（概率论与数理统计专业论文）关于分布对称rv与可交换rv的极限定理.pdf

关于分布对称rv 与可交换rv 的极限定理 摘要 本文主要研究了两类特殊的相依随机变量的极限性质，其共 分两章。第一章主要讨论了一类分布对称随机变量序列的极限性 质，具体包括强大数定律、大数律尾概率级数的收敛性以及具有 随机足标的大数律尾概率级数的收敛性，从而对独立情形下的经 典极限理论部分结果进行了条件的推广。第二章主要讨论了可交 换随机变量序列的极限性质，具体包括中心极限定理的收敛速度 和重对数律，所得的结论补充了可交换随机变量极限理论方面的 结果。 关键词分布对称r v 序列；大数定律；尾概率；随机足标； 可交换r v 序列；中心极限定理；重对数律 关于分布对称rv 与可交换r v 的极限定理 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m el i m i tb e h a v i o u r so ft w ok i n d so f s p e c i a ld e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e sa r ei n v e s t i g a t e d i td i v i d e st w o c h a p t e r s i nc h a p t e ro n e w ed i s c u s st h el i m i tb e h a v i o u ro fak i n do fs y m m e t r i cr a n d o mv a r i a b l e s s e q u e n c e s ，m a i n l yi n c l u d i n gt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ，t h ec o n v e r g e n c e r a t e so ft a i lp r o b a b i l i t i e si nt h el a wo fl a r g en u m b e r sa n dt h ec o n v e r g e n c e r a t e so ft a i l p r o b a b i l i t i e si nt h el a wo fl a r g en u m b e r sw i t hr a n d o mi n d e x t h er e s u l t so b t a i n e de x t a n ds o m er e s u l t so fc l a s s i c a ll i m i tt h e o r yu n d e rt h e i n d e p e n d e n ts i t u a t i o n b ye m p l o y i n gd ef i n e t t it h e o r e m ，i nc h a p t e rt w ow e d i s c u s st h el i m i tb e h a v i o u ro fi n t e r c h a n g e a b l er a n d o mv a r i a b l e ss q u e n c e s m a i n l yi n c l u d i n gt h ec o n v e r g e n c er a t e si nt h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e ma n dt h e l a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h m k a y w o r d ss y m m e t r i cr a n d o mv a r i a b l e ss e q u e n c e s ；l a wo fl a r g en n l n b e r s ；t a i lp r o b a b i l i t i e s ；r a n d o mi n d e x ；i n t e r c h a n g e a b l er a n d o mv a r i a b l e ss e q u e n c e s ；c e n t r a ll i m i tt h e o r e m ；l a wo ft h ei n t e r a t e dl o g a r i t h m 一2 一 关于分布对称r v 与可交换r v 的极限定理 缩写及记号 r v 随机变量 i i d 相互独立同分布 i n d 相互独立但不同分布 n8 几乎必然的 a 。，i o 无穷多个a 。发生 e x 随机变量x 的数学期望 v a r ( x )随机变量x 的方差 m e d ( x )随机变量x 的中位数 i ( a )集合a 的示性函数 a ba n b 。 0x随机变量列 弱 依概率收敛于随机变量x - x ，a 8 随机变量列 ) 几乎必然收敛于随机变量x a 兮b 条件a 可推出结论b a 铮b结论a 与结论b 相互等价 r k k 维欧氏空间 1 3 ( r k )k 维b o r e l 集全体 盯( x 。，x 2 ，)由随机变量x - ，x 2 ，瓦生成的盯域 关于分布对称r v 与可交换一的极限定理 第一章关于分布对称r t v 序列的极限定理 5 1 1引言 随机变量序列f ，n 1 称之为是分布对称的，如果对于其中任意有限个一 墨。一x 。( 1sw l t u 2 w 。 。) ，( h 五。_ 一，x 。) 与( x 。，五有相 同分布，其中k = m l ( i k n ) 且相互独立虽然关于分布对称的r v 序列较早就 有定义，其定义可见诸文献 7 和 8 】中的5 2 3 ，但较少有人把它作为一类r v 进行研 究，在 8 】中的2 3 ，作者也仅给出过关于分布对称r v 其部分和的依分布收敛、依概 率收敛和几乎处处收敛三者相互等价的定理，关于其它极限性质的研究却少之又少 即使在其他很多关于概率极限理论的文献中，作者们也只往往利用他们作为极限论研 究过程中证明的一种方法基于此，本文决定把分布对称r v 序列单独列出来进行研 究由于本人精力，能力和时间所限，在这一章中仅仅讨论了分布对称r v 序列的强 大数律，大数律尾概率级数的收敛性即大数律收敛速度以及具有随机足标的大数律尾 概率级数的收敛性 在第三节中，我们将讨论分布对称r v 序列的大数定律在经典的m a r c i n k i e w i c z 强大数定律中，我们知道定理的成立是在r v 序列独立为前提条件的，而本文把这一 结果推广到了分布对称情形，即只要满足分布对称且同分布，p 阶矩有限，却得到了 与i id 条件下相同的结果最后我们发现，经典的m a x c i n k i e w i c z 强大数定理是本文 的推论 众所周知，许宝禄和r o b b i n s 于1 9 4 7 年所引入的完全收敛性概念，为研究大数定 律尾概率级数的收敛性开创了先例，继此之后，k a t z 和b a u m 4 1 建立了有关这类级数 收敛性的一系列等价性命题，这些结论都以充分必要条件的形式出现，显得丰富而完 美苏淳和白志东【5 】曾在k a t z 和b a u m 4 】的基础上引进慢变化函数，加强和改进了这 些等价性命题，得到了关于独立r v 大数律尾概率级数收敛性较为理想的结果但以 上这些工作都主要针对独立的随机变量序列的，而本章第四节将针对分布对称的r v 序列进行研究，得到了若干结果，同时，还把结果推广到了独立情形 最后第五节，我们在第四节所得结论的基础上，讨论了具有随机足标的大数律尾 概率级数的收敛性 5 1 2 定义和性质 定义1 2 1 称有限个随机变量x - ，x 2 ，是分布对称的，若对任意的b a ( x 4 关于分布对称r 、与可交换r v 的极限定理 x 2 ，- 一，x 。) 有 p ( x l ，墨。) b ) = p ( x i ，一，) b ) 其中k 取值1 或一1 ( i = l ，2 ，一，n ) ， k 为i i d 的r a d e m a c h e r 序列，即满足p ( k = 1 ) = p ( k = 一1 ) = 1 2 且 置) 与 k ) 相互独立 定义1 2 2 称无穷随机变量序列 ，n 1 是分布对称的，若对任意有限个随 机变量是分布对称的 例设r 服从p 维正态分布u ( o ，z p ) j 0 ，n 1 ) 是服从p 维球对称分布的i i d t v 序列，其具有密度函数g g ( 1 l x l l 2 ) ，此处岛是一个仅与p 有关的常数，而g ( ) 本身与p 无关，则 r x 。f ，n 1 ) 是分布对称r v 序列 证明即证对于任意的整数列( w l ，2 ，) ，l w 2 w 。，随机向量列 ( r 。撕，砜西) 与( h r 岛。狮，v n r x w 。伽) 的特征函数相同，现设其 特征函数分别为 ( t ) ，丘( t ) ， ，l ( t ) = e e x p i t ( r x 。，施，一，爿。l y e ) =e e e 卵( 嘉州，r 1 x w 。 e 唧 一去t ( ，x 一7 ( 。，。) t ) 因为 x 。，n l 是服从p 维球对称分布的i i d r v 序列，故( 。，。) 与( k ， k j 气。) 的分布相同，从而a ( t ) = ，2 ( t ) ，证毕 性质设f j 如，n 1 ) 是分布对称r v 序列，那么它有以下性质： ( i ) e = 0 ； ( i i ) e x 轧= 0 ，k f l ； ( i i i ) 记蜀= 矗川i 0 ，则 j 薯，n 1 是分布对称的； ( i v ) ，7 1 , 1 ) 是一列独立r v 序列， ，n 1 ) 是它的独立拷贝，则 墨t 一碥，n l 是分布对称的 证明( i ) 由于墨。与一j 0 有相同分布，e 墨。= 一e 墨。，所以e j ，n = 0 ( i i ) 由于( x k ，x f ) ( 1 ) 与( 一溉，x f ) 有相同分布，e x k x t = e ( 一x k x d ，所以 e x k x ，= 0 ( i i i ) 即证对于任意的整数列( l ，w 2 ，) ，w l w 2 n ，有 p ( 确， z 哪- ，x 0 。 z 训。) = p ( v 1 矗。 z w 一，x 0 。 工w 。) ，v n 三1 ( 1 ) 成立下分两种情形进行讨论， 一5 一 关于分布对称r v 与可交换一的极限定理 ( a ) 若存在某一w k ( 1 曼k 茎n ) ，使得z 。冬一c ，则 ( 1 ) 式左边茎 p t x - 。 z w k ) 尸( j 屹。 一c 乱) =0 ( 1 ) 式右边兰p ( j 吃。 一c 诜，记其中m 个满足一c z 。 c 0 。的 k 为a 女，使得一瓯。 z 。k 。，记其中n m 个满足z 。k2 瓯 的”e 为凤，使得 z 凤o ，( w l 0 1 1 a m 叫n ，w l _ 臼i 岛一竹t 叫n ，0 m 礼) ，则 ( 1 ) 式z i 边= p ( 义：t 。 z n 。，x ：。 z n 。) = p n 卜g 。 墨。 ) = p n ( 卜。 x 。 o ) ( 1 ) 式右边= p ( h x ：。 z 一，墨。 z n 。) = p n 卜倪。 ( k 五。) z 。 = p n ( 一。 k x 。 o ) ) lk = l ， =p亘(一c二。xaa01) ) ) = p n ( 一倪。 u i x 。j 。，若 ) ) = j = ( 1 ) 式左边 ( i v ) , p i l e 对于任意的整数列( w l ，w 2 ，w 。) w l w 2 w n ，有下式 p ( x 。一。 z ，。一。 z 。) = p ( v 1 ( 。一圪。) z ，( x d j 。- - k h ) z m 成立 右边= p ( h ( 五，。一。) z 一。，( 。一。) z ”。) = p ( x 0 。一y 0 。 z 。) - p ( x 0 。一y 0 。 z 训。) = p ( j o 。一0 1 正伽l ，一，j 匕。- 二y 0 。 z 埘。) = 左边 一6 关于分布对称与可交换r v 的极限定理 证毕 1 3关于分布对称r v 序列的强大数律 以下是本节的引理和定理 引理1 3 1 ( k r o n e c k e r 引理) 设 n 。) 和 z 。) 是两实数序列，0 。nt 。 x n o n 收筑 z k l a 。- 0 女= 1 证明参见 2 】5 1 l e m m a 2 引理1 , 3 2 ( b o r e l c a n t e l l i 引理) ( i ) 若p ( a n ) 。) 2 列岛i 。) 证明令r = i n f k ：i s i 。 ，由分布对称r v 序列的定义，对于每一l ， ( x l ，x k ，一x k + l ，一) 和( x l ，甄，凰，。k ) 的分布相同，故 p i & i z = p 1 岛l z ，r = = p 1 2 & 一晶i z ，r = 自) ， k = 1 = 1 利用三角不等式，因此有 p 嵝m 呦a xi & i 。 2 善砷“) = p i 乳i z ，r = 7 关于分布对称r v 与可交换r v 的极限定理 墨p 1 2 s k 一晶i + i s n l 2 x ，r = k ) k = 1 n p 1 2 s k s n l z r = ) + p i s , t i 。，r = k = t n = 2 p i 又l z ，r = k ) k = t = 2 p i 晶l z ) 引理1 3 3 证毕 由t c h e b 5 ，c h e v 不等式，可得到如下一个推论 推论1 3 1 设 ，n 1 ) 是分布对称r v 序列，记s n = ；：。x k ，那么对于任意 z 0 ，有 p l m 蘑i s k l ) 2 吾删：胪 、n 引理1 3 4 设 j ，n 1 是分布对称的r v 序列，满足 e 霹 0 ，当正整数m n _ 。时 p ( 1 5 k s 。l 兰叫-e 一2 f 1 5 k 一& 1 2 = e ee 磺 k = n + 1 _ 0 因此 岛) 是依概率收敛基本序列，故存在r v s ，使得 晶与s ， 进而存在子序列 岛。 ，使得 又由推论1 3 1 知 岛女_ sa 8 靠- s 一8 一 oo e 碍 蚋碍 。 f e 亘8掣 0 一一 2 一驴 岛 鎏 ；k 尸 眦 关于分布对称r v 与可交换r v 的极限定理 因此由b o r e l c a n t e l l i 引理，当_ 时 结合( 2 ) 和( 3 ) 3 即得 呱m ，! d 。x 1 岛一晶i i 。o 又_ so s ，证毕 引理1 3 5 设 墨。，n l 是分布对称r v 序列，对某一c ( 0 ，。) ，若满足 o 。 ( i ) p ( i x 。t 三c ) o 。， n = l 。 ( i i ) e ( 霹) 2 0 中卧( z ) 。2 不增，此外 f o 。 是常数列，满足0 p g n ( 墨。) 肌( o 。) ) 皇塑f 墨! g a ( a 。) 9 关于分布对称rv 与可交换rv 的极限定理 所以由( 4 ) 知 尹p f 型 1 l 鲁【a n js 耋鬻 由此可知引理1 3 5 的条件( i ) 满足 对于函数鲰( 。) 。2 在区间z 0 中不增那么在区间蚓 。中 o 。 o 矗 ；而3 g n ( a n ) 因此有 r ，鲰( 。) 磊葫丽 记磊= x n 川x n | a n ) ，则对任惹n ， e 瑶2 上刚 哪护d p = 。：k l 。荔凹 a ：k ，器d p ；k e g 。( 矗) ， 口n i n nj 由( 4 ) ，我们得到 由此可知引理1 3 ，5 的条件( i i ) 满足，因此由引理1 3 5 可推知( 6 ) 成立，证毕 取g n ( x ) = 蚓，有如下推论 推论1 3 2 设 j ，n ，t t t ) 是分布对称r v ，序列，正数序列o nto o 且对0 p 墨2 满足 耋掣 。， 那么 x k _ 0 下面是本文的主要定理 定理1 3 1 ( 强大数定理) 设( 墨。，n l 是分布对称且同分布的r v 序列对 p ( 0 ，2 ) ，满足e l x d n 0 0 ，有 一1 0 咝畦 耐 so01 。 1 p 一礼 羔竺兰! ! 堡竺二兰! 查苎! 竺坚兰墨兰 证明记碟= 赫川矗i n l p ) ，因为 p ( f x 。i 兰n 1 p ) = 由条件e l x l p o 。可知 由b o r e l - c a n t e l l i 引理， p ( m 墨i z 。l p m + 1 ) = m p ( m si x tj 9 m + 1 ) m = t 茎f f x l p ( m + 1 ) p ( m i x l 尸 m + 1 ) = l + p ( m sf 。k p m 十1 ) n = l m = n 。 = l + p ( t x l j n 1 p ) ， 兰n 1 p ) 0 使得p ( 1 + e ) s2 手墨! 墨唑兰：子堡f 墨鬯兰 高( u l p ) 9 【1 + 。鲁 n ( 1 + 8 s 薹耋揣p c k - l m 叫 = 耋霎描p c k - l m q s c k p ( k 一1 i x l 芦 南) ( o c o 。) = c ( 一1 ) p ( k ls 刚 k ) + c p ( k 一1 刚” n 2 p s u p l 靠 【k 三n p k m a 9 xi t k 一l z ) p 憾m a ! x 。i 咄i 妒。r z p 。爨陬一蚓2z z ) 因此( 7 ) 式的第二个不等式成立下证( 7 ) 式的第一个不等式，记 则 a 1 k = t k m e d ( t k ) z ，a 2 ，女= t k m e d ( t k ) 一石) b 1 。= 一m e d ( t j ：) so ) ，b 2 ，女= 冠一m e d ( t ：) 0 p 。燮i 死一l 2 z ) p u ( 及一芝z u ( 靠一 2 p k 0 = l t a t ，m b ，t u a z ，e 岛t ，) l j = p a 1 ，k b l ，u a 2 ，k b 2 ，女) u k 妻= t p a k l 之x l 2 = 喜 k - i a t d u a 2 , j ) + p t a 。，t 岛，m n 受 a 1 , j u a 2 0 ) 1 1 k = ljl j = ij ( 8 ) ，”， 习刈 列 佻 、il、r， j 岛 如、0 u 豺 j a 8 u j j a a ( u 叵 - k2 日 k2 au k 8 k a 关于分布对称r v 与可交换r v 的极限定理 ；耋 p t a - ，t 孔堕 a i , ju a 2 , j ) + p t a t ，t 孔要 a t du a = , j ) = j 1 蚤n p卜州。砧、旦k-t1。吣。) ) 。女= lf ij = ；p 驴nm 岫 ) = 引峪m a ! x 。i t k m e d ( t k ) l z 卜 因此( 7 ) 式成立同理可证，对于任意n n ，有 ；p 。蛩i 靠一m e d ( t k ) l2z 。p 。娶l 孔一瓦l z 2 p 。m ：。a ：x 。i 一。* | z 2 ) ， 再令n o o 即得( 8 ) 式成立引理1 3 7 证毕 引理1 3 8 设 ，n t 是i i d r v 序列，0 p 2 ，若e i x i p ，则有 n 一1 加凰三0 女= 1 其中，当0 p 0 ，记 冠= x d ( i x k i e ) _ p 畴拶 s ) | s 所以我们只需证明 即可，又由于 p 0 隅纠 ) l k = l j p ( x k x o k = i = r i p ( i x , i p 6 n ) 茎；， 6 n d f l ( 。) oj i x l l 9 1 5 n ) 托划掣。) 1 z t p d e l ( 。) + 0 n - o 。 攀与o，。+。 n lp 薹i 三l 茎i = 圣n 三丛兰t ：二竺兰t2 二卜n i 一；e x ： n i p 1 2 1 p 。 一1 3 关于分布对称r v 与可交换r v 的极限定理 下面分别来证明上式右边两项依概率收敛于0 我们先来证明第二项，首先考虑0 p 1 情形，这时 i n l p 1 ：b a l l sn 。；e x i i ( i x i ， 如) = 忆1 一j ( j n ) ；一1 e l x l i ( i x l 严 巧n ) j ；e t x l i p ， 因为6 是任意正实数，只要令d ( n ) _ + 0 所以? 2 l - ；e x i _ + 0 ，n _ 0 0 其次再考虑 1 墨p 2 情形，注意到e x l = 0 ，故有 | n 1 一；e x ：i = n 1 一i 1i e x l z ( i x l i p2d n ) i sd ；一1 ( 瓤) 1 一；吲x 1 i z ( x l l 9 乩) d ；s i x l l 9 i ( i x l i p 执) _ 0 n _ + 。 综合以上两种情形得到，当0 p e ) 兰一21 - - ；e i 墨1 2 e 一2 7 1 1 - ；( 6 n ) ；一1 e i x l l 9 r ( i x l l 9 j n ) e 一2 d ；e i x li p ， 因为0 p 2 ，只要令d ( n ，e ) _ 0 ，就有 圣釜! 骘二堡型! 与o 忆1 i p 综合以上全部就得到引理结果，证毕 下面将利用本文的定理1 3 1 来证明m a r c i n k i e w i c z 强大数定律 推论1 3 3 ( m a r c i n k i e w i c z 强大数定律) 设 x n ，n 三1 是i i d r v 序列，0 ( p 2 则 n _ 1 ( 甄一p ) _ 0 ， k = l 的充要条件是e i x l i p ( 3 0 其中，当0 p 1 时，肛= o ；当1 p 2 时，卢= e x l 证明不失一般性，可设e x t = 0 充分性：因此我们的目的是要证明 n n 一1 加e x k - 0 口s 1 4 关于分布对称r v 与可交换一的极限定理 设 蜀，n 1 是 ，n 1 ) 的独立拷贝，则由性质( i v ) 知 一j ，n 1 ) 是分布对 称r v 序列，由讳不等式知 e i x 。一工：1 9 c ( p ) ( ej x 。w + e l x ：1 9 ) 由定理1 3 1 立即可得 赤善n ( 耻瑚一+ s 令晶= 嚣= l x k ，晶= ；：。墨，由引理1 3 7 强对称不等式知 所以 p k 协k 1 p - r e e d ( 舭咖) 阻) 由引理1 3 8 知 进而 故充分性成立 墨二里塑! 曼! + 0 。 n l p 。 刍耋知 m e d ( s n ) - + 0 n - 。 n l p 。 击喜讯+ s 必要性：因为n - 1 ，p 楚1 - 0 ，a 8 ，那么 丽xn一一k甄一学南ii硼一=l x k 丽= n 。1 加一等南。，训1 0 s 则由b o r e l - c a a t e l l i 引理， g i x , d n l p 。， 同时我们知道 e l x d 9 。o 静p i x i2n l p 一 佃 肚巩 一 加 七 剐 蛾州。斗叭垃n ，、 p ， 2 o 一 斗 关于分布对称rv 与可交换r v 的极限定理 1 4 关分布对称r v 序列大数律尾概率的收敛性 a 主要结论 分布对称同分布情形 定理1 41 设f ，n 1 是分布对称且同分布的r v 序列，0 t 2 ，对于下列 四个结论： ( i ) e i x l l 。 n l t e ) o ； 有如下关系：( i ) = ( i i ) 甘( i i i ) 号( i v ) 推论1 4 1 设 x n ，n l 是i i d r v 序列，0 t n l l t e 。； ( i v ) n 。( 凰一芦) _ 0 ，n 其中，当0 t 1 时，p = 0 ；当l 2 时，p = e x t 下面将对定理l ，4 1 的矩条件进行强化，得到了更为深刻的结果 定理14 2 设 矗，n 1 ) 是分布对称且同分布的r v 序列，0 t n l l t c ) 。； ( t v ) 薹n 。1 p ；婆l 瓯e v l e 。； ( v ) 晶加1 。_ 0 ，n “ 有如下关系：( i ) 辛( i i ) 甘( i i i ) 营( i v ) ( v ) 一1 6 一 的慧陲对 乳 鼎帅 “ 争州 关于分布对称w 与可交换的极限定理 一 推论1 4 2 设 ，n 1 ) 是i i d _ v 序列，0 t 2 ，则对某个有限常数弘，有下 列四个结论相互等价， ( i ) e x i i 。l o g + f x l f n u t e o ： ，薹e 。n - l p 斟喾 s o 。，对任意的 其中，当0 t 1 时，p = o ；当1st n e _ 0 如果令t = 0 ，定理1 4 3 有如下一个推论， 推论l - 4 3 设 蜀，n 1 是分布对称且同分布的r v 序列，若满足条件n p i x li2 n ) _ 0 ，则对任意的e 0 ，有岛加与0 推论1 4 4 设 j 0 ，n l 是分布对称且同分布的r v 序列，1 t 0 ，有 n 。一1 p l & l n l e _ 0 分布对称不同分布情形 定理1 44 设 蜀，n2 l 是分布对称的序列，t 0 ，有下列三个结论相互等 价 ( i ) ，矿p l s n l n e ) 叶0 ，对任意的 0 ； ( i i ) n p 黼i i n 6 _ o ，对任意的e o ； ( i i i ) p s u p l & k i e 斗0 ，对任意的 0 tk 三“j 综合定理l4 3 和定理1 4 4 ，对于分布对称且同分布的r - v 序列，当0 n 0 - - + 0 0 ，则下列三个 结论相互等价， 一1 7 关于分布对称r v 与可交换r v 的极限定理 ( i ) n p l 品一m e d ( & ) l n e ，_ 0 ，对任意的 0 ； ( i i ) n 。p i 搿l & 一m e 8 ( 瓯) n 5 j - o ，对任意的e o ； ( i i i ) p ：要l 墨二气竽盟l e - 。，对任意的s 。 定理1 4 5 设 x 。，n 1 是分布对称的r v 序列，r 1 ，0 s 1 0 n r t 6 o ； m ，塾。2 p 学i s 删髓的 定理1 4 6 设 蜀，n2l 是分布对称的r v 序列，0 肌) z 1 。 = p x 1 1 = 0 0 推论1 4 7 设f 五。，n 兰i 是i n d r v 序列， ( a ) 若对任意的 0 ，满足条件 0 0 n p i s n m e d ( s n ) t n 1 7 。e ) n l l 。e 1 满足条件 。 e 陬1 2 k 0 ，有 0 0 n - l p t s 。l t n ) 0 和o ， ；p i x m e d ( x ) z ) 兰p i x 8 l 。 茎2 p i x a l 2x 2 证明略 引理1 4 2 设 x n ，n l 是分布对称的r v 序列，n 三m ，则有 p z 2 妄p 5 k 嚣) 证明由r v 分布对称的特性， 聃 加p 跏n + ，x a _ o ) ；p t s m 吐 证毕 引理1 4 3 设 b 。，n21 是一列单调不增的正实数序列，若。o e ：1a n 加 0 ( 3 则 o n - 0 证明略 引理1 4 4 设 o 。，n i 是一列正实数序列，t 0 存在正整数( e ) ，使得当n n 时，a ，。 0 ，那么存在0 t e ：曼n - t p i s i 批，“cit)e(is。l n l t e u ( i x k l n i l t ) = n v e ， + n - 1 p 蚓 n “。e ，n ( i x k l 0 + n 。p 1 x ：，。l 一肛s n = ll k = i， 兰j 1 + 岛 e l x d 。 00 l x d m + l l x l i 。 一 x ( p 脚 一 一 p 一 i | 一 仃p盯 删 关于分布对称r v 与可交换一的极限定理 如2 n - ( t + 2 t ) e l 群，。1 2 n = lk = l o o = e 。2 r t2 t e 暇，。1 2 n = 1 o 。n 一2 n 一2 7 。2 p k 一1 i x l l 2 k ) n = l女= 1 。 o 。 = 一2 k 2 。p 一1 i x l l 。 n _ 2 7 。 k = ln = k 。 = c k p k l i x l l 。nil*s1n =n = i 一 ；蚤：。一廿2 1 p i 嚣t 蚓 2 i t z ；霎p 。，一。m 。a ；x ：；一。i s t j 。2 s ) 2 ；霎p l m 碳a x 。 志i 2 2 # 8 再由条件得知 根据b o r e l - c a n t e l l i 引理， 霎p 。，躔。l 南l 2 2 t e ) 。 又由于当2 ns2 t 时 故 ，壤：；i 志卜0 ，一2 。_ m 装2 一承两而l 。u ，“8 m a , x 百2 1 - 再t 可k _ 7 r 2 , , i s k 一 2 一l ) 要+ o ，。 n 1 ， 2 2 一 旦桫 关于分布对称r v 与可交换r v 的极限定理 证毕 推论1 4l 的证明( i ) ( i i ) 充分利用条件， e i x l l 。 e ) + 0 u p s u p ni s k k 一m e d ( s k k 1 ) f ) _ + 0 扎 p s u p 。i ( & 一k , ) k 1 。i e ，_ 0 u n - t 2 ：l ( x k p ) _ 0 强对称不等式 引理1 3 8 ：( 晶一n # ) n 1 0 ( i v ) = ( i ) 参见推论1 3 3 至此推论1 4 1 证毕 定理1 4 2 的证明( i ) 辛( i i ) x ：。= x k z ( i x k l n t 2 e ) = n _ 1 l o g n p u ( i x k l n l 2 ) + 争s n p 艟l 州 呈i t + 如 i t l o g n p i x f l n ) n = 1 = e i x l l 1 0 9 + i x l i 如 t e i x l r l o g + i x l f x l i t m + 1 i x l l 。 m + 1 e 。n - 2 tl o g n e l x ，。1 2 n = l e 。2 n - 2 t l o g n k 2 t p k 一1 i z l l 埘 n = l七= 1 k 2 p k k = 1 2 t l o g n 。o s g 2 肛p ( k l i x l l k ( 1 0 9 k + 南) 扩2 = l 2 4 一 一 mpn g b 一 r l 一 一 mpm g om 一 n，k x 。 曰 喵 心一 n ， 2 一5 n 储 向x 一 一 关于分布对称与可交换r v 的极限定理 一一 c k l o g k p k l i x