（概率论与数理统计专业论文）完备rn空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果.pdf

查查璺些室塑士墨丝壁查墨垫：些墨塑墨全叁查竺墨 i i i 摘要 本文在随机度量理论的新版本下，改进并重新证明了如下结论：设( 岛，刀1 ) 和( 岛，爿2 ) 均为数域k 上以( n ，a ，p ) 为基的随机赋范空间，当岛是完备时， ( b ( 岛，岛) ，z ) 亦为完备的，其中( b ( ，岛) ，z ) 为所有定义在s l 上取值于岛 中的几乎处处( 简写为a 8 ) 有界线性算子所成的随机赋范空间并在此基础上 证明了当t 为完备随机赋范空间s 上a s 有界线性算子时，如果p ( 仙n ： x t ) 1 ) ) = 0 ，则算子j t 有a s 有界逆算子此外还引入了在完备随机 赋范模中几乎处处有界线陛算子的谱的概念，并指出关于这种谱研究中的本质困 难 为了便于读者了解随机度量理论的发展历史，本文首先介绍了随机度量理论 的产生和发展过程及近年来所取得的一系列重要成果，尤其是中国学者在此领域 所做的工作接着对本文所要用到的一系列基本概念和定理作了简单介绍最后 是本文的主要结果及其证明 关键词：完备随机赋范模；几乎处处有界线性算子；谱点；正则值 完备r n - 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 i v a b s t r a c t u n d e ran e wv e r s i o no fr a n d o mm e t r i ct h e o r y , t h i sp a p e ri m p r o v e da n d p r o v e dt h ec o n c l u s i o nt h a ti f ( 岛，爿1 ) a n d ( 岛，爿2 ) a r et w o r ns p a c e so v e rt h e s c a l a rf i e l dkw i t hb a s e ( q ，a ，# ) , t h e n ( b ( 韪，岛) ，z ) i sc o m p l e t ew h e n e v e r ( 岛，爿2 ) i sc o m p l e t e ，w h e r eb ( s 1 ，岛) i st h el i n e a rs p a c 七o fa l l a l m o s ts u r e l y ( b r i e 的，a s ) b o u n d e dh n e a ro p e r a t o r s6 m 两t o ，a n d ( 口( s 1 ，岛) i 爿) i st h e r ns p a c ef o r m e db yb ( 毋，岛) a n db ym a k i n gf u l l1 l o ft h ec o m p l e t e n e s s 0 f ( b ( s l ，) ，z ) w ep r o v e dt h a tw h e nti s 雒a s b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r i nc o m p l e t er a n d o mn o r m e ds p a e 簏a n dp ( 埘n ：x t ) l ) = 0 ，t h e o p e r a t o ru t ) h a s 8 2 1a s b o u n d e di n v e r s eo p e r a t o r i na d d i t i o n ，t h es p e c - t r u mo fa s b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r si nc o m p l e t er a n d o mn o n n e dm o d u l e s w a si n t r o d u c e d t h ee s s e n t i a ld i f f i c u l t i e si ns t u d y i n gt h es p e c t r t u nw e r ep o i n t e d o u t w ef i r s ti n t r o d u c e dt h ed e v e l o p m e n to fr a n d o mm e t r i ct h e o r m e s p e c i a l l y s o m ei m p o r t a n tr e s u l t sw h i c hc h i n e s es c h o l a r sh a v eo b t a i n e di nr e c e n ty e a r s ， t h e nw es i m p l yi n t r o d u c e dt h en o t i o nw h i c hw o u l db eu s e di nt h ep a p e r k e yw o r d s ：c o m p l e t er a n d o mn o r m e dm o d u l e s ；a l m o s ts u r e l yb o u n d e dl i n e a r o p e r a t o r s ；s p e c t r u mp o i n t ；r e g u l a rv a l u e 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“ ”) 作者签名：互i 司华 导师签名： 日期：冽f 年箩月；日 日期：年月 日 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：袅筮回牛 缉岁月5 日 完备p t n ：- 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 1 第一章引言 随机度量理论源于概率度量空间( p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s ，简记为p m - 空间) 理论1 9 4 2 年，k m e n g e r 首创概率度量空间，原名为统计度量空间 ( s t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e s ) j 1 ，随后他的定义被杰出的统计学家a w a l d ，概率度 量空间理论领域的著名学者b s c h w e i z e r 与a s k l a r 教授以及前苏联科学院院士 a n s e r s t n e v 所发展，并于1 9 6 4 年形成了p m 一空间的最终定义在1 9 6 2 年 s e r s t n e v 亦提出了概率赋范空间( p r o b a b i l i s t i cn o r m e ds p a c e s ，简记为p 一 空间) 的概念在二十世纪六，七十年代p m 一空间理论获得了蓬勃发展，1 9 8 3 年，s c h w e i z e r 与s m a r 的该领域最有影响的著作 2 】就是个重要标志概率度 量空间的基本出发点是认为两点间的距离是随机的，从而用个分布函数表示 它在个非负实数z 处的值被解释为此两点的距离小于z 的概率，因此p m - 空阌理论具有强烈的应用背景后来，s c h w e i z e r 与s k l a r 等人将p m 一空间的 思想与信息论、聚点分析、统计力学、数理统计及混沌动力系统相结合做了一系 列开创性的工作 2 _ 7 】 从理论上讲，p m 一空间与p 一空间分别是经典泛函分析中度量空间和 赋范空间的推广这种分析学基础的推广必然将引发一系列基本问题的研究除 p m 一空问理论自身发展外，最重要的是在1 9 6 5 年捷克布拉格学派的著名学者 a s p a s e k 院士的工作 8 】：他从随机过程理论的观点出发提出了随机度量的概念， 它可以看作一个随机过程且每一样本是某一集合上的通常度量 9 1 1 9 6 8 年，s t e v - e n s 修改了s p a 6 e k 的途径，提出了所谓的度量生成空间 1 0 1 年后，s h e r w o o d 受s c h w e i z e r 和s k l a r 关于分布生成空间的研究的启发提出了e 一空间与伪度 量生成空间 1 1 】及e 一范空间与半范生成空间 1 2 】的概念，并建立了引人注目 的等距同构定理【1 1 ，1 2 直到s c h w e i z e r 与s k l a r 的著作 2 】，终于形成了比 s p a e e k 关于随机度量空间( r a n d o mm e t r i cs p a c e s ，简记为r m 一空间) 原始 定义更般卧更标准的随机度量空间及随机赋范空间( r a n d o mn o r m e ds p a c e s ， 简记为r j v 一空间) 的最终定义 1 9 7 9 年，游兆永先生在中国首先倡导了p m 一空间理论的研究，他和朱林户 教授关于p m 一空间等距度量化的工作 1 3 ，1 4 1 直到目前仍是我国关于p m 一空 间方面最有代表性的工作之一1 9 8 1 年，林熙教授在她的硕士沦文中利用s h e r 完备r 一空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 2 w o o d 关于p m 一空间上依概率度量压缩映像的深刻不动点原理 15 ，首次研究 了定义在可分b a n a c h 空间上依概率度量压缩的随机算子的随机不动点问题，表 明利用e 一范空间框架可以为| 整机算子的可测性研究提供方便 1 6 】这启发了朱 林户教授【1 7 】利用e 一范空间框架研究王梓坤先生在文献【1 8 】中提出的关于不 可分赋范空间上随机线性泛函的延拓问题，尤为重要的是他本质上证明了实e 一 范空间上的h a h n - b a n a c h 延拓定理并讨论了e 一范空间的随机共轭空间问题 无疑这些工作对后来的研究有极大的启发性但是他f f 】工作的重心仍在p m 一空 间方面，充其量注意到一类性质较好的p m 一空间e 一空间【1 9 】的研究， 这种情况在1 9 8 9 年前后发生了质的变化 关键的步是郭铁信教授1 9 8 9 年的工作f 2 0 1 ，郭铁倍教授首先考虑了取值于 任意度量空间及赋范空闻的随钒元集合可否构成p m 一空间与p 一空间女笋一 系列问题如果答案是肯定的，那么就可以利用p m 一空间理论全面地研究随机 泛函分析而解决这些问题的麻烦在于所论的目标空间不可分时所带来的可测性 方面的困难，郭铁信教授完全解决了这些问题，他利用实值随机变量集合的本质 上确界原理 2 1 1 巧妙地构造随机度量( 随机范数) 使取值于任一度量空间( 相应 地，任赋范空间) 的随机元构成随机度量空间( 相应地，嵌入到随机赋范空间) ， 这种构造为可测性提供了方便 2 0 】，同时也保留了目标空间的完备性 2 2 ，2 3 】特 别是当所论的目标空间是可分的或所论的随机元是随机变量时，这种构造退回到 e 一空间中相应的构造一般情况，e 一空间的框架不再适合这种构造将随机 度量理论与随机泛函分析内在地融合起来，使随机泛函分析有了个新的发展途 径一空间随机化途径【2 2 ，2 4 】 郭铁信教授还发现：e 一范空间的随机共轭空间不再是e 一范空间，而是 随机赋范空间，也注意到朱林户教授 17 】中的技巧对实随机赋范空间亦有效，在 澄清随机线性泛函的“线性性厨本质的基础上在文献f 2 0 中非平凡地证明了复 随机赋范空间上随机线性泛函的延拓定理，从而得到了关于随机线性泛函扩张的 个完备的h a h n - b a n a c h 延拓定理，并在随机赋范空间的框架下提出了随机赋 范空间的合理定义文献2 0 突出了r m 一空间及r n 一空间的基本重要性， 它是我国最早有关随机度量理论自身研究的重要文献，也为随机共轭空间的进一 步发展作了基本的准备工作 文献f 2 0 引发了一系列关于r 一空间与随机内积空间( r a n d o mi n n e r 完备p , a n r - 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 3 p r o d u c ts p a c e s ，简记为r i p - 空间) 及其上的随机共轭空间的工作【2 5 3 6 l ， 其中引人注目的是文献 2 7 ，2 9 ，3 4 1 ，它们以不同的形式提出并研究了强r 一空 间及强r p - 空闻，并讨论了它们的随机共轭空间的性质尤其是文献 2 6 ，3 5 1 利用强可测函数空间上的点式可近的思路解决了经典l e b e s g u e - b o c h n e r 函数空 间中的口一逼近问题这些工作为随机赋范模与随机内积模等概念的提出积累 了宝贵的素材 如果将随机度量理论作为一个独立的整体深入发展的话，无疑建立它本身的 深刻理论与运用它的思想解央相关领域中的困难闻题是至关重要的课题这是游 兆永等人在1 9 9 1 年左右的共同愿望，随后，郭铁信教授及其合作者的一系列论 文在实现了t 述愿望的同时还发现了若干过去未曾预料到的新方向在文献【3 7 】 中，郭铁信教授重新定义随机赋范空间，在此基础上引进随机赋范模( r a n d o m n o r m e dm o d u l e s ，简记为r 一模) 及随机内积模( r a n d o mi n n e rp r o d u c t m o d u l e s ，简记为r i p - 模) 等概念，它们克服了强兄v 一空间及强r i p - 空间 的局限陛，为随机共轭空间的深入发展铺平了道路一如一类拓扑模及其模同态 的发展 2 3 ，3 6 ，3 8 】，进步证明了r e i s z - 表示定理 3 9 】特别是郭铁信教授将随 机共轭空间的表示与b a z l a c h 空间值鞅、向量测度等技巧结合，发现了一类重要 的随机赋范模的随机共轭空间表示的强弱与b a n a c h 空间的几何结构深刻相关， 不但利用b a n a c h 空间几何技巧完成了随机共轭空间的表示理论，而且将这些表 示用于取值于共轭b a n a c h 空间的弱星可测函数的弱星等价性研究，获得了相当 深刻的弱星等价性定理4 0 文献 2 6 ，3 5 】建立了完备随机赋范模中依随机范数的点式最佳逼近性质与相 关的护一空间中依口一范数的通常最佳逼近性质的等价关系，这不仅解决了 b a n a c h 空间的逼近性j 贡的护一稳定性问题，而且利用b a n a c h 空间的理论解决 了许多随机逼近中的存在性问题 在文献【4 1 】中，郭铁信教授从随机赋范模与类抽象的驴一空间的联系入手 建立了完备随机赋范模的随机共轭空间与相关的抽象b a n a c h 空间的经典共轭空 间理论之间的漂亮对应关系( 这种对应关系已成为个不可缺少的桥梁) ，这不仅 给出了完备随机赋范模为随机自反的外部特征，也进步启发了郭铁信教授在文 献 4 2 】中利用随机共轭空间的表示方法统一了迄今为止六十多年来关于l e b e s g - u e - b o c h n e r 函数空间对偶表示的所有精彩结果 完备r - 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 4 在文献 4 3 j 中，郭铁信教授结合文献 2 6 ，3 5 ，3 8 ，4 1 l 中的思想方法已顺利遗建 立了完备随帆赋范模中的j a m e s 定理等随机自反的深刻内在特征 在文献】中，郭铁信教授提出了随机半范空间( r a n d o ms e m i - n o r m e ds p a - c e $ ，简记为：r s 一空间) 及随机半范模( r a n d o ms e m i - n o r m e dm o d u l e s ，简 记为r s n 一模) 的定义，对r s n - 模上的连续模同态进行了刻茴，并证明了 r s 一模上的h a h n - b a n a c h 延拓定理 需要指出的是t 在沿着泛函分析的思路尤其是空间理论的方法发展随机度量 理论的过程中日益形成了随机度量理论的个新版本，文献【3 7 】是个重要标 拳这一版本使过去关于随机共轭空间的工作获得了个合理解释，也为随机共 轭空间的进步发展提供了个普适的框架关于这一新版本及匕述结论可参看 郭铁信教授的论文 4 4 1 或综述性长文【4 3 ，4 5 1 综匕所述，随机度量理论在中国已被发展成为个独立、系统且统一的整体， 它不仅形成了个新版本，还提出了r n 一模、r i p 一模与r s n 一模等重要框 架及建立了随机共轭空阿理论，特别是随机泛函分析的空间随机化途径的提出使 随机泛函分析更加成熟随机赋范模与b a n a c h 空间、随机共轭空间与经典共轭 空间的内在联系是随机度量理论得以深层次发展且取得成功应用的关键随机度 量理论的发展深化了人们对经典泛函分析的认识今后，随机度量理论将朝着向 随机分析渗透的方向发展，它有着广阔的前景而且因为一个随机度量空间及随 机赋范空间分别决定一概率度量空间及概率赋范空间，所以我国学者关于随机度 量理论的发展是对概率度量理论领域的个最实质和独特的贡献特别是，郭铁 信教授的文献【3 7 】已引起国际同行的重视，如见文献【4 6 】| 纵观随机度量理论的整个发展过程，有关空间理论的研究得到了足够的重视， 发展也较为完善，相对而言，有关算子理论方面的研究尚处于探索阶段众所周 知，关于完备随机赋范模中几乎处处有界线性算子的谱的定义，有些学者将完备 随机赋范模视为一种f r e c h d t 空间，从而沿袭了传统的定义一即定义为通常 的数而本文却给出完备随机赋范模中几乎处处有界线性算子的谱的新定义，即 定义谱点为工( 弘，k ) 为此，本文首先在随机度量理论的新版本下，改进并重 新证明了如下结论：设( s 1 ，石1 ) 和( s 2 ，z 2 ) 均为数域k 上以( q ，一4 ，p ) 为基的 随机赋范空间，当s 2 为完备时，则所有定义在s 1 上取值于岛中的几乎处处有 界的线性算子所成的随机赋范空间( b ( s 1 ，岛) ，爿) 亦为完备的在此基础上得出 完备r n - 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 5 了完备r n 一空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果，并且据此引入了在 完备随机赋范模中几乎处处有界线性算子的谱的概念所有这些工作是对随机度 量理论朝算子理论方向发展的一个探讨，在一定程度上丰富了随机度量理论的内 容，对随机度量理论的发展也起到了一定的推动作用 完备删一空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 6 第二章预备知识 为了行文及读者阅读的方便，现将本文将要用到的些基本概念，命题及记号 简述如下： n 表示自然数全体，k 表示实数域r 或复数域c ，( q ，a ，肛) 为一给定的 概率空间，三( p ，k ) 表示q 上的k 一值p 一可测函数的肛一等价类全体形成的 代数关于p 一可测函数，p 一可测集，p 一等价类等术语，均可参见文献【4 7 】 记z ( 肛，r ) 为q 上的广义实值p 一可测函数的p 一等价类全体熟知，在 偏序“ 1 茎叩当且仅当o ( u ) q o ( u ) “一a , 8 之下，l ( 肛，r ) 成一完 备格，其中o 与卵。分另4 是 与叩的任意选取的代表元，由p 一等价类的定义 易知上述偏序与代表元o 、叩0 的选取无关，故有时可以直接写作卵当且 仅当( u ) 町m 一s ，即此时与町在后一式子中也分别表示它们任意选取 的代表元，这不会产生任何歧义本文中出现类似场合均照此理解尤其我们用 砖目】表示集合扣nf o p ) 5 矿) 所决定的p 一等价类从文献 4 7 】 可知完备格( 三( 肛，r ) ，s ) 中任意子集a 都有上确界v a 与下确界 a ，且存在 a 中可数子集 ) 与 k ) 使得v a = v 。! l o 。以及 a = a 。! 1 6 。，尤其是当 a 在“”之下为定向集( 相应地，下定向集) 时前述的 n 。) 可选为非降( 相应 地， k 可选为非增) 序列特别地，( l ( 扯，r ) ，) 亦为完备格，即其中有上界 ( 相应地，有下界) 的集合必有上确界( 相应地，有下确界) 最后，对任意el ( ，k ) ，i 表示lf ol 所决定的p 一等价类，其中p 为 的任意的代表元， i o1 ：( q ，a ，p ) 一 o ，+ o o ) 被定义为1pi ) = ip ) l ，y w q 也记三+ ( p ) = l ( t ，r ) ：o 定义2 1 3 7 称有序对( s ，疋) 为数域k 上以( q ，a ，p ) 为基的随机赋范空间 ( 简称为r n 一空间) ，如果s 是数域k 上的线性空间，而且映象z ：s l + ( 芦) 满足如下三个条件： ( r n 一1 ) x o p = 1 0 1 k ，v 口k ，、，p s ； ( r n 一2 ) 若墨= 0 ，那么必有p = 口p 为s 中的零元) ； ( r n - 3 ) 玛+ q 墨墨+ x q ，v p ，q es 进一步，若还有映象+ ：l ( t t ，k ) xs s 使如下各条件亦满足： ( r n m - 1 ) ( s ，+ ) 是代数三( “k ) 上的左模； 完备r n - 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 7 ( r n m - 2 ) ) 唾+ p = i l x ；，比l ( 肛，k ) ，v p s ； 那么三元组( s ，z ，+ ) 被称为数域k 上以，a ，p ) 为基的随机赋范模，简称 为r n - 模如文献【3 7 】中所述，匕述模乘法+ ：l ( u ，k ) s s 实际上可视为 通常的数乘：k s s 的自然扩张，因此，当+ 已知时，可简写( s ，z ，+ ) 为 ( s ，疋) f + p 为f p ，即用“- ”既表示数乘又表示模乘法而不会产生任何混淆 若上述中石只满足( r n 一1 ) 及( r n 一3 ) ，那么石称为个随机半范，此 时( s ，z ) 称为随机半范空间 命题2 1 3 t l 设( s ，z ) 为数域k 上的以( q ，一4 ，p ) 为基的r n - 空间，日为 s 中的零元对忱 0 ，0 a 0 ，0 n ) 喝2 鼍丁t 薹阢户旷t 由假设可知， & ) 是b ( ss ) 中的c a u c h y 列由引理3 4 ，( b ( s ，s ) ，z ) 为 完备的随机赋范空间所以 & ) 按随机范数收敛于一个a s 有界的线性算子 即级数( 1 ) 按随机范数收敛由于 ( f t ) ( j + t + t 2 + + p 一1 ) = ( i + t + t 2 t + p 一1 ) ( j t ) = j p ( 2 ) 及 l i m 硒m 冬l u n ( 硒) “一p p a s ( p 为l + ) 中的零元) 在( 2 ) 式两边命他一。o ，则有； ( 卜t ) ( p ) = ( t ) ( ，一t ) = ， 完备r n - 一空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 1 2 这说明算子( f 一丁) 有可逆算子，并且 ( j t ) = 丁 k = 0 由此我们还得到l x ( i - t ) 2 x k 萎= 0 p 基( 曲) 3 f p 一。矗 定理3 2 设( s ，z ) 为数域k 上以( q ，a ，肛) 为基的任一完备的随机赋范 模，t b ( s ，s ) ，三( p ，k ) 且蚓 晒肛一a , 8 ，那么t 一j 有as 有界 的逆算子 证明；由于s = t 一，= f 篮t i ) 及 鼍一i r = 垮- 1 j 弱， 1 弘一口，s 根据定理3 1 ，因此i 一q t 有a s 有界逆算子，从而s 有a s 有界逆算 子 正是受定理3 2 的启发，下面我们在完备的随机赋范模上引入几乎处处有界 线性算子的谱的概念 定义3 1 令t 是数域k 上以( n ，a ，肛) 为基的完备的随机赋范模( s ，疋) 上 的a s 有界线陛算子如果对l ( pk ) ，算子( t 一j ) _ 1 存在且是定义在全 空间s 上的a s 有界线眭算子，则称为算子t 的正则值，全体正则值的集合 记为p ( t ) 此时称佼= ( t 一，) _ 1 为算子t 的预解式称集合l ( p ，k ) r ( t ) 中的为算子t 的谱点算子t 的谱点全体称为算子t 的谱，记为一( t ) 注记关于完备随机赋范模中几乎处处有界线陛算子的谱的定义，有些学者 将完备随机赋范模视为一种f r e c h d t 空间，从而沿袭了传统的定义一即定义 为通常的数”但定理3 2 表明定义3 1 似乎更适合完备随机赋范模中几乎处 处有界缵 生算子的研究，这亦依次引发一系列突厨陛的困难：譬如定义3 1 中的 a ( t ) 是否是l ( p ，k ) 中的闭集? 还有a ( t ) 在l ( 肛，k ) 中是拓扑有界集或是 a 矗有界集吗? 还有在完备隧机内积模中有界自伴算子的谱分解定理形状究竟是 何种形式? 目前我们对此一无所知l 希望有兴趣的读者来进一步考虑它们 完备r - 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 1 3 参考文献 【1 】m e n g e rk s t a t i s t i c a lm e t r i c s 【a 】p r o c n a t s c i c u s a ，1 9 4 2 ，2 8 ：5 3 5 - 5 3 7 【2 】s c h w e i z e rb ，s k l a r a p r o b a b i l i s t i cm e t r i c s p a c e s m 1 e l s e v i e r n o r t h - h o l l a n g ，n e wy o r k ，1 9 8 3 3 】s c h w e i z e rb ，s k l a r a m e a s u r e sa l e a t o r i e sd e i i n f o r m a t i o n j c r a c a d s c i p a r i s ，1 9 6 9 ，2 6 9 ( a ) ：1 4 9 - 1 5 2 4 lj a n o w i t zm f ，s c h w e i z e rb o r d i n a la n dp e r c e n t i l ec l u s t e r i n g j m a t h s o - c i a ls c i e n c e s ，1 9 8 9 ，1 8 ：1 3 5 1 8 6 5 】n e l s e nr b a i li n t r o d u c t i o nt oc o p u l a s a l e c t u r en o t e si ns t a t i s t i c s 【q v 0 1 1 3 9 s p r i n g e r ，n e wy o r k ，1 9 9 9 6 】s c h w e i z e rb ，w o l f fe f o nn o n p a r a m e t r i cm e a s u r e so fd e p e n d e n c ef o r r a n d o mv a r i a b l e s j a n ns t a t i s t ，1 9 8 1 ，9 ：8 7 9 8 8 5 【7 】s c h w e i z e rb ，s m i t a lj ，m e a s u r e so f c h a o sa r i das p e c t r a ld e c o m p o s i t i o no f d y n a m i c a ls y s t e m so nt h ei n t e r v a l j t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 9 4 ，3 4 4 ： 7 3 7 - 7 5 4 8 , g p a 6 e ka ，n o t eo nk m e n g e r sp r o b a b i l i s t i cg e o m e t r y j c z e c h o s l o v a k m a t h j ，1 9 5 6 ，8 1 ( 6 ) ：7 2 7 4 9 】r a n d o mm e t r i cs p a c e s a t r a n s s e c o n dp r a g u ec o n f i n f o r m a t i o nt h e - o r y , d e c i m o nf u n c t i o n sa n dr a n d o mp r o c e s s e s c a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ，1 9 6 0 ，6 2 7 - 6 3 8 【1 0 1s t e v e n sr r ，m e t r i c a l l yg e n e r a t e dp r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s j f u n d m a t h ，1 9 6 8 ，6 1 ：2 5 9 _ 2 6 9 f 1 1 】s h e r w o o dh ，o ne - s p a c e sa n dt h e kr e l a t i o nt oo t h e rc l a s s e so fp r o b a - b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s j ，j l o n d o nm a t h s o c ，1 9 6 9 ，4 4 ：4 4 1 4 4 8 1 2 】s h e r w o o dh ，i s o m o r p h i c a l l y i s o m e t r i c p r o b a b i l i s t i c n o r m e dl i n e a r s p a c e s j s t o c h a s t i c a ，1 9 7 9 ，3 ( 2 ) ：7 1 7 9 完备p t - - 空间中几乎处处有界线性算子的几个基本结果 1 4 1 3 】游兆永，朱林户概率度量空间的等距度量化【j 】中国科学( a 辑) ，1 9 8 9 ，1 ：1 9 2 4 1 4 】游兆永，朱林户概率度量空间的最佳t 一弱模 j 】科学通报，1 9 9 1 ，i ：1 0 - i i 1 5 】s h e r w o o dh c o m p l e t ep r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s j z w a h r v e r w g e b 。1 9 7 1 2 0 ：1 1 7 - 1 2 8 16 林熙类概率赋范线性空间与随机算子 j 】科学通报，1 9 8 3 ，4 ：1 9 9 - 2 0 1 1 7 朱林户概率度量空间的度量性质及其应用刚西安：西安交通大学，1 9 8 8 1 8 】王梓坤随机泛函分析引论【j 】- 数学进展，1 9 6 2 ，5 ( 1 ) ：4 5 7 1 1 9 】游兆永，朱林户b 空间上的e k e t a n d 变分原理【j 】工程数学学报，1 9 8 8 ， 3 ：1 7 2 0 1 郭铁信概率度量空间理论及其对随机泛函分析的应用 d 】西安，西安交通 大学，1 9 8 9 2 1 严加安鞅与随机积分引论 m 】上海，上海科技出版社， 1 9 8 1 2 2 】郭铁信随机度量理论及其应用 d 】西安，西安交通大学， 1 9 9 2 2 3 】郭铁信随机赋范模上的模同态 j 东北数学，1 9 9 6 ，1 2 ( 1 ) ：1 0 2 - 1 0 4 2 4 】郭铁信随机泛函分析发展的个新的途径 a 】中国首届博士后学术大会论 文集( ) 【c 】北京：国防工业出版社， 1 9 9 3 ，1 ，1 1 5 0 1 1 5 4 【2 5 g u ot i e - x _ i n m e t r i c s ，p r o b a b i l i s t i cm e t r i c sa n dr a n d o mm e t r i c s j s y s t e m s s c i e n c ea n dm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，1 9 9 5 ，8 ( 2 ) ：1 8 2 1 8 6 2 6 g u ot i e - x i n ，y o uz h a o - y o n g an o t eo np o i n t w i s eb e s ta p p r o x i m a t i o n j j o fa p p r o x i m a t i o nt h e o r y , 1 9 9 8 ，9 3 ( 2 ) ：3 4 4 3 4 7 2 7 】巩馥州概率度量空间的理论及其在随机分析中的应用【d 】西安，西北大 学，1 9 8 9 【2 8 】林熙，郭铁信随机内积空间【j 科学通报，1 9 9 0 ，3 5 ( 2 2 ) ：1 7 0 7 - 1 7 0 9 塞查墅兰窒塑主墨丛丝查墨垡! 堕墨塑些全垂查丝墨 1 5 2 9 1 游兆永，朱林户，郭铁信一类可赋准范线性空间的随机共轭空间【j 】西安 交通大学学报，1 9 9 1 ，2 5 ( 3 ) ：1 3 3 - 1 3 4 3 0 游兆永，郭铁信，巩馥州随机线性拓扑空间【j 】西安交通大学学报，1 9 9 1 ， 2 5 ( 6 ) ：3 3 1 3 3 4 3 1 郭铁信，朱林户随机度量空间体系【j 】- 工程数学学报，1 9 9 1 ，s ( 2 ) ：2 0 s - 2 1 2 - 3 2 1 巩馥州类可赋准范线性空间的随机共轭空间与这类空间上几乎处处有界 线陛算子空问的完备性 j 1 疆北大学学报( 自然科学版) ，1 9 9 3 ，5 ：4 0 4 - 4 0 8 3 3 林熙，李传目随机内积空间的正交投影定理 j 】- 工程数学学报，1 9 9 1 ，8 ( 2 ) ： 1 3 4 - 1 3 8 3 4 1 刘清荣，巩馥州类随机内积空间的正交投影定理及，直用 j 数学年刊( a 辑) ，1 9 9 2 ，1 3 ( 3 ) ：2 9 6 - 3 0 5 【3 5 】y o uz h a o - y o n g ，g u ot i e - x i n ，p o i n t w i s eb e s ta p p r o x i m a t i o ni nt h es p a c e o f s t r o n g l ym e a s u r e a b l ef i m c t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n st ob e s ta p p r o x i m a t i o n i np ( p ，x ) j j a p p r o x i m a t i o nt h e o r y , 1 9 9 4 ，7 8 ( 3 ) ：3 1 4 - 3 2 0 f 3 6 1g u ot i e - x i n e x t e n s i o nt h e o r e m so fc o n t i n u o u sr a n d o mh n e a ro p e r a t o r s o nr a n d o md o m a i n si j 】j m a t h a n a l a p p1 ，1 9 9 5 ，1 9 3 ( 1 ) ：1 5 2 7 3 7 1g u ot i e - x i n s o m e b a s i ct h e o r i e so fr a n d o mn o r m e dl i n e a rs p a c e s a n dr a n d o mi n n e rp r o d u c ts p a c e s 【j 】a c t aa n a l y s i s f u n c t i o n a l i s a p p l i c a t a ，1 9 9 9 ，1 ( 2 ) ：1 6 0 - 1 8 4 3 8 g u ot i e - x i n ，z h ul i n - h u ac h a r a t e r i z a t i o no fc o n t i n u o u sm o d u l eh o m o - m o r d h i s r r l so nr a n d o ms e m i - n o r m e dm o d u l e sa n d i t sa p p l i c a t i o n s