（概率论与数理统计专业论文）平均采样在信号降噪中的应用.pdf

摘要 摘要 经典的w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理在信号与图像的离散表示中充当着 非常重要的角色。它是信号处理、通信系统、f o u r i e r 分析中最常用的结果之一。 本文主要考虑，用w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理来重构原始信号的一种扩展 形式，即在重构公式中用含有噪声的采样值而不是原始信号的精确采样值。 通过对平均采样定理的研究，我们不但得到了用有限个含有噪声的采样值恢 复信号时的平均误差估计式，而且还提出了一种新的算法。最后我们给出一些例 子说明我们的算法在去噪效果上优于一些已知方法。 本文可以分为以下三个部分： 第一部分简单介绍了问题的由来，前人的研究成果以及我们新提出的算法的 优点，回顾了与采样定理有关的基本概念和表示，这为本文的研究奠定了基础。 第二部分我们不但给出了用含有噪声的采样值来恢复带限信号的重构公式， 包括滑动平均采样定理和平滑平均采样定理，而且还给出了重构误差估计式。此 外，我们还给出了具体例子，说明随着平滑平均阶数的增加，重构误差有变小的 趋势。 第三部分给出了我们的算法与一些已知算法的一些比较，说明当噪声比较小 时，我们算法的恢复效果比一些已知算法好。 关键词采样定理平均采样信号去噪误差估计 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ew h i t t a k e r - s h a n n o ns a m p l i n gt h e o r e mp l a y saf u n d a m e n t a lr o l ei nr e p r e s e n t i n gs i g n a l s i m a g e si nt h ed i s c r e t ed o m a i n i nf a c t ，i ti sg e n e r a l l yr e c o g n i z e da sam i l e s t o n ei ns i g n a lp r o c e s s i n g ，c o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，a sw e l la sf o u r i e r a n a l y s i s b a s e d0 1 1t h et h e o r yo fa v e r a g es a m p l i n g ，w en o to n l yo b t a i na e s t i m a t ef o r m u l a o fa v e r a g ee r r o r , b u ta l s op r e s e n tan e wa l g o r i t h mt or e c o n s t r u c tb a n d l i m i t e ds i g n a l s f r o mn o i s ys a m p l e dv a l u e s n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a to u ra l g o r i t h mh a sb e t t e rp e r - f o r m a n c eo nt h ed e n o i s i n gt h a ns o m ek n o w no n e t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n g f o u rp a r t s ： t h ef i r s tp a r ti n t r o d u c e st h eo r i g i no ft h ep r o b l e m ，s o m ek n o w n r e s u l t s 。t h em e r i t o fo u rn e wa l g o r i t h m m o r e o v e r , w ea l s or e v i e ws o m eb a s i cc o n c e p t sa n dn o t a t i o n s r e l a t e ds a m p l i n gt h e o r e m s t h i sp a r ti st h eb a s i so fm y p a p e r i ns e c o n dp a r t ，w eg i v et h er e c o n s t r u c t i o nf o r m u l af o rr e c o v e r yo fb a n d l i m i t e d s i g n a l sf r o mn o i s e ds a m p l e dv a l u e s ，i n c l u d i n gt h em o v i n ga v e r a g es a m p l i n gt h e o r e m a n ds m o o t h i n ga v e r a g es a m p l i n gt h e o r e m f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i ne s t i m a t ef o r m u l a o fa v e r a g ee r r o ri nr e c o n s t r u c t i n gs i g n a l i nt h el a s t ，w eg i v es o m e e x a m p l e s b yt h e e x a m p l e s ，w eh a v et h es a m p l i n ge r r o rd e c r e a s e sw i t hi n c r e a s i n go fm o v i n ga v e r a g e s a m p l i n gt h e o r e m sm o m e n t 1 1 1m el a s tp a r t ，w eg i v es o m en u m e r i c a lr e s u l t sa n ds o m ec o m p a r i s o n sw i t ht h e k n o w nr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s m o r e o v e r , w h e nt h en o i s ei ss m a l l e r , t h e e f f i c i e n c y o fo u r l o g a r i t h mi sb e t t e rt h a nt h ek n o w nr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s k e y w o r d ss a m p l i n gt h e o r e m s a v e r a g i n gs a m p l i n gs i g n a ld e n o i s i n g e r r o re s t i m a t e 符号索引 x a 口e ex 岛( r ) 符号索引 频带宽度为q 频谱有限信号 ，在中的范数 算子丁的核 算子丁的共轭 算子t 的逆 集合a 的正交补 可测函数，的p 范数( 1 p 0 0 ) 可测函数，的o 。范数 函数厂的支撑 函数，的f o u r i e r 变换，也可能是广义的 函数厂的第r 阶导数，也可能是广义的 p 阶可积可测函数全体( 1 p 0 0 ) 存在本质上界的可测函数全体 复数z 的模 集合l 特征函数 某个命题抹去一个零测集成立 随机变量x 的数学期望 在r 上连续且消失在无穷远处的复函数全体 日 p 吖 耐僻 民胁p p小卿，即硎 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：写长反目 2 0 0 7 年f 月弓泪 经捂导撕葡惹j 。本擎诬港文属手葆蓄j 。在珲薜萄后运甫 本授权书。 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：弘友目 2 - 。d7 年争月3 j e t 第一章引言 第一章引言 1 1w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理 1 9 4 9 年，s h a n n o n , 发表了他的论文“在有噪声下通讯”【1 】，这篇论文奠定了 通讯理论的基础。它不但在内容上达到了极高的水平而且表达流畅简洁，可称得 上是一篇杰作。无疑，s h a n n o n 的这篇论文是对现代电子工程有着重要影响的理 论作品之一。在这篇论文中，s h a n n o n 把他的理论称为采样定理。s h a n n o n 的理 论在数学领域中的等价形式是w h i t t a k e r 的理论【2 】因此我们也称s h a n n o n 采 样定理为w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理。 现在，w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理在信号与图像的离散表示中充当若 非常重要的角色，被认为是信号处理、通信系统、f o u r i e r 分析的里程碑。根据 w h i t t a k e r s h a n n o n , 采样定理，如果信号，是带限的，即 f 口q ：= ，l 2 ( r ) ：s u p p fc 卜- q ，q 】) ， ( 1 1 ) 这里 ( f f ) ( w ) = ，( u ) = f ( x ) e 一如， ( 1 2 ) 则信号，被它的采样值 f ( k t ) ：k z ) 唯一决定，且有 他) = ，( k r ) 端鲁亭 ( 1 3 ) k e z 7 这里7 i 丌q ，上面级数既在铲( r ) 中收敛，又在r 上一致收敛。 我们常常称( 1 3 ) 式中的级数为主级数或者w s 重构方案。可以看出主级数有 三个显著特征。第一个显著特征是，任意函数f ( x ) 在点 k r ：七z ) 处有插值 性，这是由于函数( s i n7 r x ) ( t r x ) 有插值性，即 了s i n7 r k ：以，k 0 一7 , _ 2 弧， 实际上，插值性是w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理在早期出现在数学中的原因 之一；第二个显著特征是，要想恢复最大频率为q 的信号，采样频率必须大于或 等于2 q ；第三个显著特证是，主级数既在l 2 ( r ) 中收敛又在酞上一致收敛。 第一章引言 虽然，w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理从形式上看是非常美观的，而且也已 经被证明在应用上效果很好，但w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理并非是完美无 缺的。 首先，它只适用于理想的带限信号，而现实中不存在严格意义下的带限信号 【3 】。因此，如果我们把现实中的信号当成理想的带限信号来处理就必然产生一个 误差，我们称这个误差为混淆误差。关于混淆误差，请参考【4 】、【5 】、【6 】、【7 】。 其次用来恢复信号的主级数是一个无穷级数，而在实际应用中，我们重构信 号所用到的计算都是用计算机来完成的，众所周知，计算机只能进行有限运算，因 此，在实际应用中，我们必须用主级数的部分和来逼近原始信号，这就必然出现一 个误差，我们称这个误差为截断误差。关于对截断误差，请参考【8 】、【9 1 、【1 0 1 、【l l 】。 再次，主级数中恢复函数( s i n7 r z ) ( 7 r z ) 衰减速度比较慢，由于这个原因，在 实际中，很少用主级数来恢复原始信号。要解决这个问题，必须找到一个新的衰 减速度比较快的恢复函数。这就引起了人们对，义采样级数理论的研究。关于广 义采样级数，请参考 5 1 “6 】、【7 1 、【1 2 、【1 3 】、【1 4 】、【1 5 】、【1 6 、【1 7 “1 8 1 、【1 9 。 再次，由于仪器的限制，在实际应用中，不可能得到信号某一点精确值。因此， 用w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理恢复信号时，不可避免地产生一个误差。如 果这个误差是由采样的时间点的扰动产生的，我们称它为时间扰动误差；如果这 个误差是由测量仪器计数精度的限制产生的，我们称它为阈值误差或振幅扰动误 差。关于这些误差，请参考 2 0 】、【2 1 1 、 2 2 _ 2 4 】、【2 5 - 2 8 、【2 9 、【3 0 1 、【3 1 3 3 1 、【3 4 。 由于w h i t t a k e r s h a n n o n 采样定理有上述局限，人们给出了主级数的各 种扩展形式。例如：它的高维扩展、随机信号扩展、非带限信号扩展、采样值遗失 扩展、小波子空间扩展、非正则采样扩展。关于主级数的应用和它的各种扩展形 式，请参考 3 5 1 、1 3 6 1 、【3 7 】、【3 8 、【2 3 ，2 4 ，3 9 ，2 5 - 2 7 】、【2 9 1 、【3 0 - 3 3 】、1 3 4 1 、【7 】。 最近，人们已经提出采样定理统计方面的推广形式。即：当我们在主级数中， 只用有限个含有噪声的采样值来恢复原始信号时，如何对它的误差进行统计分 析? 在信号处理中，这个问题已经被提到很多次，但没有一个方法完全解决了， 在主级数中用含有噪声的采样值来取代准确采样值时，主级数的收敛性。在 4 0 】 中第一次对这个问题做了严格的理论分析。后来【2 3 】也对这个问题做了理论分 析。【2 4 、【2 5 1 、【2 7 、【4 1 】提出了其他的重构算法，并且建立了它：门沿着采样率的 收敛性结果。 2 第一章引言 我们假设，所测量的采样值有如下形式 y k ：= f ( k r ) + s 七，( 1 4 ) 其中 g 南：k z ) 是一列独立同分布的随机变量序列，且期望为0 ，方差为仃2 。 在主级数中，我们用玑来取代f ( k r ) 所得到新级数可能不收敛。也就是说， 当n 趋向正无穷时，部分和 斛2 l 聂纨描 有可能发散。事实上，在 4 1 】中已经得到 e | a ( x ) 一厂( z ) 1 2 d x _ 。， 几_ 。 j r 这里e 表示数学期望。 1 2 重构误差估计 为了使上面所得到的新级数收敛，【4 l 】给出了一种线性光滑的方法，并且得 到了一些误差估计式。在我们介绍【4 1 】结果之前，我们先给出【4 1 】所采用的一些 符号和表示。令 玩= w i y k 而 l i l m 其中m l 是一个常数，w i 0 和陋mw i = l 。这里蟊是玑的加权平均，所 以，我们称 纨：k z 为滑动平均序列。五( z ) 由如下定义 五( 小= 纨甓等 ( 1 5 ) i k l n 定义，y a r ( 五( z ) ) ，i b i a s 2 ( 五( z ) ) 如下 i v a r ( n ( x ) ) = e i 五( z ) 一e 五( z ) 1 2 d x ( 1 6 ) i b i a s 2 ( 五( z ) ) = e 厂l e 五( z ) 一f ( x ) 1 2 d x ( 1 7 ) 假设1 1 设，q ，r 是一个非负整数。假设r 一1 ) 存在且绝对连续，芦r ) ) 在 一q ，q 】上有界变差且在点士q 处连续。 第一章引言 假设1 2 毗满足下式 w i = 1 i s 盯 i 5 毗= o ，s = 1 ，q 一1 ，q 2 i l _ m 1 w , i c i q 0 和某个常数n 0 ，有i ，( ) i a l t l 一( 件 假设1 4 若f l 2 ( r ) ，对任意ssp ，都有，( 。( 亡) l 1 ( r ) nl 2 ( r ) 且，( 8 ) ( ) 是有界的。 当信号是频谱有限时， 4 1 】给出： 命题1 1 若( t ) 满足假设j j ，咄满足假设j 2 ，则有 ，v a r ( n ( 训 0 时，平均采样的截断误差估计式比一般采样的截断误差估计式 小。 在对平均采样理论研究的过程，我们找到一种自适应性的重构算法。所谓自 适应性，意思就是，这种算法满足下面两个基本要求： 5 第一章引言 1 如果采样值含有噪声，则重构信号与原始信号的平均误差应尽量小。 2 如果采样值不含噪声，则重构信号与原始信号应严格相等。 显然 4 1 中的算法不是自适应性的。 6 第二章主要结果 第二章主要结果 2 1 平均采样定理 人们早就知道，对一组数据作平均可以降低数据所含有的误差。例如，令 苏：y k _ + - y k 一+ l ， 其中y k 由( 1 4 ) 式得到。则 e ( 沪型掣) 2 = 譬， 而 e ( y k 一，( 七7 - ) ) 2 = 盯2 2 1 1 滑动平均采样定理 趸理2 1 如果n 2 走一个正登数，且0 t 2 n 和0 0 使得 a l i f i i 备s ) i2 b i i i i ；, ， 任意i h k e z 则我们称序列【 ：k z ) 是日的框架。其中常数b ，a 分别称为【 ：k z ) 的框架上下界( f i f l l - 表示厂在h 中的范数) 。 7 第二章主要结果 说明2 j 对框架 ：k z ) ，定义算子s 为 s ，= ( ， ) ， 任意，h ( 2 1 ) k e z 可以证明，s 是有界可逆线，陛算子且_ 【s 一1 ：k z ) 是以1 a ，1 b 为上下 界的框架我们称s 为 0 都存在r 中的紧集 k ， 知爵 i ，( z ) i 0 且 e 2 戚础勺( 一i t a ) ：m ，i t z ) 是l 2 ( r ) 的框架，s 是它的框架算子。则 e 2 戒m k ( s 一1 9 ) ( 一i t a ) ：m ，扎z ) 是 e 2 丌 妇g ( 一n a ) ：仇，礼z ) 的典型对偶框架。 e 2 丌仃妣( s 一1 2 夕) ( 一n a ) ：m ，扎 z ) 是 e 2 耳m 6 霉夕( 一孔o ) ：m ，n z ) 的典型紧框架。 命题2 4 心引弼2 5 5 4 1h i l b e r t 空间h 中的向量序列 ：k z ) 是以 a ，b 为界的框架，当且仅当，它满足下列两个务件 j a ：k z ) 在日中完备。 2 对任意 ：k z 附，有下式 a i c k l 2 l i t c 七：k z 州备b 川2 k e gk c z 其中嵋由下式定义 孵= 0 ，且 葡ta g 毋( u ) 砸tb ，n e u 岛 ( 2 2 ) 当且仅当，【( 一七署) ：k z ) 是以a ，b 为界的框架序列。其中圣( u ) ，岛由下 式定义 g 以，= 卧k ( 等) 1 2 ，6z i1 日= f m r ：g 西( u ) o ) 证明：( 穹) 取序列 c 七：k z ) ( 其中仇只有有限项不为零) ，则有 t 吼：忌z 1 1 2 = i i5 2 c 南矽( 一k 署) 1 1 2 k e z 9 第二章主要结果 又由( 2 2 ) 得， = l i f f = f r r , 2 n r ： ， j o 9 2 n - r ： j o 西( 一七署) i 觎e 让筹。$ ( u ) r c k e 如蛩u c k e 诀蛩u t c k ：k z 1 1 2 根据【删中的习题3 9 ( i ) ，对任意 ：k 1 2 2 2 跏( 耕幽 2 g 西) 山 日川2 ， k e z 三z ) 2 2 有， b 川2 k e z 所以对任意 c 七：k z ) 2 有， t c k ：k z ) i | 2 = f 2 n - r ，0 故算子t 的核为 k ： 【 k z ) 粤2l r e 诎哥u r 2 ( 2 3 ) g 西) 山 ( 2 4 ) c 知e 诹哥u = 。u 岛n 。，等 ) ， 因为 e 伽器w ：k z ) 是l 2 ( o ，2 q r ) 的正交基，所以胁的正交补为 孵= c k ：k ez ) 护 诸和= 。u o ，孙易 亿5 ，r lo j 对任意c k ：k z ) ”，由( 2 2 ) 式、( 2 4 ) 式得 丁慨嗽z 1 1 2 = 尸 c k e 诸筹u r k 。昕， 1 0 2 g 咖) 山 2 g 毋0 ) 幽 ( 2 6 ) i | r 第二章主要结果 轰a 厶。昕，陪哥“1 2 幽 = 轰a 尸降叫2 山 = a i c k l 2 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 又由命题2 4 、( 2 3 ) 式、( 2 8 ) 式得， ( 一七署) ：k z 是以a ，b 为界的框架 序列。 ( 告) 因为 ( 一七嚣) ：k z ) 是以a ，b 为界的框架序列，所以由命题2 4 和( 2 3 ) 式得 c a w ) 壶bn e u r ( 2 9 ) 又由命题2 4 、( 2 6 ) 式、( 2 7 ) 式得 猫- 1 a g ( u ) n e u bn o ，2 a 7 ( 2 1 0 ) 由( 2 9 ) 式、( 2 1 0 ) 式得，引理的结论成立。 i - 1 引理2 2 设 妒( 一詹署) ：k z ) 是框架序列，g e ，b 和引理2 j 中的意义相 同，令 ；= 0 警笼茎 亿 “7 i ，如果叫r 玩 、7 则 函( 一七署) ：k z ) 是 ( 一七署) ：k z ) 的典型对偶框架。 证明：设框架 ( 一七哥) ：k z ) 所张成的闭线性子空间为y o ，由框架的性 质，我们可以定义从z 2 到上的算子t 为 t 七z ) = ( “署) ( 2 1 2 ) k e z 容易证明算子t 的共轭p 为 t + ，= 惭) ，矽( 一后罟) ：尼z 第二章主要结果 由( 2 1 ) 瓦，知框架算于s = 2 ? ”。所以要证明这个引理，只需证明p 珊= ， 即可。因为 ( 西，* 一南署) ) = 轰上；( u ) 参( ) e 伽蛩u 幽 ( 2 1 3 ) = 二2 f 厶南鼬1 2 e 谤铷山 ( 2 1 4 ) 既嘞( u ) 附r 川。 p “v ：嘉 2 叫rx ( u ) g i k 筹 2 q 厶 。母、一7 ( 2 1 3 ) 式到( 2 1 4 ) 式，由( 2 11 ) 式得到，所以 ( 函，( 一七署) ) e m 蛩u k e z 。 = 丽r 厶 2 n l r 剐咖嵴。咖e - i k 警- w 乒( u ) ( 西，妒( 一七署) ) 妒( - 一南署) = 咖。 k 6 z 。 。 证毕。 口 引理2 3 空间b ar 见r j j j 式j 是一个再生核i z 6 e 7 t 空间。 证明：由命题2 1 ，对几乎处处的z 有 他) = 芴1 上f a n 似 ) e 协幽， ( 2 1 5 ) 又由p 以e 可w i e 佗e 7 定理和命题2 2 知，上式的两端都是连续的。所以( 2 1 5 ) 式对 任意z r 都成立。由c n 让c 不等式得 i f ( z ) l = i 去一山i 互1f 一i 氕) l 咖 芴1 ( 嗍。幽) v 2 ( 2 q ) 1 2 = ( 圹l l f l l 1 2 第二章主要结果 所以空间阮中的函数的点估计是连续的。显然玩是h i l b e r t 空间，因此b n 是 再生核h i l b e r t 空间。 口 滑动平均采样定理的证明：因为空间阮是再生核h i l b e r t 空间，所以存在唯 一的函数列 路( ) ：k z ) b a 使得 f ( k t r r f 2 ) + + ，( ( 七+ 1 ) t r r f 2 ) n 由命题2 1 得 f ( k t r t l q ) + - i - ，( ( 后+ 1 ) 7 1 r q ) ( ，( ) ，戚( ) ) ， n 芴1 f n - - ) 竺坠等竺竺山 ( ，( ) ，夕( 一七7 r 7 - q ) ) ( 2 1 6 ) 其中( 2 1 6 ) 式中的鲫( z ) 满足，鼬) = 型塑型生土手坐兰兰竺x 【一n ，删) 。又 由唯一性知 麝( ) ：南z ) = 夕( 一k r r r q ) ：k z ) 因为 2 = 怯仁型生竽咖1 2 亿 ：r z = - 一 七z ：r z 二_ 一 k e z l j 厂- 吖a r , 舢) 竺生丢掣山 去皮衲竺盟哥塑山 q 2 7 r 2 r蔗堡 仁m 坐 2 7 r 2 r n 2厂n 1 2 - ，一ni i ( 2 1 7 ) 式到( 2 1 8 ) 式，由已知条件 - - 睾 虿n q q 1 3 2 2 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) q r丌七一 争， 妣 一 心 丸 卜竺彳卜卧薹之 c = 一杆q 一2 第二章主要结果 得到。由( 2 1 9 ) 式得 m ) ，g n ( 一栅丁q ) ) i 2 k e z 墨仁刚2 山 = 跏1 1 2 ( 2 2 1 ) 由已知条件，对任葸u 【一s 2 ，叫都有 i 1 w w 矿r nf , t 7 e t n 0 使得 l 业s i n ( w t e r 貉1 2 f l1 2 m 1) i 一 由( 2 1 9 ) 式得 m ) ，g n ( 一忌7 r 丁q ) ) l 2 k e z羔m 2 山 = ；r 7 i m 胪f 一 ( 2 2 3 ) 由( 2 2 1 ) 式和( 2 2 3 ) 式得， 鲋( 一尼7 r 7 q ) ：k z ) 是魄的框架。设s 是 卵( 一七7 r 7 - q ) ：k z ) 的框架算子，由命题2 3 得， ( s 一1 鲫) ( _ 七7 r 7 - q ) ：尼z ) 是 夕( 一k t r r 9 2 ) ：k z ) 的典型对偶框架。令 ( ) = ( s - 1 鲫) ( ) 由引理2 1 1 ，并经过化简得 瓯= 雨碲半等丽丽x - n , a l ( 以 证毕。口 2 1 2 平滑平均采样定理 由于在实际中，我们只能用信号的有限个采样点来恢复原始信号。因此，我们 总是希望我们的重构函数有较好的衰减性。而函数的衰减性反映到它的f o u r i e r 变 换上就成了光滑性。所以，我们要求重构函数的f o u i e r 变换有较好的光滑性。因 此，我们还要把定理2 1 中的重构函数进行光滑。于是，我们得到下面的平滑平均 采样定理。 1 4 第二章主要结果 定理2 2 若n 2 是一个正整数，且0 r 2 n 和0 6 ( 1 r 一1 ) n 是常数。定义 s n ( w ) = 丛! ! z 旦 1 + e 丌r n + + e t ( 一1 ) 叫霄f 巧 ( 一n 一6 ) 7 r 7 q 6 ( 1 + e i _ ，r r n + + e t ( 一1 ) r r ，n ) j v ( 加+ n + 6 ) 7 r 7 _ q 6 ( 1 + e 一衍r n + 十e t ( 一l 两r 7 n ) 则对任意的f b n ，我们有 巾) = k e z 如果埘【- q ，q 】， 如果w ( f z ，f z + 叫， 如果w 【一q 一6 ，- n ) f ( k t r r f 2 ) + + ，【( 七+ n 一1 ) t r t 9 2 】 n 上面的级数既在三2 ( r ) 中收敛，又在之上一致收敛。 证明：当w 【- n r ，n 7 - ，我们有 虱( t 一百k t r t ) ，t r ， 虱( 伽) 业盟生等堕型 七z e i k w l r r l l 2 拍业竺掣篆，( 百k 7 r t ) e - 舭叫n = 等，( 百k t r t ) e - i k w * r r f l = 穴毗 最后一个式子由( 2 2 4 ) 式得到。因此 m ) = 七z 由引理2 5 得 f ( k r r r f 2 ) + + ，【( 七+ n 一1 ) r r r f 2 】 i s n ( t k e z 2 n虱( t 一等) 暴i 虱( 帅口 ， 所以七zi s n ( t k q , r r 胪、i 对t r ，是一致收敛的，因为 ，( 等) 1 2 = 去仁缸) e i x k n r l l 讲 去璧缸) e i x k 丌r t 2 衅 q 2 7 r 2 rj厂倒riz如：知m-fur 儿， 1 5 眦 妣 第二章主要结果 我们得到 ( k 7 r r n ) ：七z ) 产( z ) ，故 ( ( k 们- n ) + + 州七+ n 一 1 ) l r - r f 2 ) l n ：k z ) 1 2 ( z ) 。由c a u c h y 不等式 迎盟生书坠幽虱( t 一 乞 “r q 是一致收敛的。 2 2 平均误差的计算 口 定理2 3 如果n ，f ，丁，5 分别满足n nf b n ，0 7 2 i n , 0 6 ( 1 7 - 一1 ) q 。则我们可以得到 e i f ( t ) 砥1 2 ：筹南端i 虱( 训2 抛 虱(叫)：善!霎雾圣骂n爱1r莩r霸fl ，萋：茎：五毫鼍刎， 【瓦再虿弩筹善笔墨兰器乌市刁可，若w 一q 一瓦一q ) ， r n ( y ) ( t ) = 七zy k + 等k + n - - 1 - ( 一等) 这个定理得证明，要用到下面的两个引理。第一个引理是说：如果f 凰， 则f 可由其采样值 厂( 百k l r ) ，k = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，) 准确恢复；第二引理是说：两个带 限信号的卷积积分与卷积和相等。 引理2 4 ( s h a n n o n 采样定理j 若f b n ，则我们有 m ，= 螽薹晦，鬻 上面的级数既在l 2 ( r ) 中收敛，又在酞上一致收敛。 说明2 3 如果0 o ) ，则我们有 f + 一一o o 胁胤) 匆= 丢k e z ( 等) f 2 ( t 一- - 5 - ) ( y ) 厶( t y ) 匆= 云： ( 署 一 一一 - 定理的证明：由引理2 2 ，我们获得 e l f ( t ) 一r n ( f ) ( t ) 1 2 =e 丛学虱( t 一等) 急 1 。 q 7 2 = 焉k e zi 瓦( t 一和埘r e 祭薹虱( t 一百k t r t 剐t 一学) + 枷e 而0 2 夏虱”等) 丽幽磐) 由引理2 5 ，对于0 n n 一1 ，我们有 而且 因此 r e 虱( t k 6 z 等) 虱( t ：m 兰厂佃虱( t 丌7 - ，一 譬磐) q 7 一剪) 虱( 一秒一等) 匆 = r e 旦7 r t ( 虱( 一) ，虱( 百n t r t ) ) 熹脚棚虱( 刊，虱( 刊) 导e i 虱( 讯0 s ( 署 知z虱( t 一等) 虱( 一学) = r e 虱( 亡 k 6 z e i f ( t ) 一r n ( i ) ( t ) 1 2 = 景巴 2 7 r 2 丁，一。一 等) 虱( t i 虱( 似) 崤1 + 一1 + 丽12 c 。s ( ( 一1 ) 署) ) 如+ 丽2 c o s ( ( 一1 ) 矿) ) d 叫 通过化简，定理得证。 1 7 ( k + n ) r r r ) -_ 2c o s ( 百w t r t ) + 口 第二章主要结果 z 3 诃化 在定理2 3 ，令：n = 1 ，2 ，3 ，4 ；q = 7 r ；盯2 = 1 ，则我们可以得到 聊m 肜m ) 1 2 = 丁+ 三i i t 厂万i - 2 ( 一川灿， ( 2 2 5 ) e i f ( t ) 一踟m ) 1 2 = 丁+ 去厂雨1 + c o 丽s ( r w ) 万r 2 ( w - u - a ) 2 旭 ( 2 2 6 ) e i f ( t ) 一聊m ) 1 2 = r + 土7 1 t ：卅占矸( 1 + 2 两c o s ( 丽r w ) ) 2 萨r 2 ( 删一川) 2 咖 ( 2 2 7 ) 聊) - 踟m ) 1 2 = 丁+ 三f t 厂( l 1 + 一c o s 町( r w 驯) ) 咖c o s m ( r w 厂o ) 2 r 2 ( 叫一川 如果在方程( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 中取7 - 分别为 o r 1 o 丁 1 ，0 丁 兰，0 丁 丢 则有如下结论： 1 若0 7 i 1 ，0 j ( 1 r 1 ) 丌，则对于t 风f ( t ) 毋，我们有 e l f ( t ) 一飓( ，) ( t ) 1 2 e l y ( t ) 一r 1 ( ，) ( 亡) 1 2 2 若0 7 1 2 ，0 6 7 r 一一2 7 r ，则对于t r ，( t ) 瞵，我们有 e l ( t ) 一r 4 ( f ) ( t ) 1 2 e i f ( t ) 一r l ( 似亡) 1 2 3 若0 7 - v 2 ，0 6 ( 1 7 - 一1 ) 丌或者t 2 7 2 3 ，0 j a r c c o s - ( 1 + c o s ( 7 - 7 r ) ) 7 一7 r ，则对于t r ，( ) 毋，我们有 e i f ( t ) 一r z ( ) ( t ) 1 2 e i f ( t ) 一r 1 ( ，) ( ) 1 2 由结论1 ，2 ，3 ，我们可以看出，当n = 1 ，2 ，3 ，4 ，并且取合适的6 时，重构误差随 着的增大而减小。 1 8 第三章与已有算法比较 第三章与已有算法比较 在定理2 3 中，如果我们取盯= 0 0 5 、n = 3 ，6 = 0 、q = 7 r 、采样值为 蚴生产：i k l n ) ( y k 由( 1 4 ) 得到) 、重构函数的f o u r i e r 变换为t 干甄3 币t 可 。这样，我们就得到一种用含噪声的采样值来恢复信号的算法。参考【4 l 】，我们知 道，【4 l 】的算法是用错作为重构函数。那么到底哪种算法恢复效果好那? 下 面，我们举一些例子来说明它们恢复效果的优劣。 例3 1 取信号为，( z ) = 尝景鞘号肇写铲，显然，( z ) b l 矿令7 - = o 6 n = 2 0 ，我们有 l n ) r e c o n s l n m ds i g n a l s 1 9 雪 b ) h n o ”h 由de _ r o r s 第三章与已有算法比较 图3 1 图( a ) 为原始信号、图( b ) 为噪声信号、图( c ) 为重构信号、图( d ) 重构误差。 对于上面做图所用的噪声序列，信号本身的信噪比，j j 中算法的信噪比以 及我们算法的信噪比分别为：1 4 0 8 0 2 ，1 1 3 7 9 4 ，1 7 1 6 2 3 。 例3 2 取信号为，( z ) = s i n 3 ( 。3 ( r 计( x + 3 ) 3 4 ) 4 ) 丌( 计3 ) 4 ，显然，( z ) b l 丌令7 - = 0 6 。n = 2 0 ，我们有 l e ) ( g ) l h ) 图3 2 图( e ) 为原始信号、图( d 为噪声信号、图( g ) 为重构信号、图( h ) 重构误差。 对于上面做图所用的噪声序列，信号本身的信噪比，一j j 7 中算法的信噪比以 及我们算法的信噪比分别为：1 4 0 8 0 2 ，1 1 2 5 5 4 ，1 7 2 0 4 4 。 例3 3 取信号为，( z ) = 掣蒹黪泸专黪驴+ s i n 3 ( 丌3 1 ( r 计( x + 3 ) 3 ) 4 4 ) 丌( 计3 ) 4 ，显 然f ( x ) b l 霄令7 = 0 6 ，礼= 2 0 ，我们有 第三章与已有算法比较 荟 l k ) l t )l m ) 图3 3 图( j ) 为原始信号、图( k ) 为噪声信号、图( 1 ) 为重构信号、图( m ) 重构误差。 对于上面做图所用的噪声序列，信号本身的信噪比，1 4 1 1 中算法的信噪比以 及我们算法的信噪比分别为：1 7 0 1 6 5 ，i i 6 8 1 5 ，2 0 1 1 9 2 。 说明3 1 由上面的例子可以看出，当噪声为零时，我们的算法能准确恢复原 始信号，并且当噪声比较小时，我们算法的恢复效果也是很好的 2 1 后记 后记 本文系统地研究了用平均采样定理来降低信号噪声，得到了滑动平均采样定 理和平滑平均采样定理，即定理2 1 和定理2 2 。同时利用平滑平均采样定理得到 了，用含有噪声的采样值来恢复原始信号的平均误差，即定理2 3 。平均采样定理 在很多方面已经得到应用，然而，用平均采样定理来降低噪声，目前还没有类似 的结论。 此外，本文主要研究了频带宽度为q 信号，类似地，我们也可以进一步研 究平移不变子空间的滑动平均采样定理和平滑平均采样定理。孙文昌老师，周性 伟老师，a a l d r o u b i 在这方面做了不少工作，他们不但得到了平移不变子空间上 采样定理的充分必要条件，而且提出了很多由信号的采样值来恢复信号的具体算 法。参见【2 9 】、【3 0 、【3 1 、【3 2 】、【4 5 、【3 3 。 本文是两年多来学习研究成果的一个重要总结，这为今后进行更深层次的研 究奠定了坚实的理论基础。由于时间有限，这里没办法进行更广泛的研究。但我 相信，本文介绍的各种方法无论在应用上还是在理论上都将发挥重要作用。 2 3 参考文献 参考文献 【1 】c e s h a n n o n ， c o m m u n i c a t i o ni nt h ep r e s e n c eo fn o i s e ”，p ，d i r e , v 0 1 3 7 ，p p 1 m - 2 1 ，1 9 4 9 【2 】j m w h i t t a k e r , t h ef o u r i e rt h e o r yo ft h ec a r d i n a lf u n c t i o n s ：p m m a t h s o c