（概率论与数理统计专业论文）非线性数字期望.pdf

附件一： 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 ， ， 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名： ! 三骘 日飘：三! ! u 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 f 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：唾导师签名： 日期： 1 一i s t ， 山东大学博士学位论文 非线性数学期望一g 期望理论及其在金融中的应用 江 龙 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 期望效用理论是现代数理经济学的基础，但是诺贝尔经济学奖获得者 a l l a i s 提出的著名的a l l a i s 悖论使得期望效用理论受到了很大的挑战科学 家们已经发现传统的期望效用理论的线性性一源于线性数学期望一是导 致a l l a i s 悖论的主要原因为了克服基于线性数学期望的期望效用理论在解 释经济现象时的不足，许多数学家与经济学家致力于研究非线性数学期望， 如法国著名数学家c h o q u e t 提出了c h o q u e t 期望理论但c h o q u e t 期望和 其它许多非线性期望一样在定义t 时刻已知信息下的条件期望时遇到了实 质性的困难，这个问题的存在使得他们的理论难以用于动态经济模型彭实 戈【1 1 通过倒向随机微分方程引入了g - 期望与条件g 期望的概念，从而在 一定的框架下建立了动态非线性数学期望理论的基础特别是经过近年来的 研究，科学工作者已经发现g 期望是研究递归效用理论与金融风险度量的 有力工具 为叙述方便，我们介绍如下记号对于如下形式的倒向随机微分方程 ，r，丁 y t = + g ( s ，y ，) d s 一z 。d b ，o t t ， ( 1 ) 我们设g 满足( a 1 ) ：一致l i p s c h i t z 条件与( a 2 ) ：平方可积条件 9 被称为 倒向随机微分方程( i ) 的生成元，( 9 ，丁，f ) 被称为倒向随机微分方程( 1 ) 的 标准参数我们将以( 9 ，e 9 为标准参数的倒向随机微分方程( 1 ) 的惟一一 对平方可积的适应解记为( k ( 9 ，t ，) ，易( 9 ，t ，f ) ) 。f o ，列 如果g 还满足( a 3 ) ：9 ( t ，y ，0 ) 三o ，那么将k ( g ，瓦f ) 记为岛并称之 为的旷期望，将m ( 9 ，l ) ，记为岛吲五】，并称之为的条件g 一期望 本文深入地研究了倒向随机微分方程特别是9 一期望理论中的很多基本 问题，并研究了它们在金融风险度量与金融资产定价中的应用在以下方面 取得显著进展： 山东大学博士学位论文 一、第一章建立了倒向随机微分方程生成元的一般表示定理1 3 5 ( 该工作的阶段性结果已发表于法国c r a c a d s c i 【3 3 i ) 该结果对本文第二、第三、第四章结果的获得具有关键性的影响 为了研究倒向随机微分方程理论中的逆问题，b r i a n d - c o q u e t h u m 6 m i n p e n g ( 2 0 0 0 ) 在假设g 满足两个附加条件( g ( t ，y ，。) ) 蚝f 0 1 t 1 关于时间t 连续以 及e s u p 丁1 9 ( t ，0 ，0 ) c 2 o o 的情况下建立了关于倒向随机微分方程生成 元的如下形式的表示定理：对v ( t ，y ，z ) o ，t 【x r r 4 ，有 9 ( t ，y ，z ) = l 2 一瓣； k b ，t + ，y + z ( b 蚪s b ) ) 一胡- ( 2 ) 进一步的研究表明倒向随机微分方程理论与非线性数学期望理论中的 很多基本问题与生成元g 的表示问题有紧密的联系。同时由倒向随机微分方 程描述的金融资产定价机制的研究也与生成元的表示密切相关但是上述两 个附加条件使得该结果的应用受到了很大的限制本文第一章在一般情况下 证明了 定理1 3 5 ( 生成元表示定理) 设g 满足1 ) 与( a 2 ) ? 设1 p m e y e r 分解定理一个自然的问题是： 对于g 一鞅( 五) 拒f 0 ，引与凸函数妒：r r ，我们应该如何对9 赋予适当 的条件才能使得( 妒( 五) ) t e o ，r 1 成为一个9 一下鞅? 以往关于基于g 一期望的j e n s e n 不等式的研究大多是在一些很特殊的情 况下给出某些成立的条件，而本章对上述问题进行了系统、深入的研究，并 幸运地找到了结论的正确的形式，该形式与研究者一般设想的形式不同( 由 于j e n s e n 不等式研究的是期望算子与凸函数交换次序后的关系，因此有人 猜想：要使得基于g 一期望的j e n s e n 不等式一般成立，那么g 应该是凸函 数因此以往关于基于9 期望的j e n s e n 不等式的研究大多假设g 是凸的) ， 得到了系列、完整的结果使用的主要理论工具是在前二章我们建立的表示 定理、平移不变性定理、逆比较定理以及著名的比较定理 本章得到如下主要结果： 定理3 2 2 设g 满足( a 1 ) 与( a 3 ) 则以下三个条件等价： ( i ) g 不依赖与y 并且g 关于z 是超齐次的，即d p d t a 8 ， v a r ，o r 4 ，g ( t ，a z ) a g ( t ，z ) ( i i ) 对任意口，b r ，f l 2 ( n ，j ，p ) ，有岛陋f + 纠n 岛吲+ 6 ； ( i i i ) 基于9 一期望的j e n s e n 不等式一般成立，即：对v f l 2 ( n ，j ，p ) 以及凸函数妒：r - r ，如果妒( f ) l 2 ( n ，乃，p ) ，则 p o s ，v t o ，t 】，0 睁篮) i r t 】妒 岛( f 1 五) v 山东大学博士学位论文 推论3 2 ，4 设g 不依赖于y ，9 ( f ，0 ) 三0 并且口关于z 是超齐次的， 设( x ) o ，”是9 - 鞅，妒：r - - + r 是一个凸函数，且妒( 墨) 驴( n ，五，p ) ，v t 0 ，t 则( 妒( 五) ) 蛭| 0 ，丁1 是g 一下鞅 定理3 2 5 设g 满足( a 1 ) ，( a 3 ) 并且不依赖于i 又设g 是关于。 的凸函数：则以下两个条件等价： ( i ) g 是正齐次的； ( i i ) 基于g 期望的j e n s e n 不等式一般成立 定理3 3 1 设g 满足( a 1 ) ，( a 3 ) 则以下三个条件等价： ( i ) g 不依赖于y 并且d p xd t a 8 vo 芝0 ，z r o g ( t ，a z ) 2a g ( t ，：) ( i i ) 对任意a 0 ，b r ，l 2 ( f 2 ，乃，p ) ，有岛 o f 十叫2o 岛旧+ 6 ； ( i i i ) 基于9 - 期望的j e n s e n 不等式关于单调增加的凸函数一般成立 定理3 3 4 设g 满足( a 1 ) ( a 3 ) 且g 不依赖于y 则以下条件等价： ( i ) d p d t d s ，a 0 ，z r d ，g ( t ，a z ) 三a g ( t ，。) ； ( i i )基于g 期望的j e n s e n 不等式关于单调下降的凸函数一般成立 四、在第四章，我们将在前二章获得的成果应用于风险资产的价格系统 理论与金融风险度量问题的研究 ( 本章在剧k a r o u i q u e n e z ( 1 9 9 7 ) 工作的基础上得到的关于由倒向随机 微分方程诱导的风险资产非线性价格系统的部分结果已发表于a c t am a t h s i n i c a ，e n g l i s hs e r 【3 7 ) 关于g - 期望理论在金融风险度量中的应用，我们先介绍 定义4 2 8 令g 满足似j ，和似到对vx l 2 ( n ，乃，p ) 定义 矿( x ) ：= 9 卜x 】，d ( x ) ：= 岛【- x i 五】，vt 0 ，t 】 则称p 9 为由g 一期望岛诱导的静态风险度量，称( 群) 为由g 期望i 秀- 9 - 的动态风险度量， 在关于g 一期望的一般假设条件下，在r o s s a z a ( 2 0 0 4 ) 等工作的基础上， 利用第二章我们得到的结论，我们建立了g - 期望与著名的一致性风险度量 ( c o h e r e n tr i s km e a s u r e ) 和凸风险度量( c o n x xr i s km e a s u r e ) 之间的联系： v i 山东大学博士学位论文 定理4 2 6 设g 满足似，和似副则下面三个条件是等价的 f i )g 不依赖于y 并且关于z 是次线性的 ( i i ) 矿是一个静态一致性风险度量( c o h e r e n tm e a s ? 2 7 eo r i s 砂 ( i i i ) ( 所) 蜒m ，r 1 是一个动态一致性风险度量 定理4 2 7 设9 满足似纠和似圳则下面三个条件是等价的 ( i ) g 不依赖于y 并且关于z 是凸的 ( i i ) 矿是一个静态凸风险度量七d 凹m e a s u 他o fr i s 纠 ( i i i ) ( 所) t e o ，”是一个动态凸风险度量 关键词：倒向随机微分方程；g 一期望；生成元表示定理 基于9 期望的j e n s e n 不等式；金融风险度量 v i i 山东大学博士学位论文 n o n l i n e a re x p e c t a t i o n - - g e x p e c t a t i o nt h e o r y a n di t sa p p l i c a t i o n si nf i n a n c e j i a n g ( s c h o o lo fm a t h a n ds y s t e ms c i e n c e s l o n g s h a n d o n gu n i v e r s i t y ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t b yp a r d o u x p e n g ( 1 9 9 0 yw ek n o wt h a tt h e r ee x i s t sau n i q u ea d a p t e da n d s q u a r ei n t e g r a b l es o l u t i o nt ot h ef o l l o w i n gb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( b s d ei ns h o r t ) 玑= f + g ( s ，玑，z s ) d s 一z s d b 。，0 t l ( 1 ) jcjc p r o v i d i n gt h a tt h ef u n c t i o ngs a t i f i e st h el i p s c h i t za s s u m p t i o n ( a 1 ) a n dt h e s q u a r ei n t e g r a b l ea s s u m p t i o n ( a 2 ) gi ss a i dt ob et h eg e n e r a t o ro ft h eb s d e ( 1 ) ，( g ，t ， ) i ss a i dt ob et h es t a n d a r dp a r a m e t e r so ft h eb s d e ( 1 ) w e d e n o t et h eu n i q u ea d a p t e da n ds q u a x ei n t e g r a b l es o l u t i o no ft h eb s d ew i t h s t a n d a r dp a r a m e t e r s ( g ，t ，f ) b y ( 5 ( g ，t ，) ，互( 9 ，t ，f ) ) 拦，0 引 i fga l s os a t i s f i e sg ( t ，y ，0 ) 三0f o ra n y ( t ，口) ，t h e n ，r o ( 9 ，t ，f ) ，d e n o t e d b y 岛i sc a l l e dg - e x p e c t a t i o no f ；k ( g ，t ，) ，d e n o t e db y 岛睦 五 ，i sc a l l e d c o n d i t i o n a lg - e x p e c t a t i o no f t h e o r i g i n a lm o t i v a t i o nf o rs t u d y i n gg - e x p e c t a t i o nc o m e sf r o mt h et h e o r yo fe x p e c t e du t i l i t y , w h i c hi st h ef o u n d a t i o no fm o d e r nm a t h e m a t i c a l e c o n o m i e s t h en o t i o no fg - e x p e c t a t i o nc a nb ec o n s i d e r e da san o n l i n e a r e x t e n s i o no ft h ew e l l k n o w ug i r s a n o vt r a n s f o r m a t i o n s t h i sd o c t o r a lt h e s i ss t u d ys o m ef u n d a m e n t a lp r o b l e m si n9 e x p e c t a t i o n s t h e o r ya n dt h e i ra p p l i c a t i o n st or i s km e a s u r ea n dn o n l i n e a rp r i c es y s t e m ( i ) i nc h a p t e r1 ，w ee s t a b l i s hag e n e r a lr e p r e s e n t a t i o n t h e o r e mf o rg e n e r a t o r so fb s d e s t h i sr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mw i l lp l a yak e yr o l ew h e nw es t u d ys o m e f u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fg - e x p e c t a t i o n si nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s 山东大学博士学位论文 f o rs t u d y i n gak i n do f c o n v e r s ec o m p a r i s o np r o b l e m ，b r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) e s t a b l i s h e dt h ef o l l o w i n gr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ： f o rv ( t ，y ，z ) 【0 ，t x r r 4 ，t h ef o l l o w i n ge q u a l i t y g ( t ，y ，z ) = l 2 一卜l i + m 0 + 【k ( 2 ，+ ，y + z ( b 件s 一罗) ) - - _ y ( 2 ) h o l d sf o rgu n d e rt w oa d d i t i o n a lc o n d i t i o n st h a t ( g ( t ，y ，z ) h 1 0 ，刀i sc o n t i n u o u s w i t hr e s p e c tt otf o re a c h ( y ，z ) a n de i s u p o t t i g ( t ，0 ，0 ) 1 2 i i nf a c t ，m a n yp r o b l e m si nb s d e st h e o r ya n di nn o n h n e a re x p e c t a t i o n t h e o r ya r er e l a t e dt ot h ea b o v ek i n do fr e p r e s e n t a t i o np r o b l e m an a t u r a l p r o b l e mi s ： w i t h o u tt h ea b o v et w oa d d i t i o n a lc o n d i t i o n so ng ，c a nw ee s t a b l i s ha s i m i l a rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mf o rg e n e r a t o r so fb s d e s ? i nc h a p t e r1 w ee s t a b l i s ht h ef o l l o w i n gr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m1 3 5 ： t h e o r e m1 3 ，5 ( r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ) l e t ( a 1 ) a n d ( a 2 ) h o l df o r 口il e t1 p 2 t h e nf o re a c hp a i r ( y ，z ) r r d ，地ef o l l o w i n ge q u a l i t y 9 ( t m 名) = 妒一躲；【k ( 雪，t + 删+ 。( b m b 1 ) ) 一可 h o l d sf o ra l m o s te v e r yt 【0 ，珥 s i n c ew eh a v e n tt h et w oa d d i t i o n a la s s u m p t i o n so fb r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) ， t h ef o r mo fo u rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mi sd i f f e r e n tf r o m ( 1 _ 1 2 ) ，a n dw eh a v e t oe s t a b l i s hs o m ee s s e n t i a l l ya u x i l i a r yl e m m a sa n dp r o p o s i t i o nt og e to u r r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ( i i ) i nc h a p t e r2 ，w es t u d ys o m ef u n d a m e n t a lp r o b l e m si ng - e x p e c t a t i o n t h e o r y u n d e rt h ea , s s u m p t i o n s ( a 1 ) a n d ( a 3 ) o i lg ，w ep r o v et h a tt h e g e n e r a t o rgo fa n9 - e x p e c t a t i o n 毛c a ub eu n i q u e l yd e t e r m i n e db y t h eg - e x p e c t a t i o n 毛，t h u sw ec o m f i r mac o n j e c t u r eo fp e n gp r o p o s e di n 1 9 9 7 f o ra p p l y i n gg - e x p e c t a t o nt h e o r yt oc o h e r e n tm e a s u r e so fr i s ka n d c o n v e xm e a s u r e so fr i s k ，w es t u d yt h et r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e ，s u b a d d i t i v i t y a n dh o m o g e n e i t yo fg - e x p e c t a t i o n ，w eo b t a i nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t i x 山东大学博士学位论文 c o n d i t i o n sf o r9 - e x p e c t a t i o n sw i t ht r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e ( r e s p s u b a d d i t i v i t y , h o m o g e n e i t y ) w eo b t m nt w oc o n v e r s ec o m p a r i s o nt h e o r e m s f o rg e n e r a t o r so fg - e x p e c t a t i o n s w ea l s og e tau n i q u e n e s st h e o r e ma n dag e n e r a lc o n v e r s ec o r n - p a r i s o nf o rg e n e r a t o r so fb s d e s t h ef o l l o w i n ga r et h em a i nr e s u l t so fc h a p t e r2 t h e o r e m2 2 1 ( u n i q u e n e s st h e o r e mf o rg - e x p e c t a t i o n ) l e t ( a 1 ) a n d ( a 3 ) h o l d 如rt w og e n e r a t o r sg la n d9 2 t h e nt h ei o l l o w i n gs t a t e m e n t s ( i ) a n d ( i i ) a r ee q u i v a l e n t ： ( i ) d p ) ( d t - a 息，v ( y ，z ) r x r d ，g t ( t ，y ，= ) = 9 2 ( t ，y 。) ( i i ) 岛。【刳= 岛： 到，v f l 2 ( q ，$ - r ，p ) t h e o r e m2 2 3 ( u n i q u e n e s st h e o r e mf o rb s d e s ) l e tt w og e n e r a t o r sg l , 9 2s a t i s f ya s s u m p t i o n s ( a i ) a 2 ) a n d t a 5 ) p a s 、v ( y 、曲 r r d ，t - g ( t ，y ，z ) i sc o n t i n u o u s t h e nt h ef o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n sa r e e q u i v a l e n t ： ( i ) f 0 re a c hs t o p p i n gt i m erst ，w eh a v e ： y o ( 9 1 r ，) = k ( 9 2 ，r ，f ) ，比口( n ，乃，p ) ( i i ) p 一口s f o re a c ht r i p l e t ( t ，y ，z ) 0 ，t 】xr r d ，w eh a v e ： g l ( t ，y ，z ) = 9 2 ( t ，y ，o ) t h e o r e m2 3 1 ( t r a n s l a t i o ni n v a r i a n c et h e o r e mf o rg - e x p e c r a t i o n 、l e t ( a 1 ) a n d ( a 3 ) h o l d o rg t h e nt h ef o l l o w i n gt h r e es t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ： ( i ) gi si n d e p e n d e n to ，： ( i i ) 岛碡+ c 】= 岛 刳+ c ，v l 2 ( q ，厅，p ) ，c r ( i i i ) f o r v f l 2 ( q ，而，p ) ，t 【0 ，叨，町l 2 兀，p ) ，w eh a v e ： p a s ，岛 + q i 五】_ 岛吲五 + 叩 t h e o r e m2 3 2 ( s u b a d d i t i v i t yt h e o r e mf o rg - e x p e c t a t i o n ) l e t ( a 1 1a n d ( a 3 1h o l dy o rg t h e nt h ei o l l o w i n gs t a t e m e n t sm e q u i v a l e n t ： ( i ) gi si n d e p e n d e n to i a n dgi ss u b a d d i t i v ew i t hr e s p e c tt o 。，i 七 x 山东大学博士学位论文 d p d t a s ，v 。1 ，z 2 r a ，g ( t ，z l + z 2 ) g ( t ，z 2 ) + g ( t ，z 2 ) ( i i ) i i t h eg - e x p e c t a t i o n 岛i i ss u b a d d i t i v e p r o p o s i t i o n2 3 1 0 l e tgs a t i s f y ( a 1 ) a n d ( a 3 ) s u p p o s e t h eg 。 e x p e c t a t i o n 岛 1i sac h o q u e te x p e c t a t i o n t h e n f i l gi si n d e p e n d e n to yya n dp o s i t i v e l yh o m o g e n e o u sw i t hr e s p e c tt o 。- ( i i ) 可d = 1 ，t h e nt h e r ee x i s t st w ob o u n d e da n dp r o g r e s s i v e l ym e a s u r a b l e p r o c e s s e s ( a ) f d ，即a n d ( 庙) t e o ，丁】s u c ht h a t g ( t ，z ) = q i z l + 8 t z ，v ( t ，。) 0 ，t xr t h e o r e m2 4 2 ( c o n v e r s ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o rg - e x p e c t a t i o n l l e tt w og e n e r a t o r s9 1a n d9 2s a t i 咖a s s u m p t i o n s ( 4 1 ) a n d ( a 3 ) a n db eb o t h i n d e p e n d e n to fy ? t h e nt h ei o l l o w i n gt w os t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) d p xd t o s ，vz r d ，g l ( t ，z ) 9 2 ( t ，。) ； ( i i ) o re a c h l 2 ( n ，疗，p ) ，w eh a v e ：岛。旧岛： t h e o r e m 2 4 4 ( c o n v e r s ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o rb s d e s ) l e t ( a 1 ) a n d ( a 2 ) h o l di o rt w og e n e r a t o r sg l a n d9 2 t h e nt h e ，0 l l o w i n g s t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) d p d t a s ，v ( y ，z ) r r 4 ，g l ( t ，y ，z ) 9 2 ( t ，y ，。) ( i i ) f o rvt 【0 ，丁 ，l 2 ( q ，兀，p ) ：p a s ， k ( g l ，t ) k ( 跏，t ，) ，v s 0 ，t 1 ( i i i ) i nc h a p t e r3 ，w es t u d yj e n s e n si n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o n s u n d e rt h eu s u a la s s u m p t i o n s ( a 1 ) a n d ( a 3 ) ，w eo b t a i nan e c e s s a r ya n ds u b f i c i e n tc o n d i t i o nf o rj e n s e n si n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o n v v ea l lk n o wt h a tj e n s e n si n e q u a l i t yi saf u n d a m e n t a li n e q u a l i t yi n p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dm a r t i n g a l et h e o r y s i n c eg - e x p e c t a t i o ni sak i n do f n o n l i n e a re x p e c t a t i o n ，i ti si n t e r e s t i n gt os t u d yj e n s e n si n e q u a l i t yf o rg e x p e c t a t i o n r o u g h l ys p e a k i n g ，t h ep r o b l e mo fj e n s e n si n e q u a l i t yf o rg e x p e c t a t i o ni s ：g i v e nag e n e r a t o rgs a t i s f y i n g ( a 1 ) a n d ( a 3 ) a n dac o n v e x f u n c t i o n 妒：r 时r ，i f ，妒幢) l 2 ( q ，乃，p ) ，t h e n ，c a l lw ep r o v et h e f o l l o w i n gi n e q u a l i t y 岛b ( f ) 五1 妒 岛( 引五) 】 x i 山东大学博士学位论文 w i l lh o l di ng e n e r a l ? b r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) g a v eac o u n t e r e x a m p l et oi n d i c a t et h a te v e nf o r al i n e a rf u n c t i o n 妒，3 e n s e n si n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o nu s u a l l yd o e sn o t h o l d t h i sy i e l d san a t u r a lq u e s t i o n ： w h a tc o n d i t i o n s s h o u l db eg i y e nt ot h eg e n e r a t o rgs u c ht h a tj e n s e n s i n e q u a l i t yf o rg e x p e c t a t i o nw i l lh o l di ng e n e r a l ? p e n g ( 1 9 9 9 ) i n t r o d u c e dak i n do f n o n l i n e a rm a r t i n g a l ev i ab s d e s ，w h i c h i sc a l l e dg - m a r t i n g a l e ；h ea l s oi n t r o d u c e ds o m en o t i o n ss u c ha sg - s u b m a r t i n g a l e a n dg - s u p e r m a r t i n g a l e a p p l y i n gt h ep e n a l i z a t i o na p p r o a c h ，p e n go b t a i na n e s s e n t i a lr e s u l t ：an o n l i n e a rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fd o o b - m e y e r st y p e f o rg - s u p e r m a r t i n g a h f o rag - m a r t i n g a l e ( x t ) t e o ，t 1a n dac o n v e xf u n c t i o ni p ，w h a tc o n d i t i o n s s h o u l db eg i v e nt ot h eg e n e r a t o rgs u c ht h a t 妒( x ) w i l lb eag - s u b m a r t i n g a l e ? w eh a v et h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s t h e o r e m3 2 2 l e t ( a 1 ) a n d ( a 3 ) h o l df o rg t h e nt h ei o f l o w i n g t h r e es t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) 9i si n d e p e n d e n to fya n dg i ss u p e rh o m o g e n e o u s 加z ； ( i i ) f o re a c h 口，b r ，l 2 ( n ，y r ，p ) ，加eh a v e 岛【o f + 6 n 岛k + 6 ； ( i i i ) j e n s e n si n e q u a l i t y ，0 rg - e x p e c t a t i o nh o l d smg e n e r a l ，i e ，f o re a c h l 2 ( q ，乒 ，p ) a n dc o n v e x f u n c t i o n 妒：r _ + r ，玎妒 ) l 2 ( q ，乒 ，p ) ， t h e n p a s ，v t 0 ，t 】，毛陋( f ) i 五 妒 岛( l 五) 】 c o r o l l a r y3 2 4 l e tgb ei n d e p e n d e n to fy ，g ( t ，0 ) 三0a n db es u p e r h o m o g e n e o u si nz l e t ( 置) t o ，qb eag - m a r t i n g a l ea n d 妒：r - + rb eac o n - v e z 扛n c t i o ns u c ht h a t 妒( 五) l 2 ( n ，五，p ) ，饥 0 ，州t h e n ( 妒( 五) h e l o ，丁】 曲ag - s u b m a r t i n g a l e t h e o r e m3 2 5 l e tgb ei n d e p e n d e n to f jl e t ( a 1 ) a n d ( a 3 ) h o l d 1 0 rg ? 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