（概率论与数理统计专业论文）随机变量负相依性的进一步探讨.pdf

摘要 设w = ( i n ，- 伤，) 是各分量相互独立的随机向量，l = t = ( r 1 ，r 2 ，瑞) 是取值于a = f l ，2 ，n 上的服从置换分布的随机向量，且w 与r 相互独 立这篇文章主要证明了：如果w i ，i = 1 ，n ，依次满足似然比序、失效率序、 反向失效率序和一般随机序，那么随机向量f ，w 岛，。，w k ) 分别具有回归 负相依( n r d ) 、右尾回归负相依( n r t r ) 、左尾回归负相依( n l t r ) 和负相协 ( n a ) 性质同时本文也给出了主要结果的一些应用， 关键词： 回归负相依 左尾回归负相依 右尾回归负相依 负相协 似然比序 失效率序 反向失效率序 一般随机序 次序统计量 l j a b s t r a c t l e w = ( y w ；，嗽1 ) b ear a n d o mv e c t o ro fni n d e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e s ，a n dt e tr = ( r 1 ：嘞， ) b ea n o t h e rr a n d o mv e c t o rh a v i n gt h e p e r m u t a t i o nd i s t r i b u t i o no nf l ，2 ，n j li n d e p e n d e n to fw i f t h em sa t e o r d e r e di nt h el i k e l i h o o dr a t i oo r d e r 【r e s p t h eh a z a r dr a t eo r d e r ，t h er e _ v e r s e dh a z a r dr a t eo r d e r ，a n dt h eu s u a ls t o c h a s t i co r d e r ) ，i ti ss h o w nt h a t ( w r l ，w 只2 ，w a 。) i sn e g a t i v e l yr e g r e s s i o nd e p e n d e n t 【r e s pn e g a t i v e l y r i g h tt a i ld e p e n d e n t ，n e g a t i v e l yl e f tt a i ld e p e n d e n t ，a n dn e g a t i v e l ya s s o c i a t e d s e v e r a la p p l i c a t i o n so ft h em a i nr e s u l t sa r ea l s og i v e n k e y w o r d s ： n e g a t i v e l yr e g r e s s i o nd e p e n d e n t n e g a t i v e l yr i g h tt a i ld e p e n d e n t n e g a t i v e l y e f tt a i ld e p e n d e n t n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d l i k e l i h o o dr a t i oo r d e r h a z a r dr a t eo r d e r r e v e r s e dh a z a r dr a t eo r d e r u s u a ls t o c h a s t i co r d e r 0 r d e rs t a t i s t i c s i i i 致谢 当我写完这篇论文的时候，也标志着我的学习生涯暂告一段落的回首 这三年来，很多老师、朋友和同学给了我无私的帮助，不过在这里我最想感 谢的是我的导师方兆本教授和胡太忠教授这三年来，胡老师亲自指导我的 学习和科研，使我对所学的专业有了很深的理解虽然到目前为止我还没有 达到老师的要求，但他们对于求学，做学问的精辟话语，将使我一生受益非 浅在生活上，方老师和胡老师也给了我很大的帮助，尽可能的为我创造一 个良好的科研学习环境在此谨向导师方兆本教授和胡太忠教授表示衷心的 感谢和崇高的敬礼 作者还要衷心的感谢薛春华教授和徐森林教授在这三年里对我在生活 上的关心和在学习中给予的指导和帮助同时我还要感谢统计与金融系的众 多老师与同学在我三年学习生活中的所给予帮助与支持 最后，我还要感谢的是我的家人，不管在什么时候，你们总是给我无私 的支持和鼓励，让我体会到最真的亲情 第一章引言 1 1随机向量负相依性的简要概述 随机变量之间的正相依和负相依性的研究起始于六十年代后期，一般认为是以l e h m a n n ( 1 9 6 6 ) 的工作为起点，至今已有三十多年在这三十多年间，随机变量的正相依研究比较 系统和深入，已取得非常丰富的结果，得到了广泛的应用相比之下，负相依性的研究比较 滞后，可以说进展缓慢这是因为随机变量之闻的负相依性要比正相依性复杂得多，决菲正 相依性研究的简单对偶这方面研究的应用领域十分广泛，除了数学、经济学，在统计学的 假设检验、可靠性理论等方面都有应用随机变量的正相依和负相依性研究有利于我们更好 地把握多元分布的性质，更好地进行多维数据的建模 在本章中，我们不打算对负相依性研究作一个详尽的综述，只是列举其中一些比较重 要的负相依概念及其性质为后面需要，我们顺便也给出与负相依概念相对应的几个正相旅 概念 全文中我们约定：。单调增”和“单调减4 分别表示。单调非痕”和”单调非增“，毫 义在泥“上的一个实函数称为是单调增的，是指该函数关于每个变量是单调增的；当n 0 时，a o 被理解为是。c ；所有出现的积分和期望均假设是存在的；当考虑在给定工= 。 的条件下的期望或概率时，我们总假设。是在x 的支撑集中；对给定的事件a 和随机向 量( 变量) x ，【x l a 表示一个随机向量( 变量) ，其分布即为在给定a 条件下，随机向量( 变 量) x 的条件分布 定义1 1 称随机向量x = ( x h ，) 为自相协的( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ，简 二为 n a ) ，如果对于任意两个同时单调增值同时单调剐的函数，g 和集合 l ，2 ，i ) 的 任意两个非空且不相交子集a ，b ，有 c o y ( ，( 噩，i a ) ，口( 冯，j b ) ) 0 阻定协方差存在j 州a ”也可以指负相协性这个定义最早是由a l a mds a z e n a “鲫j 提出的，j o a g d e v 彤p r o s c h a n ( 1 9 8 别对该定义作出了系统的研究 定义1 2 ( e s a r ye ta l ，1 9 6 d 称随机向量x = ( x 1 ，x 2 ，x 。) 为正相协的俨o s i t i tr e 哂 a s s o c i a t e d ，简记为p a ) ，如果对任意两个同时单凋增r 或同时单调减j 的函数，g ，下面不 2 0 0 4 皇 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一幸引言 等式成立 限定协方差存在j c o y ( f ( x t ，矗) ，9 ( x 1 ，矗) ) 0 定义1 3 随机向量x = ( x l ，恐， ) 称为n e g a t i v e l yu p p e ro r t h a n td e p e n d e n t 简 记为n u o d ) ，如果 p ( 磁 。，l = 1 ，n ) s i i p ( 砭 z ) ，可x 野“ 扛= 1 x 称为n e g a t i v e l yl o w e ro r t h a n td e p e n d e n tr 简记为n l o d ) ，如果 p ( 墨，i = 1 ， x 称为n o d 如果x 为n u o d 和n l o d 定义1 4 随机向量x = ( x 1 ，x 2 ，) 称为n e g a t i v e l yc o r r e l a t e d 简记为n c ) 是指 c o y ( 墨，z j ) s0 ，v i j 若上面所有的不等式符号均颠倒过来，则称x 为p o s i t i v e l yc o r r e l a t e d 简记为p c ) 为叙述以下定义，对任意一随机向量x = ( x i ，x 2 ，) ，记x ( ) = ( x 1 五一1 ，五+ ，弱) 足义1 5 随机向重五秫为是 ( a ) 回归负相依( n r d ) ，若对任意盈 z ：，i = 1 ，n ，有 x ( 0 l 墨叫 血 x ( 0 i x ! = z t ( b ) 右尾回归负相依( n r t d ) ，若对任意戤 z ； z 小 ( c ) 左尾回归负相依( n l t d ) ，若对任意 。：，i = 1 ，n ，有 x 抑i 五鲥 s t 眇i x , 弛 辨xv茁 一 xp 。 a 。 ，其中( 啦，口n ) 给定，1 a 是集合a 的示性函数r 咖( x ) = 1 。札，。n 。) ，其中( a l ，o n ) 给定 咖( x ) = f ( m a x 箍1 叁l 她) ，其中，：豫一豫是单调增凸函效( c o n v e x ) 妒( x ) = 叁i ( 。“) ) ，其中l k m 和 ：况一瞬是单调增的函数，。( 1 ) 曼。( 2 ) s s 。是5 c 1 ，z 。的一个升序排列 妒( x ) = 一冬1 1 ( 一* ，i ( 2 ( 仇一件1 ) ) ，其中l s 七m ， ( x ) = h 扣1 ，。1 + z 2 ，z 1 + z 2 十+ z m ) ，其中h ：腑”一虢是超可加且关于每 个变元具有凸性 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕4 - 学位论文 第4 页 定义1 6f 地2 0 0 0 ) 随机向量x 称为是n s m dm e g a t i v e l ys u p e r m o d u l a rd e p e n d e n t ) 若对任意s u p e r m o d u i a r 函数，有 b p ( x ) 皿陋( x + ) 其中x = ( x ；，z i ) 是各分量相互独立的随机向量，且z ? 与五同分布， i 1 ，2 ，n n s m d 的性质有时比n a 的性质更有用，可用来得到一些重要的概率不等式例如，在 可靠性理论中单调关联系统的结构函数有时常为s u p e r m o d u l a x 的( 见b l o c ke ta l ，1 9 8 9 ) ， 所以基于n s m d 得到的不等式可以给出系统可靠性的单边或双边界限 上面定义的各种负相依性概念都有这样的一个简单直观：若把所有的随机变量任意分 成两个子集，那么当其中一个子集中变量取值趋向于较大的值时，另一个子集中变量有趋向 于取较小值的趋势；反之亦然这些概念之间的关系可用下面的一张图来表示根据b a r l o w & p r o s c h a a ( 1 9 7 5 ，p 1 4 3 ) 中定理4 2 可知n r d 蕴涵了n l t d 和n r t d ；h u ( 2 0 0 0 ) 指 出了n s m d 隐含了n o d ，但n s m d ： n a ；c h r i t o f i d e s v a g g e l a t o u ( 2 0 0 4 ) 证明了 n a 蕴涵了n s m d 其他的隐含关系可以很容易得到 n o d n s m d n a 图1 1 ：几个负相依概念之间的隐含关系 至于其他的随机变量负相依性概念，可参看k a r l i n & r i n o t t ( 1 9 8 0 ) ，e b r a h i m i g h o s h ( 1 9 8 1 ) ，b l o c ke ta 1 ( 1 9 8 2 ) 和d r o u e tm a r l k o t z ( 2 0 0 1 ) 1 2 本文的主要工作 多维负相依结构可能是相当复杂的尽管到目前为止，有很多我们熟悉的多元分布已 被证明具有某种负相依性，但是证明的方法大多是验证一个多元分布满足某个结构性条件 一 一 啪 n n 一一一 m m n n l 嘞 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 摹一幸引言 这种结构性条件往往具有如下的形式；考虑n 个独立的随机变量墨，j ，2 ，。矗，设妒： g p 一虢r 为一个单调增函数，对适当选取的集合c 咿，在较弱的条件下，可以证明 【( x l ，托，) l 妒( x 1 ，x 2 ，) 】( 1 1 ) 的条件分布具有 h d ”负相依性( i 1 ) 的基本思想是添加某种限制性条件可以导致负相 依性( 见h u & h u ，1 9 9 9 ；h u ，2 0 0 0 ) 本文是h u & h u ( 1 9 9 9 ) 和h u ( 2 0 0 0 ) 工作的继续+ ，进一步探讨随机变量之间负相 依性的充分判定条件，所涉及的负相依性为回归负相依( n r d ) 、右尾负褶依( n r t d ) ， 左尾负相依( n l t d ) 和负相协( n a ) 主要结果及其详细证明在第2 章中给出，第3 章给 出主要结果的几个应用，最主要的结果为：设w = ( - n ，w 2 ，瞩；) 是各分量相互独立 的随机向量，r = ( r l ，j b ，日，) 是取值于a = l ，2 ，n ) 上的服从置换分布的随机 向量，且w 与r 相互独立如果 m 曼+ + 。w n ， 其中+ 为似然比序( l ，) ( 失效率序( 0 ) 单调递增，则称x 在似然率序意义下小于y ，记为x l 。y 定义1 7 中的四个随机序之间的关系如下： x l r ，爿x - i x = z ) 对任意g 关于z 是单调增 或j 的 ( b ) 称( x ，y ) 是口刀，+ ( o ，1 ) g n n + ( o ，1 ) 】，著在给定x = x 的条件下y 的条件生存 函数f ( i 。) 关于0 ，y ) 是卯2 胆r 2 的 ( c ) 称( x ，y ) 是d t p _ ( o ，1 ) t u r n 一( 0 ，1 ) j ，若在给定x = z 的条件下，的条件分布 f ( y l x ) 关于( z ，y ) 是t p 2 胆如，的 ( d ) 称( x ，y ) 是丁i p 2 皿r 2 ，的，若其联合概率密度函数或概率函数是7 j 如r r 2 的 7 很明显，在条件失效率和反向条件失效率存在的情况下，( x ，y ) 是d t p 十( o ，1 ) d r r + ( o ，1 ) 当且仅当在给定x = t 的条件下y 的条件失效率函数 ( g l z ) 对任意y 关于z 是单调减 【增 的；( x ，y ) 是d t p 一( o ，1 ) d r r 一( o ，1 ) 的当且仅当在给定x = x 的条件下y 的条 件反失效率函数口( g f f ) 对任意y 关于z 是单调增 减1 的该定义中涉及到的正相依概念 之间存在着如的关系( 对于负相依概念也同样存在这种关系) ： 2 0 0 4 生 中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 第一章引言 t p 2 拈 茸d t p + ( 0 ，1 ) d t p ( 0 ，1 ) 爿 u s i ( 13 ) 有关二维正负相依性概念的性质以及相互之间的关系，可参看b a r l o w p r o s c h a n ( 1 9 7 5 ) ，s h a k e d ( 1 9 7 1 ) 和b l a n d e ta 1 ( 1 9 6 6 ) 第二章随机向量负相依性判定的结构性定理 在本章中，我们主要给出n r d 、n r t d 、n l t d 和n a 四种负相依性的判定定 理这里，首先我们要给出置换分布的概念， 定义2 1 设r = ( 冗1 ，r 2 ，) 是取值于仁1 ，：v 2 ， 的随机向量，我们说r 服 从于 x l ，z 2 ，z n ) 上的置换分布，若丑取 l ，x 2 ，z 。) 的任意一个置换的概率是 i n ! 其中z i ，z 2 ，是互不相同的实数， 注意在上述的定义中，观，2 2 ，z 。可以不必要求彼此不同 定理2 。1 设w = ( w 1 ，w 2 ， ) 是各分量相互独立的随机向量，r = ( r h 昱2 是另一个随机向量，服从a = 1 ，2 ，n ) 上的置换分布且与w 独立若 仉，1s l rw 2 l r ! l r 仉名， 那么( w r l ，w n 2 ，w r ) 是n r d ) ( 2 1 ) 证明：用 表示i 砺的概率密度函数，i = l ，2 ，n ，并记y = ( 矸乍。，w r n ) 我们仅需证明对每个。和任意单调增函数中：g p 。一虢，e ( y ( 2 ) ) i k = g d 关于饥是单 调减的，由于y 的分布函数对称，我们不妨假设妙是对称的，这样只要给出i = n 情形时 的证明即可 设( m2 ，眠2 ) ，2 _ 1 ，2 ，n ，是( 啊，) 的独立复制，且对任意 0 i ，i 2 ，、。i ni ，i ) a “，定义 妒1 ，牝1 ) = e 陟( m 。1 ，眠。，2 ，磁。州) j ( 2 2 ) 署l l 咖( i ) ：e 1 ( r ( n ) 1 风：i 1( 2 3 ) lj 因为( 2 ，1 ) 隐含着对每个商定的j ，w 关于i 是随机单调增的，所以可以得到妒i 关于每一 分量是单调增的又注意到r 是n r d 的( 这可以直接验证) ，于是得到咖是单调减的 8 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 兰三兰竺垫皇兰! ! ! 篓兰叁墨竺竺竺兰苎兰 一：= ：一 这样，通过对适当选取的随机变量取条件，我们就得到 e 卜( y “) 1 碥= 叫j = b e ( 币( w r ，w ，鼢一。) i r ，w r 。 i 仰k 。：叫】 = 琚 b 砂( ，喙一；) r 】i = 叫 = e 【饥( r ( ”) i 眠= ” = e e 【饥( r n ) i r ，w k 1 w _ 。= ”) = e ( 配妙，) h ( 。；” ：e f 锄( 忍) j w = 叫， ( 2 4 ) 这里r ( n ) = ( 咒l ，凰一1 ) ，又注意到( 。，如) 的密度函数 9 ( 叫，i ) ；掣，( 州) 辩a ， 在( 21 ) 的假设下关于，i ) 是t p 2 的 的这样就得到( 2 4 ) 的右边是单调减的 因此，由( 1 3 ) 可知兄，关于w r 。是随机单调增 这就完成定理的证明 _ 我们知道，似然比序在随机序中是最强的，若把( 2 ，1 ) 中的随机序分别减弱为失效率 序、反失效率序和一般随机序，那么我们就得到了关于n r t d ，n l t d 和n a 的充分条件 定理2 2 设w ：( 吼，、，) 是各分量相互独立j 随机向量，r = ( r 1 ，尺2 ，风) 是另一个随机向量，服从a = l ，2 ，n ) 上的置换分布且与w 独立若 s h ，w 2 s h r 一h r 仉 则( w r 。，。，w r 。) 是n r t d ( 2 5 ) 证明。设瓦表示眠的生存函数，t = 1 ，2 ，礼，记y = ( - ，w k ) 不失般 性。只要证明对任意的单调增函数妒：铲一1 一筑，z i 舻( y ( ”) ) i k g n j 关于抓是单调减 的 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 0 页 第二幸随机向t 负相依拄争l 定鹤结构性定理 类似于定理2 1 的证明，可以得到 e 卜( y ( n ) 畋 ”1 = e 【审2 ( 心) i 岷 ”1 ， ( 2 。6 ) 其中由( 22 ) 和( 2 3 ) 定义的妒2 是单调减的注意到( 2 5 ) 中的假设等同于e ) 关于 亿) a 骑是t p 2 的于是 1 n p ，岷 叫= ：弓( 姊 j = 1 关于( i ， ) a 泥是t p 2 的，这蕴涵了p ( 足：22 f 彬 ) 关于”是单调增的，由 妒2 的单调减性可得到( 2 6 1 的右边是单调减的，这就完成了定理的证明。 i 定理2 3 设= ( w i ，眠) 是各分量相互独立的随机向量，r = ( r i ，r 2 ，) 是另一个随机向量，服从a = ( i ，2 ，n 上的置换分布且与w 独立若 研s r h 啦s 捕s r h 则( w r ，w r z ，l ) 是n l t d ( 2 7 ) 证明；证明类似于定理2 2 的证明事实上由( 2 、7 ) 的僵设，我们就能得到 n p ( r t ，眠s ”) = ；毋( 埘) ，= 4 关于( i ，) ea 蹰是t p 2 的，这就隐合了i 蜀：j w s 叫关于 是随机单调增的这 样就证明了定理 i 枣理2 - 4 设w 2 ( 肌，) 是各分量相互独立的随机向量，r2 ( r l ，尺2 ，一- ，) 是另一个随机向量，服从a = 1 ，2 ，n ) 上的置换分布且与w 独立。若 m 吼s t 。t 则( w 8 1 ，彬如，w r 。) 是n a 的，鲤女l 也是n s m d ( 2 8 ) 证明：这里只给出n a 的证明，因为c h r i s t o f i d e s v a g g e l a t o u ( 2 0 0 4 ) 已经证明了n a 隐含了n s m d n a 的证明类似于i i u h u ( 1 9 9 9 ) 中定理2 1 中的证孵分鄹设y 币玎 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 1 页 兰三兰矍丝皇兰! 塑竺兰塑耋矍苎竺兰兰竺 ： - ，2 ，j a ) 由定理2 ，1 的证明中定义，只要证明对a 的任一对不相交的子集a 】，a 2 和 单调增函数咖1 ，西2 ，有 i e 【1 ( m ， a 1 ) 毋2 ( y j ，j a 2 ) 】兰e 1 ( 砭， a 1 ) 】b 【咖2 ( 匕，j a 2 ) 】 ( 2 9 ) 成立由于y 的分布对称，我们不妨假设l ，妒2 分别是对称函数。且a 1 = 1 ，2 ，讲， 拼= a 2 ，其中1 p 0 从而蕴涵( 2 a 3 ) ，其中a ! 暨b 表示a 与b 的符号相同 这个例子也说明了对任意的k = 2 ，n 一1 ， 【( r 1 ，r 2 ，n 女) 1 w r l = l ，w r k = w k l 关于( ”t ，) 也未必是随机单调增的 第三章应用 这一章主要给出上一章的几个结构性定理的几个应用 3 1 次序统计量 设x = ( x l ，x 2 ，蜀。) 为一个随机向量，其各分量相互独立，共同的分布函数连续 以x o ) s 五2 ) s 盈n ) 记x 】，五。的次序统计量我们采用s h a t h i k u m a r ( 1 9 8 7 ) 和h u & h u ( 1 9 9 9 ) 相同的记号t 记n ( t ) 表示x l ，x 2 ，五。中取值小于或等于t 的个 数，即 ， l v ( t ) = # f i ：x i 曼t ，i = 1 ，2 ，n ) 给定r 1 ，s = ( 8 1 ，8 2 ，s ，) ，p = ( p l ，p 2 ，p ，) 和q = ( q 1 ，口2 ，玑) 满足 s l s 2 1 品 和 0 q ls p l q 2 p 2 一sq r p r 札， 定义x 。“p 是一个一般的随机向量，其分布等同于在给定事件( ( s f ) = 吼n ( s i ) = p i ，i = 1 ，r ) 下的条件分布，也就是； x 。恕p = s t x l n ( s ；- ) = q i ，) = p i ，i = l ，r ， ( 3 1 ) 实际上，事件 ( s f ) = q l ，n ( s i ) = a ，i = 1 ，r ) 反映了x 次序统计量的信息这一 事件当r 2 时有下面的三种基本类型： 对任意i ，有p i = q ；+ 1 = ，即 ( n ( s t ) = k i 一1 ，_ v ( s i ) = k i ，i = l ，r = x ( k ，) = 8 1 ，x ( k ) = s r ) 对任意i ，有p i = 吼= 一1 ，即 ( s f ) = ( 毛) = 趣一1 ，i = 1 ，r ) = x 似一】) 8 i x ( k 。) ，i = 1 ，r ) 对任意i f 1 ，有p i = q i + 1 = k i ；对任意j p 2 ，有p j q j k j l ，即 ( s f ) = k i - 1 ，( s t ) = ，t r 1 ；( 丐) = ( 勺) = b 一1 ，j f 2 ) = x ( 蛐= 5 ，i e r 1 - x ( 铲1 ) s j 甄剐，1 1 2 ) 1 4 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第三章应用 其中r 1 是 1 ，2 ，r ) 的一个真子集，f 2 = 1 ，2 ，t k r , 下面这个定理的结论是已知的，其中n r d 性质是由s h a n t h i k u m a r ( 1 9 8 7 ) 建立，n a 性是h u h u ( 1 9 9 9 ) 证明的，我们在这里将给出了一个基于定理2 1 和定理2 4 不同的 证明 定理3 1 设x l ，x 2 ，相互独立，且有共同的连续分布函数，设x 3 p 由( 3 1 ) 定 义则x s ，q p 是n r d 和n a 的佃此也是n r t d ，n l t d 和n s m d ) 定理3 1 有如下两个特殊的推论对于推论3 1 ，b l o c ke ta 1 ( 1 9 8 7 ) 给出了一个较复 杂的证明而我们下给出的证明则是既简单又直接 推论3 1 伊l o c ke ta 1 ，1 9 8 矽设j ，1 ，x 2 ，蜀t 相互独立，且有共同的连续分布函数 那么对任意固定的1 冬k l 七2 - 辟n 和s l 8 2 s ，我们有 是n r d 的 x i 五k 1 ) = 8 1 ，x ( k 2 ) = s 2 ，x ( k ，) = 卸】 推论3 2 设x t ，恐，相互独立，且有共同的连续分布函数，那么对任意固定的ls 七l 忌2 bsn 和s 1 8 2 - s r ，我们有 x l x ( k 。一1 ) s t x ( k 。) ，i = 1 ，r 是n r e ) 的 为了证明定理3 1 ，我们先证明推论3 1 和推论3 2 为此，我们需要引进一些记号和 两个引理 设1sk l k 2 b 兰n 为固定的整数，8 1 s 2 - - 8 r 为任意固定的实 数记 惋= t + 1 一1i = 0 ，l ，r ，( 3 2 ) 和 t o = 兢一l和矗= k i + 1 一如i = 0 ，1 ，n( 3 3 ) 2 0 0 4 龟 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 6 页 第三章应用 其中o = 0 ，k r + 1 = n + 1 以c ( n ，r ) 表示由集合 1 ，2 ，n ) 中任意r 个元素组成的 向量及其所有置换所组成的集合若l = ( f l ，2 r ) c ( n ，r ) ，则令j = ( 山， ，4 ) 是f 1 ，n ) z 1 ，f r ，的一个划分，满足l i = 悔) ，其中l 1 等于集合五的势，再设 吼( b l ) 是所有上述j 的集合假设g ( x l ，z n ) 是任意一个实函数，j g j ( 托工) ，那 么g ( u j ；s l ) 等于函数g 当。 = “。，i u ；：o 弓，= 也，i = 1 ，r ，时的取值约定 x f o ) = 一o o ，陋陬 x 8 i + 1 】的条件分布函数用f ( i s t ，8 i + 1 ) 来表示，其中, s o = 一0 0 ， s r + l = 十0 0 引理3 1 ( b l o c ke ta l ，1 9 8 7 ) 若9 ( z ) 是任意一个有界函数，那么对于固定的1s 女i k 2 - - - ks 礼，和8 0 8 1 - 8 r ，有 崛i g ( x ) x ( 1 ) = 8 1 ，x ( k ，) = 8 r 】 “o ! k 11 坼f g ( u j ；s c ) d f ( u ， 州) l e e ( n ，r ) j e g 。( k l ) 。 “ = 0 引理3 2 若9 ( ) 是任意一个有界函数，那么对于固定的1s 1 乜 肆n ，和 s o s 1 s r ，有 e f 9 ( x ) i 五k 。) 8 i 五k 。) ：掣 一 w 。翥，) ( 34 ) 证明：以吼盯) 表示 1 ，2 ，n ) 的所有这样分割j = j 0 ， ，山) 的集合，满足 i 五l = t ，i = 1 ，r 定义 a j 。= x ：8 i z j 8 1 + 1 ， j j ；) ， i = 0 ，1 ，r 可见 n ：o a j , ，j 吼( t ) ) 是集合 x ：。( ) 8 i 。( k 。) ，i = 1 ，r ) 的个分割 于是 匠b ( x 弛x ( h 一1 ) “_ 蚝) 1 = 1 r ，r ) = 。妻，乙 州娶n 州哟， ( 3 5 ) 坳 fd i 以 r 工嬉 订，：i 一 吣 乩少 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 招1 7 页 第三章应用 特别是在等式( 3 , 5 ) 取g ；1 就得到了 吧池川 s t 肛b 一) = 岳鱼+ 1 ) - f ( 蝴卜 ( 3 6 ) 因此，( 3 4 ) 可由( 3 5 ) 和( 3 f f ) 得到 - 推论3 1 的证明；设w = ( i n ，w n ) 是n 个独立的随机变量，定义如下 ? 对于。5 乜 ， ( 3 7 ) 兰隅陬 玛 8 i 4 - 1 j 对于盔 j 匙+ i ， = o ，1 ，。，r ( 见h u & h u ，1 9 9 9 ) ，随机向量r = ( r l ，日。) 服从于a = 1 ，2 ，n ) 上的置换分 布，且与w 独立很容易验证满足( 2 1 ) 中的假设条件，又由引理3 1 ，我们可以得到 x i x ( 1 ) = s l ，x ( b ) = s 2 ，x ( k ，) = s ， 墼( w r l ，2 ，w n 。) 这样就由定理2 1 知道所要证明的结论成立 _ 推论3 2 的证明：这个证明类似于推论3 ，1 的证织设n 个独立的随机变量，m 名 按h u h u ( 1 9 9 9 ) 中( 2 9 ) 定义的那样： 皇隅l s ： 玛 s i + 1 1 ，j k i + 1 ，i = 0 ，1 ，r ， ( 3 8 ) 其中j = 1 ，2 ，n 很容易验证满足( 2 1 ) 式中的假设条件又由引理3 1 就得到 x l x 一1 ) 毛 x ( 女，) ，扛i ，r 些( w n 。，w r ：，w r 。) 因此，由定理2 1 即得结论成立 定理3 1 的证明：由于x 1 ，是连续的随机变量，这样就得到对每一个i 有a q i = 0 或1 因此，这个证明与推论3 1 和3 2 的证明类似，只要对w j ，w j 稍加修改即可 2 0 0 4 年孛国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 第三章应用 3 2 相伴次序统计量 设( x 1 ，h ) ，( 弱，碥) 是取自于一个二元分布的n 个独立同分布的随机样本，l v ( t ) 表示观察值x 1 ，恐，中小于或等于t 的个数，定义： y ，p 些【( k ，y 。) l n ( s t ) = 吼，n ( s i ) = 肼，i = 1 ，一，r ， ( 31 ) 这里的s = ( s l ，s ，) ，q = ( q l ，q r ) ，p = ( p i ，p ) 与( 3 1 ) 式中定义的s ，p ，q 相 同我们将探讨y s n p 是n r d ，n r t d ，n l t d 或n a 的充分条件在很多种情况下，x 值代表一组n 个个体的得分，相应的y 值代表一个个体的某一特性因此，这个研究是有 意义的 。 定理3 2 设( x 1 ，h ) ，( x 。， 么) 是取自于某个二元分布的n 个独立同分布的随机样 本，且x 的分布函数是连续6 ， ( a ) 如果( x ，y ) 是t p 2 或r r 2 ，那么y s q ，p 是n r d ； ( b ) 如果( x ，y ) 是d t p + ( o ，1 ) 或d r r + ( o ，1 ) ，那么y 。a p 是n r t d ； ( c ) 如果( x ，y ) 是d t p 一( o ，1 ) 或d r r 一( o ，1 ) ，那么y s q p 是n l t d ； ( d ) 如果s l ( r l x ) 或s d ( y t x ) 成立，那么y 8 ，q p 是n a 证明：由第二章结束前的注记1 可以知道，不失一般性我i f p , 要考虑( x ，y ) 是正相依 的情况即可又从( 1 3 ) 可知，在( a ) 一( d ) 中，s i ( y f x ) 总是成立的因此由b m l o w p r o s c h a n ( 1 9 7 5 ，p 1 4 7 ) 中引理4 ，8 可知存在一个单调增的函数 ( “，) 和相互独立随机 变量 巩，l k ) ，且服从( 0 ，1 ) 上的均匀分布，满足 y 坠( ( x 1 ) ，h ( 巩墨。) ) ( 3 ，2 ) 设l ，u 名是如定理3 1 证明中所定义的，很明显有 啊l r 佻l ， 1 r ，( 3 3 ) 再定义：厩= ( 矾，w d ，i = 1 ，n 显然，w 1 ， n 是相互独立的由引理 3 1 和3 2 可知， y 。，。，。坠f 硫。，矾： ( 3 4 ) 2 0 0 4 生中国科学技术大学硕士学位论文 第1 9 页 这里的随机向量r 是服从a 上的置换分布且与其他随机变量独立现在由假设( x ，y ) 是 t