（应用数学专业论文）高阶微分方程的两个边值问题.pdf

中文摘要 本文主要研究两个微分方程的两点边值问题 全文共分为四章 第一章为前言，主要介绍所研究问题的一些相关背景，以及本文所要研究的 问题 第二章主要研究两点边值问题 ( 一1 ) 竹u ( 2 n ) ) = a o ) u ) ，0 t 1 u ( 2 七) ( 0 ) = u ( 2 七) ( 1 ) = 0 ，七= 0 ，1 ，礼一1 在权函数a ( t ) 为奇异时，通过h i l b e r t 空间中全连续算子的性质得到此边值问题 相应的谱分布 第三章主要研究四阶p - l a p l a c i a n 脉冲边值问题 ( 讳( z 0 ) ) ) = f ( t ，z ( ) ，z ( t ) ) ，t ( t i ，t i + 1 ) ， z ( o ) = x ( 1 ) = ( o ) = ( 1 ) = 0 ， z ( 岛) = q 1 ( i ) ， 洁o , 1 , - - - k , a x 他 ) = a 2 ( i ，z ( 如) ，( 如) ) ， ( ( 如) ) = q 3 ( i ) ， ( ( z ( 如) ) ) = o t 4 ( i ，z ( 如) ，( 如) ) 在非线性项满足一定的单调条件下，利用上下解和单调迭代法获得此方程解的存 在性 第四章为结束语，总括全文的工作 关键词：奇异边值问题；谱理论；全连续算子；上下解；p - l a p l a c i a n 方 程；脉冲 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t w ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i l lb ec o n s i d e r e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp r o b l e m ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m s n e x ts e c t i o no ft h ep a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h es i n g u l a rt w o - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 一1 ) n u ( 凯) ( t ) = a a ( t ) u ( t ) ，0 t 1 ， u ( 2 七) ( 0 ) = u ( 2 七) ( 1 ) = 0 ，k = 0 ，1 ，n 一1 ， w h e r et h ew e i g h tf u n t i o na ( t 、i ss i n g u l a ra tt = 0a n dt = 1 w ew i l lc a no b t a i nt h e s p e c t r a lp r o p e r t i e so ft h i sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h et h i r ds e c t i o nm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ef o u r t h o r d e rp - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sw i t hi m p u l s i v ee f f e c t s ， ( ( 他) ) ) = y ( t ，z ( t ) ，x t t ( t ) ) ，t ( t i ，t i + 1 ) ， x ( o ) = x ( 1 ) = ( 0 ) = 一，( 1 ) = 0 ， a x ( t i ) = q 1 ( ) ， z 咏i ) = a 2 ( i ，z ( 如) ，( 如) ) ， 锄( ( t d ) = q 3 ( ) ， 锄( ( ( 如) ) ) 7 = o t 4 ( i ，z ( 如) ，( ) ) ， i = 0 ，1 k ， w h e r et h en o n l i n e a rf u n t i o n | h a ss o m em o n o t o n ep r o p e r t i e s w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n st ot h i sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sb yu s i n gu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n d m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d s a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s p e c t r a lt h e o r y ；c o m p l e t e l yc o n t i n - u o u so p e r a t o r ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ；p - l a p l a c i a ne q u a t i o n s ；i m p u l s i v ee f f e c t s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者躲 蝴 签字日期却7 年， 月，7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨壅盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学雠文储虢熬琦 新躲酮芪 签字日期：妇7 年 | 工月，7 日 签字醐m 7 年月 ，7 日 l 第一章前言 第一章前言 两点边值问题是微分方程领域一个十分重要的研究领域，而其中的奇 异边值问题的研究近年来尤为活跃奇异边值问题具有广泛的应用领域， 它在自然科学和工程技术许多方面有着广泛的应用，例如它在核物理，边 界层理论，流体力学，气体动力学以及艾滋病防治中都有着广泛的应用， 许多科学家都在这个领域中做出过很大的贡献，爱尔兰著名的数学家d o n a l o r e g a n 在专著【1 】中对此类问题作过系统而详细的论述 微分算子谱理论是微分方程的一个重要的部分，对于非奇异边值问题 的谱理论，书【2 】中有详细的论述对于奇异边值问题的谱理论近年来也 有很多研究刘希玉在文 3 】中研究了二阶线性微分方程奇异边值问题的 s t u r m l i o u v i u e 理论韦忠礼在文【4 】中研究了四阶线性奇异边值问题的谱分 布在奇异项满足一定的条件下，他们得到了相应边值问题的谱分布由他 们的启发，本文研究了以下2 n ( n 2 ) 阶线性奇异边值问题的谱分布问题， i ( - 1 ) “札( 凯) ( t ) = 知( t ) 钆( ) ，0 0 ，t ( 0 ，1 ) r ( ) 在t = 0 ，1 点 是奇异的 通过线性无关变量代换方法，上述方程可以变成 一仳( ) = a q ( t ) u ( t ) ，t ( 0 ，t ) ， u ( o ) = u ( t ) = 0 ， 其中口( ) 0 ，t ( 0 ，t ) ，当 知) 口( t ) d t 。 第二章高阶奇异边值问题的谱分析 时，刘希玉得到了上述方程有可列特征值，并得到了特征函数展开定理 在此基础上，韦忠礼在文【4 1 中研究了下列四阶奇异边值问题的谱理 论， u ( 4 ) ( ) = a a ( t ) u ( t ) ，0 t 0 ，t ( 0 ，1 ) ，且 。 z 1 s 2 ( 1 - s ) 2 0 ( s ) d s o o ， vu t i m t - - - 0 + t 2j i ( 1 ( 1 t - s ) 2 巾) d s - 0 ， t u - - - - * 哩l ( 1 叫2 z o ( s ) 出= 。， 一1 ，n 他得到了上述四阶奇异边值问题有无穷个特征值凡满足 0 a o 入1 0 ，使对任一，f ，都有 i ，( ) lsm ，q t p 我们就说函数族f 在o t t p 上是一致有界的 如果对任给的 0 ，总存在6 0 ，使对任一，f 和任意的t l ，t 2 【o t ，纠， 只要i t a t 2 i 5 ，就有 i f ( t 1 ) 一f ( t 2 ) l e 我们就说函数族f 在q t 卢上是同等连续的 定理2 4( a s c o l i a r z e l a 定理) 设f = ，( ) ) 是定义在q t 上的一 致有界且同等连续的实值( m 维) 向量函数族，则从f 中必可选取一个在 qst p 上一致收敛的函数列 厶( t ) ) = 1 ，2 ，) 2 3 高阶奇异边值问题的谱理论 根据上一节的基本理论知识，在这一节我们将研究一些具体方程的谱 理论 本文主要研究奇异边值问题 ( 一1 ) n u ( 2 竹) ( z ) = a a ( t ) u ( t ) ，0 t 0 ，t ( 0 ，1 ) ，且 。 18 2 ( 1 3 ) 2 口( s ) 幽 o 。， 。l i r a 。+ 2 1 ( 1 一s ) 2 。( s ) d s = 。， ( 2 3 ) ( 2 4 ) t 蟀( 1 一t ) 2 上。( s ) d s = 0 ( 2 5 ) 所谓问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 是奇异的，是指( 2 1 ) 中的函数a 在端点t = 0 和t = 1 无界( 条件( 日) 属于奇异情形) 如果存在非零函数u c 2 舾2 o ，1 】满足奇异 边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，则称入为问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的特征值，非零解u ( t ) 为数 a 的特征函数 考虑特征值问题： l i t - - - = 镨0 2 帕( 归地( ( 0 ，1 ) ， ( 2 6 ) lu ( 2 k ) ( o ) = u ( 2 k ) ( 1 ) = 0 k = 0 ，1 礼1 ， 。 记 l ： o ，1 】_ u i a ( t ) l u ( t ) 1 2 d t 0 ) 表示常数( 可能不同) 命题2 2 假设条件( 日) 成立，则l - 1 ： o ，1 】_ d ( l ) l a 2 o ，1 】 9 第二章高阶奇异边值问题的谱分析 证明： 对于h 鹾 0 ，1 】，令y ( t ) = l _ 1 ( ) 则由h o l d e r 不等式及a ( t ，s ) 的连续性有， 又 z 1 ( z 1 f o i g ( t ，8 n - 1 ) 9 ( 8 n - - 1 ，8 n - - 2 ) 9 ( s ，s ) d s l d s 2 d s n _ 1 ) a ( 3 ) i 九( s ) id s 。、，。一 n 一1 洲l 卅z 1 ( 卜小$ n - 1 ，8 n - - 2 ) 9 ( s 2 湖) d s l d s 2 d s n - 1 ) 。、，。一 n 一1 s ( 1 一s ) a ( s ) l h ( s ) id s 砸叫( 小z 1 9 ( 8 n - - 1 ，8 n - 2 ) 9 ( s 2 ，s 1 ) d s l d s 2 d s n - 1 ) 、。、，。7 n 一1 ( z 0 18 2 ( 1 一s ) 2 口( s ) 如1 a ( s ) l ( s ) 1 2d s ) c t ( 1 一n 所以： 剪( 2 砖) ( 亡) i y ( o ) = y ( 1 ) = 0( 2 9 ) = lz 1 ( z 1 z 1 夕( t ，s 竹一( 磨+ 。) ) 夕( s n - ( k + 1 ) , 8 n - ( k + 2 ) ) 9 ( s ，s ) d s l d s 2 d s n - ( k + d ) n - ( k + 1 ) n ( s ) 九( s ) d s l 纠1 叫( z i 0 1 夕( 8 n - ( k + 1 ) , 8 n - - ( k + 2 ) ) 9 ( s 2 8 1 ) d s l d s 2 d s n - ( k + 1 ) ) n - ( k + 1 ) z 1s 2 ( 1 叫2 0 ( s ) 如1 a ( s ) 1 2 d s c t ( 1 一t ) 所以 k 扎一1 k n 可( 2 七) ( o ) = 可( 2 七) ( 1 ) = 0 ，k 佗1 ，k n 1 0 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 第二童一童堕童墨望篁旦墅箜煎坌堑 一 _ - _ - _ _ _ - _ _ _ - _ _ 一一 力一力凹， ，j 剪( 2 n - - 2 ( ) = g ( t ，s ) a ( s ) h ( s ) d s ，0 ：( 1 - t ) o s 口( s ) h ( s ) d s + t j t 1 ( 1 - 8 ) 。( s ) 九( s ) d s ，t ( 。，1 ) ， = s 口( s ) h ( s ) 。( s ) 九( s ) d s ，。( 0 ，1 ) ( 1 一t ) z 。s 。( s ) ( s ) d s ( f o ts 2 ( 1 一s ) 2 。( s ) d 3 ) 1 2 ( 上1 。( s ) i ( s ) 1 2 d s ) 1 2 ， tz 1 ( 1 一s ) 。( s ) 危( s ) d s ( z 1s 2 ( 1 一s ) 2 n ( s ) d s ) 1 2 ( z 1n ( s ) l ( s ) 1 2d s ) 1 2 ， ( ( 1 一) z s n ( s ) h ( s ) d 3 ) 2s ( 1 一t ) 2z 0 t s 2 a ( s ) d s z 1 口( s ) l 九( s ) 1 2 d s ， ( tz 1 ( 1 一s ) 。( s ) 九( s ) d s ) 2 0 ，使得 ( z l a ( s ) 叭s ) 1 2d s ) 1 2 0 ，s n 有 剪( t ) 一 d n ( t ) ( ) + ，t 【o ，1j ，礼n ( 2 1 9 ) 1 2 第二章高阶奇异边值问题的谱分析 对( 2 1 9 ) 积分得 y ( t ) 2 e t ( 1 t ) y n ( t ) y ( t ) + 2 e t ( 1 一t ) ，t 【0 ，1 】，n n 从而， z 1 n ( ) l y e ( t ) 一可( 驯2d t z 1 。( ) 钯2 2 ( 1 一) 2 疵= 钯2 k 2 ，住( 2 2 0 ) 上式表明l _ 1 b 是l 2 a o ，l 】中的相对紧集 以下证明l 以：l 2 a o ，1 】一l ： o ，1 】连续： 对于h i ， 2 l 2 a o ，1 】有， 从而， z 1 ( z 1 z 1 9 ( t ，s n 一) 9 ( 8 n - - 1 ，8 n - - 2 ) 9 ( s ，s ) d s l d s 2 , d s n - 1 ) 。、，。_ 7 n 一1 a ( s ) h l ( s ) 一h 2 ( s ) id s 剑l 叫( 产小8 n - - 1 ，8 n - - 2 ) 吲s z 湖) d s l d s 2 d s n - 1 ) 。、，。 札一1 z 0 18 2 ( 1 _ s ) 2 0 ( s ) 如z la ( s ) j 2 d s l l - l h l - l - l h 2 1 1 = ( o o ( s ) l - l h l ( t ) _ l - l h 2 ( ) 1 2 d s ) 1 2 _ 0 对所有的i 0 成立 第二章高阶奇异边值问题的谱分析 从而对特征值重新排列可得 0 a o 入1 入2 对于牡d ( l ) ，则 o oo o l u l a 2 0 ，1 】，u = 白协，l u = 应协 i = oi - - - - o 其中q = ，盔= 由定理2 2 ( 即【2 6 】中的定理4 9 ) 知，l 一1 ( l u ) = 砉也忱因此， t ：u 从而 00 龟仍=u=l-ii-0( 刎= i - - - - 0 毫也协， 。 由此可得下列谱定理 a 0 也= 凡g ，l u = a i c 秒i i - - - - 0 定理2 5假设条件( 日) 成立，则 ( 1 ) 奇异特征值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 有无穷多个特征值九满足 0 a o 入1 入2 ， 和相应的特征函数 慨) 墨。构成l ：f o ，1 】中的正交基，即 z 1 邮) 洲丽拈。g j 妒， 础 = ，j 第二章高阶奇异边值问题的谱分析 o o ( 3 ) 若也d ( l ) ，则让= c l ，a i ，其中c = ， i - - - o o o l u = 凡c t 忱 i = 0 定理2 6 ( r a y l e i g hr i t z 型极值原理) 假设条件( h ) 成立，知是奇异特 征值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的第一特征值，则 z 1 。阳) 0 1i y c n ) 阳，v y ed ( n 证明：对于u d ( 三) ，则 = 1 a ( t ) 错叱t ) 丽出 = ( 一1 ) n u ( 2 n ( ) 丽出 = _ | 钆( n ( t ) 1 2d t 且有f o u r i e r 级数表示 让= 忱 因此，由p a r s e v a l 等式知 ol u ( n ) 忡= 眈一砖p i 1 2u 。锄即p 1 2 1o oo 。 ，1 = 入0 1 1 u l l 2 = 入o ( a ( t ) l y ( t ) 1 2d t ) ，0 定理得证 1 6 第三章四阶p - l a p a l c i a n 脉冲边值问题解的存在性 第三章四阶p - l a p a l c i a n 脉冲边值问题解的存在性 3 1引言 近年来，脉冲微分方程成为一个十分重要的研究领域相对于微分方 程理论而言，脉冲微分方程理论有着更为广泛的应用，它在生物学、生物医 学、经济学及最优控制和航天技术等领域都有广泛的应用近些年关于脉冲 方程的研究已经得到了一些很好的结果，关于此方面的研究参见文 5 】一【7 】 上下解方法和单调迭代方法是研究非线性问题解存在性的一个十分有用的 重要工具在文 2 7 】一【3 1 】中a g a r w a l ，o r e g a n ，l a k s h m i k a n t h a m ，d a v i s ，及h e n d e r s o n 和w o n g 等人，利用b a n a c h 空间中的不动点定理发展了边值问题解和多解 的存在性定理单调迭代法也被很多作者用来研究四阶常微分方程边值问 题解的存在性( 参见【9 - 【1 3 j ) 他们主要考虑非线性项满足一定的单调性条件 时边值问题解的存在性在上下解存在的条件下，e l o e 和i s l o m 在文【1 1 】中 利用单调迭代法获得了以下四阶脉冲边值问题解的存在性 z ( 4 ) ( t ) = f ( t ，。( ) ，z ) ) ，t ( t i ，t i + 1 ) ， z ( 0 ) = x ( 1 ) = z ( o ) = ( 1 ) = 0 ， 北t ) = q 1 ( i ) ， 江0 ，1 忌 z 7 ( 如) = a 2 ( i ，z ( 如) ，z ( 如) ) ， a x ( z 1 ) = q 3 ( t ) ， a x ( 3 ) ( 岛) = q 4 ( t ，z ( 如) ，z ( 如) ) 其中非线性项满足一定的单调条件他们主要是把微分方程转变成等价的 积分方程，然后利用上下解和单调迭代技术来寻找积分算子的不动点受 文【1 1 】的启发，我们将研究p - l a p l a c i a n 方程解的存在性，利用同样的方法和 理论，我们可以得到类似于文 1 1 】的结论我们的方程比文 1 1 】更具有一般 性，所以我们扩展了文f 1 1 】的结论 1 7 第三章四阶p - l a p a l c i a n 脉冲边值问题解的存在性 3 2 基本理论和符号 在这篇文章中我们研究具有脉冲效应的四阶p - l a p a c i a nl i d s t o n e 边值问 题( i b v p ) ( 奶( z ) ) ) = f ( t ，z 0 ) ，z ) ) ，t ( 如，t i + 1 ) ， x ( o ) = z ( 1 ) = ( o ) = x ( 1 ) = 0 ， z t ) = 0 f 1 0 ) ， t ：0 ，l 七，( 3 1 ) a x 他t ) = a 2 ( i ，x ( t d ，( 如) ) ， 如( ( 岛) ) = a 3 ( t ) ， ( ( z ( 如) ) ) 7 = a 4 ( i ，z ( 如) ，z ( 如) ) 其中0 = t o t l t k t k + l = 1 ；如( u ) = l t 正i p - 2 乱，1 p ；，：【0 ，1 】r 2 一r 是连续的； o q ：酞2 一r ，f = 2 ，4 是连续的，q 1 ( t ) 和a 3 ( i ) 是常数，1 i 七； z ( t + ) - ，骧o z ( 丁) ，x ( t 一) - r 靶o z ( 丁) 存在缸( t ) = x ( t + ) 一z ( t 一) 且z ( 如) = z ( 虿) ， i = 1 ，2 ，k 易证如的反函数是c q ，其中；1 + i 1 = 1 ，而且嘞( 钍) 和咖q ( u ) 关于 u ( 一，+ o o ) 都是单调递增的函数，且都为奇函数当p = 2 时，方程就变 成一般的四阶微分方程在本文中，我们总假设，和q 4 分别关于z 是单调 递增的，关于是单调递减的 对于常数a l ( i ) 和a 2 ( t ) ，i = 1 ，2 ，k ，对每一点如，i = 1 ，2 ，k ，考虑以 下脉冲边值问题 z ” ) = 0 ，0 t t ，t t 1 ， x ( 0 ) = z ( 1 ) = 0 ，( 3 2 ) x c j ) ( h ) = a 升1 ( f ) ，j = 0 ，1 ( 1 ) 当0 t t ，因为在此区间上满足 iz “( ) = 0 ， i l z ( o ) = 0 ， 因此在此区间上方程的解为x ( t ) = c l t ，其中c 1 为待定系数 ( 2 ) 当t i 1 因此， 伽z w l + l t t + l 伽，z 1 ( 3 1 7 ) 于是在b 中存在两个函数u ，w 使得 u z ) 收敛于u ， 咖) 收敛于叫，且w u 为了说明这一点，注意 铆 ， 枷) ， 乱；7 和 伽；7 ) 在区间t 件1 1 ，i = 0 ，k 是 一致收敛的由单调性和中值定理知道 u ：( o ) ) 收敛，其中t ( 0 ，t a ， ，t 钍：( t ) = u ；( o ) + u ? ( 3 ) 幽 ( 3 1 8 ) j 0 因此“：在 0 ，1 】上一致收敛因为“( - ) ) 收敛对于t ( t l ，t 2 ， ，t u ：( t ) = u ：( t i - ) + 乱：7 ( s ) d s ( 3 1 9 ) j t l 因此，在f t l ，t 2 】上一致收敛归