（概率论与数理统计专业论文）用游程理论证明q过程唯一性准则.pdf

摘要 马尔可夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型是马尔可夫 链，由俄国数学家a a 马尔可夫于1 9 0 7 年提出而可列马尔可夫过 程构造理论是可列马尔可夫过程理论的重要部分d w i l l i a m s 教授把 构造理论的定性部分( 存在性和唯一性) 叫做q 一矩阵问题 本篇论文由四部分组成 在第一章中，我们简单的介绍了概率论中的m a r k o v 链的研究历史 与研究现状，重点阐述了有关近一个世纪以来马尔可夫过程发展的问 题通过阅读本章，我们可以对马尔可夫过程以及q 过程有个大体的 了解 在第二章中，我们为了使读者更好的理解本文，所以我们将本文 中用到的一些关键的基础知识做了简单的介绍首先我们引入 r a y k n i g h t 紧化来构造一个r a y 空间，然后在此基础上，我们诱导出 了r a y 空间上的随机变量 置 ，并且得出 置 具有马尔可夫的一些性 质从而为读者更好的理解本文做了准备，同时这些知识也是本文的 理论基础 在第三章中，我们引入了可加泛函的定义，进而诱导出了局部时 的概念，并且更进一步的我们得到了马氏链在& 处的局部时 在第四章中，我们首先以第二章、第三章提出的随机过程 五 以 及乱处的局部时为基础，然后定义了游程区间以及游程测度，构造了 流出系统最后，我们利用前面得到的定理和性质，解决了马尔可夫 链在处的一些性质，并且给出了q 过程在全稳定情形下的唯一性准 则的证明， 关键词马尔可夫链，局部时，游程测度，q 一过程 a b s t r a c t m a r k o vp r o c e s st h e o r e mi sa l li m p o r t a n tr a n d o mp r o c e s si nt h ef i e l d o fp r o b a b i l i t y t h ef o r m e rm o d e li st h em a r k o vc h a i n sw h i c hw a s i n t r o d u c e db ym a r k o v a ai n1 9 0 7 n i eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n e s so f c o n s t i t u t i o nt h e o r e mw a sc a l l e dt h eq - m a t r i xp r o b l e mb yd w i l l i a m s f o u rs e c t i o n sc o n s t i t u t et h i sp a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r , w es i m p l yi n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dt h ep r e s e n t c o n d i t i o n so ft h em a r k o vp r o c e s s ，a n dw ee s p e c i a l l yp a ym o r ea t t e n t i o n t ot h ep r o b l e m so fq m a t r i x b yr e a d i n gt h i se h a p t e r ，w ec a ng e n e r a l l y u n d e r s t a n dt h em a r k n vp r o c e s sa n dq - p r o c e s s ；丘l l t h e r m o r e ，w ec a na l s o k n o wh o wt o s t u d yt h eu n i q u e n e s so ft h ea p r o c e s s f r o ma n o t h e r r e s p e c t i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eo u t l i n et h ek n o w l e d g ew h i c hw i l lb eu s e di n t h e f o l l o w i n gc h a p t e r f i r s t o fa l l ，w ei n t r o d u c eac o n c e p tc a l l e d r a y - k n i g h tt oc o n s t i t u t ear a ys p a c e t h e nw e i n d u c ear a n d o mv a r i a t i o n 置 w h i c hh a ss o m ec h a r a c t e r i s t i c so f m a r k o vp r o c e s s o nt h i ss p a c e i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep o i n to u tac o n c e p to fl o c a lt i m e s ，a n dt h e n i n d u c et h ec o n c e p to fe x c u r s i o n a tl 嬲t w ek n o wt h ec h a r a c t e r i s t i c so f m a r k o vc h a i n sw h i c hl i e so nt h ep o i n to f & i nt h ef o u r t hc h a p t e r , f m s t l yw eg i v eac o n c e p to fe x c u r s i o nm e a s u r e s b yt h er a n d o mp r o c e s s x , a n dt h el o c a lt i m ea tt h ep o i n t t h e nw e i n t r o d u c et h ec o n c c l d to fi n c u r s i o ns y s t e m b a s e do nt h ea b o v e ，w ep r o v e t h eu n i q u e n e s so fq - p r o c e s sa tl a s t k e y w o r i d sm a r k o vc h a i n s ，l o c a lt i m e s ，e x c u r s i o n s ，q - p r o c e s s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名。型趣堑日期，堪吐月z 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者繇盘导师躲避数噍蚰月上日 硕士学位论丈 第一章绪论 1 1 马尔可夫过程的提出 第一章绪论 马尔可夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型弓尔可夫链，由俄国数 学家a a m a r k o v 于1 9 0 7 年提出粗略说来，所谓马尔可夫性可咀用下述直观语 言来刻画：在已知系统目前的状态( 现在) 的条件下，它未来的演变( 将来) 不 依赖于它以往的演变( 过去) ，换言之，在已知( 现在) 的条件下，“将来”与“过 去”无关具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程 1 2 q 矩阵研究的主要问题 设 置 是定义在完备的概率空间( d , f ，p ) 上的m a r k o v 链，其状态空间为 e = o ，l ，2 ， 其转移概率为弓( f ) ，i ，je f ，o ，它们是一组满足下列条件的实 值函数： 0 ( f ) o 嘞与( r ) 2 弓( o ) 2 毛 其中吒= l ，磊= o ( f ，) 熟知，这时存在极限 l ，i 。r a 业毕= 田 ( s ) 而且o 巩 ( i c j ) ，o 吼兰吼so 。，如吼 称q = ( ) 为 置 的密度函数，而 墨) 则称为q 过程，咀表示 五) 与q 有 式( 5 ) 的芙系 如果两个9 过程有相同的转移矩阵，找们把它们看作同一个口过程，故在下 面电称满足( 1 ) 一( 5 ) 式的( 咒( f ) ) 及其拉普拉斯变换都称为q 过程 定义1 2 1 称定义在e x e 上的矩阵q = 吼l 为拟一q 矩阵，如果满足 m 碰士学位论文第一章绪论 o 吼 r a o ( f ，) ，o 吼量吨 o o 吼研( i e e ) ，f 中的每个元素都称为q 的状态如果吼 o ， 则称( u 4 l ，。为一个次m a r k o v 预解式，简称预解式如果( 1 ) 中等式成立，则称 ( u 4 l 。m a r k o v 的 定义2 2 3 设( u 4 l 。是( f ，) 上的预解式，口 o ，e 6 ，如果对于任意的 声 0 ，u 。叩，则称，是口一超平均函数( s u p e r m e d i a n ) ，如果还有斗0 时， 卢u ”4 ，逐点收敛与，则称，是口一过份函数0 一超平均函数和0 一过份函数分 别称为超平均函数和过份函数 s 4 和分别表示“一超平均函数和g 一过份函数的集合 显然，对于任意的口 0 。f b s + ，u 4 f ，； 对于任意的卢 口 0 ，c ：酽对于 运算封闭 。 如果e 是拓扑空问，s 是e 上的b o r e l 代数，则g ( 且) 表示上的所有有界 连续函数构成的b a n a c h 空间，g ( e ) 上的范数为上确界范数 设( u 。o 。是( e ，) 上的预解式。对于任意的a 0 令 s 4 = s 。n c ：( e ) ，s 。= u 。( s 4 ) 定义幺2 4 设，是紧度量空间，是f _ 1 2 能j b o r e l 代数，g ( e ) 简记作c ( 三) 如果( u 4o 。是( ，) 上的预解式并且： ( 1 ) 对于任意的a 0 ，u 。c ( f ) c c ( f ) ( 2 ) s 。分离f 中的点， 则称( 旷o 。是，上的r a y 预解式 定义2 2 5 ( f ，) 上的一族核( p k 。如果满足以下性质： ( i ) c l 1 ，v t 0 ； ( 2 ) 只，= e 只，v t ，j o 则称( # ) ，。为一个次朋a 旃 半群如果( i ) 中等式成立，则称( e l 为m a r k o v 定义2 2 6 ( r 缈) ( u 4o 。是( f ，) 上的r a y 预解式，则存在唯一的次 m a r k o v 的半群( 只x ：。使得： ( 1 ) 对于任意的x ，c ( f ) ，卜p ，f ( x ) 是【o ，。) 上的右连续函数 6 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 2 ) c ，4 ，= f p “只弦v a o ，c ( f ) ( 3 ) ，e s 。当且仅当厂e c ( f ) 并且对于任意的f o ，e p , f o ； ( 3 ) 对于任意的f e c l , ( e ) 以及x e ，憋, l r a f ( x ) = ，o ) 对于任意的7 - tcb 6 + ，令 f - o1 “( 爿) = a , r j , f i n e n ， o ，q o ，e7 - t , v i 叶； l l lj ，、( 7 f ) = 石 z h n ，彳，ze 爿) 显然u ( n ) 是一个凸锥由，+ g = ( ，+ g ) 、( ，+ h ) 当冗是一个凸锥时 n ( 爿) 也是一个凸锥 由假设( 1 ) ，取he g ( e ) 十，l h ，爿是可数集并且分离e 中的点由假设 ( 2 ) g ( 3 ) ，u ( n ) c g ( e ) 并且分离三中的点 令 胄o l - “( 州) ，r o 川= ( r + “( r o ) ) ， 胄：0 n - i 显然，由以下命题： 命题2 2 1 丑定义如上，则 ( 1 ) 月分离e 中的点； ( 2 ) j r 是一个凸锥，re - g ( e ) 并且对于 运算封闭： ( 3 ) 对于任意的五 o ，f r ，心f r ； 硕士学位论立 第二章预蔷知i 只 ( 4 ) 作为b s 的子空间，r 在一致收敛拓扑f 是司分的 取r 的稠密子集 繇 ：。，令 d ( _ _ y ) 2 萎去n k ( x ) 一w ，巩，y 占 2 2 - 1 d ( ，) 是e 上的度量，e 在d ( ，) 下的完备化记作孟，显然云是一个紧度量空间罾 上的度量仍然记作d ( ， 定义2 2 7f 巨d 1 称为e 的r a y 一砌j g h t 紧化 r 中的函数在度量d ( ，) 下都是上的一致收敛函数，故可以唯一扩张成为 i 上的连续函数对于任意的e 上的函数，( 一) ，如果，( - ) 在d ( ，) 下连续，( ) 在 云上的连续扩张记作7 ( ) 显然，对于任意的d ( ，) 下连续函数 厂，g ，万丐= f a g 令 7 1 s e g 记作 页 ，显然 页) 为一凸锥，分离菅中的点并且对于、运算 封闭由于对于任意的，g 瓦j 厂一g l = f + g 一2 f a g ，故i 对于取绝对值运算封 闭对于任意的f , gi 一瓦， g = 三掣，v g ：掣，哉i i 对于 ，v 运算封闭f h 格l a t a c e 形式的s t o n f w e i r s t r a s $ 定理，面一面在c f i l 中稠 密 命题2 2 2 ( u 。o ，。是云上的鲫预解式，并且对于任意的i i ，存在某 个口 o ，使得；是( c ，8 ) 。的口一超平均函数 证明参考r k g e t o o r ( m a r k o vp r o c e s s e s ：r a yp r o c e s s e sa n dr i g h t p r o c e s s e s p 6 2 。第1 0 章命题1 0 8 ，l n h l 4 4 0 2 3m a r k o v 链的r a y - k nig h t 方法 在本节中，我们假定尸( f ) = ( 凡( f ) i ，。是e 上的标准而且诚实的转移函数 设e = 1 , 2 ， ，我 f 约定e 上的拓扑为离数拓扑 设岛( r ) ( f ，e 占，f o ) 是上的标准而且诚实的转移函数对于任意的，e ， 2 0 。 毛( 五) ：f p “岛( f ) 出 8 硕+ 学位论文第二章预备知识 表示巩( r ) ( t - 0 ) l a p l a c e 变换 由于e 上的拓扑为离散拓扑，所以e 上的函数都是连续函数上的有界函 数的全体注作朋，有界非负函数的全体记作朋+ 由于占上的函数可以看作无穷 维列向量，所以有时我们把c 和f 中的元素看作无穷维列向量我们约定m 和 m + 上的拓扑为一致收敛拓扑，即由度量 a ( y ，g ) = 掣l f ( o - g ( k ) l ，v ，g e c 诱导的拓扑 对于任意的，e m ，e 上的函数f _ r a ( , g ) f ( k ) 2 f l z r a f 由岛( f ) 是e 上 标准的转移函数，不难证明： “6 命题2 3 1 ( 心) 。是e 上的 加胁v 预解式，满足假设2 l l 定义2 3 1 如果( ( ，) ；t l 。是f 上的一族测度，使得： ( 1 ) 对于任意的r o ，g k ( r ) o ，s 0 ( r + ，) = ( ，) ( s ) ， _ f 则称( 吼( r ) ；i e l 。是p ( ，) 的进入律 显然对于任意的x e 廓，( p n ( f ) ； e e l 。 e ( t ) 的进入律从而很容易得到 如下的结论： ( 1 ) 设( ( ，) ；女e l 。是p ( f ) 的进入律，则对于任意的t e e ，( ) 是( o ，c o ) 上的连续函数 ( 2 ) 若( & ( f ) ：女e ) 。是p ( f ) 的进入律，则对于任意的女e ，极限1 船g t ( f ) 存在且有限 令b = j 卜i ，u 1 ( x ，e ) = i ，显然，岛e 的b o r e l - j ： e + = e r n d 定理2 3 1 若( ( f ) ；t e l ，op ( t ) 的进入律，则存在晶n d 上的唯一的 有限测度”( 出) ，使得对于任意的k s e ，t o ，n 。p n ( f ) z ( = 甑( ，) 证明：( 略) 定理2 3 2 对于f 上的任意的概率测度一，存在一个概率空间( n ，只p u ) 以及( n ，p 。) 上的取值于e 的过程 置 。使得： ( 1 ) 置) 。的轨道是右连左极的； 9 碗士学位论立 第二章预备知识 ( 2 ) 对于任意的r o ，p 4 置e e _ i ； ( 3 ) 置 ，。是以只( x ，砂) p o ) 为转移函数的 妇盹w 过程 定理2 3 3 设盖= ( g ，z ，暑，日，p 。) 是一个取值于f 的强 如，t 过 程，并且 ( 1 ) 滤子 五) 是右连续的， x ， 的轨道是右连续的并且在中存在左极限； ( 2 ) 对于任意的f 0 ，i e + ， 暑e = l ： ( 3 ) 工的转移函数为p ( 耵) ； ( 4 ) j 是正规的( 幻r ，) ，即对任意的x e e + ，p 互e = 1 ； ( 5 ) 对于任意的_ e + 以及有界 王) _ 。停时7 1 ，一日，n = l ，2 ，t c 竹r ，矿 的8 0 r e j 子集r ， 局r l v 。耳i = r ( 蜀一，r ) 这里的x 不一定具有拟左连续性 定义2 3 2 定理2 3 3 中的工= ( n ，五，置，只，p ) 称为尸( r ) 对应的正规 链 2 4 本章小节 r a y - k n i g h t 紧化改变了点上的拓扑结构，因此与的单点紧化不同e 的 单点紧化尽管空间结构简单，但通过单点紧化而得到的典范链不具有有连续性和 强m a r k o v 性，只具有右下半连续性和部分强m a r k o v 性( 参考王棒坤生灭过程 与m a r k o v 链第三章第二节定理5 以及第三节定理1 ) 1 0 硕上学位论文 第三章m a r k o v 链在瓦上的局部时 第三章m a r k o v 链在& 上的局部时 3 1 有界过份函数的可加泛函 设f 是一个l u s i n 空间，是e 的b o r e l 代数，。是e 上的普遍可测代数 设x = ( q m ，m ，五，b ，p 1 ) 是状态空间( e ，) 的强m a r k o v 过程( 参考 r m b l u m e n t h a l r k g e t o o r m a r k o vp r o c e s s e sa n dp o t e n t i a lt h e o r y ) 第一章p 2 0 ，定义3 1 与p 3 7 ，定义8 1 ) ，其轨道右连续 令，o = 口 e ；$ 2 0 ，对于任意的( e ，f ) 上的概率测度，( q ，o ) 上的概率 测度工p ( ) ( 出) 记作j ) 4 ( ) 令五= 口 爿卜e ( ，。) ”，3 口e 掣使得( 一口) = 。) r 即z 是正。在，中关于测度 ，”( - ) f 是( e ，) 上的概率测度 的完备化 假设3 1 1 我们假定： f o x 的轨道是右连续的 ( 2 ) 五 ，。是右连续的滤子 ( 3 ) x 是正规的( ( ，m 讲) ，即对于任意的x e e ，p ( = z ) = 1 x 的转移函数记作# ( x ，咖) ，转移半群记作( 只l ：。， 定义3 1 1 设：e 斗r 是一非负函数，五 0 ，如果： ( 1 ) 对于任意的r o ，p “c 厂( x ) s 厂( z ) ； ( 2 ) 嘞e “只，( z ) = 厂( z ) 则称厂( | ) 是彳的五一过份函数如果( 2 ) 中的收敛是一致收敛，则称，是x 的一 致a 过份函数 命题3 1 1 设厂( ) 是( q ，巧，置，包，p ) 的有界的兄一过份函数，则对于 ( 丘) 上任意的概率测度，在p 4 ( ) 下，过程 r = p “，“) ；，o 是 z _ 上鞅， 且 1 ) 。有右连续的修正 定义3 1 2 设f 4 ) 。是适应于 z 的右连续的增过程并且4 = o ，p ( ) 是 ( q ，) 上的概率测度若在p ( ) 下，对于任意的适应于 正 ，。的有界鞅 m ，。， 有 硕士学位论文第三章 如州b v 链在& 上的局部时 e “叫m 烈j = e 蝇一姒j v f o 则称 4 。是p - 自然的 命题3 1 2 设 4 ，。是适应于( 五 的右连续的增过程并且4 = o ，p ( ) 是 ( o ，芦) 上的概率测度若在p ( ) 下，对于任意的适应于 z ，。的有界鞅 m ) 。 则对于任意的停时r ， e o ，。蝇旭) = 层 0 ，。鸩鸥 娜= o ( 参考何声武、汪嘉冈、严加安半鞅与随机分析p 1 4 7 定理5 3 2 ) 定义3 1 3 设x = ( q ，m ，m ，墨，b ，p ) 是状态空间( e , g ) 的强埘i 埔d v 过 程t 只z 定义如上，如果( q ，) 上定义的过程 4 。使得： ( 1 ) 4 ，。单调增，右连续，4 = 0 ： ( 2 ) 4 。适应于滤子 五 ： ( 3 ) 对于任意的( e 占) 上的概率测度， j - 0 ，在p “( ) 下几乎必然的成立 4 + ，= 4 + 4 只 则 4 。称为x 的可加泛函 定理3 1 2 设j = ( q m ，州，置，口，) 是状态空间( e , g ) 的强m a r k o v 立 程，( ) 是x 的有界的五一过份函数，则存在唯一的x 的可加泛函饵 。，使得： ( 1 ) 厶) 。是可料的； ( 2 ) 对于任意的( e 。占) 上的概率测度鸬s 0 以及有界 巧卜停时r r + ，= + 厶一只，p 9 a s ； ( 3 ) 对于任意的x e e ，e r e “d = ， ) 推论3 1 2 设她 。是五一过份函数，( ) 所对应的可料可加泛函，则存在 一列图互不相交的严格正可料时s ，月= 1 ，2 ，使得 = 譬+ a & ， 其中e 表示的连续部分t 矗= & 一i 一为c 的跳跃部分，并且约定虬= o 证明参考何声武、汪嘉冈、严加安半鞅与随机分析p 9 5 定理3 ，4 2 硬士学位论文 第三章m a r k o v 链在& 上的局部时 3 m a r k o v 链在上的局部时 设e = l ，2 ， ，p ( r ) = ( 岛( ，) ) 。是上的标准而且诚实的转移函数，( r ) 的q 一矩阵为 q = 一吼q a吼3 q 2 1 一目2吼 吼iq u 一吼 设工= ( o ，芦，五，置，6 l ，p ) 是p ( f ) 对应的正规链 定理3 2 1 对于任意的x e + ，如果f e 是p ( r ) 的稳定态，则存在随机变 量q 岛 a 2 0 ，j 瓯 ，口称为工的第一个飞跃时间 定理3 2 2 设x e e + ，i e ，则p 几乎必然的 在所有的i 一区间 口l l ，6 f ) ，t = l ，2 ，上连续，并且勺= 气，p n z 的充分必要条件是在 g e ) 顽士学位论文 第三章加缸，七d v 链在上的局部时 上，p h 口= o = 1 ，p z a s 命题3 2 对于任意的c 的不连续点吖，几乎必然的 & ，= i - e p 其中e _ e ” = l 昂( 强，咖p ” e 一9 由于& 是 o ，c 。) 的闭子集，a 是 正卜停时，开集s = p ，* ) & 的构成区间 记作( 如，吃) ，口= l ，2 ，每个构成区间都称为x 离开的游程，构成区间的长 度称为游程长度 对于任意的， 0 ，令 叫- - i n f s p ，a ，( s 一，) n = 以； g f = s u p s p ，一，( 以，+ 0 n s o = 以； 矿i n f 冲，( s f ，s ) n & = 反r s u p p 卜，( 娜+ 0 n s = k = 1 ，2 ， 显然，t = l2 ，都是 巧 一停时，毹，t = l ，2 ，都是随即变量，并且 + ，t = l ，2 都是 再 一停时 定理3 2 3 对于任意的x e e + 以及非负可料过程 互 ， 酵( h 4 ) 唱卜 f 乙皿 令 最= 怪= 罐。0 等1 i 。，如果p4 吖 盯= = 命题3 2 2 对于任意的x e e + ，在下，鼠几乎必然是某个游程区问的左 端点 命题3 2 3 存在一列停时t ，月= 1 ，2 ，使得对于任意的n ) q ， ，_ 一( m ) e 磊，置( m ) ，p 鼻9 一，o = l = ( m ) k = l ，2 ，j ， 并且每个瓦都是一个游程区间的左端点 命题3 24 对于任意的x e + ， 岛ke ，p k 口 o l 0 = 1 s 0 1 - = 1 ，2 ， ，p 1 。； 1 4 硕士学位论文 第三章 缸砘d v 链在上的同部时 既k = 卜= l ，2 ，) ，严一； 对于任意的f 2 0 ，令 4 = f k 0 比。 ( 砂 一= o ) ) 鸩； 霹= ( 1 一e 如p ) ； 鼠。 葺2 萎( 一e 托) = 盛 瑶+ 盛 定理3 2 4 4 ， 群) ， 露 ， 是上= ( q 。，巧，置，包，p ) 的满足以下条件 的可加泛函： ( 1 ) 是连续的： ( 2 ) 对于任意的j e + ，t 0 以及 z 卜停时丁， 4 + ，= 4 + 4 。b ，p 4 a s ； 辞。f = 舀+ 聋。8 t ，p 4 a s ； ；。= 露+ 霹。岛，p 。d j ； 岛+ ，= 岛+ 。岛，p 。a s ； ( 3 ) 对于任意的z e f ，扣1 = f e l a c , j 定义3 2 2 称 ) 为正规链_ = ( n ，z ，五，q ，p 。) 在& 上的局部时 顾士学位论文 第四章流出系统与q 过程唯一性准则的概翠证明 第四章流出系统与q 过程唯一性准则的概率证明 4 1 流出系统 设岛( f ) 是e = i ，2 ， 上的转移函数，x = ( q ，z ，置，谚，p 。) 是岛( r ) 所确 定的正规链( ，以) ，口= l 2 ，是工离开的游程区间， 是上在& 上的局 部时，譬，乌，霹，霹，是3 2 中所定义的概念，正，正，”，s ，最，是3 2 中定义 的停时，u = u 【1 ，其中【五1 表示停时的图象 定义4 1 1 集合f = j 卜e e + ，p 矿= o ) = 1 称为正则点集，集合 耳= x 卜e f ，r o - o = 1 称为非正则点集 定理4 1 1 存在e + 到，o 上的核一( ) ，使得对于任意的z e f ，可料过 程 z r 以及q 的，o 一可测子集f ， f 1 善( 岛) o ( 如) 气。龟1 = f r 五( 置，f ) d 4 1 ( 4 1 1 ) 证明：f 1 ) r 上的踟，代数记作，由于q 是不可数的p o 凰 空b j ，印是。上 的b o r e l 代数。根据d l c o h n ( m e a s u r et h e o r y ) 第八章定理8 3 6 ，( n ，f ol 肋w ，同构与( r 8 ) 因此，不妨假定( q ，o ) 。( r ，8 ) ，我们可以把r b o r e l 子集看成是q 的b o r e l 子集 ( 2 ) 对于任意的“q ，容易验证，函数 妒( 一) = e x f k ( g 口) ( g a ) e ( 1 - e 1 ) 。气l 纯( x ) = l 乞( ) 毛。( ) r “ ( 1 一e ”) 一川 。气l ： 仍x ) = l 善k ( 岛) 。( 乳) e e ( i - e - 7 ) ( 1 一一一】) 。气j e e + 是工的卜过分函数，并且妒( x ) = 竹( x ) + 吼0 ) ，垤e + 由定理3 2 4 ，妒( ) 所 对应的可料可加泛函是连续的，并且关于 绝对连续该可加泛函记作 群 由 b l u m e n t h a l p 2 2 5 ，定理2 3 ，存在e + 上的非负占。耐可测函数( ) 使得 硕士学位论文 第四章流出系统与q 过程唯一性准则的溉率证明 群= f 矿( 置p ，并且如果q 屿，则舻( z ) ( x ) v x e + ( 3 ) 令f ( x ，) = “l i ，m o b “( x ) ，协e 矿，“e r 显然，对于固定的r e + ， f ( + ) 是r 上的单调增且右连续的函数，故f ( x ，) 诱导的( r ，舀) 上的分布记作 1 ( ，) 是f 到( r ，8 ) = ( g ，。) 上的核 ( 4 ) 对于任意的x 矿，t r ， f p 巩置( 吲】) 踞 划 fe - - 。矿( 置) 以 = ，f l p 胪( 置) d e j = 。剪l 善七( ) 。( ) e ( 1 一e 1 ) ，( 一一】 。气j = f i ；k ( ) 气，g a ) e - ( 1 一e 1 ) 。川 。吃i 利用单调类定理，可以证明对于任意的x e e + ，f e ，o ， 限。础置，r ) d c 。 = f | 七( 乳) o ( 岛) 。1 i ( 1 - e - 7 ) 。气 ( 5 ) 取f = a = o ，由于 p ，f - i ：i 协s o ，t f l q , x , e 1 ，2 ，” ， 所以f e ，o 另外 f 善( ) 。( 乳p “ ( t e 一7 ) 。气 = 。l 如j 所以f e j 1 ( l ( m ，r 】) d = o 令 誓伞p 枷一0 _ 以霸p 善端0 0 i 如果”f x ， f = l 显然，( ，) 使得对于任意的x e p ，五= e - a 以及q 的，。一可测子集， ( j 1 1 ) 式成立 ( 6 】仿照定理3 2 3 ，可以- 证明对于任意的x e + ，f ，。，可料过程 五 ， 1 7 硕士学位论文 第四章漉出系统与q 过程唯一性准则的概率证明 定理4 1 2 对于任意的x e e + ，f e ，o ，可料过程 z f 以及可料停时f ， f i 互k ( 岛) o ( 岛) 乙如。气j = f 互( 置，) 必 ( 4 1 2 ) jl 岛矗 。 证明：设，n = l ，2 ，预报了f ，由( 4 1 1 ) 丕( 岛) 。( ) 气：l 岛f j = e 1 e h 萋k ( 岛) 。( 岛) 气。气 姐。卜h 陲k k ) 。) 气小气j j 彬e - e x f 卅( ) 叫 = 叫e 卅( 驴) 必 令 一o o ，立得( 4 1 2 ) 定义4 1 2 如果 岛) 是石的可加泛函，一，b + 且任给x e + ， f r l ( j ) d = o ，则称是c 一可忽略的( 棚) ：如果是c 一可忽略的，卿 f r ( 置) d - o ，则称b 是一几乎必然的 命题4 1 一1 ( x ，1 一r 7 ) = i ，p 4 证明：由( 4 1 1 ) 对于任意的x 矿， f 渺州列卅醒 ；k ( 岛) 。( 岛) 。一“( t 一。一一) 。气 坩 p 皑 所以 fp ( 1 ( 置l e 一4 ) d 和 ) 都是l 一过份函数 妒( ，) = f l 七( 岛) o ( 岛) e ( 1 - e - 4 ) 。气i i 岛l 所对应的连续可加泛函，从而p ( ”x ，l - e 一6 1 = 1 ，e 口j 一 砸士学位论史 第四章流出系统与q 过程唯一性准则的溉牢证明 推论4 1 1 对于任意的， o ，一1 ( x 叮 m s o ，a o ， 芹，e + 上的可测函数，( ) ， p x ，1 1 ，。 i r e - “，( 置+ 。) 如) = 一1 ( 五o ，d j 也，( 置”，a 。 “1 4 ) 由推论4 1 2 ，我们不妨假定对于任意的x e e ，月e n ， q 且 o ， o s t l o 0 ，且 o ， e 芹，e + 上的有界可测函数g ( ) ， p o ) ( 南， 州拈( 以。) ) = 一1 ( i t o , l i p g ( x , ) ) 即在，( 1 ( ) 下， 暑 ，。是以p 为转移函数的m a r k o v 过f a 仿照命题4 l2 ，可以 证明对于任意的有界冠停时r ，t s ，a e 芹，f e p ， p ( o x , l l ；，斗， ，。岛) = p 1 ( x , l o ， e 坼 ， ) 硕士学位论文 第四章流出系统与q 过程唯一性准则的概率证明 令j 1 0 得 p o ) ( 。b ) = 一1 ( 五e 曲 s 1 ) ( 4 1 - 6 ) 从而对于任意的正的有界霞停时r ，等式( 4 1 6 ) 仍然成立 命题4 1 2 对于任意的x g 扩，p ( 1 3 ( 而 蜀e f ) = o 或。 证明；如果o c 口= 户1 ( 以 蜀e f ) ) 0 ， p ( x ， a ) r ，+ ，墨+ ，= f ) ) = 尸( t a ，置= t ) l 矿( s ) ( 4 2 1 1 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 注4 2 - 1 等式( 4 2 3 ) 说明p ( x ，p r ，置= t 。i e e l 。是关于极小转移函 数p ( f ) 的进入律 定理4 2 - l 对于任意的f e 极限蟓j d ( t p ，一= 哪存在且有限 证明：由命题4 2 2 对于任意的r 0 ， p ( x ， 仃 f ，置= f ) 砖) f o ，存在3 0 ，使得当， 1 一s ，任取f t , x r = f ) ) ( 1 一e ) ， 碗士学位论文 第四章漉出系统与q 过程唯性准月的概率证明 并且p ( x ， 一，= i ) ) t * ，因此 船唧州加 ) s 型名剑。， 冉令t _ o 这是义甫 船唧p ( 墨 ， f ：4 ) 烛砒互掣。 由s 的任意性，可知1 姆p ( 口 ，置：= j ) ) 存在且有限 定理4 2 2 对于任意的