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。v 、 烈 女， 安徽大学硕士学位论文摘要 摘要 在正态线性模型j ，= z + 占，占 _ ( o ，仃2 i ) 中，考虑有限个或者所有的可估函 数的同时区间估计，文献【1 3 】给出了三种区间，分别为s c h e f f e ，b d 咖r r o h l 和t u ：y 同时置信区间其中，z 锨纠区间主要用于正态模型的一种特殊情形平衡单向 、 分类模型中一般地，对于给定的正态线性模型和一组可估函数而言，这三种区间 至少有两种可行，那么哪一种区间更优一些呢? 于是，要对三种区间进行比较 本文主要分两大部分来讨论：一是在固定样本下，也就是只进行一次抽样后， 对三种区间来比较另一方面是在非固定样本即序贯抽样下的三种区间的比较， 这里我们仅研究两阶段抽样 在第0 章中，首先给出引言及若干定理，它是本文的基础所在，对作者的工作具 有重要的指导意义 第1 章中，作者首先根据模型的不同将三种区间分组来讨论讨论的思想是假 设三种区间可靠度( 置信系数) 都相同，然后比较区间的长短( 精度) ，区间越短，精度 越高这里主要是利用m a t h e m a t i c a 数学软件编程，来比较区间长度表达式数值的 大小由计算机的运行结果，可以看出区间的优劣 第2 章作者讨论了平衡单向分类模型中，成对效应对照的三种两步同时置信 区间，接着在保证三种区间可靠度和精度相同的情况下，利用数值计算的方法对最 优第一步抽样量及平均抽样次数进行比较显然。最优第一步抽样量及平均抽样 次数越少，区间越好 关键词：可估函数；k 肥同时置信区间；b o n f e r r o n i 同时置信区间；脚同 时置信区间；两步抽样；平均抽样次数 安徽大学硕士学位论文 几种同时置信区间的比较 a b s t r a c t i no r d e rt of i n ds i m u l t a n e o u sc o n f i d e n c ei n t e r v a l sf o rf i n i t eo ra l lt h ee s t i m a b l e f u n c t i o n si nan o r m a ll i n e a rm o d e l ，t h el i t e r a t u r e 1 3 】g i v e su st h r e em e t h o d s s c h e f f e ，b o n e r r o n i a n dr u k e ys i m u l t a n e o u sc o n f i d e n c ei n t e r v a l s t h e r e i n t o ，r u k e y i n t e r v a li sm a i n l yu s e di nab a l a n c eo n e - w a yc l a s s i f i c a t i o nm o d e l ，w h i c hi sa s p e c i a l c a s eo fan o r m a ll i n e a rm o d e l p o p u l a r l y , g i v e nan o r m a ll i n e a rm o d e la n ds o m e e s t i m a b l ef u n c t i o n s ，t h et h r e em e t h o d sa r eu s a b l e w h i c ho n ei st h eb e s t ? s o ，w e s h o u l dc o m p a r et h e mw i t he a t ho t h e r t h i st h e s i sm a i n l yi n v e s t i g a t et w ot o p i c s ：o n es i d ei st h ec o m p a r i s o no ft h e t h r e ei n t e r v a l si naf i x e d s i z es a m p l i n g t h eo t h e rs i d ei st h ec o m p a r i s o n i n t w o - s t a g es a m p l i n g , n a m e l y n o n o f i x e d s i z es a m p l i n g i nc h a p t e r0 ，t h ea u t h o rg i v e st h ei n t r o d u c t i o na n d8 0 m et h e o r e m s , w h i c ha r et h e b a s eo ft h i sp a p e r a n dt h e yh a v et h ei m p o r t a n tm e a n i n gt ot h ea u t h o r sw o r k i nc h a p t e r1 ，t h ea u t h o rf i r s t l yu n i t st h et h r e ei n t e r v a l si n t og r o u p st od i s c u s s w i t ht h ed i f f e r e n c eo fm o d e l s t h em e t h o do ft h e d i s c u s s i o ni st oc o m p a r et h et h r e e i n t e r v a l s l e n g t h ( v i z p r e c i s i o n ) o nt h ea s s u m p t i o n t h a tt h ec o n v e r a g e p r o b a b i l i t y ( v i z r e l i a b i l i t y ) i s t h es a m e t h el e n g t hi ss h o r t e r , t h ei n t e r v a li sb e t t e r h e r e ， u s i n gt h em a t h e m a t i c as o f t w a r e a n dt h eo u t c o m eo ft h ec o m p u t a t i o n ，w ec a l l s e ew h i c hi n t e r v a li sb e t t e re a s i l y i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o rf i r s t l ys t u d i e st h r e et w o s t a g es i m u l t a n e o u sc o n f i d e n c e i n t e r v a l sf o rt h ep a i r w i s et r e a t m e n t sw i t ht h es a n l ep r e c i s i o na n dr e l i a b i l i t yi na b a l a n c eo n e - w a yc l a s s i f i c a t i o nm o d e l , t h e nw o r ko u tt h eo p t i m a ls a m p l es i z eo ft h e ， f i r s ts t a g eb yn u m e r i a l c o m p u t a t i o n b yc o m p a r i n gt h eo p t i m a ls a m p l es i z eo ft h e f i r s ts t a g ea n dt h ea v e r a g es a m p l es i z e ，w ec a l l s p - ew h i c ho n ei st h eb e s t 订 争，；、 p0 j 簟 l ， 墨丝奎兰堡主兰竺堡壅 垫墨 o b v i o u s l y k e y w o r d s ：e s t i m a b l ef u n c t i o n ；s c h e f f es i m u l t a n e o u sc o n f i d e n c ei n t e r v a l ； b o n f e r r o n i s i m u l t a n e o u sc o n f i d e n c ei n t e r v a l ；砌切s i m u l t a n e o u s c o n f i d e n c e i n t e r v a l ；t w o s t a g es a m p l i n g ；a v e r a g es a m p l es i z e 独创性声明 y9 7 8 7 9 9 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得复锹对或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 王蕊签字日期：2 口护占年争月j 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 安有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权复檄，之细以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位黻储张王奄 锄鲐嬲 签字日期：砌6 年牛月刁日 签字日期： 2 0 06 年月7 日 学位论文作者毕业去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 安徽大学硕士学位论文第0 章引言及若干定理 第0 章引言及若干定理 在正态线性模型】，= x f l + e ，占一( o ，矿2 i ) ( 0 ，1 ) 下，其中z 是设计矩阵，根 据工的不同，模型( o 1 ) 又有不同的分类，如平衡单向分类模型等，是未知参数 在( o ，1 ) 中，有时需要对多个可估函数日声( h ：。= ( 啊，琏，) ) 作同时区间估计 s c h e f f e 在1 9 5 3 年构造了& 般狰区间，此区间并不是一个或若干个可估函数的同 时区间估计，而是无穷多个可估函数，l a ( h ) 的同时区间估计由于在实际中， 人们往往只对有限个可估函数感兴趣，于是，由b o n f e r r o n i 不等式构造出了 b o n f e r r o n i 区间，此区间在可估函数的个数是有限较少时，很适用若( 0 1 ) 中设计 矩阵的元素只取1 时，模型( 0 1 ) 可转化为平衡单向分类模型，在此模型中构造可 估函数的同时置信区间，除了可用鼢移区间和b o n f e r r o n i 区间外，还可以用 r u k e r 区间通常，对于一个给定的正态线性模型和一组可估函数而言，至少有两种 或三种同时置信区间可行，那么哪一种区间更优呢? 这样，就存在一个比较选择问 题 我们知，区间估计有两个相互矛盾的要素：一是可靠度，由置信水平控制；二是 精度，由区间长度衡量根据这两个要素，一方面在固定样本中讨论三种区间的优 劣，即是先固定可靠度来比较精度另一方面是在两阶段抽样即非固定样本中讨论 三种区间的优劣，此时先固定精度和可靠度，再比较平均抽样次数的多少，平均抽 样次数越少，区间越优由此得出的结论，对我们在实际操作中是具有指导意义的 下面给出本文所基于的若干个定理： 定理1 1 1 】：设d 和b 均为n x l 的向量，彳为栉，z 正定矩阵，则磐警筹= 4 4 - 1 4 定理2 i l 】：对于正态线性模型】，= x f l + e ，8 - 以( o ，盯2 i ) ，r k ( h ) ：肼，f i r ( x ) ：， p ( 1 - f ) c “) ，则对一切可估函数f 夕，z ( f ) ，其置信系数为l 一口 s e h e f f e 同时置信区间为 ： ： 二“二 ( z 一( m 只，_ ，( 口) ) 2 盯“( z 并) d 2 ，+ ( ，t 已。( 口) ) 2o c ( x x ) 一0 2 ) 安徽大学硕士学位论文 几种同时置信区间的比较 定理3 【l j ：( 勘，咖什d 拧f 不等式) 设置，扛1 ，2 ，肌为脚个随机事件，p ( 互) ： m i - 口。，i = i ，2 ，一，2 ，则尸( n 巨) l 一口 a = l l z l 定理4 【2 】：设r 一, 0 - 2 ) ，f = 1 ，2 ，聆，( ，= 三乒一z ，且i ，写相互独 立，则所有的“一麒，f _ ，的置信系数为1 - a 的同时置信区间为 r 一- - q n ，( 口) 占s “一所r y j + q n ，( 口) ； 定理5 2 1 ：设q ，呸，为实数，且对一切f - ，b 一叼l 6 当且仅当 c f q 6 ，掣，对一切满足，q ：o 的q ，c 2 ，都成立 定理6 1 2 1 ：对平衡单向分类模型( 1 3 ) ，所有对照窆c f q 的置信系数为1 一口的 撕区间为 蕃a 帆- - 扣) 南翻 定理7 【3 】：设五，瓦为取自n ( a ，盯2 ) 的f 耐样本，z = ( 五，瓦) ， b 一竽，聊( x 3 + 矧为口的一个区间蹴其置信水跏蝴h s u p t ( x ) = ，e 2 安徽大学硕士学位论文第1 章固定样本下几种同时置信区间的比较 第1 章固定样本下几种同时置信区间的比 较 1 1s c h e f f e 区间和b d 咖r r o n i 区间的比较 在一般正态线性模型下，计算m 个线性无关的可估函数的同时置信区间，通 常使用s c h e f f e 区间和b o n l e r r o n i 区间对于这两种区间，谁要好一些呢? 本节利 用m a t h e m a t t c a 数学软件经过计算明确指出在不同情况下两种区间的优劣 】 1 两种区间的构成 由定理2 1 l 知，对一切可估函数芦，l l a ( h ) ，其置信系数为l a i f 3 s c h e f f e 同 时置信区间为 ( 多一( 胍巴。似) 尹“。( z j o d j l a ( e，f p + c m f ，。( 盯) 尹a “c e 。( x x ) 一1 ) ；) ( 1 1 )( 一( 聊吒。似) ) 2 ( z j 0 一d 2 ，f 。 ，。( 盯) ) 2 ( x 。x ) 一1 ) 2 ) ( 1 ) 由定理3 【1 】知，对m 个线性无关的可估函数吩，i = 1 ，2 ，脚，其置信系数为 l 一口 b o n f e r r o n i 同时置信区间为 ( 多一一，( 兰) ；( ( x r ) 一 ) ；，噍多+ 一，( 墨) ；( 曩( x 。r ) 一红) ；) ( 1 2 ) z m二m ( 其中多，会为l s e ) 2 讨论和分析 两种区间置信系数都是1 - a ，因此长度越短越好从而s c h e f f e 和b o n f e r r o n i 区间的优劣取决于2 ( 胍， ) ) ；“。( x 。x ) 一) ；和2 。兰) 文_ j j 何石) - _ j j 声的大小 注意到，分布和巧 布的关系：e ， ) = ，2 ( 争，即是比较蛾。 ) 与，向m 的大小定义两个函数s = 峨。( 口) b = 巧。南( 口一般事先给定) ，对于这两个 函数分析如下： ( 1 ) m = 1 ，s = b ，说明对于单个可估函数，跏乞穆区间和o o n # r r o n i 区间效果 安徽大学硕士学位论文 几种同时置信区间的比较 是相同的，所以对s 和b 的讨论从m = 2 开始 ( 2 ) 以一r 1 ，因为r k ( x ) = r ，p ，而对于一个实际问题，实验次数n 总是远远大 于未知量的个数p 的，即n p ，所以n r ，因此从聆一，= 1 开始讨论 3 计算与结论 在m a t h e m a t i c a 中，调用内部函数f r a t i o d & t r i b u t i o n ，q u a n t d e 来计算f 分布的 临界值，即分位点，并做程序在不同的情况下比较s 和b 3 1 运行结果 一一，= l ，辨= 2 ，3 0 ，取口= o 1 ，下同 2 ，始，1 6 1 4 4 e )1 3 ，1 ，3 6 4 0 9 f ，2 2 3 3 3 2 ，6 4 7 7 e 鼾 5 ，2 8 6 2 ，1 0 1 2 5 5 ( 6 ，3 4 9 2 2 6 ，1 4 3 旬t 7 ，4 1 2 3 0 ，1 9 昭2 3 f e ，4 7 5 5 1 2 ，2 5 站埔1 9 ，5 3 8 7 1 8 ，3 2 啦1 4 1 0 ，6 0 1 弱，4 0 5 2 1 研 t n ，6 曙1 鳟，4 9 0 3 篮f 业，7 2 8 4 6 3 ，5 5 蜘f ”，7 9 1 7 拍柏岱 t 1 ，髓o ，7 9 4 2 蛆 1 5 ， 3 0 5 ，9 u e 2 ) 1 6 ，1 5 ，1 0 3 7 4 研 1 1 7 ，1 0 4 4 9 ，1 1 7 1 2 ，n 越2 ，螂旬( 1 9 ，工i _ 7 1 5 ，1 o 1 t ，1 2 轴旺，1 翻o 7 n ，1 龋n ，1 7 1 1 7 2 麓，i 瓤越，1 1 5 1 2 3 ，1 4 2 4 ，殂4 翦鲫 2 4 ，1 椭，2 3 3 鸱7 但5 ，l 珏1 并，2 5 箜9 旬 2 6 ，1 6 1 4 ，2 7 3 9 6 旬 2 7 ，1 6 7 8 ，糟6 2 8 ，1 7 4 1 噩，3 1 7 7 3 n 2 9 ，1 8 0 4 ，3 删旬 3 0 ，珀研蛞，3 6 4 7 5 ， 口 表1 1 ( s h e e t l 1 卜一一 ”一r = 2 。， = 2 , - - - , 3 0 2 ，坤，s i 2 研 5 ，撕4 6 3 1 柏5 0 5 l e ，| g 搬，7 1 1 5 0 3 i ， 1 1 ，1 0 3 4 0 7 ，瑚强 i m ，i n 8 8 ，l 购 1 7 ，1 期3 5 3 ，埔5 0 1 2 0 ，1 8 8 娩6 ，瑚姒 ( 2 3 ，2 1 7 3 ，2 2 8 5 0 1 ) ( 2 6 ，2 4 5 7 7 3 ，2 5 85 0 1 ( 2 9 2 7 4 2 4 7 猫5 0 1 f 3 ，2 74 嘲，2 8 5 e 5 ) 1 6 ，g m ，5 0 | 2 1 9 ，“4 2 4 9 ，8 8 蹦 1 2 ，1 1 2 8 9 8 ，1 1 8 蚴 1 5 ，1 4 1 3 7 1 ，1 4 8 购 1 1 8 ，蛔8 4 4 ，1 7 8 5 0 1 ( 2 1 ，瑚3 1 7 ，2 5 0 1 ) l 孔2 2 6 7 9 1 ，2 3 8 5 0 1 - ) 2 7 ，2 5 5 2 6 4 ，2 6 8 5 0 1 ) 3 0 ，锄 ，2 9 8 5 0 1 “，篱9 7 3 7 ，鞠5 0 6 辨 t ，岱4 4 3 6 ，6 8 瀚 1 1 0 ，9 1 5 7 ，5 哟 1 3 ，1 2 2 3 8 9 ，盥5 0 2 1 5 ，1 5 0 ，8 5 2 ，i 鞴5 a 习 1 9 ，1 7 9 3 3 5 ，1 8 8 5 0 1 ) 2 2 ，2 0 7 8 0 8 ，2 1 8 5 0 1 ) ( 2 5 ，2 3 6 2 娩，2 4 8 5 0 1 ( 2 8 ，2 6 4 7 7 5 ，2 7 8 5 0 1 ) 表1 2 ( s h e e t l 2 卜一 n 一，= 3 , m = 2 ，3 0 4 蚕i 刁么 引 m i 引 图1 2 ( f i g u r e l 2 k 安徽大学硕士学位论文第1 章固定样本下几种同时置信区问的比较 f 2 ，l o 9 铺i ，1 锄 3 ，坫1 7 2 3 ，1 3 蜘3 ) ，2 l ，3 7 0 6 ，1 7 4 轴j t s ，2 6 5 瑚，2 0 锄f 6 ，翌删，2 3 鲫匐f ，3 6 9 0 i ，2 6 3 9 蛳 4 e ，监o i 3 ，西溅f 9 ，耵m 盟6 l 1 4 1 0 ，望3 呲，3 4 n 砬 f 1 1 ，5 7 艄，3 65 0 婚 f 1 2 ，越鲫d ，抽臼2 1 1 1 3 研加，4 1 u ，诧e ，4 32 9 2 2 1 【珏，1 b0 0 盯，4 s 正乓l 田 i 6 ，时m 丛，时伽 | t 1 7 ，2 7 孵，o 珥f 1 1 3 ，妇4 1 6 7 ，s 16 2 2 哥t 1 9 ，孵5 5 3 3 ，5 36 0 驰 l ，i 舒，驺s 墅f a ，1 啦6 耵4 曰卸t 笠，1 1 39 ，5 9 弱2 6 t l 2 3 ，m 唧，n2 嘲 班，垃2 3 3 ，日o 翦6 i 筠，工2 9 抽，“岫 l 2 6 ，趣黜，酾t 2 7 ，m ，荆 ，埘缃，7 0 姗j 1 幻，9 ，n 哪f 釉，l 鹭叫，7 3 ，5 3 3 研口 一- 表1 3 ( s h e e t l 3 ) 一一图1 3 ( f i g , r e l 3 卜 ( d n r = 1 0 ，m = 2 ，3 0 t 2 ，5 b 蛐昭，9 6 4 曰f 3 ，8 1 ，6 i 盯) ， 2 1 3 ，6 嘞 伸，王2 陀，o 叫1 6 ，m 0 5 e 卸瑚 ，1 6 8 9 7 b ，e 7 醴珥 t b ，o l 他，9 o 蛇，丑1 2 鞠，9 舒5 螂f ，2 3 2 2 6 ，明4 ， u 嚣狮，t o 4 研1 2 ，翦雌6 ，l o 彻。嚣4 9 篁，n 舾嗡 1 4 ，氢洲，3 蛳 蜡，6 5 2 7 ，n 6 2 3 ，坫，纂糊，n 朝卿 1 7 ，3 7 8 5 ，船1 。 墟，籍卵秘，篮3 7 7 町曲，4 1 9 翳，1 2 旬响 ，4 4 o i 蛆，1 2 娩卿i 牡，幅o 1 ，1 3 啪e 但2 ，舶1 5 ，l ，1 4 1 2 2 3 ，功a 钾，1 3 t 卵t 铺，距2 8 笠，1 3 鲫t 为，瓢3 n ，”缸o 句 ( 2 6 ，跖4 n 2 ，口螂z 舸，舶，档，u 1 l 麓，5 ，“姗 但p ，茁6 d ，9 0 辩t ，“髓稿，“b 研a 表1 4 ( s l l e e t l 4 ) - 一 一图1 4 ( f i g u r e 4 卜一 说明：上述运行结果有四大部分组成，分别是n - ，在不同取值下，让可估 函数的个数聊从2 交到3 0 ( 朋也可以取更大一些，由右图看，不影响讨论的结 果) ，看s 和b 函数值的大小每一部分又有左右两边组成，左边是表，右边是将 左边的结果用图表示出来左边的表里面嵌套着一个个小表，共有2 9 个，每一个 小表有三个数构成，第一个数是肌的值，第二个数是s 函数的值，第三个数是口 函数的值右边的图中细线表示b 函数，粗线表示s 函数 3 2 分析与结论 由上结果看到，m 一，= 1 2 时，所有的小表中第二个数都是小于第三个数的，即 s ( 口，说明鼢移区间短，所以心耱区间效果好月一，3 时，发生了变化，小 表中的第二个数大于第三个数，即s b ，说明b o n f e r r o n i 区间效果好在右边的 图中。可看到两条线位置的改变，并且我们从图中还能看到随着行一，的增大，两 条线交角的变化交角越大，表示两区间长度相差越大，即h 一，越大，肋n f e r r o n i 5 安徽大学硕士学位论文 几种同时置信区问的比较 区间比s c h e f f e 区间的优越程度也越大于是得出如下结论： 对m 个线性无关的可估函数，其s c h e y f e 同时置信区间和b o n f e r r o n i 同时置信 区间的选择关键在于实验次数1 2 和设计矩阵秩r 的差， ( 1 ) n 一，= l 。2 ，s c h e 獗e 同时置信区间短，所以应选择s c h e f f e 同时置信区间； ( 2 ) 行一，3 时，b o n f e r r o n i 同时置信区问短，所以应选择b o n f e r r o n i 同时置信区 间 敛) 对结论中的( 2 ) ，当万一，- - a to o 时可以用理论来证明： 鲁= 噩o _ z 2 - 栅阻， t 2 由柯尔莫哥洛夫强大数定律有：j = l 1 4 j 一，_ o 。) 刀一， m 名，占彤2 。( n - r 斗o 。)同理，只。点z 2 1 仰一r _ a 。) ( 三表示依分布收 7 以一r 斗o o 时，s 和b 的大小取决于z 2 。 ) 和z 2 ，( a i m ) 的大小，同样利用 m a t h e m a t i c a 软件可得如下的表和图( a = o 1 ，说明同上) ； t 2 ，4 6 0 5 1 7 ，3 8 a a a 6 1 3 ，6 2 5 i 帮，4 墅渤4 ，7 t t 蜘a ，5 l 5 ，9 2 3 6 3 6 ，5 4 1 1 8 9 ，6 4 4 6 ，5 7 3 a a 7 ，垃0 1 7 ，6 2 螂 e 鸠3 乱6 ，8 5 3 t 9 ，“3 7 ，6 柚倒t 1 0 ，i 59 8 7 2 ，6 6 3 4 9 ) l l ， ，2 7 5 ，6 埘 拉，柚5 4 蝣，6 9 l 1 3 ，1 9 8 m ，7 t 0 3 7 q 1 , 1 ，丑o 眦，7 2 3 韩9 ll 坫，麓2 1 0 7 1 ，筇d 卿 m ，5 螂，4 7 , 订t 7 f ”，缸怕，7 舶5 9 钾罅，丛始鲥， 6 8 9 0 9 ) 螬，2 7 2 喵，嘲 2 0 ，2 8 n 2 ，盯4 组，2 9 札吼，7 9 6 7 7 ” ，3 0 8 1 3 3 ，e o 缸9 日 f 2 3 ，蕾，0 嘲 2 4 ，3 3 1 张2 ，e 2 0 口7 2 ) i 丛，斟3 b ，9 2 帕虬 2 6 ，3 55 或，8 弱5 0 6 i 习，箱7 4 1 2 ，e 越婀 ，3 7 9 埘，b 9 田 ，簟0 8 7 5 ，b 5 5 3 陶i ，4 0 2 ，8 洲)d 表1 5 ( s h e e t l 5 卜 一图1 5 ( f i g u r e l 5 卜 由表和图可看到，z 乙( 口) 总是大于z 2 l ( a m ) 的，因此疗一r _ ，总是勘咖珊耐 区间好 6 l 纠；叫；叫蝌14 安徽大学硕士学位论文 第1 章固定样本下几种同时置信区伺的比较 1 2 平衡单向分类模型中几种同时置信区间的比较 在平衡单向分类模型中，要比较效应之间是否有显著差异通常用同时置信区 间来做分析此时，不仅可以用到1 1 介绍过的地腮区间和肋n f e r r o m 区间，还 可以用r u k e y 同时置信区间本节主要讨论在此种模型中，几种同时置信区间的优 劣川 f l 。1 。0 o 、 石：l ? ：“? l l 。：( 1 ，1 ，1 ) ： ，嘶，吃，吒) l ：。：l l 1 。00 l 。j 删1 ) 7 安徽大学硕士学位论文 几种同时置倍区间的比较 a口 事实：c j a , 可估q = o i # ij j 证：”仁”杰c ( + q ) 可估，而杰c l ：o 艺q ( p + q ) ：主e q 可估 j - lt = l f ；ij e l 口4 ”j ”q ( + q ) 可估，而q q 可估 f = 1 ，t 1 口口 d c l ( + 哎) 一c f q = 可估， ，l l扭l l - i 而不可估 ：q = o 州 定义1 ：称满足条件q = o 的函数q q 为对照 由事实和定义1 知，任一对照，必然是可估函数 2 对。、aq q 的几种同时置信区间 j ；l 口 构造对照t q 的同时置信区间有三种方法：死劬，s c h e f f e ，b o n f e r r o f 区间， z i 其中r u k e y 区间中涉及到一个新的分布学生化极差分布，首先给出其定义 定义2 ：设五，五，以- n ( o , d ，m ( 0 2 z ，且所有的r v 都相互独立，则随机 僦x i r a i nx 变量吼，= 兰兰_ 二粤服从参数为疗，脚的学生化极差分布，简称g 分布它的 上侧口分位点记为靠，( 口) ，且满足尸 吼， 吼，( a ) f f i i - a ( 关于学生化极差分布上侧分位点求法，详见1 3 ) 口 根据文献【1 】，可得对照q 呸的三种区间如下： ，- i 砌忌吵：喜q 瓦士吼加“口) 南喜b i ( 1 5 ) 0 安徽大学硕士学位论文 第1 章固定样本下几种同时置信区间的比较 ：弘丽妄厣n s ， b o n f e r r o 州善a 帆- - “寺云摆寄 ( 1 ，) 其中瓦= i 1 蕃n ，= i 圭百喜喜( 一乃2 ，了a ( n - 1 ) o - 2 一瑶，埘表示对照 的个数 分析：死幼区间，& 移区间是对所有的对照都成立的同时置信区间，而 b o n f e r r o n i 区问只对有限个对照成立所以，对于这三种区间的比较，分两组进行 一组是砌纫，区间和& e 够区间比较，此时考虑所有的对照另一组是砌缸，区间 和b o , f e r r d 町区间比较，此考虑有限个对照 1 2 1 死切和s c h e f f e 同时置信区间的比较 枫相徽令t = q a , a ( n - 1 ) ( 嘞a ”= 厄瓦丽、厣，于 是，要比较脚和他穆的优劣，只需比较丁和s 函数的大小分析丁和s 函数里 面不仅含有各分布的临界值，还有含q 的项，于是先讨论含c 的项 设g 为q q 中系数q 不为0 的个数，显有g 口不妨设c l ，c 2 ，咯o ，于是， i i 有f 列不等式成立 定理8 ：2 杰0s f 妻l c l l 2s g 壹彳( 杰q ：o ，q o ，f ：1 ，2 ，g ) 特别地，当 g = 2 1 对，2 孑= l 川 证：? f 杰i c i l l = 壹0 + 2 k i i 勺i t = l ，i l 1 9 叫玷 9 塞墼查兰里主兰丝堡壅 一型塑旦兰堕堡塑! ! 旦塑 上不等式变为：杰c 2 k l l q j s ( g 一1 ) 艺砰 ( 1 8 ) j d1 口i g 懵1 先证( 1 8 ) 的第一个不等号 圭q = o 小i 艺l c j i ( 1 9 ) i = l 忙l ，j 在( 1 9 ) 两边同乘以川，得 | c j l 2 国c 1 i q 7 壹e 窆f 壹l c ，肌j i ( 1 1 0 ) 易知( 1 1 0 ) 式右端共有g ( g 一1 ) 项，而2 h i b l 也有2 q = g ( g 1 ) 项 j 列妻t c , l l f , i 一i c , l b l ( 1 a o 1 = 1 l - i , j，l g 叫罐 由( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 两式知第一个不等号成立 再证第二个不等号 2 1 9 l l ( ，j - k , f + b f = o + c ； ，一薹2 圳啦羔( 砰十e ) - ( g 棚善f(112s i 血jgl 盈 3 s g一 由( 1 1 2 ) 式知第二个不等号成立 根据定理8 ，利用埘4 蝻e 埘a f i c 4 软件对r 和s 函数进行比较 o 当g ：2 b 寸，此时考虑所有形如q q + 巳q a 矗q = q o ) 这种成对效应( 两效 应) 对照的同时置信区间 由定理8 ，2 川= 、f 2 杰彳，于是比较丁和s ，等价于比较五2 鼋” ) 和 i l j - i 墨= 再砑，着蚤 7 9 一1 3 时总是r u t 比, y 区间好因此， 当给定一组对照，要求其同时置信区间时，首先找出这组对照中g 的最大值，记为 g u ，若是口2 7 9 一- 1 3 ，贝t j r u k e y 区间要好一些其他的情况无法判断 于是我们得到一个较一般的结论：g 3 时，对大部分q = 0 的简单对照，其 1 4 篓 塑 耵一 鳖 竺鲨 帕鞲一 鲨 盯翳一 墨 帖酷一 鲨篓鲨坚 安徽大学硕士学位论文第1 章固定样本下几种同时置信区问的比较 u k e y 区间较短，而对大部分c 0 较复杂的对照，s c h e f f e 区间短些。 1 2 2 死幼区间和b o n f e r r o n i 区f h q 的比较 在实际应用中，往往只需构造有限个对照的同时置信区间，这时若还用t u k e y n f 喊s c h e f y e 区间，可能不是最优的，所以有必要来讨论b o n f e r r o n i 区间 我们考虑聊口一1 ) 个线性无关的对照，此因口个效应最多只能有口一1 个线 性尢夫的对照( 运所个对照也口j 以是线住相关的，仪仪是对对照的个数作一个限 制) 令丁= 吼，。，( 口) 宝i - i f c l ，占= 2 川( 杀 艺t f f i l 孑，所以砌七秒区间和肋咖舢耐l 区间的好坏在于r 和b 函数的大小而b 是m 的增函数，即若m = a - 1 时，b s 丁， 则对所有小于口一1 的m 值，都有b r 因此令册= a - 1 ，此时b 函数为 2 。，( 剖2 ( a - 1 ) 医, - 1 一：脯： ( 一) g = 2 时，比较互= q a ，t n - i ) ) 和马= 2 。，( 及岛) ，若互2 曰i ，则舶班舯蚪i 区 间好反之，则是t u l v , 区间好注意口= 2 时，互= 马，此由1 3 易知 作函数t b l l a - 】，此函数运行结果与时l p j 基本相似，只是小表中的第二个 2 ，1 嘞( 3 ，1 3 2 l ，l o 髑a 4 f 5 ，1 o n 9 6 ) 6 ，1 0 4 3 1 5 1 7 ，1 3 日3 1 8 ，l _ 4 2 5 9 ，1 舾2 l 1 0 ，1 o “7 句i n ，1 o “8 5 ) 2 ，1 0 4 4 9 6 1 3 ，1 0 4 5 0 3 ( 1 4 ，1 0 4 5 0 9 ) t 1 5 ，1 0 4 5 1 4 1 6 ，1 呦1 1 7 ，1 0 4 5 2 1 ( 1 8 ，1 0 t , 5 2 4 1 1 9 ，1 0 4 5 2 6 ) 2 0 ，1 呦( 2 1 ，1 0 4 5 2 9 ) 2 2 ，1 0 4 5 3 2 3 ，1 0 4 5 丑 i 丝，1 0 1 5 3 2 t 笛，1 o 5 3 3 ( 2 6 ，1 0 4 5 3 3 ) 2 7 ，1 0 4 5 3 4 ) f ，1 0 4 5 3 5 2 9 ，1 0 4 5 3 5 ) 3 0 ，i 0 4 5 3 5 3 1 1 0 4 5 3 6 ) ( 3 2 ，i 0 4 5 3 6 ) 3 3 ，i 0 4 5 3 6 ) 3 4 ，1 0 4 5 3 7 ) 筠，1 0 4 5 3 7 ) 3 6 ，1 o l 略订 ( 3 7 ，1 s 3 7 t ，1 ( 3 9 ，1 o ，m ( 争却 p q ：。 凰p 细即( 咖厄睁( 1 1 3 ) 注+ ( 1 1 3 ) q 6q 。口) ，“詈) 分别为q 分布，r 分布的上侧分位点所以，n = 2 时， q 2 。 ) 可以由( 1 1 3 ) 式精确的算出 ( 2 ) 毗饥如卜嚣 注：作( 1 1 4 ) 式的原因在于吼，。 ) ，乙( 争可能随册变化而变化很大，但两者 比值变化应较小，因它们有共同的分母 概写成1 + 船凇| j ( 1 1 4 ) 式变为l + “2 差嚣劂厶_ o 2 将q 表横向扩充，即增加力值 对儿，( 口) ，固定所，口( 事先给定) ，则以。( a ) 是n 的函数如历= l ，根据g 表， h = 3 ，4 ，2 0 ( - 去除n = 2 ) ，所以吼州 ) 共有1 8 个值，即咒，l ( 口) 共有1 8 个值同 样，咒，。2 ( 口) ，吼脚( 口) ，也有1 8 个值在q 表中，m 共有2 6 个值，所以有2 6 组数 据，每组数据共有1 8 个值经研究发现，咒。 ) 与l o g ( n - 1 ) 有较好的线性关系，此 对2 6 个研值都成立如图所示： 1 8 安徽大学硕士学位论文第1 章固定样本下几种同时置信区间的比较 图1 6 ( f i g u r e1 6 卜 从图上