（概率论与数理统计专业论文）风险的序及其应用.pdf

摘要 风险理论已逐渐成为当前精算界和数学界研究的热门话题风险的序作为 风险理论中的一个重要工具，在研究风险的优劣性及保险的决策问题方面都 起着重要的作用，引起了保险业人士及相关学者的高度重视很多著名学者， 如h u r t s g e r b e r ，j a n d h a e n e ，m a r c j g o o v a e r t s 等，都曾在自己的著作中对风险 理论中经典的序进行了系统的讨论和研究到2 0 世纪后半叶，风险序的基本 理论已经发展得比较完善近些年来，由于研究实际问题的需要，人们逐渐开 始关注序的概念的推广及风险的组合问题，并将序与风险论中的其它重要概 念( 如随机向量的同单调性、随机序列的收敛性等) 相结合进行研究，得到了 很多好的、有意义的结果 本文分三部分研究了风险理论中的若干序的性质、特征及其实际应用，一 方面在停止损失序的理论基础上将序的类型进行推广，通过非减函数对分布 函数的作用得到新的推广的停止损失序；另一方面考察了风险序在实际问题 中的应用，其中主要包括相关序、推广的停止损失序及凸序等，得到了若干有 意义的的结果 第一部分着重回顾了风险的序理论中的若干重要结果，讨论了序的性质特 征与相互关系，研究了在序下风险序列的收敛性质 第二部分在对停止损失序及指数序的本质特征进行研究后，利用非减函数 对分布函数的作用，给出了推广的停止损失的定义，并分别讨论了该序的若干 性质及其成立的充分必要条件，得到了在停止损失序情形下推广的结果 第三部分着重讨论了风险序在实际问题中的应用，包括相关序在研究多个 风险相依性的应用、推广的停止损失序在风险决策中的应用及凸序在再保险 问题中的应用，得到若干结果，具有一定的现实意义 关键词 风险，风险的序，决策，应用，停止损失序，推广的停止损失序，相关序 相依性，凸序，再保险 a b s t r a c t r i s kt h e o r yh a sb e c o m eo n eo ft h e h o tt o p i c si nt h ef i e l d so fi n s u r a n c ea n dm a t h e m a t i c sr e c e n t l y a st h ei m p o r t a n tt o o li n r i s kt h e o r y , t h eo r d e r so f r i s k sp l a yak e yr o l e i nt h ef i ta n du n f i tq u a l i t yo fr i s k sa n dt h ed e c i s i o n - m a k i n gp r o b l e m ，a n di n c r e a s i n g l y a t t r a c th i g ha t t e n t i o n so fp e o p l ei ni n s u r a n c ea n do t h e rr e l a t e df i e l d s m a n yf a m o u s s c h o l a r s ，s u c ha sh u n s g e r b e r ，j a n d h a e n e ，m a r c j g o o v a e r t sa n ds oo n ，m a k ea s y s t e m m a t i cd i s c u s s i o na n dr e s e a r c ho nt h ec l a s s i co r d e r so fr i s kt h e o r yi nt h e i r b o o k so rp a p e r s t h e r e f o r e t h eb a s i ct h e o r yo fo r d e r sh a sb e e nw e ud e v e l o p e da n d i m p r o v e di nt h el a t e o f2 0 t hc e n t u r y r e c e n t l y , i no r d e rt os t u d yr e a l i s t i cp r o b - l e m s ，p e o p l eb e g i nt op a ym o r ea t t e n t i o n st oe x t e n dt h ec o n c e p t so fo r d e r sa n dr i s k p r o f o l i o ，a n dm a k er e s e a r c h e sb yc o m b i n i n go r d e r sw i t ho t h e ri m p o r t a n tc o n c e p t s i nr i s k st h e o r y , s u c ha st h ec o m o n o t o n i c i t yo fr a n d o mv e c t o r ，t h ec o n v e r g e n c eo f r a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e ，a n do b t i a nal o to fg o o da n dm e a n i n g f u lr e s u l t s i nt h i sp a p e r ，t h ep r o p e r t m s ，c h a r a c t e r i s t i c sa n da p p l i c a t i o n so fs o m em a i no r d e r so fr i s k si ni n s u r a n c ea r es t u d i e di nt h r e ep a r t s o no n eh a n d ，b yc o n d u c t i n g t h ed i s t r i b u t i o n sw i t hn o n - d e c r e a s i n gf u n c t i o n s an e we x t e n d e ds t o p - l o s so r d e ri s d e f i n e da n dd i s c u s s e do nt h eb a s eo fs t o p - l o s so r d e rt h e o r y o nt h eo t h e rh a n d ，t h e a p p l i c a t i o n so fs o m em a i no r d e r si nr e a l i s t i cp r o b l e m s ，i n c l u d i n gc o r r e l a t i o no r d e r ， e x t e n d e ds t o p l o s so r d e r ，c o n v e xo r d e r ，a r eg i v e nt oo b t a i ns e v e r a lm e a n i n g f u lr e - s u l t s i nt h ef i r s tp a r t ，i m p o r t a n tr e s u l t sc o n c e r n i n go r d e r st h e o r yo fr i s k sa r er e c a l l e d t h ec h a r a c t e r i s t i c so f o r d e r sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e ma r ed i s c u s s e d ，a n d t h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so fr i s ks e q u e n c e sa r es t u d i e da sw e l l i nt h es e c o n dp a r t ，o nt h eb a s eo ft h ec h a r a c t e r i s t i c so fs t o p l o s so r d e ra n d e x p o n e n t i a lo r d e r ，t h ed e f i n i t i o no fan e we x t e n d e ds t o p - l o s so r d e ri sg i v e nb y c o n d u c t i n gt h ed i s t r i b u t i o n sw i t hn o n - d e c r e a s i n gf u n c t i o n s s u b s e q u e n t l y , t h es u f f i - c i e n t ，n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n dp r o p e r t i e sa r ea l s os t u d i e d ，a n dt h er e s p e c t i v er e s u l t s i ne a s eo fs t o p - l o s so r d e ra 4 ee x t e n d e d i j i nt h et h i r dp a r t ，t h ea p p l i c a t i o n so f o r d e r si nr e a l i s t i cp r o b l e m sa r eg i v e n ，s u c h a st h es t u d yo fd e p e n d e n c ya m o n gr i s k sb yu s i n gc o r r e l a t i o no r d e r ，t h ea p p l i c a t i o n o ft h ee x t e n d e ds t o p l o s so r d e ri nd e c i s i o n - m a k i n ga n dt h ea p p l i c a t i o no fc o n v e x o r d e ri nr e i n s u r a n c e i nt h ee n d ，s o m em e a n i n g f u lr e a s u l t sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s r i s k ，o r d e r so fr i s k s ，d e c i s i o n - m a k i n g ，a p p l i c a t i o n ，s t o p l o s so r d e r ，e x t e n d e ds t o p l o s so r d e r ，c o r r e l a t i o no r d e r ，d e p e n d e n c y , c o n v e xo r d e r ，r e i n s u r a n c e 1 1 1 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者橼瘳磐 签名日期：彦啊年s 月砖日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 导师签名：吻众a 签名日期：扣台年r 月移日 一、绪言 1 1 引言 自从h u r t s g e r b e r 在文献 1 中给出了保费计算原理的定义，并系统研究 了几种经典保费原理的性质，许多学者及精算人士开始致力于对风险理论的 深入研究，定义了新的保费计算原理，并得到了关于它们的很多好的性质一 般而言，保费计算原理i i 应当具有下述性质 k ：若两风险x ，y 满足p ( x y ) = 1 ，则必有n ( x ) n ( y ) 例如，m a r cj g o o v a e r t s 等考察并得到了平均值原理具有上述的性质 性质k 可理解为保费原理对风险x ，y 具有单调性，它表明，对于保 险公司而言，如何从若干风险中选取其一进行投保的问题，实质上就是对这些 风险的排序问题 然而，在实际保险问题中，总是要求两风险在严格序下能够排序是不切实 际的这样自然提出一个问题：能否在某种相对较弱的序下使得保费计算原 理也可具有性质k ，这样的话，当保险公司面临选择何种风险进行投保的问题 时，它所要做的就只是对各种风险在这种序下进行排序了 不难证明，若风险序 1 强于 2 ，即x 1y = x 2y ，且序_ 2 具有性 质k ，则序 l 也具有性质k 在本文中，称性质k 为保费原理对序的单调 性 由此可见，研究保费原理对各种序的单调性，便转化为对随机变量序与序 之间强弱关系的研究由于保险公司在实际运营过程中会经常遇到从多个风 险中如何选择投保的问题，因此对这个问题的研究结果可直接为保险公司解 决这一难题提供理论上的方法与参考，有着重要的现实意义 风险序的概念在许多问题，如保险数学、可靠性问题和排队理论中都存在 着广泛的应用，因此对其研究很有必要目前较常见的风险序有：随机控制 序、停止损失序、凸序、相关序等等，人们通常比较关心的是各种序的性质特 征及其相互之间的强弱关系序的理论基础现已发展得比较完善，许多学者 都为其作出重要贡献，如h u m g e r b e r 在文献 1 】中较系统地讨论了随机控制 序、停止损失序等经典序的特征性质及相互关系 】 近些年来，由于研究实际问题的需要，人们通常关注的是序的概念的推 广、风险的组合问题、多元风险的某些序的性质特征以及将序与风险论中的 其它重要概念( 如随机向量的同单调性、随机序列的收敛性等) 相结合进行研 究，并得到了许多好的、有意义的结果，如j d h a e n e 等( 2 0 0 2 ) 对近些年在风险 组合上界问题及随机向量同单调性问题的许多研究结果作了综述性的总结， 张奔等( 2 0 0 4 ) 将二维相关序定义推广至n 维情形，并讨论了其性质特征，得 到多维相关序强于指数序的结果等等关于风险序在实际问题中的应用，已逐 渐引起精算人士及相关学者的关注，现仍在进一步研究中， 1 2 风险与风险的序 风险的序与效用理论之间有着紧密的联系，由于在风险理论和实际问题中 需要比较风险之间的期望或损失效用，风险序的概念因而被引入鉴于其具有 客观的实际背景，因此从效用理论的角度能更好的理解风险序的涵义 一般地，称一个非负的、期望有限的随机变量为一个风险 定义效用函数 ( 。) 是一个递增的凹函数，其含义可理解为，。个某货币 单位的效用随其量。的递增而递增，且对某个较小值。而言，其效用的增量 比某较大值茁的效用增量要大 现考虑两个取整数值的随机变量x ，y ，分别表示在两种不同决策下某货 币单位的盈利结果，对效用函数”( z ) ，假设两期望效用e v ( x ) 与e v ( y ) 均有 限，且满足 e v ( x ) o ( 。) = 一( 。一茁) + ，a r u ( z ) = ( 。一o ) + ，o r 然而，在实际的保险问题中，人们通常都不知道效用函数或损失函数的确定 形式，但却可以证明，对于所有可能的效用函数或损失函数，不等式( 1 1 ) ，( 1 2 ) 是成立的这样便引入了随机变量的停止损失序与增凹序，它们都是随机变量 族上的一个偏序 ，满足 茁一z z 掣，掣4 4z ) 号z z z 0 3 ( 4 ) 零效用原理：保费p 是下述方程的解： “( 0 ) = e ( u ( p x ) ) 其中u ( z ) 是效用函数，它是单调递增的凹函数 特别地，当取u ( 茁) = l = 名竺，o 0 时，可得到指数原理 p = l o g e ( e a x ) ，。 0 ( 5 ) 平均值原理：p = v - 1 ( e ( 僻) ) ) ，其中函数 ( 茹) 满足, e i ( 。) 0 ，v u ( $ ) 0 特别地，当取”( 岔) = e “，。 0 时，也可得到前面所述的指数原理 后来，v a nh e e r w a a r d e n 与k a a s 定义了d u t c h 保费原理 n ( x ) = e i x + 日m a x x a e ( x ) ，o ) 】，0 口1 ，a 1 w a n g ( 1 9 9 6 ) 通过对分布函数的变形给出了另一个具有较好性质的保费计算原 理， ，o o 1 1 9 ) = g ( 1 一f x ( x ) ) d x ，0 其中g 是 0 ，1 上的非减凸函数，满足9 ( 0 ) = 0 ，g ( 1 ) = l 根据引言所述，研究保费原理对风险序的单调性具有一定的现实意义，本 文着重讨论了零效用原理在推广的停止损失序下的单调性，这一结果可为风 险决策提供重要的理论参考 1 4 再保险与再保险合同 随着经济高速发展，保险需求增加，风险加大，保险企业要想扩大承保能 力，在竞争中立于不败之地，就必须进行再保险借助予再保险，可转嫁自身 风险，保持保险经营的稳定性，健全系统内部风险约束和控制机制，增强应付 巨灾巨险的整体偿付能力 在财产保险中，分保具有非常重要的地位分保也叫再保险，是保险人为 了分散风险而将原承保的全部或部分保险业务转移给另一个保险人的保险 所以，分保也叫对保险人的保险 在再保险中，分出再保险业务的人称为分出人，接受再保险业务的人称为 分入人分出人自己负责的那部分风险责任叫自留额，转移出去的那部分风 险责任叫分出额，分出人在分出风险责任的同时，把保费的一部分交给分入 人，称为分保费 4 再保险业务往往是通过订立再保险合同进行再保险合同又称为分保合 同，是分出人和分入人约定双方权利义务关系的协议 一般地，称冗= 忙( 。) l 兄( o ) = 0 ，0 r ( z ) 1 ) 为再保合同集咒的较常 见的两种再保合同子集是 7 已p , n = r ( 茁) i r ( 。) r ，( r 扛) ) = p ) 冗。= r ( z ) l n ( x ) r ，e ( r ( ) ) = p ) 从保险公司的角度讲，一个最优再保合同的标准是它使得自留风险x n ( x ) 的损失效用达到最小换句话说，称一个再保合同r + 是某合同集冗中 关于保费原理n 的最优再保合同，若对任意损失函数u ( z ) 及任意n ( z ) 佗， 有 e u ( x r + ( x ) ) e u ( x r ( x ) ) 本文着重讨论的是从冗。中寻求在凸序下的最优再保合同，对于保费计算 原理为净保费原理或期望值原理的保险公司而言，这个讨论结果是十分有意 义的 5 二、风险的序及其性质特征 给定概率空间( n ，p ) ，称一个非负的、期望有限的随机变量为一个风险 设。为所有风险的分布函数的全体，_ 为赋予o 中的半序。记风险x ，y 的分 布函数分别为eg ，约定f 0 有 e ( e 一7 y ) e ( e r x ) ， 其中e ( e - r x ) ，e ( e r y ) 均有限 定义2 6 设二元风险( x l ，m ) ，( x 2 ，b ) r ( f 1 ，f 2 ) = ( x ，y ) ：x 的分布为f l r 的分布2 f 2 ，称( 五，h ) 弱相关于隅，y 2 ) ，记( x 1 ，h ) c o r r ( x 2 ，蚝) ，若对任 意非减实函数，与g 有 6 c o y ( ，( x 1 ) ，9 ( y 1 ) ) c o y ( ，( x 2 ) ，g ( r 2 ) ) 容易看出，若取f ( x ) = e ”或一e _ r 。，r 0 ，得到指数序是种特殊的停止损 失序，l a p l a c e 序是种特殊随机控制序但因其在保费计算与可靠性理论中的 重要性，故将其单独定义 下面讨论以上序的性质特征及判定定理 定理2 1 下列叙述是等价的： ( a ) x s t y ( b ) 存在一概率空间( d ，p ) 及定义其上的两随机变量x ，y ，满足x y x ：dx y ：dy 7 ( c ) 对于所有的单调增函数g ：r - r ，有 e g ( x ) 。) ，巧1 ( z ) = m i n t ：f y ( t ) l 容易验证；x 皇x ，y 皇y 7 n n n 只；1 ( z ) = m i n t ：f x ( t ) z ) z ) = 。誓1 ( z ) ， 即x y ，从而( b ) 成立 ( 6 ) 号( c ) ：由( b ) 可知，对任意增函数g ：r _ + r ，有 e g ( x ) = e g ( x 7 ) e g ( y ) = e g ( v ) ， 即x s t y 成立定理获证， 有 定理2 2 设对某n 珥，有x i “m ， = 1 ，2 ，n 则 x i s t k i = ll = 1 证只须证n = 2 的情形即可 设x l s th ，x 2 8 ty 2 ，依定义有取，( z ) f h ( z ) ，殿。( z ) b ( ) ，从而 f x l + x 2 ( $ ) = p ( x 14 - x 2 一。o 由上部分的证明可得 仁9 n d f x ( 蟋仁础胁，h en 对不等式左端利用单调收敛定理得 撬仁引d f x ( 班仁撬巾) d f x ( 加仁揶) d f x ( 办 同理对右端有 广o 。，。 熙_ 。乳( 。) d f y ( 。) 2 - 。9 ( ) d r y ( 。) 从而有 ，o 。r 。 g ( t ) d f x ( x ) g ( t ) d f y ( x ) j 0 0 j 一。 此即e g ( x ) e g ( y ) 定理获证 定理2 4 若e x = e y 。，则x s ly 的充要条件是 ，。 ，( z ) ( 召( 。) 一f ( 。) 出0 ， j 0 其中，( z ) 是任意的非减函数 证( 1 ) 充分性取，( $ ) = i 阱。) ( 。) 即证 ( 2 ) 必要性 定义随机变量x l ，k 的分布函数分别为 脚) = 丽1 上。砌屯 g 出) = 击z 。醐t 从而 巧( z ) 2 壶上f ( t ) d t ， 一 1r 。 矶) = 面1z 。醐t 由x s ly 及条件e x = e y 得 珂( z ) 酉( 。) ， 此即 x 1 s th 由随机控制序性质得，对任意非减函数，( z ) 有 e f ( x 1 ) e f ( y 1 ) ， 而 r o 。1r o o e f ( x 1 ) 2 0m ) d 日( 。) 2 去i d a 上m ) f ( 。) d z ，jj 0 m ) = z 。) = 重1 o e f ( f ( x ) d f 2 0 。f ( x ) - g ( x ) d x 0 0 ，m ) = ( 。) = 吾 ， l 再结合条件e x = e y ，得 ，( 。) ( 百( 。) 一f ( x ) d x 0 ， 定理获证 下面给出两风险之间停止损失序成立的一个充分条件，适当的改变定理条 件还可作为判断凸序成立的充分条件，首先给出一辅助结果 引理2 1 设h ：r 。r 是一可测函数，满足熙i h ( t ) i d t 0 0 ，且 ，毫h ( t ) d t 0 如果对某t o r 有；当t t o 时， ( t ) 0 则对任意$ r ，有j ? h ( t ) m 0 成立 证注意到函数。h 口h ( t ) d t 在- o o ，t o ) 上是连续递增的，在( 如，。) 上 是连续递减的，且在一o o 处是非负的，因此对任意。r ，有 h ( t ) d t 0 成立引理获证 定理2 5 设e i x l o 。，e l f i 1 0 ， 由引理2 1 得 h ( t ) d t 0 ，vz r j o 即 厂厂。 ( 1 一f y ( t ) ) m ( 1 一f x ( t ) ) d t ，vz r jzj 也即 e ( y 一) + e ( x z ) + ，vz r 由停止损失序定义得x 。1y 成立定理获证 零效用原理是保费原理中的一个十分重要的原理，对于两随机变量，若恒 有x ( u ) y ( u ) ，vu n ，不难证明其在零效用原理下的保费相应地也具有大 小关系i i ( x ) i f ( y ) 下面考虑在停止损失序下，风险对零效用原理的单调 性 定理2 6 设) ，( y ) 分别为x ，y 在零效用原理下的保费，若x s l y ， 则有i i ( x ) ( y ) 证设零效用原理的效用函数是”( z ) ，记，( z ) ：a 一”( p z ) ，p 0 注意到效 用函数u ( z ) 是一个递增的凹函数，因此不难证明，( 霉) 是递增的凸函数 由于x s ly ，根据停止损失序的等价定义可得： e l ( x ) e l ( y ) ，即 e ( p x ) e u ( p y ) ( 2 1 ) 注意到 g l ( p ) 垒e p ( p x ) 】，9 2 6 0 ) = a e v ( p y ) 是关于变量p 的递增函数，依零效用原理，令 9 1 0 ) = 9 2 ( p ) = ( 0 ) ， 结合不等式( 2 1 ) 得 n ( x ) ( y ) 定理获证 1 】 当讨论无穷多个风险之间的关系，讨论一个风险序列中各个风险间的序关 系，必然要涉及到收敛性问题 定理2 7 设序列蜀t - - x ，碥鸟y ( 弱收敛) ，且s 1k 则当 e 矗 e x ，e 碥- - - + e y 时有x 8 1y 证根据有界收敛定理得 f o o 熙e ( 一t ) + 2 舰f ( 击一t ) d r ( z ) 2 熙j c ( x - - t ) d 晶( 。) _ 。l ，i r a 嘶 ( 。一t ) d f n ( 。) 2 热e 一。) + 熙zr ( z ) d 。 = e x t + f ( x ) d x = e 一t ) + ， 同理得 0 錾e ( 碥一t ) + = e ( y t ) + ， 根据定义2 2 ，由五。s lk 有 e ( 矗一t ) + e ( k t ) + ，v t r 对上式两端取极限即得 x 8 l y 1 2 三、推广的停止损失序 本章将停止损失序的定义进行推广，利用非减函数对分布函数作用生成了 序基，并讨论了其性质与充分必要条件，得到了停止损失序情形下推广的结 果下面首先给出定义 3 1 推广的停止损失序及其成立的充分必要条件 定义3 1 称风险x ，y 在推广停止损失序昌下x 小于y ，记x 量y 若 ，o 。r o o h ( 口) f ( z ) d 7 h ( x ) g ( x ) d x ，vt 0 j t j t 其中h ( 。) 是【0 ，+ 。) 上菲减、可导的正函数，且使得上述不等式两端均有限 对于如上定义的序皇，首先证明它满足偏序的三条性质 显然，序璺满足偏序的自反性和传递性，下证其满足对称性 设f g ，g 蛩e 由定义3 1 则有 ， ( z ) ( g ( 嚣) 一f ( x ) ) d x = 0 ，v t 0 j 又由于函数 ( 。) 几乎处处为正，故有 此即表明对称性成立，从而璺是风险族上的一个偏序 注3 1 序昌可以看作是某些序的推广，对于特殊的函数 ( 。) ，可以得 到序璺的特殊情况 ( 1 ) 令 ( z ) ；c 0 ，则由x 蛩】，定义可得 zf ( z ) d 。z 百( z ) d # ，v t o ， r 0 0r o o 此即 e ( x t ) + e ( y f ) + ，v t 0 ， 从而得到停止损失序 x s l y ( 2 ) 令 ( 。) = e ”，常数r 0 若对任意r 0 有x 基y ，则由等式 e ( e r x ) = r z o 。e 7 2 f ( 。) d z 可得 e ( e 7 x ) e ( e y ) 从而得到指数序 x r 0 ，则同样地可得到l a p l a c e 序 x ly 下面讨论该序成立的充分必要条件 定理3 1 设e h ( x ) 0 且 单调不减，故t t ( x ) 在 0 ，+ 。) 上递增连续可导，且 日( 。) 竺士恐h 0 ) 2 o 。， 令“= 日( 。) ，由积分换元定理得 ，。 j ( ( 百( z ) 一f ( 。) 】“( 。) d z 5j ( p ( y 。) 一p ( x 。) h ( 。) d z = 【p h ( y ) 嚣恤) ) 一p h ( x ) 昱。( g ) h ( 。) d 茁 = _ 五旧( z ) ) 一万( 日( 。) ) 】 ( z ) 出 ：，即【_ g l ( u ) 一瓦( 。) d 。= 7【) 一f 1 ( “) d “ j 圩( ” = _ 再( “) 一t l l ( u ) d u ( 3 1 ) j h ( 由于日( z ) 关于z 连续递增，且日( o ) = 0 ，因此对任意d 0 ，存在t 0 ，使 得日( t ) = d ，当x 3y 时，由上式有 五瓯( u ) 一万( u ) 】d 2j ( 瞰z ) 一f ( 。) 】h 扛) d z o ， p o or 由d 的任意性知 f 1 s 1g 1 反之，由( 3 1 ) 式易知， f l s l g l 号f 量g 根据毋，g 的定义即得 x a y 讳日( 五) s 1 日( y ) 推论3 1 设x 是具有期望为p 的任意风险，札服从单点分布，则缸璺x 证由嚣( 。) = 譬h ( t ) d t 及h ( z ) 单调不减知h ”( z ) 0 ，即日( z ) 是【0 ，+ o 。) 上的凸函数，故由j e n s e n 不等式得 e 【丑( x ) 一日( t ) + = e m a x h ( x ) ，日( t ) 一h ( t ) m a x e 日( x ) ，e 日( ) 一h ( t ) = m a 。x e h ( x ) ，日( t ) 一h ( t ) m a x h ( e x ) ，日( ) 】一h ( t ) = e 旧( “) 一日( t ) + 1 5 再由定理3 1 得 乱3 x 推论3 2 若x 昌y ，则e h ( x ) e h ( y ) 证由定理3 1 得 e h ( x ) 一丑。( t ) + e h ( y ) 一日( t ) + ，v t 0 令t = 0 推论即证 定理3 2 若e h ( x ) e h ( y ) 0 0 ，且存在某个x o 0 有：当。 x 0 时，f ( z ) g ( 。) ，则有x 袅y 成立 证令 ，( z ) = 九( z ) ( f ( 正) 一g ( z ) ) 则有当x z o 时，( 。) 0 从而有 z ”，( z ) d z = z o 。h ( 。) ( f ( z ) 一g ( 。) ) d z = 九( 。) ( 百( z ) 一f ( z ) ) d 。 2 上联百扛) d z 一上6 0 ) f 扛) d z r o 。r o 。 = e h ( y ) 一e h ( x ) 0 f 卜f ( x ) d x c o j t 在( 0 ，x o ) 上是连续递增的，在( 。o ，0 0 ) 上是连续递减的，因此有 ，。m ) d x 狐v 剀 即 ，。r t “( z ) 百( 。) d 。t ( 。) f ( 。) d 。，vt o -jj 此即 x 基y 定理获证 定理3 3 若e h ( x ) = e h ( y ) 0 ，由于h ( x ) 单调不减且使得 ，” ( 。) f ( 。) d 。 ， 上“( 。) 融d u ， 故有 熙m ) z ”m u 熙z 。m 烈把。 从而由分部积分得 f t 。危( z ) 剪( 。) d ! = z 。n ( z ) d ( 一z 。f ( u ) d u ) j j tj = 一n ( 。) z 。f ( u ) d u - 4 - 。 ( z ) z 。f ( “) a “d 。 = ( 旬z 。f ( “) d “+ o o 7 ( z ) ( z ”f ( u ) d ”) d z = ( t ) e ( x t ) + + 九7 ( 互) e ( x z ) + 如 ，o o j t 同理有 。 ： 一t ) +o o h ( x ) g ( x ) d x h ( t ) e ( y 4 - ( ) e ( y 一。) + d 。 = 一t ) + ( ) e ( y 一。) + d z j t 口 又由定义3 1 ，h ( x ) 满足( z ) 0 ，故得 ，o o，o o h ( x ) - f ( x ) d x h ( x ) g ( x ) d x ，vt 0 j ti t 即有 x s l y 兮x y 推论3 3 ( 1 ) x s t y 辛x 皇f ( 2 ) ( x l ，甄) c o r r ( 弱，蚝) 号x i + y 1 矗咒+ 硷 证由随机控制序及相关序与停止损失序的关系结论显然 3 3 推广的的停止损失序的性质定理 | i| | y | |=x 布 分点单从帽分 y x 若 乳 y 耀鹕 证由条件可知x ，y 的分布函数只g 满足 此式表明 x s t r 由前述序8 t 与序基之间的强弱关系可得 x 基y 定理3 6 设x s ly ，为非负非减的凸函数，则有 ，( x ) ，( y ) 证设g 为任意非减凸函数，由定理3 1 知只须证明下式成立 e g h ( f ( x 1 ) ) e g 日( ，( k ) ) 记q ( x ) = g h ( ，( z ) ) ，则 q ( 。) = 9 口j ( ，( ) ) 】 ( ，( z ) ) ，( 。) 0 ， q ”( z ) = 9 ” 日( ，( z ) ) 】一h 2 ( ，( z ) ) f ( z ) 2 + 9 7 【h ( ，( 茹) ) 】， ( ，( z ) ) ，2 ( 。) + 97 。h ( ，( 。) ) 】 ( ，( 。) ) ，”( z ) 0 ， 故印( z ) 是非减凸函数，由于x 1 s l h ，因此 e q ( x 1 ) e q ( h ) ， 此即证定理成立 定理3 7 设序列与x ，k 与y ( 弱收敛) ，且墨；k 则当 e h ( x n ) 一e h ( x ) ，e 日( 碥) _ e h ( y ) 时有x 基y 证根据定理3 1 ，由k 基k 有 e h ( x n ) 一h ( t ) + e h ( y n ) 一日。( t ) + ( 3 3 ) 1 9 ， 根据有界收敛定理得 。1 + i m 。e h ( x n ) 一日( ) + 2 士恐上旧( 。) 一日( ) d 晶( 。) = 击恐z ”阻( 。) 一日( 期d 晶( 。) 一，熙z 。阻( z ) 一日( 瑚d r ( z ) 2 熙e h ( x n ) 一日( 。) + ，0 晶( 。) “( 。) d 。 ，t = e h ( x ) 一日( 。) + 上f ( z ) ( z ) d 。 = e h ( x ) 一日(