（概率论与数理统计专业论文）若干相依风险模型的研究.pdf

摘要 摘要 在古典风险模型以及许多推广的风险模型中，相互独立性是一个重要的假 设，然而这个假设比较苛刻，不符合保险公司的经营实际，所以近年来，不少学 者对相依风险模型进行了研究。本文的工作就是从两个方面进一步对相依风险模 型进行研究，得到了与经典风险模型相一致的结论。 在第二章中，我们将【1 1 】中的模型进行了以下推广：( 1 ) 两个风险类均带有 随机扰动项；( 2 ) 两个风险类的索赔额分布均为轻尾分布；( 3 ) 两个风险类的索 赔次数存在着某种相依关系。新的模型为： t ( f ，“) u q ) - u o ) + 以o ) - u + c t 一荟矽一墨+ 彤 其中l ( f ) - 1 。o ) + 虬o ) ，n 2 0 ) - 。( f ) + 1 ：( f ) ，1 。( f ) ， k 1 ：o ) 分别是独立的齐 次泊松过程。我们首先研究了两个风险类的索赔次数在相互独立时的调节系数和 破产概率，然后再设法将这类相依情形转化为独立情形，从而达到研究相依情形 时的调节系数和破产概率的目的。 在第三章中，我们将 1 2 q h 的模型进行了以下推广：( 1 ) 考虑带有随机扰动 项时的连续时间模型；( 2 ) 保费额和索赔额分布均为轻尾分布；( 3 ) 保单到达次 数过程和索赔次数过程均为广义齐次p o i s s o n 过程；( 4 ) 保单到达次数和索赔次 数存在着某种相依关系。新的模型为： 1 0 )肌o ) 【厂( f ) 一“+ 善墨一荟誓+ 彬，1 0 ) - 2 ( f ) + ，o ) ， 其中 1 ( f ) ；f2o ) ， 2 ( f ) ；f 2 ， 也( f ) ；f o ) 是三个相互独立的广义齐次p o i s s o n 过 程。我们首先研究了保单到达次数过程和索赔次数过程相互独立时的调节系数和 破产概率，然后再设法将这类相依情形转化为独立情形，从而达到研究相依情形 时的调节系数和破产概率的目的。 关键词；破产概率，调节系数，相依，齐次p o i s s o n 过程，广义齐次p o i s s o n 过程 a b s t r a c t i nc l a s s i c a lr i s km o d e la n dm a n ye x t e n d e dr i s km o d e l s ，t h ep r o p e r t yo f i n d e p e n d e n c ei sa ni m p r u d e n ta s s u m p t i o n , b u tt h ea s s u m p t i o ni sab i tr i g o u r o u sa n d f a i l ss h o r to ft h ef a c to fi n s u r a n c ea g e n t s m a n a g e m e n t t h e r e f o r e ，r e c e n t l y , m a n y s c h o l a r sh a v em a d es o m er e s e a r c h e so nt h ec o r r e l a t e dr i s km o d e l s t h i sp a p e rf u r t h e r i n v e s t i g a t e st h ec o r r e l a t e dr i s km o d e l si n t w oa s p c , c t sa n dw o r k so u tt h er e s u l t s s u r p r i s i n g l yi na c c o r d a n c ew i t ht h a ti nc l a s s i c a lr i s km o d e l i nc h a p t e r2 ，w eg e tan e wr i s km o d e lt h r o u g hg e n e r a l i z i n gt h er i s km o d e li n r e f e r e n c el i t e r a t u r e 1 1 i tm u s tm e e tt h e s et e r m sb e l o w ：( 1 ) t h en e wr i s km o d e li s c o m p o s e do ft w or i s km o d e l sw h i c ha r ec o n d i t i o n e db yd i f f u s i o n ；( 2 ) i nt h es e p a r a t e t w or i s km o d e l s ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h et w ot y p e so fc l a i m e da m o u n ti sc o n d i t i o n e db y l i g h t - t a i l s ；( 3 ) i nt h es e p a r a t et w or i s km o d e l s ，t h et w ot y p e so fc l a i m e dc o u n t i n g p r o c e s s e sh a v es o m ec o r r e l a t i o n t h en e w m o d e lj s u ( o u l ( t ) + u z ( t ) - u + c t 一薹矽一薹研2 + 彤， 川( f )2 0 ) w h e r e l o ) 1 l 。( f ) + i ：( f ) ，也( f ) - 叱( f ) + 1 ：o ) ， | i ( f ) ( f ) ，1 2 ( t ) a r et h r e ei n d e p e n d e n th o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s e s a tf i r s t , w e i n v e s t i g a t ei n t ot h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ta n db a n k r u p t c yp r o b a b i f i t yi nt h ec o n d i t i o n o fi n d e p e n d e n c e ；a ts e c o n d , w em a n a g et ot r a n s l a t et h ec o r r e l a t e dc a s ei n t ot h e i n d e p e n d e n tc a s ei n o r d e rt oa c h i e v et h ea i mt oi n v e s t i g a t ei n t o t h ea d j u s t m e n t c o e f f i c i e n ta n d b a n k r u p t c yp r o b a b i l i t yi nt h ec o n d i t i o no fc o r r e l a t i o n i nc h a p t e r3 ，w eg e tan e wr i s km o d e lt h r o u g hg e n e r a i i z i n gt h er i s km o d e li n r e f e r e n c el i t e r a t u r e 1 2 i tm u s tm e e tt h e s et e r m sb e l o w ：0 ) i tj sac o n t i n u o u s - t i m e r i s km o d e lc o n d i t i o n e db yd i f f u s i o n ；( 2 ) t b ed i s t r i b u t i o no ft h ep r e m i u ma m o u n ta n d t h ec l a i m e da m o u n ti sc o n d i t i o n e db yd i f f u s i o n ；( 3 ) t h ec l a i m e dc o u n t i n gp r o c e s sa n d t h ec o u n t i n gp r o c e s sw h ob u yt h ei n s u r a n c ep o r t f o l i o sa r eg e n e r a l i z e dh o m o g e n e o u s p o i s s o np r o c e s s e s ( 4 t h ec l a i m e dn u m b e ra n dt h en u m b e rw h ob u yt h ei n s u r a n c e p o r t f o l i o sh a v es o m ec o r r e l a t i o n t h en e w m o d e li s n 。c t )n ，t n c ，( f ) “+ 薹五一善x + 彬，l ( f ) 。2 + 啊( f ) w h e r e n i ( t ) ；t - 0 ， 2 ( f ) ；f - o ， ，o ) ；f ，- o a r e t h r e ei n d e p e n d e n tg e n e r a l i z e d h o m o g e n e o u s p o i s s o np r o c e s s e s f i r s t l y , w ei n v e s t i g a t e i n t ot h ea d j u s t m e n t c o e f f i c i e n ta n db a n k r u p t c yp r o b a b i l i t yi nt h ec o n d i t i o nt h a tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e t w ot y p e so fc o u n t i n g o c e s s e si si n d e p e n d e n t , s e c o n d l y , w em a n a g e t ot r a n s l a t et h e c o n e l a t e dc 墩i n t ot h ei n d e p e n d e n tc a s ei no r d e rt oa c h i e v et h ea i mt oi n v e s t i g a t e i n t ot h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ta n db a n k r u p t c yp r o b a b i l i t y i nt h ec o n d i t i o no f c o t r e l a t i o n k e y w o r d s ：b a n k r u p t c yp r o b a b i l i t y , a d j u s t m e n t c o e f f i c i e n t , c o r r e l a t e d , h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s , g e n e r a l i z e dh o m o g e n e o u sp o i s s o n p r o c e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含) t - 他人已经发表或撰写过的研究残果，也不包含为获得鏖钨文大愿盛誓哗整育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：育苟芳签字日期：如可年年月西日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鏖傲大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文放查阅和 借阅。本人授槛黼以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：锕著菏导师签名：弛缭趣 签字日期：嘲年年月) 岁日 签字日期： 0 呷年乎月乃日 学位论文作者妇扮椒手泓凝揪韧星 工作鞭黼孝隈删复慨多7 删伽7 第一章引言 第一章引言 1 1 概率统计在保险业中的应用 日常生活中，人们总是会受到自然界和社会上偶然发生的自然灾害和意外事 故的威胁，危险事故一旦发生，将破坏人们的生活和秩序，从而进一步影响社会 经济的正常秩序。这些危险事故的发生，对单个人来说是不可测的，随机的，但 对全社会成员总体来说确基本是确定的，必然的。保险正是在这一基础上建立和 发展起来的，即通过众多面临某种风险的人自愿共同筹集以保险基金的形式向保 险人缴纳，当保险事故发生时，由保险人负责付一定金额给出险的被保险人或其 指定的受益人。因此保险是补偿和减轻发生危险事故带来损失的有效手段，是一 种互助共济的社会保障制度。 那么保险公司是如何运营才能保障盈利而不至于破产呢? 这仅仅局限于定 性方面的工作还远远不够，还需要定量分析，而且保险业中所含的风险通常局限 在不确定性可用概率刻画的风险，也就是说，保险公司承保的标的( 人的生命， 财产等) 可能发生的损失可用概率描述。由此，保险公司可以确定承保标的可能 发生的平均理培，制定出相应的保险产品的价格。标的( 人的生命，财产等) 可 能发生的损失是一个随机变量y ，实际经验表明，这一随机变量的分布往往很难 获得，人们转向采取另一个研究方法，即将y 分解为两部分，保险事故发生的 频率和每次所发生的损失，只要这两个变量的分布了解了，将这两部分组合起来， 就得到y 的分布情况了。对于人寿保险，每次所发生的损失是事先确定好的， 而保险事故发生的频率指的是被保险人生或死的可能性，这可利用大量的人口数 据统计出来，对于财产保险，健康保险等保险，保险事故的发生的频率和每次所 发生的损失额都是随机变量，已有一些分布( 如泊松分布，二项分布，指数分布 等) 可以拟合。所以运用大量的数学和概率统计学理论对保险经营中风险的控制， 损失分布的拟合，保费的计算等进行严格的计算，分析和提供决策的依据，亦即 保险精算在整个保险经营中起着举足轻重的作用，而近代保险业的发展是随着精 算理论的发展而发展的，正是由于精算理论的逐步发展完善，保险业才得以快速 发展，精算是保险业的技术核心，同时，精算理论又同现代数学，概率论，数理 若干相依风险模型的研究 统计的发展紧密结合。 风险理论作为保险精算数学的一部分，是当前精算和数学界研究的热门课 题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率，破产概率作为保险风 险中的一个重要预测方法( 即破产理论) ，已经成为风险理论的一个主要课题。然 而，保险业本身就是具有高风险特征的行业，一旦风险变为现实，不仅直接损害 投保人的利益，而且保险系统本身的稳定经营也会受到影响。因此需要加强对保 险系统风险的研究和预测，为保险系统提供早期的警示数据，以提高保险系统的 经营管理和保险业自身的竞争力，这己成为保障金融与保险业持续发展和稳定经 营的基本需要，从而使风险理论也成为保险系统中的重要研究课题。实际上，保 险公司的风险来源主要是发生索赔的次数和发生索赔时的索赔额，它们对影响保 险公司未来的稳定经营有重要的作用。而确保保险公司稳定经营的一个重要衡量 指标是破产概率，即保险公司的盈余第一次由正变为负的概率，它是研究经营者 的经营状况的重要指标，是衡量一个保险机构金融风险的极其重要的尺度。因此 研究破产及与破产有关的问题的风险理论，是防范和化解金融风险和破产风险的 重要理论依据，也成为金融企业，保险系统预测风险的理论基础。 1 2 经典风险模型简介及主要结果： 集体风险理论是保险和精算数学的重要组成部分。人们常常考虑的模型是经 典的更新风险模型( r e n e w a lr i s km o d e l ) ，即文献中所称的a n d e r s o n 模型。这是 金融风险领域的一个基本的模型。该模型结构如下( 参见e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 【1 】) ： ( 1 ) 单个索赔额( i n d i v i d u a lc l a i ms i z e ) 过程 以；厅1 ) ，是一个i i d 非负随机变 量序列，具有共同分布f 和有限期望z e x l ； ( 2 ) 索赔间隔时间( i n t e r - a r r i v a l t u n e ) 过程亿； 2 1 ) ，也构成一个i i d 非负随机 1 变量序列，具有数学期望正- ，而且独立于以；万1 ： ( 3 ) 在时间段【o t 】内发生的索赔次数： ( f ) - s u p 玎z 1 ，吒s f ，t 之0 ； 2 第一章引言 其中一墨，雄1 ，被称为索赔到达时刻( 我们约定s 印。一o ) ( 4 ) 到时刻t 为止的总索赔额过程 s ( t ) ；t 乏o ) ： r f ) s o ) 一五；f 2 0 ( 1 1 ) 若索赔问隔时间间隔服从指数分布，则上述模型即为著名的c r a m e r - l u n d b e r g 模型。由于c r a m e r - i a n d b e r g 模型索赔次数过程n ( i ) 是齐次( h o m o g e n e o u s ) p o i s s o n 过程，所以处理起来往往更简单 经典风险模型的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r 9 5 ：1 9 0 3 年发表的博士 论文他首先进行了破产论的研究，提出了一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过 程不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r a l d c r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学 基础之上，他们给出了l u n g b e r g - c r a m e r 经典破产模型的确切表述、有关假定和 主要结果现己公认，l u n d b e r g 和c r a m e r 的工作为经典风险理论的基本定理因 此，风险理论较为系统的理论形成应该说始于t m n g b e r g 2 , 3 】和c r a m e r 4 - 6 1 t 随 着随机过程理论的进一步发展为风险理论的研究提供了强有力的方法和工具当 代研究破产论的国际著名学者h a r tu g e r b e r 以严谨的概率论为基础，简练清晰 地进一步研究了破产论对风险理论的系统论述当属g e r b e r 7 , 8 】和g r a n d e l l 9 分别记盈余过程和索赔剩余过程( 亏损过程) 为： t j ( t ) - “+ c t - s ( t ) ，t 0 ， ( 1 2 ) s o ) 一s q ) 一c t ，t 之o 其o e u 指公司的初始储备金( i n i t i a lr e s e r v e ) ，常数c 0 是盈利率( i n s u r a n c e p r e m i u mr a t e ) 相对安全负载条件( r e l a t i v es a f e t yl o a d i n gc o n d i t i o n ) ： p 。c e t l - e x l 0 0 i e x z 为了使理论研究能够更好地符合实际情况，人们对经典风险模型作了多方面 推广。例如： ( a ) 多种索赔过程或保单收取过程和索赔过程会以某种方式相依； 考虑市场环境中的随机因素的影响； 若干相依风险模型的研究 ( c ) 用更一般的点过程来描述索赔和保单收取的发生； ( d ) 考虑各种类型的索赔额分布，等等 在本文中，我们就将研究经典风险模型在作若干以上的推广后破产函数的表 达式、调节系数和l u n d b e r g 不等式先回忆一下经典的c r a m e r - l u n d b e r g 模型下 破产概率相应的结果 定义1 1 ：称t 是破产时， ， 枷 怒器i 有上j 杲刀芏 最终破产概率定义为：妒( h ) - e f t to o i u ( 0 ) - “) ， 生存概率o ( u ) - 1 一妒 ) 安全系数8 一一1 ，( e t x l 】- u 1 ) “地 定义1 2 ：设x 为一个非负随机变量，如果存在m o ，使得眈船* ，则称该 随机变量x 为轻尾随机变量。显然当0 r 墨m 时，点k 虚= m x ( r ) * 定义1 3 町：计数过程 o ) ；f 苫田称做齐次p o l s s o n 过程， 如果它满足以下条件： ( 1 ) p ( ( o ) - 0 ) - 1 ； ( 2 ) 对于任意o s s f ，增量n ( s ，f ) - j v ( s ) - , v ( t ) 有参数为a ( t - s ) 的泊松分布， 即对七一o , l 2 ，p ( n ( s ，0 一七) m e 一1 ( r “) f t ( t j ) r 七! ， 这里az0 是常数，称做过程的强度或发生率； ( 3 ) 具有独立增量 定义1 4 m ：有限值计数过程 ( f ) ；f 0 称做广义齐次p o f s s o n 过程， 如果它满足以下条件： ( 1 ) p ( ( 0 ) 一o ) 一1 ； ( 2 ) 具有平稳增量； ( 3 ) 具有独立增量 定义1 5 “明( 调节系数) 设理赔z 暑0 ，研x 卜1 ，0 ，称关于r 的方程 l + o + o ) u l r - r e x ( r )( 1 3 ) 的正数解r 为x 的调节系数( m x ( t ) 为矩母函数) 4 第一章弓i 言 定理1 1 叫( 破产概率的l u n d b e r g 型指数界) 设在模型( 1 2 ) 中，理赔分布及其 矩母函数分别为p ( ) 和o ) ，并且调节系数r 满足( 1 3 ) ，我们有如下关于破产 概率的不等式： 妒0 ) s e 一黜( 1 4 ) 证明见参考文献【1 0 】中的定理4 3 4 定理1 2 帅( 破产概率) 设初始资本金乏0 ，则破产概率满足： 妒国) 。j 三二! 一 ( r 为调节系数) ( 1 5 ) 妒似) e e - r v f f ) t 0 分别为这两类保险的保费率，q ，0 2 o 分别为这两个类的干扰系数，c c 1 + c 2 ，0 2 一砰+ ，t l o ) ；f 2o ) ， 2 ( f ) ；f 之o ， 7 若干相依风险模型的研究 是两个计数过程，分别表示第一个类和第二个类在【o ，t 】时间段内的理赔次数， 彬；f 己0 为标准w i e n e r 过程，且与 l o ) ；f 之0 ) ， 2 ( f ) ；f20 ) 相互独立 本文研究的是两类索赔额分布均为轻尾的情形，故由定义1 2 知： 对 z f n ，i 1 ，存在鸩 o ，使得e 一1 ，对 z f 孙，f 苫1 ) ，存在m ： 0 ，使得 掣” ，取m = m i n m l ，m2 ) ， 则对任意r 【o ，肘】，m x o ) ( ，) tm ，m z ( ：，( r ) tm ， 即矩母函数在【o ，m 】上同时存在并有限 由于在实际经营中，很多情况下这两个类并不相互独立，例如：假设第一个类 表示某一个地区的男性的人身意外伤害保险，第二个类表示该地区的女性的人身 意外伤害保险，当该地区受同一种灾变( 如洪水，地震等自然灾害) 的影响，会在两个 类中同时产生索赔，所以此时模型( 2 1 ) 描述的就是相依风险类的风险和模型 为了研究相依情形时的风险和模型，我们将首先考察独立情形时的风险和模 型。再设法将相依情形转化为独立情形考察故以下分成两种情形考察含这两个类 的风险和破产概率： ( 1 ) 假定“( f ) ；f 味 2 ( f ) ；f = 0 ) 是两个独立的齐次泊松过程，参数分别为区 和6 ：，此时，( f ) 是含两个独立类的风险和过程； ( ) 假定l ( f ) 1 。( t ) + i ：o ) ，2 ( f ) - n z , ( f ) + 1 ：o ) ，1 。( f ) k 似i ：o ) 分别是独 立的齐次泊松过程，参数分别为 ，尢，厶：，显然此时l ( f ) ，：o ) 是两个相依的泊松 过程，从而u “) 为含两个相依类的风险和过程 2 2 相依总理赔额的分布 a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ) 【1 3 ，1 5 】研究了相依总理赔量的分布，在本小节我们将 先简要介绍他的研究成果 假设保险公司经营p 类( p 2 ) 风险业务，s ，i - 1 , 2 , p 表示第i 类总理赔 量，f 表示第i 类风险业务的理赔次数，j 0 ，- 1 , 2 , ，i - l 2 ，p 表示第i 类风 m p 险业务的第j 次理赔量贝u 墨一茏勘，保险公司的总损失s 一艺墨 第二章带扰动的索赔次数为相依齐次p o i s s o n 过程的风险模型 ( 1 ) n 1 i - 1 , 2 , p 是相关的，并且它们的联合分布已确定， ( 2 ) ，j - 1 , 2 , ，对每一i 独立同分布，共同分布函数为，i 一1 2 ，p ( 3 ) 理赔量与理赔次数独立 显然，若川之间相关，则是也相关。 定义n 维向量- ( l ，n 2 ，) 7 令 n = a m ( 2 2 ) 其中一一( ) 为p x k 阶矩阵，每一元素均为非负整数，m 一( 帆) 为| | x 1 列向 量，随机变量 以间是独立的 定理2 1 嗍：具有p 个类的风险过程s 艺芝毛，若p 维随机向量n 满足 f - l f - i 七m f ( 2 2 ) ，则sy 删j s - 芝勘，其中独立同分布，共同分布为： ，- o ) - 眠协勺弋4 ，：弘) ， 其中+ h 是氏的吩重卷积，氏气0 - 1 显然，当鸩为参数为 的泊松随机变量时，则s 是参数为a - ， 理赔量分布为 f - 妻耋 吒) 洳曲“一最，洳一) 的复合泊松过程 证明见参考文献b 3 特别，当p 1 2 ，k = 3 时，由定理2 1 很容易得到下列推论： 推论2 1 t i l l ：假设1 ( f ) - n 1 ，o ) + 1 ： 2 ( f ) 一心( f ) + l ：( f ) ，l l ( f ) ，心( f ) ，l ：( f ) 分别是参数为 ，五， ：独立的泊松过程，则s ( t ) 为复合泊松过程，参数为 + 屯+ 1 ：，共同分布为f - 鲁e + 鲁最+ 等五最 证明见参考文献【1 1 1 中的引理1 9 若干相依风险模型的研究 2 3 含两个独立类的风险和模型 首先考察模型( 1 ) ，即含两个独立类的情形： 引理2 1 ：盈利过程s o ) 是一个右连续过程，并有以下性质：( 1 ) s ( o ) - - - - 0 ； ( 2 ) 佟o ) ；f 乏o ) 具有平稳独立增量；( 3 ) e s ( o - c t 一酗l f 一6 2 l l ， 证明：( 1 ) ，( 3 ) 由定义易得，现证( 2 ) ： 呓p )屹p ) 由【1 4 】中定理5 - 3 1 知 薹】，f 芑o ) ， 薹耐”，f 2 0 均具有平稳独立增量，又因为 彬，t 毒o 也具有平稳独立增量，且它们相互独立，所以s ( f ) 有平稳独立增量 注：为确保公司稳定经营，要求c 一6 一。- 6 2 u ：，o ，即保费收取率c 要大于单 位时间内的期望理赔额即。+ 妨i ： 引理2 2 ：由以上性质可以证得：在【0 ，m 】上存在函数g ( o ，使得 e 心o 】i 已留( ，) ，o o ) 其中g ( ，) - 要r 2 - c r 卡点【i ，一。，( ，) 一1 1 + 6 ：【j l f ，。：，( ，) 一1 】 ( 2 3 ) 证明：因为当0 s ，主m 时，两个类的矩母函数均存在并有限，所以有 e e - , s ( o 】- e ( e “) 吲e 嘶等掣”研c x 酣攀舻) 】- e 【懿如叫) 】爿 何 - 唧 譬，2 t c r t + 即瞰一) ( ，) 一1 】+ 6 2 t m x ( 2 ) ( r ) 一1 】) 记g ( r ) 一2r 2 _ c r + 6 ， m x o ) ( ，) 一1 1 + 6 2 【m 一：，( r ) 一1 】，则e e 一幅o 】- 泸( ，) ，( f 置o ) 引理2 3 ：矩母函数m ：( ，) - e e 膳- p “峨，( 0 t ，c m ) 关于r 的导数可 气 以通过在积分号下求导得到， m x ( r ) 一f x e “a v , a x ) 一e ( x e 戊) ，m ：( ，) - e ( x 2 e 厦) ； 0 m x ( 一r ) 髓一戊一p 一“峨o ) ，( o t r t m ) 关于- ，的导数也可以通过在积分号 0 下求导得到， 1 0 第二章带扰动的索赔次数为相依齐次p o l s s o n 过程的风险模型 即 ，二( 一r ) 一，职一“d g ) 一e ( x e 一睹) ，m x ( 一r ) - 僻奄一膳) o 而 证明：对v r o ( o ，m ) ，j 叩) o , r o + 叩m ，当| r - r i 叩时， l 矧- 卜等睁 如， r p 蛾。) r 蛾g ) ， 又由于脚砉- o ，故| ，o ，当x ，时有旁1 成立，于是 层陋啦) 。p 舻蛾o ) 。p 舻峨+ 严 峨o ) = n e , o s + 肘j ( 吃+ ，7 ) o ，使一m 吨+ r 0 ，当i r 一i f 化口，f ) 得： e - r u 一研e 胡u p 墨f 圮口s f ) + e 【e 胡u o l r t l e ( r ，f ) ( 2 5 ) 关于( 2 5 ) 的第一个条件期望，嗍f f ve o , t ， v q ) - v ( v ) + ( o - u o , ) j - u ( o + s ( o - s ( v ) j ， 因为风险过程在v 之后的情况独立于v 之前的情况，所以u p ) 和s o ) 一s p ) 相互独 立，故 e p 一。u o i t - v = e e x p 一r 【u ( 力+ p o ) 一s ( v ) 阳) i ，- v 】 一e 【p 且”p i t = v e i e x p 一r 【s ( f ) 一s ( v ) l l r - v 】( 2 6 ) 一研p 制p p - v - e e 御7 i t - v ( 2 7 ) ( 2 7 ) 成立是因为( 2 6 ) 的第二个条件期望 第二章带扰动的索赔次数为相依齐次p o l s s o n 过程的风险模型 e e x p - r s ( t ) 一s ( v ) 】) i r - v 】 _ e e x p - r c ( t v ) 州。磊，砰州；磊叶x 2 ) - r a 孵一形) i r l v 】 一e x p g ( r ) ( t v ) = 矽片r “) - 1 因为等式( 2 7 ) 对所有的v f 成立，所以e e 一足u ( f p f 1 = e 【e - r u ( r p t f l 也成立 当f 一* 时，嫩e 【e 肼p s t p , ( r s t ) - e e 一肘n p m e 口m ) 下证当f m 时，( 2 5 ) 右端第二项趋于零： 考虑g o ) 一“+ 耐一驴，k q ( t ) 一* ，( f 一* ) e e a u ( t ) i t f 僻仃 f ) - - e e 一 矿o j r t ，o s u ( t ) q ( f ) 僻【r f ，o s u o ) s g ( f ) 】 + e p x u ( o i t f ，o ( ，o ) 留( f ) 】弓i t f ，o 【厂( f ) q ( f ) 】 由于o 【，( f ) s 口( f ) e 【u ( f ) 】，所以i c ，( f ) 一e 【u ( f ) 】i z k ( f ) 一e 【u o ) 】l 卢f 2 3 ， 故由c h e b y s h e v 不等式： o s8 o - w ( 0s q ( f ) 】只q 【，o ) 一e 【u o ) 】| 皂卢f 驴， 锣矿班 故当t - - po o 时，e e 一。u ( 0 i t f 珲仃 f ) t - 1 3 + e x p - r q ( t ) - - , 0 ， 于是e 一血- 妒“) e 矗u ( 。p * 】，即妒 ) 一面南 定理证毕 推论2 2 ：风险和模型( i ) u ( f ) ；f 乏o ) 最终破产概率妒0 ) 满足 l u n d b e r g 不等式： 妒o ) s e 嘲 证明：因为u f ) s o ，所以e 一矗u ( ) 21 ，再由定理2 3 即得l u n d b e r g 不等式 2 4 含两个相依类的风险和模型 若干相依风险模型的研究 f 回考祭模型( ) ，即曲风i 垃荚的累赔次数过程相依情形： 引理2 4 ：存在函数g ( ，) ，使得e 一心o 卜p 培( ”，( o g r m ) ， 其中g ( r ) - 口+ 譬r 2 + ：【以( r ) 一1 】+ 【m 一”( ，) 一1 】+ 九【m ：。( ，) 一1 】 ( 2 8 ) m r ( r ) m 一，( ，) m 。m ( r ) 证明：s ( o - c f 一( x i ( 1 ) 4 - 薹可2 ) + 叫一“一m ( f ) + 叫， r t e k 席o 卜p “【e ”p 】p 7 。 肌q ) - 警掣+ 譬x i ( 2 ) m 墨掣+ 川i 篡舻+ 篙铲+ ：舻 = 擎+ 篡掣+ 蔫矽 其中x - 丑p + 盖，2 ，i 之1 坪哪) 】- e t e x p ( r m 薹 跏嘞( r 篡硼 e b x p ( , 薯硼 一e x p 【 勺( ，) 一l 】+ 却【甜一。，i f ) 一1 】+ x m 一。( ，) 一1 】 e e - , s ( o 】= e x p 一r c + ：【峨( r ) 一1 】+ 【膨一。) ( r ) 一1 】+ 尢【膨一：) ( r ) 一1 】+ - 。；- r ： t 垒p 留( r ) 7 g ( ，) 一哪+ 譬r 2 + ：阻，( ，) 一1 】+ 一，( ，) 一1 】+ 疋瞰一( ，) 一1 】，定理证毕 定理2 4 ：当o 7 2 c c m 时，方程酗= o 在区间( o ，事】上有唯一正解r ( 称r 为盯。盯一 调节系数1 证明：证法类似定理2 1 。故省略 定理2 5 ：风险和模型( ) 的最终破产概率 p r e 妒 ) 5 e e - a v ( r ) i t o 分别表示两类险种的利率； ( 2 ) 矽，妒t 1 ，2 ) 分别表示第m 类险种第k 次发生索赔时的理赔额和保单到 1 6 第二章带扰动的索赔次数为相依齐次p o i s s o n 过程的风险模型 达时收取的保费； ( 3 ) o ( f ) ( f ) 伽- 1 , 2 ) 分别表示第m 险种在【0 t 】内收到的保单总数和发生的理 赔次数： ( 4 ) j ；七1 ) ， 瑶”；七21 ) ， m 。o ) ；f 田，伽一1 ，2 ) 是相互独立的，且与 1 ( f ) ；f 乏o ) ，f 2 0 ) ；f 之o ，独立，但 1 0 ) ；f 之0 ) ， 2 ( f ) ；f 2 吣并不一定相互独立 称过程( f ) ；f2o 为常利率下保险费随机收取的双险种风险和模型 对上述模型我们作如下假设： ( 1 ) p ( f ) ；f 田， p ) ；f2o ) 是独立的p o i s s o n 过程，其强度分别为k ， 且 ( 0 0 ，二( o ) 一0 ，( ，抖- 1 2 ) ( 2 ) 】0 - 碰”；七乏1 ) ，匕- 妒；七1 ，是相互独立同分布的非负随机变量序 列，其分布函数分别为巳0 ) ，e ) ，矩母函数分别为m l ( ，) ，m k ( ，) ，且 p m - e 【瓦】，p 二- e l y 】，一翰r 【瓦】，蠢- v a r y m 】，伽- 1 , 2 ) 令一。垫坚垄垄翌2 坚旦一1 竹a + f 1 2 p 2 一 称0 为相对安全负荷显然当0 s 0 时妒 ) - 1 ，破产必然发生以下我们假设0 ，0 2 5 2 若干结论 当 1 0 ) ；f o ) ， 2 ( f ) ；f 田相互独立时，由2 3 易得以下结论： 引理2 5 ：盈利过程s o ) 有以下性质：( 1 ) s ( o ) - - 0 ；( 2 ) p ( f ) ；f o ，具有平稳 独立增量；( 3 ) e s ( t ) - 【( 1 + i ) 2 h p ：+ ( 1 + j ) x 2 p ：一“p l + ：n 疆 引理2 6 ：由以上性质可以证得：存在函数g ( r ) ，使e e 埘p 】e t g ( ”，( f 0 ) 其中 g ( r ) 一凡( f x ( 一( 1 + f ) ，) 一1 ) + 2 2 ( m 屹( 一( 1 + ，) r ) 一1 ) + p - i m x , ( ，) 一1 】+ z 2 【m 屯( ，) 一1 】+ _ o _ - z ，2 定理2 6 ：方程g ( 0 - - - o 有唯一正解r ( 称r 为调节系数) 定理2 7 ；风险模型o ) ；f 之o 最终的破产概率为： 若干相依风险模型的研究 。一 【鼍( 1 + f ) + 曩2 ( 1 + ) 】 妒 ) l 毒i 丽丽 r 为调节系数 当 1 ( f ) ；f 乏吣，f 2 ( f