（概率论与数理统计专业论文）马链的不可约性、周期性及与拓扑相关性质.pdf

，l 一t a ： j i r r e d u c i b i l i t y 、p e r i o d i c i t ya n dt o p o l o g yr e l a t e dp r o p e r t i e so f m a r k o vc h a i n s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l i ud a n s u p e r v i s o r ：p r o f z h a n gs h a o y i h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a - o _ _ _ _ 一一 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的e p , 届j j 本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允 许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 参j 野日期：加。年岁月7 日 指导教师签名：芗女阢日期：撕。年 月，。日 l 中文摘要 摘要 马链的不可约性和周期分解定理是马链理论的最基本内容。本文第一章讨论一般状 态空间马链的不可约性，最大不可约测度的存在性和周期分解定理。第二章讨论了状态 空i a j 为拓扑空间上的马链的f e l l e r 性、强f e l l e r 性及紧集和细集之i 丑j 的关系。第三章以 ( r ，召( 尺) ) 上的随机游动为例，讨论随机游动的f e l l e r 性、强f e l l e r 性和不可约性的条 件。 关键词：马链；不可约；周期性；f e l l e r 性；随机游动 湖北人学硕十学位论文 a b s t r a c t i r r e d u c i b i l i t ya n dc y c l ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fm a r k o vc h a i n si st h em o s tb a s i c t h e o r yo fm a r k o vc h a i n s t h i sf i r s tc h a p t e rd i s c u s s e si r r e d u c i b i l i t y , m a x i m u mi r r e d u c i b l e m e a s u r eo fe x i s t e n c ea n dc y c l ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fm a r k o vc h a i n so ng e n e r a l l ys t a t e s p a c e t h es e c o n dc h a p t e rd i s c u s s e sf e l l e rp r o p e r t i e s 、s t r o n gf e l l e rp r o p e r t i e so fm a r k o v c h a i n s ，w h i c ht h es t a t es p a c ei st o p o l o g i c a ls p a c e ，a n dr e l a t i o n sb e t w e e nt i g h ts e t sp e t i t es e t s t h et h i r dc h a p t e ra sr a n d o mw a l k so n ( r ，侈( 尺) ) a l le x a m p l e ，t od i s c u s st h ef e l l e r 目录 目录 摘要i a b s t r a c t ( 英文摘要) i i 综i a i 1 第一章一般状态马链的不可约性及周期分解2 1 1 不可约马链的基本概念2 1 2 最大不可约测度的存在性4 1 3 不可约马链的周期分解8 第二章拓扑空i 、日j 上不可约马链1 6 2 1 拓扑空间上的f e l l e r 链和t 链1 6 2 2f e l l e r 链的不可约性l7 2 3 紧集和强f e l l e r 链的细集1 9 第三章( r ，召( 尺) ) 上随机游动的性质2 0 3 1 随机游动f e l l e r 性2 0 3 2 随机游动的强f e l l e r 性2 0 3 3 随机游动的不可约性2 3 参考文献2 5 致谢2 7 综述 综述 马链的不可约性、非周期性、常返性、不变测度的存在性、唯一性、极限分布等性 质是马链理论的基本内容。而马链的不可约性和周期分解是马链理论最基本的内容。例 如：不可约常返马链存在唯一的不变测度；不可约正常返马链存在唯一的平稳分布。而 不可约周期汇常返马链可以通过周期分解化为非周期马链的情形来讨论极限分布。 当马链的状态空间是离散状态空间时，马链的不可约性和周期分解定理相对于一般 状态空间马链来说是简单的，国内很多文献都有介绍。一方面，当状态空间为一般状态 时，定义离散状态空间马链的不可约性和周期分解的方法不再适用；另一方面，在应用 上，不管是m c m c 方法，还是时间序列分析都需要以一般状态空间马链理论为基础， 而目f j 国内这方面的参考文献很少。本文在阅读专著【1 的基础上，由于专著【l 】对一般 状念空间马链的矽不可约、最大不可约测度、小集、马链的周期等概念做系统的介绍 中，对于最大不可约测度的存在性的证明是不正确的，本文给出了一个j 下确的证明。此 外，专著( 1 在证明y 不可约马链的周期分解时表述十分简洁，初学者很难读懂，本文 补充了一些细节证明。上述内容构成本文的第一章。 一方面，对于一般状态马链的不可约性需要附加一个参考测度y 。而对不可约 马链，要定义它的周期时，需要小集的概念。一般柬说，要判断一个集合是否为小集是 很困难的。 另一方面，在应用中，我们主要讨论马链的状态空问是拓扑空间。当拓扑空间上马 链满足某些连续性质( f e l l e r 性和强f e l l e r 性) 时，小集的概念与紧集的概念紧密相关。 本文的第二章介绍了f e l l e r 链、强f e l l e r 链开集可达性、开集不可约性及丌集与紧集之 间的关系。这些结论对判断一个集合是否为小集，有时是容易的。此外，对有些强f e l l e r 马链判断其不可约性时，有时不需借助参考测度，这些结论更方便我们将马链理论使用 到实际的应用中去。 本文的第三章讨论了状态空间为( r ，3 ( r ) ) 上的特殊马链随机游动的f e l l e r 性，强f e l l e r 性及不可约的条件，并给出了详细的证明。这些结果一方面本身在实际问 题中非常有用；另一方面，为研究r ”，层( r ”) ) 上的马链提供了一个可以借鉴的方法。 湖北人学硕+ 学位沦文 第一章一般状态马链的不可约性及周期分解 1 1 不可约马链的基本概念 设( q ，尸) 是一个可测空间，( x ，召( x ) ) 是一个可分可测空间，即b ( x ) 是由x 的可 数个子集生成的盯代数，z + = o 、1 、2 、3 ) 表示非负j 下整数，对任意的刀z + ，中。是 ( q ，厂) 到( x ，召( x ) ) 上的可测映射。= o 、0 。、2 是可测映射序列。 p ( ) 是x 尸上的转移概率测度，即它满足： ( i ) 任意的x x ，p ( ) 是丁上的概率测度。 ( i i ) 任意的人厂，p ( 人) 是召) 可测函数，如果四元组( q ，厂，只，x x ，) 满 足下面条件： ( i ) 只( o 鼍) = 1 v x x ( i i ) 马氏性：只( 。+ 。ai 砰) = 只( 。+ 。al 。) 口s 其中v x x ，彳召( x ) ，刀0 ，所1 ，砰= 盯( o 、i 、2 、。) ( i i i ) 时齐性：5 ( e 。+ 。ai 。) = 昂。( 。彳) 口j 其中勺x ，a b ( x ) ，刀0 ，珂1 。 则称( q ，f ，e ，x x ，) 为定义在q 上取值于x 上的( 时齐) 马氏链，简称为( 时齐) 马氏链。集合q 称为样本空间，集合x 称为状态空间。 因为我们只研究时齐马氏链，因此常常称时齐马氏链为马链。 由于( x ，8 ( x ) ) 是可分的可测空间，那么存在( x ，b ( x ) ) 上的概率核 p = p ( x ，a ) iz x ，a 召( x ) ) 使得 p l ai o = x ) = p ( x ，a ) v x z ，彳召( x ) 称p 为马链的一步转移概率对自然数门1 用p ”表示概率核p 的疗次，那么由马氏性 和时齐性，立刻可知： 第章一般状态马链的不可约性及周j i j 分解 p 。al o = x ) = 尸”( x ，爿)v x x ，a 1 3 ( x ) 称为马链的胛步转移概率，自然胛步转移概率由一步转移概率来决定。 更一般的由马氏性，时齐性可得到下面的c k 方程： 尸 。+ 。彳i 中。= 石 = lp ( 。方i 。2x ) 尸 。+ 。么i 。= j ，) 或记作 尸”( x ，彳) 2j ( 尸脚( x ，c t y ) p ”( 少，彳) 反之，若给定( x ，召( x ) ) 上的概率核尸，由马氏链的存在性定理，则存在马氏链 ( q ，厂，只，x x ，) 使得 尸 l ai o = x = p ( x ，a )v x x ，a b ( x ) 正是由于此定理，我们常称概率核p 为马氏链。 马氏链的不可约性和周期性是马氏链理论最基本的内容。因为马氏链很多其他基本 性质都是以它为基础的。例如，为了研究马氏链的极限分布，我们首先要研究不可约非 周期马氏链的极限行为，而不可约周期马链的极限行为，可通过研究该马链的某个d 一 骨架的极限行为来实现。其中d 是马氏链的周期。这样通过周期分解，可以把周期马链 的极限行为化为非周期马链来处理。当马链的的状态空间x 是可数状态空间时，马链 的不可约性和周期性是很容易定义的。 不可约：对任意的x ，yex ，存在自然数刀，使得( 工， y ) 0 ，此时称马链尸是 不可约的。 对于x x ，定义 e = p 1 ，p ”( x ，) o ) ， e 是一个数集，e 的最大公约数以称为状态x 的周期。可证明，当马链p 是不可 e 勺- b 链时，任意的x ，y x 都有以= d ，：= d ，称d 为不可约马链的周期。 当状态空问不是可数状态空问时，马氏链的不可约性和周期性就要复杂得多。本文 的目的首先是要介绍一般状态空间马链的不可约性和周期分解的理论。并对一些具体的 马氏链的不可约性和周期性进行一些较深入的研究。例如，状念空间x 为玎维欧式空间 时，对一些开集不可约f e l l e r 马链的周期分解进行了研究。 湖北人学硕十学位论文 1 2 最大不可约测度的存在性 定义1 ：设p 是取之于x 上的马氏链，伊是( x ，召( x ) ) 上的盯有限测度。如果任意 的xe x ，a 召( x ) ，j i 弘a ) 0 则存在自然数，? = 刀( x ，4 ) ，使得p ( x ，彳) 0 ，则称马 链尸是矽一不可约的。 设是一盯有限测度，则存在概率测度妒，使得与妒互为绝对连续。 事实上，由于是一盯- 有限测度，一定存在两两互不相交的可测序列 a 。 ，且 u 以= z ，和0 0 。 定义3 ：马链称为是少- 不可约的，若存在召( x ) 上的测度伊，称为是缈不可约 的，且测度沙是一个最大不可约测度，即 1 )是y - 不可约的； 2 ) 对其它任意测度缈，是缈一不可约的，当且仅当沙 _ 缈。 定理4 ：设马链是妒一不可约的，则在，b ( x ) ) 上存在一个概率测度沙使得 ( i ) 是沙一不可约的； ( i i ) 对于任何其它概率测度缈，是缈。一不可约的充分必要条件是缈关于缈是绝对 4 第一章一般状态马链的不可约性及周期分解 连续的。 专著 1 】中第8 8 页的命题4 2 2 ( 即本文的定理4 ) 的证明是不正确的。下面给出一 个正确的证明。 定理4 的证明： 由以上所述，对任何非平凡的伊有限测度，可以到找到一个概率测度与之互为绝 对连续。 由此，不失一般性，我们可假设，缈( x ) = l 。 记： 州) 2 酽x , a ) 2 “ x 讯肛8 令： ( 爿) = f r 妒( 咖气( y ，彳) ， aeb ( x ) 。 ( ) - l e ( d y ) r o i , ( y ，x ) = l 伊c 方，薹( 吉) 肿p ”c y ，x ， = 剿肘。l 舯x ) = 砉0 ( 丢) ”。l 缈c 咖，尸”c 弘x ，h = 二 = 鲥”1 胁咖， = 剿0 肿1 = ，打= 二 下面证明以上所构造的测度满足( i ) 、( i i ) 先证( i ) 。即要证明：若沙( 彳) 0 时，则对任意的x x ， p ”( x ，么) o 。 ”= 1 分缈( 彳) o , d 缈( 彳) = o 两种情况证。 ( 1 ) 当妒( 彳) 0 时，由于已假设是缈一不可约的，对任意的x x ，都有 湖北人学硕十学f i ) = 论文 p ”( x ，爿) o 。 打= l 结论成立。 c 2 ，当伊c 4 ，= 。时，记一a ( k ，= y x ：喜尸”c y ，彳， 丢) ，则 刁( 七) 个b = f y x ：p ”( y ，彳) o ( 七一o o ) 、 l ”= i j 由b 的定义易见， 由于 当y 甜时，k a ：i ( 州) = ( 州) = 互11 一( y ) ； 2一一 当y b 时，k 。( 少，彳) 0 缈( 彳) ：= i xq , ( d y ) k o _ ( y ，彳) = 妒( 咖) ( y ，彳) + l 妒( 方) k ( y ，彳) = j ：伊( 咖) ( y ，爿) + l 妒( 方) 吉l ( y ) = 上伊( 咖) ( y ，么) + 专伊( b 。n 彳) 2 上缈( 咖) ( y ，爿) 又由于吵( 彳) 0 ，故p ( b ) 0 。 由测度的连续性知： 缈( j ( 七) ) 个缈( b ) 0( 七一) ， 从而，存在某个k 1 ，使得 缈( 彳( 七) ) 0 。 由于是缈不可约的，故对任意给定的x ，一定存在某个m 1 ，使得 由c k 方程，我们有： p ”( x ，彳( 七) ) 0 。 6 第一章一般状态码链的不可约性及周划分解 而 喜少”( z ，彳) = l p ”( x ，砂) 喜( 乃彳) = 。，( l 砂) 喜p ( 弘彳) + 。) c 尸卅( 五砂) 喜p ( 弘爿) k p ”( l a z ) y e ”( y ，彳) k p ( 珊) 去 = p ”( x ，彳( 七) ) 0 p o ok 尸”( y ，彳) 尸”( x ，彳) o 。 = l盯= l 综合( 1 ) 、( 2 ) 即知( i ) 成立。 通过上面的证明，我们实质上是证明了b = x 。 ( i i ) 之证：分两步证。 ( 1 ) 设妒是异于妒的概率测度，且是妒一不可约的。 往证：伊关于绝对连续。 即要证：若v ( a ) = o ，则妒( a ) = 0 。 等价的，若伊( 彳) o ，则( 彳) o 。 由于是伊。- 不可约的，及缈( 彳) 0 ，则诋x ，都有 疋( x ，彳) 0 。 j 而缈是非平凡测度，及沙的定义： 沙( 彳) ：2l 缈( 砂) ( y ，彳) 0 ( 2 ) 若缈关于绝对连续。要证，是缈。一不可约的。即要证： 若妒( a ) 0 ，则有协a ，都有 k ( x ，彳) 0 。 而矽关于绝对连续，从而 湖北入学硕 ：学侮论文 y ( 爿) 0 ， 而是 f ，一不可约测度，所以v x x ，都有 心。( x ，i ) 0 。 j ( i i ) 获证。 定理1 中所得到的概率测度l f ，称为马链的最大不可约测度。从定理1 中，我们 可以看到最大不可约测度虽然不是唯一的，但任何两个最大不可约测度是互为绝对连续 的，因此，它们在n x ) 上有共同的零集。于是我们可以定义不可约马链的正集： 召+ ( x ) ：= 彳召( x ) ，沙( 彳) o ) 1 由上述讨论正集b + ( x ) 与最大不可约测度的选取是无关的。 1 3 不可约马链的周期分解 为了研究沙不可约马链的周期性，需要小集( s m a l ls e t ) 的概念，特别是所谓的正 小集的概念，当然小集的概念在马氏链理论中有更广泛的应用。 定义5 ：设p 是( x ，t 3 ( x ) ) 上的马链，c n x ) 。如果存在自然数朋和b ( x ) 上的 概率测度和正常数瓯使得 尸”( z ，b ) 瓯厶( x ) ( b )v b 1 3 ( x ) 则称集合c 是( ) 小集。 对于任何马链，小集总是存在的。例如，取c = 工 是单点集，则c 一定是小集。 但是最重要的问题是：对于不可约马链来说，是否存在正小集，即：既要要求集合c 是小集，同时也要求它是币集，往往单点集虽然是小集，但它不是正集。现在我们有下 面的基本的正小集存在定理。 定理6 ：设是一个沙一不可约马链，则一定存在( ) j 下小集c b ( x ) ，且 ( c ) 0 证明：专著【1 】中第1 0 7 页定理5 2 1 和第1 0 9 页定理5 2 2 。 第一章一般状态马链的不可约性及周期分解 定义7 ：设集合c 是一个一小集，且( c ) 0 ，将去掉下标简记作l ，则有 尸m ( x ，) v m ( )v x c 且y ( c ) 0 令 巨= 甩1 ，c 是- d 、集，屹= 瓯y 易证，e ( 对加法封闭。 事实上，若b t 3 ( x ) ，脚，r t 露，则v x c ，有 p r o + , ( x ，b ) 互( x , d y ) p ”( y ，b ) 上尸”( x ，咖n ( b ) i 尸用( x ，c ) 瓯y ( b ) = 【瓯瓯y ( c ) 】y ( b ) 令瓯瓯y ( c ) = 瓯，+ 。 0 ，则有 p ”( x ，b ) 瓯+ 。y ( b ) ，+ 。= 瓦+ 。y ， 则有c 是+ 。一小集。 从而m + 胛巨，。故最对加法封闭。 定义8 ：( i ) 集合a 1 3 ( x ) 称满集，若中称为是y - 不可约的，且( 彳) = 0 ； ( i i ) 集合a 召( x ) 称吸收集，若p ( x ，a ) = 1 ，x a 。 定理9 ：设马链是一不可。约的，则有 ( 1 ) 每个吸收集是满集； ( 2 ) 每个满集包含一个非空的吸收集。 证明：参考专著 1 】中第8 9 页的定理4 2 3 。 定理1 0 ：若中是x 上的y 一不可约马链，c b + ( x ) 是( = y ) 小集，r v ( c ) 0 ， 令毋= 行l ，c 是v d 、集且对某皖 o ，有y ( c ) 0 ，记d 是集合巨的最大公约数，则存 在互不相交的集合d i ，d 2 ，b ，见召( x ) ，( 即d 一循环) ，使得 ( i ) v x b ，p ( x ，p + 1 ) = 1 。f = o 、1 、2 、d 一1 ( r o o d d ) 9 湖北人学硕十学位论文 ( i i ) 集合n = 鱼d 。是- 零测集。 ) 集合n = iud jl 是零测集。 1 月= li d - 循环 p ) 是最大的。 即指任意满足( i ) 、( i i ) 的其它序列 d ，q ，七= 1 、2 d ，有d ld ；若有d = d 。， 则通过重排指标有，d = d f少一口e 。 证明：令巧= y ：喜一( 妒) 。 一叫么、，l = l j 由马链是不可约的，知： x = ud 。 n = 0 o 事实上，由集合c 召+ ( x ) 是y 一小集，知：y ( c ) 0 又是一不可约的，知： 尸”( x ，c ) o ， 那么，一定存在f ，使得 所以x 0 7 ，则有 d l 显然x2 u 巧，故 y 尸肌k c l 0 ， 一 、7， ”= l d i x _ cu 巧。 x = u 研 以上所构造的巧一般不相交，即使有交集，它的交集是一个j ：f ，一零测集。 事实上，假设存在i ，k ，i 七，使得 妙( 巧n 或) o ， 那么，对某个固定的m ，n ，存在一子集彳c 毯nd ；，且( 爿) 0 ，使得 1 0 第一章一般状态弓链的不可约性及周划分解 尸删1 ( w ，c ) 瓯 0 ，w 彳， ( 幸) 尸耐“( w , c ) 瓯 0 ， wea ( 幸幸) 下面证明满足上述条件的集合a 的存在性。 当we 巧n 或时，由0 7 和或的定义知： p d w ，c ) o ，尸甜一w ，c ) o 那么， p 耐叫( w ，c ) 木p ”扣( w ，c ) = p 耐一( w ，c ) e 耐。( w ，c ) 0 又由于( 巧n 磁) o ，则有 l 似沙( 砂) 喜砉尸耐一( w ，c 妒胁( w ，c ) 2 善萎j l f n 珥( 砂) 尸肌( w ，c ) p 胁( w ，c ) o 那么，存在某个m ，n ，使得 l n 历( 砂) 尸村1 ( w ，c ) p 耐“( w ，c ) 0 令 日= w 巧n 磷，p 肌( w ，c ) 专，尸耐j ( w ，c ) 专) ， 则 j l f n ，j ：( 刎尸肌。w ，c ) p 胁。w ，c ) = l 、y ( 咖) p 耐w ，c ) 尸耐一w ，c ) + j l f n d ：一片。y ( 咖) 尸耐w ，c ) p 耐一( 嵋c ) 当n 哼o o 时，有日个也， 此时， l 噼乩沙( 咖) p 小。w ，c ) p 从w ，c ) - o 所以， i ，、( 咖) w ，c ) p 州一w ，c ) 个h 茸( 刎一w ，c ) p w ，c ) 0 湖北人学硕f ：学位论文 故必存在某个n 使得， 令彳= 日，瓯= 瓯= 万i ，则 v ( h ) 0 。 y ( 彳) o ，p 肛( w ，c ) 以 和p 肛( w ，c ) 瓯，w e 么 进一步，由巾是缈- 不可约的，且少( 爿) o ，则对砂x ，有 又因为y ( c ) 0 ， p ”( y ，a ) o 卅= l 互y ( 咖) ；p ”( 儿彳) 2 善i ( y ，彳) o ， i v ( d y ) p ( y ，彳) = 反 0 则对v x c ，b 互c ，由( 幸) ( 幸木) 知： b ) 王p m ( x ，咖) i i j p 7 ( y ，咖) 王尸“止( w ，d z ) p m ( z ，b ) 【瓯瓯】y ( b ) 【2 m + m d + ，】一f e 必有k = i 【2 m + ，竹d + ，卜七疋 ( f 一七) id 。 杪( 研n 磷) = 0 ，( i k ) n = u ，( 巧n 或) ， 不相交的集族，并且我们还知道u 巧) 一 匕疋i e i 。, l 阴- - 址- 集。 1 2 第一章一般状态马链的不可约性及周j i j 分解 由于 缈( u ( d f ) 。) = 妙( n 【b 】。) = y n ( d f un ) = 缈 ( n 口) n r ) = y ( u 口+ ) 。n n ) = 沙 x 。n ) = i f ，( ) = o 由定理9 知，我们一定能找到一个非空的吸收集dc ( 口) ， 令口= d n ( d , ) ，则有： 若x d ，使得 那么一定有 u d , = u e d n ( q + ) = d n u ( p j v ) = d p ( x ，q ) 0 ，= 0 , 1 、2 、d - l ( m o d d ) ， x q - l o 事实上，d 是吸收集，故有： p ( x ，d ) = 1 ， p ( x ，d 。) = 0 ， v x d v x d p x ，( d ；nm 。 = 0 ，坛d f i x , ( 巧n d ) = l ， v x ed 由巧的定义知，当j ，巧nd 时，尸耐一7 ( y , c ) o 疗= l 由c k 方程， p ”d 一一1 x ，c ) = xf p ( x ，d y ) p 耐一7 ( y ，c ) 2 善j l j n 。尸( 珊) 旷b c ) 2 易n o p ( x ，引善旷坳，c ) = 尸( x ，巧nd ) e p 刖一7 ( y ，c ) o 1 3 湖北人学硕十学位论文 所以 所以 那么一定有 因为 又 x d nd 。 ，一i d c ( u d ：_ j v ) ， u ( d 二。) = ( u 磲。) n 。， d r ) n = f 2 j d ：_ f id = ( d ：- ) nd u 【( j vnd ) = ( d _ 。n ) nd = q 一。 x q - 1 0 因此，分解d 0 ，d l ，d 2 ，眈一l 满足( i ) 、( i i ) 。 再证 d f 的极大性和唯一性。 设 ) 是另一d 。- 循环，且= u d 。使得( ) = o 则存在0 k d 一1 ，使得 y ( 或t ic ) 0 。 又因为c 是一个( = ，) 小集，则有， p mx ，或n c ) ( 反n c ) o ( v x c ) 从上式可知： 反n c o 。 若取定x 反f i c ，则 尸m ( x ，反) p m ( x , 4n c ) ( 反n c ) o 。 另一方面，由d o ，q ，易，q 一的定义知：p ( y ，反) 0 ，贝, l jye 反一。 由此可知： 尸”( y ，反) 0 ，( ye 反) 的充分必要条件是：d i 刀。 特别取门= 朋，由( 幸) 式即知：d im 。 同理，对任意的门& ，因为c 是屹小集，可证：d i ，z 于是，d 。ld 。 又有，对w 七，cn4 = o 。 1 4 第一章一般状态马链的不可约性及周划分解 若不然，就会存在某个x cn g ，使得( z ，c n 巧) = o ，这是因为m 是d 。的倍 数。这就与c 是m 小集的性质矛盾。 因此，cc 反，当忌，cn 4 = g 由此可知：当d = d 时，有 d ，= 口：t ，少一a sm o d ( d ) ，i = 0 , 1 、2 、d 一1 此表明去掉一个缈零测集外，分解是唯一的。而当导 1 时，除以零测集外，巧是 口 ， 口) 都是x 上 的丌集，则称函数是下半连续的。 1 6 第二章拓扑宅间：不可约马链 例如：若o 是x 上的开集，则它的示性函数易是下半连续函数。 命题5 ：设尸是( x ，n x ) ) 上的马氏核，则 ( i ) p 是f e l l e r 马链的充要条件是：对x 上的每一个开集o 都有尸( ，d ) 是下半 连续函数。 ( i i ) p 是强f e l l e r 马链的充要条件是：对v b t 3 ( x ) ，p ( ，b ) 是下半连续函数。 证明：参考专著 1 l q b 第1 2 8 页。 记互= 0 ，1 ，2 ， ，表示非负正数； 口= 口( ) ：刀z + 是z + 上的一个分布。( a ( 刀) o ，门z + ，口( ”) = 1 ) 。 汜 瓦( 五彳) = a ( n ) p ”( z ，彳) ( v x x ，彳召( j ) ) ， 则k 。也是( x ，召( x ) ) 上的一个马氏核。 定义6 ：设尸和7 分别是( x ，i s ( x ) ) 上的马氏核核和次马氏核。 ( i ) 如果v b t 3 ( x ) 都有丁( ，b ) 是下半连续的，则称r 是强f e l l e r 的。 ( i i ) 如果存在互上的分布a ，强f e l l e r 次马氏核7 1 使得 鼻，口( x ，a ) t ( x ，a )( v x x ，a i s ( x ) ) ， 且t ( x ，x ) 0 ( v x x ) 则称p 是一个丁链。 命题7 ：每个强f e l l e r 链p 都是7 链。 证明：取口= 磊，匹c 疗，= ? ：三】 ，取丁= 尸，则 故尸是丁链。 毛( x ，a ) p ( x ，a ) t ( x ，a ) ，v x x ，a t 3 ( x ) 2 2f e l l e r 链的不可约性 f ； 一节在讨论马链的不可约性时用到了参考测度，下面定义一种不需要参考测度的 不可约性。 湖北人学硕十学位论文 定义8 ：设p 是( x ，b ( x ) ) 上的马氏核，x x ，如果对x 的一个开邻域o ，都有 p ( y ，d ) o ( 砂x ) n = l 则点x 是可达的。 如果马链p 的每一个点都是丌集可达的，则称马链p 是丌集不可约的。 关于丌集不可约性和沙不可约性有下面一些关系。 命题9 ：如果马链p 是- 不可约的，那么x ( x ) 是可达点的充分必要条件是： x s u p p ( 沙)( 测度沙的支撑) 。 证明：参考专著 1 l o e 第1 3 1 页的引理6 1 4 。 命题9 表明了如下事实：由于s u p p ( ) 是满集，则存在它的子集h ( cs u pp ( v ) ) 是 马链p 的吸收集。如果尸限制在h 上是一个马链，而且还是一个丌集不可约马链( 因 为v x h ，x 都是可达点) 。因此，从某种意义上讲，由马链的不可约性，可推出马链 的丌集不可约性。其实我们更关心的是上述问题的逆问题，即可否由马链的丌集不可约 性推出它是- 不可约的。这样我们就可以不需要参考测度，也能把关于吵- 不可约马链 ( 参考专著【l 】中第1 3 1 页的引理6 1 4 。) 的相关结果应用到丌集不可约马链中来。 命题1 0 ：如果马链p 是强f e l l e r 的，且x 至少包含一个可达点x ，则马链尸是 沙( ) ：= p ( x ，) 不可约的。 证明：参考专著【1 】中第1 3 2 页的引理6 1 5 。 显然由命题立得下面推论。 推论l l ：如果p 是开集不可约强f e l l e r 马链，则p 是不可约马链。 前面命题7 提到：每一个强f e l l e r 马链一定是丁链。但是一般地，其逆命题不成立。 因此，“p 是丁链 是比“丁是p 强f e l l e r 链 更弱的条件。实际上，命题1 0 和推论1l 中的“尸是强f e l l e r 链可以减弱为尸是丁链。 命题1 2 ：如果尸是一个r 链，且x 至少包含一个可达点x ，则马链p 是 沙( ) ：= 尸( x ，) 不可约的。 1 8 第一：章拓扑空间上不可约马链 推论1 3 ：如果p 是一个开集不可约的丁链，则p 足l f ，不可约马链。 命题1 2 的证明可参考专著 1 】中第1 3 3 页。而推论1 3 是命题1 2 的直接推论。 2 3 紧集和强f e l l e r 链的细集 从命题1 2 中可看出，要想不用参考测度验证一个马链是否为不可约的，要验证 p 是否为一个丁链。为此，下面介绍l l d , 集更广泛的概念细集。 定义1 4 ：设尸是( x ，召( x ) ) 上的马链，c b ( x ) ，如果存在z + 上的分布 a = 口( 门) ，疗= z + 和t 3 ( x ) 是的一个非平凡测度v 口使得 玉，口( x ，a ) ，( ( x ，) v o ( x ，彳)v x x ，a 召( x ) 则称c 是( 屹) 细集。 一般来说，要判断一个集合是否为细集不是件容易的事。但是下面命题给出了紧集、 细集、丁链的内在联系。 命题1 5 ：设p 是，召( ) ) 上的马链，则 ( i ) 如果每一个紧集都是细集，则p 是一个丁链。 ( i i ) 如果马链p 是一个缈不可约的7 链，则每一个紧集都是细集。 特别地，如果马链p 是一个开集不可约的丁链，则每一个紧集都是细集。 证明：参考专著【1 】中第1 3 4 页的引理6 2 5 。 由命题7 知：强f e l l e r 链是丁链，那么f e l l e r 链与7 链有什么关系呢? 下面结论给出了它们的关系。 命题1 6 ：如果马链p 是一个沙不可约的f e l l e r 马链，s u p p ( g ) 的内部不空，则p 是一个r 链。 证明：参考专著 1 】中第1 3 6 页。 1 9 湖北人学硕十学位论文 第三章( r ，召( 尺) ) 上随机游动的性质 3 1 随机游动的f e l l e r 性 设 ) 是独立分布序列，若取值于( r ，召( 尺) ) 上的马链，= 。，阳z + ) 可表示为： 中。= 。一l + 刀= 1 , 2 , 3 、 则称是r 上的一个随机游动。我们用f ( x ) = 尸 x 表示心的分布函数。 定理1 ：r 上的随机游动总是f e l l e r 链。 证明：设h 是尺上的任意有界连续函数，设 p ( x ，a ) = p ( 。ai 。= x ) = p ( x + ca ) = 尸( 砂一x ) 是的一步转移函数。 e h ( x ) = 尸( x ，引厅( y ) = h ( y ) f ( d y x ) = i 办( y + x ) ，( 方) 由h 的连续性和有界i 生，再用积分控制收敛定理，即有 l i m p h ( x ) = 一l i m ，h ( y + x ) f ( 砂) = n 骢办( y + x ) f ( 砂) = ：，h ( y + x o ) f ( d y ) = p h ( x o ) 故砌连续 从而( 或p ) 是f e l l e r 链。 3 2 随机游动的强f e l l e r 性 为了研究随机游动的强f e l l e r ，需要下面引理。 引理2 ：设厂( x ) 是r 上的l 可积函数。砂r ，令 ( x ) = ( x y ) ( 协r ) ， 贝1 jy 寸六是r 到_ ( 尺) 上的一致连续映射，即 2 0 第一章上随机游动的性质 v s o ，j 万 o ，只要l j ，。- y i j ，就有 0 l i 一列= ：j 1 厶( x ) 一l 2 ( x ) d y o 和支撑在【一彳，彳】上的连续函数g ，使得 i i ：- g l l s 又g 的支撑在卜彳，爿】上，故g 在月上是一致连续的。 因此存在万( o ，a ) 。 当k 一奶i 万时有 i g ( y i ) - g ( y 2 ) l ( 3 a ) 占 于是，有 工l g ( 工一刀) 一g ( x 一坎) i 出 0 ， i x , - x 2 1 8 时，则有 j f ( y - x i ) - f ( y t ) 陟 o 。( l 是r 上l 测度) 由于是强f e l l e r 的则p ( x ，b ) 关于x 是连续的， 。= x ：尸( x ，b ) 圭尸( 。，b ) = 互1 f ( 砂) = 害 旱零的一个开邻域。 利用富比尼定理和l 的平移不变性，则对w b ( x ) 有， 上( 咖) f ( 出一y ) = ( 咖) l l y ( x ) f ( 出) = 上f ( 出) l 一，( 少) 上( 砂) = 上f ( 出) ( 彳) = l ( 4 ) 由此及0 的定义知： 上( b ) = ( 咖) f ( 出一y ) = 上j 乙( 咖p ( j ，b ) il ( d y ) p ( y ，b ) 萼l ( 咖) = 要( d ) o 讦毕。 ( j f ( d x ) = 1 ) 第二章上随机游动的性质 3 3 随机游动的不可约性 定理4 ：设r 上的随机游动中，的密度函数为厂( ，) ，如果厂( f ) 满足： 存在8 0 ， 0 使得 厂( ，) 万，f 【一，】， 则是一不可约的。其中沙为： ( 彳) = i f 厂( ，p v a 召( r ) 证明：的转移概率核为： 尸( x ，彳) = i i ( 卜x ) 出 v a 召( 月) ( 1 ) 由定理3 知：是强f e l l e r 马链，再由前一章的命题1 0 知：只要证明马链存在 一个可达点即可。 下面证明原点0 是可达点，即要证：对0 的任何丌邻域和v x r 都有 p ”( x ，o ) 0 ( 2 ) 为证( 2 ) 式，只要证：对任意充分小的正数， o ，若记q = x 尺，i x l 0 协r( 3 ) 注意到所给条件关于原点对称，因此，只需要对v x 0 时( 3 ) 式成立。 任意取定o ， 牟，再取o j ，有 4 厂( y x ) 8x o r 一瑚- ，j ，o r 一( 胛一1 ) s ， 刀= 1 , 2 , 3 ( 4 ) 注意到0 o 魄0 一= l 2 4 参考文献 参考文献 【1 】m e y ns p a n dt w e e d i er l m a r k o vc h a i n sa n ds t o c h a s t i cs t a b l i t y m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a y ，19 9 6 2 】r o s e n t h a lj s a n d r o b e r t sg o g e n e r a ls t a t e s p a c em a r k o vc h a i n sa n dm c m c a l g o r i t h m s j p r o b a b i l i t ys u r v e y s ，2 0 0 4 ，l ：2 0 - 7 i 【3 】b w a l s h m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l oa n dg i b b ss a m p l i n g r l e c t u r en o t e sf o re e b 5 9 6 z ，2 0 0 2 【4 】g e r h a r dw i n k l