（概率论与数理统计专业论文）随机竞争物种模型和遍历性.pdf

山东大学硕士学位论文 随机竞争物种模型和遍历性 周俊华 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 考虑耦合的常微分方程 中文摘要 d x t = = z t ( 弘一a 掣t + ) f x t ) d t d y t = 玑( 一口+ 卢轧+ 6 玑) 出 其中“a ，a ，卢都是正常数。这是经典的两种相互作用的种群动态模型 ( 参考【4 和【1 2 】) 。( 玑) 代表两种群t 时刻的数量。两种群增长率是 r l ( z ，v ) = 肛一a 掣+ ，r 2 ( x ，y ) = 一n + 芦z + 6 掣 假设 r l ( 。，矿) = p a 掣+ + ? z + = 0 ，r 2 ( x ，y ) = 一0 f + p z - t - 占扩= 0 有解( 矿，旷) 冗辜，其中冗j = 伽冗2 ：z o ) 是正实数集，则，取初始 值( x o , y o ) 破，上述常微分方程有围绕中心点( 矿，y ) 波动的周期解 陈增敬和k u l p e r g e r 1 1 考虑了下面这种情况： d x t = 轧( ( p a 轨+ 7 轨) d r + a l d w ) ) d y = 饥( ( 一口+ 卢a + 6 玑) d t + a 2 d w 2 ) 即两物种的增长受到高斯白噪声的干扰 山东大学硕士学位论文 m a o x u e r o n g ，e r e n s h a w 和g m a r i o n 【3 1 考虑了如下情况： d x t = z t ( g a 玑+ 了矾) 出+ 口l 正 c “砖 d y t = 孰( 一口+ 卢魏+ 5 y t ) d r + 观萌翻研譬 由于在陈增敬和k u l p e r g e r 【1 】1 在本文中，所考虑的模型的自我振荡 项是线性的，当7 3 2 时，解是非爆炸的并给出了该方程关于遍历性和非常返性的条件 i i 山东大学硕士学位论文 第五部分：在这节中，我们考虑了一些模拟路径来说明在前两个 部分中的非爆炸性，遍历性和非常返性。 第六部分：讨论值得进一步研究的几种情形 附录：给出了相关的m a t l a b 程序 关键词；遍历、非爆炸、非常返、i t o 公式、布朗运动 i i i 山东大学硕士学位论文 as t o c h a s t i cc o m p e t i n g s p e c i e sm o d e la n de r g o d i c i t y z h o uj u n h u a s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 a b s t r a c t c o n s i d e rt h ec o u p l e do r d i n a r yd i f f e r e n r i a le q u a t i o n ( o d e ) d x = z l ( p a f + 7 x t ) d t d y t = 仇( 一o l + 卢z + 5 y , ) d t w h e r e “，a ，q ，pa r ep o s i t i v ec o n s t a n t s i ti saw e l lk n o w nc l a s s i c a lm o d e lo ft h e p o p u l a t i o nd y n a m i c s o ft w o i n t e r a c t i n gs p e c i e s ；s e ef 4 a n df 1 2 ，( ，y t ) r e p r e s e n t s t h ep o p u l a t i o ns i z e so ft h et w os p e c i e sa tt i m et 0 t h er a t e so fp o p u l a t i o n g r o w t ha r e h ( x ，y ) = p a y + 7 x ，r 2 ( x ，y ) = 一a + 卢工+ 6 y s u p p o s et h a t r l ( z ，y ) = p a + 1 z = 0 ，r 2 ( z 4 ，y ) = - - 0 ：+ 芦z + 6 y = 0 h a v es o l u t i o n ( 上，y ) 冗辜，w h e r er ；= z 冗2 ：。 o ) i st h es e to fp o s i - t i v e r e a l s t h e n ，w i t hi n i t i a lc o n d i t i o n ( z o ，y 0 ) 冗i ，t h ea b o v eo d e h a v en i c e s o l u t i o n st h a ta r ep e r i o d i c ，c i r c u l a t i n ga b o u tac e n t r a lp o i n t ，) c h e na n dk u l p e r g e r 【1 】c o n s i d e rt h ec a s ew h e r et h er a t e sa r ep e r t u r b e db y o a u s s i a nw h i t e n o i s e ，t h a ti s ： d x t = z t ( ( p a 玑+ ，r 扎) d t + a l d w ) d y t = 玑( ( 一口+ 卢轨+ 如 ) 出+ a 2 d w 2 ) t h e yp r o v e dt h a ti ft h en o i s ep a r a m e t e r so - 1 a n du 2a r es m a l le n o u g h ，t h e nt h e s o l u t i o ni se r g o d i c 山东大学硕士学位论文 m a o x u e r o n g ，e r e n s h a w 和g m a r i o n 【3 】c o n s i d e rt h ef o l l o w i n g c a s e ： d x t = x t ( g a y t + 7 z ) d r + 盯l 。；d w 0 d y t = 玑( 一口+ 卢n + 6 y t ) d r + d j y d w 乎 t h e yp r o v e dt h a tt h ep r o c e s si sn o n e x p l o s i v e ， i nm a o x u e r o n g ，e r e n s h a wa n dg m a r i o n 【3 1w h e nt h e yt h eg e n e r a l c a s e ，t h en o i s ep a r a m e t e ri st w or a n k i ti st o os t r o n g i nc h e nz e n g j i n ga n d k u l p e r g e r 【1 it h es e l f d a m p i sl i n e a r w h e n7 o 利用该函数，m a o x u e r o n g ，e r e n s h a w 和g m a r i o n 【3 j 证明了，当初始 值( 。，珈) 冗乏，那么，其解依然是不可能有爆破。 陈增敬和k u l p e r g e r 1 1 考虑了模型( 1 ) ，但是，其中，被捕食种群的 增长率p a 玑+ 7 轨被吼z t 柳干扰，捕食种群的增长率一0 ：+ 卢轨+ 咖 被c r 2 y 。孵干扰导出了如下的随机微分方程模型： d x t = 轨( p a y t + 忙t ) d r - 4 - a ；z d w ： d y = y t ( 一o + 卢z + j y t ) d t + a 2 y t d v r 2 3 山东大学硕士学位论文 他们构造了函数 f 扛，口) = p z a l o g ( x ) + a y 一肛l o g ( y ) + c 其中c = 一a + n l o g ( 暑) 一弘+ 肛l o g ( ) 。很容易可以看出，当z 0 ，y 0 时，该函数是非负的。利用该函数，陈增敬和k u l p e r g e r 1 证明了，当 ( 2 ) 的根存在于冗之中，并且仃2 充分小的时候，( 讥) 是遍历的 r u d n i c k 1 3 】考虑了与陈增敬和k u l p e r g e r 1 相类似的模型，但是布 朗运动聊= 孵r h d n i c k 1 3 ，引理2 】构造了随机微分方程的解作为一 个算子的解( 参见他的方程( 1 9 ) ，( 2 0 ) 和( 2 1 ) ) 这就等价于获得随机 微分方程( 3 ) 的强解，即解是关于布朗运动w ，f l ，w 乍的一个函数。这是 很有意思的一个想法，可能会获得进一步的利用r u d n i c k 1 3 ，引理5 】 利用k h s m i n s k i i 函数给出了定理1 的主要部分的证明。 在本文中，我们考虑如下两个模型： jd a = z t ( u a 鼽+ 9 1 ( a ) ) 出+ a l z d w 2 id 玑= 玑( 一o + 卢z t + 9 2 ( y t ) ) d t + 盯2 轨6 n 贸 id x = ( p a 玑+ 7 x t ) d t + 仃l z p d ? id y , = y , ( - a + 卢甄+ 6 玑) d t + 0 - 2 订d i 贸 ( 3 ) 其中，我们假设地a ，a ，卢为正常数，g ，( z ) ，9 ：( 掣) 为单调函数，并且 g l ( o ) = 0 ，9 2 ( o ) = o ( 眦，孵) 为标准二维布朗运动我们考虑如下两个问 题： 问题1 ，对任给的初始值( 孤y o ) 冗辜，是否有( y t ) 冗；- ? 英国著名的生物数学专家r e n s h a w 及合作者子2 0 0 2 3 年证明了， 对于经典的种群( p r e y - p r e d a t o r ) 模型，当初始值( y o ) 7 珥，如果加 的随机干扰的阶数是2 ，那么，其解依然是不可能有爆破。一个自然 的问题是r e n s h a w 等人的阶数是不是可以改进? 因此，我们考虑了模 型( 4 ) ，利用m a o x u e r o n g ，e r e n s h a w 和g m a r i o n 【3 】的方法，我们可 以把结果推广到：当m 3 2 m 3 2 时，解依然是非爆炸的。 问题2 ，在什么条件下，本文中所考虑的两个s d e 的解是遍历的， 或是非常返的? 4 山东大学硕士学位论文 陈增敬和k u l p e r g e r 1 证明了，当( 2 ) 的根存在冗辜，并且0 r 2 充分 小的时候，( y 。) 是遍历的但是，他们所考虑的模型的自我振荡项 ( 7 。和6 掣) 是线性的，当7 0 ，v o ) 在这一部分，我们将介绍一些关于遍历和非常返的定义和本文所 需要的一些引理。 考虑随机过程孔( 在只下，z 硬) 。假设u 是冗j _ 中的一个非 空有界子集，令仍= i n f t 0 ：鼠u 定义2 1 任给e 0 ， r ( x ( k ) b ( z ，e ) 存在- - 歹 l t 。) ，t 。_ 0 0 ) = 1 则，z 被称为常返的 如果随机过程x 所有的点都是常返的，则称x 是常返的 定义2 2 如果 只( x ( t ) _ a 冗：，t _ 。) = 1 则，。r i 被称为非常返的 如果随机过程x 所有的点都是非常返的， b h a t t a c h a r y a 2 l 证明了如下三个性质： 命题2 3 扩散过程x 是常返的，当且仅当 存在一点2 冗主，常数r o ，r l , o r o r l ， j y 一。j = r i ) 使得b ( 仍( m ) 0 0 ) = 1 则称x 是非常返的 和一点y o b ( z ，r 1 ) = f y 引理2 4 俐如果存在一个常返点，则扩散过程本身就是常返的r 6 j 如果不存在常返点，则扩散过程就是非常返的 命题2 , 5 如果存在一点。冗i ，使得 s u p 日( 佃旧r o ) o 。 y e o b ( z ：r 1 ) 则，扩散过程x 是遍历的 陈增敬和k u l p e r g e r 【1 】证明了 6 山东大学硕士学位论文 引理2 6 令( z t ，y d 是一个冗辜上的i t o 过程，其中标准布朗运动姒： ( 哪，孵) 矿表示矩阵u 的转置) ，初始值为( z ，) 冗三假设存在一个 正函数f ：冗辜_ 兄+ ，使得f ( z ，) _ 。，当( z ，) _ a 冗三- 同时假设： d f ( x ，g ) = ，( z ，y t ) d t + 盯( z t ，y t ) d w t 其中盯是连续的，并且存在一个常数c ，使，( 乩，玑) sc 令 r = i n f t 0 ：( z t ，y t ) a 7 己辜) 是首次击中矾量的时间，则尸( r = o 。) = 1 注：通过引理2 , 6 ，我们可以很容易的得出，随机竞争物种模型( 3 ) 的解不会在有限时间内到达冗车的边界我们将在下一节定理3 2 中简 单提及。 7 山东大学硕士学位论文 第三节一种漂移项为非线性的随机竞争物种模型 在本节中，我们主要考虑以下随机竞争物种模型( 3 ) ，即如下随机 系统： d z c = z c ( p a g t + g l ( x t ) ) d t - t - 盯1 z d i 干? d y 。= y t ( 一o + 卢z - t - 9 2 ( y ) ) d t + a 2 y t d w ? 其中，我们假设p ，a ，a ，卢为正常数，g t ( z ) ，g 。( v ) 为单调函数，并且 g z ( o ) = 0 ，9 2 ( o ) = o ( 哪，w 宁) 为标准二维布朗运动。 引理3 1 一a 玑+ 9 z ( x t ) = 0 一。+ 卢z c + 9 2 ( y t ) = 0 当 9 i ( z ) 0 ，9 ：( ) 0 ，并且仍( 芒) 口 时，该方程组必存在唯一正解( z + ，y ) 证明：( 1 ) 被捕食者等倾线 当z = 0 时，v = 当y = 0 时，存在钆使得g l ( z - ) = 一p ( 2 ) 捕食者等倾线 如：一a + 卢甄+ 9 2 ( y t ) = 0 当z = 0 时，存在9 2 ，使得g t ( v 2 ) = a 当= 0 时，z = 罟 当9 ：( z ) 0 ，正( y ) o ，并且卯( * ) 一p 并且存在常数1 0 ，2 0 ，使得g ：( z ) 葫菏 则，s d e ( s ) 的解是遍历的 证明：由引理( 3 1 ) ，方程( 3 ) 等价于： d = z f ( 一a ( 玑一y ) q - g l ( z ) 一g l ( x ) ) d t + 盯l 茹t d w ，t 1 d y t = 轨( 芦( 现一) + 9 2 ( 玑) 一9 2 ( v ) ) d t + 口2 玑6 r 矸乍 令f ( z ，) = b ( z z l o g ( x ) ) + a 0 一圹l o g ( f ) ) + c 其中 c = 声( 一z + z l o g ( x ) ) - 4 - a ( 一+ 圹l o g ( y ) ) 可知：f ( x ，y ) 0 ，当( 霉，y ) ( r ，旷) ，并且，( z ，扩) = 0 而且f ( z ，p ) - o o 当( 工，y ) - a 冗； 9 山东大学硕士学位论文 对r = f ( z 。，y ：) 应用i t o 公式，得到： d f , = p ( z z + ) ( p a 玑+ 9 l ( z t ) ) + a ( 掣一g ) ( 一o l + 声t + 9 2 ( 玑) ) + ( 卢z 口；+ a 9 仃；) 】出+ ( 7 1 z 如一一) d 哪+ a l y ( y 一旷) d w ? = 归9 i ( 。) ( z 一，) 2 + a 一) 2 + ；( 卢z + 口；+ a 可+ 盯；) d t r 舢 + 卢盯l ( z 一。+ ) d w ，l l + a 盯2 ( 可一矿) 删 、 s 【一卢1 ( z z + ) 2 一a e 2 ( 掣一掣+ ) 2 + j ( 卢z + 盯 + a s ，+ 盯；) 出 + 卢仃l ( z z ) d i 咐+ a a z ( y g + ) d 孵 由于漂移项是上有界的，因此，由引理( 2 6 ) ，解是存在于哪中的 考虑区域 由条件 则有， 。= 小盛+ 盛 萄i 尹”鼍蔫掣 簿 乎 令k = ( s z 盯 + 为+ 畦) ，则存在一个常数d 0 ，使得 z v 加咖2 + 巡+ d ) 0 1v 叫学+ d ) 。 黼舒：州小嚣+ 群鲥皤 d - ( 础) ：爰兰+ 鼍兰 0 ，我们也可以得到d c d c 冗辜 考虑d “( 相对于冗辜而言) ： 矿= ( 刚) ：兹备+ 提i - - y 丽 2 ，)o 、，i 百“，。、v 琦1 。w = g ) ：忠黯+ 意璐 1 ) ( 6 ) 山东大学硕士学位论文 因此，如果( 。，y ) d “，则： 卢e l ( 。一z + ) 2 + a e 2 ( 一可) 2 ( 、蟊+ m i n ( 、j 医d ，、：疆乏d ) ) 2 k + d o 其中 d o ：= m i n ( 、佰雨，函d ) 2 0 则对于( 石，y ) 车d + ，( z ，y ) 佗；，有 卢e 1 ( z z + ) 2 一a 2 ( 可一可+ ) 2 + k 一d o 0 令( 。，y ) 佗；一d 4 ，并且( 巩y 。) 是( 3 ) 的解，初始值为( x 。，y o ) ，令r = i n f t2o ：( z c ，y t ) d + ) 取适当的m ，使之充分大，使得 并定义t r n = i n f t 0 从( 5 ) ，我们得到 的 d c d 。三( 击，m ) ( 去，m ) ( 现，y 1 ) d 。) ，- + a s 当m _ 。 e ( ) f ( 。， h ，计 ) f ( x ，y ) 一d o e ( 卅) ( 7 _ at r n )( 7 ) 由于f 0 ，因此 e ( ) f ( z ， ， ) 圾) 【f ( 。，。) ，( 7 - t 。) 三，m i n f ( 乱，u ) ) 曩。，) 卜7 k 】 一v ) e o d m 。、。、。”。 因此 睑】氤杂_ 。 当m _ o 。由于_ o 。则p ( 叫) 【r = 。】= 0 因此( 鼠，轨) 是非常返 同样从( 7 ) 神】去砷川 山东大学硕士学位论文 应用单调收敛定理，还由于_ 。我们有 墨础) i 去f ) 进一步的，我们能考虑一个椭圆d “使得d ”在d i 和d 。的边界 之间这种构造法和d 的构造类似 由于d “cd ”则 s u p e ( 。曲 】s s u p f ( x ，y ) 0 0 ( ，v e d “o 扛，) d 一 注意到以( x ，y ) 为中心的椭圆能被看作衡量从( x ；y ) 到( r ，旷) 的 距离在上面的构造中，我们得到三个椭圆区域 dcd cc o n v e z h u l t 2 ( d ”) d 是个开集并且( 。，y + ) 在其内部应用性质( 2 5 ) ，就能表明过 程( 3 ) 3 是遍历的 定理3 3 假设下列三个条件之一成立 f 刀p 一 仃 0 ，和g i ( 善) 卢镱12 ，o e 2 a 著罄，使得 9 i ( 。) 一1 ，友( f ) 墨一2 ( i i i ) 幸 | 秘难浑数n ，2 ，使得 9 i ( 。) 旬，9 ；( 笋) 2 则，随机过程俐是非常返的 ( i ) 证明：由i t o 公式知 d l n x t = 去如t 一 去( 觑) 2 = ( p i 1 盯 一a 玑+ 9 1 ( z i ) ) d t + 盯l 删 2 g o “e x h u l ld 表示包含d ”的最小的凸集 1 2 山东大学硕士学位论文 由于9 1 ( z ) 单调减，并且9 1 ( o ) = 0 则g l ( z ) 9 l ( o ) 0 因此 d t n x ts ( 弘一x l 口2 1 ) d t + ( 7 1 d w 0 由于l i r a s u p t - + 。刀= 1 ，又由条件p 一；仃 p 等巍12 ，o 0 ，使得 龛掣，龛s 一志 则 建( y ) a 2 一a a l20 ，9 j ( z ) a 1 + f l a 2 三0 令只：a l i n x + a 2 l n y 应用1 t o 公式 d f ( x t ，玑) = 【a l ( p a 玑+ g z ( x t ) ) d t + a l a l d w ) + i a 2 ( 一a + p l + 9 2 ( v ) ) 出+ e 2 a 2 d w ? 】 一；( a 1 盯 + a 2 盯；) 出 = i 以l ( p a 饥+ m 如t ) ) + a 2 ( 一o + p 轧+ 9 2 ( 玑) ) 一 ( a l 仃 + a 2 砖) 】出+ 盯1 a l m w + c r 2 a 2 d 矸7 1 = 【a l ( p 一互1 u 2 1 ) 一a 2 ( a + j l u 2 1 ) + ( 卢a 2 + 萌( z f ) a 1 ) 轨 + ( 如( 玑) a 2 一a a l ) 轨 d t + 仃1 a i d 町+ 仃2 a 2 删】 i a l ( p 一；盯 ) 一a 2 ( a + i l v 2 1 ) 】班+ 仃1 a l d 哪+ 仃2 a 2 d 叼】 1 3 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = ：= ! - = = = = = = = = = = 由于4 l ( “一j 1 u 2 1 ) 一如( a + 烈1 2 ) 0 , a 2 0 ，则z ? 9 ，t _ o 即，( 乩玑) 是非常返得。 ( i i i ) ：证明：取l 0 ，使得等 e 。，和善 并定义： 贝4l i r a 。+ 。h ( x ) 。 日( 。) ：，。“出 1 d f , = h ( f c ) 旧( z z ) ( p a y t + 9 l ( 甄) ) - 4 - a 一可) ( 一。+ 卢zc + 9 2 ( 玑) ) + ；卢z 4 盯 z 2 + j a 碹9 4 v 2 d t + 日”( r ) 【口 卢2 ( z z ) 2 + 仃；a 2 ( 9 一) 2 】d + 日( r ) 仃l 卢( z z ) d w 7 + h ( 只) j 1 a ( g 一4 ) d w ? = h 。( 矗) f 9 。( 孔) ( z z ) 2 + g ( 玑) a ( 可一可+ ) 2 + ；( 卢z 盯 + a y 仃 ) 】成+ 日”( 只) ；口2 扛一z ) 2 + 盯；a 2 ( y f + ) 2 d t + h 。( r ) 盯l 卢( 。一。) d h 乍+ 日( f c ) 盯1 a ( 掣一可) d 孵 e 一。r ( 。卢一堕擎) ( z 一) 2 + ( s 2 a 一生芋( v 一+ ) 2 + j ( 口z ，。 + a + 盯 ) ) d t + 日4 ( r ) 盯1 卢( z z ) d n ? + 日( r ) j l a ( v y ) d 乍 令d ( r ) = ( z ，可) ：f ( z ，) sr ) 固定珈和考虑区域d ( r 0 ) 。假设初始 点( 。，y ) 隹d ( r 0 ) 。令7 - 是过程( 1 ) 从初始点( 。，y ) 开始首次击中d ( r 0 ) 的 时间。我们将表明p ( 。) ( r r 0 使得( z ，) 是在d ( r ) 内部令丁r = i n f t 0 ： ( y 。) ca d ( r ) ) 是过程( 1 ) 从初始点( z ，y ) 开始首次击中d ( r ) 的时间。 从引理( 2 6 ) 和f 的性质可知：- - 。，当r 叶。 两边取期望，我们就能得到： e ( 日( b n 。) ) = 日( f ( z ；g ) ) + e ( j ；“e - * f , b t a t ) ( f ( z ；可) ) 1 4 山东大学硕士学位论文 由于被积函数是非负的注意到日( f r ) = h ( r o ) a ：m h ( r ) = 日( r ) 则 日( f ( z ；) ) se ( 日( b n 。) ) = e ( 日( f r ) ，( r 丁r ) ) + e ( 日( f t r ) ( t o ) ) = h ( r o ) p ( vst r ) + h ( t ) p ( t - ) = h ( r o ) + ( h ( r ) 一h ( r o ) ) p ( v 兰耳) 因此 p ( r 茎- ) 圭丛；美；涨 。 现在让r _ 。得到 p ( r - - - - 啦等搿 。 证明完毕 1 5 山东大学硕士学位论文 第四节一种非线性噪声参数的随机竞争物种模型 考虑l o k t a v o l t e r r a 模型( 1 ) ，假设每个物种的增长率都受到了随机 干扰，即 p 一 掣+ ，y z + ( “一a 可t + 吖工t ) + o l x m 一1 惦r f l 一0 = + z x t + 6 玑( 一+ f i x + 6 玑) + a 2 y “一1 w 7 则，方程( 1 ) 取得一种随机形式： d z = x t ( p a 玑+ 7 z f ) d r + a l z ? d w ) 4 ) d 玑= 饥( 一o + 卢工f + 6 玑) 出+ 仃2 可l m 宁 由于( y 。) 是两物种的数量，所以是非负的。对于模型( 4 ) ，任取初始 值，为了得到一个唯一的全局解( 即，不在有限时间内爆炸) ，方程的 系数通常都要满足线性增长条件和局部l i p s c h i z 条件( 见) 然而，方 程( 4 ) 的系数不满足线性增长条件( 虽然是局部l i p s c h i z 连续的) ，因 此，有可能在有限时间里爆炸。因此，我们首先在下面的定理4 1 中证 明了，当m 3 2 ，n 3 2 时，方程( 4 ) 的解是正的和全局的。 定理4 1 考虑随机竞争物种模型“ 对任取的初始值( x 0 ，y 0 ) 冗辜，方 程“j 存在一个唯一解( x 。，y t ) ，t o ，并且( 执，y t ) 咒；，对所有的t2 o 证明：由于方程的系数是局部l i p s c h i z 连续的，所以，对于任给的 初始值( 砘y 。) 冗；就存在唯一一个局部解( y t ) ，t 0 ，) ，其中e 是爆炸时间，即：r e = i n f t o ；( zc ，y t ) e 讯； 为了表明这个解是全局 的，我们需要表明：= 。a 8 ，令k o 0 充分大，使得( y 0 ) 位于区 间【1 o ，k 0 1 中对于每个整数k2k o ，令d k = ( 1 k ，k ) ( 1 、k ) 定义停 时： 7 k = i n f t 【0 ， ；( z ，y ) d k 凡= j i m _ + 。r 其中：仉i f = o 。a ，s ，则c = o 。定义一个c 2 函数f ：冗；叶r + ： 11 f ( z ，y ) = i 一1 一；l o g z + 、虿一1 一言l o g 可 这个函数的非负性能从下面的式子看出： 、i 一1 一；l o g u20 当u 0 1 6 山东大学硕士学位论文 i f ( ( t ) ，( t ) ) 冗辜，应用i t o 公式： = ( j z 一 一；x - 1 ) d 锄+ j ( - o 2 5 x 一1 5 + x - 2 ) ( d 甄) 2 + ( ；一 一；y - z ) d y + ；( - 0 2 5 y 一。5 + y - 2 ) ( d y t ) 2 = ( 褂1w 。1 一1 ) ( p a 玑+ 7 丑) + ；仃l x 2 m 一2 ) 一；盯1 2 2 m 1 1 5 + ( j 一1 ) ( 一a + _ 日乩+ 6 玑) + ；盯2 y 2 n - 2 ) 一；a 2 y 如一1 5 d r + 口。( z m 一 一x m - 1 ) m w + 印( 掣“一 一掣“一1 ) d w 7 ， 由于m 3 2 ，n 3 2 ，所以，当玑取充分大的时候，漂移项是小于0 的。因此，漂移项在礁中是有上界的，令它的上界是k 因此我们能 获得： f o t d f m ) 茎z r k a t 鼬+ 厂尹1 ( x m - 1 _ x r n _ l 删+ z 一尹1 ( y - _ y - 1 删 由于( ，玑) 冗辜两边同时取数学期望，得到 e f ( x r k a t l 可“ t ) f ( x o ，y o ) + k e ( n a t ) sf ( x o ，y o ) + k t 因此p k 。，s i 盖景端一。当七一。 由于p ( r t ) sp 帆 0 成立因此p ( r t ) = 0 对所有 有限t ，这表明了尸( r = o 。) = 1 定理4 2 考虑随机竞争物种模型“j 假设一警 1 o ，d 0 同样假 设： n 1 叩2 蔚簿斋 和1 哪2 + 痴舞赫 川= 2 一z 。：端m 。：端 z ：笔，和旷= 篙 则当m = 2 ，n = 2 ， “，的解是遍历的 1 7 山东大学硕士学位论文 证明：让 f ( z ，y ) = z 一工。l o g ( x ) + a ( y 一l o g ( y ) + c 其中 c = 一，+ 矿l o g ( x + ) + a ( - y + 矿l o g ( y ) 对f t = f ( 甄，轨) 应用i t o 引理，可得： d r + = 【扛一。) ( 一a y t + 7 x ) + a ( v 一矿) ( 一a + 卢砘+ ( 5 y t ) + o 5 ( 矿盯 z 2 + a y 口；矿) 】出+ 仃l x ( x 一。+ ) d w + a 2 v ( y 一矿) d - 吁 = 【7 ( x z ) 2 + a 6 ( 一旷) 2 + 0 5 x a 2 x 2 十0 5 a y 以g + y 2 】出 + d l x ( x 一茹+ ) d 町+ a 2 y ( y 一9 ) d w 譬 ( 8 ) = 【( ，y + o + 5 x 。仃 ) ( z 一孑爵矿) 2 + a + 0 5 a ；y ) 悖一瓦毒矿9 + ) 2 + 7 ( z ) 2 ( 1 一；备) + a ( f ) 2 ( 1 6 ：5 毒f ) 】出 + 盯l z ( x z ) d 矸，l l + a 2 y ( y 一旷) d w 7 当7 + 0 5 x * 口 o ，6 + o , 5 a ；y 0 ，漂移项冗；是上有界的，因此由引理 ( 2 6 ) ，解是存在于冗车考虑区域 d _ ( 础) ：生掣一t - 生掣 1 ) ( 9 ) 雨石网a 1 6 + 0 5 万i k = ，y ( 髫) 2 ( 1 一再南) + a d ( 口+ ) 2 ( 1 一再丽o ) d 有一个椭圆作为它的边界由于 ，y + 0 啦 ( 佃+ m i n ( , b + 0 5 a x q d ，耵瓢丽d ) ) 2 d o ：= m i n ( 1 1 + o 勋p l a ，a l a + o ，5 司y 2 o ( 7 + 0 5 盯 z ) ( z 一赤z 4 ) 2 州舢一5 面g ) ( 一南2 似s “。钏 令( z ，) 冗辜一d + ，并且( y t ) 是( 4 ) 的解，初始值为( z 。，y o ) ，令r2 d + c d m 三鬲1 ，m ) ( 壶，m ) 蜀) f ( x ， 。，y r a r 。) f ( $ ，v ) 一d o e ( ) ( r 7 硫) ( 1 0 ) 1 9 山东大学硕士学位论文 由于f 0 ，因此 甄。，v ) f ， 。，辨 ) e ( 。，) 旧( 。，鼽。) j - ( r t h ) 】 因此 当m - - 4 。 ，m i nf ( u ，u ) 只，v ) 【丁2 】 一( “，v ) e o d 。、一1 酬r 刈瓦躲一。 由于- o 。则，) r = o 。】_ 0 因此( 甄，玑) 是非常返 的 同样从n 0 】 e 。蛐灯 去f c z 川 应用单调收敛定理，还由于- 0 0 我们有 地“r s 去聊，n 进一步的，我们能考虑一个椭圆d ”使得在d 和d 。的边界 之间这种构造法和d 。的构造类似。 由于1 9 “cd ”则 小s u p d e ( ) 【7 _ 】云( 。，叭y ) e p d f ( z ，”) 。( z ，”) 一 ” 注意到以( 再i ：如，南9 + ) 为中心的椭圆能被看作衡量从( 写；可) 到( 再志研矿，莉 万圹) 的距离在上面的构造中，我们得到三个椭圆 区域 dcd + cc o n v e x h u l l 3 ( d ”) d 是个开集并且( 再6 ：蚤研矿，莉 秽旷) 在其内部应用性质( 2 5 ) ，就能表明过程( 4 ) 是遍历的 3 c o n v “h u u1 9 表示包含d “的最小的凸集 山东大学硕士学位论文 定理4 3 假设下列条件之一成立： ( j ) 7 o ，占so ，兰 一； ( j ，) 7 0 ，芸 m i n 一i ，) 则过程心j 是非常返的 证明： ( i ) ：由于告 一i ，选择两个正常数p z ( o ，1 ) ，m ( o ，1 ) 使得 尝一；贝9 p t , u p 2 o 定义y ( 。，y ) 三z p ，旷，0 p 1 1 ，0 p 2 1 ，并应用i t o 公式，我们有 d v ( z ，y t ) = p z z p l 一1 9 舶b t ( p a y l + 7 x t ) d t + a l 掣p d 仉誓 + p 2 x m y m 一1 执( 一8 + 芦z + 曲) 出+ 盯2 9 d w 譬l + o 5 p 1 ( p l 一1 ) a z 2 x m + 却1 2 可p 2 d t + o 5 p 2 ( 卢2 一1 ) 盯；z m y 舶+ 2 “一2 d t = k 【p l ( p a 玑+ 7 x t ) + p 2 ( - - a + 卢甄+ 6 玑) + o 5 p 1 ( p 1 1 ) 盯 z 加一2 + o 5 m 渤一1 ) 以y 2 n - 2 】出 + 口1 m k z q d 孵+ 砚以k 醪- 1 d 谛? = k ( 以p p 2 0 ) + ( 7 p i + 卢以) 盈+ ( 一a p i + 6 卢2 ) 玑 一o 5 p 1 ( 1 一p 1 ) 仃；z 2 ”一2 一o 5 p 2 i i p 2 ) 以9 2 n - 2 d t + 盯1 p l k z 。d w ? + 眈m k 酊_ 1 d - 砰 sy d ( p l p p 2 0 ) 】班+ 口l p l k 。p - 1 d w + c r 2 p 2 k 可? “d w ? 两边取期望，得到： e v ( 孔，玑) y ( 。o ，y o ) + ( p l p m 口) ej ：y ( 如，弘) d s v ( x o ，y o ) + ( p l 卢一融口) 露e y ( ，玑) d s 应用众所周知的g r o n w a l l 不等式，得到： e y ( 机，y t ) sv ( x o ，y o ) e 9 1 ”一“。) 。 因此 e y ( 觑，饥) _ 0 ，t _ + o 。 则 扩1 护_ oa , 8 当t 斗 由此可得( 执) 是非常返的 ( i i ) 我们能用与( i ) 同样的方法证明( i i ) 2 1 山东大学硕士学位论文 第五节数值解 在本节中，通过使用随机微分系统的数值解，来考察系统的某些行 为，例如：非爆炸，遍历性，非常返特别地，对于t = a t ，2 f ，可 以使用e u l e r 逼近的方法 x t + = z t ( p a 玑+ 7 x t ) t + g r l z r t n 仇，1 1 y t + = y t ( - 0 + 卢轧+ d z t + u 2 卯w ? 其中初始值( z 。，y o ) 冗j 时间增量t ，对于每隔时段，向量x