（概率论与数理统计专业论文）非正规设计的最优设计准则.pdf

摘要 在科学研究和生产实践中，两水平的部分因析设计是研究两个或两个以上因子的最常用工 具对于所有主效应都正交的设计( 也称为正交主效应设计) 可分为两大类类是正规设计， 具有很好的投影性质，这类设计完全由由定义关系决定，具有简单的别名关系( 任意两个效应 或者完全正交，或者完全混杂) 另外一类是非正规设计，它们的别名关系非常复杂，即在这些 设计中存在两个效应既不完全正交，也不完全混杂但是两水平的正规设计的试验次数都形如 2 m ，m ，p z ，这些数值之间有很大的间隔在很多时候，允许进行的试验次数n 介于2 的幂 次之间，因此不存在大小为n 的正规设计，但是当n 1 0 0 ，n 一4 m ，大小为n x ( n 一1 ) 时，两 水平正交非正规设计几乎都存在而且h a m a d aa n dw ，( 1 9 9 2 ) 证实了一些正交的非正规设计复 杂男町名关系里是有可能探涌出交互效应的因此非正规设计的使用越来越多 在试验设计中，个重要问题是如何将设计进行系统化地比较和排序，即评选出优劣评价 2 m 一一这样的正规设计的常用准则有最大分辨度准则、最小低阶混杂准则、最大估计能力准则和 纯净准则等但是在非正规设计中，由于效应的别名呈现种复杂的形式，评价正规设计优劣的 很多准则就不再适用了然而无论正规设计还是非正规设计，效应的别名关系在很大程度e 反映 在它们的投影性质上因此对非正规设计的投影性质的研究就变得非常有意义c h e n g ，l i na n d d r a p e r ，w a n ga n dw u 等人从投影角度对非正规设计傲了很深入的研究提出了一些设计问的比 较准则，像g m a 准则，g 2 m a 准则，v ( d ) 准则，示形函数准则等 本文系统地介绍和分析了非正规设计的投影性质和基于这些性质的最优设计选取准则。并将 这些准则进行详细地比较，得到了些有意义的结果主要包括， l ，面对这么多的准则，每个准则都有它的适用范围，什么情况下造取何种准则更合理? 本文在 第四章第一节对几种最优设计选取准则进行了系统地比较，分析了它们的优缺点，并详细给 出了几种准则适用的范围在第四章第三节中给出了几种准则的几何解释 2 在做试验时，我们常常为了数据分析的方便，而忽略一些两因子的交互作用当两因子交互 效应确实存在。而在拟台模型中忽略它们的作用，就会使效应估计值产生定的偏差，我们 关心的是不同的非正规设计中者中这种偏差的大小从这个角度出发，本文第四章第二节给 出了最大广义分辨度准刚，g m a 准则，和g 2 f a 准财杠慎型中的统计意义证明了g m a 准贝! i 侧重提高园子效应的估计精度，g 2 m a 准则对提高模型对因子效应的估计的稳鲑性有 深刻意义 3 。正如第章所讨论的，当试验条件允许再做少量的跟随试验时，我们对跟随试验中活跃因子 的水平如何选择有了较为细致的讨论但是为了完成试验，也必绠设置惰性因子水平问题是 如何设计惰性因子水平，才能使总体设计更合理，使投影设计中关心的因子效应受到的污染 不大这其实就是考虑新的总体设计中活跃因子效应与惰性因子效应的混杂问题文在第四 章第三节给出了三种选琅惰性因子水平的方法。对三种方法进行了详细比较，分析优缺点 摘要 4 本文在第三章第二节中，对v ( d ) 准则中的些简单结论做了证明 关蕾调。非正规设计，投影设计，投影特征，一特征，广义分辨度，混杂频数向量，g m a 准 则，g 2 m a 准则，跟随试验 a b s t r a c t e x p e r i m e n t a ld e s i g n sw i t ht w ol e v e l sa r ew i d e l yu s e di ns c i e n t i f i ci n v e s t i g a t i o no fi n d u s t r y , a g r i c u l t u r e ，b i o l o g y , m e d i c i n e c o n 3 n n m j c a t i o n ，c o m p u t e r s c i e n c ea n d ) o n i n r e c e n t y e a r s o r t h o g - o n a lf a c t o r i a ld e s i g n sc o x lb eb r o a d l yc l a s s i f i e di n t ot w oc a t e g o r i e s ：r e g u l a rf r a c t i o n a lf a c t o r i a l sa n d n o n r e g u l a rf r a c t i o n a lf a c t o r i a l s ar e g u l a rf r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g ni sd e t e r m i n e db yi t sd e f i n i n g r e l a t i o na n dh a sas i m p l ea l i a s i n gs t r u c t u r ei nt h a ta n yt w oe f f e c t sa r ee i t h e ro r t h o g o n a lo rf u l l y a l i a s v di nc o n t r a s t ，an o n r e g u l a rf r a c t i o n a lf a c t o r i a le x h i b i t ss o m ec o m p l e xa l i a s i n gs t r u c t u r e ， m e a n i n gt h a tt h e r ee x i s te f f e c t st h a ta r en e i t h e ro r t h o g o n a ln o rf u l l ya l i a s e d r g u l m f a c t o r i a l s w i t ht w ol e v e l sc a nb ec o n s t r u c t e df o re v e r yr u ns i z et h a ti sap o w e ro f2 ，b e t w e e na n yt w oo fw h i c h t h e r ea r et , o ol o n gi n t e r v a l s h o w e v e r ，p l a c k e t ta n db u r m a uf 1 9 4 6 ) d e r i v e dn o n r e g u l a ro r t h o g o n a l a r r a y sf o ra l ls u c hc a s 4 sw h e nn 茎1 0 0 ，w i t ho n es i n g l ee x c e p t i o n m o r e ”v e rh a m a d aa n t w u ( 1 9 9 2 ) s h o w e dt h a tf o rd a t af r o md e s i g n sw i t hc o m p l e xm i a s i n g ，i ti sp o s s i b l et od e t e c ti n t e r a c t i o n e f i b c t s t h e r e f o r e ，i nt h el a s td e c a d e ，n o m e g u l a rd e s i g n sh a v er e c e i v e di n c r e a s i n ga t t e n t i o ni nt h e l i t e r a t u r e a ni m p o r t a n t p r o b l e m i ne x p e r i m e n t a l d e s i g n si sh o w t oa s s e s s ，c o m p a r ea n dr a n kn o i l r e g u l a r f a c t o r i a l si na s y s t e m a t i cf a s h i o n c h e n g ，l i na n dd r a p e r ，w a n ga n dw up r o v i d e df r i n t f l f lc r i t e r i o n s f o rr a n k i n gd i f f e r e n td e s i g n sr e s p e c t i v e l yf r o mt h e p r o j e c t i o nv i e w p o i n t i n t h i sp a p e r ，ii n t r o d u c e d a n da n a l y 2 e dt h cp r o j e c t i o np r o p e r t i e so fs o m en a a r e g u t a rd e s i g n ss y s t e m a t i c a l l y ic o m p a r e d s e v e r a lc r i t e r i o n sb a s e do nt h ep r o j e c t i o np r o p e r t i e sa n dg o ts o m e s i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n s 1 d i f f e r e n tc r i t e r i o n sh a v ed i f f e r e n ta p p l i c a b i l i t i e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，ip r o v i d ead e t a i l e d a c c o u n to nd i f f e r e n ta p p l i c a b i l i t i e sa n di nt h et h i r ds e c t i o no ft h ec h a p t e r ，ia n a l y z e dt h es e v 、 e r a c r i t e r i o n ss u c ha 8g m a ，g z m a ，v ( d ，i n d i c a t o rf u n c t i o nc r i t e r i o n sf r o mt h e g e o m e t r y v i e w p o i n t 2 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，ia n a l y z e dt h es t a t i s t i c a ls i g n i f i c a n c eo fg r c r i t e r i o n ，g m ac r i t e r i o n a n dg 2 m ac r i t e r i o ni nt h em o d e l s t h e nis h o w e dt h a tg m a c r i t e r i o ni sm o r ee 血f i e n ti n i n c r e a s i n gt h ep r e c i s i o ni ne s t i m a t i n gf a x ；t o r i a le f f e c t s ；g 2 m ae 五t e r m ni sm o r ee 噩i c i e n ti n 酬e c t i n gar o b u s td e s i g n 3 w h e nma t ep e r m i t t e dt od os o m ef o h o w u pe x p e r i m e n t si ns c r e e n i n gd e s i g n s h o ws h o u l d wd e c i d et h el e v e l so ft h en o n a c t i v ef a c t o r s ? i nt h el a s tc h a p t e r ip r o p o s e dt h r e ed i f f e r e n t m e t h o d so nh o wt os e l e c tt h el e v e l so ft kn o n a c t i v ef a c t o r s a n dt h e na n a t o m i z e dt h e s e n l e t h o d 8 4 i nt h et h i r dc h a p t e r ，ip r o v e ds o m e s i m p l er e s u l t so nv ( d ) c r i t e r i o n a 船缸 k e yw o r d s ：n o m t g l d a rd e s 瑭n ，p r o j e c t i v i t y , j - c h a r a c t e r i s t i c s ，g e n e r a l i z e dr e s o l u t i o n ，c o d - t o u n d i n gf i e q u e u c yv e c t o r ，g m ac r i t e r i o n ，g 2 m ac r i t e r i o n ，f o l l o w - u pe x p e r i m e n t s 南开大学学位论文电子版授权使用协议 ( 请将此协议书装订于论文首页) 论文j 1 1 七执设叶幻芬花谩。1 例 系本人 在南开大学工作和学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩。 本人系本作品的唯一作者( 第作者) ，即著作权人。现本人同意将本作品 收录于“南开大学搏硕士学位沦文全文数据库”。本人承诺：已提交的学位论文 电子版与印刷版论文的内容致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自 负。 本人完全了解直珏盍堂图盘熊差王握在= 焦蛊堂焦途塞数暨堡爱法k i 司 意南开犬学图书馆在卜i 述范围内免费使用本人作品的电子版： 本作品旱交当年在校园网上提供论文目录检索、文摘浏览以及论文全文 部分浏览服务( 博上论文前2 4 页，硕士论文前1 6 页) 。公开级学位沦文全文电 子版丁提交1 年后，在校园网卜允许读者浏览并下载全文。 注：本协议书对于“非公开学位沦文”在保密期限过后同样适用。 院系所名称：批科气澎 作者签名：i 勿半番 学号： d p pi 日期： 2 0 0 4 年占月7 日 ， 第一章某些非正规部分因析设计的投影性质 在科学研究和生产实践中，两水平的部分因析设计( 也称因子设计) 是研究两个或两个以上 园子的最常用工具对于所有主效应都正交的设计( 也穆为正交主效应设计) 可分为两大类类 是正规设计，它们由定义关系决定，具有简单的别名关系( 任意两个效匣或者完全正变，或者完 全混杂) 另外类是非正规设计。它们的别名关系非常复杂，即在这些设计中存在两个效应既 不完全正交，也不完全混杂对2 ”一，大小的设计总能构造出正规设计非正规设计，例如p b 设计可由h a d a m a r d 矩阵得到判断正规设计优劣的准则很多，包括最大分辨度准则、最小低阶 混杂m a 准则、最大估计能力准则和纯净准则等等，但由于非正规设计的别名关系复杂使得这些 准则都不再适用于非正规设计了但是经研究发现，无论正规与否，设计的效应混杂情况都在很 大程度上反映在了设计的投影性质上譬如，分辨度为r ，大小为n = 2 “一的正规设计说明， 该设计在其任意r - 1 列上的投影设计是由2 个2 1 完全设计组成因此我们对非正规设 计的研究就可以从投影角度着手。对投影设计进行分析，进而去评估整体设计的优劣情况本章 主要介绍相关的概念和些非正规设计的投影性质 1 1 投影设计 在试验调查的初级阶段，假定因子效应的稀疏性通常是合理的即在被研究的的大量因子 中，我们假定只有少量，特别是有2 个或3 个因子被预计是活跃的个活跃因子就是通过本身 或交互效应影响响应变化的墓要因子不活跃因子称为惰性园子，惰性因子的主效应及交互效应 在试验中都不显著发生所谓的筛选设计就是驭大量因子中识别出哪些因予是活跃因子 筛选设计的主要来源就是两水平的正交表，像p l a c k c t t b u r m a n ( t 9 4 6 ) ，r a o ( t 9 4 7 ) ，h e - d a y a t v c a l l i s ( 1 9 7 8 ) ，h a d a m a r d 阵等特别，对n m 一1 ) 的正交表，也即饱和设计或主 效应设计，当我们关心的活跃因子个致 o 8 第二章非正规设计广义分辨度和最小混杂原则 9 定义2 2 对一个设计d ，记 6 。1 一器孥鼻( 5 ) 加， 则称r ( d ) = r + 6 为这个设计的广义分辨鹰 显然有rsr ( d ) 茎r + 1 ，对正交设计有r ( d ) 3 根据这个准则，个设计的广义分辨度 越高越好 当d 是正规设计时，对它的k 元子列s = 由，咄) 必有j k ( s ) 一0 或n 事实上，若主 效应由。与其它的k l 列因子的交互效应正交，则j k ( s ) = 0 ；若完全混杂，则以( s ) = n 换 句话谚，当以( s ) = n 时，则称这k 列组成个长为的字对正规设计，它的广义分辨度就是 通常的分辨度r ，即r ( d ) = r ，6 = 0 例2 1 下表是一个有2 0 个试验单元的p - b 设计d 考虑它的三个投影设计d l ，玩，d 3 分别是由设计d 的l 一4 列；1 3 列及6 列；1 3 列及1 6 列组成这三个投影设计已被证 实是不同构的经计算得t d 1 ：”= 3 川m a = x 3 j 3 ( 8 ) = 4 ，所以r ( d 1 ) 一3 + ( 1 4 2 0 ) = 3 8 r ( d 2 ) = 3 4 ， 冗( d 3 ) = 3 8 ，r ( d 1 ) 一r ( d 3 ) r ( d 2 ) 所以d 1 与d 3 比d 2 要好d 1 或d 3 的任意3 维投影都具有同榉的结构，都包含了2 次重复 的2 3 设计及一个2 3 - 1 c h f 而i ) 2 的3 维投影中有一个跟上面的结构不同，它包含1 个2 3 设计及3 个2 ”1 设计d 1 与d 3 有同样的3 维投影性质，所以它们的广义分辨度相甩，但是 它们的4 维投影性质不同，广义分辨度无法区分，这个问题可以用后面提到的混杂频敷向量来解 第二章非正规设计广义分辨度和最小混杂原则 决 a bcde fghijk lmnopqrs + +一一+一+一+一 一一一+一 一+一一+ 一+一+一一一+ +一+ +一+ + 一+一一一一+ +一+ +一一+ +一+一 +一一一一 一+一+ 一一+一+一+一 一一 一一+ +一+一 + + + +一+一+ 一一 一一一+ +一+ 一一+ +一十一+ 一 一一一一+一+ 一一+一+一+ + +一一一+一+一一+一+ 一 一一+一一一+一+一一+一+ +一一+一一一+ 一+一一+一 一+一一+一一一+ +一+ +一一+ +一+一一+一一一十+一+ + 一一+ + +一+一一+一一一+一+一一+ +一+一一+一一一+一+一一+ +一+一一+ 一一一+一+一一 一+一+一一+一一一+ +一+一 一一+一+一一+一一一+ +一+ +一一+一+一一+一一一+一+ 从这个例子我们还可以看出，虽然3 个设计的投影特征都为3 ，但广义分辨度却不同这也 说明广义分辨度准则比投影特征更精确d e n g ，l i na n dw a n g ( 1 9 9 4 ) ，c h e n g ( 1 9 9 5 ) ，d e n ga n d t a n g ( 1 9 9 9 ) 给出了与广义分辨度相关的般结论 命题2 1 令d 是一个设计n m ，它的m 列是从n 阶h a d a m a r d 设计( h a d a m a r d 阵去 掉元素全为斗”的第一列) 中选出来的，则 ( i ) 若m n 2 + 1 ，则3 r ( d ) 4 ( i i ) 若n 不是8 的整数倍，则3 r ( d ) 4 ，斗任意m 3 ( i i i ) 若n 是8 的整数倍，且m n 2 ，则可以构造这样的一个设计d ，使得r ( d ) 4 命囊2 2 设d = ( d l ，d 。) 是一个强度为r 一1 ，大小为n 的正交表，则 ( i ) d 的r 元子列是强度为r 的正交表 = = j r ( s 1 = 0 第二章非正规设计广义分辨度和最小混杂原则 1 1 ( i i ) d 的r 元子列投影包含k 一弄( s ) 2 个2 7 完全因析设计，及 ( s ) 2 ”1 次重复的2 r 2 设 计的一半 分辨度为r 的正规设计是强度为r 一1 的正交表当这样的设计在任意r 一1 列投影时，2 1 个水平组合出现的额敦相同由上面的命题2 2 结论可以看出，对正交非正规设计，若它的广义 分辨度r 曼s t ( d ) 0 ，则设计d 在任何r 列匕投影至少包含一个2 完全设计，即投影特征为r 因此说广义分 辨度对投影性质的描述比投影特征更精确 两个正规设计若有同样的分辨度，则可用m a 准则区分那么若两个非正规设计d l 与d 2 有同样的广义分辨度时，是否也可以用类似的字长型”这样的变量进行区分呢? 这节中定义的 混杂额数向量的作用就等同于正规设计中的字长型 命赶2 3 对一个正交因析设计的任意k 列，以( 8 ) 一0 的位一定是4 的倍数 设d 是个大小为n ，m 列的正交因析设计，且n = 4 t 记 f 是使得以( s ) = 4 ( tq - 1 一j ) 成立的k 列组合的个数，j = l ，t ，t + 1 又= ( ：) ，故只须考虑南，j = l ，t 即 j = l 可且对正交设计，l j = ，l j = 0 ，故只须考虑南，k 3 混杂频数向量的定义是： 定义2 3 对一个太小为n ，m 列的正交目析设计设计d ，称长度为( m 一2 ) t 的向量 f = ( ，3 l ，) ；( ，4 l ，丘t 卜；( 厶h 如t ) 】 为设计_ d 的混杂额救向量 就像正规设计的字长型所反映的混杂情况一样，混杂频效向量f 也可以反映设计效应问的 混杂情况f 其实是字长型的个扩展，d 是正规设计时，南= 0 ，j 2 所以化简后f 即对 第二章非正规设计广义分辨度和最小混杂原则 1 2 应( 矗。，4 。，1 ) ，就是字长型利用混杂频效向量可以比较两个设计的优劣记五( d 1 ) ，五( d 2 ) 分别是d - ，d ：的混杂频数向量的第c 个元素，f = 1 ，( m 一2 ) t 则若f 是使五( d 1 ) h ( d 2 ) 成 立的最小整数，且f l ( d ，) ( d 2 ) ，则称设计d l 比d 2 有更小的广义混杂若没有设计比d ，有 更小的广义混杂，则称设计d 1 是小广义混杂设计这个准则记做g m a ( g e n e r a l i z e dm i n i m u m a b b e r a t i o n ) 例2 2 考虑例2 j 中的设计d l 与d s r ( d 1 ) = r ( d 2 ) = 3 8 ，它们的广义分辨度相同 计算它们的混杂频教向量如下： f ( d 1 ) = ( o ，0 ，0 ，0 ，4 ) 3 ；( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ) 4 f ( d 2 ) 一 ( o ，0 ，0 ，0 ，4 ) 3 ；( 0 ，0 ，1 ，0 ，0 ) 4 故设计d 1 比d 3 有更小的广义混杂在例2 j 中的三个设计，根据g m a 准则d l 是最好的 第三章其它的非正规设计最优准则 除了g m a 准则可用来评估非正规设计外，本章还介绍了几种其它的准则也适用于菲正规 设计，而且这些准娅不仅适于正交主效应无重复设计，更可以扩展到有重复的非正交的设计 3 1g 2 m a 准则 仍沿用上一章申的记号，记威( 8 ) _ 以( s ) n ， b k ( d ) 一壤( s ) i s l = k 化俺后有 僳( 。) = 靠( s ) n 2 = 磊1 南+ 1 邢 1 8 i = ti 目i = j 1 2 赤吾局。 4 t 4 沪”】2 = 【1 一。一1 ) q 2 南 j = l 对i i 4 设计d 1 ，d 2 ，若r 是使b r ( d 1 ) b r ( d 2 ) 成立的最小整数，且研( d 1 ) sb ，( d 2 ) ，则称 d 】比d 。有更小g 2 的混杂若没有设计比d l 有更小的g z 混杂，则称设计d ，是最小g 2 混 杂设计当d 是正规设计时，b k ( d ) = l = a k ( d ) ，所以g 2 m a 准则就是通常的m a 准则 g 2 m a 准则的实质是给频致 j 加了个权后再相加，权重取决于南对应的混杂程度它把所 有的k 元予列的j 一特征都考虑进来了，在最后一章可以看到这样傲在某些情况下可以提高效 应估计的精确度 例3 1 设两个谩计d 1 ，d 2 的混杂频教向量如下所示： f ( d 1 ) = ( 3 ，1 ，3 ，4 ，1 ) 3 ；】 a w ( d 2 ) = ( 2 ，5 ，3 ，1 ，1 ) 3 ，】 虽然d 2 比d l 有更小g 的混杂，但b 3 ( d 1 ) = 5 4 兰6 4 8 = b 3 ( d 2 ) ，所以d 1 比d 2 有更小g 2 的混杂 3 2v ( o ) 准则 设z 。表示整数集合 l ，2 ，m ，s z 。是它的子集很显然这样的子集s 共有2 m 个 而且每个s 都对应唯一个m 维向量，如下所示： 第三章其它的非正规设计最优准则 1 4 其中 啊； - 1 剀的毗j _ 1 ，m ( 1 ) n 。11 否则 卜1 ”。u 这样一来，如果我们仍然把园子的两个水平记为一l 和+ l ，则z 。的每个子集s 都唯一对应 2 m 完全因析设计中的个水平组台。于是我们可以把2 “完全因析设计的水平组合和s 一一对 应起来，而且也把z 。的子集的全体和2 ”完全因柝设计等同起来 对于个部分因析设计d ，若记肛为水乎组合s 出现在d 中的次数，则在不考虑行列变换 的前提下，d 可以记作 = ( 批，1 ，2 ，1 2 ，3 ，1 3 ，2 3 ，1 2 3 ，4 ，1 4 ，) 7 这里为了简便。我们把肌“i 。，。 记为。 在y a t e s 序下，与d 一一对应 任意都可以定义个有n = ，。z 。肛个水平组合的设计。任意个设计都是完垒由n 来确定的事实上，是设计d 中的水平组合的个频数分布 个部分因析设计d = ( d o ) ，其中d i j = + l 或一l ，是设计的水平下面的j 一特征的定 义不同于t a n g ( 1 9 9 9 ) 中，一特征的定义，它不带绝对值，只是为了后面问题中表述更方便，跟 t a n g ( 1 9 9 9 ) 中，一特征的定义形式没有本质区别因为不带有绝对值会使得后面的的结论有一 个简单的形式 以( t ) = h 南， = k ， i = 1 j e t 冷 c = ( 巧，r ，巧，最，碍，r 嚣，r 嘉，而。，矗，r 五，) 7 在y a t e s 序下c j ，j = 1 ，2 ，m 是g 的第j 列，即 c = ( c 1 ，c 2 ，c 。) 第三章其它的非正规设计最优准则 记c 的第s 行为n ：其中s z 。，则行标为s ，列标为j 的元豢是r 形如公式( 1 ) 中 ( r 。l 2 ，r s 。) 所述记 则a t 称为h a d a m a r d 乘积，其中t z m h = ( o o ，a l ，a 2 ，a 1 2 ，a 3 ，a 1 3 ，a 2 3 ，a 1 2 3 ，a 4 ，a 1 4 ，) 1 5 做适当的行变换后很容易证得，日是个t t a d a m a r d 矩阵，它对应着个有m 个独立列的正规 饱和因析设计 下面的定理( d e n g ( 2 0 0 1 ) ) 给出了额数分布与，一特征的关系： 定理3 1 对于一个设计d ，设计点的频教分布与设计的t ，一特征，有如关系， n = 2 一m 日j或j = 日t ， 其中日是如上面提列的h a m a d a r d 矩阵特别的有， 肌= 2 一“ 。j = 2 一”f “j ， t 互。 其中h 。是日的第s 行，h “是h 。的第t 个元素 值得注意的是，上述定理中y a t e s 序并不是实质问题，只要的序与g 的行序相致，j 的序与日的列序相致，定理就自然成立而且，这个定理对于二水平的正规或是非正规的设 计都是成立的 下面的推论说明，对于任意的部分因析设计，t ，一特征的集合与正规部分因析设计的定义关 系一样可以决定设计这个的推论很容易由定理3 1 推出 推论3 1 一个因析设计作为设计点的集合，由j 一特征唯一决定 对于设计d 和z 。的子集t ，设d t 为设计d 在对应的子列的投影设计应用定理3 1 于 投影设计d “则有下面的推论 惭旧蜘一一一一一一 第三章其它的非正规设计最优准则 1 6 推论3 2t 磊。，d t 是作为因子敷t 的设计，它是由集合以，s c t 完全决定的 对于给定的，应用上面的推论到所有的k 维投影设计，见侩由下面的推论 推论3 3 设计d 在k 维投影空间的投影完全由集合h ，k 决定 对于一个因析设计d ，着它是个完全因析设计或是完全因析设计的若干次重复，则这是最 理想的情形即。对所有的s z 。有 札= = 等= 杀 s z 。一 一 因此，评价设计优劣可以由他的均匀性来度量一种度量的方式是样本方差 ( 2 ”一1 ) ( m 一2 ) - 记s 是由z m 中抽取的子集，则对任意十子集s 被选中的概率为1 2 m ，因此 e ( = ，戛( 刍翌) 一，戛( 州 因为，曼( n j g ) 即为对h a d a m a r 8 阵的莱列求和，由h a d a m a r d 阵的性质可知，三( 兀，! c r ”) e 也q f 也) 陡勺一e ) 卜c 。腿) = 。 m ) 一。戛( 2 = 因为对t 有 “= 兀j t ，且扛母时，h n ；1 ，则 c o v ( h s t l ， n 2 ) = 0 ，l 0 2 ， 所以， m c z 一陵v a r ( h s t ) j t 2 = 。 = 。”( 。戛野“) h 叫 以 w l 2 第三章其它的非正规设计最优准则 表31 具有三酹和1 6 个水平组合的三个正交设计 a口cd 1d 2 d 3 一一一 210 - l 234 一 + 一 234 +一2 10 一一+ 234 + 一 +210 一 +21( ) + 234 为了让v a r ( n 。) 更简洁的依赖于d ，可以令v a r ( d ) = v a r ( n a ，即 v a t ( d ) = 2 - 2 。f 乒。z 1 k 晶 1 7 这是对设计d 的好坏的个度量 若y ( d ) = 0 ，即。如砰= n 2 ，因为如= n 则露+ t 臻= 2 ，于是对于t 曲有 = 0 这样设计d 的任意的t 列都完全正交，也即设计d 是个完全因析设计或是个完全 因析设计的若干次重复 给定设计d ，把肛看作个随机变量，则虬的方差与设计d 有关m 的方差越小， 说明札在全设计上的分布越均匀即最小化v ( d ) 使得把设计点在全设计e 分布更均匀化，而 v ( d - ) v ( d 2 ) 说明d l 比d 2 有更多的不同的设计点而不同的设计点的个数又与估计能力有 关当两个设计d 。与d z 中不同的设计点的个数一样时，若d 。比d 。的分布均匀，则d 】比 d 2 有更高的设计效率 下面是个例子 倒3 2 表( 3 1 ) 给出了三个具有三因子和1 6 个水平组台的正交设计d 1 ，d 2 和d 3 设计 d 1 是一个2 ”完全因析设计的完全重复，设计d 3 是有定义关系i = a b c 的一个正规设计， 设计d 2 是一个非正规设计很显然，我们有v ( d 1 ) 一0 ，v ( d 2 ) = l 及v ( d 3 ) = 4 因为设计 d l 和d 2 包含2 ”完全西析设计的所有水平组合，所以它们可以估计所有的主效应和高阶交互 效应，而设计d 3 只能估计因子的主效应尽管设计d 1 和d 2 有相同的估计能力，设计d 】可 以给出所有效应的正交估计，而设计d 2 却不可以因此，设计d l 优于设计d 2 ，d 2 优于d 3 将v ( d ) 定义应用到设计d 的任意t z 。列上的投影，则有 、 y ( d t ) = 2 。” i 七一n 2 、。g 第三章其它的非正规设计最优准则 ” 因此，维投影性质可由下式来度量 蹦刎2 i 堇l v ( d t ) = 2 - 2 2 陋。( 暮乒叶i t = 酬i t = h 3 生2 化简得 。 啪) - 2 。2 吾( ：二；罐露 i 占量( d 1 ，i ，m ( d 1 是d 在不同维数空闻上投影性质的个度量又因为 d 是卟o a ( k ) “ = = j v ( d ) = 0 ，v l t l = k ， v ( d t ) = 0 i t = k l k ( d ) = 0 k ( d ) 越小，说明d 与o a ( k ) 性质越像又因为低维投影性质要比高维投影性质更重要， 类似m a 准则，使h ( d ) ，v 2 ( d ) ，i k ( d ) 依次最小化的设计是个y ( d ) 准则下的最优设 计在正规情形，v ( d ) 准则就是通常所说的m a 准则 3 3g 2 m a 与v ( d ) 准则的关系 下面的定理( t a n g ( 2 0 0 i ) ) 说职了g 2 m a 准则与v ( d ) 准则是等纷的因为最小g 2 混杂中 用的是七，因此，v ( d ) 中使用的 定义有没有绝对值都不影响分析 定理3 2 最小g 2 低阶混杂准则与