（概率论与数理统计专业论文）随机级数的ass可和性及as收敛性.pdf

摘要 本文首先研究了b 值向量级数的收敛性与s 一可和性的关系，并得到了好 的结果：一般的复级数。都存在着一个s 一求和阵，使它可和进而研究了随 机级数的s 一可和性与本性收敛的关系，得到了随机级数本性收敛的充要条 件，类似的结论对t 一求和阵及t 一可和性也成立 接着研究了t o e p l i t z 矩阵与1 矩阵之间的对应关系，以及t o e p l i t z 矩阵与 完全正则阵之间的关系：非负的t o e p l i t z 矩阵是完全正则的并得到了类似 s t e i h a u s 定理的结果 最后讨论了随机级数( u ) a ( 。) l 形运用简化原理研究了级数的收敛性 收敛的充要条件 的收敛性；在随机系数 焉) 对称的情 在随机系数非对称的情形得到了级数 关键词 求和阵；本性收敛；完全正则阵；简化原理；a s 收敛性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，a tf i r s t ，i ts t u d i e st h er e l a t i o nb e t w e e nc o n v e r g e n c ea n ds - s u m s o fv e c t o rs e r i e si nab n a n a c hs p a c e a n di to b t a i n sag o o dr e s u l t ：t h e r ee x i s t s as u m m a t i o nm a t r i xw h i c hm a k e sg e n e r a lc o m p l e xs e r i e sa r es - s u m m a b l e b yt h e a b o v i n gr e s u l t ，i ts t u d i e st h er e l a t i o nb e t w e e ns - s u m m a b i l i t ya n de s s e n t i a lc o n v e r g e n c eo fr a n d o ms e r i e s ，a n do b t a i n sn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ne s s e n t i a l c o n v e r g e n c eo fr a n d o ms e r i e s s i m i l a rr e s u l t so ft - s u m sa n dt - s u m m a b i l i t yc a nb e a t t a i n e d t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o nb e t w e e e nt o e p l i t zm a t r i c e sa n d1 m a t r i c e si s s t u d i e d ，e i t h e rt o e p l i t zm a t r i c e sa n dc o m p e l e t e l y - r e g u l a rm a t r i c e s ：an o n n e g a t i v e t o e p h t zm a t r i xi sac o m p e l e t e l y - r e g u l a rm a r i x ：a n di to b r a i n sat h e o r e mw h i c hi s s i m i l a rt ot h et h e o r e mo fs t e i h a u s f i n a l y ，i td i s c u s s e st h ec o n v e r g e n c eo fr a n d o ms e r i e s x n ( u ) 厶( 。) ：i ts t u d i e s c o n v e r g e n c eo fs e r i e st h r o u g hp r i n c i p l eo fr e d u c t i o nw h e nr a n d o mc o e f f i c i e n t s ) a r es y m m e t r i c ，a n dt h e no b t a i n san e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no nc o n v e r g e n c e o fs e r i e sw i t h o u ts y m m e t r i c h y p o t h e s i s k e yw o r d s s u m m a t i o n m a r i x ；e s s e n t i a lc o n v e r g e n c e ；c o m p e l e t e l y - r e g u l a tm a t r i xip r i n c i p l e o fr e d u c t i o n ；a l m o s ts u r e l yc o n v e r g e n c e 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：荫散对间：a 锌叶月玎日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 导师签名；闷- 。w 秒- - 蹇 签名日期：一6 年月【7 日 一绪言 本文讨论的是随机级数的可和性理论，这里讨论的是无穷的矩阵 通常的级数求和采用的是c a u t h y 求和法，而广义求和法贝是c a u t h y 求 和法的一种推广。广义求和法是经典分析中提出的一类重要问题。显然广义和 的存在性及和的数值是与相对应的矩阵紧密联系的对于一般的矩阵变换理 论的兴趣在某种程度上是由可和性理论的特殊结果所引起的，这些结果是由 c e s r o ，b o r e l 以及其他人在上世纪和本世纪交替阶段得到的然而直到1 9 1 1 年 才由有名的德国数学家o t o e p l i t z 将线性空间理论的方法用于与序列空间的 矩阵变换相关联的问题级数广义求和法理论中的一个基本问题就是对于给 定的两个序列空间e ，f ，当无穷矩阵满足何种特征时，能将e 中的每个元素按 照特定的方式映成f 中的元素，由于从一个序列空间到另一个序列空间中的 最一般的线性算子实际上是由矩阵给出的，所以这里只研究有矩阵给出的特 殊变换 t o e p l i t z 刻划了所有映射空间c 到它自身，并保持每一个收敛序列的极限 不变的无限矩阵b = ( b n ) 自，= 1 ，2 ，的特征说得明白些，他给出关于b 的 充分必要条件使得 0 0 y n = b n k x k k = l 对每一个n 收敛，且当n _ 。0 时，只要吼一z ( i _ ) ，它就趋于1 作为 b a n a c h - s t e i h a u s 定理的应用时，可以很快的得出来当然t o e p l i t z 没有可能用 这个定理，因为它是上世纪二十年代的产物，它对定理的困难部分用的是古典 分析的方法，使用有点复杂的归谬法论证在测度论，泛函分析等已经显示了 上述结论是深刻的和有用的这些有名的t o e p l i t z 条件本文将给出之后关于 ( c ，c ) ，( z 1 ，知) ，( 0 ，f p ) 21 ) ，( 1 0 0 ，c ) 臼 1 ) ，( 岫，c ) 以及( 7 ，c ；p ) 的无穷矩阵的特征 的刻画都被给出 可和性理论在f o u r i e r 级数理论上已经有了成绩：关于( a1 ) 一可和性的 f e j 6 r 定理，或许是这一理论在连续几年很少进展以后的第一个突破还有， n o r b e r tw i e n e r 的t a u b e r 理论引导他利用l a m b e r t 可和性去证明一个素数定 理以及c e s k r o 可和性使级数的乘法取得令人满意的形式 利用无穷矩阵来研究的序列的可和性主要有三种类型；通常的，绝对的和 强的本文考虑的是”通常的”可和性 任取一个矩阵a = ( a n k ) 当且仅当对每一个n ， o 。 如( z ) = k x k 女= l 存在，且如( 。) - f ( 礼- c x ) ) 时，序列z = ( x k ) 叫做a 一可和到? ，记为 例如，若i 是标准阵，那么x k _ f ( j ) 的意义恰好是在通常收敛意义下x k - l 用( a ) 表示所有a 一可和序列的集合集合( a ) 称为矩阵a 的可和性域 于是，若a = ( a 。( 。) ) ，那么 ( a ) = x l a x c ) ， 这里c 是收敛序列的集合例如，( 日= c 特别的，当a 是t o e p l i t z 矩阵时， e ( a ) ，但在这里集合包含掩盖了由x ec ，z _ f 必有a 。( z ) 。l ，而不仅仅是 a x ec 这一更精确的信息除了( i ) = c 的明显情形之外，看起来还不能准确知 道什么使一个t o e p l i t z 矩阵等价于收敛性也有可能某一个t o e p l i t z 矩阵a 仅 使收敛序列可和，即( a ) - c 一个证明( a ) = c 的定理叫做m e r c e r 定理，这是 按照m e r c e r 命名的，他证明了这种类型的一个重要定理他的结果可以描述 如下，设a 由( z ) = o 茁。+ ( 1 一o ) m 。定义，其中n 0 ，m 。是x l ，x 2 ，z 。 的算术平均于是a 是t o e p l i t z 矩阵，因为由。 - f 必有 a n ( ) = 。：+ ( 1 一血) z = 2 ， ( 实际上没有给。以限制) m e r c e r 证明了当a 0 时，由 a 。( o ) _ + f 必有 o - 对于这个证明，可参考h a r d y 的d i v e r g e n ts e r i e s 定理5 1 一个给定的t o e p l i t z 矩阵a 可能使某些发散序列可和但s t e i h a u s 首先证明 了a 不能使所有有界序列可和，事实上他证明了一个由0 和1 组成的序列，它不 2 是a 一可和的至于原始证明可参看c o o k 著i n f i n i t em a t r i c e sa n ds e q u e n c e 却a c e s ( 无穷矩阵与序列空间) 定理44 j p k a n a n e 所给出的求和法比经典的t o e p l i t c z 求和法更一般。他所讨论 的是b 值独立随机向量所构成的级数，并得到了一个非常好的结果：若级数 为ass 一可和的，则必为a s 本性收敛的。那么它的逆是否正确呢? 本文首 先研究了随机级数的s 一可和性与收敛性之间的关系，然后按照从一维实数 空间到n 维欧氏空间，最后到一般的b a n a c h 空间的顺序研究了随机级数的 s 一可和性与本性收敛之间的关系，得到了随机级数本性收敛的充要条件类 似的结论对t 一可和性也成立；然后研究了t o e p l i t z 矩阵与7 矩阵之间的对 应关系，以及t o e p l i t z 矩阵与完全正则阵之间的关系：非负的t o e p l i t z 矩阵是 完全正则的并得到了类似s t e i h a u s 定理的结果；最后将s 一求和法运用在 随机级数的收敛性上，讨论了随机级数x 。( u ) ，n ( z ) 的收敛性：在随机系数 f 凰 对称的情形运用简化原理研究了级数的收敛性；在随机系数非对称的情 形得到了级数收敛的充要条件 本文正文分三个部分，第一部分讨论随机级数的a 矗s 一可和性与a s 本 性收敛，第二部分讨论关于1 矩阵和t o e p l i t z 矩阵的一些性质，第三部分讨论 随机级数( u ) ( 。) 的收敛性 3 二随机级数关于无穷矩阵的a s s 一可和性与本性收敛 为了研究函数项随机级数，很自然地我们引进b a n a c h 空间中的随机向量 序列在本章中，b 是实或复的b a n a c h 空间， ( m = 1 ，2 ，) 为b 值 的向量列， 五j ( n = 1 ，2 ，) 是b 中的独立的随机向量列，我们将研究形如 o o 蜀。的级数，下面先给出相关的定义和引理t 1 定义2 1s = ( a 。) m = 1 ，2 ，为一无穷纯量矩阵，若对vm l ，有 1 i ma n m = 1 则称s 为s 一求和阵。 定义2 2 给定b 值的级数曼，s ：( n 。) 。，。：l ，2 ，为s 一求和阵， l 记 w n = n 一， m = l 若对vn l ，存在，且( 嘶，n = l ，2 ，) 在b 中收敛，则称曼为关于 s ：( a 。) 可和的，或称量为s 一可和的 定义2 3t = ( b n m ) n ，m = l ，2 ，为一无穷纯量矩阵，若对vm 1 ，有 n l _ + i r a b u m = 0 ， 则称该矩阵为t 一求和阵。 定义2 - 4 给定b 值的级数莩o o ，研，s 2 ，s m ，为级数的部分和序列， t = ( 6 n m ) n ，m = 1 ，2 ，为t 一求和阵，记 = 6 。 i = 1 若对vn l ，t t n 存在，且( ，n = 1 ，2 ，) 在b 中收敛，则称曼为关于 t = ( 6 n m ) 可和的，或称为t 一可和的 1_ l 4 = mk 一 撬 臣 定义2 5 若对一切m ，n 1 ，有1 a 。茎m ，则称s = ( 。) n ，m = 1 ，2 ，为 有界的 定义2 6 设 ) ( m = 1 ，2 ，) 为b 值随机向量列，如果存在一个b 值 向量列序列z l ，一，z 。使得( 瓦：一z 。) 。s 收敛，那么。称为本性收 ll 敛 。 定义2 7 给定级数z 。，若它的部分和有界，则称x 。是有界的 引理2 1 【1 】设( j ( m = 1 ，2 ，) 为b 值的独立随机向量列，s 是s 一 求和阵，如果级数。a 8 s 一可和，则存在b 中的向量序列。，使得 i o 。 ( 五。一。) a 8 收敛 接下来的两节我们将分别研究s 一求和法与t 一求和法，以及它们与级数 的收敛性及本性收敛之间的一些关系在分析中当收敛性不成立时会用到这 种方法这里几乎必然可求和性蕴含或者几乎必然收敛性或者本性收敛 5 2 1 随机级数的b 可和性与本性收敛 1 s 一可和性 先研究了b a n a c h 空间中的向量级数收敛和s 一可和的关系。 定理2 1 1 若收敛，s = ( a 。) n ，m = 1 ，2 ，为一有界的s 一求和 1 阵，且vn 芝1 ，a 。，m = 1 ，2 ， 单调，则为s 一可和到的 证明因为萎收敛，且vn i ， 。，m ：1 ，2 ，) 为单调有界数列， l 由a b e l 判别法( 见【4 】) 知，o 。存在 不妨令 s k i = k + l + + 2 + + k 州， 乳o = 0 ， 则 fl ( 。，k + j 一1 ) y k + ，= ( a n , + j 1 ) ( 一最一) j = lj = l = ( 堋一1 ) j = l 又 v m ，n 1 ，有j o 。 冬m 所以有 l e ( n 。，卅一1 ) 最，j l j = l fi - 1 ( 。，卅一1 ) 州| l i o 。，卅一n 。，十j + 1 _ l l i g k j l l + o 。，+ f 一1 f | j = l j = l 嬲( 1 1 】| ) ( 3 m + 1 ) ， 令z _ ，得 o o | f ( n 咄却一1 ) 环+ j 忙( 3 m + 1 ) s u p i s k j j = l j 6 段” 一 +n h 娜 一 巧 n d 1一 巧 南n 口 ，洋 f | 颤 l一 n + h坷 k 一 町 i h 皿 = 。o 。 ：i i ml l 。e ：。( 一1 ) v m l l 藏l l 差l ( 一1 ) v m l l + 瓢。量。( 一1 ) 又有士骢n n m = 1 ，所以不等式右边第一项为零，故有 一& a l l ( n 一一1 ) v m l l 甄i i ( n m 一1 ) ，n = 1 m = k 阜1 = 甄i i ( g n , k + j 一1 ) v k + j 3 = 1 ( 3 m + 1 ) s u p l i s k j l l ， 由于收敛，故当k _ 。o 时， 1 s u p f i s k j i l - + 0 j 故 戛| | ( m 一1 ) 1 1 = 0 ， 即 恕n n m = m = ll 则为s - 可和的 由定理2 1 1 可直接得到以下推论： 推论2 1 1 若收敛，s = ( 。) n ，m = l ，2 ，为一s 求和阵， 其中 = 3 u p ( o ，1 一罢) ， ( 2 1 ) 则为s - 可和到- 的 1l 推论2 1 2 若收敛，s = ( o 。) n ，m = l ，2 ，为一s 一求和阵， 其中 8 n m2r 署，( o l ，撬r n = 1 ) ， ( 2 2 ) 则e - 为s 一可和到v ；兀的 7 2 s 一可和性与本性收敛 下面得到了一个好的结果：一般的复级数，都存在着一个s 一求和阵，使 它s 一可和；并在此基础上研究了随机级数的s 一可和性与本性收敛的关系， 得到了随机级数本性收敛的充要条件 引理2 1 l 设1 ，z 。，是一个复数序列。那么存在着一个s 一求和 矩阵s ，使得z 。为s 一可和的 证明分两种情况讨论： ( 1 ) 有一个收敛的部分和： n f 鼽2 堇l 魄鼽i 2 s 0 ， 其中0 n l m( 2 4 ) 所以s = ( o 。) 为s 一求和阵 = 善n 。蛾= 苫- r l l ( ，一堕半胁 = n 。蛾= ( 1 一塑蓑坠) 。 = 1k = 1 m ( + 乳一1 ) ( 乳一一1 ) = 。一丝1 - 一 ( 畿一罐一。) = 岛一生l 育一 ：一s 2 ，r - s 0 2 ：0 ， 8 所以击骢u m = o ，故军。t 为s = ( 。m t ) 一可和的 定理2 1 2 设( 五。) ( m = 1 ，2 ，) 为独立的复随机变量列，则蜀。a s 本性收敛的充分必要条件是它对于某一s 一求和阵是a s s 一可和的 证明充分性：若曼是s 一可和的，由引理2 1 知曼本性收 l1 敛 必要性：若本性收敛，即存在复数列 z 。) ，使( 弱。一。) l1 收敛由引理2 1 1 知，存在一求和阵s ，使。为s 一可和的，所以 是s 一可和的 注。上述结论( 引理2 1 1 ，定理2 1 2 ) 同样适用于四元数空间 下面将上述结论推广到舻上去： 引理2 1 2 设z 。是舻上的有界级数，那么存在着s 一求和阵s ，使 l z 。为s 一可和的 1 z 证明记蚓i 为向量x 的通常模或长度，岛= z k ， 由s u p i s t i i = m l ， a m k = 1 ，k n l ，( 2 5 ) 显然z k 为s = ( o 。t ) 一可和的 推论2 1 3 设o o 是兄n 上独立的a 。有界随机级数，则曼a 。本 性收敛的充分必要条件是它对于某一求和阵s 是a s s 一可和的 证明充分性； 若萎是s 一可和的，由引理2 1 知o o 本性收敛 1 l 必要性： 若本性收敛，即存在r n 上上的向量列。l ，z 。， l 使( j 一口m ) 收敛，由于；有界，由 1 】的定理证明过程知，可以选择 萎。有界，由引理2 1 2 知萎。为s - 可和的，所以萎是s 一可和的 r “与有限维b a n a c h 空间同构，引理2 1 2 在有限维b a n a c h 空间中仍成 立，所以易得以下推论： 9 推论2 1 4 设登五。是有限维b a n a c h 空间上独立的a | 8 有界随机级数， 则曼j ，ma 矗本性收敛的充分必要条件是它对于某一s - 求和阵是a s s 一可 和的 最后考虑无穷维b 值空间的情形： 引理2 1 3 设x 是一b 值空间，x l ，。，是x 上的向量列，a 是x 中的相对紧集，级数量z 。的部分和序列 s 。) 取值于a 上，那么存在着s i 求和阵s ，使z 。为s 一可和的 证明因为a 是相对紧的，所以且中任意无穷序列都含有收敛子列( 见 3 】) 记s f 2 b = l z ，所以3 子列 s m ) 以及s o x ，使得熙s n l = s o - 不妨令 0 m m = 0 ， n f n m = 1 ，m ( 2 , 6 ) 则矾为s = ( n 。k ) - 可和的 定理2 1 3x 是一b 值空间，x 1 ，j ，是x 上独立的随机向量列， a 是x 中的相对紧集，随机级数五。的部分和序列 s 。) a s - 取值于a i 上，则j a s 本性收敛的充分必要条件是它对于某一s 一求和阵是8 s s 一 可和的 证明充分性： 若墨。是s 一可和的，由引理2 1 知j 本性收敛 11 必要性t若本性收敛，即存在x 上上的向量列巩，z 。， l o o6 0 使( 一z 。) 收敛，由引理2 1 3 知z 。为s 一可和的，所以是s 一 可和的 2 2 随机级数的t 一可和性与本性收敛 下面给出了类似2 1 节中的结论；一般的复级数都存在一个t 一求和阵， 使它可和；然后在此基础上，研究了有界随机级数的t 一可和性与本性收敛的 关系，得到了有界随机级数本性收敛的充要条件 引理2 2 1 设。1 ，。，是一个复数序列，那么存在着一个t 一求和 1 0 矩阵，使得z 。为t 一可和的 1 证明分两种情况讨论： ( 1 ) 有一个收敛的部分和： n m s n m = 舰s n m = 岛 = l 其中0 n 1 忆2 这时令 6 m 女= 1 ，k = n m ， b , n k = 0 ，k n m ， 显然。 为t = ( 6 m ) 一可和的 ( 2 ) 部分和趋于无穷大，即l i r a = o o 令 6 m ：s k + _ lr - - s k - i ，k m 则vk 1 ， i i m k = 0 ， 所以 妻址芝学一1sm-i-sin_1k=lk t = 垫毛塑+ 1 一下 = l 。m ) 。 ( 岛+ 岛+ - - + ) 一( s 1 + 岛+ 生= 生+ 1 ，蜀 一1 一瓦 1 1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) j s + s 一l ， | | k b h m 故t = ( 6 。) m ， = l ，2 ，为一t 一求和阵记 ，。：妻b m k b k ：芝学鼠”一毕) 一。= = 造学鼠+ ( 1 一塑半) k = l七= l u m u m ! 兰! 曼墨鱼：曼二! 坠2 二f 鱼鱼墨鱼：坠= ! 坠= ! ! 岛 十一( 岛+ 一1 ) = 0 故l 骢2 0 ，从而军z i 为t = ( 6 m t ) 一可和的 下面得到一个类似引理2 1 的引理： 引理2 2 2 设 j ，m ) ( m = 1 ，2 ，) 为b 值的独立随机向量列，t 是t 一 求和矩阵，如果有界的随机级数登蜀。0 s t 一可和，则存在b 中的向量序列 。 l z 。，使得( 墨。一z 。) o m 收敛 1 证明记 o o t n = 女最，岛= ，& = 0 ， 因为t = ( 6 m k ) 为卫求和阵，故v 1 则 。1 + i m 。b m k 。0 ，撬= 1 k = l 所以s = ( o 。 ) 为s 一求和阵 。 下证一s 一可和的： 1 1 2 加 2 龇 = m 0 令 = m 龃 一 汹 撬 | f 毗 骢，m 令 = 。m m 凰= 壤。m m x k = 船 n m t ( 鼠一s k - 1 ) k = lk = lm = 1 t t tt - l = 觊医。m t 瓯一。m t 鼠一- = 觑【n m m 瓯一a m , k + l s k k = lk = l= lm = l 0 1t 一1 = 舰匹( 一。嘶+ 1 ) 鼠a m t 剐= 熙匹b m k s k + t 剐 = l女= l = & + 。堍( 6 m z ) & ， 由级数的有界性及t 一求和阵的定义知 0 0 熙( b m z ) 岛= 0 i = 故 显然a 8 s 一可和的 1 由引理2 1 知，存在b 中的向量序列z 。，使得( x 。一z 。) a 3 收敛 1 引理2 2 3 设x 。是j 护上的有界级数，那么存在着t 一求和阵，使e z 。 为t 一可和的 证明记恻i 为向量x 的通常模或长度，= 由8 u 。p | | l l = m o o 知，3 子列 肌m ) 以及s o6 r “，使得兽乳鼽m = s o ， 不妨令 6 m = 0 ，k n m ， k = 1 ，k = n m ， ( 2 1 1 ) 显然f i g k 为t = ( b m k ) 一可和的 定理2 - 2 l 设军是r “上独立的a s 有界随机级数，则军a s 本 性收敛的充分必要条件是它对于某一t 一求和阵是a st 一可和的 证明充分性： 若有界随机级数o o 墨。是t 一可和的，由引理2 2 2 知 1 3 墨。本性收敛 1 o o 必要性：若墨。本性收敛，即存在r “上上的向量列。h ，z 。，一，使 l o oo 。 ( 五。一z 。) 收敛，由于墨。有界，由 1 】的定理证明过程知，可以选择。 l 。o l l 有界，由引理2 2 3 知z 。为t 一可和的，所以x 。是t 一可和的 r n 与有限维b a n a c h 空间同构，引理2 2 3 在有限维b a n a c h 空间中仍成 立，所以易得以下推论： 推论2 2 1 设五。是有限维b a n a c h 空间上独立的a s 有界随机级数， l o o 则。a 且本性收敛的充分必要条件是它对于某一t 一求和阵是a 8t 一可 和的 最后考虑无穷维b 值空间的情形： 引理2 2 4 设x 是一b 值空间，z l ，z 。，是x 上的向量列，a 是x 中的相对紧集，级数z 。的部分和序列 8 。) 取值于a 上，那么存在着t l 求和阵，使岳。为t 一可和的 证明因为a 是相对紧的，所以a 中任意无穷序列都含有收敛子列，( 见 3 】) 记= e ，所以j 子列t 鼽。) 以及岛e x ，使得l i ms n 。= s o ， 不妨设 k n m ，b m k = 0 ， k 。n m ，b m k21 ， ( 2 1 2 ) 则。为t = ( h k ) 一可和的 定理2 2 2x 是是一b 值空间，x 1 ，是a 上独立的随机向量 列，a 是x 中的相对紧集，随机级数z 。x m 的部分和序列 ) a 。取值于a o o l 上，则，a s 本性收敛的充分必要条件是它对于某一t 一求和阵是a st 一 可和的 证明充分性，因为随机级数的部分和序列 s 南) a f 1 取值于相对紧集a 上，故级数a - s 有界而o o 是t 一可和的，由弓i 理2 2 2 知萎本性收 1 1 敛 1 4 必要性：若本性收敛，即存在x 上上的向量列z 。，z 。，使 翠( 一z m ) 收敛，由引理2 2 4 知登1 。m 为t 一可和的，所以翠是t 一可 和的 1 5 三关于7 一矩阵和t o e p l i t z 矩阵的一些性质 本章将进一步研究求和阵以及他们与级数可和的关系首先讨论了t o e p l i t z 矩阵和，y 矩阵之间的对应关系，得到了一个类似s t e i h a u s 定理的结论；并研究 了t o e p l i t z 矩阵与完全正则阵的关系特别需要注意的是：本章所有讨论均在 实数空间r 上进行在此之前仍然是给出相关的定义及引理： 定义3 1 若s 一求和阵满足 8 u p 歪k m i 一 则称s 为个矩阵 o 。 定义3 2 给定级数$ 。，a = ( o 。) n ，m = l ，2 ，为，y 矩阵，记 l ”。= a n r n z 。 若对vn 1 ，蛳 o 。，且 训。，n ：l ，2 ，) 在l ：t 中收敛，则称萎。为a 一可 和的 定义3 3 若t 一求和阵满足 s u p i b n m l o o ， 则称t 为t o e p l i t z 矩阵或是正则矩阵 定义3 4 给定级数z 。i ) m = 1 ，2 ，为级数的部分和数列， 1 3 = ( b n m ) n ，m = 1 ，2 ，为t o e p l i t z - 矩阵，记 = 6 。 若对vn 1 ，靠 。，且 ，n = 1 ，2 ，) 在r 中收敛，则称萎。为b 一可 1 和的 定义3 5 一个矩阵若对有限的或无限的s ，由 1 6 可得 a n ( z ) = b 。s 。一+ s ， m = 1 则称为是完全正则的 若z 。= s ，必有a n r n x ，| 。_ 8 ，则记a = ( o 。) ( 7 ，c ；p ) 1仃=l 若z 。_ 8 ，必有b n m x 。_ + s ，则记b = ( 6 。) ( c ，c ；p ) 则有下列引理： 引理3 1 嘲( s t e i h a u s ) 给定任何t o e p l i t z 矩阵b ，总有一个有界的序列不是 口一可和的 引理3 2 【2 1 若a e ( 7 ，c ；p ) 至少能使一个发散级数可和，那么 l i ma m n = 0 对n = 1 ，2 成立 引理3 3 【2 】b e ( c ，c ；p ) 当且仅当： ( 1 ) s u n p m = ll k m i ( 2 ) 熙h m = 0 ， ( 3 ) 熙k m = 1 引理3 4 2 】a e ( 7 ，c ；p ) 当且仅当： ( 3 1 ) ( 1 ) 恕n n m = 1 ， ( 2 ) 8 u p a n m - a n , r e + l n + 1n 七= 1 令_ 0 0 ，则不等式右边趋于零 熙d n m = 熙k m = 1 m = 1 1 8 ( 2 ) s b n k l l a k 。一a k , m + 1 m = lk = l = i b n k l l a k m n 哳+ - l k = lr a = i 曼u p 。一n 咖十- 再由，y 矩阵和t o e p l i t z 矩阵的定义知 s u n pm = lj 如m d n ，m + 1 l 。0 综合( 1 ) ( 2 ) ，d = b a 为，y 矩阵 引理3 1 1 证明对每个t o e p l i t z 矩阵b ，总有一个与之对应的，y 矩阵a ，并 且a n m = b n k k = m 证明对于任意的t o e p l i t z 矩阵b 都满足( 3 1 ) ， 令 o 。= 6 叭 ( 3 3 ) k = m 则 o oo 。 一m - 1 熙= 熙( b n k ) = 熙( b n * ) 一概( b n k ) k = mk = l k = l 1 01 并且 8 u p 三k m _ 8 删卜s u p ，l 蚓一， 满足7 矩阵定义的两个条件， v t o e p l i t z 矩阵b ，总有一个与之对应的7 矩阵a ，并且。：萎6 胁 引理3 1 2 设a 是一个7 矩阵，当且仅当 三骢喜骢o n m = 0 ， ( 3 4 ) 19 + m脾 脚 一 枷胆k 。删 | | 一 m 一 d n m 2a n r n a n m + l 是t o e p l i t z 矩阵 证明a 是一个7 矩阵， 由定义知 s u 。p - - a n , m + 1 f 0 0 m = l 即 s u 。p i h m i o o ， r n = l 又 故 l i mo n m = 1 桌恐k m2 桌恐( n n m 一 z n , r n + 1 ) = 0 恕至k一lira三(m飞蒯=舰撬。飞删1m 2 m = 1 。 2 1 一，热熙a n m ， 当且仅当 ，熙热n n m = 0 ， 1骢k。=1n-4* ， j 。 t n = l 综合以上讨论，b = ( k 。) 是t o e p l i t z 矩阵 经过讨论t 0 印l i t z 矩阵和1 矩阵之间的关系，我们可以给出一个类似s t e i h a u 8 类型的定理： 定理3 1 2 给定任何7 矩阵a ，总存在一个有界部分和的级数，使之不是 a 一可和的 证明现由 s u p e 飞肿z f 0 ，当m m 时，有 b 是非负的t o e p l i t z 矩阵 故 s 一so n s + e o o b n m 0 。l 。i mb n m = o ，熙b n m = 1 m = l 2 1 所以 s e = ( s e ) 。腮k m r n = 埘+ 1 o o 细己歹_ 二6 n 。 一乔弼j “” 7 = 眦十1 豇叵1 6 。 一n + l “ r n = m + 1 。 ( s + s ) 。甄k m = ( 蚪e ) 由s 的任意性，得 ，s 茎热k m 。ms 瓢k m 。m s ， 一隔。：! 齐i 。”“一“。0 。= ! 蔷l ” m 又_ vm o ，熙差l k m 。m20 ， 故有 s 曼勰k m 。m 面b n m z , m 冬s n - - + 0 0 ， 一# = 雨j 一一 一7 即 s 亲骧且n ( 。) 墨a n ) s ， 则当z 。o 。，必有厶( z ) 斗0 0 定理3 2 1 非负的t o e p l i t z 矩阵，是完全正则的 证明由引理3 3 和引理3 2 1 直接得到 下面举一反例说明定理3 2 1 中”非负”这一条件不能去掉 反例；给定矩阵b = ( b n 。) ，其中 b n n = 2 ，k ，n + 1 = - 1 ，k m = 0 ( m n ，礼+ 1 ) ， 显然 ( 1 ) s u p i b m l = 3 。 m = l ( 2 ) l i mk 。= o ， c o ( 3 ) 恕k m = 1 ， 2 2 b 为t o e p l i t z 矩阵， 由引理3 3 知对于任意有限的常数s ，若z 。_ s ，则( 。) 一s 但若z 。_ o 。，则上述结论不成立，如； 则 故该矩阵不是完全正则的 2 n = 2 “ a 。( 。) = 2 2 ”一2 “+ 1 = 0 0 0 四随机级数x n ) f n ( x ) 的收敛性 1 这一章的主要目的是研究随机级数墨 的收敛性主要从两个方面讨 论：随机系数 j b ) 为对称和非对称的情形 先引进记号h 是实或复h i l b e r t 空间，纯量积记作( x ，y ) ，范数记作蚓| 如果x 和y 是h 中的随机向量，那么i f x l l ，j | y | j 以及( x ，y ) 都是随机变量 如果存在一个向量峦h ，使得对每个y h ，僻，y ) 三1 ( n ) ，及e ( x ，y ) = ( z ，y ) ，那么我们记x l i ( u ) ，以及 r e ( x ) = fx ( u ) 幽= ， ，n 并且称e ( x ) 为x 的期望 如果i i x i | l 2 ( q ) ，则记x 碍( n ) 则映射y + e ( x ，y ) 是h 上的连续 线性泛函，因而x 三k ( n ) x 的方差定义为 v ( x ) = 四0 x e x i l 2 ， 若x 和y 是独立的，且都在工蚤( q ) 中，显然有 e ( x ，y ) = ( e x ，e y ) ，v ( x + y ) = v ( x ) q - v ( y ) 【1 中第三章通过证明k o l m o g o r o v 不等式和p a l e y - z y g m u n d 不等式，给出 了下面两个关于h 值随机级数收敛性的重要引理 引理4 1 1 1 】设对每个n ，x n 碍( q ) ，e ( 墨。) = 0 又设y ( 五。) 。，那么 。o o 1 o 。 级数x 。在h 中a 8 收敛特别的，如果l l u 。1 f 2 o 。，则土u 。a 收 lll 敛 引理4 2 【1 】设对每个竹，f l 蜀川l 4 ( n ) ，曰( 五。) = 0 ，并且e ( fr 矗1 1 4 ) sc v 2 ( x 。) ， 已给s 一求和阵，假定级数五。是一s