（概率论与数理统计专业论文）集值lebesgue积分与ito型随机微分方程.pdf

摘要 摘要 本文研究的是集值随机过程关于时间变量t 的l e b e s g u e 积分，a u m a n n 型l e b e s g u e 积分，和集值i t 6 型随机微分方程 本文分为三部分，第一部分是闭集值随机过程关于时间变量t 的l e b e s g u e 积 分对于取值为d 维欧氏空间的闭子集的循序可测的集值随机过程的，首先， 讨论集值随机过程与它的选择集之间的关系然后，针对以往定义的a u m a n n 型 闭集值l e b e s g u e 积分的结果可能是不可测的这一问题，取该积分关于过程的可 分解闭包，给出闭集值随机过程l e b e s g u e 积分的新定义从而得到闭集值随机过 程l e b e s g u e 积分的积分结果是集值随机过程，我们给出该积分有界性、表示定 理和重要不等式等性质的证明，因而，有进一步的应用前景 第二部分是紧集值随机过程关于时间变量t 的a u m a n n 型l e b e s g u e 积 分首先，对于取值为剧空间中紧子集的集值随机过程关于时间变 量t 的a u m a n n 型l e b e s g u e 积分，就以往研究中积分定义存在的几乎处处问 题，提出第一个解决方案：假设概率空间的盯域关于测度可分然后，我们将 证明紧集值a u m a n n 型_ l e b e s g u e 积分的可测性，从而积分结果是一个集值随机 过程其次，我们将讨论紧集值a u m a n n 型l e b e s g u e 积分的选择和选择集，进一 步，给出a u m a n n 型紧集值l e b e s g u e 积分的表示定理和该积分的一个重要不等 式 第三部分是关于集值随机微分方程的解的存在唯一性定理本文将分别证明 闭集值和紧集值随机微分方程的解的存在唯一性定理首先，在前面利用可分 一i 一 北京工业大学理学博士学位论文 解闭包给出的闭集值随机过程i 拘l e b e s g u e 积分及其重要性质的基础上，将证明 闭集值随机微分方程的解的存在唯一性以及解在一定意义下的连续性：其次， 就以往紧集值a u m a n n 型l e b e s g u e 积分定义中存在的几乎处处问题，给出第二种 解决方案从而修正先前的定义并讨论该积分的性质，并证明紧集值i t 5 型随机 微分方程强解的存在唯一性胡良剑等【1 2 0 】用h u l ( u h a t a 差讨论了同类型i t 6 型模 糊随机微分方程，由于实数空间的闭子集构成的空间对于加法和数乘不构成 线形空间，这就产生了一个问题：在什么条件下h u k u h a r a 差存在? 这是一个 很难解决的问题，而他们为此简单假设集值随机过程在任何两个不同的时间 的h u k u h a r a 差总是存在我们利用集值随机过程及其积分的选择的方法，证明 出重要的积分不等式，在此基础上证明i t 5 型集值随机微分方程解的存在唯一性 定理 最后，我们将给出有界可料过程关于集值平方可积鞅的随机积分的定义及 其表示定理，并且将证明新定义的随机积分是集值下鞅 关键词： 集值随机过程；集值随机微分方程；选择；集值l e b e s g u e 积分 a b s t r a e t a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ，t h ef i r s tp a r ti sl e b e s g u ei n t e g r a lo fa c l o s e ds e t - v a l u e d s t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hr e s p e c tt ot i m ev a r i a b l et ，t h es e c o n d p a r ti sa u m a n nt y p el e b e s g u ei n t e g r a lo fac o m p a c ts e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s w i t hr e s p e c tt ot i m ev a r i a b l et ，a n dt h et h i r dp a r ti si t 5t y p es e t v a l u e ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ef i r s tp a r t ：l e b e s g u ei n t e g r a lo fac l o s e ds e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s sw i t h r e s p e c tt ot i m ev a r i a b l et f o rt h ep r o g r e s s i v e l ym e a s u r a b l es e t v a l u e ds t o c h a s t i c p r o c e s st a k i n gv a l u e si nt h ec l o s e ds u b s e t so fd - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c er d ， w es h a l ld i s c u s st h er e l a t i o no fas e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s sa n dt h es e to f i t ss e l e c t i o n s t h e nb yd e c o m p o s a b l ec l o s u r eo ft h ep r o c e s s ，w es h a l lg i v ean e w d e f i n i t i o no fl e b e s g u ei n t e g r a lo fac l o s e ds e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hr e s p e c t t ot i m ev a r i a b l et ，s i n c et h ef o r m e rd e f i n i t i o no fa u m a n nt y p ec l o s e ds e t v a l u e d l e b e s g u ei n t e g r a li sn o tm e a s u r a b l e o u rr e s u l to ft h el e b e s g u ei n t e g r a lo fac l o s e d s e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s si sas e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s ，a n dw es h a l lp r o v e t h a tt h el e b e s g u ei n t e g r a lo fac l o s e ds e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s si sb o u n d e d a n dp r o v ear e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo ft h el e b e s g u ei n t e g r a la n da ni m p o r t a n t i n e q u a l i t yo ft h ei n t e g r a le t c t h u s ，o u rn e wd e f i n i t i o no ft h el e b e s g u ei n t e g r a li s u s e f u li ni t sa p p l i c a t i o n t h es e c o n dp a r t ：w es h a l ld i s c u s st h ea u m a n nt y p el e b e s g u ei n t e g r a lo fa c o m p a c ts e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hr e s p e c tt ot i m ev a r i a b l et f o rt h e i i i 北京工业大学理学博士学位论文 a u m a n nt y p el e b e s g u ei n t e g r a lo fas e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s st a k i n gv a l u e si n t h ec o m p a c ts u b s e t so fd - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e 弘w es h a l ls h o wt h a tt h e r e i sa na l m o s te v e r y w h e r ep r o b l e mi nt h ef o r m e rs t u d yo ft h ed e f i n i t i o no fa u m a n n t y p el e b e s g u ei n t e g r a l a n dw es h a l lg i v eas o l u t i o nt ot h ep r o b l e m ：a s s u m et h a t t h e 盯f i e l do fp r o b a b i l i t ys p a c ei sm e a s u r e - s e p a r a b l e t h e nw es h a l lp r o v et h a t t h ea u m a n nt y p el e b e s g u ei n t e g r a lo fac o m p a c ts e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s si s m e a s u r a b l e t h u s ，t h ea u m a n nt y p ei n t e g r a li sas e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s w es h a l ld i s c u s st h es e l e c t i o no ft h ea u m a n nt y p el e b e s g u ei n t e g r a l f u r t h e r m o r e ， w es h a l lg i v ear e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo ft h ea u m a n nt y p el e b e s g u ei n t e g r a la n d p r o v ea l l _ i m p o r t a n ti n e q u a l i t yw h i c hi su s e f u lf o rs e t v a l u e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h et h i r dp a r t ：t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo fi t 5t y p es e t v a l u e d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w es h a l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f as o l u t i o nt oi t 5t y p ec l o s e do rc o m p a c ts e t - v a l u e ds t o c h a s t i ce q u a t i o n f i r s t l y , b a s e do nt h ew o r ko fl e b e s g u ei n t e g r a lg i v e nb yd e c o m p o s a b l ec l o s u r ea n di t s p r o p e r t i e s ，w es h a l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas o l u t i o nt oi t 5t y p e c l o s e ds e t v a l u e ds t o c h a s t i ce q u a t i o na n dp r o v et h a tt h es o l u t i o ni sc o n t i n u o u si na c e r t a i ns e n s e s e c o n d l y , w es h a l lg i v ea n o t h e rw a yt os o l v et h ea l m o s te v e r y w h e r e p r o b l e mi nt h ed e f i n i t i o no fa u m a n nt y p ec o m p a c ts e t - v a l u e dl e b e s g u ei n t e g r a l t h u s ，w es h a l lr e v i s et h ef o r m e rd e f i n i t i o no fa u m a n nt y p ec o m p a c ts e t v a l u e d l e b e s g u ei n t e g r a la n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h ei n t e g r a l f u r t h e r m o r e ，w e s h a l lg i v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas t r o n gs o l u t i o nt oi t 6t y p ec o m p a c t s e t v a l u e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i n 【1 2 0 ，h ue t a 1 u s e dh u k u h a r a i v a b s t r a c t d i f f e r e n c et od e f i n et h ed i f f e r e n t i a b i l i t ya n dt od i s c u s st h ei t 5t y p ef u z z ys t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b u ts i n c ei ti sw e l l k n o w nt h a tt h es p a c eo fa l lc l o s e ds u b s e t s o fe v e nr ( t h es p a c eo fa l lr e a ln u m b e r s ) i sn o tl i n e a rw i t hr e s p e c tt ot h ea d d i t i o n a n ds c a l a rm u l t i p l i c a t i o n ，i tl e a d st oab i gp r o b l e m ：u n d e rw h a tc o n d i t i o n sd o e s t h eh u k u h a r ad i f f e r e n c ee x i s t ? i ti sad i f f i c u l tp r o b l e mt os o l v es ot h a tt h e ys i m p l y a s s u m et h a tt h eh u k u h a r ad i f f e r e n c eo fas t o c h a s t i cp r o c e s sa ta n yt w od i f f e r e n t t i m e sa l w a y se x i s t s i nt h i sp a p e r ，w es h a l lu s es e l e c t i o n so fas e t - v a l u e ds t o c h a s t i c p r o c e s sa n di t sl e b e s g u ei n t e g r a lt op r o v ea ni m p o r t a n ti n e q u a l i t ys ot h a tw es h a l l p r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas o l u t i o nt os e t v a l u e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f i n a l l y ，w es h a l lg i v et h ed e f i n i t i o n o fas t o c h a s t i ci n t e g r a lo fab o u n d e d p r e d i c t a b l ep r o c e s sw i t hr e s p e c tt oas e t v a l u e ds q u a r ei n t e g r a b l em a r t i n g a l e ，a n d w es h a l lg i v ear e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo ft h es t o c h a s t i ci n t e g r a la n dp r o v et h a t t h es t o c h a s t i ci n t e g r a li sas e t - v a l u e ds u b m a r t i n g a l e k e y w o r d s ：s e t - v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s ；s e t v a l u e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a ，- t i o n ；s e l e c t i o n ；s e t v a l u e dl e b e s g u ei n t e g r a l 一v 一 北京工业大学理学博士学位论文 n r i r a 芏 b ( e ) k ( r d ) k k ( r d ) k 。( 础) k 七c ( ) k ( x ) k 七( 笺) k 。( 芏) k k 。( 芏) 如( a ，b ) s ( ，4 ) f ( r ) e 符号表 自然数集合 实数集合 表示闭区间【o ，卅 出维欧式空间 可分的b a n a c h 空间 度量空间e 的波列尔盯域 础空间的非空闭子集构成的空间 砰空间的非空紧子集构成的空间 r d 空间的非空闭凸子集构成的空间 r d 空间的非空紧凸子集构成的空间 芏空间的非空闭子集构成的空间 芏空间的非空紧子集构成的空间 笺空间的非空闭凸子集构成的空间 芏空间的非空紧凸子集构成的空间 集合a ，b 的h a u s d o r f f 距离 集合4 的支撑函数 模糊数全体 h u k u h a r a 差 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：当i 竺垒盟日期：丝12 皇：互圣 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第1 章绪论 第1 章绪论 本论文研究集值随机过程关于时间变量t 的l e b e s g u e 积分和i t 6 型集值随机 微分方程首先，给出在集值随机过程取d - 维欧式空间的闭子集时，集值随 机过程的l e b e s g u e 积分的新定义，其积分结果是一个集值随机过程，并给出 表示定理、积分的可加性、有界性、重要不等式等性质然后，就以往研究 中紧集值a u m a n n 型l e b e s g u e 积分定义中存在的几乎处处问题，提出假设概率 空间的盯域关于测度可分的解决方案证明a u m a n n 型紧集值l e b e s g u e 积分的可 测性、表示定理及重要不等式其次，就积分定义中的几乎处处问题，给出 另一种解决方案从而修正了先前紧集值a u m a n n 型l e b e s g u e 积分的定义并讨论 该积分的性质进一步，用逐次逼近的思想，分别证明闭集值l e b e s g u e 积分 和a u m a n n 型紧集值l e b e s g u e 积分所对应的i t 6 型集值随机微分方程解的存在唯 一性最后，讨论有界可料过程关于集值平方可积鞅的随机积分 在介绍本文的思想、方法之前，首先介绍一下集值映射、集值l e b e s g u e 积 分、集值随机微分方程的研究背景和发展 1 1 集值映射与集值随机变量 集值映射是指取值空间为d - 维欧式空间或可分b a n a c h 空间的子集所构 成的空间的映射二十世纪中叶，以a u m a n n 、v i n d 、a r r o w 和d e b r e u 等为代 表的一大批经济学家，研究个人动因对经济分配的影响和群体动因对经 济分配的影响，引入了集值函数，参见文献 2 ，【8 ，【8 4 】，【n 2 而集值函 数的积分与统计问题相关，参见文献 6 6 ， 1 0 6 k e n d a l l 5 1 ) 和m a t h e r o n 8 3 在r o b b i n s 1 0 7 1 0 8 $ 1 c h o q u e t 2 0 工作的基础上，系统地引入了集值随机 变量的记号集值随机变量的理论是一般随机变量或随机向量理论的拓 一1 一 北京工业大学理学博士学位论文 展近几十年来，人们对集值随机变量的深入研究，得到了许多精彩的结 果例如：a r t s t e i n _ ；f d v i t a l e 【3 】，k 1 e m e n te 1 6 4 】讨论了集值随机变量的大数定 律，g i n e ，h a h n 和z i n n 【3 5 】，p r o s k e 和p u r i 【4 6 】讨论了集值随机变量的中心极限 定理，h i a i 和u m e g a k i 4 1 ，h e s s 3 7 ，p a p a g e o r g i o u 9 5 ，l i 和o g u r a 【7 5 】【7 6 】【7 7 】证 明了鞅的收敛定理西安交通大学的张文修教授在集值随机过程的表示定理方 面，华东师大的汪荣明教授在集值平稳性方面，东华大学的胡良剑教授在模糊 集值随机微分方程方面的研究中得到了精彩的结果 下面介绍一下集值随机变量与集值随机过程的基础知识，参见文 献i t s 驯1 1 9 在本论文中，设冗是实数集，i = 【0 ，t 】，n 是自然数集，芏是可分 的b a n a c h 空间，其范数为”i i 芏。f 是芰的对偶空间，其范数为i i 1 i p ，r d 是出维 欧式空间，其范数为l i 1 i ，b ( e ) 是空间e 的波列尔域，a 是，_ h 的l e b e s g u e 测 度( q ，a ，p ) 是一个完备的无原子的概率空间，盯- 域流 a t ：t ，) 满足通常条件 ( 即完备、非降、右连续) 称a xb ( i ) = a a xb ：a a ，b 召( ，) 】 为n x i _ j ： 的乘积盯- 代数称( uxi ，a b ( j ) px 入) 为乘积可测空间任给acq xi ，a 在q 上的投影定义作 p r n ( a ) = u q ：存在t i ，使得( u ，t ) a ) 设k ( 芏) 表示芏空间的所有非空闭子集的全体，k 。( 笺) ( 分别 地，k 七( 芏) ，k 七。( 笺) ) 表示笺空间的所有非空闭凸( 分别地，紧，紧凸) 子 集的全体 对于任意z 笺，任意芏空间的非空子集a ，定义z 到4 的距离 d ( z ，4 ) 2 ，i , 1 fi i z 一可l i 王 k ( 笺) 上的h a u s d o r 距离定义如下：对于a ，b k ( x ) ， d 日( a ，b ) = m a x s u pd ( a ，b ) ，s u pd ( b ，a ) ) a e ab 日 一2 一 第1 章绪论 当a ，b 取无界的集合时，a ，b 的h a u s d o 艇离可能取无限然而，由【7 8 】中 完备可分的空间k 南( 芏) ，k k 。( 笺) 为该空间的闭子集对于b k ( 芏) ，定 义| | s i l k = 妇( o ) ，b ) = s u p 口bl l a l 芏 a + b = o + b ：a a ，b b - ， 定义1 1 1 设ac 戈，称由下式定义的广义实函数s ( ，a ) ：芏_ 旯为a 的支 出卅= 警p 篙 其中，盂= 一。，+ 。】 由定义可知，支撑函数有如下性质： ( 1 ) 5 ( z + ，a ) = s ( z ，c l a ) ， acx ，其中，c 1 是集合4 在芏中的闭包； 定理1 1 3 对于任意a ，b k 。( 笺) ，有 s u p d ( a ，b ) = s u p s ( x ，a ) 一s ( z ，b ) ：z s ， 口a 其中，s = z 芏：i i z i l 芏= l 系1 1 4 对任意a ，b k 。( 笺) ， 妇( a ，b ) = m a x s u pd ( a ，b ) ，s u pd ( 6 ，a ) ) 口ab b 一3 一 北京工业大学理学博士学位论文 = s u p l s ( z + ，a ) 一s ( x ，b ) i ：z s + ) 定理1 1 5 对于芏的非空子集a ，b ，gd ，有 妇( aob ，cod ) = 妇( a + b ，c + d ) d h ( a ，c ) + d h ( b ，d ) 下面给出集值映射的可测性及集值随机变量的定义 定义1 1 6 称集值映射f ：q _ k ( 笺) 为强可测的，若任给c k ( 芏) 有 f 一1 ( c ) = ( u q ：f ( u ) nc o ) a 称集值映射f ：q _ k ( 芏) 为可测的，若任给开集g 有 f 一1 ( g ) = ( u q ：，( u ) ng d ) a 可测的集值映射称为集值随机变量或随机集 定理1 1 7 令( q ，么) 是一个可测空间，芏是可分的度量空间令f ：q _ k ( 芏) 是一集值映射如果 ( i ) 对任给波列尔集bc 笺，f 一1 ( b ) a ； ( i i ) 对任给闭集cc 芏，f 一1 ( c ) a ： ( i i i ) 对任给开集0c 芏，f 一1 ( 0 ) 4 ； ( i v ) 对任意。戈，u d ( x ，f ( u ) ) 是可测函数； ( v ) g ( f ) 是a 召( 芏) 一可测的，其中b ( 笺) 是：瑚b o r e l a 域， 则下述结论成立： ( 1 ) ( i ) 号( i i ) 号( i i i ) 兮( i v ) 令( v ) ： ( 2 ) 如果芏是完备的，4 关于某个盯一有限测度完备，则上述所有的条件 ( i ) ( v ) 等价 定义l 1 8 芏一值函数，：q _ 支称为集值映射f ：q _ k ( 笺) 的选择，如果对 一4 一 第l 章绪论 所有的u q ，( u ) f ( u ) 函数门尔作f 的几乎处处的选择，如果对几乎处处 的叫q ，( u ) f ( u ) 关于可测选择的存在性，我们有下面的定理 定理1 1 9 设( q ，a ) 是可测空间，笺是可分i 拘b a n a c h 空间，f ：q _ k ( 笺) 是 一个集值随机变量，则f 存在可测选择 进一步，有下面的定理 定理1 1 1 0 设( q ，4 ) 是可测空间，芏是可分的b a n a c h 空间，f ：q _ k ( 芏) 是 集值映射，则下列条件等价： ( i ) f 是一个集值随机变量： ( i i ) 存在f 的一列可测选择 厶：n 1 ) 使得 f ( u ) = c 1 ( 厶( u ) ：几1 ) ， 讪q 系1 1 1 1 设( q ，4 ) 是可测空间，笺是可分的b a n a c h 空间，日，足是集值随机 变量，则妇( 目) ，易( u ) ) ，d ( x ，f ( u ) ) ( z 笺) 和s ( z ，f ) ) ( z 芏) 都是可测 的实值随机变量 定义1 1 1 2 对于集值随机变量f ，f 的p 次可积选择空间定义为 睇= ，妒m ；芏】：，( u ) f ( u ) o e ( p ) ) ， 其中，l p f l ；矧是满足- 1 1 f l l p = 【e ( 1 l f l l 圣) 1 p 0 ， 存在q 的一个可测划分 a 1 ，a 2 ，a n ，使得 n l i ，一厶。矶 e t = 1 定理1 1 1 5 设日，b 是可测的集值随机变量，1 p o 。，跣和非空则 躁。而= e l ( 躁+ 嘎) ， 其中，闭包是在口 q ；矧中取的 定理1 1 1 6 设r 是p q 芏 空间的非空闭子集则存在f m 【q ；k ( 笺) 使 得r = 砰的充分必要条件是r 关于4 是可分解的进一步，r 有界当且仅当f 是可 积有界的，r 是凸的当且仅当f 是凸的 定理1 1 1 7 设f m q ；k ( 芏) 】，咖：qx 笺_ 夏= 【一，+ o o 满足：对于固 定的u q ，妒( u ，) 关于z 连续，对于固定的z 芏，( u ，) 关于u 可测如果存 在 昂使得矗 ，o ) ) 舡 一，则有 s u p 咖( u ，( u ) ) d p = s u p ( u ，z ) d p ，s 暑，n，n 王f ( u ) 集值随机变量f 的期望定义如下： e l f _ 【e 小f 岛) 我们称它为a u m a n n 积分，因其为a 啪a n n 于1 9 6 5 年在文章i s 中提出的集值随 机变量f ：q k ( 芏) 称为可积的，如果品是非空的集值随机变量f 称为可积 有界的，如果 i i f ( - ) i i k 礼( 。芏) ； 一9 一 北京工业大学理学博士学位论文 ( 4 ) h ( x ，e ( u ) ) = s u p l l x 一箩f l 芏：y r ( u ) ) ( z 芏) ； ( 5 ) s ( x ，e ( u ) ) = s u p ：z r ( u ) ( z 芏) ， 均为实值随机过程若 r ：， 是适应的集值随机过程，则以上过程也是适应 的实值随机过程若( r ：，) 是可积有界的集值随机过程，则以上过程均为可 积的实值随机过程 定义1 1 2 9 设_ e ：t ) 为集值随机过程，若对于任意n 1 ，蠡i ，气+ a i ( i n ) ，a 0 ，及芏中的开集g i ( i n ) ，有 p u ：e t + a ( u ) ng t o ( i n ) 】= p 定理1 1 3 5 设f = | e ，a t ：t ) c 三1 【q ，k 。( 芏) 是集值鞅，则存在一善值 鞅序列 矿：i 1 ) cm s ( f ) ，使得对于任意t i ， r ( u ) = c 1 矗( u ) ：i 1 ) ，a e ( p ) 1 2 集值随机积分发展简介及存在的问题 众所周知，经典的随机微分方程已经广泛地应用到了优化控制，数理 金融等领域在实际中，由于系统的复杂性，系统通常不是由系统的状态 唯一决定的对这类系统的研究使得人们用微分包含圣( z ) f ( t ，z ( t ) ) 来替换 微分方程( 亡) = f ( t ，z ( t ) ) ，其中f 是一个集值函数这种情形出现在人们对 宏观系统的演化的研究中，例如经济，社会和生物科学另一方面，在现实 世界中我们必须考虑有随机波动的系统这时，一些随机优化控制问题能够 由随机微分包含来描述事实上，假设f = ( ( z ，p ) ) t j ：( z ，p ) r dxu ) ， g = ( 夕t ( z ，p ) ) t ，：( z ，p ) r dxu ) 是d 一维可测适应的随机过程，其中参 数z r d ，p u ，u 是一个固定的集合，是时间集合，例如，= 【0 ，卅或 者，= 【0 ，o o ) ，那么控制方程为 兢= 专+ z 。上( z 。，) d s + 0 0 t 9 8 ( z ，) d 玩，对任意t ，口e ( 1 - 2 ) 北京工业大学理学博士学位论文 其中b = ( b ) 划为布朗运动随机过程( ( 饥) t j ，( 仇) t j ) 称作一个策略或者控 制，取值为u 如果c ，“，1 夕分别为给定的限制集合和策略集合，我们应当找 到( z u ，v ，u ， ) 使得铲一= ( x t ) t ，为( 1 1 ) 的解，并且( 矿，v ，u ， ) c “v 如果 对于任意固定的t i ，z r a ，令只( z ) = ( z ，u t ) ：让纠) ；g t ( z ) = 9 tz ，仇) ： y ) ，那么寻求( 1 - 2 ) 的解集变为确定- f y o 集值随机微分包含的解集： d z t e ( z ) d + g t ( z , ) a b t ， 2 7 0 = ， ( 1 3 ) 或者随机积分形式 z t z 。c 1 ( 2b ( z r ) d t + g r ( z 下) d 研) ，s , t ei ( 1 - 3 ) 随机优化控制的目的是为了最小化给定函数c ：c “y 只的期望值，其 中，c 表示给定控制策略损失或者误差的价值百( u ，u ) = e c ( z u ，v ，缸，u ) 称为控制 的价值 在经济领域中，b l a c k 和s c h o l e s 用几何布朗运动来描述股票的价格，并且 于1 9 7 3 年发现了著名的用以给欧式期权定价的b l a c k s c h o l e s 公式设股票价格8 t 在时刻满足 d s t = s , ( u d t + v d b t ) 其中，s o o ，u ，u 是常数，乱是股票漂移率，u 是股票波动率，鼠是布朗运 动然而，在实际生活中，人们通常预测股票漂移率落在某个区间之内，例 如阻1 ，u 2 ，u 1 u 2 ，而不是某个确切的数值股票波动率也是落在某个区间之 内这样，我们就得到了如下的集值随机微分包含： d s t 吼( 阢d t + v t d b t ) ，( 1 4 ) 其中，阢，是取值为r 的子集的集值随机过程这样，8 t 阢，s t 也是集值随机 过程怎样得到欧式期权价格的计算公式? 要解决这个问题，就要用到集值随机 积分( 1 4 ) 的随机积分形式为： s t l s t 2 c ，( 卜u , d r 怕诎) ，( 1 - 5 ) 第1 章绪论 ( 1 - 3 ) 分为两部分：一部分为r ( 现) 出，与集值随机过程关于时间t 的l e b e s g u e 积分有关，即j ： e ( z 。) d s 另一部分g t ( x t ) d b t ，与集值随机过程关于布朗运 动b 的i t o 积分有关( 1 4 ) 分为两部分：一部分为8 。u t d t ，与集值随机过程关于 时间t 的l e b e s g u e 积分有关，另一部分8 。v t d b t ，与集值随机过程关于布朗运 动b t 的i t o 积分有关怎样合理的定义这两个积分? 它们有什么性质? 是我们要研 究的问题 在这个领域，有许多好的工作a h m e d 在文献【1 中引入了集值微分包含， 其( 1 3 ) 的第二项是g 是个实值函数k i s i e l e w i c z 在文献【5 4 】- 【5 9 中讨论了集值随 机积分和一般的随机微分包含( 1 3 ) 的解的问题a u b i n 和p r a t o 在文献【7 中获得 了随机微分包含的可行性定理m o t y l 在文献 8 6 中讨论了随机微分包含的稳定性 问题波兰数学家给这个领域的工作作了综述，见文献 6 1 6 2 有一些文章讨论集值随机过程的随机积分k i m 5 2 用k i s i e l e w i c z 【5 5 】给出的 集值随机过程的随机积分的定义，讨论了它的性质我们把它称作a u m a n n 型积 分，因为其思想来源于集值函数的a u m a n n 积分( 见文献 8 】) j u n g 和k i m 在文 献 4 8 中给出了一个新的定义，其基本空间为兄，取固定的t l i 和r e n 在文献 8 0 中给出了一个新的定义，把集值随机过程看作一个整体，并讨论了积分的性质 关于集值l e b e s g u e 积分有许多好的工作a u m a n n 8 1 在融c h t e r 1 0 6 】和k u d o l 6 6 1 工 作的基础上，引入了集值函数的l e b e s g u e 积分，讨论了它的性质k i s i e l e w i c z 在 文献 5 4 】中引入了集值随机过程的a u m a n n 型l e b e s g u e 积分 但值得注意的是k i s i e l e w i c z 的定义存在着两个问题：( 1 ) 并不是对于任意 的u q