（应用数学专业论文）lfuzzy导集不等式、闭包不等式与良空间.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 在分明拓扑学中，关于开集g 、闭集f 及任意集彳的三个公式 g i la d ( gn 么y ，g f la 一( gha ) 一，f u a o2 伊u 彳) o 是大家所熟知的，然而 遗憾的是它们在l f - 拓扑学中一般不再成立但在l f - 拓扑空间理论的早 期文章中，有个别作者将分明拓扑空间中的这些包含关系照搬至l f - 拓扑 空间中，这当然是错误的本文就是针对这一问题，讨论了在l f 一拓扑空 i b - ( g x 万) 中，v g e 8 ，ae ，导集不等式g 彳d ( g 彳) d 与闭包不等式 gaa 一( g 彳) 一成立的条件，1 反之，对使这些包含关系成立的l f 一拓扑空 间应具有什么样的性质也进行了研究本论文的主要内容大致分为以下 三个方面： 一导集不等式 由于导集概念是建立在聚点概念基础之上的，有一种聚点就会对应 一种导集目前在学术界已给出许多种聚点概念，其中，最具代表性的、为 大家所公认的是王国俊教授与刘应明教授给出的两种不同的聚点概念 从而引出了两种不同的导集不等式本文讨论了这两种导集不等式成立 的条件主要结果是： ( 一) 在l 是b o o l e 格的l f 一拓扑空间中，两种导集不等式都成立 在诱导空间、弱诱导空间中，对格l 稍加限制后，两种导集不等式 也成立 若对l 不加任何限制时，既使在满层空问或弱诱导空间中，两种导 集不等式均不成立，本文给出了这方面的反例 内蒙古师范大学硕士学位论文 二l f - 良空间 文 5 对闭包不等式g a 一( g a ) - 成立的条件进行了讨论，本文将 满足该闭包不等式的l f 一拓扑空间定义为l f - 良空间首先指出l f - 良空间 不同于满层空间，不同于弱诱导空间，也不同于诱导空间，是一种比较有 趣的l f 一拓扑空间其次，证明了l f 一良空间具有遗传性、可和性，但不具 有可积性 三f u z z i f y i n g 导集不等式与闭包不等式 分别把分明拓扑学中的导集不等式6 n a d ( g n 彳尸与闭包不等式 6 n a 一量( g n a ) - 推广到f u z z i f y i n g 拓扑空间中，并得到了相应的结论 关键词l 一导集，w 一导集，闭包，b o o l e 格，弱诱导空间，诱导空间 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n g e n e r a lt o p o l o g y , i t i sc l e a rt h a tt h e r ea r et h r e ef o r m u l a s gna d ( gna y ，g n 么一( gna y ，f ua o2 扩u 彳) 0h o l d ，w i t hr e g a r dt o o p e n s e t sg 、c l o s e ds e t sfa n da r b i t r a r yl f u z z ys u b s e t sao fl x u n f o r t u n a t e l y ，h o w e v e rt h e yd on o th o l di nl - f u z z yt o p o l o g y t h e r ea r eo n e o rt w oa u t h o r so fs o m ee a r l yp a p e r si nl f u z z yt o p o l o g yg e n e r a l i z ep a r a l l e l y t h e mt og e n e r a lt o p o l o g y , t h i si sc e r t a i n l yw r o n g t h i sp a p e rd i s c u s s e st h e c o n d i t i o n so ft h ed e r i v e ds e t s i n e q u a l i t yg a d ( g 彳尸a n dc l o s u r e i n e q u a l i t yg aa 一( g 爿) 一h o l df o ra r b i t r a r yo p e ns e t sga n da r b i t r a r y l f u z z ys u b s e t s ao fpw i t hr e g a r dt ot h i s q u e s t i o n i nt h el - f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e ，万) ，f u r t h e rm o r e ，s t u d i e sl - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e w h i c ht h e s ei n e q u a l i t yh o l dh a sp r o p e r t i e s t h ep r i m a r ys t u d i e sa r et h e f o l l o w i n g ： 1d e r i v e ds e ti n e q u a l i t y n o t i o no fd e r i v e ds e td e f i n e sb a s e do nt h en o t i o no fa c c u m u l a t i o np o i n t ， ，o n ep o i n tc o r r e s p o n d so n ea c c u m u l a t i o np o i n t ，s of a r , a c a d e m eg i v e sal o to f n o t i o n so fa c c u m u l a t i o np o i n t ，t h e r e i n ，t h em o s tr e p r e s e n t a t i v ea n df a m i l i a r a c c u m u l a t i o np o i n ti st w ok i n d so fd i f f e r e n ta c c u m u l a t i o np o i n t sd e f i n e db y p r o f e s s o rw a n gg u o j u na n dl i uy i n g m i n g ，t h e ye d u c et w ok i n d so f d e r i v e ds e t si n e q u a l i t y , t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ht w o k i n d so fd e r i v e ds e t si n e q u a l i t y t h ep r i m a r i l yr e s u l t sa r e ： ( 1 ) i nt h el f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c ew i t hb o o l el a t t i c e sl ，t w ok i n d so f d e r i v e ds e t si n e q u a l i t yh o l d 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 2 ) i ni n d u c e ds p a c e sa n dw e a k l yi n d u c e ds p a c e s ，l a t t i c e sls l i g h t l y r e s t r i c t s ，t w ok i n d so fd e r i v e ds e ti n e q u a l i t yh o l d ，t o o ( 3 ) l a t t i c e slw i t hn or e s t r i c t i o n s ，i ni n d u c e ds p a c e so rw e a k l yi n d u c e d s p a c e s ，t w ok i n d so fd e r i v e ds e t si n e q u a l i t yd on o th o l d t h i sp a p e rg i v e s c o r r e s p o n d i n gc o u n t e r e x a m p l e 2 l f u z z yg o o ds p a c e s p a p e rf i v ed i s c u s s e st h ec o n d i t i o n so ft h eh o l da b o u t t h ec l o s u r e i n e q u a l i t yg a d ( g 彳y ，t h i sp a p e rd e f i n e sl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s a t i s f i n gc l o s u r ei n e q u a l i t y t o l - f u z z yg o o ds p a c e s f i r s t l y , w e i n d i c a t e l - f u z z yg o o ds p a c e sa r ed i f f e rf r o ms t r a t i f i e ds p a c e s ，i n d u c e ds p a c e sa n d w e a k l yi n d u c e ds p a c e s ，i sa ni n t e r e s t i n gl - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s ，s e c o n d l y ， w ep r o v el f u z z yg o o ds p a c e sp o s s e s s e st r a n s m i s s i b i l i t ya n ds u m a b l e ，b u t p r o d u c t i o nd on o th o l d 3 f u z z i f y i n gd e r i v e ds e ti n e q u a l i t ya n dc l o s u r ei n e q u a l i t y w e g e n e r a l i z ed e r i v e ds e t si n e q u a l i t ya n dc l o s u r ei n e q u a l i t yi nl - f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e s t of u z z i f y i n g t o p o l o g i c a ls p a c e s ，f i n dc o r r e s p o n d i n g r e s u l t s k e yw o r d sl - d e r i v e ds e t ，w - d e r i v e ds e t ， c l o s u r e ，b o o l e l a t t i c e ，w e a k l y i n d u c e d s p a c e s ，i n d u c e ds p a c e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：日期： 伊罗4 乡月辟日 日期：伊7 石月胃日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定i 内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。、 ， 、n 签名：缓萄导师签名：落气了殳钞 lj 日期： 9 年石月9 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 在分明拓扑学中，关于开集g 、闭集f 及任意集彳的三个公式g n a d ( g n 彳尸， gn a 一( gn 彳) 一，fu a o2 护u , o o 是大家所熟知的，它们在许多场合可以简化 证明与计算，然而遗憾的是它们在l f - 拓扑学中一般不再成立但在l f - 拓扑空间理论 的早期文章中，有个别作者将分明拓扑空间中的这些包含关系照搬至l 卜拓扑空间中， 想当然地认为在l f 一拓扑空间，j ) 中，v g 万，么r ，不等式g 彳d ( g a y 、 g a a 一( g 彳) - 也总是成立的文 5 首先指出，即使在三= 【0 ，l 】的较为简单的情 形中，闭包不等式g a 一( g a a ) - 也不一定成立，接着文 5 进一步地讨论了该不 等式成立的一些条件本文沿着这个思路探讨在l f 一拓扑空间，j ) 中，关于导集 的类似不等式g 彳j ( g 人彳y 是否成立? 导集不等式g a a d ( g a 彳y 比之闭包不 等式g 彳一( g a ) - 更为复杂，因为导集概念是建立在聚点概念基础之上的，有 一种聚点就会对应种导集，目前在l f 一拓扑学中，具有代表性的为大家所公认的 是王国俊教授与刘应明教授分别给出的两种不同的聚点概念，从而引出两种不同的 导集概念，本文中我们把这两种导集分别称为w 一导集与l 一导集于是关于导集不等 式g 彳d ( g 爿y 是否成立的讨论就必须分别对这两种导集进行：其次，我们注意 到这两种不同导集由公式a 一：a va d 所得到的闭包却是相同的从而，关于闭包不 等式gaa 一( g 彳) 、的讨论进行次即可 本文中我们把满足闭包不等k g a 一( g 彳) 一的l f 一拓扑空间称之为l f 一良空 白j ，我们将对l f 一良空间的性质进行尽可能详尽地讨论我们特别要指出的是本文所 讨论的课题是一个很重要的问题，因为一种在分明拓扑空问中总是成立的很平凡的包 含关系g n a d ( g n 月y 及g n a 一5 ( g n a ) 一竟然在l f 一拓扑空间中不一定成立， l 内蒙古师范大学硕士学位论文 即使在= 【o ，l 】这样正宗、性能如此优良的l f 一拓扑空间中也是如此，这也正好反映了 分明拓扑学与模糊拓扑学的巨大差别然而遗憾的是这样一个重要的课题并未引起学 术界的关注，到目前为止，笔者很少见到关于这方面内容的文章本文的最后，我们将 把分明拓扑学中的导集不等式g n 彳d ( g n a y 与闭包不等式g n 彳一( g n a ) 一推 广到f u z z i f y i n g 拓扑学中，并对其进行相应的讨论 1 2 预备知识 本文中l 均假设为f u z z y 格，即具有逆序对合对应的完全分配格，其余未交代的概 念与记号均可在文【3 】与【4 】中查到 1 2 1l 一导集与w - 导集的预备知识 引理1 2 1 【1 1设，纩) 是分明拓扑空间，则v g 纩，f 旷，ac _ x ，有 g n a d ( g n a ) d ，c n a 一( g n a ) 一与f u a o2 扩u a ) o 定义1 2 2 哪设仁x ，万) 是l f 一拓扑空间，万是l f 一余拓扑，x a p f ) 1 ) 设【厂万，且吒与( ，相重( 记为；u ) ，即毛蓝【，称u 是的重域；吒的 所有重域组成的集合族，称为x a 的重域系，记为q k ) 2 ) 设p 万，且苤尸，称尸是的远域；的所有远域组成的集合族，称为 x a 的远域系，记为刁k ) 定义1 2 3 啪设l x 万) 是l f 一拓扑空间，彳，口，定义彳与b 的拟差： 彳、 曰= v & 。m “彳) ：j 6 f g ) = o vv t 。m u 彳) ：五芝b g ) o 即州班k f 曼) ：删絮瓮) 0 特别有 小屯= v 。肘“彳) ：j ，工 vv & 。m “彳) ：五芝口 2 第一章绪论 即吒胁k 毛茹胁口) 曩三 引理1 2 4 设乜z ，艿) 是l f 一拓扑空间，彳，b ，c r ， a ，：t t c l x ( i ) 若l 萑u ( o ，则a ! = a ( i i ) k 彳小c = 善0 f c ) ( i i i ) 若垤s u pp ( s ) ，有b g ) 甚彳g ) ，则小曰= 彳 ( i v ) 若a a b = q ，则彳口= a ( v ) 若x a 式a ，则a k = a ( v i ) a 口a ( v i i ) 若s l l p p ( 曰) = s u pp ( c ) ，有曰c ，则a k b 彳c 引理1 2 5 设亿x ，万) 是l f - 拓扑空间，a , b l x ，则彳人p h 五) 0 b ) 屯 证明x ，由引理1 2 4 及拟差定义， 若y x ，有( 彳 佃k x 丑) x 乡- - ( 彳 b ) ) = “彳 曰) k ) ( y ) 若y = x ，且允曰g ) ，则名苤0 b x x ) ，由引理1 2 4 ( v ) ， 有0 陋毛：) = 0 人b ) ) = 帕 b ) h 五炒) 若y = 工，旯口g ) ，且五甚4 x ) ，则五薹0ab x x ) ，由引理1 2 4 ( 们) 及( v ) ， 有( 彳 陋x 丑”) 0 b 炒) = “彳 口) h 丑炒) 若y = 石，a b g ) ，且a 彳g ) ，由定义1 2 3 ，有0 佃而) 炒) “彳 b ) k x a 炒) 综上，结论得证 定义1 2 6 m 设乜x ，万) 是l f t f i c b 牢_ f a l ，彳，而肘仨x ) ，如果v 【厂矾。) ， u 与a _ 相重，则称屯为a 的l 一聚点：a 的所有l 一聚点之并，称为a 的l 一导集，记 为a 以 引理1 2 7 啪 设仁x ，万) 是l f 一拓扑空问，彳，ber ， a ，：fet cl 工 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( i ) a 一= ava “ ( i i ) 若a b ，贝0a 九b 以 ( i i i ) 0 v 曰) 九= 彳九v b 以 ( i v ) 善 ( gaa ) 以，所以l 一导 集不等式不成立同样，a 一= g ) ，g aa 一= g ，( gaa ) 一= 砑= o ) ，从而 gaa 一 ( gaa ) - ，所以闭包不等式gaa 一( ga 彳) 一也不成立 例2 1 2 q x ，万) 是弱诱导空间，l f 一拓扑空间 g x ，艿) 中的l 一导集不等式g 彳叱( g 彳) 叱不必成立 设x = 扛 ，三= 0 ，1 ，口，口，b ，b ，c ，c7 序关系如 图2 1 1 ，万= 0 , 1 ，t ，万= 0 ，1 ，x c ，) ， x 上的拓扑f = 移，x ，显然往x ，万) 是弱诱导空问， i o 且不是满层空间；取g = ，a = x b ， 图2 1 1 由于彳一= ava 叱= h 且x 。，是分子，x 。，a ，所以a 以= 工。，g a a 以= 工，但 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( g 彳尸= k 卜= 0 从而l 一导集不等式g 彳屯( g a a ) d 2 不成立但要特别指出 的是，此例中闭包不等式g a 一( g a 彳) 总是成立的 那么在什么条件下，l f 一拓扑空间，万) 中的l 一导集不等式g 彳九( g 彳) 九 才成立呢? 我们有下面的三个定理：定理2 1 3 ，定理2 1 4 ，定理2 1 1 0 定理2 1 3 设z x ，万) 为l f 一拓扑空间，且l 是b o o l e 格，则v g 艿，彳， ：有g a a 九( g 彳) 以 证明 v 屯m ) ，x 2 gaa a t 所以屯g 且 彳丸 以) ，由l 一导集与极小集的定义，存在彳的一个l - 聚点x ，使z ， 设不是g 么的l 一聚点，则存在y q b ，) ，使( g 彳) 工，v 由是b o o l e 格，g v g 7 = ! ，g a g = q ，且而s g ，所以g 从而_ g ，即g q b ，) 又a = ( g v g ) a a = ( g 彳) v ( g a a ) 所以 彳工，= “g 彳) v ( g 7 彳) ) 、= 【( g 彳) 工，i v 【( g aa ) x r j y v g ，：( y g ) 由引理1 2 9 ( i ) ，va g q b ，) ，再由l 一聚点定义，知0 不是彳的l 一聚点，矛盾 于是_ ；是g a a 的l 一聚点即工，( g a a ) 4 ，, k i i ix , ( g 彳y ，注意到f q ) 的任意性，所以以 n ，有j 4 e ，即五芷【，g ”) 取历d ，使朋刀。，删啊，则当刀朋时，五苤u g ”) 且五g ) 簋u g ”) ，同 时u g ”) 1 由题设条件，工中的任意非零元都是分子，也即中的任意非1 元都是 素元，所以u b ”) 是素元，则a 人五g ) 甚u b 4 ) 由此又推出名 五( 刀) o ，这说明当 n 小时，x ：；，、z ( 。) 甚u 所以，分子网r 终与u 相重于是，分子网r 收敛于分子而 以上证明了( g 彳) 而中有分子网t 收敛于分子而，所以x , t 是ga a 的l 一聚点，即 而- ( g a a ) 以故g a a 九a ( g a a ) a 注：定理2 1 4 中的条件( ) 不能去掉 例2 1 5 设= o ，号， ，号，1 ，l 中各元按从小到大的次序排列，且v e ，令 e = 1 一e ，显然l 是f u z z y 格，且因l 是全序格，所以l 的任意非零元都是分子 令x = 扛) ，r 上的拓扑定义为万= 电，工 ，x ；，! j ，则闭集族万= 缸x l ，, x 。t _ ，l j 底空间 内蒙古师范大学硕士学位论文 拓扑防】= 移，x ) ，容易验证，万) 是弱诱导空问设a = x i ，g = x t ，则g 是开集由 a x i = v & 工：_ 芝) = v 扛名：而 而 = ，五的重域是及勺，显然彳与霹 屯相重，即而是彳的l 一聚点，a 叱= 而，则g a 九= g 另一方面，gaa = t ，经计算( g 彳) k = x , l ，屯是而的重域，但( gaa ) x i 不与z 。相重所以而不是g a a 的l 一聚点，同理，魂，屯，屯都不是g a a 的l 一聚点， 故( g 彳y = q ，从而g aa d t ( g 彳严不成立其原因，就是因为( ) 条件 g a 九= v x 工：屯g 且而是彳的l 一聚点) 不成立 定义2 1 6 设l 是完备格，如果v 口三，口0 ，都有口= v r ：厂 口) ( i i ) l 是稠密格当且仅当v 口三，口o ，v ，0 ) ，有7 ( ga 彳y 7 ，所以w 一导集不等式不成立那么在什么条件下它才成立呢? 我 们有下面的两个定理：定理2 2 i ，定理2 2 2 定理2 2 1 设l x ，万) 为l f 一拓扑空间，且l 是b o o l e 格，则v g 万，ae l x ，有 g a a “( g a a ) 厶 证明 v 毛m ( l 片) ，而g aa 厶，因为而g 且a 咖 v t 以) ，由w 一导集与极小集的定义，存在爿的一个w 聚点工，使x ， 先证j ，( ga 彳) 一， 1 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 若芷( g 彳) ，由附着点定义，存在p 刁b ，) ，使得g 彳尸 因x 丑g ，所以基g 7 ( 否则g a g = q ，矛盾) ，从而工，甚g 即g ，7 g ，) ，再由g vg = ! ，所以4 = ( g vg ) 彳= ( g 咖( g aa ) p v g 由引理1 2 9 ，p vg 刁b ，) ，由附着点定义，苤彳一，与_ 么知矛盾( 因为 a 如彳一) 所以工，( g 彳) - 再证x ，( 0 彳广r ， 若工，甚g 彳，由w 一聚点定义，工，是gaa 的w 一聚点，从而工，( g 彳y r 若工， g a a ，贝, l j x ，t 魄o a a 的w 一聚点 事实上，若x r 不是g aa 的w - 聚点， 由w 一聚点定义，存在p 叩b ，) 及 x a m o ( g 彳) n 个一) ，使得g 彳p v 此时_ 5 彳及_ , z g 彳= ( gvg ) aa = ( g 人彳) v ( g aa ) p v x f vg 而p vg ，7 b ，) ，且m “彳n 个0 ) 由w 一聚点定义，_ 不是彳的w 一聚点，与假 设矛盾所以是g 么的w 一聚点，r ix r 彳g ) ，h px r 篮a v p 叩b ，) ，同( i ) 的证明一样，作出x 在底空 间似，p d 中的一个开邻域w = vnv ，则p vx 矽，7 k ) ，因屯是a 的w 二聚 点，屯萑a ，由w 二聚点定义有，a 甚p v 工要使此式成立，必存在y 簪w ，即 y 矿= vnv ，使彳) 芷乩) ，同( i ) 中推理一样，可得g ) 彳【y ) 苤彤) ，即 ga a 甚p 因为工，芒a ，这说明石，是gaa 的w 二聚点，( ga 彳严，注g jx ，的 任意性，有x as ( g a 爿y r 综合( i ) ，( i i ) ，均有屯( ga 彳y ，再注意到的任意性，故gaa 如s ( g a a ) 扎 注： 定理2 2 2 中的条件( ) 不能去掉 例2 2 3 仍取前面的例2 1 5 l = o ，圭，季，1 ) ，x = 扛) ，上的拓扑为 艿= 电，j ，工 ，l j ，闭集族万= 缸工 ，工 ，! j ，底空f b j 拓扑p 】= 移，x ，q x ，万) 是弱诱导空 内蒙古师范大学硕士学位论文 间设a = 屯，g = 也，则g 是开集由l 是全序格及彳一= 而，而a 一，但而芒a ， 所以而是彳的w 二聚点，即a 如= 而，则gaa 如= g 而= g 另一方面，g a = g = ，因为是的闭远域，x l ：m ( g 彳n 个j ， 使得g a x v 石。所以工不是g a 的w 聚点，容易验证，工，工，而也不是 g a a 的w 二聚点，故( g 么y 7 = 旦， 师g a a 如( g 人爿) “不成立 其原因，就是因为( ) 条件g a 如= v 缸口：工口g 且是彳的w 聚点) 不成立 顺便指出上例中，我们在例2 1 5 中已证而是a = 而的l - 聚点，容易证明而不是 a = 而的w 二聚点：相反，我们刚才证明了而是曰= 屯的w 二聚点，但而不是曰= 屯的b 聚点这充分说明了l 聚点与w 二聚点是不同的聚点概念! 注：从前面的例2 1 1 ，例2 1 2 我们看到在满层空间或弱诱导空间中，l 一导集 不等式与w 一导集不等式均不成立那么在诱导空间中，它们是否成立呢? 这个问题目 前笔者还不清楚有待进一步研究! 1 6 第三章l f _ 良空间及其性质 第三章l f - 良空间及其性质， 定理3 1 设，万) 为l f 一拓扑空间，v g 万，彳r ，如果g 彳九( g 彳) 九 g a a a - ( g a a ) a m 成立，贝i g a a 一( g 爿) 一即，万) 是l f 一良空间 证明以w 二导集不等式为例证明v g 万，a ，则 ( g a a ) 一= ( g 彳) v ( g 人彳) 如( g 彳) v ( g 彳白) = g a ( a v a d r ) = g a a 一 注：定理3 1 的逆定理不成立，即v g 万，a l x ，：有g a a 一( g 人彳) 一成立，既 不能推出g aa 九( g 彳) 以，也不能推出gaa d v ( g 么) 如 例3 2 不等式g 么一( g 彳) 一成立，不必有g 彳九( g a a ) a l 成立 取前面的例2 1 2 设x = 扛) ， 三= 0 ，1 ，口，a 7 ，b ，6 ，c ，c 序关系如图3 1 ， l x 上的拓扑万= 0 ，1 ，x a ，) ，万= o ，1 ，x a ，以 ， x 上的拓扑f = 移，x ，当时已说明， 3 g 万，a l x ，使g a a 叱( g 彳) 九不成立， 但v g 万，彳，gaa 一( ga 彳) 一成立 图3 1 口 例3 3 不等式g a 一( g 彳) 一成立，不必有g 彳如( g a 彳) 如成立 设x = b ，= 【o ，1 】，上的拓扑j = 扣) 扛 ； 1 j ，显然有g 爿一( g 彳) 一成 立，但彳= 也j ，g = 也j ， 容易计算爿而= 扛i ， ga a 而= g = k j ， ( g 彳y - = 0 上p = 0 ) ，t i pg a 如( g a a ) a 不成立 下面我们讨论l f - 良空间的性质，特别是l f - 良空间与弱诱导空间、满层空间、 诱导空问之间的关系： 前面的例2 1 1 ，说明满层空间不必是l f - 良空间但我们不能回答弱诱导空间 是否是l f 良空阳i 的问题。有待进一步研究? 1 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 例3 4 l x ，万) 是l f 一良空间，但，万) 既不是弱诱导空间也不是满层空间 设x = 【o ，l 】，= 【0 ，l 】，l x 上的拓扑j = 扣) 1 y ，其中y 为连接两点( 0 ， ) ，0 ， ) 的线性函数，即y g ) = 一古工+ 号，显然艿既非满层又非弱诱导；但不等式 gaa 一( g 人彳) - 成立，因若g 取为 0 ， 1 ，则w l x ，gaa 一( g 人彳) 一显然成立， 若g 取矿时，则v a l x ，当a = o ) ，v a a s ( vaa ) 一显然成立，当a o ，则 va a 0 ，而v 是最小的非 0 ) 之闭集，缈 彳) 一= v = 百i 中了2 v vaa 一， 所以 往x ，万) 是l f 一良空间 例3 5 ，6 ) 是满层的l f 一良空间，但不是弱诱导空间 设x = 扛，y ，l = 0 ，1 ， 为菱形格，e pr a r = o ，rv ，= 1 l x 上的拓扑 万= 0 ) ， 1 ) ， ，) ，) g 。，g ：) 其中g l g ) = o ，g 。) = ，g ：g ) = ，g ：) = l ，则6 = 0 ， l p p ，互，五 ，其中 = g ：，最= g ；，显然万是满层的，但由于( e ) 【，j = 扛x ：互， = 扛) ，z ( l ，i = z h 芒万， 所以仁x ，艿) 不是弱诱导空间，而是b o o l e 格，由定理2 1 3 ，v g e 6 ，v ail x ，有 g a a a z ( g 彳y z 成立，由定理3 1 ，所以，万) 是l f 一良空间 例3 6 ，艿) 是弱诱导的l f 一良空间，但不是满层空间 取任意分明拓扑空间似，丁) 及任意基数3 的，格，作l f 一拓扑万= 拓g ：g 丁 ， 显然仁j ，万) 是弱诱导空间，但非满层空间；v a i l j ， s u p p a = e ，则彳一= z i ； 6 艿，显然s u p p ( z g 一) = g n e ，所以z ga a 一= z g n - - z ( 硼) _ = 匕g 人彳) - ，则 ，万) 是l f 一良空间 定理2 1 3 ，定理2 2 i 说明当l 是b o o l e 格时，任意l f 一拓扑空间都是l f - 良空间 定理2 1 4 ，定理2 2 2 ，说明弱诱导空问附加一定条件后是l f 一良空间定理1 2 1 8 说 明诱导空间是l f 一良空间下面讨论相反的问题：附加什么条件的l f 一良空间可以是 弱诱导牢阳i 和诱导空帕i 1 8 第三章l f - 良空间及其性质 引理3 7 嘲设，j ) 是l f 拓扑空间，则 ( i ) ，万) 是满层空间v 口及e x ，昭i 荔j ( ii ) ，艿) 是弱诱导空间v a lg ce c _ x ，呦i a x e ( ii i ) ，万) 是诱导空间营v ael y cec x ，呀i = a z e 引理3 ，8设l 是f u z z y 格，如v 厂，当r o ，1 时，ra t 7 o ，艿) 是l f - 良空间，则对任意分明集e x ，有z i = 瓦 证明 设存在分明集e x ，使得z i 瓦，则可断言瓦不是分明集，若不然 设石：，则因z 。艿，d 防丫由z - z o ，ec d ，e cd 其次，因石s ， 即z 。旎，dc e ，所以d = 否，磊= z 。= 石，与假设不符所以石不是分明集 由瓦z i ，镌瓦及石不是分明集，则存在石否e ，使得石g ) = 7 ， o = i 似n f m i n 电，1 一( g n a d k ) + ( g n 彳y 埘 = i 。n g f m i n 缸，l m i n g g ) l 彳d b ) ) + ( g n 彳y g ) =infmin讧，1一ajg)+(gn彳yg)gj e 、 、 ， = i 。n g f m i n 扛，1 一( 1 一虬0 u 1 4 ) ) + m ( ( g n 彳) cu 扛) ) ) = i 脚n f m i n n m 0 u + m ( ( g n 爿广u 扛 ) 由g n a c _ a ，所以( g n 彳) 。_ d a 。，再由引理1 2 2 9 ，有 n x ( a c ) m ( ( gn 彳) 。) ，从而m 0 cu 4 ) - 【g 矿】 当j 仨g 时，【g 矿】= 纩( g ) = 哩舌m ( g ) = 0 ，结论显然成立 当工g 时，由引理1 2 2 8 及引理4 4 有 gm ) c ( gn 爿咔耐x ( gm ) 一x ( gn 爿) _ 2 4 皇塑墅堡坚兰! 坚量簦至箜壅量塑皇查墨壅 2 骈m i n 每，l p n 彳一k ) + ( o n 彳) 一g ) j = i 。n 。g f m i n 备，1 m i n p g l 彳g ) ) + ( a n a ) 一g ) = i 脚n f m i n l ，1 彳一g ) + ( g n 彳) - 洲 = i 脚n f m i n 每，卜( 1 一m 0 。) ) + ( 1 一m ( ( g n 彳) c