（应用数学专业论文）解析函数空间上的加权cesáro算子.pdf

中文摘要 本文主要讨论了单位球上从广义b e s o v 空间到b l o c h 型空间，以及0 ，q ) 型b l o c h 空间上的加权c e s 6 r o 算子的性质，给出了它有界和紧的充要条件全 文共分为六部分 第一部分，简要介绍了本文需要用到的一些基本概念，并指出了近些年在这 个领域内的一些主要工作，相当于是一个前言同时，还在本部分给出了主要的 结果 第二部分，给出了本文所需要的一些引理及其证明 第三、四、五、六部分，给出了本文的主要定理的证明 关键词：加权c e s s r o 算子； 广义b e s o v 空间； b l o c h 型空间；紧性；有 界性 a b s t r a c t t h et i t l eo ft h i sa r t i c l ei se x t e n d e dc e s i i r o0 p e r a t o r so na n 龇t i c f u n c t i o ns p a c e s a n di tg i v e st h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h eb o u n d - e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h ec e s d r oo p e r a t o r sf r o mg e n e r a l i z e db e s o vs p a c e st ob l o c h t y p es p a c e s ，i na d d i t i o nt ot h a to n0 ，口) 一b l o c hs p a c e s t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t os i x p a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，s o m eb a c k g r o u n da n ds o m en o t i o n sa r eg i v e n a n dt h em a i n r e s u l t sa r eg i v e nh e r et o o i nt h en e x tp a r t ，s o m ei m p o r t a n tl e m m a s ，w h i c ha r er e l a t e dt ot h em a i nt h e o r e m ， a r ep r o v e d t h el e f tf o u rp a r t sa r et h ep r o o fo ft h em a i nt h e o r e m s k e yw o r d s ：e x t e n d e dc e s 5 r oo p e r a t o r ；b l o c h - t y p es p a c e ； g e n e r a l i z e db e s o v s p a c e ；b o u n d e d n e s s ；c o m p a c t n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丕鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：车刍& 签字日期： b 司年f 月f ，。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁洼盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：习数 导师签名： 签字日期：b 句年f 月f ，。日 阅绛绎 签字日期：乃碉年 f d 日 第一章背景知识简介 第一章背景知识简介 在这篇文章里，我们用d 表示单位圆盘，如表示c n 中的单位球b 上使 得v ( b ) = 1 的规范化的l e b e s g u e 测度，出表示球面o b 上的规范化的l e b e s g u e 测度，满足a ( o b ) = 1 h ( b ) 表示b 上所有的全纯函数的全体 任意f ( z ) 日( b ) ，我们知道它具有t a y l o r 展开式f ( z ) = i ( z ) = a j z j ，我 j = o 们定义作用在，上的经典c e s ( z r o 算子为 o o 1 j c 洲z ) = ( 者a k ) z j j = o 。k = o 在最近的几年，人们对于在解析函数空间之间的c e s d r o 算子的有界性 和紧性已经有了很多研究成果我们都知道当0 p o o 时，c 算子在通常 的h a r d y 空间h p ( d ) 上是有界的【6 】给出了一些基本的结果当1 p o o ， 【1 2 】在讨论c e s d r o 的谱的同时，得到了它在h p ( d ) 上的有界性对于p = 1 的情形， 14 】证明了该算子在相应h a r d y 空间上的有界性，该文并没有借 助于谱理论来证明，其方法参见【8 当0 p 1 ， 1 1 】给出了它的有界性最 后，p = o o 的情况，d a n i k a s 和s i s k a i s 在【5 】中得到了其有界性在b e r g m a n 空间以及加权b e r g m a n 空间上，c e s 4 r o 算子也是有界的，参见【2 】和【3 1 但 是，这些并不意味着c e s d r o 算子在任何空间都有界，参考文献f 5 】中对于它 在混合模空间上的有界性和紧性，给出了一个充要条件 单位圆盘上的广义加权c e s d r o 算子，最早是由【17 】引进的，随后 1 】 和 1 8 对它进行了研究此外，【1 】【7 】，【1 2 】， 1 8 】对c ，y 的伴随算子进行了研 究，得到了很多结果很显然，当7 = 0 的时候，c o = c 当0 p 2 的时 候，s t e m p a r k 证明了c 1 在日p ( d ) 上的有界性对于0 p l 的情形，他 运用的方法和参考文献 1 1 】中的类似；当p = 2 的时候，他借助于某一适定 序列变化的有界性得到了该算子的有界性，然后再利用插值定理便得到了 当1 p 2 的时候，【1 】和【1 8 】利用不同方法证明了 它在日p ( d ) 上的有界性 最近，该算子在多维空间上的有界性引起了很多人的兴趣，在 4 】中， 广义c e s d r o 算子在h a r d y 空间h p ( d n ) 和广义b e r g m a n 空间上的有界性已经 证明 通过简单计算，我们便知道叫门( z ) = i 1f o ( t ) o o g 击) 7 d t 从这一点出发， 1 第一章背景知识简介 我们很自然的能将其定义进行扩充对于g 日( b ) ，我们用马来表示以g 为 符号的加权c e s h r o 算子，它是这样定义的 乃( 烈z ) ：厂1 tz)rg(tz)d-ttf(t)rg(t ， 乃( ，) ( z ) = ， j o 一 其中，日( b ) ，z b 我们从它的定义中，很明显知道乃是h ( b ) 到h ( b ) 自身的映射在 通常情况下，要确定一个加权c e s d r o 算子是否有界或者紧不是件很容易的 事由 1 6 】出发，【9 】在单位球上讨论了该算子在混合模空间，b l o c h 空间以 及d i r i c h l e t 空间上的有界性和紧性( 见 1 0 】，【2 1 】) 设0 p 一1 ，f 日( b ) ，我们说，b ( p ，q ) ，即广义的b e s o v 空 间当且仅当 i l f i ( p ，口) = bi v f ( z ) i p ( 1 一汗) 9 d r ( z ) ) ；1 + o o ， 其中， v f ( 加( 掣，掣) 很显然，当p = q 时，b ( p ，q ) 就是我们已经知道的经典b e s o v 空间昂参 见 1 】，我们知道，在范数i i f l l b ( p ，口) = i f ( o ) l + l l f l l ( p ，口) 定义下，b ( p ，q ) 是个b a n a c h 空间此外， 2 2 】中的习题2 2 给出了这样一个结论：设，日( b ) ，则，b ( p ，q ) 当且仅当厶i n f ( z ) l p ( 1 一h 2 ) 口 + 0 0 ，其中， 删z = = j 壹= lz j 掣： 同理，设0 p + c o ，0 q + 0 0 ，日( b ) 我们说f b ( p ，训，即0 ，q ) 型b l o c h 空间，当且仅当 i l 1 ( p ，q ) = s u pl v f ( z ) l p o i z l 2 ) 口 + o 。， 其中v ( z ) 如上面所说的很显然，如果q = p ，b ( p ，q ) 就是b l o c h 空间，并且， 如果在它上面赋于范数i i f l l 层( ，m = i y ( o ) l p + l i f l l o ，g j ，那么它就是个b a n a c h 空 间 对于o 0 ，如果f 日( b ) ，并且 i i f l l q = s u p ( 1 一i z l 2 ) 。i v f ( z ) l + ， 第一章背景知识简介 我们说，是b l o c h 空间召d 上的一个函数我们都知道，当q 1 时，如果 给b 。赋以范数m 1 8 a = l ，( o ) i + 吲i 口，那么它是个b a n a c h 空间空间b 1 和b 。( o q 1 ) 分别是b l o c h 空间和l i p s c h i t z 空间l 1 一n 由【1 9 】我们可以知 道一个全纯函数f b a 的充要条件是s u p z e b ( 1 一i z l 2 ) 口i r ，( z ) i 0 ，名b ，函数 0 p 1 本文主要在球上讨论p ，q ) 型b l o c h 空间上，从广义b e s o v 空间b ( p ，q ) 到b l o c h 型空间召d 上的加权c e s d r o 算子的有界性和紧性，给出了其充要条 件下面是本文的主要结论： 定理1 1 如果0 p - 1 ，q o ，g h ( b ) ，那么马是从b ( p ，q ) 到b a 上的有界算子当且仅当 s u p ( 1 一l z l 2 ) 。g ! ! g ( z ) l r g ( z ) l 0 0 z e b p 定理1 2 如果0 p - 1 ，o t o ，g 日( b ) ，那么乃是从b ( p ，q ) 到b q 上的紧算子当且仅当 ( 1 ) 如果0 丛户 1 ，那么g 召。； ( 2 ) 如果堕声1 ，那么l i m i ：i 一1 一( 1 一i z l 2 ) 。g 丛产( z ) j r g ( z ) i = 0 3 南硝 g 一卜 k 吲 i | z 计 出 例 q 用次多会面后们我在它 第一章背景知识简介 定理1 3 如果0 p + o o ，0 q + c o ，g 日( b ) ，乃是b ( p ，口) 上的有界 算子的充要条件是 s u p ( 1 一l z l 2 ) 口础( z ) j n g ( z ) p 。o z e bp 定理1 4 如果0 p + 。o ，0 q + ，g 日( b ) ，马是召( p ，口) 上的紧算子 的充要条件是 ( 1 ) 如果0 ； 1 ，那么g b ( p , a ； ( 2 ) 如果；1 ，那么l i m i 。卜1 一( 1 一i z l 2 ) 9 g 善( z ) l r g ( z ) i p = 0 推论1 1 设g 日( b ) ，0 p 0 0 ，毛在矽上有界的充要条件是 ( 1 ) 如果0 p 1 ，那么g 召； ( 3 ) 如果p = 1 ，那么s u p z e b ( 1 一i z l 2 ) l o gt = 谇i r g ( z ) l 推论1 2 设g 日( b ) ，0 p o o ，t g 是b p 上的紧算子的充要条件是 ( 1 ) 如果0 p 1 ，那么g b o ； ( 3 ) 如果p = 1 ，那么l i m i 。i 卜( 1 一i z l 2 ) l o gf 2 砰i r g ( 2 ) l = 0 4 第二章几个引理及证明 第二章几个引理及证明 在文章的接下来的部分，我们用c 或者c 表示一个有限的正数，与z 无 关，却有可能随着一些范数以及某些参数，如p ，q ，佗，z ，f 等的变化而发生变 化，不同的情况下可能有不一样的值 为了证明我们之前给出的定理，我们需要证明下面几个引理： 引理2 1如果0 0 s t 对v f b ( p ，口) ，有 i i f 1 8 堡学v i f l i b c p ，q ) 证明设f b ，固定0 r o 1 ，由于( r f ) o 妒o 日( b ) ，所以i ( r f ) o 妒口i p 在b 上是次调和的于是有 i r f ( a ) p= f ( r f ) o ( 0 ) i p 毒上。b 惭) 嘞( ) m u ) = 专kb ) i 删i p 忐拦斋蝌 由 2 4 】中的( 5 ) ，我们知道，当z 妒。( r o b ) 时， 诫( 1 _ 1 0 1 2 ) 0 ，那么存在常数c 0 ，s t 对w b p 和v z b ，都有 i ，( z ) 1sc g p ( z ) l l f l l 舻， 成立，其中g p ( z ) 是第一章中定义的函数 证明这个引理出现在【2 0 i ，为了方便读者阅读的方便和本文的完整， 我们还是给出本命题的证明 对w 伊，因为i i f l l e = l ，( o ) i + s u p ( 1 一2 ) p l v f ( z ) l ，于是，我们有 i f ( 0 ) i 川脚，a n d i v m ) i 拦犏 然而 m ) = 邢) + z 1 班 因此 l ，( z ) ls i ，( 。) i + 0 1 l v ，( t z ) i d t i l f l l 8 ，+ i l y l l e f 0 1 南班 兰i i f l i b ( 1 + o k i 南) 当p = ，时，研d t 吲1n 瑚产1 南，因此 l y ( 列( 1 + 三2l n 南) l l f l l e 如果p 1 ，那么 志= j o 忙l 南j o 扭i 南= 警，厶研2 丌了而丽石! 丽2 1 = 厂一 因此，当0 p l 时，注意到石0 百兰匆sr b ，于是，我们有 因此，当 p 1 时， 产i 坐 ! 二! ! 二幽! g o ( 1 一t 2 ) p 2 1 一p 一! 二! ! 二幽! 二! 一( p 1 ) ( 1 一i z l ) p 一1 2 p 一1 石而f 1 丽 6 第二章几个引理及证明 从而 f ( z ) l ( 1 + f 南) l l f l l 舻 引理2 3如果0 p 0 ，我们知道肯定存在0 r l 1 ，8 t ( 1 一叼) 1 - p e 当7 7 h 1 ，我们有 乃( z ) 一j c f ( 御 l 兄办( z ) 班i 皈 班1 名者1t 孙班 ，昌( 一蚓2 ) p 上1 4 0 p ( 1 一矿p 巧m o c 从而 s u p if(列篙+su：p叼15(rlzll p 酬 1 一 i = 叼 所以由假设我们可以知道 m l i m 锄s u pi f j ( z ) 一1 以及z b ，有 f b 1 0 9 ， 莎1 2 f 翳蟛斋d v ( w ) c ( 1 。g 南) 2 ( 2 1 ) 7 | | = 一 第二章几个引理及证明 证明这个定理出现在【2 0 】中的引理2 6 ，为了方便读者阅读的方便和本 文的完整，我们还是给出本命题的证明 我们记左边的积分为厶，并且令2 a = t + n + 1 由t a y l o r 展开式， 以及 因此，有 1 一 1 一 j 2 a 2 t v = l t t t 正u ：坠某粤磐 奄 z ， 息删r ( a ) 2 一一一 厶= 厶薹。盏嗡帮 p m ( 1 咔1 2 ) t d 咖) = 量- - i - c o 邑- 4 - 0 0 u 篆1 者黼厶l | 2 ( u 邯小| 2 ) 训咄 不失一般性，不妨令z = i z e a ，那么 所以 厶l 严诎) ( 1 一川2 ) d v ( w ) = 厶( i z l w i ) 2 ( “+ 知) ( 1 一2 ) d v ( w ) = 2 n 启厶b p 2 n - 1 i z l 2 ( u + k ) l p 1 1 2 ( 札+ 七) ( 1 一p 2 ) d p d 6 n ( ) = 2 n l z l 2 ( 计七詹p 2 ( u + k + n - 1 ) + 1 ( 1 一p 2 ) d p 厶b 蚓2 ( 知) 彩( ) = n l z l 2 扣舶器警鲁觜瑞 一! l ! ! ! ! f 竺堡! ) 竺! i 夕1 2 ( u + k ) 一 f ( 2 a + u + k ) i 。i 五：董警缸誊1 岩黼哞辫蝌iu u - - - - 1k = o1 = 0 、7、 = 警誉冯嘏黼鬻铲札喜1 拦l i z p 一厶厶试丽可可甄再矿厶面研j 、7 u = lk = o 、 l = o = 薹薹锷器耕铲札董1 = 01 端2 m 诎) + 薹踹篆糊2 u ：，1 + h 由s t i r l i n g 公式，存在一个绝对常数c 1 使得 学e l l a - 1 , 鞘鲴( ) 1 _ 纵， 黼a u l - 2 a 掣州。1 8 佃 第二章几个引理及证明 对任意的1 ，也，k 1 都成立，于是有 鲥蚤+ o o 三+ o o 业畔萨竖“喜1 篙2 。 以及 如研薹警喜而l a - 1 垆i 1 如研竺等篙一瓦玎f z 她 “= 1 、 f = 、 注意到，当m 2 时，有 m l - 1 而( a - - 1 ) m 柚l o g m ， l 而柚 ， 1 = 1 。 从而存在一个常数c ，8 t 以及 c 薹薹业竖( u 计2 嘶州h 2 动 = c 刍+ o o 台+ o o 可n ! f ( t 旷+ 1 ) 丽k a 扣2 时功 十o o 十0 0 c 去伊 u - - - - 1k = l = c ( 1 。g 南) 2 u a - 2l o gu l z l 2 “ l o 让g u z 门 而很显然，2 也可以由( 1 0 9 看甲) 2 来控制，从而此引理成立 引理2 5设g 是b 上的全纯自映射，k 是b 上的任意紧子集那 么乃：b ( p ，q ) 一b 。是紧的充要条件是对于任一在b ( p ，q ) 中一致有界的函 数列 乃) 0 ) ，如果当j 一的时候，对z k ， 厶( z ) ) 一致收敛于0 ，则 有l i t j j l i b a 一0 成立 9 篓一 佃= 旧 c c 一 = 如 第二章几个引理及证明 证明假设乃是紧的， 乃) 是b 0 ，q ) 上的一列函数列，并且s u p j n | i 乃i i b ( p ，q ) 0 ，s t 马乃。( 名) 一九( z ) i c k i i 乃乃。一 | | 卢。， 其中z k 于是很明显有，在b 的紧子集上 马，j 。( z ) 一九( z ) 卜一致趋于0 又 由于k 是b 的紧子集，于是由已知以及马的定义， t g 乃。( 名) 在k 上会一 致收敛于0 所以，由k 的任意性，极限函数h 事实上就等于0 另一方面， 序列 乃) 也是任意的，所以我们说，在b a 中有马乃_ 0 成立 另一方面，设 乃】群= b b ( p ，q ) ( o ，r ) ，其中b b ( p ，q ) ( o ，r ) 是b ( p ，q ) 中的 球，那么由引理2 可知， 乃) 在b 上的任意紧子集m 上是一致有界的又 由m o n t e l 引理， y a 是一族正规族，因此存在它的一个子列 【乃。) ，并且该 子列在b 的紧子集上一致收敛于，其中，b 因此，在b 的紧子集上， v 乃。) 一致收敛于v ， 设b k = b ( o ，1 一 ) cc ”，那么 l v 卵( 1 一i z l 2 ) q d v ( z )2 七鸳 1 1 ml v 乃mi p(1一izl2)qdvb o o b k 。- * - i - 0 0 ( z ) j+ +j h m 髀止。i v 乃mi p ( 1 一m q d v k - - - * 0 0 ( z ) + m _ + ，r 。 但是 乃。) cb b ( p ，q ) ( o ，7 ) ，则 f v 乃。 p ( 1 一汗) 9 d v ( z ) p ， j b k 于是 f v f p ( 1 一汗) q d v ( z ) sr p 所以， 吲l b ( p ，口) r ，并且，b ( p ，q ) 因此函数列 乃。一，) 满足i i ，一，l ls 2 r o o ，并且它在b 的紧子集上收敛于0 于是由已知，我们知道在召n 上， 有 t 9 l j m _ t 9 1 所以，乃( 坼) 是个相对紧集，该引理证完 1 0 第二章几个引理及证明 引理2 6 设g 日( b ) ，那么对于任意的f h ( b ) 和z b ，有下式成立： 引乃州z ) = ，( z ) r g ( z ) 证明设全纯函数f r g 有t a y l o r 展开式 ( ，励) ( z ) = o 口严 i aj 1 那么我们有 r ( 马，) ( z ) = r 1 邢z ) 珊( t 名) 了d t = r z 1i 驴，a 譬 叫i 毛箐，j nj 2 1 1 。1 = o a 严= ( ，r 9 ) ( z ) 1 n 1 2 1 引理2 - 7 如果0 q + 。，0 p + ，0 ； 0s t 对 v f 8 ( p ，口j ，都有 i f ( z ) l p c g 墨l i f l l b ( p m p 证明设f b ( p ，郇，那么由定义很显然有 也就是说，l v ，( z ) i 于是我们有 v m 妒罂稀 筹1 ( 一2 ) 声 ，( z ) i i ，( 。) i + 0 1 v ，( t z ) 协 三三 i l f l l 占( ，。) + i l f l l 刍( ， 剑刘) ( 1 + 南) 剑刘缸。) ( 1 + 正_ 专忑) 一 第二章几个引理及证明 由【2 0 】中的引理2 2 ，我们知道 如果：= 1 ，则 i f ( z ) + 去h 矗斋川州，； 如果0 0 ，q 0 ，0 ： 0 ，存在0 叼 1 ，使得( 1 一叼) 1 一； 而当? 7 1 的时候，我们有 叫酗2 1 名知嘲卟皈 疵l 尚豫出冬1c 卜秽。 篝1 1 t z l 1 t 1 ，啬( 一i 2 ) ；一p 、 一； 于是 s u pi 乃( z ) i 饕+ s u pl y j ( 伽) | o l z l l 1 一刍 1 w l = r 所以由已知可得 妻r 黑s u pl 乃( z ) i 1 i m s u pi 乃( 2 ) i + s u pi 乃( 2 ) i ) 竽当 j o 。z e b j - - , o o i z l o 。7 0 ，f 是b 上的解析函数那么下列说法等价： ( 1 ) f b ( p ，” ( 2 ) s u p 。b ( 1 一2 ) 9 i r f ( z ) l p 0 ，q 0 ，我们已经知道 s u p ( 1 一i z l 2 ) 参i v ， ) i o o s u p ( 1 一i z l 2 ) ；l r f ( z ) l ， z e b z e b 所以很显然 s u p ( 1 一i z l 2 ) 口i v f ( z ) l p s u p ( 1 一i z l 2 ) 9 i r f ( z ) l p o o z e bz e b 该定理证完 1 3 第三章定理1 1 的证明 第三章定理1 1 的证明 设s u p z e b ( 1 一i z l 2 ) n g 盐；旦( z ) i 励( 2 ) i o o ，v ，b ( p ，g ) ，则由引理2 1 ，引理 p 2 2 以及引理2 6 可知， ( 1 一i z l 2 ) a i r t g f ( z ) i= ( 1 一l z l 2 ) q i f ( z ) l l r g ( z ) l c l l f l l b ( p ，口) ( 1 一评) a g 学( z ) l r g ( 2 ) c i l f l l s 0 , ，口) ( 1 一汗) a g 学( z ) l n g ( 2 ) c l l f l l s c p ，口) 于是，乃是有界的 另一方面，设乃是有界，并且 马i i b o c l l f l l b ( p ，q ) ( 1 ) 如果0 丛产 1 ，很明显函数，( z ) = 1 在空间s ( p ，口) 上，因此由乃 的有界性，乃，一定在召n 上，即 s u p ( 1 一汗) 。i r z o f ( z ) l = s u p ( 1 一汗) a i r g ( z ) l l ，我们要证的是s u p z e b ( 1 一2 ) a ( 司矛) 学_ 。i n g ( z ) l o 。 对任意w b ，令 厶( z ) ：j 【1 一 ) 于是我们知道 上( 1 制列v 腓胪d r ( 枢c ( 1 + 1 2 ) p 正旺等 t l 驿斋酢) c j b，曰l 上一石，i 一 。1 其中，最后一个不等式参见【2 2 】，于是，对于任意叫b ，我们有厶b ( p ，口) 又由死的有界性，我们有 ( 1 - 2 ) 0 ( 南) 学_ 1 i = ( 1 - 2 ) 0 j 腓) 1 1 酬钏 = ( 1 一i z l 2 ) 。i r ( t g f = ) ( z ) l i i 乃丘i i b o v i i 马i | o 。 1 4 第三章定理1 1 的证明 ( 3 ) 如果必p = i ，即p = n + l + 口，我们所需要证的是 !up(1一malog南irg(b z z ) i 0 ，孙( o ，1 ) ， 于是 ( 1 一l z l 2 ) a g 堡! 2 ( z ) i 励( z ) i ，r h 1 p t g y j l i b n c s u p ( 1 一i z l 2 ) a i f j ( z ) r g ( z ) l + cs u p ( 1 一i z l 2 ) q i f y ( z ) r g ( z ) l c s u p ( 1 一m q i r g ( z ) 愀z ) l 托州s u p ( 1 一m q g 学( z ) 俐2 ) l l l f jllbcpl ，q ) l ：l 气rr 1 2 l 1 ，只需另 删= 石i 1 - 萨i z 1 2 ， 并且利用和生产= l 一样的方法，便可以得到想要的结果 这样的话，定理1 2 就证完了 1 7 第五章定理1 3 的证明 第五章定理1 3 的证明 假设s u p ：b ( 1 一2 ) q g 量( z ) i r 9 ( z ) i p o o v f 召( p ，训，那么由引理2 6 和引 p 理2 7 ，我们知道 ( 1 一i z l 2 ) q l n t g f l ( z ) l p = ( 1 一i z l 2 ) q t f ( z ) l p l r g ( z ) p sc ( 1 一l z l 2 ) 9 鹋( z ) l l f l l b ( p 。) i r g ( z ) l p p c l l f l l b ( ，。) 因此，乃是有界的 另一方面，假设马是有界的，并且 马f l l 口( ，a ) c l l f l l b ( ，a ) ( 1 ) 如果0 ； 1 ，很显然函数，( z ) = 1 在召眵9 里面，因此马，也应该 是b ，口) 中的元素也就是说， s u p ( 1 一l z l 2 ) 9 i r 马，( z ) i p ：b = s u p ( 1 一l z l 2 ) q l r g ( z ) l p 1 ，我们需要证明s u p z e b ( 1 一i z l 2 ) q ( t = 讳) ；一1 p i r g ( z ) l p o o 任意w b ，令函数 如( z ) ：_ l 堂 l l 一 j 我们很容易知道 s u p | v 胁妒( 1 荆) 口- s u p ( 1 荆) q 拦辫 c z e b z e b1 1 一，1 1 。 于是，对任意w b ，丘b ( p ，到再由乃的有界性，我们得到 ( 1 一1 2 1 2 ) 9 i _ 二；湃) ；一1 p i r 9 ( z ) i p = ( 1 一l z l 2 ) 9 i a ( z ) j p j n g ( z ) i p ， = ( 1 一2 ) q l r ( t g 厶) ( z ) l p i i t g a i i p ，g ) e l l 乃怯，。) 1 8 第五章定理1 3 的证明 ( 3 ) 如果；= 1 ，即p = q ，我们需要证明 sup(1一izl2)口lo酽南irzeb z 夕( z ) i p 0 ，3 r ( o ，1 ) ， 使得 ( 1 一i z l 2 ) 9 础( z ) l n g ( z ) l p e ，r i z f 1 则 马乃1 1 8 ( ，。) cs u p ( 1 一i z l 2 ) q l f j ( z ) r g ( z ) l p + cs u p ( 1 一l z l 2 ) q l f j ( z ) r g ( z ) l p l z l rr 1 cs u p ( 1 一i z l 2 ) q i r g ( z ) i p f j ( z ) i p + cs u p ( 1 一i z l 2 ) g g 墨( z ) l r g ( z ) l p l i f j l l 召( p ，。) j z t rr i z 卜 1 ，只需设 肫，= 尚， 利用和；= 1 一样的方法，我们能得到相应的结果 这样的话定理1 4 我们已经证完了 2 1 参考文献 参考文献 【1 】k f a n d e r s e n ，c e s d r oa v e r a g i n go p e r a t o r so nh a r d ys p a c e s ，p r o c r o y a l s o c e d i n b u r g h ，1 2 6 a ( 1 9 9 6 ) ：6 1 7 6 2 4 【2 】a a l e m a na n da s i s k a k i s ，i n t e g r a t i o no p e r a t o r so nb e r g m a ns p a c e s ，i n d i a n a u n i v m a t h j 4 6 ( 1 9 9 7 ) ：3 3 7 - 3 5 6 3 】g b e n k ea n dd c c h a n g ，an o t eo nw e i g h t e db e r g - m a ns p a c e sa n dt h e c e s d r oo p e r a t o r ，n a g o y am a t h j 1 5 9 ( 2 0 0 0 ) ：2 5 - 4 3 4 】d c c h a n ga n ds s t e v i e ，t h eg e n e r a l i z e dc e s d r oo p e r a t o ro nt h eu n i t p o l y d i s c ，t a i w a n e s ej o u i r n a lo fm a t h e m a t i c s ，7 ( 2 0 0 3 ) ：2 9 3 - 3 0 8 5 】n d a n i k a sa n da s i s k a k i s ，t h ec e s d r oo p e r a t o ro nb o u n d e da n a l y t i cf u n c - t i o n s ，a n a l y s i s ，1 3 ( 1 9 9 3 ) ：1 9 5 - 1 9 9 6 】p d u r n ，t h e o r yo fh ps p a c e ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 0 7 】p g a l a n o p o u l o s ，t h ec e s d r oo p e r a t o ro nd i r i c h l e ts p a c e s ，a c t as c i m a t h 6 7 ( 2 0 0 1 ) ：4 4 1 4 2 0 【8 】d v g i a n ga n df m o r r i c z ，t h ec e s d r oo p e r a t o ro nd i r i c h l e ti sb o u n d e do n t h eh a r d ys p a c eh 1 ，a c t as c i m a t h 6 1 ( 1 9 9 5 ) ：5 3 5 5 4 4 9 】z j h u ，e x t e n d e dc e s d r oo p e r a t o r so nm i x e dn o r ms p a c e ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 3 1 ( 2 0 0 3 ) ：2 1 7 1 2 1 7 9 1 0 z j h u ，e x t e n d e dc e s d r oo p e r a t o r so nt h eb l o c hs p a c e si nt h eu n i tb a l lo f c n ，a c t am a t h s c i ，2 3 b ( 2 0 0 3 ) ：5 6 1 5 6 6 【1 l 】j m i a o ，t h ec e s d r oo p e r a t o ri sb o u n d e do nh pf o r0 p 1 ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 1 6 ( 1 9 9 2 ) ：1 0 7 7 - 1 0 7 9 【1 2 】a s i s k a k i s ，c o m p o s i t i o ns e m i g r o u p sa n dt h ec e s 6 r oo p e r a t o ro nh p ( d ) ，j l o n d o nm a t h s o c 3 6 ( 1 9 8 7 ) ：1 5 3 1 6 4 参考文献 【1 3 】a s i s k a k i s ，s e m i g r o u p so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r si nb e r g m a ns p a c e s ，b u l l a u s t r a l t h s o c 3 5 ( 1 9 8 7 ) ：3 9 7 - 4 0 6 【1 4 】a s i s k a k i s ，t h ec e s d r oo p e r a t o ri sb o u n d e do nh 1 ，p r o c a m e r m a t h s o c ， 1 1 0 ( 1 9