（概率论与数理统计专业论文）构造正交表的分层减法和除法.pdf

摘要 正交表在工农业生产和科学试验中发挥着重要作用，它被广泛的应用于统计学、编码 学、密码学、计算机科学等过去的几十年中，许多组合数学家及统计学家都致力于正交 表的构造，但大多数的方法集中于对称正交表的构造上而非对称( 混合水平) 正交表允 许实验因素具有不同水平数，有较大灵活性，因此得到了越来越多的关注在众多构造正 交表的方法中，人们往往是由小的正交表来构造大的正交表因此，小的正交表的构造问 题也是非常重要的针对这一问题，本文利用有限域和投影矩阵理论，研究了构造正交表 的分层减法和除法，并且由这两种方法构造出了一些小的正交表，从而使得利用小的正交 表来构造大的正交表更为便利同时，分层减法和除法的进一步研究为完善正交表的运算 体系起了一定的作用 具体内容如下： 第一章，介绍了正交表的发展历史、研究现状、基本概念及相关引理 第二章，在正交表的运算体系中，分层加法已有了一定的研究，同时分层减法的定义 也被提出并作了初步的讨论本章进一步研究构造正交表的分层减法。推广了已有的结 果，使得构造出的小正交表增加一个新的水平列 第三章，利用广义差集矩阵、投影矩阵的正交分解、广义k r o n e c k e r 和以及k r o n e c k e r 积的运算，给出了一种构造正交表的简便除法，这种除法使得作为除数的正交表由原来的 多列变成一列，从而使正交表的除法运算更为简单，作为这种方法的应用，构造出了一些 新的正交表 关键词：正交表；投影矩阵；分层减法；除法 a b s t r a c t o r t h o g o n a la r r a y sh a v ep l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei ni n d u s t r y , a g r i c u l t u r ya n ds c i e n t i f i c e x p e r i m e n t s t h e yc a nb eu s e dn o to n l yi ns t a t i s t i c sb u ta l s oi nc o d i n gt h e o r y , c r y p t o g r a - p h y , c o m p u t e rs c i e n c e ，e t c i np a s td e c a d e s ，a l t h o u g hm a n yc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c i a n s a n ds t a t i s t i c i a n sa r ed e v o t e dt oc o n s t r u c t i o no fo r t h o g o n ma r r a y s ，m o s to ft h o s em e t h o d s a r ef o rc o n s t r u c t i n gs y m m e t r i c a lo r t h o g o n a la r r a y s a s y m m e t r i c a l ( m i x e d l e v e l ) o r t h o g o - h a la r r a y sn e e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nb e c a u s et h e yh a v eg r e a tf l e x i b i l i t y , a l l o w i n gf o r f a c t o r sw i t hd i f f e r e n tn u m b e r so fl e v e l s s i n c el a r g e ro r t h o g o n a la r r a y sa r eo f t e no b t a i n e d f r o ms m a l l e ro r t h o g o n a la r r a y si nm a n ym e t h o d s ，t oc o n s t r u c ts m a l l e ro r t h o g o n a la r r a y s b e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n t i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gp r o j e c t i o nm a t r i xt h e o r ya n d t h et h e o r yo ff i n i t ef i e l d s ，t h es t r a t i f y i n gs u b t r a c t i o na n dd i v i s i o nf o rc o n s t r u c t i n go r t h o g - o n a la r r a y sa r ef u r t h e rs t u d i e dm i ds o m es m a l l e ro r t h o g o n a la r r a y sa r ec o n s t r u c t e d i t w i l lb em o r ec o n v e n i e n tf o rc o n s t r u c t i n gl a r g e ro r t h o g o n a la r r a y sf r o ms m a l l e ro n e s t h e o p e r a t i o ns y s t e mo fc o n s t r u c t i n go r t h o g o n a la r r a y sw i l lb cm o r ep e r f e c tb e c a u s eo fo u r m e t h o d s t h cd e t a i l sa r ea sf o l l o w s ： c h a p t e ro n ei n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n ta n dt h ec u r r e n tr c s c a r c ho fo r t h o g o n a la r r a y s a n ds o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dl e m m a sr e l a t e dt ot h i sp a p e r i i i s t r a t i f y i n ga d d i t i o ni ss t u d i e de x p l i c i t l yi nt h eo p e r a t i o ns y s t e mo fc o n s t r u c t i n go r - t h o g o n a la r r a y s t h ed e f i n i t i o no fs t r a t i f y i n gs u b t r a c t i o nf o rc o n s t r u c t i n go r t h o g o n a la r r a y s i sp r e s e n t e da n dd e m o n s t r a t e ds i m p l y s oc h a p t e rt w oi st of u r t h e rs t u d yt h es t r a t i f y i n g s u b t r a c t i o na n dt h ec u r r e n tr e s u l ti sg e n e r a l i z e d ，w h i c hm a k e st h es m a l l e ra r r a y sc o n - s t r u c t c dw i t han e wl c v c lc o l u m n c h a p t e rt h r e eg i v e sad i v i s i o nf o rc o n s t r u c t i n go r t h o g o n a la r r a y sb yu s i n gt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em a t r i x ，t h ed e c o m p o s i t i o no fp r o j e c t i o nm a t r i x ，g e n e r a l i z e dk r o n e c k c rs u m ， k r o n e e k e rp r o d u c t t h i sm e t h o dm a k e st h ec o l u m nn u m b e ro ft h ed i v i s o rb e c o m ee q u a l t oo n e ，a n de n a b l e st h ed i v i s i o nf o rc o n s t r u c t i n go r t h o g o n a la r r a y st ob cm o r es i m p l e r a s a na p p l i c a t i o no f t h em e t h o d ，s o m en e wo r t h o g o n a la r r a y sa r ec o n s t r u c t e d k e yw o r d s ：o r t h o g o n a la r r a y ；p r o j e c t i o nm a t r i x ；s t r a t i f y i n gs u b t r a c t i o n ；d i v i s i o n i v 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名：应垒耋啉型： ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名： 5 3 第一章绪论 1 本章首先概述了正交表及正交表构造理论的研究现状，在此基础上介绍了本篇硕士 论文所需要的基本概念及相关引理 1 1 正交表的研究现状 随着科学技术的飞速发展，试验在科学研究及生产实践中发挥着越来越重要的作用 在试验中，试验方法的选择又会直接影响着试验的效果换言之，一个好的试验方法，总可 以通过少量的试验而达到预期的试验效果因此，试验方法的建立、改进及新方法的探究 引起人们的广泛关注英国著名的统计学家f i s h e r 创立试验设计，已有八十多年的历史， 产生了许多的试验方法：单因素试验设计、双因素试验设计、随机区组试验设计、不完全 区组试验设计、正交试验设计、均匀试验设计【l ，2 ，3 1 、饱和及超饱和试验设计【4 1 等等， 这些方法在试验中使用的频率都比较高紧承f i s h e r 的研究成果，w h 和h a d a m a r d 合 作完成了他们的专著e x p e r i m e n t sp l a n n i n ga n a l y s i s 。p a r a m e t e rd e s i g no p t i m i z a t i o n i 引，2 0 0 0 年由w i l e y 出版社出版，该书内容涉及试验设计的应用及近二十年来试验设计 发展的新思想、理论和方法等2 0 0 3 年，南开大学张润楚教授完成了本书的翻译试 验设计与分析及参数优化i 0 1 正交试验设计( o r t h o g o n a le x p e r i m e n t a ld e s i g n ) 主要是借助于正交表来安排试验， 是研究多因素多水平的一种设计方法，该方法从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行 试验，具有“均衡分散，整齐可比”的特点，而且高效、快速、经济正因如此，许多组 合数学家及统计学家都致力于正交表的研究，包括有正交表的存在性【8 ，9 0 1 、正交表的 分类 1 1 1 、正交表的同构性 1 2 1 、正交表的列的上界 1 3 ，1 4 1 、高强度正交表1 1 5 、近似 正交表 1 6 ，1 7 ，1 8 j 、均匀正交表【7 ，1 9 ，2 0 ，2 1 等特别是h e d a y a t ，s 1 0 a n e 和s t u f k c n 的 专著o r t h o g o n a la r r a y s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s 1 z z ( 19 9 9 年由德国s p r i n g e r 出版 社出版的) ，为正交表的研究作出了重要的贡献书中列出了大量的研究成果、待解决的问 题、正交表研究的最新动态、可以使用的正交表及丰富的参考文献 1 本研究得到国家自然科学基金资助( 1 0 5 7 1 0 4 5 ) 构造正交表的分层减法和除法 正交表的定义非常简单( r a o ，1 9 4 7 ) ，但结构优美，使用方便它不仅用于统计学，还 被应用于编码学、密码学和计算机科学等【“z 硼就其构造方法而言，主要有：h a d a m a r d 矩阵构造 2 2 】、拉丁方构造 2 4 ，2 5 1 、差集矩阵构造 2 2 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 、有限域构造l 鳓、 m i 构造1 3 1 1 、编码构造【3 2 l 、有限几何构造 3 3 1 以及文 3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 】的构造，等 等其中，有限域构造是最经典、最古老的构造方法，它源于二十世纪四十年代，一些数 学工作者，如k e m p t h o r n e ，b o s e ，b u s h 等人，都为此做出了重要的贡献不过，上述众多 的方法，大多集中在对称( 固定水平) 正交表的构造上非对称( 混合水平) 正交表允许试 验因素具有不同的水平数，有较大的灵活性，在实际构造中显示出了更大的魅力，从上个 世纪6 0 年代初期开始引起较多的关注近些年来，试验因素具有不同水平的要求促进了 非对称正交表的研究【2 6 ，27 3 9 1 ，其构造方法主要是扩张性替换法( e x p a n s i v er e p l a c e m e n t m e t h o d ) 2 8 ，2 9 ，4 0 ，4 1 1 、压缩性替换法( c o n t r a c t i v er e p l a c c m e n tm e t h o d ) 1 4 2 ，4 3 ，4 4 和差 集矩阵法1 4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 4 9 ，5 0 ，5 1 1 虽然这些方法为非对称正交表的构造做出了重要的贡 献，但是还具有一定的局限性，如：文【2 8 ，2 9 】的构造仅限于素数幂水平或只有一个因素 具有非素数幂水平，文【4 3 ，4 4 】替换正交表时对原有的正交表的列却有严格的条件限制 m i 构作法一矩阵象构作法( m a t r i xi m a g ec o n s t r u c t i o n ) 1 ；5 1 】，是由我国数学工作者张 应山提出的，利用投影矩阵的正交分解来构作正交表这种方法出现的虽晚，却具有极大 的灵活性，它的突出优点就是：用这种构造方法构造出的正交表大多是混合正交表，为正 交表构造方法的多样性注入了新的活力该方法以多边矩阵理论i 叱j 为基础，不需要太 多的组合知识，在实际应用中也十分的简便构造时，只需先对投影矩阵m 进行正交分 解，再找出分解中出现的秩较小的投影矩阵所包含的正交表，如文 5 3 ，5 4 ，5 5 均为此类 构造因此说，m i 构作法是把正交表的构造转化为矩阵问题的一种方法，利用已有的 小正交表构造大的正交表，使得大的正交表的构造更为方便因此，h e d a y a t ，s l o a n e 和 s t u f k e n 在文 2 2 中给予这样评价：他们的方法是基于将正交投影矩阵分解成较小的正交 投影矩阵的和，使得从小的正交表构造大的正交表较为方便，体现了创造性 另外，将m i 构作法与其它方法结合又可构造出新的正交表，如文献 2 2 ，2 9 ，5 6 】文 【7 ，2 2 ，5 7 ，5 8 ，5 9 】对正交表的同构性亦有一定的研究关于正交表的交互作用列及完备 交互作用列，文献f 5 6 ，6 0 ，6 1 中均有相关论述因此，正交表的构造理论已成为组合数 学和试验设计的重要分支之一 2 第一章绪论 众多构造正交表的方法中，人们总是习惯于由小的正交表来构造大的正交表这样， 我们就要先找到一些满足构造所需的小正交表目前，小正交表的构造主要是借助于计算 机的搜索，或者是已知的一些小正交表因此，小正交表的构造及其方法的探寻，值得我 们做深一步的研究针对这一问题，本文主要研究构造正交表的分层减法和除法 在正交表的运算体系中，正交表的加法，特别是分层加法已有了一定的研究【3 1 ，6 2 ，6 3 l ， 而分层减法的定义在文 3 1 中虽已被提出，但未作详细讨论本文继续来研究构造正交表 的分层减法，同时推广了已有的构造结果厶；： - 耽孤) ，使得构造出的小正交表多出一 个t 2 水平列，即：对任意一个已知的大正交表l 。( 叩p 2 m ) ，首先借助于计算机将其第 一列变为( r ) o0 。的形式( 其中r 仇= 礼) ，再取它的前仃l 行进行验证，其验证结果如果为 一小正交表l 。( r l p x p 2 矶) ，则由本文的分层减法可知：该大的正交表的后n n 1 行经 过对其首列适当的数码变换，即为一个小正交表l 。( r 2 p 1 p 2 m ) 本文的分层减法是一 种简单又实用的构造方法，并且已知的大的正交表有很多，因此容易构造出很多的小正交 表 正交表的乘法，主要是指利用两个正交表结合各种不同的乘法( 如广义h a d a m a r d 积、 广义k r o n c c k e r 积等) 来构造正交表，这部分内容在文【3 1 ，6 4 】中已有详细论述另外， 构造正交表的广义除法也有了相应的研究本文给出的构造正交表的除法，是利用差集矩 阵、投影矩阵的正交分解、广义k r 伽e c k e r 和以及k r 觎e c k e r 积来研究的，简化了正交 表的广义除法p 1 1 这种除法使得作为除数的正交表由原来的多列变成一列，从而使正交 表的除法运算更为简便作为这种方法的应用，构造出了一些新的正交表 1 2 基本概念及相关引理 有关正交表的概念，文 6 5 中给出了强度为d 的正交表的定义，即：一个n k 矩 阵，k = k 1 + k 2 + + 辟，如果它的任意d 列中所有可能水平组合都出现并且出现的 次数相同，称这个矩阵为具有个s t ( i = 1 ，2 ，r ) 水平列、强度为d 的正交表，记为 o a ( n ，s ：1 s ：7 ，d ) ，k = k a + k 2 + + k ， 当所有的水平数都相等时，即8 。= 8 2 = = s r = s ，我们称这样的正交表为对称正 交表或固定水平的正交表，记作o a ( n ，七，8 ，d ) ； 3 构造正交表的分层减法和除法 当s 1 ，s 2 ，s ，不完全相等时，称这样的正交表为非对称正交表或混合正交表( 混合 水平正交表) 在本篇硕士论文中仅考虑强度为2 的正交表，上述定义具体来说就是： 定义1 1 6 6 1 一个第歹列的元素是0 ，1 ，2 ，p j 一1 的礼s 矩阵a = ( n 1 ，0 2 ，n 。) ，称 为一个正交表或者强度为2 的正交表，如果满足下列条件( 1 ) ，( 2 ) ： ( 1 ) 每一列中每个元素出现的次数相同 ( 2 ) 在任两列a i ，a j ( 1 ，j s ) 中，每一数对( o ，o ) ，( o ，p i 一1 ) ，( 1 ，o ) ，( 1 ，功一 1 ) ， 一1 ，功一1 ) 出现的次数相同 记作l 。( p ，p 2 p 。) ，其中n 为试验次数( 正交表的行数) ，s 为因素数( 正交表的列 数) ，功为第j 个因素的水平数0 = 1 ，2 ，s ) 如果p l ，p 。中有一些相同，用k ( p ；1 ，砌) 表示，其中t 1 + t 2 + + t 。= 8 若m 2 ，称k i 1 ，p 纫) 为一个混合水平正交表，或者非对称正交表； 若m = 1 ，即所有列具有相同的水平，称k ( 硝1 ，p 蒲) 为一个固定水平正交表，或 者对称正交表，这时记为厶0 3 ) 定义1 2 1 6 7 如果a = ( 口巧) 。仇，b = ( 6 巧) 。则矩阵a 与b 的k r o n e c k e r 和aob 定义 为 a 。b ：。口巧以x 。+ b ，：f 。1 1 j s t + b 其中以。是一个元素全为1 的矩阵 4 a n l 以x + b aolnmm三!_bb)， j s x t + l 第一章绪论 定义1 3 1 6 8 a = ( o 巧) 。b = ( ) 仇。是两个矩阵，则a 与b 的k r o n c c k e r 积定义为： a 圆b = k r o n c c k c r 积具有如下性质 6 8 ，6 9 】： 1 ( a a ) o ( b b ) = a b ( aob ) 2 ( a + b ) qc=aoc 十b c 3 ( aob ) c = a ( b oc ) 4 ( aob ) t = a t0b t 5 ( aob ) ( cod ) = ( a c ) o ( b d ) 6 ( a b ) 一1 = a 一1ob 一1 1 i m i n = i 一 其中a 一1 表示a 的逆，a r 表示a 的转置 a x 2 b 1 r j e 7 a 2 2 b 0 2 r b a n 2 b a n r b 定义1 41 2 2 】矩阵a 满足a 2 ：a 称为幂等的；矩阵a 满足a t = a 称为对称的；若矩阵 a 既是对称的又是幂等的，则称a 为投影矩阵或正交投影矩阵 投影矩阵具有如下性质f 5 2 ，6 8 】： 1 如果a 是投影矩阵，则j a 也是投影矩阵 2 如果a 是投影矩阵，则t r ( a ) = r a n k ( a ) 3 一个投影矩阵a 的特征根是0 或1 4 设c = a + b 是投影矩阵，且a ，b 是对称矩阵，则a ，b 是投影矩阵营a b = 0 5 若a ，b 是同阶投影矩阵，则下列条件等价： ( 1 ) a b 是投影矩阵 ( 2 ) a b = b 5 b 口 b l 1 1 1 2 几 。 口 口 ，。一 构造正交表的分层减法和除法 ( 3 ) b a = b k 6 ( 幂等阵的一个性质) 设a 1 ) ，a 岛是砣阶方阵，a = a i 考虑下列命题： i - - - - 1 ( 1 ) a ；= a i , i = 1 ，k ( 2 ) a i a i = 0 , i 歹；r a n k ( a ；) = r a n k ( a _ 1 ) ，i = 1 ，k ( 3 ) a 2 = a k ( 4 ) r a n k ( a ) = r a n k ( a i ) i = 1 则有( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 的任何两个可推出四个全部命题并且( 3 ) ，( 4 ) 可推出( 1 ) ，( 2 ) 7 a 0 注：矩阵a 的秩r a n k ( a ) 简记为r k ( a ) 引理1 5 已知a ，b 为非零矩阵，且a b 为投影矩阵，若4 ，b 中有一个为投影矩阵， 则另一个也必为投影矩阵 证明：不妨假设a 为投影矩阵，即a 2 = a ，a t = a ，要证b 也为投影矩阵 因aob 也是投影矩阵，即( a b ) 2 = a b ，( aoj e 7 ) t = aob 从而有： ( a b ) 2 = a 2ob 2 = aob 2 = a b ， ( aoj e 7 ) t = a t b 丁= aob t = a 圆b ， 因此，有ao ( b 2 一b ) = 0 ( 零矩阵) ，ao ( b 丁一b ) = 0 ( 零矩阵) ，又因a ，b 为非零矩 阵，由k r o n e c k e r 积的定义，必有b 2 一b = 0 ，b t b = 0 ，所以，b 2 = b ，b t = b ，即 b 为投影矩阵 证毕 定义1 6 2 9 1 考虑元素为0 ，l ，p 一1 的一个p 阶加法群g ( 与一个有限域g 有关) 元 素属于g 的一个nxk 矩阵称为一个p 水平的差集矩阵，用d ( n ，后；p ) 表示，如果在这个 矩阵的任何两列的有序差中，g 中的元素都出现并且出现的次数相同 当p = 2 时，d ( r ，m ；2 ) 就是一个哈达马矩阵( 简称哈阵) ，总可以通过对行加1 的方 法使哈阵的首列变成全0 列，这样的哈阵就称为标准哈阵 6 第一章绪论 标准哈阵去掉全0 列，就是一个强度2 的二水平正交表 定义1 7 1 3 9 1 假定我们按照表a = ( ) 。= ( 0 1 7 ，o 。) 来安排一项试验，而y = ( m ，k ，k ) t 是试验数据向量在方差分析中，第j 个因素效应的平方和髯定义为： p j 一1 11 r i 岛2 南( 三钟一麦( 喜蜡 其中= s ：a s j = i ) ，i l 表示岛的元素个数，乃表示第j 个因素的水平数由上式 得劈是y 的二次型，即存在唯一的对称矩阵a j 使得岛= y 丁a j y 这个矩阵如叫做 a 的第j 列q j 的矩阵象，用m ( a j ) = a j 表示a 的一个子表的矩阵象定义为它的各列 矩阵象的和特别的，用m ( a ) 表示a 的矩阵象 若1 ，是由1 组成的7 1 向量，我们定义m ( 1 ，) = p r 其中p r = 1 ，l = 五，是 元素全为1 的7 阶矩阵让( r ) = ( 0 ，1 ，r 一1 ) t ，厶是r 阶单位阵，并且记t r = 厶一只， 则由投影矩阵的定义易知：- 是投影矩阵，且仇( ( r ) ) = - 定义1 8 1 5 2 1 如果矩阵s 在它的每一行和每一列中只有一个元素为1 ，而其余的元素为0 ， 则称s 为置换矩阵 令e i ( n ) = ( 0 ，一，0 ，1 ，0 ，o ) t 是第i 个元素为1 ，其余的元素为0 的n 1 列向 量下面两个置换矩阵肌( 循环置换矩阵) 和k ，q ) ( 换位置换矩阵) 是非常有用的 m = e l ( 7 ) e ；( r ) + + e r - 1 ( r ) e y ( r ) a - e ，( r ) e ( r ) p q k p ，g ) = e i p ) 巧( q ) p 勺( g ) e ( p ) i = 1j = t 且上述两个置换矩阵有如下性质【5 2 ，7 0 ，7 1 】： r ( r ) = 1 ，4 - ( 7 ) ，r o o d7 k t ( p ，q ) = k ( q ，p ) k 0 ，g ) ( 1 。 ( p ) ) = ( p ) 1 。 k ，q ) ( ( 口) o ) ) = p ) ( q ) k ( p ，q ) ( bo 昂) k t ( p ，q ) = 勺。局 7 构造正交表的分层减法和除法 k ( p ，g ) ( o 丁p ) k t ( p ，q ) = 勺o 一般地，设x ，y 分别为p ，q 维向量，a ，b 分别为pxp ，qxq 矩阵 k ( p ，q ) ( 可ox ) = xoy k ( p ，g ) ( b a ) k t 0 ，q ) = ao b 引理1 9 5 6 1 下列结论是成立的： ( 1 ) m ( ( p ) ) = r p ( 2 ) m ( ( p ) q1 ，) = 昂。只 ( 3 ) m ( 1 ，o0 ) ) = 只 勺 引理1 1 0 7 2 如果一个n 仇矩阵a = ( 0 1 ，n 高) = ( ) 。的第j 列的矩阵象 是m ( a j ) ，且s 是一个置换矩阵，则矩阵s a 的第j 列= ( 0 0 ，n 毛) t 的矩阵象是 s m ( a j ) s t 引理1 1 1 1 7 2 设a = ( o l ，口。) = 【s 1 ( 1 ，。 ( p 1 ) ) ，s i n ( 1 ，。o0 。) ) 为强度1 的正交 表，则： ( 1 ) m ( a j ) = 岛( p j 嘞) 丐 ( 2 ) m ( ) 是一投影矩阵 ( 3 ) t m ( a j ) = m ( a j ) 若我们只考虑强度为1 的正交表，根据其定义和上述引理，我们可以给出正交表的矩 阵象的等价定义( 组合定义) ： 定义1 1 2 1 5 3 1 令a 是一个强度为1 的正交表，即 a = ( a 1 ，a 2 ，a 。) = ( s 1 ( 1 ，。 ( p 1 ) ) ，咒( 1 ，。o ( p 2 ) ) ，s 。( 1 ，。 ( p m ) ) ) ， 其中r j p j = n ，j = 1 ，2 ，m ，s l ，岛，s l 是置换矩阵，则a 的第j 列a j 的矩阵象为 岛( ) 岛t 并且定义a 的矩阵象为a 的各列矩阵象之和 8 第一章绪论 引理1 1 3 3 9 1 设a 是一强度为1 的正交表，即a = ( 0 1 ，a m ) = s i ( 1 ，。0 1 ) ) ，。( 1 ，。o 。) ) 】，其中r i p i = n ，s i ( i = 1 ，2 ，m ) 是置换矩阵，下列条件是等价的： ( 1 ) a 是一强度为2 的正交表 ( 2 ) m ( a t ) 是一投影矩阵 ( 3 ) m ( a i ) m ( a j ) = o ( i 歹) ( 4 ) 投影阵能被正交的分解为：t n = m ( a 1 ) + + m ( a 。) + a ，其中矩阵x 的秩 r k ( a ) = n l 一墨l p i 一1 ) 引理1 1 4 3 9 对任意的置换矩阵s 以及正交表l 都有 m ( s ( lol r ) ) = s ( m ( l ) op r ) s t ， m ( s ( 1 ，ol ) ) = s ( 只om ( l ) ) s t 引理1 1 5m ( t 0 ) ) = r p ，其中t 为转置矩阵 证明： 由引理1 1 0 得m ( 丁) ) = 丁昂矿= r ( g 一昂) t t = 一昂= 砀 引理1 1 6 3 1 i 设d 是任意取值于群g = o ，1 ，p 一1 的7 仇矩阵，如果d 。( p ) 是 一个正交表( 强度2 ) ，那么d 是差集矩阵d ( r ，r e ；p ) 9 2 1引言u- - _ 第二章构造正交表的分层减法 正交表均衡分散、整齐可比的优良性为它的广泛应用开辟了广阔的前景它被应用 于统计学、编码学、密码学和计算机科学等特别是混合水平正交表允许实验因素具有 不同水平数，有较大灵活性，在实际应用中显示出了更大的魅力近些年来，随着试验设 计的发展，人们在实际工作中也经常使用混合正交表，这就促进了对混合正交表的研究 1 8 ，3 9 ，6 6 ，6 7 ，7 3 ，6 4 ，其中张应山等人的m i 构作法占有重要地位，利用正交表与投影 矩阵、置换矩阵间的关系，给出一些构造方法，并且进一步综合各类方法，推导出了正交 表的加法、减法、乘法、除法及替换方法 有关正交表的加法，有两种形式：正交表按列加法和正交表分层加法其中正交表按 列加法又称正交表加法，其定义可由文 3 1 总结如下： 强度2 的正交表l 和h ，当m ( l ) m ( h ) = 0 时，就称k = ( l ，h ) 为正交表l 和h 的和显然k 也是一个强度2 的正交表，且有m ( k ) = m ( l ) + m ( h ) 正交表的分层加法( 文 6 3 ) 定义为：两个小正交表l 。( r l p l p 2 m ) ，l n 。( r 2 p l p 2 m ) 上下分层相加，构造大的正交表l 。( r p l p 2 m ) ，即： 三。( 叩l p 2 p ) = ( r ) o0 。，( 三五( p i p 2 p ) ，l 乞( p 1 p 2 p k ) ) t 】， 其中扎= 7 2 1 + n 2 ，t t i = r l m ，i t 2 = r 2 m ，7 = r l + r 2 ，l m ( p x p 2 肌) ，l n 2 ( p i p 2 m ) 分别为 正交表l 。，( r l p l p 2 m ) ，l 。( r 2 p l p 2 p k ) 中相应除去( ( r 1 ) oo r ) ，( ( r 2 ) 0 。) 后得到的 正交表 与正交表的加法相对应，正交表的减法也有两种形式( 文【3 1 】) 其中一种定义如下： 对给定的正交表k 和k ，从已知的正交表中寻找所有的正交表h ，使得m ( h ) m ( l n ) 一 m ( k ) 的运算称为正交表的减法 另一种是分层减法，其定义在文【3 1 】中已给出，并做了初步的讨论，得到了一种构造 结果l 。：- p 2 m ) 本章继续来研究构造正交表的分层减法，同时推广了已有的结果， 1 1 构造正交表的分层减法和除法 使得构造出的小正交表多出一个r 2 水平列，即：由本文的分层减法，可以构造小正交表 l n 2 ( 7 。2 p i p 2 m ) 2 2 主要定理及其应用 首先给出一个引理： 引理2 1 1 3 1 假设n = 礼1 + 礼2 ，并且厶( p l m ) = 【三夏( p 1 矶) ，i n t 2 0 9 1 m ) 】丁和 厶。p 1 p k ) 是正交表，则l n ：( p 1 m ) 也为一正交表 定理2 2对正交表l n ( r p l m ) ，假设礼= i t i + t t 2 ，n 1 = r l m ，佗2 = r 2 1 1 l ，7 = 7 1 + i 2 ， 且k ( 印1 p 奄) = 【( r ) 0 。，k ( p 1 m ) ，当其前n 1 行l 。( r i p l p k ) 也为正交表时， 则l 。：( r 2 p l p k ) 为正交表 证明：对正交表 l 。( r p l p k ) = 【( r ) o0 。，l 。( p l p k ) 】， 当其前n 1 行厶。( ? l p l p k ) = 【( r - ) o0 。，l 。( p l m ) 】也为正交表时，则由正 交表厶( 印p k ) 和l 。( r i p l p k ) 分别去掉第一列( 7 ) o0 。和( 1 1 ) e0 。) 得到的 k ( p 1 p k ) 和l 。( p l p k ) 都为正交表，由引理2 1 可知：l 。：( p 1 p k ) 也为正交表， 其中l 。( p 1 p ) = 【l 。t ( p 1 m ) ，l 乏( p 1 m ) 】丁 把正交表k ( 叩1 p k ) = 【( 7 ) o0 。，l 。( p l m ) 】的后t 2 行取出来，构成了一个 礼2 ( k + 1 ) 的数表，记为l ：l ：，显然有l ：= 【( r 1 ， 1 + 1 ，r 一1 ) 丁o0 。，l 。( p 1 m ) 】， 对l ：1 ，第一列进行如下数码变换： 7 1 _ 0 ，r l + 1 1 ，r 一1 _ 2 1 于是，得到一个新的列( r 2 ) 0 0 。，此时记l 。：= ( r 2 ) e 0 。，l 。：( p i - m ) ，下证l n 。为 正交表： 由正交表的定义可知，在正交表l 。( r p l p k ) 中，第一列( r ) 0o m 与任意的乃水平列， 1 2 第二章构造正交表的分层减法 ( 1 j 七) ，组成的任意二元数组( z ，可) ，0 z r 一1 ，0 y p j 一1 出现相同次数， 而当r l z 7 一1 ，0 y p j 一1 时，二元数组x ，y ) 刚好对应表l ：。中的第一列 ( r l ，r l + 1 ，r 一1 ) ro0 。与相应的p j 列( 1 j k ) 组成的所有二元数组，即：数码变 换后的l 。中( r 2 ) o0 。列与相应的功列( 1 j k ) 所组成的二元数组，从而满足两列 正交，即( r 2 ) oo m 列与乃列正交，再由j 的任意性及前证k 。( p 1 p k ) 为正交表可知， l 札：( r 2 p l p k ) = ( r 2 ) o0 m ，l 。( p l p 七) 】 为正交表 下面给出定理的应用： 例2 3 利用正交表的分层减法及正交表l 8 4 ( 1 4 1 3 1 2 1 8 ) 构造正交表l 3 6 ( 6 1 3 1 2 1 8 ) ： 首先借助于计算机，可以把任意一个参数为l 8 4 ( 1 4 1 0 1 32 1 8 ) 的正交表变为 ( 1 4 ) 0 0 6 ，l 矗( 3 1 2 1 8 ) 】 的形式( 表2 5 ) ，再选取它的前4 8 行进行验证，其为一正交表l 4 8 ( 8 1 0 1 32 1 8 ) ，则由定理2 2 可知，正交表l 8 4 ( 1 4 1 3 1 2 1 8 ) 的后3 6 行组成的小表经过对其第一列进行如下数码变换： 8 _ 0 ，9 _ 1 ，1 3 _ 5 后，便得到正交表l 3 6 ( 6 32 1 8 ) ( 表2 6 ) ，此表在文 3 9 】中利 用投影矩阵正交分解的方法也曾得到 例2 4 由分层减法定理，还可构造如下一些正交表： l 2 0 ( 1 0 1 n 2 2 ) 一l 8 ( 4 1 n 2 2 ) 兮l 1 2 ( 6 2 ) ， l 6 0 ( 3 0 1 n 2 2 ) 一l i o ( 2 0 1 n 2 2 ) 号l 2 0 ( 1 0 1 n 2 2 ) l 4 a ( 1 1 1 n 1 22 ) 一l 2 8 ( 7 1 n 1 22 ) 号l 1 6 ( 4 1 n 1 22 ) ， l 5 2 ( 1 3 1 n 1 22 ) 一l 2 4 ( 6 1 n 1 22 ) 号l 2 8 ( 7 1 n 1 22 ) ， l 6 0 ( 1 0 m 32 1 3 ) 一l 3 6 ( 6 32 1 3 ) 号l 2 t ( 4 32 1 3 ) l 6 0 ( 1 0 62 1 1 ) 一l 3 6 ( 6 62 1 1 ) 兮l 2 4 ( 4 m 62 1 1 ) l 8 4 ( 1 4 62 1 3 ) 一l 4 s ( 8 62 1 3 ) 辛l 3 6 ( 6 m 62 1 3 ) 1 3 构造正交表的分层减法和除法 三8 4 ( 7 m 62 1 8 ) 一l 4 8 ( 4 m 62 1 8 ) 令l 3 6 ( 3 m 62 1 8 ) 三8 4 ( 7 32 2 0 ) 一l 4 8 ( 4 32 2 0 ) 号l 3 6 ( 3 32 2 0 ) 三1 2 6 ( 2 1 1 6 1 3 2 0 ) 一l 7 2 ( 1 2 1 6 1 3 2 0 ) = 争l 5 4 ( 9 1 6 1 3 2 0 ) l 1 2 6 ( 7 1 6 1 3 2 3 ) 一l t 2 ( 4 1 6 1 3 2 3 ) = l 5 4 ( 3 1 6 1 3 2 3 ) l 1 3 5 ( 1 5 1 9 1 3 2 0 ) 一l 8 1 ( 9 1 9 1 3 2 0 ) = 争l s a ( 6 1 9 1 3 2 0 ) l a 4 0 ( 1 0 1 7 1 2 1 8 ) 一l 5 6 ( 4 1 7 1 2 1 8 ) 号l s a ( 6 1 7 1 2 1 8 ) l l a o ( 5 1 7 1 2 2 0 ) 一l 5 6 ( 2 1 7 1 2 2 0 ) = 争l 8 4 ( 3 1 7 1 2 2 0 ) 说明：上述每个式子中，由”净”左边的两个正交表及定理2 2 ，容易得到”号”右边所 对应的正交表 第二章构造正交表的分层减法 表2 5 正交表l 8 4 ( 1 4 1 3 1 2 1 8 ) n o a la 2a 3 a 5a 6 a 8a 9 a 1 1a 1 2 , 1 4a 1 5 a 1 7a 1 8 a 2 0 l011 0 01 0 00 0 10 0 10 1 10 0 0 2020