（应用数学专业论文）非双倍测度下morreyherz空间上的几个有界结果.pdf

摘要 设肛是仅具有增长条件的非双倍测度，分别定义了一类非双倍测度下的 r b m o ( ) 函数b 与c a l d e r s n z y g m u n d 奇异积分算子和分数次积分算子生成 的交换子【b ，雹和【b ，马】借助于s o f i a 的证明技巧，应用m o r r e y h e r z 空间 定义的h e r z 型空间的特点、以及r b m o ( t z ) 函数所具有的类似于b m o 函数 的性质，并利用非双倍测度下方体之间的系数杨，r 的性质，我们首先得到了 非双倍测度下h a r d y l i t t l e w o o d 分数次极大交换子蟛在m o r r e y h e r z 空间 中的有界性，进而得到非双倍测度下交换子【b ，卅和【b ，引在m o r r e y h e r z 空 问中的有界结果此外又讨论了非双倍测度下一类m a r c i n k e w i c z 积分在 m o r r e y h e r z 空间中的有界性问题，得到了类似地结论 关键词t 非双倍测度；交换子；r b m o 函数；m o r r e y - h e r z 空间；有界性 a b s t r a c t l e tpb ean o n - d o u b l i n gm e a s u r e t h eo n l yc o n d i t i o nt h a t “m u s ts a t i s f y i st h eg r o w t hc o n d i t i o n i nt h i st h e s i s ，w ed e f i n eac l a s so fc o m m u t a t o r sf b ，列 a n df b ，马 w h i c ha r eg e n e r a t e db yc a l d e r 6 n z y g m u n do p e r a t o ra n df r a c t i o n a l i n t e g r a lo p e r a t o rw i t hr b m o ( # ) f u n c t i o nbf o rt h en o n d o u b l i n gm e a s u r er e - s p e c t i v e l y b yt h em e t h o do fs o r i a ，u s i n gt h em o r r e y - h e r zs p a c ew i t ht h e c h a r a c t e r i z a t i o no fh e r zs p a c ea n dt h ep r o p e r t i e so ft h er b m of u n c t i o n se l l - j o y i n gw i t ht h ec l a s s i c a lb m o ，a n dt h ep r o p e r t i e so fk q rf o ra n yt w oc u b e so n n o n - d o u b l i n gm e a s u r e ，f i r s t ，w es h o wt h eb o u n d e d n e s so ft h eh a r d y l i t t l e w o o d f r a c t i o n a lm a x i m a lc o m m u t a t o r 蟛o nm o r r e y h e r zs p a c ew i t hn o n d o u b l i n g m e a s u r e ，t h e no b t a i nt h eb o u n d e d n e s so f 【b ，明a n df b ，霹 o nm o r r e y - h e r zs p a c e b e s i d e s ，t h eb o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l f o rn o n - d o u b l i n gm e a o s u r eo nm o r r e y - h e r zs p a c ei sa l s od i s c u s s e da n dt h es i m i l a rr e s u l ti so b t a i n e d k e yw o r d s ：n o n d o u b l i n gm e a s u r e ；c o m m u t a t o r ；r b m o ( # ) f u n c t i o n ； m o r r e y h e r zs p a c e ；b o u n d e d n e s s 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的切责任和后果 敝懒各王汞冈嘲呷年年月t 。日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于； 保密口，在年解密后适用于本声明 不保密彬 ( 请在以上方框内打 ) ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 孓 卜 年 年 7 汐1 一 期 期 孙 一扣沁 王 ，、 ：i-f1 娃 签 ： 者 名 作 签 文 师 论 导 引言 引言 调和分析的思想和方法来源于分析的许多分支，几乎渗透到数学的所有领 域调和分析中建立的许多分析工具诸如算子插值方法、极大函数法、球调和 函数理论、位势理论和一般可微函数空间等都是研究偏微分方程的必备工具 近几十年来，随着调和分析理论的发展和逐步完善，它在偏微分方程中的应用 显得尤为突出其中c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子及其交换子的研究是调 和分析中的一个重要组成部分，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型积分等问题 有着密切的联系，所以对这类算子的研究一直是现代数学的热点问题之一许 多经典算子及其与b m o 函数或l i p s c h i t z 函数生成的交换子在偏微分方程中 有着广泛的应用因此研究这些算子或交换子在函数空间上的有界性是一个十 分有意义的问题 1 9 3 8 年c m o r r e y 为了研究二阶椭圆偏微分方程解的局部行为，定义了 m o r r e y 空间【2 3 】，由于m o r r e y 空间可以视为l e b e s g u e 空间的推广，这类空间 在研究偏微分方程解的正规性方面起到了非常重要的作用 关于h e r z 空问的研究始于1 9 6 4 年，b e u r l i n g 为研究卷积代数弓l 入了一 些基本形式的h e r z 空间，四年后h e r z 给出不同形式集合下定义的空间此后 h e r z 空间理论得到了很大的发展，这对于偏微分方程及相关领域的研究起到了 较大的推动作用陆善镇和杨大春等( 参见【1 6 ，【1 7 】，【18 ，【1 9 ) 将h e r z 空问理论 进行了多方面系统的研究，这使h e r z 空间理论更加受到人们的关注而得到长 足的发展许多作者推广了上述的m o r r e y 空间和t i e r z 空间，得到了一类新的 空间一m o r r e y h e r z 空间这类空间受到了人们的重视，得到了很多算子和交 换子在m o r r e y - h e r z 空f _ 可上的有界性结果 而在最近的三十年里调和分析最重要的工具之是齐型空间，它由一个距 离或齐次拟距离空间和个满足双倍条件的测度构成，即存在常数c ，对每个 中心在x ，半径为t 的球b ( z ，) ，有 p ( b ( z ，2 t ) ) c p ( b ( z ，t ) ) 然而让人们惊喜的是在1 9 9 8 年，n a z a r o v ，t r e i l 和v o l b e r g 2 4 | i 【2 5 】给出了在非双 1 青岛大学硕士学位论文 倍条件下有关c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的理论，他们利用的非双倍条件测度的 定义为；对欧几旦德空问r m 的向量z = ( x l ，x 2 ，x 3 ，) ，设p 是个r o d o n 测度，称是乱一维非双倍测度，如果它仅满足下面的增长条件 p ( b ( z ，亡) ) c o t n ，0 几m ， 其中b ( x ，t ) 是以z 为中心半径为t 的球，g 为常数 2 0 0 1 年，t o l s a 对非双倍测度下c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子进行了 研究，引进了r b m o ( # ) 空间，得到了这一算子从o 。( p ) 到r b m o ( # ) 的有 界性并讨论了r b m o 的对偶空间日1 ，利用s h a r p 极大算子证明了如果一个 算子从己o 。( 芦) 到r b m o ( # ) 有界且从对偶空间日1 到1 ( 肛) 有界，则该算子 是在p ( p ) 有界的，其中l p 同时也证明了如果c a l d e r d n z y g m u n d 算子在2 ( 弘) 中有界，则其与r b m o ( 肛) 函数生成的交换子在驴( p ) 上有界， 1 p 扩， 我们燃q cr m 是( q ，p ) 一双倍，如果肛( a q ) p p ( q ) 般我f f 诹a = 2 根据增长条件的定义这样的方体是存在的 x t o l s a 在文献【3 2 】中给出了方体系数g q ，r 的一些性质，在此简单列几 个如下 定理1 1 1 3 2 】 4 第一章分数次极大交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性 ( 1 ) 如果qcrcs 是r m 中的方体，则有，r 翰，s ，ssc g q ，s 和硒，s c ( 比，r + 强s ) ( 2 ) 如果qc 冗，且它们大小是可比较的，则k 口，r c ( 3 ) 如果是个正整数，对某个p 1 是个固定的常数，称b 三如( 妒，p ) 为r b m o ( r m ，肛) 函数，是指存在与b 无关的常数c 满足 s u p 南厶m 堋。( 6 ) l d 肛( z ) s c 1 是个固定的常数，p 【1 ，。o ) ，称b 跣。( p ，p ) 为r b m o v ( r n ，p ) 函数是指存在与b 无关的常数c 满足 ( 志正1 6 ( 旷州6 ) l p 批( z ) ) l p c 。o ， 青岛大学硕士学位论文 且 l m q b m r b i e 翰，r ，对于任意的双倍方体qcr ， 使得匕述不等式成立的最小的常数c 为函数b 的r b m o p 范数，记为| | 6 l j 。，p 同时，x t o l s a 也证明了，对于p 【1 ，。o ) ，空问r b m o p 的范数”i i 。，p 是等 价的 t o l s a 还证明了许多在经典b m o 空间中成立的性质在非双倍条件下仍然 成立例如：证明了j o h n n i r e n b e r g 不等式，r b m o ( # ) 的对偶空间是原子 h a r d y 空问h 1 ( p ) ；以及如果c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子在l 2 ( p ) 有界，则它是 l o o ( p ) 到r m b o ( # ) 有界的，且c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子与r b m o ( # ) 函数 生成的交换子在护( 纠有界，以及重要的t ( 1 ) 定理等等 下面介绍一些对本文有所启发的相关理论 郭燕和盂岩在文献f 7 】中证明了c a l d e r s n z y g m u n d 算子在h e r z 空问上的 有界性 定理1 1 3 1 7 1 算子 ， t f ( x ) = k ( x ，y ) f ( y ) d t t ( y ) ，n e z r m s u p p ( f ) ， ，r m 其中g ( x ，y ) 是满足c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的核函数的条件若t 在l 2 ( 肛) 中有界且b r b m o ( # ) ，则交换子f b ，习在磅p ( 弘) 和叼p ( 肛) 中有界，其中 - n q o t n ( 1 1 q ) ，0 p 。o ，1 q c k ) 伍火熊等 1 4 1 得到了非双倍测度下多线性分数次积分算子【b l6 2 ，厶2 从 l 甄三驰到工口有界性和厶是从汐到l o r e n t z 空问三g ，o o ( 肛) 有界的 杨大春，胡国恩等在文献【1 1 】中证明了在非双倍条件下多线性交换子的有 界性定理 定理1 1 4 f l l 】设k n ，j = l ，2 ，k ，晚r b m o ( # ) t 和露满足如 下条件 t f ( x ) = k ( x ，剪) ，( 剪) 舡( ) ( 1 1 ) ，r “ 掰( z ) = 【b k ，【b k 一1 ，f b l ，? 】，( z ) ( 1 2 ) 若r 在2 ( p ) 上有界，则多线交换子巧在p ( p ) ，1 p 0 使得 i l 搿怯似) c l l b , i i 。i i b 七l l 。i i f l l l ，v f ( 肛) 他们在文献【1 0 中还证明了一类m a r c i n k i e w i c z 积分在l 2 ( p ) 上的有界性 保证了工1 ( 肛) 到l l , o o ( p ) 和日1 ( p ) 到工1 ( 肛) 的有界性 另外，韩彦昌【9 】对非齐型m o r r e y 空间上的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，分 数次积分算子与r b m o 函数生成的t o e p l i t z 型算子进行研究并得到了它们的 有界性结果 本文中，我们始终令b k = 刀狂p ：2 七，k z ) ，a k = 鼠b k 一1 记 矶= 地。为集合九的特征函数 郭燕和孟岩在文献【8 】中定义了非双倍条件下的m o r r e y h e r z 空间，并得 到了h a r d y l i t t l e w o o d 极大交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性 定义1 1 4 i s 设q r ，0 a 。，0 p 。o ，1 口 。o ，具有非双倍 测度的m o r r e y h e r z 空间m 醒岔( p ，p ) 定义为t m 峰0 ( 职n ，p ) 。 f l 乙( r m o ) ) ：m i m 程( 妒) p 。二r ， b 佃，) 1 6 ( z ) 一6 ( 箩) l i ，( 可) id p ( y ) 定理1 1 5 n令0 a 。o ，0 p o 。，1 q 。o ，且一n q + a n n q ，+ 入，则h a r d y - l i t t l e w o o d 极大交换子舰在m 蟛岔( r m ，肛) 上有界 7 青岛大学硕士学位论文 1 2分数次极大交换子在m o r r e y - h e r z 空间上的有界性 分数次积分交换子在调和分析里也是一类很重要的算子为了下一章证明 分数次积分交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性，这一节我们首先讨论非双 倍测度下分数次极大交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性问题 首先看h a r d y l i t t l e w o o d 分数次极大交换子的定义： 定义1 2 1 设b r b m o ( # ) ，1 0 ，1 d 。， 1 口l d ，一1 ：一1 一j 1 ，0 p lsi ) 2 。o 入一兰 q n ( 1 一三) ， 6 r b m o ( r m ，p ) 则蟛是m k 2 ：q 。( r m ，p ) 到m k 鑫, q 2 ( r m ，p ) 有界的 证明设f m k p 。l ，, q ，( r m ，) 记f ( z ) = ，( z ) 舫( z ) = 乃( z ) ， j = - o o j = - o o 利用j e n s e n 不等式和范数的三角不等式，可有下述不等式 i i 嗍d u 川p m l 翰冰r m ，m 。钿s u p z2 山概l 。三2 七嘞| | ( 柳力弛| | ) 啪s u p2 砘概l 七三2 鼢叭船) 泓l l y ：柚) 卯脞2 砘概。2 咖( j 量| l ( 聊办) 觚l j 脾c p 柚) w 泌2 幽砸七三2 脚1 ( ，到( 删小刈k 叫叫 知泌2 也概知曼2 脚，萎3i i ( m 孑h ) 舶i i 脾( r m ) = 日+ 最+ b 第章分数次极大交换子在m o r r e y - h e r z 空问上的有界性 首先对玛进行估计，由删从口t ( r m ，) 到l 啦( 豫m ，芦) 的有界性，可以 得到 恳c ! u 曼2 一b - f 釜2 七a p ti l f x 七腥；，( r 。) b z k = - o o c 。p m l 鞲名，( r 。，p ) 对于f 1 ，取锡是以原点为中心且包含如的最小方体，锄如同第节所 示的使2 k q 为双倍方体的方体记6 ( z ) 在劬上的平均为叻( z ) ，即乃= m c a j b 由于o g 凡( 1 1 q 1 ) ，j k 一3 ，注袁到z a k ，y a j ，则7 i z y i l z l ，所 以r n 2 k n d ，并利用m i n k o w s k i 不等式和h 6 1 d e r 不等式，以及r b m o 的 等价定义可以得到如下估计 鲫一等帆胁峪泓卜，、1 q 2 c 2 一争 上。 i 1 6c z ，一il 五c 可，l d p c y ， 钇d 肛c z ，) u _ ， 十g 2 一争 入一一n ，类似于目，可有 9 2 删乃c 2 乎厂i b ( z ) 一b ( u ) ll y e ( 剪) i d a ( 秒) j p a j c 2 - a - - ： i b ( x ) 一ii 乃( 可) l 舡( 秒) + 争z 。1 6 ( 秒) 一如ii 乃l 妣( n 10 心一 v 昂一覃万双伏傲灭父饫亍仕m o r r e y - h e r z 仝i j 上网句界任 因此 l l ( 蟛兄) x k l l 扩舢小 鲫乎舨【：ji b ( x ) - b i f j ( y ) i d # ( y ) 卜d # ，r 彻乎扳跏沪圳蒯叫啦叫纠钇 鲫乎( 小圹蜊出) ) 纠啦加咖) + c 2 乎( z 。( 乙1 6 c 秽，一幻l 仉d p c 秽，) 仍啦7d c z ，) u 驰l i 乃l i l 虮。r 。， c 2 - d - - 护- k o 。岛2 警2 歹，l 1 一吉) l i 圳。i i 如0 l 。( r 。，曲 + 优等夕n ( 1 一者2 警f | 6 | f 。f l 乃f f l 。( 窿。，m c 2 警( j 一后) 2 警2 加1 一云圳。l l 办i l l 。，( 酞。，砧 + e 2 争夕”( 1 一言2 警1 1 6 l i + l l 乃| f 助( r 。柚 c ( j 一屉) 2 七一加亩i i jj l e ，( 醒m ， 这里同样用到了。岛o ( j 一后) 所以 胚c s u p 2 - k 。入mb e 。2 恸乙萎。2 伽叫m 龟卜功| l 矧k 吣n 脚) 纠址s u p z2 - k 。 、m 七三l 圣。2 扭| | 引b 堆m 柚2 。h 叶渤。以) 。 也分为两种情况1 ) 当0 1 时，写成 cs u p2 一b 却1 z br 硒 fif 二一l 二 七= 一u = 舡 3 b + cs u p 2 嘲概ko e z 七= ： = e 1 一e 2 对于e 1 ，由h s l d e r 不等式 o o 2 j nof ji i l q l ( r m ，p ) 2 扣烈时卺( j 一尼) l p l 1 2 j 口i lf j l q l ( r m ，p ) 2 一口+ 嚣( 歹一七) l 1p l 且c 警蛐，七叁隆细刈腮柚2 ”州雌) p 1 2 b1 肌饯 2 忙。十嚣刚2 d - k ) p 5l = 七+ 3j cs u p2 一幻概 幻z b 弋2 j 叩1 ，一 k = - o vu = 七+ 3 b cs u p2 一b 却1 叩1i k o e z = 乞 cs u p2 一如确 h z ，2 一o c “易。r 。，力2 ( 七一j ) ( 口+ 云) p 1 2 】 j - 3 慨( r m ，d 2 肛烈卧嚣m 2 七= 一o o 2 卸1 i l 乃| l 舄，僻。一) c i i f i i m k 泉。( r 。) 对于局的估计，注意到歹 k o 后，a a 一凡q 2 ，以及明显成立的不等式 f j p 1 7 1 ，| i ) 2 一印1 e 2 cs u p 2 一幻1 b z j 2 l 哦a p l n ( r 。柚，并应用h s l d e r 不等式，有 l = - c d b 2 弛怕怖( r m 柚2 烈叶嚣“7 2 k = - o ob = k o + 1 2 ( k - j ) ( a + 刹7 2 o 一七) m 1 3 蚶 b 青岛大学硕士学位论文 c s u p 2 一钿却l 幻z cs u p2 一b 扫l 幻z cs u p2 一幻城 b z cs u p2 一b 枷1 k o e ：z cs u p2 一b 枷l b z ( 分嘞t l k = - o o = k o + l r f 2 伪。叶嚣一 t j = k o + l k o f ( 吼i i k = - c o j = k o + l 氟】o o 2 叫群 七i o oj 2 k o + l k o 办i i 岛。r 。，p ，2 ( 七一j ) ( 口+ 苗+ a k ，1 2 ) 1 p l ，l a ) p i 2 ( 歹一七) p il j 办i i 器。醒。班，2 碑一力( d + 苗+ p l 2 ) 嚣m 2 2 t 嘞i i 川弘，( r ) 。一、- l r ， f = 一 、2 ( 知一j ) ( 口十薏+ a ) p l 2 2 j p l a 二一 南= 一j = k o + l r j p a ( 2 却1i i l l = - o o b 弋铲( n + 嚣+ a 协2 二一 k = - p a ( 壹2 恸 ll ：一o o 2 - - o r 眈n 生一 ) p l 2 蚓吣( r m 懈s u p2 山概2 嘞国增。溉肛七三2 以叶妒枷2 c 1 嗽7 1 扣“s u p z 2 一b 岈晰景一舯2 咐老+ 蝴 c 。p m l 糍奄，( r 。，p ) 定理证毕 1 4 m 1j p ” 、l ， 、，p m 受 ，i lm 耶i 五 1 l u j b 屈 + n 瑚憾 乒五 第二章两类交换子在m o r r e y - h e r z 空闻上的有界性 第二章两类交换子在m o r r e y - h e r z 空间上的有界性 有了上一章的结果及已知的结论，这一章我们进一步分别讨论c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子和分数次积分算子与r b m o 函数生成的交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性问题 2 1c z 交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子在函数空l 司的有界性是调和分析的热点i 司题之一 在这节我们讨论非双倍测度下c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子与r b m o ( r m ，肛) 函 数生成的交换子在m o r r e y - h e r z 空间上的有界性 定理2 1 1 设线性算子丁在( 璃口，p ) 上有界，且满足局部尺、j 条件 i t ，( 嚣) is 警，防i 2 j + 1 ，坳z ；( 2 1 ) i t f ( z ) l - - _ 兰挚，l z l 2 j 一2 ，坳z ； ( 2 2 ) 其中，1 ( 酞m ，肛) 若0 入 。o ，0 p 。o ，1 q 。o 以及入一一n q v 鼋 + c 上。( r ( ( 6 一九) 办) ) g 咖( z ) ) v 窖 c 2 ( ) 詈l l f jl ll 。( r 。，p ) 俐。 + c 2 一j ) 号i l 厶i l l q ( r m , p ) 南正。，毋，1 6 ( y ) 一6 七 a 7 d p ( 剪) ) 1 7 ， c 2 ( 2 ) 号l l f j l l l 。( r 。，p ) | | 6 i l + + c 2 叠一号饧。，刨剐l 。( r m ，p ) l l b l l 。 c 2 ( 一詈0 一k ) l l j l l l 。( 采。，p ) l i6 l | 。 c 2 ( 七一j ) 号( ，一k ) l i l ll 口恤。、， 由此，类似于上一章的证明，可以推出 风纠郴2 - k o a s u p 。叁喙叫眺啦。2 ”烈q b 叫胪 风纠郴 t 。三l ，萎3 2 如| | 矧k 啦m 2 。叶争。以) ， c | i ，i l m 程( r m ，p ) 定理证毕 有了上面的结论，容易得到c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子在非双倍条件下的有 界性 定理2 1 2 设b r b m o ( r “，弘) ，若t 是在三2 ( p ) 上有界的c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子，并满足局部尺，j 条件 m 胚c 上。辫州办- ，r ”j 山一y l 其中f l 1 ( r m ，肛) 如果0 入 。o ，0 p o o ，1 q o o 以及 a n q a n ( 1 一l q ) ，则交换子f b ，邪在m 蜂矿( r m , p ) 上有界 17 青岛大学硕士学位论文 证明 = 研+ 避+ 磁 条件l t ，( z ) i c 上。古当貉咖( y ) 可转化为 l 丁，( z ) l c 上。i f l z ( 蜜il ，d 肛( 剪) = 警， 这即是定理2 1 1 条件( 2 1 ) 对于嘎，可利用交换子【b ，卵在l q ( r m ，p ) 上有界性【l l 】得到结论 对于职，这时k 一7 4 ，z a 七，y a f ，那么i z y i l y i 一2 j 则算子 t 的尺- 条件l t ，( z ) i c 上。面i f 一( u y ) l l d 肛( y ) 可转化为 m ) i c 上。而l ( y ) l 蛐) = 学， g 1 1 1 县定殚2 1 1 条件( 2 2 1 利胃幸珲2 1 1 即可证明该宗理 1 8 y y ) 厂i i 矗，一，r-l+ 娜枞剐ii圣呓=i8吃i一肾世地地 m a 幽 2： 2： 龇 矧 r 叩口 叩臼 涸 唧懈 b 托 托 第二章两类交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性 2 2分数次积分交换子在m o r r e y h e r z 空间上的有界性 这一节我们给出分数次积分算子与r b m o 函数生成的交换子在m o r r e y h e r z 空问的有界性 定理2 2 1 设b r b m o ( r ”，p ) ，0 l n 若丑满足局部尺q 条件 i t d ( 删警巾i 兰2 i + 1 , 坳z ( 2 3 ) t t f ( 圳警巾l 2 i - 2 吆 ( 2 4 ) 其中，l 。1 。t 、r m ，p ) 如果o a 。，1 9 1 芋，壶5i 1 一寺，o p 1 胁 。，入一旦 o 礼( 1 二) ，并且交换子f b ，丑 将l q l ( ，p ) 连续的映入 l 口2 ( r m ，p ) 那么交换子【b ，五 将m - 玎 p q l , a q ，( 妒，p ) 连续映入到m j 嚷刍。( 珏妒，p ) 证明设f m 秘刍。( 黔，记f ( z ) = ，( x ) x j ( z ) = 厶( z ) ， 利用j e n s e n 不等式和范数的三角不等式，有 i | 【6 丑嵫魄枷。，川 懈s u p2 嘞概t 老三2 脚2i i b ，t 1 ( f 地) | 憾。( 趴西， c ? u 22 一b 却1 2 锄t l b ，t t i ( f x l 。lp 叫殛叫 b z 七三乞 、一 c s u p2 2 。枷，2 岛卸1i i 【6 五】( 乃x 七) i | 器。( r 。，p ) b z 七= 乞j = 乞 、 + cs u p2 一七。卸2 k a p li i b ，五 ( 乃) ( 七) i i 器。( r 。柚 k o e z 七三 j = 一k - 3 、”7 + es u p 2 一七。枷- 2 k a p li i b ，丑 ( 乃x k p l 纵r 。舢) k o e z 七三 j = “k + 4 。 、” = + j 2 十以 青岛大学硕士学位论文 对于以，当。a t , ，y 山时，2l y i i x l ，则类似可得 陋k ，p k - 4 卜陋i - ( n - t ) 如i 似矿地小l ，曼驯蜘， c m y 。，( z ) ， 利用定理1 2 1 ，得到 五5c l i 孵7 训巴糍鲁。( 帅) c 嚣磺乞。( r 叫 对于如，由已知交换子【b ，五 将三口1 ( 狂2 ，p ) 连续的映入三9 2 ( 碍p ，p ) ，得 坯e 泌2 幽枷良三2 脚1l ，萎。i i ( f j k - 3 删鹏) 卯r m ， k ，p l 对于五，由歹k + 4 ，z a t , 根据( 2 4 ) 式，类似于风的推导过程可得 i | ( 【6 ，列( 办) ) 圳脾( 豫。， i i ( b 一) 五( 厶) l l l 眈( r 仇，p ) + l i 丑( ( 6 一b k ) h ) l l l 眈( r m ，m c ( j - k ) 2 七一云f i 硼。i l 办l l 。，( r 。乒) c 2 ( k - j ) e r 。td 一尼) l l f jt l 胂( r 。，p ) ， 由此并娄似于b 的估计，同样推出 以c 岛s 。u p z 2 - k 。a p l 磨：z 一。乙三。+ 。2 j , 1 | | ，l | l 乱( r m ，p ) 2 一口+ 嚣( j 一七) p 1 k s 刚州器鞲扣。，d 练上可得 | i 【6 ，正 ( ，) i i m 糍名。( r m ，p ) c | l 州m 糍奄。( r m ，p ) 定理证毕 定理2 2 2 设b r b m o ( r m ，肛) ，0 7 佗若暑满足局部尺j 条件 m ) j c 上。器y 枞 ，r mi z i 第二章两类交换子在m o r r e y - h e r z 空问上的有界性 其中f k ( r 一，弘) ，即墨是分数次积分算子如果0 a o o ，l q z 扎，y ， l q 2 = l q 1 一l 仇，0 p zs ) 2 o o 入一n q 2 a n 0 1 q 1 ) ，并 且交换子【b ，暑 将l q - ( 珥呼，p ) 连续的映入工啦( r 仇，p ) 那么交换子【玩弓】将 m 霹，冬。( p ，弘) 连续映入到m 嵫乞( r m ，p ) 证明利用j e n s e n 不等式和范数的三角不等式有 弓】( ，) 嵫p l 壤珈m ，脚， 懈s u p2 - k 。x p l 。t 奄三2 她m l l p ，t 1 l ( f 瓢) | 瞄。( r m 柚， s c s u p2 也却1 2 k a p li i b ，暑 ( ，x 磨) 哪) w k 刖 k = 一o o k k - 4 cs u p2 一磨。却t 2 k a p , l i 【6 ，已】( 乃x ) i i 岛。( r 。，p ) k 0 6 z 蠹= 毛j 三 、一 + cs u p2 一b 却t 2 2 叩1l | f 6 ，马3 ( j c f 欺) i l 器：( 豫_ ，西 k o e z 电= 乙 j = 一k - 3 、 + c ，s u p 。2 一撕2 k a p l e j ( 艿) ( k ) ( 蛳) b z 七= 乙 j 三爵4 、 = j l + z + 最 首先对于z ，当k 一歹4 , x a k ，y 47 那么p y i l x l 则线性算 子暑满足的尺寸条件i 马，( z ) i c 上。f 竺罱批 ) 可转化为 m ) | c 厶矛l y ( y ) l 蛐) = 等掣， 这即是定理2 2 1 条件( 2 3 ) 对于以可利用交换子【b ，弓】在l q ( r , n ，p ) 上有界性得到 对千以这时一j4，zak，材aj那么izyiiyl一则线性i 算子墨4 满足的尺j 条件l z y ，( 圳c 上。f 竺罱笛d p ( 轳) 可转化为 l 弓，( z ) l c 上。1 i f l