（无线电物理专业论文）小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究.pdf

摘要 小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的 应用。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。 本文旨在完善小波的基本理论，提出一些新的小波去噪算法，进一步拓宽小波的 应用范围。主要工作包括： 详细讨论了小波分析的基本理论；介绍了连续小波变换、离散小波变换和二 进小波变换；给出离散二进小波变换的快速分解与重构算法；最后研究了小波基 的数学特性，分析了它们对实际应用的影响和作用。 详细介绍了小波变换模极大值去噪的原理，分析了去噪过程中几个参数的选 取问题，并给出一些选取依据；对小波阈值萎缩去噪方法的几个关键问题进行了 详细讨论，并提出了一些改进方案，最后通过仿真实验，证明了这些改进方案的 有效性；在相关去噪算法的基础上，提出了一种组合去噪算法，数值试验结果表明， 由该算法滤波之后得到的小波系数不仅连续性好，准确率高，而且易于重构信号。 详细讨论了基于g c v 准则的小波阈值图像去噪方法，在b a y e ss h r i n k 闽值去 噪方法基础上，给出了自适应b a y e ss h r i n k 阈值图像去噪方法。通过实验表明了 上述两种方法的有效性和可行性。 关键词：小波变换阈值信号去噪图像去噪 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si sar a p i d l yd e v e l o p i n ga n dn o v e ls u b j e c t n o w a d a y s ，i th a sb e e n w i d e l y u s e di n p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s t os t u d yt h en e wt h e o r nm e t h o d sa n d a p p l i c a t i o n so fw a v e l e t si so fg r e a tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e t h i s d i s s e r t a t i o na i m st oc o n s u m m a t et h ew a v e l e tt h e o r y , p r e s e n ts o m en e ww a v e l e t d e n o i s i n ga l g o r i t h m sa n dd e v e l o pt h en e ws c o p e so fw a v e l e ta p p l i c a t i o n s t h et h e s i s m a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： t h ef u n d a m e n t a lt h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i sa l ed i s c u s s e di nd e t a i l c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ，d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dd y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r ma r e i n t r o d u c e d t h ef a s ta l g o r i t h mo fd i s c r e t ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mi sg i v e n f i n a l l y , a na n a l y s i si sm a d eo nt h ei n f l u e n c eo ft h ew a v e l e tb a s e so np r a c t i c a la p p l i c a t i o n sb y s t u d y i n g t h e i rm a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e s 。 t h ep r i n c i p l e so fw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m ad e n o i s i n gm e t h o da r e i n t r o d u c e di nd e t a i l ，a na n a l y s i so ft h ec h o i c eo fs o m ep a r a m e t e r si nt h ep r o c e s so f d e n o i s i n gi sm a d ei nd e t a i l ，a n ds o m ec h o i c eg r o u n d sa l eg i v e n s o m ek e yp r o b l e m s o nd e n o i s i n gm e t h o db a s e d0 1 1w a v e l e tt h r e s h o l da r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n ds o m e i m p r o v e m e n ts c h e m e sa l ep r o p o s e d ，a n dt h es i m u l a t i o nt e s t i n gh a sp r o v e dt h e e f f e c t i v e n e s so ft h es c h e m e s ac o m b i n a t i o nd e n o i s i n ga l g o r i t h mb a s e do nt h es p a t i a l c o r r e l a t i o n - b a s e da l g o r i t h mi sp r e s e n t e d ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ef i l t e r e d w a v e l e tc o e f f i c i e n t si nt h ep m p o s e d a l g o r i t h mh a v et h ea d v a n t a g e so fg o o dc o n t i n u i t y ， h i g ha c c u r a c ya n dc o n v e n i e n c ef o rs i g n a lr e c o n s t r u c t i o n a ni m a g e d e - n o i s i n gm e t h o do fw a v e l e ts h r i n k a g et h r e s h o l db a s e do ng e n e r a l i z e d c r o s sv a l i d a t i o n ( g c v ) i sd i s c u s s e di nd e t a i l a n da ni m a g ed e n o i s i n gm e t h o do f a d a p tb a y e ss h r i n kt h m s h o l db a s e d0 1 1b a y e ss h r i n kt h r e s h o l di sp r e s e n t e d t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tb o t ht h em e t h o d sa b o v e p r e s e n t e da r ee f f i c i e n ta n d p r a c t i c a l k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r mt h r e s h o l d s i g n a ld e n o i s i n g i m a g ed e - n o i s i n g 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：登烂日期呈堡些! 兰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学；本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名 导师签名： 季镪返! 日期型丛i 兰 日期! 翌堑、_ 2 第一章绪论 第一章绪论 小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继f o u r i e r 分析的 一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具， 在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。它既包含有丰富的数学理论，又是工 程应用中强有力的方法和工具。小波分析的发展推动着许多其他学科和领域的发 展，使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。探讨小波的新理论、 新方法以及新应用已经成为当前数学界和工程界的一个非常活跃和富有挑战性的 研究领域。 所谓小波分析，从数学角度去看，它属于调和分析范畴，从事计算数学的工 作者把它认为是一种近似计算的方法，用于把某一函数在特定空间内按照小波基 展开和逼近，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、数值分析的最 完美结晶；从工程角度去看，小波分析是一种信号与信息处理的工具，是继f o u r i e r 分析之后的又一有效的时频分析方法i l 】。小波变换作为一种新的多分辨分析方法， 可同时进行时域和频域分析，具有时频局部化和多分辨特性，因此被誉为分析信 号的“数学显微镜”，它特别适合于处理非平稳信号。 小波分析是当前数学中的一个迅猛发展的新领域，也是由f o u r i e r 分析发展起 来的一个新的数学方法，因而它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。 它利用小波基取代传统的三角函数基，从而对函数进行分解与综合，由于这样的 基简单( 一维时它是由一个函数妒o ) 经由平移与伸缩而得到的) ，性质好( 其中 妒0 ) 充分光滑，快速衰减，具有振动，状如小波) ，它能为理论与应用的许多分 支提供对函数进行分析的更方便的工具。与f o u r i e r 变换、加窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l e a n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题 2 1 。 与f o u r i e r 分析类似，在小波分析中，也存在积分小波变换、小波级数和离 散小波变换。小波分析与f o u r i e r 分析的本质区别在于：f o u r i e r 分析只是考虑时 域和频域之间的一对一映射，它以单个变量( 时间或频率) 的函数表示信号；小波 分析则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号，从根本上克服了f o u r i e r 分析只 能以单个变量描述信号的缺点。小波分析与时频分析的区别则在于：时频分析在 时频平面上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但 不是在时频平面上，而是在所谓时间一尺度平面上。在小波分析中，人们以不同 的尺度( 或分辨率) 来观察信号，信号分析的这种多尺度( 或多分辨率) 的观点是小 波分析的基本点嵋j 。 小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究 1 1 小波分析的发展回顾 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。它的起源可以追朔到上个世纪初。 1 9 1 0 年，h a a r 提出的规范正交小波基的思想，构造了紧支撑的f 交函数系一h a a r 函数系，这是最早的小波基，但是当时并没有出现“小波”这个词。1 9 3 6 年 l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论，对频率按2 进 行划分，其f o u r i e r 变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的 最早来源。1 9 4 6 年，g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换1 ，使得对信号的 表示具有时频局部化性质，对弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定的作用，但并没 有彻底解决这个问题。后来，c a l d e r o n ，z y g m u n d ，s t e r n 和w e i s s 等人将l - p 理 论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。1 9 6 5 年c a l d e r o n 给出了再生公式。 1 9 7 4 年，c o i f m a n n 对一维日，空间和高维，空间给出了原子分解。1 9 7 5 年， c a l d e r o n 用他最先提出的再生公式给出了抛物型1 的原子分解，这一公式现在成 为许多函数分解的出发点，其离散形式已接近小波展开。此后许多数学家为着各 种不同的目的，给出了各自函数空间上的“原予分解”、“分子分解”、“拟正交分 解”、“框架分解”等。1 9 7 6 年，p e e t r e 在用l - p 方法给出b e s o v 空间统一描述的 同时，引入b e s o v 空间的一组基，其展开系数的大小刻画了b e s o v 空间本身。这 些工作为小波分析奠定了基础。7 0 年代末，法国地质物理学家m o r l e t 试图改良加 窗傅里叶变换( o a b o r 变换) 依赖于窗位置和频率分量的分析方法，而用一种窗函数 的收缩与平移构造基函数变换，用于油气勘探的非稳定性地震信号分析。从8 0 年代开始，小波理论研究才真正有了巨大进步。1 9 8 2 年，s t r s m b e r g 构造了一组 具有指数衰减且有限次导数连续的小波基1 3 】；1 9 8 4 年，m o r l e t 在分析地质数据时 基于群论首先提出了小波m 细e l e t ) 的概念【4 l ，之后m o r l e t 和法国理论物理学家 g r o s s m a n n 给出了按一个确定匾数妒的伸缩平移系展开的系统理论和进行信号表 示的新思想；随后，m e y e r 证明了一维小波的存在性【5 1 ，并构造了具有一定衰减 性质的光滑小波函数，统一了在此之前提出的各种具体小波基的构造方法；到 1 9 8 6 年，m e y e r 和m a l l a t 合作，将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到 小波分析中小波函数的构造，提出了多分辨分析的理论框架卧】，为芷交小波基的 构造提供了一般的途径，多分辨分析的思想是小波的核心，它是理论与应用的结 晶，至此，小波分析才真正形成为- 1 7 学科。之后，人们构造了大量的小波，其 中包括b a t t l e 和l e m a r i d 构造的具有指数衰减的光滑小波一b a t t l e l e m a r i d 小波和 第一个双正交小波- - t c h a m i t c h i a n 小波等，比较引人注目的是，1 9 8 8 年，年轻的 女数学家d a u b e c h i e s 构造了一类具有紧支集的有限光滑正交小波函数1 7 】，该小波 第一章绪论 得到了非常广泛的应用。1 9 8 9 年，随着小波理论的进一步发展，m a l l a t 提出了实 现小波变换的快速算法一m a l l a t 算法f 6 月】，是小波分析理论中突破性的成果，其作 用和地位相当于f o u r i e r 分析中的快速f o u r i e r 变换( h 吓) ，m a l l a t 算法的提出标 志着小波分析由理论研究走向宽广的应用领域。1 9 9 0 年，美国a & m 大学的 c k c h u i ( 崔锦泰) 和王建中构造了基于样条的单正交小波函数【9 , 1 0 , 1 1 ，并讨论 了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数，与此同时，r r c o i f m a n 和 m v w i c k e r h a u s e r 通过对母小波函数进行伸缩、平移和调制，提出了小波包的概 念【1 2 , 1 3 】，并将m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波包算法。1 9 9 3 年，一份专门刊 载小波理论和应用发展的国际刊物“a p p l i e da n dc o m p u t a t i o n a l h a r m o n i c a n a l y s i s ”，在美国正式创刊，标志着小波理论研究进入新的阶段。 1 2 当前小波应用研究工作的几个主要方面 在小波理论发展的同时，小波应用的研究工作也在不断的开展，主要集中在 以下几个方面： ( 1 ) 小波在数学其它分支中的应用【体1 8 l ，如求微分方程、积分方程，函数逼 近，分形、混沌问题，概率小波，非线性分析等等。1 9 8 8 年，a m e o d o 和g r a s s e a u 把小波理论运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生成现象；1 9 9 0 年， b e y l k i n 和c o i f m a n 把小波用于算子理论；1 9 9 1 年，j a f f & r d 与l a u r e n e o t 把小波变 换运用于偏微分方程的数值解。 ( 2 ) 小波在信号处理中的应用【1 ，8 ，矧，包括信号的检测、识别以及去噪等，比 如语音信号、雷达信号、医学信号、天文信号、地震信号、机械故障信号等等。 ( 3 ) 小波在图像处理中的应用【1 喇，其中包括图像数据压缩、去噪、融合， 数字水印，指纹鉴别，模式识别等。 ( 4 ) 小波在通信中的应用，如c d m a ，自适应均衡，扩频通信，分形调制等。 ( 5 ) 小波神经网络( w a v e l e tn e u l r a ln e t w o r k s ) 的研究及其应用 2 3 - 2 5 1 。 6 ) 小波理论在人类社会发展中的应用。 脊波理论及其在图像处理方面的应用是当前研究的热点。 小波应用之广泛，让许多科学家和工程研究人员感到惊诧。近年来有许多重 要的国内外期刊经常报道有关小波应用的动态、最新研究成果，有代表性的刊物 有i e e et r a n s o ns i g n a lp r o c e s s i n g ，i e e et r a n s o ni m a g ep r o c e s s i n g ，a p p l i e da n d c o m p u t a t i o n a lh a r m o n i c a n a l y s i s ，还有国内的电子学报，电子与信息学报，信号 处理等。另外，国际互联网上的小波资料也非常丰富，报道最新的小波文献，国 4 小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究 际会议，电子文摘，各著名大学和科研机构的小波研究组及其主要成果，比较著 名的网站有h t t p ：w w w w a v e l e t s c o m ，h t t p ：w w w w a v e l e t s o r g 。 1 3 小波去噪方法的研究概况 近年来，小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质 的小波，1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人提出基于r 元的多分辨分析，建立了多小波的基本 理论框架1 2 6 j ；并给出了样条多小波的例子。同年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 利用分形插值【2 7 】，成功地构造了具有短支撑集、正交、对称和二阶消失矩的两个 尺度的函数f = 慨0 ) ，妒，o ) r ：1 9 9 3 年，s t e f f e np 和h e l l e re n 等人构造了m - 带 小波 埘；1 9 9 2 年，d o n o h o 给出了插值小波和小波变换等i ”。除此之外，也从另外 一个角度放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，如框架i ”j 等， 1 9 9 2 年，v a i d y a n a t h a np e v e t t e r l im ，h e r l e yc 以及s t r a n gg 等人发展了滤波器组 理论1 3 3 - 3 s 】，1 9 9 6 年，u n s e rm ，t h e r e n a zp i 和a l d r o u b i a 从样条函数出发构造了一组 平移正交小波基 3 6 3 7 】等，使得小波理论不断完善。另外，1 9 9 5 年，s w e l d e n s 提出一 种基于空间域的小波构造方法一提升技术【3 8 , 3 9 1 ，它是构造第二代小波( t h es e c o n d g e n e r a t i o nw a v e l e t ) 的基本工具。1 9 9 8 1 9 9 眸, e j c a n d b 和d ld o n o h o 建立 了脊波( r i d g e l e t ) 变换，脊波在直线特征的表示和提取中非常有效，为了进一步 表示多维信号中更为普遍的曲线型奇异性，又发展出局部脊波变换和曲波 ( c u r v e l e t ) ，用多个尺度的局部直线来近似表示整条曲线，从而解决了小波处理 高维奇异性带来的问题。脊波和曲波的研究还剐剐开始，但它在诸多领域显示出 的优良性质已经为越来越多的研究者所关注i 小嘲。 随着小波理论的日益完善，它的应用领域也越来越广泛，现在，它已经在科 技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的 一个领域，它的重要方面是信号和图象处理。现今，信号处理已经成为当代科学 技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确地分析、诊断、编码压缩和量 化、快速传递或存储、精确地重构( 或恢复) 。从数学的角度来看，信号和图像的 处理可以统一看作是信号处理( 图像可以看作是二维信号) ，在小波分析的许多应 用中，都可以归结为信号处理问题。现在，平稳信号处理的理想工具仍然是f o u r i e r 分析，但是在实际应用中的绝大多数信号是非平稳的，丽特别适用于非平稳信号 的工具就是小波分析。 m a l l a t 是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，它建立了小波变 换快速算法，运用于信号和图像的分解与重构【4 9 】，之后又通过l i p s e h i t z 指数刻画 第一章绪论 信号的奇异性，并给出用小波变换进行信号奇异性检测的基本原理1 5 ，他的又一 贡献是利用信号和噪声经过小波变换之后在各尺度上的不同表现，提出了一种利 用小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法【4 9 。”1 ，这是小波去噪的最经典的方 法。m a l l a t 通过对小波系数的模极大值处理之后，在小波变换域内去除了由噪声 对应的模极大值点，仅保留了由真实信号所对应的模极大值点，然而仅仅利用这 有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的。因此，基于模极大值原理进行 信号去噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。m a l l a t 提出的交替投 影( a l t e r n a t i v ep r o j e c t i o n s ，简记为a p ) 算法【4 9 j 较好地解决了这个问题。然而， a p 算法计算量很大，需要通过迭代实现，有时还不稳定。 x u 等人于1 9 9 4 年提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法【5 2 】，根据信号 与噪声的小波变换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波，该方法虽不够精确， 但很直接，易于实现。在该算法的实现过程中，噪声能量的估计非常关键。p a n 等人推导出噪声能量阚值的理论计算公式，并给出了一种估计信号噪声方差的有 效方法【5 3 , 5 4 ，使得空域相关滤波算法具有自适应性。 s t a n f o r d 大学以d o n o h o 为首的一个学术群体致力于信号去噪的研究，取得了 大量的成果。d o n o h o 和j o h n s t o n e 等人于1 9 9 5 年提出了信号去噪的软阂值方法和 硬阈值方法，推导出计算通用阈值的公式和基于s t e i n 无偏估计的s u r e 闽值公 式，并从理论上证明了该阈值是最优的【5 5 。5 7 1 。同年，c o i f m a n 和d o n o h o 提出了平 移不变小波去噪1 5 8 1 。g a o 和b r u c e 把d o n o h o 的软阈值和硬阈值方法进行推广， 提出了s e m i s o f t 阈值方法，通过比较说明s e m i s o f t 阑值方法比硬闽值方法连续性 好，比软闽值方法有更小的偏差等优点f 5 蝤1 1 。 j a n s e n 等人于1 9 9 7 年采用g c v ( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ) 估计器来估计小 波阈值，从而对图像中的相关噪声进行去除【配删。 1 9 9 8 年d o w i n e 和s i l v e r m a n 提出了多小波的通用阙值公式【6 6 j ，同年b u i 和 c h e n 把平移不变小波去噪推广到多小波的情形i 明。 h s u n g 等人1 9 9 9 年提出一种基于奇异性检测的去噪方法【醴】，与m m l m 的模 极大值原理去噪方法类似，但它不进行模极大值检测与处理，因而避免了复杂的 重构，而是通过计算一个锥形影响域内小波系数模的和值来估计信号的局部正则 性，从而对小波系数进行滤波。该方法几乎不需要噪声的先验信息，并易于推广 到二维图像的去噪。 1 9 9 9 年e j c a n d e s 和d ld o n o h o 建立了脊波( r i d g e l e t ) 变换 4 0 1 和曲波 ( c u r v e l e t ) 【4 3 j ，并将它们应用到图像去噪中，与相应的小波方法相比，脊波或 曲波的去噪效果更好，特别是对噪声较为严重的信号，曲波方法可以得到非常好 的处理结果1 4 5 j 。 2 0 0 0 年，在基于无噪图像小波系数服从广义高斯分布( g e n e r a l i z e dg a u s s i a n 小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究 d i s t r i b u t i o n ，简记为g g d ) 的假设前提下，c h a n g 等人提出一种针对图像的b a y e s s h r i n k 闽值去噪方法1 6 9 , 7 0 j ，取得了很好的去噪效果。 总之，最近几年来有关小波去噪的文献非常多1 7 1 _ ，己取得了不少好的结果。 本文在分析这些结果的基础上，进行了更加系统和深入的讨论，作了一定的改进 并提出一些新的算法，并与原有方法作了比较，说明各算法的优劣特性以及适用 范围。 1 4 本文的主要工作 小波理论经过十多年的发展虽然取得了许多非常重要的成果，但仍然有 一。些根本性的问题尚待解决，如小波的构造问题，构造出各种小波，并揭示出它 们之间的关系是研究和应用小波的基础。小波应用虽然在某些领域取得了惊人的 效果，但依然有许多局限性，小波并不是“放之四海而皆准”的工具和方法，小 波能否取得成功的应用，必须视实际问题雨定。应用问题是否适合于小波分析， 这是小波研究者应该首先考虑的，另外针对问题的特殊性和不同的研究角度，选 择具有优良特性的小波基也是相当重要的，如何根据信号的特点和信号处理的需 要自适应地选取最优小波的问题一直是小波理论与应用研究领域的重要问题之 一，也一直是小波研究领域悬丽未解的问题。另外，在小波应用的具体技术和方 法上也还有很多工作要做，譬如，如何建立高维小波变换和连续小波变换的高效 快速算法，并将其推向实际应用就是一个值得研究的重要课题。小波理论与分形 7 5 1 、神经网络f 强2 5 】等一些非线性方法已有一定的结合，但在应用的过程中本质 上的突破并不多，甚至还出现了一些新的问题有待解决。如何开辟一些小波新的 应用研究领域也是一个非常富有挑战性的课题。 本文旨在研究小波的最新理论，进一步完善从小波理论到小波应用的桥梁， 在前人提出的有关小波去噪算法的基础上，展开更加系统和深入的讨论，力求探 索一些小波理论在信号与图像去噪中的一些新的方法。主要工作包括： 第一章是绪论部分，主要回顾- f ，j , 波分析这一新兴学科的发展概况，介绍了 有关小波理论和应用的国内外进展情况，前人的研究成果以及本文研究工作的目 的、范围和研究方法，并简要介绍了全文的主要内容，对全文的各章节做了总体 安排。 第二章主要讨论了小波分析的基本理论，首先介绍了多分辨分析及规范正交 小波基的一般构造方法；然后介绍了连续小波变换、离散小波变换和二进小波变 换，并给出离散二进小波变换的快速分解与重构算法；最后分析7 d , 波基的数学 特性，包括正交性，正则性，消失矩，紧支性以及对称性等。讨论了这些性质之 第一章绪论 间的相互联系和制约关系，给出了每一性质对实际应用所产生的影响，并从信号 处理的角度出发，给出选择小波基时应偏重的一些特性。 第三章比较系统地讨论了一维信号的三大类小波去噪方法：即基于小波变换 模极大值原理的去噪方法，小波闽值去噪方法以及基于小波变换尺度相关性的去 噪方法。在原有算法的基础上作了大量的改进，也提出一些新算法，取得显著的 去噪效果。详细介绍了小波变换模极大值去噪的原理，分析了去噪过程中几个参 数选取的问题，即尺度的选取，阈值的选取和传播邻域的选取，详细讨论了它们 与信号、噪声等的具体联系以及它们的选取依据，得出了以上参数的选取应根据 信号和噪声的具体特性尤其是s n r 的大小具有自调节功能的结论，最后给出了具 体算法和仿真实验，由于该算法计算量很大，程序复杂，因此速度较慢，而且其 计算过程可能不稳定，不便于实际应用，因此，寻求一种新的更加简洁、有效的 算法具有实际意义。针对小波闽值萎缩去噪方法的几个关键问题进行了详细讨论， 首先讨论了基小波和小波分解层数的选择与信号去噪之间的具体联系，并给出了 一些选择依据，其次讨论了阈值函数的选取问题，并针对硬阈值方法和软阈值方 法的固有缺点，提出了四种改进方案，然后对常用的四种阈值选择规则进行了详 细讨论，并给出了一些选择依据，最后通过仿真实验得出一些有用的结论。在传 统相关去噪方法的基础上进行了一定改进，并把相关去噪方法和阈值去噪方法结 合在一起，得到了一种组合方法，由该方法滤波之后得到的小波系数不仅连续性 好，准确率高，而且易于重构信号，该方法的去噪结果尤为显著，是一种实用有 效的算法。最后对上述三种方法进行了分析和比较，从不同的角度分析了这些算 法的性能，并指出现有算法存在的一些局限性。 第四章研究了小波变换在图像去噪中的应用，详细讨论了基于g c v 准则的 小波阈值去噪方法，该方法只利用输入数据就可以直接得到渐近最优阈值，而不 需要估计噪声的方差，从而克服了实际去噪问题中噪声方差估计困难的缺点，并 且由于用这种准则得到的最优阈值趋近于理想阈值，所以经常能够获得较好的去 噪效果，是一种实用有效的去噪方法，具有广阔的应用前景。另外，深入研究了 b a y c ss h r i n k 阈值去噪方法，该方法是在基于无噪图像小波系数服从广义高斯分 布( g e n e r a l i z e dg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ，简记为g g d ) 的模型假设得到的，由于该 方法考虑了原始信号( 或图像) 小波系数的先验信息，势必会使去噪的误差进一 步减少，并针对b a y e ss h r i n k 闽值去噪方法对每一予带设置统一的阈值的不合理 之处进行了改进，得到了自适应b a y e ss h r i n k 阙值去噪方法，它是一种空域自适 应小波阈值去噪方法，自适应b a y c ss h r i n k 阈值方法可以自适应的在图像平滑区 域去除噪声而在边缘和纹理区域不带来太多干扰，这种方法是空域自适应去噪的 典范，并且同时用到了层间和层内的相关信息，是目前小波去噪方法中能达到很 小去噪误差的方法，通过实验表明，该方法的去噪效果非常有效，其不足在于需 小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究 要较为繁锁的计算。 第二章小波分析的基本理论 第二章小波分析的基本理论 小波理论是一门发展相当迅速的新兴学科，一开始就引起了众多数学家和工 程界人士的高度重视。经过十多年的发展，其数学理论已经基本成熟，并在许多 其它学科得到了广泛的应用。本章主要讨论小波分析的基本理论，首先介绍多分 辨分析及规范正交小波基的一般构造方法；然后介绍了连续小波变换、离散小波 变换和二进小波变换，并给出离散二进小波变换的快速分解与重构算法；最后分 析了小波基的数学特性，包括正交性，正则性，消失矩，紧支性以及对称性等， 讨论了这些性质之间的相互关联和制约关系，给出了每一性质对实际应用所产生 的影响，并从信号处理的角度出发，给出选择小波基时应偏重的一些特性。 2 t 多分辨分析及小波基函数的构造 2 1 1 多分辨分析( m r a ) 定义2 1 设 胆为工2 僻) 的一串闭子空间，如果满足下面五条7 7 1 ，则 称 ) 麒为三2 ( r ) 的一个多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，简称m r a ) ： 单调性：c + 。c 巧一，c ，w z ； 逼近性：n 巧一 吣，u 巧- l 2 僻) ； 脚j 留 平移不变性：f ( z ) e v f f ( x - k ) e v ，z ： ( d 二进伸缩相关性：f ( x ) e v j 昔f ( 2 ) e v o ，j e z ； r i e s z 基的存在性：存在g o ) ，使得船 一七) ) 比是k 的r i e s z 基。 g ) 称为多分辨分析 脚的一个尺度函数。多分辨分析又称为多尺度分析。 定理2 1 设 ) 皿为上2 ( r ) 的一个m r a ，则存在妒o ) k ，使得 驴o 一七) 。构成的规范正交基。 例如可取 小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究 多e 甜，；【z z 荟l 季c 。+ z m 石，2 1 1 叫2 季c 。， 即 a 嘛陬倒2 l r 鼬，) 。 ， 推沧2 1 设 芦为p ( r ) 的一个m r a ， 妒g 一) t e z 为的规范正交基， 则对任意je z ， 2 刊2 妒( 2 一工一七) 。为的规范正交基，即 = s p a n 2 一7 2 妒( 2 一z 一七) ) 女e z 2 1 2 l 2 僻) 的正交分解 在m r a 的定义中， 皿是一个单调的嵌套子空间序列，而不是工2 僻) 的 正交分解，所以不能由( ，z ) 中的规范正交基 2 州2 妒( 2 一z 一七) ) 。得到工2 ( 尺) 规范正交基。为了使r ( r ) 中的函数能在新的正交基( 小波基) 下展开，m r a 下 一步的工作就是通过正交补的方法，从 胆构造出2 ( r ) 的正交子空间序列 册j ) 皿，即小波子空间序列，使2 僻) 得到正交分解 并且满足 称是在一。中的正交补。 显然 r 。里。，殳 巧0 一巧一 错l “3 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 上坼( 当七一j 时) ( 2 5 ) j o = 巧一， ( 2 - 6 ) ，旦4 巧。0 。三2 职) ( 2 。7 ) 因为彤 群满足m r & 的定义条件，因而由彤 皿通过正交补得到的 ) 皿 第二章小波分析的基本理论 也具有平移不变性和二进伸缩相关性。 和一样，我们希望在w o 中找到相应的基函数妒 ) ，称之为小波函数 ( w a v e l e tf u n c t i o n ) 使得对每一个j e z ，函数系伽，# ) t z 构成空间的规范诈 交基，其中妒m 0 ) = 2 - j 2 妒( 2 一x - k ) ，即 讳? = s p a n 2 - j 2 妒( 2 一。x 一七) ) 这时称为具有2 1 分辨率的小波子空间。注意到诸空间的平移不变性和 它们之间的二进伸缩相关性，我们只要找到妒e w o ，使得伽0 一) ) 。构成的 规范正交基即可。 2 1 3 小波函数妒( z ) 的构造 因为妒k c e ，且 妒_ 1 。) 皿即 v 2 q 吖a 一砂 。构成空间t 。的规范正交基， 故有 荆一 。妒山一2 。硝勉一砂( 时域二尺度方程) ( 2 8 ) r “ 其中 。叫仍礼。，z l k l 2 - 1 ( 2 - 9 ) 忙。 。称为低通滤波器的冲激响应。 对( 2 8 ) 式两端作f o u r i e r 变换得 驴( ) 一噎摹九e m 酬2 弦和2 ) 即 庐 ) - h 2 ) 矿p 2 ) ( 频域二尺度方程) ( 2 - l o ) 其中 即) 一击弘产( 2 - 1 1 ) 日 ) 是一个以2 a 为周期的函数，称为低通滤波器的传递函数，且满足 l h ( e o ) 1 2 + 1 日( + 玎) 1 2 1 ( 2 1 2 ) 里 小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究 类似地，设妒彬，它等价于妒上且妒k 。由妒k 。，且 妒。) ，。即 、厂j 卉a n j 。z 构成空问的规范正交基，故有 其中 妒俐；g 以枷= 压g 。e ( 2 x 一砂( 2 - a 3 ) g 。2 0 s ；，t 吲+ 一，g ，4 - ：d 。f $ 日j ( 2 3 4 ) i = i 一1 e n do fw h i l e 第二章小波分析的基本理论 其中一h j 和虿表示h j 和g ，的共轭。重构算法的运算量也为o ( n l o g n ) 。 上式只适用于正交小波的情况，对于非正交小波，则要采用重构小波对应的滤波 器系数k ，和上，相应的重构公式变为 墨：i f w ；n f * k i + s ：。f * l | q - 3 5 ) 2 4 小波基的数学特性 2 4 1 正交性 正交性是小波基的一个非常优良的性质，也是一个非常朴素的性质，早期研 究的小波大多是正交小波，它在理论上是近乎完美的。正交小波对应的低通滤波 器和高通滤波器系数之间有着直观的联系，即g 。一( - 1 ) 4 h ，一。或占。t ( 一1 ) 一h 一。( 它 们在相差一个平移因子的意义下是等价的) ，这对正交小波的构造和实际应用都带 来很大的方便。通过正交小波基进行多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互 正交的工2 僻) 的子空间中，使各予带数据相关性减小，这有利于数值计算和数据 压缩，另外在计算小波反变换时，熏构滤波器和分解滤波器之间只差一个共轭， 算法更加简洁。从多分辨分析出发构造正交小波基已成为一种非常经典的方法， 之后的m a l l a t 快速算法最初也是针对正交小波提出来的。 对于任一函数c p ( x ) e l 2 僻) ，其平移系伽0 一七) ) 括构成规范正交系的充要条 件f 明是 ( q o ( x - k ) , 伊( x - 1 ) ) - 6 “ ( 2 3 6 ) 或 + 2 ：石) 2 。否1 ( 2 - 3 7 ) 设日( m ) 和g ( 山) 分别是规范正交小波基对应的低通和高通滤波器传递函数， 则它们都是以2 0 r 为周期的函数，并且 口 )g ( ) 1 l h ( o j + 石) g ( + 石) l 堡小波分析及其在信号、图像降噪中的应用研究 为一酉矩阵，其中1 4 ( o ) = 1 。 但是，能准确重建的、正交的、具有线性相位的有限冲激响应滤波器组是不 存在的，在实际应用中，要么舍弃其正交性条件，要么丢掉其对称性( 即线性相位1 。 另外，从正交性角度出发可以把小波基分为四类，它们分别是正交小波基n 半正交小波基【”1 、平移丁f 交小波基【3 6 j 7 和双正交小波基【8 0 t 8 1 】，其中正交基和双正 交基最为常用。除正交小波基外，其余小波基对应的分解滤波器和重构滤波器都 是不同的，我们可以根据需要设计分解滤波器和综合滤波器的长度，尽可能既提 高分解速度，又保证其重构精度。 2 4 2 消失矩 定义2 8 对于小波函数妒o ) p ( 尺) 如果它满足 丘, p ( x ) d x 一0 ，r - 嗡r 一1 ( 2 - 3 8 ) 则称妒( 石) 具有r 阶消失矩。 定义2 8 的条件等价于妒( 在m t 0 处有r 阶零点，即 掣i 矿。，- 0 , 1 州( 2 - 3 9 ) 对于一般的小波来讲，需满足 j = 。妒 ) 出t 0 ( 2 4 0 ) 因此，至少有一阶消失矩。 为了满足小波函数生成的基本条件妒( 0 ) 一0 ，要求它对应的高通滤波器g ( 埘) 应含有因子