（概率论与数理统计专业论文）两种类型分红问题及常利率更新模型研究.pdf

摘要 古典风险模型是一个时齐的具有平稳独立增量性质的随机过程，这一模型首先是 有瑞典经算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年的博士论文中提出，随后由瑞典的精算师 h a r a l dc r a m 白对这一模型进行了严格数学化处理，使之建立在严格的随机过程理论 之上，所以古典风险模型也称为l u n d b e 暗c r a 由模型( 简称为l _ c 模型) 。对l c 模型的研究已经经历了一百多年的历史，目前已基本趋于完善，几近完美，各种保险 精算量都得到完整精确的分析表达式。本论文致力于将k c 模型发展为以下几种不同 风险模型进行研究，它们包括：带扰动古典风险模型，常利率更新风险模型，经济环 境下带扰动古典风险模型，带扰动的常利率更新风险模型。主要研究了带扰动古典风 险模型的精算诊断量的联合分布以及在两种不同分红策略下的累计折现分红；常利率 更新风险模型的g e r b e t - s h i u 罚金函数，以及经济环境下带扰动古典风险模型的破产 概率的上界估计和保费计算公式 本论文由三部分组成：( 1 ) 带扰动古典风险模型；( 2 ) 两种类型的分红问题； ( 3 ) 常利率更新风险模型。 我们首先研究了带扰动古典风险模型。由于带扰动古典风险模型可以看成一个古 典风险模型与一个布朗运动的和，或者是一个带漂移布朗运动与一个复合p o s s i o n 过 程的和，所以对带扰动古典风险模型我们从研究( 带漂移) 布朗运动入手，在第一章分 别得到带漂移布朗运动的几种极大值与极小值的概率分布函数的分析表达式；布朗运 动关于双侧逐段线性边界的首出时分布j 资产与负债为几何布朗运动的风险模型的破 产概率及最值分布。受w ue ta 1 ( 2 0 0 3 ) ，z h a n ga n dw a n g ( 2 0 0 匐等文章的启发，利用 带扰动古典风险模型的强m 口k o v 性，l 6 v y 过程的许多特性，比如独立增量性和时 空齐次性，特别是布朗运动的各种特性以及前面得到的有关( 带漂移) 布朗运动的结 果，首次得出了这个模型中八个有重要实际意义的精算诊断量的联合分布的明确表达 式，它们包括破产时，末离时，破产后到余额首次恢复为非负的时间，破产前瞬间盈 余，破产时赤字，破产前最大盈余，破产后到余额首次恢复为非负这段时间的最大赤 字，破产后到末离时之前的最大盈余，这是带扰动古典风险模型中纳入重要精算诊断 量最多的一个联合分布。 论文第二章主要研究带扰动古典风险模型的分红问题。分红问题是联系金融和保 险两方面的重要研究课题，是当前国际上风险理论研究的热点之一。g e r b c r _ s h i u f 2 0 0 4 ， 2 0 0 5 b ) 对带漂移的布朗运动模型做了研究，受他们的启发，我们主要研究带扰动的古 典风险模型，由于该模型是在前述模型的基础上追加了索赔( 即随机跳) 项，使问题 的研究变得更加困难，不能沿用g e r b e ra n ds 1 1 i u ( 2 0 0 4 ，2 0 0 5 b ) 的方法去做。由于所研 究的模型是轨道右连续的m ”k o v 过程，同时又是l 6 v y 过程，我们充分利用了它所 具有的这种杼陛，首先证明了第一种分红策略下的累计折现分红函数，在索赔分布密 度函数连续时，关于初始余额的二次连续可微性；受g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 4 ) 的启发， v v i 摘要 获得了它以及修正余额过程的破产时的l a p l a c e 变换所满足的积分微分方程，并用完 全不同于g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 4 ) 的方法求出了它们的精确解，在求得的解的卷积表 达式中去掉随机跳( 即让p 0 8 8 i o n 索赔记数过程 ( t ) ，t o 的参数a = o ) 以后 所得结果与g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 4 ) 的结果完全一致受g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 5 b ) 的 启发，用类似的方法，研究了带扰动古典风险模型在第二种分红策略下的累计折现分 红，破产时的l 即l a c e 变换，累计折现分红的矩母函数等问题，得到上述量的分析表 达式，推广了g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 4 ，2 0 0 5 b ) 的相应结果 本论文第三章主要研究了常利率更新风险模型众所周知，更新风险模型是一类 比古典风险模型更为广泛的风险模型，致力研究的人很多但是令人遗憾的是对此模 型的研究进展不大，就破产概率而言可以利用随机游动的梯度高度，得到一个公式， 但是如何计算梯度高度目前并没有一般的方法解决，仅仅对一些特殊的索赔分布髓够 求出；至于最重要g e r b e r - s h i u 罚金函数( 联系三个重要精算量) 也仅仅导出了它所满 足的方程。当前在风险模型中增加经济环境研究十分重要，自然最直接的就是研究常 利率更新模型。由于更新模型本身研究还不深入，所以对常利率更新模型的研究更加 困难，目前仅有c a ja n dd i c k s o n ( 2 0 0 3 ) 给出了破产概率的上界估计式，可以说对常利 率更新模型的研究既没有得到令人满意的结果，也没有特别有效的解决问题的方法， 这种情况极大地激发了我们研究这一模型积极性 受w ue t 甜( 2 0 0 5 ) 论文的启发，使用了完全不同于别人的方法，在一般的情况下 导出了重要的g e r b e r - s h i u 罚金函数的精确解析表达式，在此基础上推导出著名保险 精算学家d i c k s o n ( 2 0 0 2 ) 关于常利率古典风险模型所导出的方程，并回答了他的o p e n 问题，随后给出了破产概率上下界估计式并且证明了g e r b e r _ s h i u 公式( 见g e r b e ra n d s h i u ，1 9 9 8 ，( 24 0 ) ) 对于常利率更新风险模型亦然成立尤为重要的是从常利率更新问 题的研究中我们寻找到一个解决更新模型的有效途径，它不仅可以解决常利率更新模 型，而且可以用于解决随机利率的更新问题。本章最后一部分，我们讨论了经济环境 下带扰动古典风险模型，此模型是在古典风险模型基础之上考虑到利息力度与物价上 涨力度，同时增加一个随机扰动项一布朗运动，它在实际资产运行过程中表示保险公 司所获得的一项不确定收入或支出。我们知道古典风险模型具有非常优良的性质，比 如平稳独立增量性，时齐强m a r k ( w 性，l 6 v y 过程的时空齐次性等才使得古典风险 模型的问题研究得到比较彻底的解决，受此启发，首先讨论l 嫩过程所具有的性质，利 用指数分布无记忆性，以及单调类定理证明了经济环境下带扰动古典风险模型仍然具 有独立增量性，但是不再具有增量平稳的性质；并且得到了其增量的特征函数的明确 表达式，这为我们下一步进行保费计算公式的推导提供了保证。然后通过构造一个指 数鞅，利用可选停时定理，获得有限时间破产概率的一个上界，推广了g e r b e r f l 9 7 3 ) 的相关结果。随后讨论了此模型下的保费计算问题，根据各种不同的保费计算原理： 平衡原理，期望值原理，指数函数零效用原理，e s s c h e r 变换原理，分别给出了保费 计算公式，最后证明指出对此模型标准差原理不再适用。 受本文第一，三两章的启发，我们将考虑常利率带扰动更新风险模型，目前已经 有了一些想法和结果，我们将在以后的工作中做更深入的探讨。 a b s t r a c t t h ec l a s s j c a jr j s km o d di sa ni m p o r t a n ts t o c h 船t i cp r o c e s sw i t ht l l ep r o p e r t i e s o fs p a t i “h o m o g e n e i t ya n di n d e p e n d e n ti n c r e m e n t i tw a sf l r s tb r o u g h tf o r w a r db y t h es w e d e na c t u a r yf i l i pl u n d b e r gi nh i sd o c t o r i “t h e s i si n1 9 0 3 t 1 l e nt h es w e d e n a c t u a r vh a t a l dc r a m 6 rm a d et h cm o i l e lt ob a s eo nt h es t r i c tt h e o r vo ft h es t o c h a s t i c d r o c e s s ，s ot h ec l a s s i c 以r i s km o d e li sa l s oc 以l e dt h el u n d b e r 譬一c r a 瑚自m o d e lt h e c i a s s i c a lr i s km o d e lh a sb e e n8 t u d i e dm o r et h a no n eh u n d l e dv e a r s a td r e s e n ti ti s n e a r l vp c r f c c ta n dt h ee x a c tc 8 1 c l l l a t e dr e s u l t 8f o r 以lt h ea c t u a r i a ld i a g n 0 8 t i c sa r cd e - r i v e di nc l o s e df o r m t h e 8 ea c t u a r i a ld i 醒n o s t i c si n c l u d et h er u i n 妇n e ，t h es u r p l u s i m m e d i a t e l yp r i o rt or u i n ，t h ed e 丘c i ta tr u i n ，t h es u p r e m ep r 0 6 t sb e f o r er u i n ，t h e s u p r c m ed e 丘c i tb e f o r et h ea r s tr e c a v e r y ，a n dt h es u p r e m ep r 0 6 t sa n d s oo n t h i sd i s s e r t a t i o l li sd e v o t e dt ot h ed e v e l o d m e n to fr u i nt h e o r vi ns e v e r a ld i f l 色r e l l tr i s ki n o d e l t h e yi 1 1 e l u d et h ec l a s s i c a lr i s km o d e lt h a ti sp e r t u r b e db yd i 肋s i o i l ，c l l es p a r r ea n d e r s e nm o d e lw l t hi n t e r e s t ，a n dt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f n s i o nma n e c o n o m i c 喇r o n m e n tw em a i n l yd i s c u s st h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h ee l g h ta c t u a r i dd i a g n o s t i c sa n dt w oh n d so fa g g r e g a t ed i s c o u n t e dd i 、，i d e n d sf o rt l l ec l a s 8 i c a l r i s k p r o c e s sp e r t u r b c db _ yd i f r u s i o n ，t h eg e r b e r - s h i ud i s c 0 1 l i l t e dp e n a l t y l n c t i o nf o rt h e o r d i n a t yr e n e w a ln s km o d e lw i t hc o n s t a n 七i n 七e r e s t ，t h ee 8 t i m a t i o no fu p p e rb o u n d f o rr u i np r o b a b i l i t i e sw i t hf i n i t eh o r i z o a n df o r r l l u l a eo fp r e m i u mc a l c u l a t i o nf o rt h e c l a s s i c a lr i 8 kp r o c e s sp e r t u r b e db yd i 8 h s i o ni na n o n o m i c 出i v i r o r l m e n t th j st h e s i si so r g a n i z e da _ sf o o d n g s ，c h a p t e rl ：t h cc l a s s i c a lr i s km o d e lt h a ti s p e r t u r b e db yd i f f u s i o n ；c h a p t e r2 ：t 岫k i n d so fd i v i d e n ( 王sp r o b l e m ；c h a p t e r3 ：t l l e o r d i n a t vr c n e w a lr i 8 km o d dw i t hc o n s t a n ti n t e r e s t w ek n o wt l l a tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lt h a ti sd e r t u r b e db vd i m l s i o nc a l lb er e g a r d e da st h es u mo ft h ec l a s 8 i c a lr i s km o d e la 以dab r d w n i a nm o t i o n ，o rt h ec o m p o u n d p o i s s o np r o c e s sa n dab r o v n i 舡in l o t i o nw i t hd r i r 。s ow es t a r to u rs t u d y 土r o mt h e b r a w n i a nm o t i o n ( w i t hd r 毗1 i ns e c t i o n1 1 、v ed e r i v et h ed i s t r i b u t i o n so fs o m ee x t r e m af o rb r ( ) w n i a nm o t i o nw i t hap o s i t i v ed 工i 托a n dt h ec l o s e df o r i no ft w o s i d e dp i c c e - w i s el i n e a rb o u n d 盯yc r o s s i n gp r o b a b i l i t yf o rb r o w n i a nr n o t i o n f i n a l l yw ec o n s i d e rt h e p r o b l e m so fr u i np r o b a h l i t i e sa n dt h ed i s t r i b u t i o no fm a 菌m a lv a l u ei nt h em o d c lw h i c h a s s e ta n dl i a b i l i t yv 出u e sa r em o d e h e db yg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n t h er u i np r o b a b i l i t i e sa n dt h ed i s t r i b u t i o no fm a 撕m 8 lv a l u ei n8 u c hm o c l e la r eo b t a j n e d 【o t i v a t c d b yw ue ta l ( 2 0 0 3 ) ，z h “ga n dw 抽g ( 2 0 0 3 ) ，a p p i 姐n gt h es t m n gm a r k o vp r o p e i 吼t h e v a r i o u sp r o p e r t i e so fl 岳v yp r o c e s s ，s u c l la st h ei n d 印e n d e n ti n c r e m c n ta n dt h es p a t i a l h o m o g e n e i t y 弘o p e r t ye t c ，m a n yc h 趾雠t e r i s t i c sa n dt h er e l a t e dr e s u l 乞sf o rb r o w n i a n i i a b s ，8 c c m o t i o nw 虹c hw e g e ti nt h ep r e v i d u ss e c t i o n ，w eh a v ed e r i v e dt h ee x p l i c i tc x p r c s s i o n s f o rj o i n td i s t r i b u t i o no ft h ee i g h ta c t u a r i 8 id i a g n 0 8 t i c s t h e s ea c t u a r i a | d i a g n 0 8 t i c s i 婀l u d et h elu i nt i m e ，t h et i m eo ft h es u r p l l 】8p m c e s sl e a v i n gz e r ou l t i m a t e l y ( s i m p l y t h eu l t i m a t e l yl e a v i n 廿t i m e ) ，t 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i t hd r i f t m o t l v a t e d1 b yt l l e i r s ，w eb e g i nt o8 t u d yt h ed i v i d e n d s p r o b l e mf o rt h ec l a s s i c a ir i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f m s i o n w ek n a wt l a tt h i sm o d e i h a sa na d d i t i o n 如t 哉h l s t o d h a s i cj u m p ) o nt h eb a s eo ft h ep r e v i o u sm o d e l t l i s m a k e st l l es t u d yo ni tm o r ed i 伍c u l tt h a nt h ep r e v i o u sm o d e l ，a n d 卸c o r d i n g l yt h e i r l e t h o di sn ol o n g e rv 蛆i df o rt k sm o d e l u t i z i n gt h r o u g 址yt h ep r d p e r t i e s0 ft h j s m o d e i ，s u c ha s ，t h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y 】t h er i g h tc o 口t i n u o u sp r o p e r t yo f8 a m p b p a t h ，a 血dc h a 上a c t e r 括t i eo fl 6 v yp r o e e 5 s ，w ep r o v et h a tt h e 蠡r s tk l n do fe x p e c k d d i s c d u n t e dd i v i d e n d sk 似；6 ) i st w i c ec o t l 肌o u sd i 廊r e n t i a b i eu n d c rt h ec o n d i t i o nt h a t t h ec 】a i md i s tr i b u t i o nf u n c t i o nh a sc o n t i n u o u sd e n s i t yt h e nm o t i v a t e d1 ) yg e t b c ra n d s h i u ( 2 0 0 4 ) 、w ed e r i v et h ei i l t e g r u d i 丹b r e n t i a le q u a t i o st h a tt h ee x p e c t e dd j s c o u n t e d d i v i d e n d sa n dt h el a p l a c et r a n s f o n no fr u i nt i m eu n d e rab a r r i e r 吼r a t e g ys a t i s 竹 s u b s e q u e l l t l ) r ，w eu s ec o m p l e t e 】yd i 如r e n tt e c l l n i q u e st os o l v e 七h e s ee q u a t i d n s ，帆d c x p r e s st h es o h l t i o n sa sac o i l v o l u 七i o nf o r m u l a i np a r t i c u l a r ，w h e nw eg e tr mo ft h c t e l mo fs t o c h a s t i cj u m pf r o mo u rm o d e l ，w h l c hm e a n 8t h 砒t o 】e tt h ep 甜a m e t e ra ：o f o rt h ec l a i mc o u n t i n gp r o c e s s ( ( ) ，2o ，o u rr e s u l t sc o i n c i d ew i t hg e r b e ra n d s h i u ( 2 0 0 4 1 w h e r 镍f t e r ，、v es t u d yt h es e c o n dk n d o fe x p e c t e dd i 8 u n t e dd i v l d e i l d s f o rt h ec l a s s j c 甜r i s km o d e lt h a ti sp e r t u r b e db yd i 胁i o n ，w h i c ht h ei d e aa n d m e t h o d s a r e8 i m n a rt oa b o v e w 套s h o wt h a tt h es e c o n dk n do fe x p e c t e dd i s c o u n t c dd i v i d e n d 8 ， t h el a p l a c et r a n s f o r mo fr u i nt i m ea n dt h em o m e n t g e n e r a t i n gf u n c t i o no fd i s c o u n t e d d i v i d e n 出s a t l s f ys o m ei n t e g r o d i r e n t i a le q u a t i o n s ，“n dt h es o i u t i o n 8o fw h i c hc a n e x d r e s s c da sac o n v o l u t i o nf o r m u l a h e n c et h er e s u l t 8o fg e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 4 ，2 0 0 5 b ) a r cg e n e r a l i z e d i ng h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eo r d i n 跗yr e n e w a lr i s km o d e l 、d t hc o n s t a n ti n t e r c s t i nd e t a j l i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eo r d i n a r vr e n e w a lr i 8 km o d e l i sm o r ee x t e n s i v et h a n t h ed a s s i c 出r j s km o d e l ，a n dm a r l yp e o p l ed e v o t et os t u d yt h i sm o d e l b u ti ti s ap i t y t h a tt h e r ei sn om u c hp r o g r e 8 8f o rt h e i rr e s e 村c h ，f o re x a m p l et or u i nm o b a b m 慨o n l y af o r m u l aw 8 so b t 出n e db yt h ed l s t r i b u t j o no ft h el 撕d e rh e l 曲td ft h er a n d o mw a l k ( s e e r o j 8 k ie ta i ，1 9 9 9 ，p 2 5 0 ，t h e o r e m65 1 ) h a w e v e r ，b y o wo n l yt h ed i s t r i b u t i o no ft h e l a d d e rh e i 正h 乞c a nb ee a 蛔l l a # e du n d e rs o m es p e e l 出d 幽md i 姗i b u t i o n a st ot h em o 吼 i i i i m p o r t a n ta c t u a r i a ld i a g n o s t i c 8 ，s u c h 船t h eg e r b e r s h i up e n a l t yf u n c t i o n ( i n c l u d i n g t h er u i nt i m e ，t h es u r p l u gi m m e d i a t e l yp r i o rt or u i n ，t h ed 商c i ta tr u i n ) ，o n l yt h e e q u a t i o nw h i c hi ts a t i s 矗e sw a sd e r i v e d h e n c et h e r ei sn os 乱i s f a c t o r yr c s u l t st og e t ， a n da l s ot h e r ei sn os p e c i a l l ye f f e c t i v em e t h o dt os 0 1 v ei t t h i se x c i t a t e d 8u st o8 t u d y i t a tp r c s e n ti ti sv e r yi m p o r t a n tt oa d da ne c o n o m i ce v i r o n m e n ti n t ot h er i s k m o d e lo b v i o u s l vu 1 es i m p k s tc a 8 ei st l l eo r d i n a r vr e n e w a lr i s km o d c lw i t hc o n s t 8 n t i n t e r e s tb e c a u s eo ft h el a c ko ft h o r o u g hr e s e a r c ho nt h er e n e w a lr i s km o d e l ，i ti s m o r ed i 伍c u l tf o rt h eo r d i n a r yr e n e w a lr i s km o d e l 呐t hc o n s t a n ti n t e r e s to n l yc a ia 1 1 d d i c l ( s o n ( 2 0 0 3 ) g i wt h e 既p o e n t i a lt y p eu p p e r b o u n d s f o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y 啦j ) w h i c hd e r i v e db ys u p m a r t i n g 缸e 眦dr e c u r s i v et e d h n i q u e s m o t i v a t e db yw ue t “( 2 0 0 5 ) ，u s i n gt h ec o m p l e t e 】yd i 髓r e n tm e t h o da n dt e c h n i q u e ，w e 丘r s t l yd e r i v ea n i n 丘n i t es e r i e se x d r e s s i o n sa n ds o l er e c u r s i o nf o r m u l a ef b rt h eg e r b e r - s h i ud i s c o u n t e d p e n a l t yf l l n c t i o n t h e n 印p l y i n gt h e 8 ee x p r e s s i o n 8 ，w ed e r i v et h ec q u a t i o nw h i c hw a s 丘r s to b t 出n c db vaf a m o u sa c t u 耻yd i c l c 8 0 n ( 2 0 0 2 ) f o rt h ed a s s i c a lr i s km o d e lw i t h c o n s t a n 七i n t c r c s t ，a n ds o l v eh i so p e np r o b l e ns u b s e q u e n t l yw ep r o v et h a tg e r b c r _ s h i u f o r r n u l a e ( s e eg e r b e ra n ds h i u ，1 9 9 8 ，( 2 4 0 ) ) i ss t i l lt e d a b l ef o ro u rm o d e la n d d e r i v eal o w e rb o u n d8 以da n 唧o n e n t i 甜蚵p eu p p e rb o u n df o rt h cu l t i m a t cr u i n p r o b a b i l i t t h er e s 0 1 v e n tf o rt h eo r d i n a r yr e n e w a lr i s km o d e lw i t hc o n s t 踟】ti n t c r c s 七， n o to n l vc a nb eu s e dt os o l v et h ep r o b l e mf b rt h eo r d i n a j vr e n e w a lr i s km o d e lw i t h as t o c h a s t i cr e t u i l lo ni n v e s t m e t s ，b u ta l s oo 乳r e du sa e 丑b c t i wm e t h o dt os t u d y t h eo t h e rr i s km o d e l i nt h el a 8 ts e c t i o no ft h i sc h a p t e r ，w ed i s c u s s e dt h ec l a s s i c a l r i s kp r o c e s sp e r t u r b e db yd i 丘h s i o ni na ne c o i l o m i ce n v i r o n m e n t w e 舀v cag e l l e r a l d e s c r i p t i o i lo ft h ec l a s 8 i c a lr i s kp r o c e s sp e r t u t b e db yd i 圩u s i o nw h e nm a c r o e c o n o m i c f a c t o r st a k e ni n t oa c c o u n t ，a n d 甜d e das t o d h a s t i cd i s t u r b - b r o w n i a nm o t i o n ，w h i c h c o n t r i b u t e sa na d d i t i o n a lu n c e r t a i n t yo ft h ep r e m i u mi n c o m eo r 七h ea g g r e g a t ec i a i m s t ot h es u r p l u s i t sk n o w nt h a tm a i l yp r o b l e m so nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lh a eb e e n s o l v e dd r a s t i c a l ly j l l s tb e c a l l s eo fi t sm a i l ye x c e u e n tc h 龃a c t e r s ，s u c ha st h es t r o n g m a r k o vp r o p e r t y ，t h ev a r i o u 8p r o p e r t i e so fl 6 v yp r o c e s 8 ，t h ei n d e p c n d e n tj n c r e m e n t a n dt h cs p a t i a lh o i n o g c e i t yp r o p e r t y h e r e i nw e 最r s t l yd i 8 c u s st h ep r o p e r t yo ft h e c l a s s i c a lr i s kp r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o ni 1 1a ne c o n o m i ce i i r o m e n t b yu s i n gt h e m e m o r v l e s so ft h ee x p o n e n td i 8 t r i b u t i o na n dt h em o n o t o n e - c l 船8t h e o r c mw ep r o v ct h a t t h ec l 雒s i c a lr i s kp r o c e s sp e r t u r b e db yd 疆l l s i o ni na ne c o n o m i ce n v i r o n m e n ts t i l lh a st l l e p r o p e r t yo fi n d e p e n d c n ti c r e m e n t t h e nb yc o n s t r u c t i n ga ne x p o n e n t i a lm a r “n g a l e a n dt h eo p t i o n a ls t o p p i n gt h e o r e m ，w e 百v ea ne 8 t i m a t i o no fu p p e rb o u n df o rr u i n p r o b a b i l i t i e sw i t h 曲i t eh o r i z o n ，a n dd e r i v em a n yf 0 皿u l a eo fp r e m i u mc a l c u l a t i o n f i n a l l vw ep r 。v et h a tt h e8 t a n d a r dd e r i v a t i o np 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