（概率论与数理统计专业论文）重置期权的创新及其在随机利率情形下的定价.pdf

a b s t r a c to p t i o ni sa 血1 a n c i 出d e r i v a t i v e product，wllicho c c u r s 丘o mu s ai nt h e middleo fs e v e n t i e s i nt h ep a s tt w o decadesith a s b e e nd e v e l o p e dr 印i d l ya sa ne 丑b c t i v e me瑚f o rs p e c u l a t i n ga n da g a i n s tr i s k s a 10to f6 1 1 a n c i 出h r m sh a eb e e ni ntrodllcings o m en e wo p t i o n 8t oa t t r a c ti v e s t o r s i n g l e - 要i i 誊毒鹫j q ；j 二? 嚣? ；菇臻 参l 蔓i x 誓岛薹? 莘莓嘲蓄嗡穸i ? 司 5 裕i i 曼1 j i ；圩碧b 墨弱；善壬j 再堂京；i ! ? 穿| j i ；蟛j i j 。j 警；髓鼍j ；鞲；譬蠢：l 、莲薹一t i 彰j ；? j i忻；8 b s 期权定价公式出现以后，期权市场得到了 迅猛发展，在标准期权的基础上，衍生出了各种各样的奇异期权。从而，给这类期权定出合 理的价格，成为数理金融的一个重要的任务。二次式变异期权就是一种奇异 期权，这种期权是标准收益结构的一般形式，它比标准期权更灵活，可以适 应不同的风险承受力的投资者的需求。在此对二次式变异期权的特殊情形，平方期权进行几种创新，具体解决平方障碍买权和平方回望买 权的定价问题。 利用鞅方法定价( 即风险中性定价) 给出平方障碍买权和平方回望买权的 价格。在鞅方法下，一种证券( 或衍生证券) 现在的价格，可经由折现该证券 未来期望现金流量得到，且期望值折现可在风险中立下进行。鞅方法比解偏 微分方程式简单，而且不会涉及到复杂的积分。实际上，许多偏微分方程不能 求解的问题， 指弥未来期望现金流量得到，且期望值折现可在风险中立下进行。鞅方法比解偏微分方程式简单，而且不会涉及到复杂的积分。实际上，许多偏微分方程不能求解的问题，经由鞅方法都可迎刃而解。x 第一章引言和记号 1 。引言 期权是7 0 年代中期在美国出现的一种金融创新工具，2 0 多年来它 作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发展，为了吸引投资 者的兴趣，有不少券商相继推出不同新类型的期权期权定价理论也 得到不断的改进和拓展新式金融工具的发明、已经发生和即将发生 的金融创新，并非是因为华尔街上有人认为引入一种比现有更新鲜的 工具是件十分有趣的事，而是借款人和投资者基于其资产负债管理现 状、当局的管理限制、财务会计以及税务等方面的考虑而产生的需要 推动着对新工具的要求 重置期权具有一般期权的基本特征，但其持有者有权利而不是义 务，在事先约定的重设时点，将原定的履约价重新设定为当时的标的 资产价格正因为它比一般期权具备更多的权利而不是义务，所以重 置期权具有比一般期权更高的价值重置期权已于世界多处的证券市 场有买卖交易，也有依附于结构型商品之内，雨在柜台市场交易举 例如下： 1 在1 9 9 6 年，纽约证券市场( n y s e ) 及芝加哥选择权交易市场 ( c b o e ) ，已有重设型熊市认售权证( b e a r m ”k e tr e s e tw r a n t s ) 的交易它 是由国际财务公司所发行 2 在澳洲，由马圭尔银行提供搭配股票投资的商品它是一种以 股票作抵押的放款，提供投资人融资购买股票，并以股票作担保品 为保护股票担保品不会因股价下跌而失去其原有的担保品质，股票投 资商品内含一个重设型卖权也就是，当该银行放款给投资人购买股 票时，连带出售可重设型卖权给投资人( 融资者) 因此，投资者获得 保护，不受日后股价下跌而遭受追缴保证金，甚或断头的风险虽然 银行发行重设型卖权必须进行避险，但也可获得权利金收入因此， 重设型卖权对投资人融资购买股票提供担保品的保护，也对股市稳定 提供一些正面的效益，而不致有断头卖压的出现 单点重设型卖权由g r a y 及w 碉e y f 2 2 所介绍本文在完全市场环境 下，对单点重设型期权进行了两种创新，具有与原来的重设型期权不 同的重设条件，到期价值不同，期权费也不同，能满足更多的投资者 的需要同时，因为市场的不稳定性，市场无风险利率、股价瞬时波 动率等都不可能为常数，本文将原来的期权定价中的假设条件推广到 无风险利率和标的资产价格都是随机的，服从对数布朗运动的情形 并假设基础股票支付红利、连续红利率、股价瞬时波动率等都是时间 的非随机函数，文中在这些假设条件下借助鞅和随机分析等数学工具 给出了一般欧式期权、传统重置期权、以及两种刨新的重没型期权的 定价公式，比较了它们的价值大小，研究了它们的价值变动和风险特 征， 2 记号 为方便起见，文中使用了很多记号，其中n ( x ) 为标准正态累积分 布函数， ( z ) = 去。e 一；8 。d s ，( 。，p ) 为二元标准正态分布函数， p ) = 面专熙罡。e 一鼍并函砌，妒( z ) = 去e 一，( 嚣，玑p ) = 南，罡e 一丽= f 一函砌，妒扛) = 去e 一手， 随机利率情形下，令 若市场无风险利率、指数连续股利率、指数瞬时波动率均与时间无 关，即r ( t ) 、q ( t ) 、一( t ) 为常数，则令： n l = d l = h = p 1 = 如= i i d t t ， 譬31 1 ! ( 1 n ) 6 2 = 6 1 一口、r t ， 廊= 、努，黎属 第二章随机利率情形下欧式未定权益的定价 2 1模型假设 设鼠为t 时刻标的资产价格基础股票支付红利，连续红利率g ( t ) 、 股价瞬时波动率a ，( t ) 、债券价格瞬时波动率 ( ) 都是时间t 的非随机 函数鼠= b 阮印表示t 时刻到期的零患票债券在t 时刻的价格，它 们分别满足随机微分方程： 警= ( 肛1 ( t ) 一目( t ) ) 小+ 口1 ( t ) d 阢：、 警= 芦2 ( t ) 以十盯2 ( t ) d m ，研= b ( t ，t ) = 1 ， b 严6 ( t ，r ) 表示r 时刻到期的零息票债券在t 时刻的价格，6 ，： b ( r ，r ) = 1 ，研= 二鲁 其中：触和以( 越( i = i ，2 ) 为相应价格过程在时刻 的期望收益率和 瞬时波动率，“( t ) 和一，( t ) o ( i = 1 ，2 1 是非随机函数，且满足可积条件： z 7 一( t ) 珊 。，z 7 a 2 出 o 。工p ( ) 珊 。，工萨( 2 ) 出 o 。 ，os 茎t ) 是定义在概率空间( n ，p ) 上的一维标准布朗运动 五，o t 曼t ) 是由 阢，o ”产生的自然口一域 本文均假定在期权有效期内， 套利机会、交易能够连续的进行、 的，即市场是无摩擦的 市场没有任钶交易费用和税收、无 允许卖空且标的资产的数量是可分 2 2 未定权益的定价 对未定权益x = f ( 斯) 的定价步骤如下： ( 1 ) 选择可交易的基本标的资产& 和疡，使区1 是一个贴现过程， 令z fb p 文 定理2 1 存在风险中性测度q ，使贴现后的股票邑在q 测度下是 鞅 4 证明： 。因为磊= 瓮，由n d 公式作用于岳可得 由( 21 ) 可得 d 磊= d ( 裳) = 壶d & + d ( 击) + d s t d ( 击) ( 2 2 ) d & = 岛( m ( t ) 一q ( t ) ) 矾+ 口1 ( t ) d - k ， d ( 壶) = 击f ( a ；( t ) 一p 2 ( t ) ) 巩一一2 ( t ) d 吼 代入( 2 2 ) 得： d z c = 邑阻1 水) 弘2 0 ) 一日( + 盯2 ( t ) ( 仃2 ( t ) 一口l ( t ) ) k 仕+ ( 盯1 ( ) 一口2 ( t ) ) d 仉 记 m 是可料过程 一些! ! ! ! 二! ! ! 1 2 ! ! 壁2 1 些坚! 二旦! 1 22 “ j i ( f ) 一( t ) 假定口1 ( t ) 一 ( t ) o ，则 耳酬搿们d ) ) ) ：日 e 。 五e 二fg ( ，) 幽e 一 f ( 一t ( s ) 一一。( s ) ) 2 如+ 一，( s 卜a z ( s ) 】4 “卞7 ( 卸 k ) 一x b l p q 【s t k 1 = 君c 五e 一t q ( 5 ) 4 5 户丑( 岛， 足) 一船f p q ( 5 耳) = b 磊e j t l 口( s ) 如p 冠( 1 n 野 1 n k ) 一耳b p 口( i n 5 1 n 耳) = & e j ：1 口( 8 ) “p 8 ( 1 n 五一口( s ) d s + 伊( 口l b ) 一砚0 ) ) 2 d s + 口l ( 。) 一眈( s ) 1 d 佴皆 l n 耳) 一k 凰p 口( 1 n 五一启g ( 3 ) 山 铲( 口1 0 ) 一。_ ( s ) ) 2 d s + 。p l ( 5 ) 一口2 ( s ) d - 矿乒 l n 打) 7 证明 l 当t 岛，s 丁 昌，s ，s 丁刚p ( 岛 k s ) = b e 口 曲，t 却 s r ，s ， 爵，爵 耳，s ，三未；一蠹l 圳诤莲i 蠹譬j # 垂j 薯耋嘉i ； 一时誓霎薹! 磊娶崔襞瑷嚷辱鏊喇勇婆荔薷霉鏊霪翌雾馨霪鏊囊雾鬓萎雪莲计 算如下= 口e o 曲丘卸 耳，s ，! ) 】一b t k e o 0 s rk，s，三n)1= 如一厶 仍冗o bteo5“跆k岛三k s trj：“sldsprlstk。s；2k1 岛ejg(s)如p8(i。磊一g(s)ds+铲(口l(。)一a20)2办 +启1(盯l(s)一盯2(s)d叫孑1nk，ln磊一j丁q(s)出+f(仃l(s)一矿2(s)2ds+ f(口1(s)一砚(s)d乒lnk) ： & e r q ( s ) 出( d l ，b 1 ，p 1 ) 2 k且(d2，62，内) ej-q(s)“(d1，b1，p1)一ki九(d2，62，p1) 。一9 ( s ) 如( n 1 ) ( _ 6 1 ) 鼠鲁e r q ( s ) 如( 2 ) ( 一b 1 ) + 鼠e r q(5)如 (d1，bl，m)一kbt(如，62，以) 2当tr，此时履约价是否被重设变成已知，故( 1)若岛三，履约价不重设，则相当于履约价为k的欧式期权，无 套利价格为： 兄q=bceo【(岛，一k。)+l五 ： e r g ( s ) 如( d 1 ) 一面b # ( d 2 )( 2)若昌 s ，s ， s ，s ，( k 、 = 鼠互b ，e r 口( s ) 。s p r ( 爵 s 下) = & 静e j ( 5 ) 4 3 ( 一6 1 ) ( 。2 ) g 1= & e ra ( 8 ) 如( n 1 ) ( 一h ) 一鲁e f9 ( 3 ) 出( 一b 1 ) ( 毗) 同样利用测度的转换和鞅的性质，第二部分g 2 计算如下 = 口e 甜 曲丘卸 耳，s ，) 】一b t k e o 0 s r k ，s ，三n ) 1 = 如一厶 仍 冗o b t e o 5 “跆 k 岛三k s t r j ：“s l d s p r l s t k 。s ；2 k 1 岛e j g ( s ) 如p 8 ( i 。磊一g ( s ) d s + 铲( 口l ( 。) 一a 2 0 ) ) 2 办 + 启1 ( 盯l ( s ) 一盯2 ( s ) ) d 叫孑 1 n k ，l n 磊一j 丁q ( s ) 出+ f ( 仃l ( s ) 一矿2 ( s ) ) 2 d s + f ( 盯1 ( s ) 一砚( s ) ) d 州乒l n k ) ：& e rq ( s ) 出( d l ，b 1 ，p 1 ) = k 且( d 2 ，6 2 ，内) e j - q ( s ) “( d 1 ，b 1 ，p 1 ) 一k i 九( d 2 ，6 2 ，p 1 ) 。一9 ( s ) 如( n 1 ) ( _ 6 1 ) 鼠鲁e rq ( s ) 如( 2 ) ( 一b 1 ) + 鼠e r q ( 5 ) 如 ( d 1 ，b l ，m ) 一k b t ( 如，6 2 ，以) 2 当t r ，此时履约价是否被重设变成已知，故 ( 1 ) 若岛三，履约价不重设，则相当于履约价为k 的欧式期权，无 套利价格为： 兄q = b c e o 【( 岛，一k 。) + l 五 ：e rg ( s ) 如( d 1 ) 一面b # ( d 2 ) ( 2 ) 若昌 ，履约价重设，则相当于履约价为舅的欧式期权，无 套利价格为： r 岛= 岛月q 【( 曲一爵) + 五 ：& e j _ 口( s ) d s ( d i ) 一s 鼠( d 2 ) 1 1 证毕 推论3 2 传统重置卖权t ( t r ) 时刻无套利价格为： r 只：一& e r 。q ( s 冲( 一。1 ) ( 6 1 ) + 鼠鲁e f 目( s ) 出( 一。2 ) ( 6 1 ) 一& e j t l 口( 5 ) 幽( d 1 ，一6 1 户1 ) + 风( 一d 2 ，一b 2 ，户1 ) 其中o 。，n 2 ，h ，6 2 ，d z ，屯p - 同记号( 1 1 ) 中所设 推论3 3 看涨看跌期权平价关系为： r q r r ：岛e f 口( s ) 如一巩 作为定理3 1 的特殊情形，有 推论3 4 若市场无风险利率r ( t ) 、股价瞬时波动率一( t ) 、连续股利 率口( t ) 均为时间t 的非随机函数，则传统重置看涨期权看涨期权无套利 价格、勺： 岛e r 口( s 冲( 矗，玉，应) 一打e rr ( s ) 如( 岛，画，历) + 瓯e j q ( s ) 出 ( 面) ( 一矗) 一岛e f t ( s ) d f ( r ( s ) 一q ( s ) d s ( 面) ( 一薪) ， t r ： & e j - g ( s ) 出( 五) 一耳e j r ( s ) d s ( 五) ， t ts 岛e 一铲g 【s ) “( 玉) 一s ，e rr ( s ) 西( 五) ， t 丁1s 丁 k 其中面，屯瓦，如，玉，五，区同记号( 1 2 ) 中所设 作为定理3 4 的特殊情形，有 推论3 5 若市场无风险利率r ( t ) 、股价瞬时波动率a ( t ) 、基础股票 红利率口( t ) 均为常数，则传统重置看涨期权无套利价格为： r o & g 一口( 1 1 _ ) ( 矗，五，m ) 一k e r ( r 一) ( 岛，也，瓜) 十岛e g f 一) ( 血) ( 一班) 一岛e 一( 7 一r ) 一q 一一。) ) ( 如) ( 一矗) ， t r ， 鼠e q ( 7 一) ( 五) 一k e r ( 7 一t ) ( 也) ，t r ，爵 鼠e 一口( t 一 ) ( 五) 一s ，e r ( t 一) ( 画) ，t - s 鼻1 一b e 。 舅t s r s ，) = 五一如 ：玩f 口陋e r 口( s e 一 f ( 一( s ) 一一z ( s ) ) 2 n f 5 ) 一口z ( 5 ) 8 僻宁i 曲 鼻 ：b t 五e rq ( s ) 如e 8 0 s ， 鼻 ：e fq ( s ) d s p 8 ( 爵) = b f 口( s ) 出p 咒( j n 岛 1 1 1 爵) ：e fq ( s ) d s p 8 ( 1 n 曲 l n 易+ l n b ，) = 一 一 儿= = = = 所以 s e r “棚s p 8 ( 1 n 五一( s ) 幽+ ( 。1 ( s ) + 【盯l 如) 一盯2 ( s ) d i 矿0 l n + l n b r ) 函b 一铲q 马f o 岛l 曲 冉) 】 詈茗薹警猕k 肭沪吲啪咖，埘蹦b b ，e 。f 盈e f “s 冲e 一 f ( ，1 扣) 一。2 ( s ) ) 2 幽+ j ：p - ( 5 ) 一4 2 ( 8 ) 】d 佴t 毋 s 。) 鲁e f 2 5 4 8 ( 。1 ) q ( ，鼠，钆，t ) ：s t e rq ( s ) d a 缸1 ) 一岛鲁e f q ( 3 ) “( n 1 ) 利用前面的结果，第二部分耽如下 仍( & ，岛，巩，t ) = 巩日口【( 研一k ) + i 矗】 = 缸e q ( 爵0 鼻 k l j 一面岛e q ( 爵 研) = h e 口( z ；b ，q s f k “一k 6 t e q ( i s ， k ) ) = 坼辟e 。 磊e 一， r 口( s ) 咖e ( 一l ( s ) 一a ：( s ) ) 3 出+ r p ( 8 ) ，2 ( 5 ) “矸i 鼻 】 一耳6 ，q ( s ： 巩导盈8 一j t 目( 5 ) 曲p 8 ( 舅 k ) 一耳6 t p o ( s f 耳) = e fq ( 3 ) 如e j t q ( 5 ) 出p 丑( 1 n s l n k ) k k p o ( 1 n 肆 1 n 耳) ； 最e 一五g ( 5 ) 出p 8 ( 1 n 磊f q ( 8 ) 幽+ l n z 一+ ；f ( 吼( 5 ) 一以( j ) ) 2 幽 十j c 盯l ( s ) 一d 2 ( 8 ) 阵i 挚 l k ) 一k k p 日( 1 n z t + l n b r j 了q ( s ) d 8 一髟( 一，( s 。e _ j ：q b 6 p 口( ：s 。rk q b 1 7 所以： r g l ( 鼠，b e ，b t ) = 最( e 一伽油一鲁e 一上7 如汹) 扣1 ) + 鼠e t f “，) 由( 6 1 ) 一盯乱( 6 2 ) 证毕 定理4 2 当t r 时，由( 4 1 ) ，( 4 2 ) 描述的重置看涨期权t 时刻的无 套利价格为： r 四= 鼠e 口f ( 曲，一日) + j 五 = 鼠e j t q ( 5 ) “( d 1 ) 一s 且( d 2 ) 其中d 。，d 。同记号( 11 ) 中所设，6 。表示t 时刻到期的零息票债券在 t 时刻的价格，b ，= 鲁。 证明：因为该期权持有者在重设时点r ，必须对原定的履约价k 重 设，将履约价重设为舅，所以当t r 时与t r 时的无套利价格计算公 式不相同，当t r 时，期权的价值与履约价为爵，的欧式期权的价值 计算相同 推论4 3若市场无风险利率r ( 虬股价瞬时波动率。( ) 、连续殷 利率g ( t ) 均为时间t 的非随机函数，则无套利价格为： 晔 & e f q ( 对出( 萄) 一e f “s 汹( 品) + & ( e f q ( 州s e r r ( ，) d s f 口( s ) 如) ( 西) 岛。一j _ 口( s ) 幽( 五) 一。，。一f r 【s ) d s ( 磊) ， 其中西，反，岛，五，五同记号( 1 ，2 ) 中所设 作为定理4 3 的特殊情形，有 推论4 4若市场无风险利率r ( t ) 、股价瞬时波动率一( t ) 、基础股 票红利率g ( t ) 均为常数，则无套利价格为： r 四= 嚣：勰竺= 器耘咿p 忆e 叫卜灯叫删暑 其中卉，矗，岛，j 。，如同记号( 1 ，3 ) 中所设 2 当t t 时： y e 9 0 = 2 乎 = & e g 【t = eq ( t 其中n ：、6 ：、醍，啦，畦同式( 3 1 ) 中所设 三d e l t a ( d e l t = g 器) 的计算 1 当t r 时： 肆e r f 一。妒( 五) 畦 铬逆) d e j 地= ；簪 = e g 盯一) ( 岛) + 鼠e 一口p 一。妒( 矗) 器 一耳e 一( 7 一妒( 岛) 磬+ e q ( t 一。) 一e 一7 ( t 7 ) e 一4 ( 7 一) 】( 西) = e g ( 7 一) ( 日) + 鼠e 4 ( 7 一) 妒( 6 b 瓦另磊 一耳e 一7 一一) 妒( 岛) i 孑专霜+ e 一4 口一。) 一e 一( 丁一7 ) e 一4 汀卅 ( 面) = e q ( r 一。) ( 醍) + + e 一口( t 一) 一e 一7 ( t 一7 ) e q ( 丁一。1 】( 血) 2 当t t 时： 删缸：蓉懈旷咿卅舶) 蕞母叫。如罐 = e 一口f r t ) ( 画) + 岛e q ( 7 一1 妒( 五) 熬一s e ”( 7 。_ p ( d 2 ) 箍 = e 一口( 了1 一) ( 玉) + 岛e 一。( 7 一) 妒( 矗) 百为雨一s e 一7 t 一。1 妒( 五) 瓦；专罚 = e 一。( t 一) ( 五) + 2 享；簪妒( 矗) 1 一鲁 矾f 出也 妒妒 第五章重置期权的第二种创新设计 5 1 模型介绍 该重置买权与传统重置期权的区别在于：在事先指定的时间r ，如 果s 函，履约价不重设，但是若肆 s t k ， s s ，( 5 1 ) 其它 5 2模型定价 定理5 1当t r 时与t r 时，模型( 5 1 ) 的看涨期权t 时刻的无 套利价格计算公式相同，为： r 曙= ( e f 咖出一鲁e f 咖冲) ( 0 1 ) + 岛e f 如胁( 一n ，) d l ，p 2 ) 一舳( 一屯p 2 其中o t ，0 2 ，d 1 ，屯m 同记号( 1 1 ) 中所设，b 。表示t 时刻到期的零息 票债券在t 时刻的价格，研= 导 证明：因为模型( 51 ) 的重设条件与t 时刻的标的资产价格毋有 关，所以在到期之前都不能断定是否履约价重设，所以当t r 时与 t 且曲 o 为常数( 通常取l o o ) 文献 1 中详细介绍了重设型熊市认售权证及其定价，但是p 2 7 4 第 ( 1 1 ) 式中 乎( 1 n 字 o ) = ( 一磁) 。 是错误的，应该是： 帮( 1 n 字 耳， ( 6 2 ) i o ，曲s o 为常数( 通常取1 0 0 ) 定理6 3重设型牛市认购权证的期初价值为 = 暇+ 圪 = n e x p 卜口r ( t ) 班) v ( 一d 2 ) e x p p ( r ( t ) 一g ( t ) ) 出) ( d i ) 一( 呓) + 案e x p 一层g ( t ) 姗2 ( d 1 ，n ，p ) 一ae x p 一詹r ( t ) 奶2 ( d 2 ，0 2 ，p ) 其中。邶2 ，d - ，d 2 ，味呓，p 同定理6 2 中所设 作为定理6 3 的特殊情形，有 推论6 4若市场无风险利率、指数连续股利率、指数瞬时波动率 均与时间无关，即r ( t ) 、q ( t ) 、a ( t ) 为常数，则重设型牛市认购权证的 期初价值为： = a e 【p 一r t ) ( 一d 2 )