（概率论与数理统计专业论文）古典风险模型的一类推广.pdf

摘要 存古典模型中，单位索赔额分布是独立同分布的。本文讨论模型是 存在一个马尔科夫链，单位索赔额的分布与当前时刻马尔科夫链的状态 有关，而不是独立同分布的。 文章首先解释了模型和基本定义，然后利用期望值原理来确定保费 率，在这个确定的保费率下，讨论了求破产概率和生存概率的迭代公式， 然后确定了破产概率的初值。 然后在一种特殊的情况下，进一步讨论了破产概率和生存概率的计 算以及破产概率的界。 最后具体给定了参数的数值，做出了破产概率在指定区间内的函数 图像，和破产概率在参数取不同值的时候的数值表。直观地观察了破产 概率随着指定参数变化而变化的情况 关键词： 马尔科夫链，破产概率，古典风险模型 a b s t r a c t i nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h ec l a i m si sii d i nt h i s p a p e r , w e i n d u c tam a r k o vc h a i n ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h ec l a i md e p e n do nt h e s t a t eo f t h em a r k o vc h a i no nc u r r e n tt i m e ，b u tn o ti i d i nt h eb e g i n n i n go ft h ep a p e r , w ee x p l a i nt h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dm y m o d e l t h e nw eu s et h ee x p e c t e dv a l u ep r i n c i p l et od e c i d et h ev a l u eo ft h e p r e m i u m t h e nw ef i n dt h er e c u r s i v ef o r m u l af o r t h er u i np r o b a b i l i t ya n d c o m p u t e t h ei n i t i a lv a l u eo ft h er u i np r o b a b i l i t y t h e ni nas p e c i a l s i t u a t i o n ，w ed i s c u s s e dt h ea l g o r i t h mo ft h er u i n p r o b a b i l i t ya n d i t sb o u n d a r y i nt h ee n do ft h i s p a p e r , w eg i v e s o m en u m e r i c a lv a l u et ot h e p a r a m e t e r s ，a n dg i v et h ef u n c t i o na n dg r a p ho f t h er u i np r o b a b i l i t y a n dw e g i v e t h e d i a g r a m o ft h ev a l u eo ft h er u i n p r o b a b i l i t y w e c a no b s e r v e i n t u i t i v e l y t h e t e n d e n c y o ft h e c h a n g e o ft h er u i n p r o b a b i l i t y w h e nt h e p a r a m e t e r sa r ec h a n g e d k e y w o r d ： m a r k o v c h a i n ，r u i np r o b a b i l i t y , c l a s s i c a lr i s km o d e l i i 致谢 首先感谢我的导师郭军义老师，他在学习和生活中都给了我及大的 帮助。尤其是，他为我确立了论文的方向一考虑本篇论文的模型，之后又 进一步引导我把问题做向深入，他无私的指导和帮助使我得以顺利完成 这篇文章和我的学业。可以说没有郭老师的帮助就没有我的这篇文章和 我在这个专业的成就。 我还要感谢吴荣老师，她严谨求实的治学态度和无私传授的知识使 得我这3 年的学习里受益匪浅，而且受用终生。 还要特别感谢张春生、王永进老师在我3 年的学习中给我的教诲、 指导和帮助。 最后，衷心感谢所有的同窗学友以及师兄师姐、师弟师妹们对我的 在生活和学习中给我的鼓励和帮助。尤其是感谢吕同玲同学，在非典封 校时期，我们被圜校外，她给我提供了那么多无私的帮助。 古典m 险模型是 第一章基本知识 第一节引言 n i t ) r ( u ，) = u + c i - - 哆 v ，0 = i 其巾z ，代表初始准备金，满足z ， 0 。r ( u ，f ) 代表初始准备金为“到时刻r 儡余，f 为固定的正 常数，表示保险公司在单位时间内的保费收入； ( f ) 为一个以z 为参数的p o l s s o n 过程，表示 到时刻f 为止产生索赔的次数， u ，) 刷是一个独立同分布的非负随机变量序列，u ，表示第j 次 发生索赔的索赔数额，f ( ，) 与 i i 。是互相独立的。 古典风险模型作为幸 理论模型，有着它在数学卜的简单性和应用上的方便，而且我们对 它的研究已经比较完整和深入。但是在很多情况下，人们必须推广古典风险模型，以更好的符合 实际情况。本文要做的就是这样的一个工作。 第二节模型 在古典模型中，对应于( r ) ，存在一个l id 的随机变量序列 五) 。”7 ：l 表示第n 次索赔发 生的时刻，令y j = 0 。于是有p ( t = 埘) = a e “”。 条件 我们先引入一个离散对间马尔科夫链 ) ，其中和是一一对应的。i ) 满足以下 1 ， ，) 具有有限的状态空间e = f l ，2 ，d 】 2 ，转移矩阵为尸= ( p 。) 。其中矗，ee 3 ，j ：妨设e = 1 2 ，d ) 是。一个本质类( 如果e 不是一个本质类我们可以把e 分解为 儿个本质类，然后来分别考虑) 。 4 ， x n 其有的乎稳的初始分布j 【) ( = i ) = 互其中i = 1 ，2 ，d 与古典模型不同，定义单位索赔量如下 这里单位索赔量不再是iid 的，它的取值不仅和时刻有关，还可索赔发生时刻r 对应的膏 的取值有关，再假设， 1 ， u ( ，) j ：。是i i 矿的， 2 ，( ( ，( x ，) 二。的分布函数为f j ( y ) = p ( u ( _ ，i ，) y ) ，期望为h 其余假设都和古典风险模型保持一致。 破产概率的问题是风险理论的基本问题。对于古典模型，可以得到一系列的有关破产概率 的表达式及其估计结果。本文要做的就是得到这个模型下破产概率的迭代公式，模型的特殊情况 下的讨论。 第二章保费率的计算 1 b 到叨女ut 为止明思索蛞颧为j ( f ) ，于是有： “1 s ( ，) = u ( ，) 下面利用期望值原理来确定保费率c e 陋( f ) 】- 艺尸( ( f ) ：尼) 研圭( - ，) 】 k = l j = l = z k ：l - a t 譬和】 = z ；= i e - a 譬- z ：= i e 刚_ ，j ) l x j = z ；= e - l t 百( a t ) t 扭( ( x j ，川一：，】| p ( - ：，) ) = “警- ：= | ( 扣w 肼巧) = z ；= i e - a 譬砸狲乃) = z k = e “警“乃 d = 五，- t t 乃 2 令曰( 0 ) 为安争负荷，由期望值原理“= ( 1 + 醇坷 s ( f ) 】，有 定义2 1 一坠哗幽= ( 1 a 芝m 乃 f 管 第三章生存概率与破产概率的计算 第一节基本定义 申。 ) = 1 一中，( “) = 只( r ( “，r ) 0 ) 其中，只( ) = ，( f x o = ，) ( 21 ) l f 。( “) 和中，( “) 分别表示马尔科夫链初始状态为= j 的情况下的破产概率与生存概率。 定义2 2 ： 甲( “) = 1 - 中扣) = p ( r ( u ，r ) o ) 甲( h ) 和中( “) 分别表示这个模型中的破产概率与生存概率。 d 由定义知：p ( ) 2 f ( ) 互 第二节甲，( “) 的计算 定理2 i2 马尔科夫链初始状态为= i 的情况下的破产概率甲，( z ，) 满足如下的方程， 证明 掣舡m f ( 0 ) + 知w v 帅一姜只，r w 。，( u - v ) 竹妒霉b ，胁砷m 甲。( “) = 只( r ( “，t ) o ) = 以= ，r ( u ，) 一y l x , = ，墨= f ，u = 工矽( 工) p m 出+ + f ap o ( b j ( u + c t + y ) 一巧( u + c 1 ) ) 肪“m = r r 宝盼弓( 脚+ 甜飞咖一y ) a 6 ( m e “讲+ + r 芝只，( ( “+ “+ y ) 一( ”+ 甜) ) 五s “出 = r r ”芝- q ( “+ “一墨y 鹚( j ，) 舭- 2 t a + + r 窆p 。( c + “+ y ) 一( “+ c f ) ) 旯e 一“击 令s = “+ c t ，得到 6 n 。川 l i 暑q 【“，y ) = f c 喜只，( 刁( s - x , y ) d f j ( y ) e - 牟西+ f f + r 善b j ( s + 力一一j ( 咖e 。等幽 在两边求导得到 c g ：i “，y ) 几 两边对“在( 0 ，0 0 ) 上面积分得到 g j ( u _ y 彬( z ) 一只，( ( “+ y ) 一( “) ) ；g ( o ，力= 一f g f ( “，y ) 幽+ j 。u 丢d 只g ，( u - x , y 陟j ( x ) 幽 + r 善彬渺训一胁 = 一r g f ( 虬y ) 妇+ 善b ，f f q ( “一工，y 协犯( x ) + 套另，( 州h 弘帕 = 一r g j ( “，y ) 咖+ 蓦乃r f q ( “一j ，y 劢。出j ( z ) 一喜只，舯州州脚吲瑚坳 在右边的第二项中，令“一j = v 得到 皂g j t x 、 i = l = u 皇- x , y ) d u 羹d f g 。( 心协d f j t x 、 ：乏d 乃j 。峨( x ) j o g s ( w 沙 ：量b ，f g ，( w 沙 ，= i 在第- - i f l 中，由叶 7 肼 。纠 r 号 一 )y i q 并且 从而 综t 育 j o - f j ( “+ y ) 蜘= ( 1 一f j ( “+ y ) ( “+ y ) 0 0 。 = f ( 1 一( 一) 汹 j 7 = j ( 1 一( s ) 灿一( 1 一巧( s ) 灿 00 v = u j f ( 1 一( s ) 灿 0 从 c o c ( “) 胁= 一 0 0 ( “+ y ) ) 一( 1 一拙) ) 协= ( 1 一( “+ y ) m 0 一j ( 1 - f a s ) ) ( z s f ( “) 胁 暑g i ( 。rg f ( 址y 胁+ 喜只，f q ( v ，y 沙+ ：。b ，r ( 1 一( s ) 在上面等式两边取极限，令y 斗有 因为噢g f ( “，y ) 2 甲。( “) ，从而上面式子变为 三甲l ( o ) = 一r 甲舢) 幽+ 姜肋r 甲，( v m + 姜珊r ( ，一( s ) 灿 = ( 丢d 只，甲) 一甲如) ) 咖+ 姜珊一 从而我们得到初值甲( o ) 甲( o ) = 互甲( o ) = 鲁喜曩【r ( 芸一( v ) 一甲如) ) 咖+ 善以】 证毕 = 昙rc 善_ 萼甲，c v ，一善d 以甲如，咖+ 孝善一善凡一 = 鲁f ic 善掣，c v ，喜一只，一姜一甲，c v ，咖+ 告善一量i = 1 一只， = 昙r c 害掣圬一要巧甲f ( v ，咖+ 害薯一_ ：生手舭， c 智1 ：上 1 上日 第四节破产概率和生存概率的表达式 通过t ：面的汁算，我们可以得到如下的结果 帅，= 喜州州+ 知w v 灿一鼽f 吖“ d v ) ( v ) d r 一只，f ( 1 一( v ) x ，v ) 1 j = 1 甲( 。) + 告 ( v 沙一曼i = t 巧否d 且，r 甲，( “一v 蜴( v ) 咖一量i = l _ 丢d n ，r ( 1 一( v ) m ，) 南+ 鲁【甲( v 沙一薯乃。掣小一v ) ( v 沙一蔷d 乃j 。u ( 1 一( v ) 沙】 m ( “) = 1 一甲( “) = l 一甲( 。) 一孝【f 甲( v 沙一荟d 乃j 。u 甲，( “一v 玛( v ) 西一芸乃r ( 1 一( v ) 沙】) = 筹一告【r v 【v 沙一兰j = l 乃r 甲加一v ) ( v 沙+ 喜乃r ( 1 一蹦v ) 沙 ) 根据上面的讨论，我们只是得到了甲。( “) 的递推方程，并没有得到甲，( ”) 的初值早( o ) 向是退而求其次的求出了w ( u ) 的初值u 2 ( o ) ，所以我们得到的结果还不能够应用于实际中。f 面销四章中将讨论种特殊情形，并给出这种情形f 的破产概率的实际计算的方法。 第四章特殊情形下的破产概率和生存概率的计算 第一节基本假设 这里我们考虑代为索赔量的分布是单点分布的情形，设 f k ( y ) = p ( u ( k ，) y ) = 代x ( 32 ) 式中得到 三： 当y “ 当y 以 等甲：( “) = ，( “) 一：。只，l 壬j ，( “一一) 。 。 再假设：把 m ，肫，, t t a ) 从大到小重新排列后得到的数列为 啊，m 2 ， 令m k = 一f ) ，对任意的k 2 1 ，2 ，d 第二节破产概率的实际计算方法 1 、当0 “ 竹时，讨论破产概率和生存概率 由( 4 1 ) 式有 ；甲：( “) = v ( “) 一艺只，= 掣，( “) 一1 百 ( 4 1 ) ，m d ) 解微分方程，得到： 兰。 v ，( “) = ( 甲，( o ) 一1 ) p 。+ l( 42 ) 此时还可以求得破产概率w ( u ) 的一个形势比较好的表达式，我们有： 掣( “) = d 曩甲，( ”) = 鲥棚+ f = 【 f ：兰互v ，( o 弦：“+ _ ( 1 一。；“) w ( o ) e 。+ n p 。1 卜旦。争 i + 臼 0 ( 4 3 ) 2 、给破产概率定界 【：面的结果不仅可以得到一个形势比较好的解，还可以给甲( “) 来定界 由掣( “) 的连续陛，我们可以把“= 玛代入得到 嘞) 一1 一南e 扣 在由甲( “) 的单谓性有，当“m l 帅即( 咿1 一南e 扣 从而在所有单位索赔额分布为单点分布的时候，我们给区间( o ，) 卜的掣( “) 定了界。 3 、当一。量“ ，k ：2 ，3 ，d 时讨论破产概率和生存概率 如果 m l ，m 2 ，m d ) 满足，2 m 1 ，k = 2 ，3 ，d ，我们可以求得比较明确的表达式。 由( 4 1 ) 有 ，k - i _ cy 。( “) = 甲。( “) 一岛) + 岛( j ) 甲川) ( “一码) l 扛 = i k 一】 = 掣，( z f ) 一l + 如( 1 一v 朋( “一m 伪 因为m k l “ ，有0 “一m ( 帆一m t m k m is 惕，其中，= l ，2 3 ，七一1 于是 掣，( “一) 口以通过( 4 2 ) 式求出，我们得到 ；v ；( “) = 甲，( 。) 一l + 芝毋【f l ( 1 - w 州) ( o ) ) 已；细嘶)；v ；( “) = 甲，( “) 一l + 毋【f l州) ( o ) ) p ”) l ，= 【 在求解微分方程得到 w 小e 2 。詈k - i ；2 1 m ( 1 - w j o ( o ) ) u + e 二c + l ) 其中l 为某个常数。 、j “= m 时，( 44 ) 式中的k 应该等于2 ，我们得到 ( 4 4 ) l 壬，( 码) = 鲁岛( 1 一甲川) ( 。) ) m 。+ l + e ：“ 再“ 破产概率的连续性，由( 42 ) 式可以求出： 兰m 掣，( m 。) = ( 甲。( 0 ) 一1 ) e 。1 + 1 于是得到： k ( w o ) _ 1 ) 托一一一詈) ( 1 叫川) ( o ) ) 希。1 _ e - c 1 再将l 得知代入( 44 ) 式，得到 v 。( “) = 薯e ：一m 芸凸。，( 1 一叩，。，( 。) ) “+ 1 十 托f ( o ) _ 1 m 。- l 詈胁) ( 1 川川删哗一l p _ ”】 ( 4 5 ) 4 、放宽一点条件考虑，再次考虑当一。s “ m k ，k - - 2 , 3 ，d 时的解 如果 小l ，m 2 ，m d ) 满足m k m l + m k l ，k = 2 ，3 ，d ，并且当0 “ 埘d 时，我们也 可以求得的表达式，但是非常繁琐，不好明确的写出。只能说明个做法。 ( 1 ) 当0 “ m 2 时，做法和结果都与上面情形相同。 ( 2 ) 当，唯一i 材 时，k = 3 ，d 由( 4 1 ) 式有 、王，：( “) = 甲，( “) 一岛f j ) + 岛- 甲川j ( “一) 7 0 ，= ti = 1 = 甲，( “) 一l + 凸( 1 - 。v 川) ( 一啊) ) 因为m k j “ 7 取，有o “一确 m i 一竹m k m i 7 讯一l ，于是所有的甲j ( f 】( 甜一) 也都可以通过七一1 以前的结果求出，于是 ：面的结果又变成了一个1 次线性常微分方程，仍然 可以解出一个表达式的解。这个结果虽然不能明确的写出，但是给了具体数g t 以后还是可以实现 具体汁葬的。 5 、当。“时，讨论破产概率和生存概率 j j 丽嵇们葺瞧的都当“ 聊，一，l l n h ，其 中，是一个匹整数 那么我们仍然可以利用上面的方法求得u o ，r g 一1 】，然后再以竹为步长，扩大解的定义 域，经过f 次，我们可以求得【o ，艰】区间内方程的解。 至此我们解决，索赔量的分布是单点分布的情形下求破产概率的问题。 7 、加强条件，得到可以用于计算的表达式 从上面的讨论看，本章的第2 节至第7 节有一个共同的缺点，就是在计算破产概率的时候， 表达式中有一个不能确定的量，那就是甲，( 0 ) 的值是无法给出的。为了得到1 个可以用于实际 汁算的破产概率表达式，我们再加强条件。 d 假设转移概率既的取值与f 无关。由于对任意的，= l ，2 ，d 有岛= 1 ，所以我们的 i = l 假世等价于对r 任意高，= l ，2 ，d 和仁1 ，2 ，d 有岛= i 1 。 从(31)式看出，当丹=吉时，甲，(o)的取值与无关，即掣，(o)=甲(o)=而11 其中 从( 31 ) 式看出，当丹2 i 时，甲，( o ) 的取值与无关，即掣，( o ) 2 甲( o ) 。而其中 j = 1 ，2 ，d 这样在综合上面的结果，就可以算出破产概率的具体数值了。 4 第五章数值例子 我们这里将一些参数给出具体的值，计算一些数值的结果，通过一些表格和图形来得到一 些直观的东西。并吐变动参数的数值，观察破产概率与这些参数的相关性。 第一节假设条件 首先假定： 1 马尔科夫链 。) 的像空间的元素个数d = 2 2单位索赔额的分布为单点分布，即 t c y ，= p c e ，c ，y ，= ( 支当y ， 巧“j 3 马尔科夫链 x n ) 取值在2 种状态下的单位索赔额的分布的期望分别为 m = 7 ，心= 3 4 马尔科夫链的转移概率满足 1 n i2 8 22 p 2 ，2 p 2 22 j 于是有： 1 把 “，鸬 从大到小重新排列后得到的数列为 m i = 3 ，m 2 = 7 ) 2 把 “，鸬) 从大到小重新排列对应的角标 j o ) = 2 ，j ( 2 ) = 1 3 马尔科夫链“的平稳分布为 1 巧2 凡2 = ， 第二节变动的参数 1 索赔发生时刻r 满足的指数分布中的参数a 分别取值 = 3 ，也= 4 ，冯= 5 2 安全负荷常数0 分别取值 q = 00 3 ，0 2 = o0 5 ，岛= 0 1 于是得到柏应的破产概率的边界值 甲即) 圳1 0 ) _ 击 - 上爿 d 再利用公式c = ( 1 + p ) 朋乃，还可以得到参数 和p 取不同的值的时候的保费率 扣l c 的值 如下表格 目= o 0 30 = 00 50 = 01 = 3c = 1 54 5c = 1 57 5c = 1 65 工= 4c = 2 06c = 2 1c = 2 2 五= 5c = 2 57 5c = 2 62 5c = 2 7 5 表51 参数 和0 取不同的值的时候的保费率c 的值 1 6 第三节观察甲( “) 的函数和曲线以及它与参数的相关性 1 当0 “ ，飓时，即0 “ 3 由娥4 3 湖班1 一南e 争有 p = 0 0 3口= o 0 5口= 0 1 五= 3 甲f “1 = 1 生p 丽“t f “忙1 一上p 寺“甲f “1 - l 一上p 纛“ 、 1 0 3 、 2 1 、7 1 1 工= 4 甲f “1 _ 卜王p 而”甲f 们：l 1 一p 4 “w “1 - 1 一土p 素” 、。 1 0 3 、7 2 1 、7 1 1 五= 5 甲f ”1 。l 一1 p 2 4 1 “ l l 2 0 甲( “) ：l 一去口i ” 帅) = l 志扣“ 下面我们给出安全负荷口取3 个不同值的时候，破产概率的在这段区间上二的函数曲线 0 8 8 0 8 6 0 e 4 3 图51 初始资本在区间 0 ，3 】上破产概率函数的图像 臼= o 1 p = 0 0 5 0 = 00 3 我们看出在这个区间上破产概率、壬j f “) 和旯并没有关系。观察一下就知道这里的无关不是 偶黼从公非惦，昙_ ( 1 删蕃d “哪而破产概率的表达热每次出现旆是以； 的形式出现。所以，实际上这个值在本例中町以被0 确定。所以以后我们只研究口变化对破产概 率的影响。 1 7 虬 蚣 0 0 0 52 、 2 2 当，押1 “ 2 m 1 时，即3 “ 6 由( 45 ) 式有 于是 小s 譬丽0 a ( u - ) 羔筹 p - ， 丑= 3 ，a = 4 ，五= 5 0 = o 0 3 3 坐3 0 2 0 ( u - 3 ) 甲( “) = 1 一了二：p 3 + 羔p ”3 ( “一3 ) 、 1 0 31 0 6 0 9 、 0 = 0 0 5 1 4 u 14 ( o 一3 ) 掣( “) 小二2 1 p + 赢一( u - 3 ) 口= 01 1 2 ” 12 ( u 一3 ) ( “) = 1 一素+ 二1 2 1 一( u - 3 ) 卜面我们给出安全负荷目取3 个不同值的时候，破产概率的在这段区间l 的函数曲线 o 9 2 0 9 5 5 ：、脚1 。髫、 舭u 1 0 8 5 0 8 2 5 0 7 7 5 3 544 5 5 、1 、5 - 5 6 u 圈52 们始资本在区间 3 ，6 】上破产概率函数的图像 3 兰2 m i “ r n z 时，即6 “ 7 由( 4 1 ) 式，育 三v ；( “) = 甲，( “) 一只t 只：甲：( “一3 ) 0 = o 0 5 0 = 00 3 由一r 这里假改6 “ 7 ，我们知道3 “一3 4 ，于是，上面的式子中的甲2 ( “一3 ) 可以通过 ( 51 1 式求出，r 是我们得到这个区间内破产概率满足f 面微分方程 秘班偏刊h 竿- - ，笔+ e 尘c6 羔14 等- ，tj 十u l lj 再解这个微分方程，可以得到 荆斗e 。o 而0 + e 掣，赤一舞等e 型字p ：， t 二是 = 3 ，a = 4 ，2 = 5 0 = 00 3 甲( “) = 一= - p 1 0 + _ 二= 一3 f 。“一3 ) 一二二：二_ f 、 1 0 31 0 6 0 9 、 1 0 9 2 7 2 7 p = 00 5 甲f 。1 ：1 一上1 。著+ 三。等一巡。等 甲( ”) 刊一万萨二4 4 1 1 ( u - 3 ) 一箫 0 = 01 帅川一+ 击e 掣旷s 卜譬e 掣 f 面我们给出安全负荷口取3 个不同值的时候，破产概率的在这段区间上的函数曲线 尘c u l o 9 2 5 _ 一一 0 9 f o 8 7 5 i 一一一 0 8 5 0 8 2 5 。 0 7 7 5 0 7 5 6 26 46 66 87 例52 幸j 始资本在区间1 6 ，7 】卜破产概率函数的躅像 9 口= 0l 一0 = 0 0 5 p = 0 0 3 4 当m 2 “ 棚2 + m i 时，即7 s “ 1 0 由f 4 1 1 式，育 甲：( “) = 甲，( “) 一只1 甲l ( “一7 ) 一只2 甲2 ( “一3 ) f 面还要分两种情况来讨论： 1 )当7 “ 9 时， 此时o “一7 3 ，于是甲l 一3 ) 可以通过公式( 43 ) 算出，而4 一3 6 ，于是甲2 ( “一3 ) 可以通过( 51 ) 算出我们得到f 面的微分方程 一扣，一扣南7 ，一扣e 华南+ e 竿篙并， 解这个微分方程得到 帅) _ l e 争南球丛( u - 3 ) + e 竿”7 ) ) 志一锗e 竿2 ( 5 s ) 掣= 1 叫南+ ( 8 。+ 。( “一7 ) 斋一崭8 。( 5 3 ) 于是有 = 3 ， = 4 ，兄= 5 0 = 00 3 帅) 1 一志e 怒+ 志( 。警”3 m 警”7 ) ) 一揣e 百2 0 ( u - 6 ) - 6 ) 2 _ 1 ) 目= 00 5 1 4 u 14 ( u 一3 ) 4 ( u 一7 ) 甲( “) = 1 - 二2 1 8 2 1 + 赤( 8 2 1 ( u - 3 ) + 。2 1 ( “一7 ) ) 一丽2 e i _ ( ( “一6 ) 2 一1 ) 0 = 01 t 2 u 12 ( u 一3 )2 ( 1 4 - 7 )12 ( u - 甲( 们_ 1 一吉订+ 击( p 丁( 卜3 ) + ei x ( 铲7 ) ) 一志8 可一( ( ”6 ) 2 _ 1 ) 下面我们给出安全负荷p 取3 个不同值的时候，破产概率的在这段区间上的幽数曲线 2 0 圣( u ) 0 9 7 一一 o 8 5 o 8 o 7 5 7 5 88 5 9 u 图53 初始瓷奉在区间【7 ，9 】上破产概率函数的图像 0 ：0 1 0 = 0 0 5 0 = 0 0 3 2 、当9 “ 1 0 时 此时o ”一7 v ( 54 ) fo = 00 30 9 3 8 4 4 709 3 6 7 5 209 3 5 0 1 909 3 3 2 4 809 3 1 4 3 9 0 9 2 9 5 9 【09 2 7 7 0 4 l0 = 0 0 509 0 0 8 6 2 0 8 9 8 1 9 6 08 9 5 4 7 3 08 9 2 6 9 3 08 8 9 8 5 308 8 6 9 5 6 08 8 3 9 9 9 i ( = o1 0o8 1 7 2 3 808 1 2 6 0 208 0 7 8 7 3 08 0 3 0 5 lo7 9 8 1 3 507 9 3 1 2 607 8 8 0 2 2 t p ( 56 ) v f 58 ) v ( 6 0 )v f 6 2 )掣( 6 4 )审( 66 )v ( 6 8 ) f8 ；o0 3 0 9 2 5 7 7 8 t 39 2 3 8 1 3 0 9 2 f 9 4 609 1 9 9 0 20 9 1 7 8 0 70 9 1 5 6 6 00 9 1 3 4 5 8 日；00 508 8 0 9 8 308 7 7 9 0 708 7 4 9 8 9 08 7 1 7 9 4 08 6 8 5 2 108 6 5 1 6 8 08 6 1 7 3 3 9 = 0 1 007 8 2 8 2 307 7 7 5 3 l07 7 2 5 2 0o7 6 7 0 3 707 6 1 4 2 807 5 5 6 9 0 07 4 9 8 2 0 中f 7 0 l v ( 72 )v ( 74 )掣( 7 6 )掣( 78 )甲( 80 )v ( 8 2 ) 9 = 0 0 309 1 1 2 0 009 0 9 4 7 409 0 7 7 3 6 0 ，9 0 5 9 8 7 09 0 4 2 2 9 0 9 0 2 4 6 30 9 0 0 6 9 0 0 = 00 508 5 8 2 1 308 5 5 5 4 908 5 2 8 6 9 08 5 0 1 7 508 4 7 4 7 008 “7 5 508 4 2 0 3 3 e = 0 l o07 4 3 8 1 307 3 9 3 8 l07 3 4 9 3 407 3 0 4 7 5o7 2 6 0 0 707 2 1 5 3 407 1 7 0 6 2 l 山( 8 4 )v ( 86 )( 88 )u j ( 9 0 )掣( 92 ) ( 9 4 )u ( 96 ) l9 = 00 308 9 8 9 1 208 9 7 1 3 l08 9 5 3 4 808 9 3 5 6 608 9 1 7 8 4 0 8 9 0 0 0 60 8 8 8 2 3 6 0 = 00 508 3 9 3 0 708 3 6 5 7 808 3 3 8 5 1 08 3 1 1 2 808 2 8 4 0 708 2 5 6 9 708 2 3 0 0 2 ( ；0 1 0o7 1 2 5 9 307 0 8 1 3 3o7 0 3 6 8 7 06 9 9 2 6 l0 6 9 4 8 5 20 6 9 0 4 7 30 6 8 6 1 3 2 l q f 98 )掣f 1 0 0 1l j j ( 1 0 2 )掣f 1 0 4 )f 1 06 )1 i j f l 08 )v ( 1 】0 ) ：0 = 0 0 3 o8 8 6 4 7 6o8 8 4 7 2 908 8 2 9 8 7o8 8 1 2 3 908 7 9 4 8 708 7 7 7 3 208 7 5 9 7 3 io = 00 508 2 0 3 2 708 1 7 6 7 4o8 1 5 0 3 308 1 2 3 8 608 0 9 7 3 608 0 7 0 8 308 0 4 4 2 8 0 = 0 1 006 8 1 8 3 7o6 7 7 5 9 406 7 3 3 8 006 6 9j7 006 6 4 9 6 406 6 0 7 6 50 6 5 6 5 7 5 f 掣( 1 12 ) t u ( 1 l4 j妒( “6 ) 啦f 1 18 、 t y ( 1 2 0 ) v ( 1 22 ) 啦( 1 24 ) l 0 = 00 308 7 4 2 1 308 7 2 4 5 108 7 0 6 8 808 6 8