（概率论与数理统计专业论文）构造混合正交表和近似正交表.pdf

摘要 混合正交表和近似混合正交表在试验设计中有广泛的应用本文将计算机搜索的方 法应用于投影矩阵正交分解构造正交表的方法中，构造了一些新的混合正交表其次，用 h a d a m r d 矩阵和差集矩阵的方法构造出近似正交表，并用d 和玩标准筛选出性质较好 的近似正交表 首先，介绍了本文的研究背景及预备知识 其次，将计算机搜索的方法和投影矩阵正交分解的方法相结合，构造出些混合正交 表本文结合算法用v c 语言写出程序，具体的构造了1 7 6 0 个1 0 8 次正交表的参数，从 中选出3 3 0 个参数不同的正交表，并且最后选出1 0 4 个种子表此方法具有普遍性，不仅 能构造1 0 8 次正交表，而且可以构造其它正交表，如7 2 次，1 4 4 次等另外，本文中给 出了计算正交表矩阵象的简便方法及其初等证明 再次，通过h a d a m a r d 矩阵和差集矩阵构造出混合正交表然后利用这些混合正交表 的结构及替换方法构造出具有较高水平的近似混合正交表并且用一些文献中出现的衡量 设计好坏的标准筛选出性质比较好的近似正交表 关键词；投影矩阵的正交分解，混合正交表和近似混合正交表，计算机搜索，差集矩阵和 h a d a m a r d 矩阵 a b s t r a c t m i x e do r t h o g o n a la r r a y sa n dn e a r l yo r t h o g o n a la r r a y sh a v ee x t e n s i v e l ya p p l i c a t i o ni n e x p e r i m e n td e s i g n i nt h i sp a p e r ，c o m b i n i n gm e t h o do fc o m p u t e rs e a r c hw i t ho r t h o g o n a l d e c o m p o s i t i o no fp r o j e c t i o nm a t r i c s ，w eo b t a i ns o m en e wm i x e do r t h o g o n a ia r r a y s t h e n w ec o n s t r u c ts o m en e wn e a r l yo r t h o g o n a la r r a y sb yu s i n gh a d a m a r dm a t r i xa n dd i f f e r e n c e m a t r i x a tt h ee n d ，w es e l e c ts o m eg o o dn e a r l yo r t h o g o n a ia r r a y sa c c o r d i n gt oda n dd ， c r i t e r i o n s f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h i sp a p e ra n dt h ep r e l i m i n a r i e s s e c o n d l y jb ya p p l i n gc o m p u t e rs e a r c ht ot h em e t h o do fo r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o no f p r o j e c t i o nm a t r i c s ，w ec o n s t r u c ts o m en e wm i x e do r t h o g o n a la r r a y s i nt h i sp a p e r ，w e c o m p i l ev cp r o g r a mt oc o n s t r u c t1 7 6 0o r t h o g o n a la r r a y sw i t h1 0 8r u 珊f r o mw h i c hw e s e l e c t3 3 0o r t h o g o n a la r r a y sw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r s a tl a s tw eo b t a i n1 0 4s e e do r t h o g o n a l a r r a y s t h i sm e t h o dc a nb ew i d e l yu s e d ，i tc a n b eu s e dn o to n l yf o rc o n s t r u c t i n go r t h o g o n a l a r r a yw i t h1 0 8r u b s ，b u ta l s of o rc o n s t r u c t i n go t h e rc l a s so fo r t h o g o n a la r r a y s ，s u c ha s o r t h o g o n a la r r a y sw i t h7 2o r1 4 4r u n s ，a n ds oo n m o r e o v e r ，ak i n ds i m p l em e t h o df o r f i n d i n gm a t r i xi m a g ea n di t se l e m e n t a r yp r o o fa l ep r e s e n t e di nt h i sc h a p t e r a tl a s t ，b ym e a n so fh a d a m a r dm a t r i xa n dd i f f e r e n c em a t r i xw ec o n s t m c tm i x e do r - t h o g o n a la r r a y s t a k i n ga d v a n t a g eo fr e p l a c e m e n tm e t h o d ，s o m en e a r l ym i x e do r t h o g o n a l a r r a y sh a v i n gm o r er u n sw i t hh i g h e rl e v e l sa r ec o n s t r u c t e df r o mt h es t r u c t u r eo fo b t a i n e d m i x e do r t h o g o n a la r r a y s a n du s i n gc r i t e r i o n sa p p e a r i n gi nl i t e r a t u r e ，w es e l e c ts o m e n e a r l yo r t h o g o n a la r r a y sw h i c hh a v eg o o dp r o p e r t y k e yw o r d s ：o r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o no fp r o j e c t i o nm a t r i c s ，m i x e do r t h o g o n a la r r a y s a n dn e a r l yo r t h o g o n a la r r a y s ，h a d a m a r dm a t r i xa n dd i f f e r e n c em a t r i x ，c o m p u t e rs e a r c h i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名 关于论文使用授权的说明 日期 。叼? 67 吩 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名导师签名：逖日期 调。6 。眵 第一章总述 1 本章首先综述了正交表及正交表构造理论的研究现状，并且介绍了本文的研究背景 和主要研究结果 1 1 学科历史及研究现状 在工农业生产与科学试验中，特别是在高科技的发展中，试验是必不可少的试验安 排的好，会事半功倍，否则会事倍功半对试验的设计和分析主要研究对数据的收集和处 理方法，这是统计学的主要研究内容之一，另外，统计学以解决生产和科学试验实际问题 为主要目的，因而试验设计与分析直是统计学最重要的分支之一，也是发展最早影响最 大的分支之一 试验设计的方法很多1 1 卜圈正交表的数据分析及其构造是比较活跃的分支之一，正 交表的数学定义是c r r a o 在1 9 4 7 4 1 一剜年提出的，但它的实用例子是相当古老的在 1 9 5 0 年以后，日本的增山元三郎等开始对正交表的理论进行研究，并在1 9 6 0 年以后，田 口玄一先生在日本电讯公司应用了正交表，并取得了成功 在诸多试验设计的方法中，正交设计是最流行的设计方法之所以流行是因为它能够 用作正交主效应设计混合正交表的魅力在于它有较大的灵活性，允许试验因素具有不 同水平数混合水乎正交表在2 0 世纪6 0 年代初期开始引起较多的关注，近年来，试验 因素具有不同水平的实际问题也促进了对新的混合正交表的研究【6 】一阎混合正交表的构 造方法中，主要是采用扩张性替换方法卿一【协，压缩性替换方法 1 s l f 15 】和差集矩阵方法 1 1 6 1 一f 1 7 1 我国的数学工作者对差集矩阵构造正交表作出了贡献，如f l8 1 一 2 3 l 等 而正交设计是通过正交表来安排试验的因此关于正交表的研究也在不断加强，如关 于高强度正交表的研究、关于一个正交表中因素数的上界的进一步研究，关于近似正交表 的研究关于正交表的均匀性的研究，关于避免多个不可实施因子水平组合的正交表的研 究等等 1 本研究得到国家自然科学基金资助( 1 0 5 7 1 0 4 5 ) 箜二童璺堡 2 正交表不仅在统计上非常重要，随着对正交表研究的不断深入，它还被用于编码学， 密码学，计算机科学等等正交表也是十分优美的，因为它的定义简单而自然，而且我们 知道它的许多的构造方法在过去的几十年中，许多的组合数学家和统计学家曾致力于正 交表的构造，如有限域和拉丁方的方法，也可用哈达马矩阵，差集矩阵，标准混合差集矩 阵来构造正交表w ua n dw a n g 等许多的研究者在正交表的构造方法上做出了贡献，如 w ua n dw a n g 采用g r o u p i n g 的替换方法i l 碉来构造正交表；庞善起，张应山采用分层的 方法构造正交表，从而构造了许多混合正交表利用投影矩阵正交分解的方法来构造正交 表是由张应山，卢一强，庞善起文【8 】提出的另一种有效的方法 在试验设计中，由于费用的限制，我们可能不使用大的正交表，但是其他方面大的正 交表的应用也可能变的非常现实在众多的正交表的构造方法中，大多数集中在对称正交 表的构造上，混合水平正交表的构造却比较少，而强度大于2 的混合正交表的构造方法更 少比如，虽然文【1 1 】- 【1 2 】对混合正交表的理论和应用作出了重要的贡献，然而，文【1 1 1 构造的正交表的所有因素仅具有素数幂水平，文【1 2 l 的方法构造的大多数正交表只有一 个因素具有非素数水平，这些情况在某中程度上限制了正交表的应用 文【8 】采用投影矩阵的正交分解方法来构造正交表十分有效，特别是在构造混合正交 表上有不可替代的作用h e d a y a t ，s l o a n e 和s t u f k e n 在文【1 7 】中这样评论到t 他们的方 法基于把一个正交投影矩阵分解为秩较小的正交投影矩阵的和，使得从小的正交表构造大 的正交表较为方便下面介绍此方法的研究现状及一些成果 当使用投影矩阵分解这中方法构造正交表时，在一个投影矩阵的分解中，经常会遇到 一类投影矩阵，如勺o 固和o r p o 勺当p 与q 互素时0 与口中至少有一个不是 素数) ，在文【2 9 】中提供了一种方法使这类矩阵和已知的正交表相关，并有效的构造了许 多正交表，且构造的正交表具有较高的饱和率 当p = q 且p 是一个素数时或者素数幂时，昂。耳o 和耳。勺。勺相关正交 表的构造在文f 2 9 】中证明了如果p 是一个索数或素数幂，且d ( m ，m ；p ) 是一个差集 矩阵，那么p ) od ( m ，m ；p ) 和d ( m ，m ；p ) o0 ) 都是正交表，且他们的矩阵像分别满足 m ( ( p ) oo ( m ，r e ；p ) ) o k 和m ( d ( m ，m ；p ) o ( p ) ) o 勺于是解决了与k o 勺 和o i n 相关的一类正交表 第一章总述 3 当p 是个素数时或者素数幂时，如( p 升1 ) 是个正交表，d ( m ，m ；p ) 是个差集 矩阵，文【2 9 】证明d ( m ，m ；p ) o l f ( p 叶1 ) 是个正交表，且m ( d ( m ，m ；p ) o 如( 矿1 ) ) k0 9 并进一步证明存在正交表如( p p - 1 ) 使得d ( m ，m ；p ) o 如( 矿。) 也是个正交 表，且m ( d ( m ，m ；p ) 毋如- 1 ) ) ko 勺or p 由上面的定理可以构造许多新的正交 表，特别是混合正交表，其中许多是新表关于投影矩阵的k r o n e k e r 和及其相关正交表 的构造请参考f 2 叫 1 2 本文的研究背景及主要结果 随着计算机硬件的发展，计算机的运算速度有了很大的提高以前用计算机无法完成 的想法现在变成了现实一些构造正交表的算法也相继问世，如【2 4 卜【27 1 通过这些算法可 以得到许多新的正交表本文将计算机搜索的方法应用于投影矩阵正交分解构造正交表的 方法中，构造了一些新的混合正交表 正交设计有特殊的结构，所以对固定的试验次数，正交设计的列数是有上界的例如 正交设计l 1 2 ( 3 2 4 ) ，对于二水平的列是不可能再增加了然而在实际应用中除了一个三 水乎列还需要有多于四个二水平列时，此时或者增加试验次数，或者只有牺牲正交性了 然而工程人员往往对于成倍增加的试验次数望而却步，那么牺牲一点正交性，并不增加试 验次数但使用效果又不太差的近似正交设计不失是一种好的设计方法，它是界于正交设计 和均匀设计之间的一种设计方法，也力求试验点的分散性和试验数据分析的可比性并且 它对试验次数的要求又没有正交设计严格，相反使用效果又不是太差本文用h a d a m r d 矩阵和差集矩阵的方法构造出一些近似正交表，并用d 和d 。标准筛选出性质较好的近 似正交表 本文主要有在两方面做出了自己的研究 一方面，将计算机搜索的方法和投影矩阵正交分解的方法相结合，构造出一些混合正 交表本文结合算法用v c 语言写出程序，具体的构造了1 7 6 0 个1 0 8 次正交表的参数， 从中选出3 3 0 个参数不同的正交表，并且最后选出1 0 4 个种子表此方法具有普遍性，不 仅能构造1 0 8 次正交表，而且可以构造其它正交表，如7 2 次，1 4 4 次等另外，本文中 给出了计算正交表矩阵象的简便方法及其初等证明 第一章总述 4 另一方面，通过h a d a m a x d 矩阵和差集矩阵构造出混合正交表然后利用这些混合正 交表的结构及替换方法构造出具有较高水平的近似混合正交表并且用一些文献中出现的 衡量设计好坏的标准筛选出性质比较好的近似正交表 第二章投影矩阵正交分解构造正交表 本章介绍了有关正交表的一些基本定义及定理，和一些常用的性质 2 1 基本概念 定义2 1 1 2 9 1 个第j 列的元素是0 ，1 ，2 ，彩一1 的n 8 矩阵a = ( 口1 ，) ， 称为一个正交表或者强度2 的正交表，如果满足下列两个条件t ( i ) 每一列中每个元素出现的次数相同 ( i i ) 在任意两列o ，a i ( 1 ，j s ) 中，每数对( 0 ，o ) ，( 0 ，g i 一1 ) ，( 1 ：o ) ，( 1 ，劬一 1 ) ，像一1 ，劣一1 ) 出现的次数相同 我们用l 。( 口l 舶) 来表示个正交表这里n 表示试验次数，s 称为因素数，口j 称 为第j 个因素的水平数0 = 1 ，2 ，8 ) 如果慨一1 ) = 佗一1 ，那么称l 。( g l 舶) 是个饱和的正交表 t = l ”i 如果q l ，- ，“中有一些相同，用l 。( g i l 咖) 表示，其中岛= s 如果m 2 ， 称厶( 口i 1 口扣) 为混合水平的正交表或称为非对称正交表如果m = 1 ，即所有的列具有 相同的水平，称l 。( 瑶1 口) 为个固定水平正交表或称对称正交表，此时记为厶( 矿) 只满足上述条件( i ) 是矩阵叫做强度1 的正交表 如果a 的任何礼d 的子矩阵包含所有可能的1 d 行向量，且这些行向量出现的次 数相同，则称强度为d 的正交表 强度d 3 的正交表统称为高强度正交表 表2 2 一个对称正交表l 4 ( 2 3 ) 5 狮卜1 j 表2 3 一个非对称正交表l s ( 4 2 4 ) 厶( 4 2 4 ) = 表2 4 一个强度3 的正交表l 8 ( 2 4 ) l 8 ( 2 4 ) = 0 0o0 0 o1111 l0lo1 1 1010 2 0 o11 2llo0 3 o1o0 31o11 0 0 o o o0l1 o1o1 01 11 1001 101o 11o 0 1111 蔓三童堡丝堑堕垂銮坌竖塑蕉垩銮塞 7 定义2 5 2 9 】考虑元素为0 ，1 ，p 一1 的个p 阶可加群g ( 与个有限域g f ( p ) 有 关) 元素属于g 的一个竹k 矩阵称为个p 水平差集矩阵用d ( n ，k ；p ) 表示。如果在 这个矩阵任何两列的有序差中，g 的每个元素出现的次数相同 定义2 6 如果a = ( ) 。m ，b = ( ) l t ，则矩阵a 和b 的k r o n e c k e r 积a o b 定 义为a o b = ( b ) 。t ，i k r o n e c k e r 积具有如下性质 1 ( a a ) o ( b b ) = a b ( a o b ) 2 ( a + b ) o e = a o g + b o c 3 o b ) o g = a o ( b o g ) 4 ( a 固b ) t = a t o b t 5 ( 月o b ) ( e o d ) = ( a c ) o ( b d ) 6 o 曰) 一1 = a 一1 0 b 一1 7 k o 厶= 。其中a - 1 表示a 的逆，。表示a 的转置 定义2 7 矩阵a = ( ) 。和矩阵b = ( ) 的h a d a m a r d 积a ob 定义为 a o b = ( o 巧b i j ) ”。m 定义2 8 矩阵a 满足a 2 = a 称为幂等的；矩阵4 满足a t = a 称为对称的；若矩 阵a 既是幂等的又是对称的。则称a 是投影矩阵 定义2 9 1 2 9 假定我们按照表a = ( 叼) 。= ( n 1 ，) 来安排一项试验，而l ，= ( m ，k ，k ) t 是试验数据向量在方差分析中，第7 个因素效应的平方和群定义为 p ，一1n 譬2 丢南磊咿一：( 若掰 ( ) 其中岛= s ：= l ，i 岛l 表示岛的元素个数由上式仁1 ) 得研是y 的二次型，即 存在唯一的对称阵a 使得岛= y 个山y 这个矩阵a q 做a 的第j 列吩的矩阵象，用 m 如) = 4 表示a 的个子表的矩阵象定义为它的各列矩阵象的和特别的，用m ( a ) 表示a 的矩阵象 若1 r 是由l 组成的r 1 向量，我们定义m ( 1 ，) = 只其中只= 1 ，1 ，1 = 工，工是 第二章投影矩阵正交分解构造正交表 元素全为1 的r 阶矩阵让( r ) = ( 0 ，r 一1 ) t ，是r 阶单位阵，并且记耳= 一b ， 则由投影矩阵定义2 8 易知；耳是投影矩阵，且m ( ( r ) ) = 耳 定义2 1 0 如果矩阵s 在它的每行和每一列中只有一个元素为1 ，而其余的元素为 0 ，则称s 为置换矩阵 令b ( n ) = ( 0 ，0 ，1 ，0 ，o ) r 是第 个元素为1 ，其余的元素为0 的列向量下面两 个置换矩阵r ( 循环置换矩阵) 和k 扫，g ) ( 换位置换矩阵) 是非常有用 8 r = e l ( r ) 巧r ) + + 讳一t ( r ) 毋( r ) + e r ( r ) e ( r ) p口 g c p ，q ) = 巳( p ) 巧( 口) 。勺( g ) ( p ) 1 = 1j = l 且上述两个置换矩阵有如下性质 r - ( r ) = 1 ，+ ( r ) ，r o o d j p p ，g ) = 耳国，p ) 扫，q ) o 口0 0 ) ) = ( p ) 0 1 4 k 0 ，口) ( ( 口) 0 0 ) ) = ( p ) o ( g ) ，q ) ( p q o ) k t p ，q ) = p q k ( p ，q ) ( o ) 胪0 ，q ) = 印。下叮 般地，设z ，y 分别为p ，q 维向量， ，b 分别为p p ，口q 矩阵那么下列等式成 立 k 0 ，q ) 白o z ) = 岔o y g ( p ，口) ( b o a ) k r 0 ，曲= a p b 定理2 1 1 2 9 1 设a 是一强度为1 的正交表，即a = ( 0 1 ，) = s 1 ( 1 ，。o 扫1 ) ) ，s ( 1 ，。o ( p m ) ) 】，其中r i p i = n ，最o = 1 ，2 ，m ) 是置换矩阵，下列条件是等价的 ( 1 ) a 是一强度为2 的正交表 ( 2 ) m ( 啦) 是一投影矩阵 ( 3 ) m ( 啦) m ( ) = o ( i j ) 蔓三塞堡壁堑堕垂窒坌堡塑丝堡銮壅 9 ( 4 ) 投影阵能被正交的分解为t r n = r e ( a , ) + + 仇( 0 ，1 ) + ，其中矩阵的秩 r k ( a ) = 馆一1 一竺l ( 以一1 ) 定理2 1 21 2 9 假定l 和日是正交表，且m ( l ) m ( 日) = 0 ，则k = ( l 日) 也是正交 表 定理2 1 3 1 2 9 假定( 厶日) 和k 都是竹次正交表，且m ( k ) r e ( l ) ，则( ，日) 也是 正交表其中m ( k ) m ( l ) 指的是差矩阵m ( 巧) 一m ( l ) 是非负定的 定理2 1 4 2 9 对任意的置换矩阵s 以及正交表l 都有 m ( s ( l 0 1 ，) = s ( m ( l ) 固只) s ， m ( s ( z ，o l ) = s ( 只o m ( l ) ) s 。 本节介绍了基本定义和定理，在下一节里将证明个关于求解矩阵象的定理 2 2矩阵像的简便计算方法及其初等证明 本文中，投影矩阵正交分解构造正交表的方法必须用到矩阵象上节定义2 9 给出了 求解矩阵象的方法，但是由例1 可以看出用定义求出正交表的矩阵象并不容易 例1 用定义2 9 求解l 4 ( 2 3 ) 矩阵象，其中 叫舡h 恕小f；| 由定义2 9 , - - j - 得n l ，眈，各列的矩阵象分别为 s = ；( y l + y 2 ) 2 + = 护( ：三) = 护( 屯。岛) y y ? 只y = y 个0p 2 ) y 枞嘶肛目二 三一三 三 i 444 舭嘲) ：| _ l 一i 1 l 一三三一三 444 y 3 ) 一 y + 护 y l ，t 只y 舻 蹦 时 甲 + y 耽、一、 + o 0 渺b o 一，一， 砧 炉 + 卜 y 尸、 蚍o 1 0 l 卜 妒o o o o + ，0 1 0 l 抛0 o 0 o ，ji-ili。iii_iil、 y 、ll 。量。三。 。三。三。 +、l一4 l 一4 l 一4 l 一4 抛0 0 0 0 一 一 致1 i 0 1 1 0 1 4 1 4 1 4 1 4 + 0 o 0 0 一 一 岿。o，o：。一i。：。圳卜e卜h 矿 叮 = = = 蹬 = ；y t ( ； y + ；二( ； y y t 只y ，1001 、 印0 1 1 引0 ii 1 0 0 1 三一三一三 i 444 ：旷卜 i 一； i 三一三一三 、444 y p 只y ：小 枞嘲) = ( = | 捧沙 第二章投影矩阵正交分解构造垂塞麦 那么 m ( q ) = p 厶# - - 1 丽1 ( 。e t , je t i - - - - o( 礼) ) ( t e 邑t , 露( n ) ) 一r m ( q ) = 厶丽( ( 礼) ) ( ( n ) ) 一r 。t - ， 证明令y = ( l ，蜘) t 是试验数据向量，由矩阵象的定义知 其中= 8 1 。酊2 ，1 i 表示中元素的个数= 。虿，舶，t = ( l + + 铷) 碍= 矿( 南( e t ( n ) ) ( e t ( n ) ) ) y y z p n y i = 0 1 1 u lt e 正，t e t , # p ，一1 = y t ( 丽i ( e t ( 哟) 【矗( n ) ) 一p n ) y i=0utet,#tet,# 所以 一l m ( q ) = 1 薹南( 。邑e t ( n ) ) ( 蚴ei f ( n ) ) 一只r 命题2 1 7 个第j 列的元素是o ，i ，2 ，办一1 的t i , m 矩阵a = ( m ，) = ( ) 。第j 列的矩阵象是m ( 吩) ，s 是一个置换矩阵则矩阵s a 的第j 列2 ( n 0 ，南) t 的矩阵象是s m ( 吗) 妒 证明对于给定的a ( i = o ，1 ，p j 一1 ) ，令= t i = i ，表示中水乎i 所在 的位置巧= t ，l o 如= ) ，显然，i i = i 巧| 因为中的元素表示a j 中水平i 在 设计a 中行的位置，因为毛中的元素表示弓中水平 在设计s a 中行的位置，所以 s e t ( n ) = e ，( n ) ，t ，t 巧因此 m ( 劫= 。薹南磊8 删磊删t 卜r = 。戛南( 。萎；s e t ( n ) ) ( 。邑8 ( n ) ) 一r = s ( 。萎南( 。邑岛( 佗) ) ( ；蠹8 ( 礼) ) ) 矿一r = s ( 。茎z 。南( 。羞，e t ( n ) ) ( 。邑e t ( 动) 一p n ) 舻 1 2 严i 一 旦 一卸 = $ = s m ( n ，) 矿 引理2 1 8 下列结论成立 ( 1 ) m ( ( s ) ) = 几( s 2 ，5 z ) ( 2 ) m ( ( s ) 0 1 ，) = r a o b ( 3 ) m ( 1 ，o ( s ) ) = 只o l 证明( 1 ) a = ( a l ，a 2 ，) ，q = ( s ) ，则由定义1 得该列效应的平方和为 霹= y + 谚+ + 谚一；( 可l + y 2 + + 讥) 2 = y t 厶y y t 只y = y t ( l 一只) y = y t 矗y 所以。m ( ( s ) ) = ( 2 ) 同理，令b j = ( s ) 0 1 ，这时，则由定义1 得该列效应的平方和为 譬= 知+ + 坍) 2 + + 知州h - + 斗玑，) 2 一去( ”- + 珈+ + 孙) 2 = y r 只0 00 0 0 ；j 0 0 + v r 0 o o ： 0 0 0 0 ： 0 y + y r 00o 0 0 00 o 0 00 o 0 00 只 000 0 0 只0 0 o o0 0 0 0o 0 y v p j y + 第二章投影矩阵正交分解构造正交表 = y t ( 厶。只) y y r 只，y = y t ( l o 只一p o o 只) y = y t ( 乃o p r ) y 所以m ( b j ) = 凡o b ( 3 ) 因为( 1 ，o ( s ) ) = k ( r ，s ) ( ( s ) o i r ) ，所以 m ( 1 ，o ( s ) ) = m ( k ( r ，s ) ( ( s ) o1 ，) ) = k ( r ，s ) ho 只) j p ( r s ) = p ro 凡 由命题2 1 6 ，命题2 1 7 和引理2 1 8 ，可得出a = ( n 1 ，a m ) 的第j 列的矩阵象为 m ( 岛( 1 qo 渤) ) ) = 岛( 乃固锄) 醪 同样对于例1 ，有了定理2 ，1 5 ，我们求解厶( 2 3 ) 的矩阵象 l 4 ( 2 3 ) = ( q i ( 1 2o ( 2 ) ) ，q 2 ( 1 2o ( 2 ) ) ，q 3 ( 1 2o ( 2 ) ) ，其中q l = k ( 2 ，2 ) ，q 2 = 1 4 q 3 = 0 0 10 0 0 01 则，m ( q 1 ( 1 2o ( 2 ) ) ) = k ( 2 ，2 ) ( 岛。忍) j p ( 2 ，2 ) = 7 2op 2 m ( q 2 ( 1 2 固( 2 ) ) ) = p 2 0 t 2 m ( q 3 ( 1 2o ( 2 ) ) ) = q 3 ( p 2o 见) q 手 我们再看下面的例子 例2 用定义2 9 和定理2 1 5 分别求l 。( 3 4 ) 各列的矩阵象，其中 1 4 工9 ( 3 4 ) = ( a l ，o , 2 ，0 3 ，a 4 ) = o 0 0 0 011l 0 2 2 2 1012 l12 o 12 01 2 o 21 2102 2 21o 用定理2 1 5 求解，显然l o ( 3 4 ) = f ( 3 ) o l s ，( 1 3 0 ( 3 ) ) ，岛( ( 3 ) 0 1 3 ) ：岛( ( 3 ) 0 1 3 ) 】，其 中，s 1 = 击叼( 厶；n 3 ，增) ；岛= d i a g ( 1 3 ，增3 ) 所以，m ( m ) = , r 3 0 尸3 ，m ( 口2 ) = p 3 0 乃，m ( a 3 ) = s x h o 尸3 ) 田，r e ( a 4 ) = 岛m o b ) 田 下面用定义2 9 仅求解a 4 列的矩阵象来说明用定理2 1 5 求解正交表矩阵象的简便 性 瑶= ( l + y 5 + 蜘) 2 + ( 剪2 + y o + 斩) + ( y 3 + y 4 + 珈) 2 一 ( 1 + + 珈) 2 = 妒 l0001o 0 o1 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 o 0 o o 0 o 0 0 0 0 0 0 o 0 o o 0 10 0 010 0 ol 0 0 0 o 0 o o 0 0 0 0 o o 0 o o o 0 0 0 o 0 0 0 o 0 o 10 o 010 o 01 y + 妒 o 0 0 0 0 0 0 o 0 01o 0 o11o o o o 0 o o o o o o o 0 0 o o 0 0 0 o 0 0 0 0 o 0 0 o o 010 001 100 010 0 0110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 y 毛 = ；y t 0 o o o o o o 0 0 0 0 o 0 0 o 0 00 0ol10 o 010 0 o110 0 010 0 00 o o 0 0 o o 00o0 o o0 oo o o o o o o0o o o ollo o olo 0 o o o 0 o o 0 0 10 o olo o 01 o1o 0 o110 0 0 ol100 01o 0 0110 0 01o 10 0 010 0 01 o10 0 01 100 o10 o 01 1o o o 0ll0 0 0l0 10 0 0100 01 y y 7 日y y y t 局y = y t 所以，r e ( a 4 ) = 由例1 ，例2 不难看出求解正交表矩阵象时用定义2 9 复杂，用定理2 1 5 简单所 以我们计算正交表矩阵象时常常用定理2 1 5 ，这使得投影矩阵正交分解构造正交表的方法 变得更容易 2 3计算机搜索构造正交表的方法 作为数学工作者，我们只重视正交表的构造方法，而忽视了用这些方法所构造的正交 第二章投影矩阵正交分解构造正交表 1 8 表具体参数的列举，甚至具体表的列举例如， 8 】， 3 2 】构造了个具有1 1 个6 水平列的 1 0 8 次正交表，事实上，这种方法同时可以构造1 7 6 0 个正交表但佟碣并未具体给出，这 对应用者使用这些正交表是非常困难的因为应用人员往往对于正交表的构造方法并不熟 悉，却更关心具体正交表的列举更值得注意的是1 0 8 次正交表是一个比较特殊的表，因 为和次数比它小的正交表相比包含有较多的非素数幂水平列一6 水平列 另一方面，正交表具体参数的列举使得研究者知道哪些表已构造出，哪些表仍然是未 知的可以为正交表的进一步构造奠定基础 混合正交表的构造方法中，常用的是扩张性替换方法( t h ee x p a n s i v er e p l a c e m e n tm e t h o d ) 也是较为容易的方法之一，例如若正交表l 1 2 ( 2 2 6 1 ) 中的娟水平列用一个小的正交表 l e ( 2 1 3 1 ) 替换，可得正交表l 1 2 ( 2 3 3 1 ) ，这种方法就是用了扩张性替换方法所谓种子表就 是最满意的 3 5 1 且不能通过扩张性替换方法而得到的正交表近来，一些学者把精力转向 正交表的种子表构造上l “l ，也就是把正交表的构造转移到正交表的种子表构造上 随着计算机硬件的发展和算法的不断完善，计算机的运算速度有了很大的提高，以前 用计算机无法完成的想法现在变成了现实一些构造正交表的算法也相继问世，如1 2 4 一1 2 7 】 通过这些算法可以得到许多新的正交表基于上述原因，我们借助于计算机程序，附录a ， 将具体正交表的参数列举出来，主要给出了1 0 4 个新的1 0 8 次具体正交表的参数，并且这 些表都是种子表这些表在大的正交表构造方面起着重要的作用本文符号请参考l 础】， 倒】给出了正交表工1 2 ( 2 “) 一个特殊结构如下。 l i 2 ( 2 “) = ( m , b i ，m 2 8 1 ，m 3 b i ，m 4 ( b 3 ，6 4 ) ) 其中m 1 ，m 2 ，m 3 ：m 4 是置换矩阵，b 1 = ( b s ，k ，6 5 ) ，b = 1 6o ( 2 ) ，k ；1 3 0 ( ( 2 ) o ( 2 ) ) ， b s = f 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 ) t ， 这种结构使得投影矩阵n 2 有如下个正交分解 3 n 2 = ( m j m ( b 1 ) 孵) + 尬( r o 亿+ 3 0 乃。r 2 ) 孵 j = l 取置换矩阵s 1 = 9 ，岛= k ( 3 ，3 ) ，岛= k 0 ，3 ) d i a g 慨，3 ，鹏) k ( 3 ，3 ) t ，岛= k ( 3 ，3 ) d i a g ( x 3 ， 瑶，n 3 ) k c 3 ，3 ) t 则投影矩阵西可以正交分解成 因此投影矩阵n 可以正交分解成 r l o s = 1 , 2 0 1 9 + t , 2 0 马 3 = ( 坞。岛) ( ，1 2 。r a 。t 3 + m ( b a ) 。岛) ( 坞。毋) t j = l + ( 尬o & ) ( ，1 2 0 乃o b + ( 尸6 0 乃+ 恳o r 2 0 1 2 ) o 马) ( 尬o & ) t 引理2 1 5 存在正交表l 3 6 ( 6 3 ) ，l ( 3 1 2 ”) ，l 弱( 3 2 2 ”) ，l 3 6 ( 3 3 2 5 ) ，l 3 6 ( 6 1 3 1 2 ”) ，岛6 ( 6 1 3 2 2 3 ) l 硒( 6 2 3 1 2 1 ) ，( 6 1 3 8 2 2 ) ，l 3 6 ( 6 2 3 4 2 1 ) ，l 3 6 ( 3 ”2 3 ) ，它们的矩阵象小于等于 r e ( l 3 6 ( 6 3 ) ) s 2 0 q + r e ( b , ) o p 3 存在正交表l 3 6 ( 6 2 3 4 ) ，l u ( 3 1 2 1 8 ) ，l m 3 2 2 “) ，l 私( 3 3 2 4 ) ，工( 6 1 3 1 2 9 ) ，l a 6 ( 6 1 3 2 2 2 ) ，l a 6 ( 6 1 3 8 2 1 ) 工3 6 ( 3 ”2 2 ) ，它们的矩阵象小于等于 2 0 矗+ ( p 6 0 死+ p a 0 见07 2 ) op 3 2 4具有较多6 水平1 0 8 次正交表的构造 由上述引理可以获得一个混合正交表l , 0 8 ( 6 n 3 4 ) 如下 l 1 0 8 ( 6 1 1 3 4 ) = 【( m o 岛) ( l 弱( 6 3 ) 0 1 3 ) ，( 慨。岛) ( k ( 6 3 ) 0 1 3 ) ，( 尬o & ) ( l ( 6 2 3 4 ) 0 1 3 ) 分别由引理的两类正交表中各取个表替换正交表l 1 ( 6 1 1 3 4 ) 中的l 3 d 6 3 ) 和l m 6 2 3 4 ) 我们可以构造1 7 6 0 个1 0 8 次混合正交表为方便起见，用( z ，y ，z ) 来表示正交表l l o d 2 。3 p 铲) ， 下面的向量分别代表相应的正交表借助计算机程序，附录a ，我们首先列出1 7 6 0 个1 0 8 次混合正交表的参数然后去掉那些结构不同但参数完全相同的正交表，则从1 7 6 0 个中 黟 b0n s 。埘 = 码 可以得到如下3 3 0 个正交表： ( 7 5 ，4 ，0 ) ( 5 7 ，4 ，2 ) ( 5 0 ，5 ，2 ) ( 4 5 ，7 ，1 ) ( 4 2 ，5 ，3 ) ( 4 0 ，4 ，4 ) ( 3 7 ，1 4 ，1 ) ( 3 5 ，6 ，3 ) ( 3 3 ，1 2 ，3 ) ( 3 1 ，1 9 ，0 ) ( 3 0 ，7 ，5 ) ( 2 9 ，3 ，6 ) ( 2 7 ，1 7 ，2 ) ( 2 6 ，6 ，4 ) ( 2 4 ，2 5 ，3 ) ( 2 3 ，2 1 ，4 ) ( 2 2 ，2 9 ，0 ) ( 2 2 ，4 ，6 ) ( 2 1 ，3 ，7 ) ( 2 0 ，6 ，7 ) ( 1 9 ，5 ，8 ) ( 1 8 ，1 0 ，4 ) ( 6 8 ，5 ，0 ) ( 5 6 ，3 ，3 ) ( 4 9 ，1 1 ，2 ) ( 4 4 ，1 3 ，1 ) ( 4 1 ，1 8 ：2 ) ( 3 9 ，1 0 ，4 ) ( 3 7 ，2 ，6 ) ( 3 4 ，2 6 ，1 ) ( 3 3 ，1 0 ，0 ) ( 3 1 ，1 4 ，4 ) ( 3 0 ，4 ，5 ) ( 2 8 ，2 4 ，1 ) ( 2 7 ，1 0 ，3 ) ( 2 5 ，2 9 ：2 ) ( 2 4 ，2 2 ，3 ) ( 2 3 ，1 8 ，4 ) ( 2 2 ，1 9 ，1 ) ( 2 1 ，2 5 ，1 ) ( 2 0 ，3 8 ，0 ) ( 2 0 ，3 ，7 ) ( 1 9 ，2 ，8 ) ( 1 8 ，7 ，4 ) ( 6 6 ，4 ，1 ) ( 5 4 ，7 ，0 ) ( 4 9 ，4 ，3 ) ( 4 3 ，2 6 ，0 ) ( 4 1 ，1 5 ，2 ) ( 3 9 ，7 ，4 ) ( 3 6 ，2 7 ，0 ) ( 3 4 ，1 9 ，2 ) ( 3 3 ，5 ，4 ) ( 3 1 ，1 l ，4 ) ( 3 0 ，3 ，6 ) ( 2 8 ，1 4 ，2 ) ( 2 7 ，7 ，3 ) ( 2 5 ，2 6 ，2 ) ( 2 4 ，2 0 ，0 ) ( 2 3 ，1 6 ，1 ) ( 2 2 ，1 7 ，5 ) ( 2 1 ；1 5 ，2 ) ( 2 0 ：2 8 ，1 ) ( 1 9 ，3 4 ，1 ) ( 1 8 ：3 7 ，1 ) ( 1 8 ，1 ，9 ) ( 6 1 ，6 ，0 ) ( 5 9 ，1 5 ，0 ) ( 5 9 ，5 ，1 ) ( 5 8 ，1