t ) er 2 ：o x 1 ，o 0 如果后( 善) ，g ( t ) 均为已知的函数，i jj = 3 题( 2 1 ) 为正问题，其中函数k ( o ，g ( f ) 为此问题的输入数据 满足条件( q ) 的系数集合k 称作正问题的容许系数集合 热传导的正问题在数学上是适定的，一个适定的问题在给定输入数据下的解 是存在、唯一并且稳定的 数学模型( 2 - 1 ) 在许多的物理系统和工程中都有重要的应用，特别是在水文 学，材料科学，热传导和输运问题中都应用广泛。6 2 1 在本文中，模型( 2 一1 ) 代 9 硕士学位论文第二章正问题和反问题 表的是热传导问题 在热传导和扩散问题的范围里面，如果z f 代表的是温度，那么函数七( 孝) 就代 表扩散系数 在下文中，我们将用到以下空间： v = r ( o ，t ；h 1 ( 0 ，1 ) ) ，日= p ( o ，t ；l 2 ( o ，l ”，w = 缈v ：哆v + ) 对空间赋以范数i l ，1 1 w 爿iv + i iuu ，则是一个可分且自反的b a n a c h 空间，我们有wcvchcv ，且嵌入wc c ( o ，t ；f f ( o ，1 ) ) 是连续的，wc h 是 紧的6 3 _ 6 5 1 对于任意的k k ，定义非线性算子a ：v 专v + ： ( 彳”，功矿= r f 后( ) 吼屹捌z ，v 甜，v 矿 则可以得到下面的结论 引理2 1 若k k ，则算子a ：y 专y 是单调算子，即 ( 么“一么v ，甜- v ) 矿c 2 f 上( 虬一叱) 2 撇，v u , v e v 证明由算子彳的定义： ( 彳“，1 ，) 户j p 。tj g 。1 尼l 蚝2 ) u ，l d x d t ，v u , ve y 对v u 1 ，v 有 = 上2f o ( 后( ) 蚝一后( ) 匕) ( 蚝一v ，) d x d t = 上r ，。1 j 。1 五d 陋( ( s 蚝+ ( 1 一j ) 匕) 2 ) ( s 蚝+ ( 1 一s ) k ) 】( 虬一v , ) d s d x d t = j 。, t j p 。, 1 j p 。1 陋( ( j 甜，+ ( 1 一s ) k ) 2 ) + 2 七7 ( o u x + ( 1 一j ) k ) 2 ) ( s “，十( 1 一s ) 匕) 2 】 x ( u ，一叱) 2 d s d x d t c 2 f 上( 蚝一订栅 口 如果满足以上的这些条件，则正问题( 2 一1 ) 存在唯一的弱解睢6 9 1 甜w 定理2 1 假设函数七( f ) ，2 满足条件( 儡) 和( 砺) ，则正问题( 2 1 ) 的弱解 1 0 硕士学位论文第二章正问题和反问题 u = u ( x ，r ) 关于x 的偏导数甜，( x ，f ) 0 在绋上几乎处处成立 集d 在正问题( 2 1 ) 的方程的两边同时乘以妒( x ，f ) x c 于 x 的偏导数蛾( x ，f ) ，然 儿旷( 七( ) 蛾 0 ，那么由 定理1 1 可得在q 上有妒( x ，) 0 再由条件( 口2 ) ，等式( 2 4 ) 的右端严格大于0 即 以嗍刈) d x d t 0 ，v f ( 列) o 从而得到蚝，) 0 在q 上几乎处处成立 i - 1 2 2 反问题与映射的单调性和连续性 本节将证明输入输出映射的单调性与连续性，并得到一些积分等式，这 些积分等式即为下一部分数值实验的框架和基础 以下我们通过由测量而得到的输出数据来考虑确定扩散系数k ：七( 孝) 的反 问题 在一个给定的物理模型中，许多测量的输出数据都被实验证明是可行的，本 文利用的是在边界的观测值： u ( o ，f ) = 厂( r ) ，u o ，f ) = ( f ) ，t ( o ，丁) ( 2 - 5 ) 其中u = u ( x ，r ) 是正问题( 2 1 ) 给定了系数尼( 孝) 后得到的解 由于方程( 2 1 ) 描述的是一个热传导过程，所以等式( 2 5 ) 表示的就是在空 间给定的一点x 处当时间为，时的温度 我们分别以字母k ，f ，h 来记容许系数后= 后( f ) ，测量得到的输出数据 ( r ) ，h ( t ) 的集合 定义输入输出映射： ：k _ f ，砂：k _ 日 纠后】= f ， 妒【纠= h 1 2 硕1 1 二学位论文 第二章正问题和反问题 其中，函数f ，h 的函数值是通过正问题( 2 - 1 ) 在给定了输入函数k 和g 之后 求解得到的因此，给定了测量的输出数据厂( f ) ，h ( t ) 的反问题( 2 1 ) 、( 2 - 5 ) 就可 以利用求输入输出映射砂，砂的逆来求解 引理2 2 假设铂( x ，r ) = u ( x ，f ；毛) ，7 2 ( x ，f ) = u ( x ，f ；岛) 分别是正问题( 2 1 ) 对 应于容许系数毛，乞k 的解若 乃( f ) = u ( o ，t ；k j ) ，h i ( t ) = u ( 1 ，t ；k s ) ，( 歹= 1 ，2 ) 是对应的输出函数，令 厂o ) = z o ) 一石( ，) ，办o ) = 扛( ，) 一h e ( t ) ，z x k ( u , z ) = 毛( z ，；) 一如( ) 则对每一个丁( o ，丁) ，输出函数乃( f ) ，吩( f ) 满足下面的积分等式： r 办( 沪p ( r ) ( ，) 协= 一以a k ( ( u z ) 溉) ，蛾d x d t ( 2 - 6 ) 其中，函数妒( x ，f ) = 妒( x ，t ；p ，q ) 是以下伴随问题的解： f 峨+ ( d ( x ，f ) 眈) ，= 0 ， ( x ，) q ， 妒( x ，7 - ) = 0 ， x ( o ，1 ) ， ( 2 7 ) id ( x ，t ) q o ，( o ，f ) = p ( ，) ，d ( x ，) 眈( 1 ，) = g ( ，) ， ，( o ，7 - ) 其中q = ( 0 ，1 ) x ( o ，7 - ) ，7 - ( 0 ，t ) ，p o ) ，q ( t ) c ( o ，t ) 是任意的函数，d ( x ，) 的定 义见下面的( 2 - 9 ) 式 证明由假设条件可得 ( x ，) = u ( x ，f ；毛) ，u z ( x ，r ) = u ( x ，t ；k 2 ) 是方程( 2 - 1 ) 的解 则 甜1 ，= ( 毛( 甜乞) “h ) ，u 2 ，= ( 如( “乞) u z ，) ， 于是 ( 甜1 一材2 ) ，= ( 毛( “毳) “h ) ，一( 砭( “乏) u z ，) ， = ( 毛( “乞) 甜h ) ，一( k , ( u g x ) u 2 ，) ，+ ( 毛( 秀) “。) ，- ( k z ( u g , ) u 。工) 工 在上式的两边同时乘以一个任意的测试函数e ( x ，) ，然后在区域q 上积分，得 到 硕士学位论文 第二章正问题和反问题 儿“，嘞) 曲衍 = 腹 ( 毛( 甜执，) ，一( 毛( 2 ) ) 。】沁西( 2 - 8 ) + 儿【( 毛( 坛) ，) ，一( 乞( “乏) 吆) ， 妒d x d t 在等式( 2 - 8 ) 的两边分别运用分部积分，则有 等式( 2 - 8 ) 的左边 儿( 飞，如拗= 伽，一坳l ：三；出一儿( 盱娩拗 又 ( 毛( “乞) “h ) ，一( 毛( 秀) u z ，) ， = f o i 丢讯删一( 卜j ) u z ) ( 删一( 1 _ 咖2 埘咖 = 上 毛( ( s t , l l x + ( 1 一s ) “。，) 2 ) + 2 呶( j “h + ( 1 一j ) “z ，) 2 ) ( j 强，+ ( 1 一s ) u 2 ，) 2 】 ( ”h 一心。) 幽 令 d ( 圳) = 1 阮( ( s + ( 1 一s ) u 2 ，) 2 ) ( 2 9 ) + 2 讯( s “h + ( 1 一s ) u 2 ，) 2 ) ( 5 甜b + ( 1 一s ) u 2 ，) 2 d s 我们有 ( 岛( 甜：) z l l ，) ，一( 毛( 甜乏) 屹x ) ，= d ( x ，于) ( q ，- - 1 , 1 2 工) 于是等式( 2 - 8 ) 的右边的第一项为 儿阮( 甜挑，一毛( “乏) 吻。l c p d x d t = r 毛 b u , ，一毛( 吆) 屹，】妒i ：蓦西一，疋【毛( “乞) “h 一毛( 眩) ，】函砌 = r 【毛 乞) “h 一毛 2 x ) u 2 j 】妒i 薹：出一rd ( x , t ) ( u 1 - u z ) c p 。l x 。= l 。破 + 腹( u 1 - u 2 ) d ( 列) 哝l 拗+ 等式( 2 - 8 ) 的右边的第二项为 儿【毛( 坛) u 2 , 如 x ) 1 1 2 ，】，c p d x c l t = r 【毛( ”乞) 甜：j 一如( “乏) 地，pi ：蓦衍一，疋七( 颤) 甜z ，哝d x d t 1 4 硕十学位论文 第二章止问题和反问题 y o ( 旷“。眺；出一儿( 旷u z ) d x d t = r 墨( “乞) 甜h 一毛( 屹2 ，) “2 ，】妒匕蓦西一f d ( x ，t ) ( u 1 - - ) 眈l 。x = 。l 讲 + ，l ( u 1 - u z ) d ( x ，f ) 坎】，西础+ r 【毛( ”乞) 屹，一如 x ) u 2 ，】妒l ，x = ：。l 讲 一以七( 眩) 眈d x d t 因此 上。 ，一“2 ) 妒仨；出一，疋( 一啦) 仍+ 【d ( x ，) 眈】，油西 = r 【毛 2 x ) u l x - - k 1 ( u 2 2 x ) u 2 x pi x ，：= 。1 衍一f o d ( x ，f ) ( 一) 哝i x = o d t ( 2 - 1 0 ) 一儿a k ( 甜乏飚o x d x d # 令函数矽( x ，) 是伴随问题( 2 7 ) 的解，根据初始边值条件，等式( 2 1 0 ) 可以 化简为 上7 酬沪p ( f ) = 一儿a k ( 甜执，蛾d x d t 口 在( 2 - 6 ) 式中分别令p ( f ) = 0 和q ( t ) = 0 ，将会得到下面的两个积分等式 推论2 1 假设引理2 2 的条件满足，则 ( f ) f o p ( ，) a f ( t ) d t = 儿a k ( u ；, ) u z 瓶d x d t ，( z - 1 1 ) ) r 们) 酬啪= 一儿a k ( u ；, ) u z 肌拗( 2 - 1 2 ) 其中，( z ，f ) = 缈( x ，f ；p ，0 ) ，绝( x ，d = 缈( x ，t ；0 ，g ) 注2 1 方程( 2 7 ) 是一个后向抛物型方程，一般情况下，后向方程都是不适 定问题，但是与方程( 2 - 3 ) 相同，根据“终点条件”缈( 工，f ) = 0 ，问题( 2 7 ) 在反 向时间下是一个适定的初边值问题 注2 2 由推论2 1 得出如果a k = 0 ，则z x f = 0 ，a h = 0 定理2 2 假设引理2 2 的条件满足，若系数七( 孝) 满足毛( 善) 如( 善) ，则对 应的输出函数满足下面的关系： ( f ) f l ( t ) 五( f ) ； ( f f ) 扛o ) o ) 证明考虑伴随问题( 2 7 ) 的解( 五f ) = 缈( 五f ；p ，o ) ，假设p ( ，) 0 类似于 硕士学位论文 第二章正问题和反问题 定理2