（概率论与数理统计专业论文）经典模型下分红问题解的讨论.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 本文主要讨论了经典破产理论下t h r e s h o l d 策略分红函数的解以及分红函数所满足 的更新方程 首先给出经典模型下分红函数所满足的更新方程，以及在条件 鼠p ( z ) = 0 i = 0 下分红函数y ( 茁，6 ) 所满足的常微分方程，其中p ( ( z ) 为索赔量的密度函数的i 阶导数 鼠，i = 1 ，2 ，3 ，n 为常数运用微分方程的知识，对得到的常微分方程求解，得到分 红函数解的表达式然后运用相同的方法讨论了带干扰的经典模型，最后得出带干扰的经 典模分红函数所满足的更新方程以及特殊条件下分红函数的解 关键词：分红函数；更新方程；b a r r i e r 策略；t h r e s h o l d 策略；破产时刻。 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ec o n s i d e r st h ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lw i t ht h r e s h o l dd i v i d e n d s t r a t e g y 胁g e tt h er e n e w a le q u a t i o nf o rc l a s s i c a lr i s km o d e la n do b t a i i at h es o l u t i o no f d i v i d e n df u n c t i o nu n d e rs p e c i a lc o n d i t i o n f i r s t ，w eg e tt h er e n e w a lf u n c t i o na b o u tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t ht h r e s h o l d s t r a t e g ya n do b t a i nt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na b o u ty ( x ，b ) u n d e rt h ec o n d i t i o n o f n 最p ( 旬( z ) = 0 i = 0 w h e r ep ( ) ( z ) i st h ei - t hd e r i v a t i o no fc l a i ma m o u n tp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n 最，i = 1 ，2 ，3 ，仃a r ec o n s t a n t s u s i n gt h ek n o w e l d g eo fd i f f e r e n t i o n a le q u a t i o n ，w ec a l ls o l v e t h i so r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na b o u tv ( z ，6 ) ，a n do b t a i nt h ef o r m u l ao fd i v i d e n d f u n c t i o n t h e n ，b yt h es a n em e a n sw ed i s c u s st h ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sp e r t u r b e d b yad i f f u s i o n f i n a l l y , w eg e tr e n e w a le q u a t i o no fd i v i d e n df u n c t i o na b o u tt h ec l a s s i c a l r i s km o d e lw i t had i f f u s i o na n dt h es o l u t i o ni np a r t i c u l a rc o n d i t i o n k e y w o r d s ：d i v i d e n df u n c t i o n ；r e n e w a le q u a t i o n ；b a r r i e rs t r a t e g y ；t h r e s h o l ds t r a t - e g y ；r u i nt i m e 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文经典模型下分红问题解的讨论，是本人在 导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中 除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：帚苏昌日期 作者签名：审移昌日期： 2 洲叩 j 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 经典模型下分红问题解的讨论系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导 师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内 容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅 本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全 部或部分内容 作者签名：帚孩吕日期： 导师麟7 铴啉 3 中 甲 彳一 曲阜师范大学硕士学位论文 第一节引言 最优分红问题的研究可追溯到1 9 5 7 年，由d ef i n e t t i 发表的一篇论文1 开始在 经典风险模型中主要是研究破产问题，但破产不会一开始就发生，或者说这种可能性很 小，而在破产之前总会有盈余过程，这时就要考虑到分红问题d ef i n e t t i 提出破产前 最大分红期望的概念，就是某公司在破产前能分给他的股东的最大分红期望值，而分红方 法就是我们现在称的b a r r i e r 策略，即当盈余超过某个特定值b 公司就把这部分钱全部分 给他的股东 1 9 7 0 年，b u h l m a n n 在 2 】中第一次在经典复合泊松模型中讨论了最优分 红问题j e a n b l a n c e - p i c q u e 和s h i r y a e v 3 1 后来发展了这种模型，得到我们现在所熟知的 t h r e s h o l d 分红模型，即当余额超过分红线b 时不是把所有的余额都拿出来分给股东，而 是拿出一定的比例分红，这种策略相对b a r r i e r 策略也更合理，更符合实际情况 g e r b e r 和s h i u 4 】对t h r e s h o l d 分红模型进行了详尽的研究和讨论，并且在索赔量为 指数分布和复合指数分布时给出了分红函数v ( x ，b ) 的确切表达式，本文主要是在他们的 基础上给出更一般的情况下分红函数v ( x ，b ) 的表达式，即在 的条件下，其中p ( ) ( z ) 为一次索赔量的密度函数的i 阶导数， 最a 社，i = 1 ，2 ，扎为 常数 本文主要讨论下面几个问题； 第二节研究关于分红函数的积分微分方程及更新方程主要做了准备和铺垫，以及分红函 数所满足的更新方程的推导 第三节考虑了特殊情况下分红函数的解主要是特殊条件下常微分方程的推导和常微分 方程的解的过程，最后给出相应的例题 第四节给出了带干扰的经典分红函数的讨论分情况讨论带干扰的经典分红函数的解，一 是初始资本小于b 的情况，二是初始资本大于b 的情况，类似上节方法，在特殊条件下得 到y ( x ，b ) 的表达式 1 o = o 硝邑 n 瑚 第一节关于分红函数的积分微分方程及更新方程 第二节关于分红函数的积分微分方程及更新方程 2 1 预备知识 在经典风险模型中，余额过程 u ( ) ) 如下式 u ( t ) = u ( o ) + c t s ( t ) ，t 0 ， 其中s ( t ) = e 磐k 。为到时刻t 的索赔总量， ( ) ，t o ) 是参数为a 的泊松过程， k ，n = 1 ，2 ，3 ，为独立同分布的随机变量，其密度函数为p ( z ) ，c 0 为保费收取率 假设一公司要根据某策略为其股东分红，用d ( t ) 表示从时刻0 到时刻t 的分红量， 用x ( t ) 表示到时刻t 的修正余额， x ( t ) = u ( t ) 一d ( 亡) ，t 0 定义 t = i n f t o j x ( t ) b 时： 矿 ，b ) = 她+ 一 ( ( 1 一入九) y ( z + c h ，6 ) f ：- b + a h v ( z y + c h h a ，6 ) p ( 可) d y ( 2 1 3 ) j 0 、 + a h y ( 。一y + c h ，b ) p ( y ) d u + o ( h ) 在( 2 1 3 ) 式中等号右面分别为：第一项为( 0 ，h ) 内的分红量，第二项为( 0 ，h ) 内无索 赔时的折现量，第三项为( 0 ，h ) 内有索赔但索赔量小于+ z b 的情况，此时余额大于分红 3 第一节 关于分红函数的积分微分方程及更新方程 线b ，所以继续有分红施第四项为( 0 ，h ) 内有索赔但索赔量大于z b 的情况，此时余 额小于分红线b ，所以没有分红第五项为( 0 ，h ) 内索赔个数大于等于2 的情况 把( 2 1 3 ) 式右面第二项的e 一孤和v ( x + c h ，b ) 分别在0 点和z 处泰勒展开得： ( 1 6 忍+ o ( 危) ) ( 1 一a h ) ( v ( x ，b ) + v 7 ( z ，b ) c h + o ( ) ) 第三项和第四项在z y 处展开得： a h y ( z y ，6 ) p ( 秽) d y + o ( 九) ，i z d ，q ，i z a h y ( z y ，6 ) p ( 可) d y + o ( 九) z - b ( 2 1 3 ) 式等号右面最后化为： 九a + y ( z ，b ) 十v 7 ( z ，6 ) ( c q ) 九一( 6 + 入) 凡y ( z ，b ) + a h y 0 一y 加) p ) d y + o ( h ) ，茁 ，0 此式带入( 2 1 3 ) 除h ，并使h _ 0 得； q + v 7 ，6 ) ( c 一戗) 一 + x ) v ( z ，妨+ 入fy ( z y ，6 ) 多b ) 匆= q ( 2 ，王，4 ) ，- z 0 以上就得到了本文主要利用的积分微分方程( 2 1 ，2 ) 和( 2 王4 ) 观察会发现( 2 ，王，2 ) 是 ( 2 1 4 ) 中q 一0 的特殊情况 4 曲阜师范大学硕士学位论文 2 2分红函数所满足的更新方程 这一节推导两个关于y ( x ，b ) 的更新方程，有上节可知，当z b 时v ( x ，b ) 满足积 分微分方程( 2 1 2 ) 设方程； c o 一( a + 6 ) + 冲( p ) = ，0 的正根为叼，其中多( 口) = 旷e - ( x ) d x 令v ( x ，b ) = e 驻f ( z ，6 ) ，这里假设 l i my ( x b ) e 一僻= 0 代入积分微分方程( 2 1 2 ) 得： c ( r 7 e 7 。f ( z ，6 ) + e 刁z f 7 ，6 ) ) 一( a + 巧) e 班f ( z ，6 ) + a 矿( x - y ) f ( z y ，b ) p ( y ) d y = 0 ( 2 2 1 ) 在( 2 2 1 ) 的两边加上, x p ( r 1 ) e 2 f ( z ，b ) 整理得： c f l e 7 ：8 f ( x ，b ) 一( 入+ 6 ) e 秘f ( x ，b ) + 仞) e 啦f ( z ，b ) + c e 僻f 7 ，b ) + a e 叼。一y ) f ( x 一，b ) p ( y ) d y = 仰) e 僻f p ，b ) 有c 叩一( a + 巧) + ( 7 7 ) = 0 可知上式前三项和为0 对上式整理得： c f 7 ( z ，b ) + e - y r l f ( x y ，b ) p ( y ) d y 一冲( 叩) f ( z ，b ) = 0 ( 2 2 2 ) 对( 2 2 2 ) 中的z 在( 0 ，u ) 积分整理得： o f ( u , 6 ) 一c f ( o ，6 ) 一入f “f ( z ，6 ) ( 厂。0e 一朔p ( 分) d y ) d z ：o ( 2 2 3 ) 0t 一霉 在( 2 2 3 ) 中令u _ 0 0 ，根据假设得；f ( o ，b ) = 0 此时把v ( z ，6 ) e 一班= f ( x ，b ) 带回( 2 2 3 ) 得： ，t i 0 0 c v ( u ，6 ) e r t u a e 一班y ，6 ) e f l ( u - x ( e - 卿p ( y ) d y ) d x = 0 ( 2 2 4 ) j 0 ，t 一2 此时令 g ( x ，b ) = e ”7 e - 2 m p ( y ) d y 代入( 2 2 3 ) ，可化简为： c v ( u ，6 ) 一a y ( z ，b ) g ( u x ) d x = 0 ( 2 2 5 ) 5 第一节关于分红函数的积分微分方程及更新方程 ( 2 2 5 ) 可写成下列形式： y ( 蚰) = 害y 吲蛐) ( 2 2 6 ) 当z b 时v ( z ，b ) 满足积分微分方程( 2 1 4 ) 设方程： ( c 一口) 秽一( a + j ) + ( 口) = 0 的正根为琢，其中多( 口) = 铲e 一如p ( x ) d x 令v ( x ，妨= e , 7 2 f ( x ，b ) ，这里同样假设 l i mv ( z b ) e r ( x = 0 o + o 。 代入积分微分方程( 2 1 4 ) 并且在方程两面同时加上冲( 7 7 ) e 氍f ( z ，b ) 整理得： a + ( c a ) 叩e n z f ( x ，b ) 一a 多( n ) e n x f ( x ，b ) + a e n z e - w f ( x y ，6 ) p ( y ) d y = 0 ，z ，0 进一步整理为： ( c q ) f 7 ( z ，b ) + a e - 珊f ( x 一可，b ) p ( y ) d y 一忉) f ( z ，b ) + o e 一佃= 0( 2 2 7 ) ，o 在( 2 2 7 ) 中令z 在( 0 ，“) 上积分得： (c刊(f一，6)hfof6)(仁e吲y)dy)dxb f ( of ( x d y + 号一7 = 0 ( c 一口) ( f ( u ，) 一，6 ) ) 一a，6 ) ( e 一唧(+ 兰一兰e u 7 = t ，t 一z ， 在上式中令u _ 得： f ( 0 ，6 ) 2 若岛 把f ( 0 ，b ) 代入上式整理得； ( c - - o e 胁6 ) _ 入f 脚) ( 仁e 嘲咖出一= 。 ( 2 2 8 ) 把f ( x ，b ) = y ( x ，b ) e 一够代入( 2 2 8 ) 整理得： c - a ) y ( z ，) 一z v y ( z ，6 ) e ( u - z ) n b a ( z 二e - 抑p ( y ) d y ) d x 一号= 0 0 a ) y ( z ，) 一y ( z ，6 ) ( 一兰= jju一薯ll 在上式中令g ( z ，6 ) = e - ：t 叼fe - 聊p ( y ) d y ，得： ( c - a ) v ( u , 6 ) 一a v 木夕( u ，6 ) 一导= o 6 曲阜师范大学硕士学位论文 詹p 、 附6 ) 2 南咖 6 ) + 而 ( 2 - 2 9 ) ( 2 2 9 ) 式等价于下式： 附 6 ) 2 南若( 击妇气小) 其中严( u ，b ) 是关于g ( u ，b ) 的佗重卷积，这里规定夕柏( u ，b ) 1 11 ( 。 o ) 说明：为了增加文章的连贯性，得到的( 2 2 6 ) ，( 2 2 9 ) 是初值为让的分红函数的更新 方程，只要在( 2 2 2 ) ，( 2 2 7 ) 中，令z 转换为其他任一参数，然后对这一参数在( 0 ，z ) 上 积分就可得到v ( x ，b ) 的更新方程 7 第三节特殊情况下分红函数的解 第三节特殊情况下分红函数的解 3 1 特殊情况下的微分方程 本节就对上节得到的积分微分方程在条件岛b i p ( i ) ( z ) = 0 下，把积分微分方程 y ( z ，b ) c 一( 6 + 入) y ( 。，b ) + a y ( 。一y ，b ) p ( y ) d y = 0 广： ，0 化成常微分方程 积分微分方程 v 7 ( z ，6 ) c 一( j 十a ) y ( z ，b ) + a y ( x y ，b ) p ( y ) d y = 0 ，$ ， j 0 与 ( z ) c 一( 6 + a ) 九( z ) + 入危 一剪) p ( y ) d y = 0 ( 3 1 ，1 ) ，i z 除一常系数外是同解的 方程 a + v 7 ( z ，6 ) ( c o ) 一( 巧+ a ) v ( z ，b ) + a y ( z y ，6 ) p ( 耖) d y = 0 ，- 茁 ，0 与 q + 九7 ( z ) ( c 一口) 一( 6 + a ) ( z ) + a ( z y ) p ( y ) d y = o ( 3 1 2 ) ， ，0 ， 除一通解的常数倍外也同解。即当齐次方程的通解取提同倍数时解相等 ( 3 1 2 ) 中当a _ 0 时即为；( 3 1 1 ) 下面就在条件函鼠p ( ( z ) = 0 下求解( 3 1 ，2 ) 由于 厂霉九( 掣) p ( 。- y ) d y ：2 ( z y ) p ( y ) d y 九( 掣) p ( 。= ( z j gq 所以( 3 1 2 ) 可变为： q + ( z ) ( c a ) 一( 6 + a ) h ( x ) + a h ( y ) p ( x 一掣) d y = 0 ( 3 1 ，2 1 ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 在( 3 2 1 ) 中对z 求导数并整理得； 一a p ( o ) h ( x ) + ( 5 + a ) 九7x ) 一( c q ) 九( z ) 一a h ( y ) p 7 ( z 一秒) d y = 0( 3 1 2 2 ) ，o ，0 对( 3 1 2 2 ) 关于z 求导数并整理得： 一却7 ( o ) ( z ) 一却( o ) ( z ) + ( j + 入) ( z ) 一( c a ) 删( z ) 一入h ( y ) v ( 。一y ) d y = 0 ( 3 。1 。2 3 ) ，尘 0 对( 3 1 2 3 ) 关于z 求导数并整理得： 一a p ( o ) 九( z ) 一a p 7 ( o ) ( z ) 一却( o ) 危 ) + ( d + a ) h 朋( z ) ，z 一( c q ) 危4 ( z ) 一a h ( y ) p w ( z y ) d y = 0 j 0 有以上归纳可知，对( 3 1 2 1 ) 求n 次导数得： ( 3 1 2 4 ) 一a 凳孑p ( n 一1 一( o ) o ( z ) + ( 5 + 入) ( n ( z ) 一( c 位) 危n + 1x ) 一a 厂霉危( ) p ( z y ) d y ：0 ( 3 1 2 礼 一( c 位) 危n + 1) 一a 危( ) p ( z 一 = 、 j 0 下面把( 3 1 2 1 ) ，( 3 1 2 2 ) ，( 3 1 2 仃) 分别乘以b o ，b l ，b 2 ，鼠并求和整理得： ( z ) ( ( a + 5 ) b o a 銎l 最p “一1 ( o ) ) n 一1 + h ( z ) ( a + 6 ) b 一( c a ) 鼠一l 一入筠+ l 马一2 ( o ) 】 t _ 1 f 3 1 3 1 十 似( 。) ( a + d ) 鼠一( c a ) b n 一1 ) 一九+ 1 ( z ) ( c q ) 晶 、。 一a ( b i h ( y ) p i ( x y ) d y ) 一岛口= o 有条件：ob i p ( ( z ) = 0 可知： 入( 娄最小咖铷刊咖入f o xh 妻i = o 嘲舻。 9 第三节特殊情况下分红函数的解 f 面令 ( 入+ 6 ) b o a 羔lb t p ( 一1 ) ( 0 ) ) = a o ， ( ( a + j ) 且一( c a ) b 一1 一a 备件1 马p u 一2 ( o ) 】= a ， i = 1 ，2 ，几一1 ， ( 入+ 取一( c q ) b 。一1 ) = a n ， ( 3 1 4 ) ( c a ) 鼠= + 1 ， 一b o a = a n l 2 则( 3 1 3 ) 式变为： 印九( z ) + 啦彬( z ) + + 2 = 0 ( 3 1 5 ) 索赔的密度函数如果满足：o 最p ( ( z ) = 0 ，那么分红函数所满足的积分微分方程就是 上式的形式 最简单的例子：当索赔分布的密度函数为指数分布时，即 p ( z ) = z e 一触 此时 b o = p ，b 1 = 1 代入 ( a + d ) 岛一a 鍪l b i p ( 一1 ( = a o 得： a o = 8 6 代入 ( 入+ j ) b 。一( c q ) 玩一 = a n 得： a l = a + 5 一z ( c q ) 代入( c a ) 玩= a n + 1 得： o , 22c 一口 代入b o a 得： a 3 = 一口q 此时可直接写出在初值大于b 时的分红函数所满足的常微分方程： z j h ( x ) + ( a + 6 一p ( c a ) ) 7 ( 。) + ( 6 一q ) ( z ) 一卢a = 0 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 初值小于b 时的分红函数所满足的常微分方程在上式中令q = 0 可得： p s h ( z ) + ( a + 5 一p c ) ( z ) + c h ( z ) = 0 此式在【4 】中可看到 指数混合型的密度函数也满足：ob i p ( ( z ) = 0 ，相应的系数可直接带入( 3 1 4 ) 求得，只是此时的b 和p ( ( o ) 相对复杂的多 1 1 第三节特殊情况下分红函数的解 3 2 解微分方程 本节主要是对在特殊条件下得到的齐次微分方程的求解和相应的讨论 齐次微分方程 n + 1 a o h ( x ) + 啦危( z ) = 0 i = 1 的特征函数为； n + 1 a o + 啦火( z ) = 0 若此特征方程有礼+ 1 个不相等的根a l ，a 2 ，a 3 ，a n + 1 则( 3 2 ，1 ) 的解可表示为； n + 1 ( z ) = q 砂。 t = l ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 其中臼，i = 1 ，2 ，n + 1 为待定常数 满足微分方程( 3 1 5 ) 的解需要在( 3 2 3 ) 的解上加一特解因为( 3 1 5 ) 中的强迫项 为一常数，所以特解可表示为两种形式： 当入l ，入2 ，入3 ，h + 1 中无零根时，特解可表示为：a e 0 。= a 把a 带入( 3 1 5 ) 得：a = 一+ 2 1 a o 此时( 3 1 5 ) 的解为： n + 1 ( z ) = fq e 如一+ 2 印( 3 2 4 ) i = o 若a l ，a 2 ，a 3 ，a n + l 中有一零根，则此a o = 0 ，( 3 1 。5 ) 变为： 此时特解可表示为： b x e o 舰= b z ，带入上式得： b = 一a 2 口1 此时( 3 1 5 ) 的解为： 1 2 ( 3 2 5 ) o = + 拜 0 +z 龙。 州汹 n + 一 聿沁 e q 叭础 i l z危 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 3 2 5 ) 中存在一九为0 若( 3 2 2 ) 的解为：入1 为佗1 重根，a 2 为7 7 , 2 重根，k 。为重根，并且有p 对复根劬士幻i ，歹= 1 ，2 ，p 这里n l + n 2 十+ n m + 2 p = n + 1 此时( 3 2 1 ) 的解 可表示为： h ( z ) = ( c 1 ，1 - bc 1 ，2 x + + c 1 , n , 1 矿1 - 1 ) e a l + ( c 2 ，1 + c 2 。2 x + + c 2 ，n 2 z n 2 1 ) e 沁。 - l 十( c 8 ，l + c s , 2 z + + c 8 。n 。扩。一1 ) e a m z ( 3 2 6 ) + e 毗z ( b l ，1c o sb l x + b l ，2s i nb l x ) + + e 唧z ( ，l c o s 。+ ，2 s i n b p x ) 其中c 1 1 ，c 1 ，n l i - ，l ，c 8 m ，b l ，1 ，b l ，2 ，6 p ，1 ，2 为n + 1 个待定常数 此时( 3 1 5 ) 的解为； h ( x ) = ( c 1 ，l 十c 1 ，2 x + + c 1 j i 1 x n l - 1 ) e a l 。 + ( c 2 ，l + c 2 ，2 x + + c 2 ，m x r 也- i ) e 沁z j 一 + ( 白，l + 孵+ 坛n ，护一1 ) e 枷 ( 3 2 7 ) + e a l x ( b l ，lc o sb l x + b l ，2s i nb l x ) + + e o p x ( 6 p ，lc o s6 p z + 6 p ，2s i n6 p 。) 一a n + 2 a o 以上的h ( x ) 都是关于z b 的，若z b 时，关于常系数微分方程中的系数a o ，a l ，+ 2 都要做相应的变化，即把( 3 1 4 ) 的口取0 即可此时特征方程的根也随之变化，为区分 期间，把z b 时，h ( x ) 的表达式记为： n + l 危( z ) = 现e 啦霉 t = 1 讹为相应特征方程的特征根 1 3 第三节特殊情况下分红函数的解 即 有文献 4 】知，当z b 时， 咐) = 糕 1 厂r ，k 、 一2 _ , “i - - - + - ( 1l j i e 1 y ( z ，6 ) 2 霆百丽 翌业c o b ! 尘= 。 此时可表示出b 所满足的等式： 2 ( ( 6 ) ) 2 一( 6 ) ( 九，( 6 ) ) 2 = 0 即b 是下列方程的根： n + 17 1 , + ln + l 2 l i l 2 + 2 l n ( 碡珐扩6 ) 一l n ( 霹现伊6 ) 一2 l i l ( 让l 取e 砌) = 0 e = 1i - = 1 t = l 以上等式中的参数c 1 ，c 2 ，c n , - i - 1 ； b 1 1 ，b l ，2 ，1 l ，2d 1 ，仇+ 1 等，由于 索赔分布函数不明确，条件不足等因素，不能确切求解，下一节在特殊例题中给出了他们 的具体表达式 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 3 3 例题 当索赔分布为混合指数分布时：即 这里0 1 伪 b 时： ) 2 c i e a t z 一等 此时c i ( i = 1 ，2 ，n ) 满足下列方程组； 喜杰q = 蓑，七乩2 ，以 1 5 o y f风 一 e 厥 a 。沮 = yp 箜三堇鲎鏊堕堡工坌篁里墼塑堡 一 此方程组的解不唯一 当索赔分布函数为： p ( x ) = a l 移le 一夕l 。+ a 2 仍e 一助 其中a 1 + a 2 = 1 当z b 时0 o ) 如下式： u ( t ) = u ( o ) + c t s ( t ) + o w ( t ) ，t 0 ， 其中s ( t ) = 磐为到时刻丢的索赔总量， ( ) ，t 0 ) 是参数为a 的泊松过程， ，n = 1 ，2 ，3 ，为独立同分布的随机变量，其密度函数为p ( z ) ， ( 亡) ，t o 】是独立于 s ( t ) ，t o ) 的标准w i e n e r 过程，盯0 是发散参数，c 0 为保费收取率用d ( t ) 表 示从时刻0 到时刻t 的分红量，用x ( t ) 表示到时刻亡的修正余额， 定义 x ( t ) = u ( t ) 一d ( t ) t 0 t b = i n f t o l x ( t ) 6 ) 班 ，0 i1 ，z b ， i ( x b ) 为示性函数瓦) = 。 1 0 ，z b 用v ( x ，b ) 表示仇，b 的期望： y ( x ，b ) = e 0 2 ，6 l x ( o ) ! z 】 当初始资本不同的y ( x ，b ) 的表达式不相同，为方便起见v ( x ，b ) 分下列两种情况； m 舻慨矧黑 下面就分开讨论 1 7 第四节带干扰的经典分红函数的讨论 4 1 初始资本小于b 的情况 初始资本v ( o ) = z ，当0 o b 时，根据全概率公式，和在无穷小区间( 0 ，h ) 内发 生索赔的次数，( z ，b ) 在无穷小区间( 0 ，h ) 内满足下列式子： ( z ，b ) = e - - 6 h ( ( 1 一a h ) e v 1 ( z + c h + 盯( ) ，6 ) 】 ， 工 ( 4 1 1 ) + a h e 【m ( z y + c h + o w ( h ) ，6 ) p ( 可) d y l + o ( ) ) 0 把上式中的e 。 在0 泰勒展开， v ( x + c h + o w ( t ) ，b ) 在z 处泰勒展开，y ( x y + c + 盯w ( ) ，b ) 在 一y ) 处泰勒展开，为了简化式子，把 次数大于等于2 的式子统一 记为：o ( 九) 则上式的右端可化为： ( 1 一j 九十o ( 危) ) e ( 1 一入 ) ( ( z ，b ) + w ( z ；b ) ( c h + 盯w ( ) ) + 鲨譬型( c h + 盯w ( 亡) ) 2 + a 厂z ( v ( z - y ) + ( c 允+ 盯w ( 九) ) 昭 厶 ，0 + w 7 ( z ，b ) 2 ( c h + 口( 危) ) 2 ) p ( y ) d y 十o ( ) ) 再根据e ( o - w ( h ) ) 2 = 盯2 h 上式可整理为： ( z ，6 ) + c 氕w ( z ，+ 仃2 v l , t t t j x 二堕一( 6 + 久) h ( 圣，+ 厂。v 1 ( x - y , b ) p ( y ) d v 厶 ，0 把上式代入( 4 1 1 ) 整理并令h 一0 得： 譬w ，( 。，6 ) + 训( z ，6 ) 一( 6 + 入) ( z ，6 ) + 入厂z ( z 一管 6 ) p ( 彰) 匆：0 0 除一常系数外，( 4 1 2 ) 式与下列式子同解： f q r 2 h i t t 、z ) + c ，( z ) 一( 6 + a ) l ( z ) + 入厂z 九l ( z 一可) p ( y ) d y ；0 o ，0 下面证明( 4 1 3 ) 满足一更新方程 设方程 要毋2 + c 9 一( 入+ 艿) + 妒) = 0 的正根为秒1 ，其中p ( 6 i ) = 铲e - s x p ( x ) d x 假设 l i me - e , = h 1 ( z ) = 0 z ( 4 ，1 2 ) ( 4 1 3 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 代入( 4 1 3 ) 得： l i me 卅1 2 磁( z ) = 0 x - - - b 。 危l ( z ) = 吼( z ) e p 。 百0 - l 1 1 i i ( z ) z 霉+ 2 叫( z ) e 9 t 茹口l + 凰( z ) e 价田) 厶 + c 研( z ) e 9 1 z + c h l ( x ) e 8 ，z 口l 一( 6 + 入) 皿( z ) e 9 - z ，z + a 月i ( z 一可) e 9 ，扫一掣) p ( 3 ) d 剪= 0 把上式两面分别加上a h l ( x ) e 8 唧( 0 1 ) ，并整理得： 日1 ( 。) ，z ( 百c r 2 目；+ c 9 l 一( 入+ j ) + ( p 1 ) ) + 譬研( z ) e o z ：z - f ( c + a 2 0 z ) 叫( 妒2 - z + 入二h ( z y ) e 9 t 扛一可) p ( ) d ! ，= a h l ( z ) e 口- 霉p ( 秽1 ) ，0 由下列条件： 要p 2 + c 9 一( 入+ j ) + 冲( 伊) ：0 2 。 、。一。7 7r7 且口1 是其根知，上式第一项值为0 则上式最终化简为： a 2 2h ( 、z ) + ( c + 口2 伊1 ) 研( z ) ，z + 入h 1 ( x y ) e - o z y p ( y ) d y 一, k h l ( z ) p ( 6 ) 1 ) = 0 j 0 把( 4 1 4 ) 式在( 0 , u ) 上关于z 求积分得： 0 2 2 、( 1 t t t 、( u ) 一础( 。) ) + ( c + a 2 9 ，) ( 研( u ) 一凰( 。) ) ，t ，o o a 皿( z ) ( e - e t u p ( y ) d y ) d x = 0 j 0j u - - z 此时，令u o 。，并由条件l l m o 。e 卅t $ 危1 ( z ) = 0 和h i 。e - o l z 九i ( z ) = 0 得： 用( 4 1 5 ) 减去上式得： 一百0 - 2 ( 叫( o ) 一( c + 盯2 曰，) 日1 ( o ) ：o i f 2 2 z _ 。r 。、( 让) + ( c + a o z ) 五h ( u ) 一a o u 五h ( z ) ( z 二e 一口t 掣p ( 可) d y ) d x = 。 1 9 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 第四节带干扰的经典分红函数的讨论 把( 4 i 6 ) 中的z 换成z ，并在方程两边同乘以e ( 2 p ，+ 嘉， 对u 在( 0 ，z ) 上积分得： 虿6 r 2 日1 ( z ) e ( 嬲，+ 嘉一百0 - 2 盈( 。) 一a j f o xe ( 2 0 1 + 荆0 1 酬( 。 把h l ( x ) = h l ( x ) e 口t 。带回( 4 1 7 ) 得： 百o 2 危。( z ) e ( 触一口- - - ；h 。( 。) 一a ze ( 2 口1 + 暑t z “ ，( 彳) e 一日1 把上式移项整理得： 九- ( z ) = 吾害z 。e 一徊1 + 暑仁一t z ”危- ( z ) e 9 “茁一习( + h i ( 0 ) e 一( p - + 孝z ) 令： ( 4 1 8 ) 可表示为： ( 4 1 9 ) 等价与下式： e - 0 1 物( 可) d y ) d z d u = 0 8 印( 可) d y ) d z d u = 0 1 印( ) d y ) d z d u 删= 箬e 邓- + 寺z ， 仍( 。) e o l x ”e p 1 场( 秒) 匆 是1 ( z ) = h l 木g l 宰鸵( z ) + h l ( o ) e p l + 孝z ) 危l ( z ) = h 木夕卜9 n = 0 其中菇n 是吼的佗重卷积，其中i = 1 ，2 九( z ) = h i ( 0 ) e 一( 9 t + 嘉互) 即 ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 由于( z ，b ) 与h l ( x ) 相差常数倍，设锄是个与b 有关的常数，则( z ，b ) 可表示 ( z ，6 ) = 0 6 h 1 木9 1 宰夕2 ( z ) + n b h l ( o ) e p l + 芳年) ( z ，b )= 半9 1 牛夕2 ( z 1 6 ) + ( o ，6 ) e 一( 9 l + 暑z ) 吖厂上 啪 心1 。厂上 曲阜师范大学硕士学位论文 和 其中h 2 ( z ) = ( o ，6 ) e 一锣：+ 专引 在条件銎。鼠p ( ) ( z ) = 0 下( 4 1 3 ) 式的解 ( 4 1 3 ) 为下列式子： ( 否+ 入) ( z ) 一e 霸( z ) 一百o - 2 硝( z ) 一久j f o = p ( z = 影) ，( 们西= 。 对( 4 1 3 1 ) 求一次导数得： 一a p ( o ) 九( z ) + ( 5 + 入) ：( z ) 一c ：( 茁) 一r 0 2 h i 。i 缸) 一a z 2 北刊m y ) 匆= 。 对( 4 1 3 1 ) 求二次导数得： 一a p ，( o ) ( z ) 一a p ( o ) 九7 ( z ) + ( 6 + a ) 硝( z ) 一c 九，( z ) 一嬖危( 4 ( z ) 一入i x p ( x - v ) h l ) d y ：o 由归纳法对( 4 ，1 3 1