（概率论与数理统计专业论文）两性的galtonwatson分枝过程模型.pdf

摘要 在论文中，我们将研究三类分枝过程模型，即两性的g a l t o n w a t s o n 分枝过程模 型，人口数相依的受控分枝过程模型，以及随机环境中的人口数相依的分枝过程模型 在引言中我们给出了本论文论题的历史概述以及论文的内容提要然后开始论述 论文的主要部分 论文的第一部分，我们集中研究一类两性的g a l t o n w a t s o n 分枝过程模型，即带 移民的两性g a l t o n w a t s o n 分校过程，人口数相依的两性g a l t o n w a t s o n 分枝过程， 与随机环境中的两性g a l t o n w a t s o n 分枝过程这部分内容共包括四节，在第一节中。 为这部分内容后面研究的需要，我们首先介绍了两性的g a l t o n - w i t s o n 分枝过程的一 些基本理论在第二节，利用离散鞅方法我们研究带移民的两性g a l t o n 一、v a t s o n 分枝 过程( b g w p i ) 的渐近性质，其中包括过程的几乎处处收敛性及己1 收敛性第三节致 力于研究人口数相依的两性的g 出t o n 一、v a t s o n 分枝过程( p s d b p ) 的渐近性质在第 四节我们首次引入随机环境中的两性g a l t o n w a t s o n 分枝过程( b g w p r 日，获得了 过程的渐近性态以及灭绝概率的一些结果在这些模型的研究中，平均增长率这一概 念以及后代分布的概率母函数是极为重要的参数 论文的第二部分，我们考虑带有随机控制函数的人口数相依的受控分枝过程对 于这个模型，受g o n z 越e ze ta 1 ( 2 0 0 2 ) 以及x i n g 与w a n g ( 2 0 0 5 ) 思想的启发，在后 代分布及控制函数的适当假设下，我们研究了其相应的灭绝概率及极限概率行为，获 得了该过程最终几乎灭绝的充分必要条件以及相关的极限定理并且，在下临界的情 况，我们得到的结果是过程以分布收敛到正的且有限的非退化随机变量 论文的第三部分考虑随机环境中人口数相依的分枝过程的生存概率的渐近估计 受g e i g e r 与k e r s t i n g ( 2 0 0 1 ) 思想的启发，利用随机游动的理论及测度变换的方法， 我们得到了临界情况下生存概率渐近估计的表达式 关键词：g a l t o n w a t s o n 过程；两性的g a l t o n w a t s o n 分枝过程；入口数相依的分枝 过程；受控的分枝过程；随机环境；随机环境中的分枝过程；随机环境中的人口数相 依的分枝过程；灭绝概率；概率母函数；随机游动；生存概率 学科分类号：6 0 j 8 0 i i i a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h r c cc l a s s e so fb r a n c h i n gp r o c e s sm o d e l s ，ic ，b i s e x u a lg a l t o n - ，a t o nb r a n d h i n gp r o c e 鸽e s ，p 印u l a t i o n s i z e - d 印e n d e n tc o n t r o l l e db r a n c h i n gp r o c e s s e sw i t hr a n d o mc o n t r o l lf u n c t i o na n dp o p u l a t i o n s i z e - d e p e n d e n tb r a n c h i n g p r o c c s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t s t h eb r i e fr e v i e wo ft h eh i s t o r yo nt h cc o n c e r n e dt o p i c sa sw e l la st h eo u t l i n eo ft h e d i s s c r t a t i o na r e 百v c ni nt h ei n t r o d u c t i o na f t e rt h a tt h cm a i nb o d yo ft h cd i s s e r t a t i o n s t a r t s i nt h ea r s tp a r t ，w ef o c u so ns t u 蛳n gad a s so fb i 鲫c i l a lg 出t o n w a t o nb r a n c h - i n gp r o c e s sm o d e l s ，i e ，b i s e x u 址g a i t o n - w a t o nb r a n c h i n gp r o o e s s c sw i t hi m m i g r a t i o n ： p o p u l a t i o n s i 巩- d e p e n d e n tb i s e x u a lb r a n c h i n gp m c e s s e s ；t h eb i s e x u a lb r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i m n m e n t s t h i sp a r tc o n t a j i l sf o u rs e c t i o i l s i ns o c t i o nl ，w e 矗r s t l yi n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yo fb i s e x u a lg d t o n - w 乱o nb r a n c l l i n gp m c e s s e s i n s e c t i o n2 ，a p p l y i n gd i s c r e t em a r t i n g 出m e t h o d ，w ei n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cp r o p e 卜 t i e so f b i s e x u a lg a l t o 小w 乱o nb r a n c l l i n gp m c e s 8 e s 丽t hi 删 n i g r a t i o n ( a b b r b g w p i ) ， c o n t 舡n i n ga j m o s ts u r ec o n v e r g e n c ea i l dl 1c o n v e r g e n c eo ft h ep r o c e s s s e c t i o n3i s d e v o t e dt oi n v e s t i g a t et h e 船y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft h ep o p u l a t i o - s i z e - d e p e n d e n tb i - s e ) ( i l a lb r 雠c l l i n gp r o c e s s e s ( p s d b p ) i ns e c t i o n4 ，w ei n t m d u c et h eb i s e ) ( 1 l a lg “t o n - w 乱o nb r a l l c h i n gp r o c e 鹃e si nr a n d o me n v 打o n m e n t s ( b g w p r e ) f o rt h e6 r s tt i m e ，a 工l d o b t a i na s ) ，m p t o t i cb e h a v i o u ra n de x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h em o d e l i nt h es t u d y o ft h e s em o d e l s ，t h em e a ng r o w t hr a t e sa n dt h ep r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o n so ft h c o 凰p r i n gd i s t r i b u t i o i l s 越o fp a r a m o l i n tp 缸锄e t e r s i nt h es e c o n dp 盯t ，w ec o n s i d e rt h ep o p u l a t i o n s i z e _ d 印e n d e n t n t r o l l e db r a n d l 一 i n gp r o c e s s c s 诵t hr a n d o mc o n t r o lf u n c t i o i l s ( p s d c b p ) f o rt h i sm o d e l ，i l l u m i n e db y g o n z 矗l e ze t 址( 2 0 0 2 ) ，x i n ga n dw a n g ( 2 0 0 5 ) ，t h e r r e s p o n d i n gc x t i n c t i o np r o b a b i l i t ya n dl i m i tb e h a m o ra r ei n v e s t i g a t e du n d e ra p p m p r i a t ec o n d i t i o n so ft h eo 凰p r i n g d i s t r i b u t i o na n dc o n t r o l l e df u n c t i o n w bo b t a j nt h en e c e s s 8 r ya n ds u f l i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h el l l t i m a t ee x t i n c t i o nw i t hp m b a b i l i t yo n ea i l ds o m el i m i tt h e o r e m sr e l a t e dt ot h e p r o c e s s f 0 rt h es u b c r i t i c a lc a s e ，w eo b t 越nt h a tt h ep r o c e s sc o n v e r g e si nd i s t m u t i o n t oap o s i t i v e ，f i n i t ea n dn o n d e g e n e r a t er a n d o mv a r i a b l e i nt h et h i r dp a r t ，w ec o 璐i d e rt h ea s y m p t o t i ce s t i m a t i o no ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t y o fp o p u l a t i o n - s i 瓣d e p e n d e n tb r a l l c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t ( p s d b p r e ) 1 1 1 s p i r e db yt h ei d e a so fg e i g e ra n dk e r s t i n g ( 2 0 0 1 ) ，w eo b t a j na n 唧r c s s i o no ft h c i i a s y m p t o t i cb e h a i o u ro fs u r v i v a lp r o b a b i l i t yi nt h ec r i t i c a lc a s eb yu s i n gt h et h c o r yo f t h cr a n d o mw a l k 5a n dt h em e t h o do fm e a s u r et r a n s f o r m a t i o n k e yw b r d sa n dp h r a s e s ：g a l t o n w a t s o np r o c e s s ；b i s e x u a lg a l t o n w a t s o nb r a n c h i n gp r o c e s s ；p o p u l a t i o n _ s i z e - d e p e n d e n tb r a n c h i n gp r o c e s s ；c o n t r o l l e db r a n c l l i n gp r o - c e s s ；r a l l d o me n v i r o n m e n t ；b r a n c h i n gp r o c c s si nr a n d o me n v i r o n m c n t ；p o p u l a t i o n s i z e - d e p c n d c n tb r a n c h i n gp m c c s si nr a n d o mc n “m n m c n t s ； e x t i n c t i o np m b a b i l j t y ： p r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf i l n c t i o n ；r 眦d o mw a l k s ；s u r v i v 砒p r o b a b i l i t y a m s2 0 0 0s u b j e c tc l 暑噶s i 丘c a t i 0 璐：6 0 j 8 0 l i s to fp r i n c i p a ln o t a t i o n s b g w pb i s e ) ( 1 l a ig 甜t o n - w 乱s o nb r a n c h i n gp r o c e s s ii d i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c 缸l yd i s t r i b u t e d b g w p ib i s e ) ( u a lg a l t o n _ w a t s o nb r a n c l l i n gp r o c e s s 诵t hi m m i g r a t i o n p s d b pp o p u l a t i o n s i z e - d e p e n d e n tb i s e x u a lg a j t o n w a t s o np r o c e s s p g fp r o b a b i l i t yg e n e r a t m gf u n c t i o n b g w p r eb i s e x u a lg a l t o n w a t s o nb r a n c h i n gp r o c e j s i nr a n d o me n v i r o n m e n t p s d c b p p o p u l a t i o n s i z e - d e p e n d e n tc o n t r o l l e db r a n c h i n gp r o c e s s w i t hr 眦d o mc o n t r o lf l i i 坨t i o n p s d b p r ep o p u l a t i o n s i z e d e p e n d e n tb r a n d n n gp r o c e s s i nr a n d o me h w i r o n m e n t ns e to fa l lp o s i t i v ei i 她g e r s rs e to f a ur e 以n u m b e r s r +s e to fa l ln o n n e g a t i v er e a 王n 舢曲e r s ss t a t es p a c e ( q ，p )p r o 蛐t ys p a c e p ( j ) t h et r a n s i t i o np r o b a b i h t yo fam a r k o vc h a i n 丘d mt h es t a t ett oj ( e ，) m e 豁u r a b l es p a c e 幻 k r o n 池rf u i l c t i o n e “p e c 眦i o n v a rv a r i a n c e ，j 仃一a l g e b r 鹊 吲1 月c o n d i t i o n a l 唧e c t a t i o n v 盯【1 月d i t i o n a lv 岫a n o e “ i n d i c 曲0 rf u n c t i o n i di d e n t i c a lo p e r a t o r r ( )g a m m af u n c t i o n l ( ，)m a t i n gf u n c t i o n a s a | m o s ts u r e l y 铮i f a n do n l y i f v f o r 村l ，f o ra n y je d s t ：= 三w r i t ea s q ( 日 麟t i n c t i o np r o b a b m t yc o n d i t i o n e d0 n 享 z i n i n ，y ，( z ) 9 ( z )a s y m p t o t i c a le q u l v a l o n c ea s 茁_ o 。 g8 e to ft h cs t a 。t c sw h i c h2l c a d st o v 9 6 8 9 乏7 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 间意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文：学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：马世良 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名： 互彩影| 学位论文作者签名： 马世殴 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长1 0 年。可少于1 0 年) 机密2 0 _ 年( 最跃2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：马世霞 年月日 ， o翅愁鬻， 导言 分枝过程构成了应用概率的一个经典研究领域，目前仍是十分活跃的研究领域之 一从广义上讲，分支过程是用来描述人口发展的随机模型，其中的成员我们称之为 个体或粒子，他们相互独立地繁衍后代，也可能以其它方式进行发展演化 分枝过程的基本模型是g a l t o n - w 乱s o n 过程，一个g 出t o n w a t s o n 过程可设想为 个种群繁衍演化模型设在开始时刻o 有蜀个个体称为第0 代或”祖先”，它们 根据同一概率分布率 胁 或同一概率母函数，( s ) 相互独立且随机地繁衍若干个新个 体，这些新个体的总数z l 恰是疡个服从同概率分布率 p ，) 或具有共同的概率母 函数，( s ) 的相互独立随机变量io = 1 ，2 ，磊) 之和，这z 1 个新个体构成第1 代并重复上辈的演化过程而繁殖出z 2 个第2 代个体，以下以此规律，一代代繁衍下 去，不论哪一代中的哪一个个体，其产生下一代的个体数目只取决于上述的概率分布 率 胁 或概率母函数，( s ) ，而不受其前辈或同代的其它个体产生多少下一代个体的影 响以磊表示第n 代个体的总数，则 其中女为某指定的正整数，k ，是相互独立的具有相同的后代分布率 n ) 或具有共 同的概率母函数，( s ) 的随机变量序列过程的现实通常以家族树的形式描述t z 0 = 1 ，z l = 2 ，z 2 = 5 ，磊= 6 g a l t o n w a t s o n 过程是取非负整数值的齐次马氏链 o ，l ，2 ) ，该马氏链的转移概率函数为 尸c t ，= p t 玩+ - = ，i z 。= t ，= 笔 根据上述的概率分布 功；j = i ，i l ，j 20 t ，i = o ，j 0 在经典的g 砒0 n w a t s o n 分枝过程的研究中，人们最关心的问题是过程的变化发展趋 势和它是否必然灭绝这方面的内容在以往的文献中已有很深刻的结果这方面的主要 工作可以追溯到h ”r i s ( 1 9 6 3 ) 也可详见a t h r e y a 与n e y ( 1 9 7 2 ) 或a s m u s s e n ( 1 9 8 3 ) v i i k 磊：i = + 玩 七 = 历 v i i i 导言 我们知道，g a l t o n w a t s o n 过程中不同个体全部遵循同样的概率分布率而独立繁 衍后代这种时齐性假设，在数学处理及许多模型的简化上带来极大的方便，但由于自 然界中的增值繁衍过程大多都受个体问相互作用以及其它因素影响而具有某种相互依 赖的关系。因而使得经典分枝过程模型在应用上受到一定的限制为了弥补g w 过程 在应用上的有局限性的不足，因而产生了许多类分枝过程模型 在论文中，我们将主要研究三类分枝过程模型即两性的g a l t o n 一、a t s o n 分枝过 程模型，人口数相依的受控分枝过程模型。以及随机环境中的人口数相依的分枝过程 模型 首先，研究的第一类模型是两性的g a l t o n - 、v a c s o n 分枝过程，这部分内容包括带 移民的两性分枝过程模型，人口数相依的两性分枝过程，与随机环境中的两性分枝过 程此类分枝过程将是本文的第二章主要研究的内容两性的g a l t o n - w a t s o n 分枝过 程作为一种重要的两类型分枝模型在以往文献中已有很多作者进行过研究所谓的两 性g a j t o n w 曲s o n 分枝过程( 简写为b g w p ) 是在允许性别繁殖机制意义下对经典 g 挑n w 曲的n 过程的推广 b g w p 最早是由d a k y ( 1 9 6 8 ) 首次引入并讨论的，模 型的数学定义如下t z ；o = ， 其中是一正燕数且空集之和定义为( 0 ，0 ) 厶，t ( 。) 表示第n 代的第j 个配对单 位产生的雌性( 雄性) 数目，且 ( 厶l i ，”k ，) ，i = 1 ，2 ，；n = o ，1 ， 是独立同分布 的取非负整数值的随机变量序列。并假定其中的配对函数l ：r + r + r + 对每 个整值自变量是单调非减的取整数值的函数且满足l ( o ，) s 鲫从而r ( “) 表示 第硫代的雌性( 雄性) 数目并形成况= l ( r ，l 厶) 个配对单位。这些配对单位相互独 立地以相同的后代概率分布产生后代 我们称b g w p 为上可加的，如果配对函数l 是上可加的，即满足 i l ( ( 。，玑) ) l ( 墨，玑) ，戤，弘r + ，= l ，一， = l 盅l 通常假定配对函敷是上可加的，这表示配对函数越多配对的可能性越大，这是比较直 观且符合实际的条件在双性的g a l t o n _ w n n 分枝过程的研究中大多数配对函数都 足上可加的，d 8 l e y ( 1 9 6 8 ) 考虑了几个特殊的上可加配对函数； ( m 1 ) l ( z ，v ) = m i n ( z ，! ，) f 缸a _ l l 茹，”0 ， ( m 2 ) l ( z ，y ) = z m i n ( 1 ，p ) f o fa uz ，0 ， ( m 3 ) l ( z ，) = z f o r a l lz ，y 0 对于上可加的b g w p ，d a l e y ( 1 9 6 8 ) ，h u u ( 1 9 8 2 ，1 9 8 4 ) ，b r u s s ( 1 9 8 4 ) ，d a l e ye ta 1 ( 1 9 8 6 ) 以及a l s l e y 钉a n dr 6 s l e r ( 1 9 9 6 ) 都对其灭绝概率问题进行过研究在两性分 枝过程的研究中，d a l e ye ta 1 ( 1 9 8 6 ) 发现每个配对单位的平均增长率是很重要的参 o = n m+r“ = + 乙 矗= i = +r 数平均增长率( 或简称增长率) 是由b r u s s ( 1 9 8 4 ) 首次引入的，其定义为 r t = ；e 磊一磊= 捌，= l ，2 d a l e y ，h u l l 与t a y l o t ( 1 9 8 6 ) 得到了平均增长率满足 r ；熙“= 黜“= 熙；础慨) i x 其中p l = e 【矗，l 】，p 2 = e ( 蛳，l 卜 般地，当r 1 时，称两性的g a l t o n - w a t s o n 分枝过程分别为下临界的 情形，临界的情形或上临界的情形 基于平均增长率这一概念，d a l e ye ta 1 ( 1 9 8 6 ) 证明的另一主要结果是 尸( 磊一0 i z 0 = j ) = lf o rj = l ，2 ，甘r l 因此当r l 及磊充分大时，过程不会灭绝针对这种情况，b a g l e y ( 1 9 8 6 ) 与 g o 腿矾e za n dm o l i n a ( 1 9 9 6 ，1 9 9 7 ) 研究了它的极限行为，并得到了一些推论性的结 果 为了扩展两性g a l t o n w 孤的n 分枝过程的研究领域，在上述模型的基础上，g o n 捌e z e ta 1 ( 2 0 0 1 ) 引入了一种允许配对单位带移民的两性g a l t o n w 玑s o n 分枝过程，并对 过程的几乎处处与l 1 收敛性质进行了研究，在上临界的情况下，得到了该过程在适 当的规范化因子下的几乎处处与l 1 收敛的充分性条件模型的定义为 z o = n 。 = l ( f n + 1 ，m 0 1 ) + 厶+ l 磊 = l ( ( 厶m m f i ，t ) ) + 厶+ l n = o ，1 ，2 ， = l 其中 厶，n = l ，2 ，) 是独立同分布的取非负整数值的随机变量序列且独立于 ( 。m 。，。) = 1 ，2 ，；n = 0 ，1 ，) 在模型中，厶表示第n 代的移民单位数 受g o n z m e z ，m o l i n aa 1 1 dm o t a ( 2 0 0 1 ) 文章的启发，对于上临界的情况，即渐近 增长率大于1 时，我们重新考虑带移民的双性g a l t o n w j t s o n 分枝过程模型，利用鞅 差的定义及截尾的办法，在适当的规范化因子条件下，得到了过程几乎处处收敛的一 个必要条件，并给出了l 1 收敛的另一充分性条件 令 磊 r k ：= 一1 e 【l ( 乏二( ，n m ，。) ) l 磊= 叫，e ：= r r k nm 磊 = +mh r x 导言 其中 r ：= l m 住= ，l t m 一1 e 【2 k + 1 z 。= 嘲 女+ e + 。 令 r k ：= e 【z + 1 一七噍1 2 _ = 叫 r ：= r 一“r ，w k ：= r 一“j k ，p ：= ( e ，0 1 l ，e p ，1 1 ) 且 d n ：= 岛一r 一1 e 【 ，l f ，0 。兰，n 】，n 士o ，1 ， 首先得到的是类似于著名的k e s t e n - s t i g i l m 定理( 见a u s 鲫1a n dh 嘶n g ( 1 9 8 3 ) ) 的一个结果 定理1 对于上可加的b g w p i 满足r 1 且有有限的后代均值“则 恕鲁= 形a s 且p ( o 咖 o ， 的必要条件是 e ，0 1 l o g + ，o 1 推论1 在定理l 的条件下，若p ( 磊一o 。) = 1 ，则e ，0 1l 。g + ，0 1 与 e m 11 0 9 + t n o ，1 o ，a = e f 厶】 o 。且 e 。 是单调非增的满足n _ 1 。 。o 且 d n o i f e ，o l l o g + ，0 ，1 ( e 蛳1 1 0 9 + 伽，1 o o ) ，则有p 一憾。 ( r n 成) ) 工1 收敛到非退化的随机变量 基于单类型人口数相依的分枝过程理论，在第二章的第二部分，我们考虑人口数 相依的两性g a l t o n w 她s o n 分技过程( 简写为p s d b p ) ，这一模型是由x i n g 与w 抽g ( 2 0 0 4 ) 首次提出来的其定义为 两性的g a l t o n w 砒s o n 分枝过程 磊) ：岛称为是人口数相依的两性分枝过程，如 果满足 z o = n 厶 ( r + 1 螈+ 1 ) = ( 案，静) ，n = o ，1 ，2 ， 1 = 1 互。+ 1 = l ( f n + 1 ，m 。+ 1 ) ，几= 0 ，1 2 ，- 其中是正整数。空集之和定义为( o ，o ) ，并假定对= 1 ，2 ，( 鼎，耀) = o ，l ；，i = 1 ，2 ，) 是相互独立的。并且对固定的女= l ，2 ，( 鼎，删) 与 ( 删，尉) 对任意n ， = l ，2 ，有相同的分布，配对函数l ：j r + r + 一r + 对每个整值自变量是单调非减的取整数值的函数且满足l ( z ，y ) z ， x i 挣与静分别表示第n 代的第i 个配对单位产生的雌性与雄性数目，但要依 赖于第n 代的人口数玩从而r 与m ，。分别表示第n 代的雌性与雄性数目根据某 个配对规则产生磊= l ( r ， 厶) 个配对单位，这些配对单位相互独立繁衍后代 对于这一类模型，需要对双变量随机序列 ( 删，制) k 作如下假设，即随机序列 ( 制，q 搿) k 满足 e 9 ( 醯”，蕊1 ) e 9 ( 倒，捌) ，= o ，1 ， 对所有的有界增函数g ( ，) 都成立 在p s d b p 模型的研究中，一个重要因素仍是每一配对单位的平均增长率n ：= e 【磊+ l i 磊= 叫，k = 1 ，2 ，- 在该假设下，) ( i n g 与( 2 0 0 4 ) 证明了r ：= 恕“ 及j p ( 磊一0 ) + p ( z j o o ) = 1 而且，如果r 1 ，则p ( z n 一0 i z 0 = j ) o 且 h i 茫。是单调非增序列并满足女_ 1 k l 。o ，则 = 1 ( 1 ) n ：= l i me i 钼存在且o n o o ； ( 2 ) 存在几乎处处有限的随机变量w 满足l i mu 0 = a s 定理5 在事件 z i 一。o 上， l l m 石1 r + 1 = m a s 一o u 同样可得 l i mz ：1 m 0 1 = p 2a s 导百 定义 风：= e 【l 磊+ 1 一h k li z n = q ，k = 1 ，2 ， ：= r 1 z j ，札= o ，1 ，一 。o 定理6 在定理4 的条件下，如果 r 加) 器。是单调非增的并满足心n 2 。( 厶，t ) ，n = o ，1 ，2 ， l = l z + l = = l ( r + l ， 厶+ 1 ) ，n = 0 ，l ，2 ， 若对每个当给定所有的矗，z 二( osm n ) 时， ( 厶，m “) 攉l 为i i d 的且服从 同一p 酊恍。( s l ，s 2 ) 的非负整数值随机变量列则称磊是伴有随机环境 矗) 1 ： 的两性分枝过程( 简称b g w p r e ) 这里仍假定配对函数l 满足上可加性条件且l ：舻r + r + 对每个整值 自变量是单调非减的取整数值的函数且满足工( z ，y ) z g b g w p r e 是在允许后代 分布随机变化意义下对b g w p 的推广，当一b g w p r e 的随机环境 矗 中所有矗 都退化为同一单点分布时，该 磊 变成了g w 过程，而当 靠) 中所有靠都退化 为单点分布但随n 变化而不尽相同时，则变成变化环境中的两性分枝过程该过程由 m o l i n a 等人( 2 0 0 3 ) 提出并进行过研究对于b g w p r e 我们发现在给定环境矗的 条件下，条件b g w p r e 磊l ，) ，z 0 = ) 具有m 盯b v 性，而且其谱系问变得相 互独立了，利用 磊| ，( 矗) ，z o = ) 的m 盯k o v 性与独立性，求得类似b g w p 过程 的各种结论，然后对所得结论中的矗取期望将其转变成b g w p r e 中的结论，我们 主要得到了该过程几乎必然灭绝的充分与必要条件 记五。，：= l ( ，”k 1 ) 是由第n 代的一个配对单位产生的后代所形成的配对数， 令9 f 。( s ) 表示随机变量五；- 在环境变量矗的条件下的p g f m = o ，1 ，) 令 ：= p ( 磊一o i 蜀= ) ，口( 0 ：= 尸( 磊一o i ，( 西，磊= ) ，g ( a ：= ( g ( f ) ) 1 命题1 对于上可加的b g w p r e ，假设工( 1 ，1 ) = 1 且对= 1 ，2 ，p ( 磊+ l = 女j 磊= 女) 1 ，则 p ( z 。一o ) + p ( 乙一) = 1 下面的定理7 给出了b g w p r e 不灭绝的充分性条件 定理7 假定ej l o g 。( 1 ) i o 且e | l o g ( 1 一鳃( o ) ) i o 。，则 l ，= l ，2 ， 对于b g w p r e ，当人口数为并给定环境口时，定义平均增长率 1 “，口：= e f 2 十1 l z 二= k ，。= 胡，n = o ，1 ，一，k = 1 ，2 ， 命题2 对于上可加的b g w p r e 有 仰= 恕飞俨黜哪 定理8 对于上可加的b g w p r e ，如果满足命题1 的条件且s u p 如 o ，则由( 里口1 ) - 1 2 可得口= 1 ， r = 1 ，2 ，其中啦= e 瞧( 1 ) ； ( 2 ) 若s u p e 眩( 1 ) ( 耿，( 1 ) ) 2 】 o 。，则由( 兀屈) “ o 。可得叭 1 ，= 1 ，2 ， 其中屈一( e ( 。( 1 ) ) _ 1 】) x 导言 下面考虑上临界的情况，即 1 ) 时，口的渐近行为当 b g w p r e 不是必然灭绝时， o ， ( i i ) e l l o g 毙( 1 ) i o o ，e l l o g ( 1 一g h ( o ) ) i o 。 在该上临界条件成立的假设下，我们得到了当一o o 时，灭绝概率 的上下界估 计即存在o 口1 s 锄 + ，0 a ，伤 + ，当充分大时有， g 1 ”1 口 0 满足日 1 ) = l ，h ( 口1 ) 0 使 p q ( 0 0 满足j ( q ) = l ，( o ) 0 使得 p q ( 幻 。 l c 2 ( 1 一。) of b ra hz 【o ，l 】 定理1 2 在定理1 0 与1 l 的条件下，存在常数0 劬q l + o o 与o o ，= l ，2 ， 假设b 对所有的有界增函数9 ( ) ， 1 ( 女) ) 岛满足 e 9 ( ，l ( + 1 ) ) 】e 【g ( ，l ( 女) ) 】，女= o ，l ，- 一 设( ) ：= e ( ) 】，矿( ) ：= v 甜( ) 】都是取有限值的定义每一个体的平均后代 “：= 七一1 e 【z 。+ l i z 。= 七】= 七一1 ( 血) p ( 七) ，扎= o ，1 ，；七= 1 ，2 ， 下面的定理给出了p s d c b p 几乎处处灭绝的充分与必要条件 定理1 3 若假设a 成立，当“1 ，= 1 ，2 ，时，有q = 1 ，= 1 ，2 定理1 4 若假设a 与b 成立，并且下面条件成立： ( 1 )s u p k 1 免q ( 是) 0 时，有g 1 令：= 叫一一1 ( ) 以) ，0 ：= 且 ( t p 卜+ 定理1 5 若 | m 1 1 是单增序列满足女- 1 i l o 。，则 ( 1 ) 6 ：= l i me 【，n 1 存在且o 6 o 。； ( 2 ) 存在非负有限的随机变量满足l i mh = a s 定理1 6 假设 _ 1 口2 ( ) ) 娃是一有界序列， 一1 ( ) 垃1 为单调递增的序列则 j 1 翌竺笋= r 芦a 于 磊一o o ) n 。厶 。 定理1 7 令 磊) 是满足假设a 与b 的p s d c b p ，若u m s u p “ 1 ，则 磊 以分布 收敛到一正的有限的非退化随机变量z 。 x 导言 现在关于随机环境中的分枝过程是分枝过程研究的热点之一在本文的最后一章 我们考虑随机环境中人口数相依的分枝过程( 简称p s d b p r e ) p s d b p r e 的模型是 由w a n g ( 1 9 9 9 ) 首次引入的该模型的明确描述是基于由s m i t h 与w m d n n ( 1 9 6 9 ) ， a t h r e y a ( 1 9 7 1 ) 提出的随机环境中g a l t o n w 乱s o n 分枝过程的思想p s d b p r e 模 型的概率描述如下设( q ，p ) 是一个概率空间，( e ，) 是一可测空间，假设随机 序列 靠 是从( q ，尸) 映射到( e ，) 的环境序列。对每一个f e 对应一个概率母 函数序列l p k f ( s ) ，0 s 1 ，= 0 ，l ，2 ，对环境过程f = ( 矗，l ，) 的每个现实 及对应的随机概率母匿数序列妒k ，f ( s ) ，0 s 1 ，七= o ，1 ，2 ，定义时间非齐次的分 枝过程 况) 函：当t l = o 时，有磊个个体构成第。代，当已知第n 代的人口数磊 时，这磊个个体相互独立并以p 酊妒磊z 。( s ) = 兢h ( i ) 矿p f o ，l 】) 产