（应用数学专业论文）算子在局部紧的vilenkin群上的herz型空间上的有界性.pdf

博士学位论文 摘要 众所周知，调和分析一直是分析学的重要方向之一。随着调和分析理论的 发展和逐步完善，它在偏微分方程，群表示论、数论等数学领域，以及信号处理、 网络安全等工程领域中找到了广泛而深入的应用这种应用的基本工具是函数空 间和算子理论。 本篇论文主要致力于研究几类算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型 空间上的有界性以及局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型b e s o v 空间的分解和基本 性质我们的研究工作分为两个方面t 一方面，我们对h e r z 型b e s o v 空间进行了原子分解用一种统一的框架描 述函数的光滑性态是函数空间研究的趋势1 9 7 6 年，j p e e t r e 首先用l i t t l e w o o d p a l e y 理论统一处理了b e s o v 空间，而后用不同特征的原子和分子构造函数空间 成为了继l i t t l e w o o d p a l e y 理论之后新的发展方向妒上的一般函数空间都有 其原子分解特征，一些作者将这些分解特征延至局部紧的v i l e n k i n 群g 上c w o n n e w e e r 和苏唯宜就对g 上的b e s o v 空间给出了原子刻画受他们工作的启 发，作者在本篇论文的第一章首先引入了g 上的h e r z 型b e s o v 空间并对其进行 原子分解在这类空间中，将原有的b e s o v 空间中函数范数定义中的驴空间范数 用h e r z 空间耳p 范数所替代。我们定义新的h e r z 型b e s o v 空间蟛，9 彤的范 数，就会发现将空间中元素分解得到的级数的收敛会与o ，p ，q ，p 和s 等多 个指标发生关系在分解时，我们假设原子啦。支在某个，。+ g ，x 上，并且其尺 寸大小满足恢。l ( 。一1 ) 一( s - a ) ”q ，当然也满足消失矩条件a l ，( z ) d z = 0 ， ，g 这时若n = 0 ，q = p ，就有k 孑1 p 睇( g ) = b 尹( g ) ，这就说明c w o n n e w e e r 和苏唯宜做的g 上的b e s o v 空间的原子刻画是本文的一种特殊情况与此同时， 我们也对h e r z 型b e s o v 空间的嵌入性质和提升性质做了初步的研究 另一方面，算子的有界性是此篇论文的另一研究重点作者在三、四、五、 六章中讨论了某些次线性算子和奇异积分算子及其交换子在h e r z 型空间上的有界 性。当次线性算子满足一定的尺寸条件时，可以证明它是h e r z 型h a r d y 空间到 h e r z 空间的有界算子，或是h e r z 型h a r d y 空间上的有界算子。本文引入h e r z 型 b e s o v 空间的同时还引入了局部紧的v i l e n k i n 群g 上的h e r z 型t r i e b e l l i z o r k i n 空间在研究交换子的有界性时，作者给出了奇异积分算子的交换子在h a r d y 空 问上的有界性以及从妒空间到t r i e b e l - l i z o r k i n 空间霹4 ( g ) 的有界性进一步 地，将算子的定义域限制在h e r z 空间上时，可以更准确地刻画其值域是h e r z 型 t r i e b e l l i z o r k i n 空间，这也说明了引入此类空间的意义。 在论文的最后一部分，研究双线性算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型空间上的有界性 型空间上的有界性。若双线性算子b ( i ，g ) 满足消失矩条件b ( f ，9 ) ( z ) 出= 0 ， j g 当有关指标0 p l ，盥。，t ；= 1 p l + 1 胁，0 q l ，q 2 o o ，q 1 ， t q = 1 q 1 + 1 q 2 ，一1 q , a 1 1 q i ，i = 1 ，2 且a = 0 1 1 + 她时 b ( f ，g ) 是船一，( g ) j 嘧m ( g ) 到日砖一( g ) 的有界算子。同样还获得了它从 日姆，n ( g ) xh r 。o , , p 2 ( g ) 到h 砖一( g ) 的有界性 关键词：v i l e n k i n 群，h e r z 型b e s o v 空间，h e r z 型t r i e b e l - l i z o r k i n 空间，次线性算子，交换子，奇异积分算子 i i 博士学位论文 a bs t r a c t i ti sw e l l - k n o w nt h a th a r m o n i ca n a l y s i si s a l w a y so n eo ft h em o s ti m - p o r t a n ta r e a si ns t u d y i n go fa n a l y s i s a c c o m p a n y i n gw i t ht h ed e v e l o p m e n ta n d p e r f e c t i o no fi t st h e o r i e s ，t h ee f f e c t i v e n e s so fh a r m o n i ca n a l y s i si ss e e m sm o r eo u t s t a n d i n gi na p p l i c a t i o ni np a r t i a d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，r e p r e s e n t a t i o n so fg r o u p s ， t h et h e o r yo fn u m b e r sa n da l s oi ne n g i n e e r i n gs u c ha ss i g n a lp r o c e s s i n g ，n e r w o r k s a f e t y t h em a i nt o o l si nt h ea p p l i c a t i o n sa r ef u n c t i o ns p a c e sa n do p e r a t o rt h e o r y t h ed i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s so fo p e r a t o r so n h e r zt y p es p a c e s ，t h ed e c o m p o s i t i o na n dt h eb a s i cp r o p e r t i e so fh e r z t y p eb e s o v s p a c eo nl o c a l l yc o m p a c t v i l e n k i ng r o u p s 。o u rr e s e a r c hj sd i v i d e di n t ot w o p a r t s ： o nt h eo n eh a n d ，w eg i v et h ea t o m i cd e c o m p o s i t i o no fh e r z t y p eb e s o v s p a c e i t sat r e n dt ou s ea nu n i f i e df r a m et od e s c r i b es m o o t hp r o p e r t i e so ff u n c t i o n s j p e e t r ef i r s t l ya p p l i e dt h el i t t l e w o o d p a l e yt h e o r yt od e a lw i t hb e s o vs p a c e i n1 9 7 6 s u b s e q u e n t l y , c h o o s i n ga t o m sa n dm o l e c u l e sb e i n go fv a r i o u sc h a r a c t e r t oc o n s t r u c tf u n c t i o ns p a c e sb e c a m ean e wd e v e l o p m e n t a lo r i e n t a t i o na f t e rt h e l i t t l e w o o d - p a l e yt h e o r y t h eg e n e r a lf u n c t i o ns p a c eo n 珉? u s u a l l yh a v et h e i r o w na t o m i cd e c o m p o s i t i o n s o m ep e o p l ee x t e n d e dt h ew o r k st ol o c a l l yc o m p a c t v i l e n k i ng r o u p sg f o xe x a m p l e ，c w o n n e w e e ra n ds uw e i y it r e a t e dt h ea t o m i c d e c o m p o s i t i o no f t h eb e s o vs p a c eo ng m o t i v a t e db yt h e i rw o r k ，t h ea u t h o r si n - t r o d u c et h eh e r z - t y p eb e s o vs p a c e so nga n dg i v et h ea t o m i cc h a r a c t e r i z a t i o n s a b o v ea l li nc h a r p t e ri i nt h es t u a t i o n w es u b s t i t u t et h e 2 一n o r mw i t ht h a to f 孵”i no r g i n a ld e f i n i t i o no f b e s o v s p a c e ，r e d e f i n et h en o r n lo f t h eh e r z t y p eb e s o v s p a c ek ；。b t h e r ea r e r e l a t i o n sa m o n gt h ei n d i c e ss u c ha sa ，执q ，8a n dsw h i c h a r ep o i n t e do u tp r e c i s e l yi nc h a r p t e ri i fo = 0a n dq2pi no u rs i t u a t i o n ，t h e n 砑，岛( g ) = 弗。( g ) ，w h i c hc o n c l u d e st h a tt h ea t o m i cc h a c t e r i z a t i o no fb e s o v s p a c eg i v e nb ys na n do n n e w e e ri sas p e c i a lc a s eo fo n rd i s s e r t a t i o n m e a n w h i l e ， t h ee m b e d d i n gp r o p e r t i e sa n dt h el i f t i n gp r o p e r t i e si nh e r z - t y p eb e s o vs p a c e a r e a l s od i s c u s s e d o nt h eo t h e rh a n d t h et h e o r yo fo p e r a t o ri sa n o t h e re m p h a s i si nt h i s p a p e r t h ea u t h o r sd i s c u s st h eb o u n d e d n e s so f s o m es u b l i n e a ro p e r a t o r sa n de o m m u t a t o r so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r so nh e r zt y p es p a c e si nf o l l o w i n gc h a r p t e r s i nc h a r p t e r3 ，w es h o wt h a ts o m es u n l i n e a ro p e r a t o r sa r eb o u n d e do p e r a t o r sf r o m h e r z t y p eh a r d ys p a c et oh e r zs p a c eo rh e r z - t y p eh a r d ys p a c e w h e nt h e ys a t i s i f y ac e r t a i ns i z ec o n d i t i o n b e s i d eh e r z - t y p eb e s o vs p a c e ，h e r z t y p et r i e b e l - l i z o r k i n s p a c ei s a l s oi n t r o d u c e d w h e nw ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o ro f i i i 算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型空间上的有界性 s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s ，t h eb o u n d e d n e s so nh a r d ys p a c ea n dt h eb o u n d e d n e s s f r o m1 2s p a c et o y i e b e l - l i z o r k i ns p a c e 瑶9 ( g ) a r ef i r s t l yg i v e ni nc h a r p t e r4 a n dc h a c p t e r5 f u r t h e r m o r e ，w ec a lc o n c l u d et h ec o m m u t a t o ri se x a c t l ym a p p e d f r o mh e r zs p a c ei n t oh e r z t y p et r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e i nt h ef i n a lc h a r p t e ro ft h i sd i s s e r t a t i o n ，t h eb o u n d e d n e s so fb i l i n e a ro p - e r a t o ro nh e r z t y p es p a c eo i lgi sg i v e n f ft h eb i l i n e a co p e r a t o rb ( f ，g ) s a t i s f i e s t h ev a n i s h i n gm o m e n tc o n d i t i o n b ( f ，g ) ( z ) 出= 0a n d0 p l ，p 2 墨c o ，1 p = 1 p l + 1 1 p 2 ，0 q 1 ，q 2 o 。，g 1 ，1 q = 1 t q l + l q 2 ，一1 儡 o i 1 1 q i ， i = 1 ，2a n da = o z l + 0 2 ，t h e nb ( ，g ) i sb o u n d e df r o m 尺署肌( g ) 蜷棚( g ) t o h 砑9 ( g ) t h e b o u n d e d n e s sf r o m 日碟“( g ) 日磅加( g ) t o 日k 芋9 ( g ) i sa l s o o b t a l n e di nt h i sc h a r p t e r ， k e y w o r d s ：v i l e n k i ng r o u p ，h e r zt y p eb e s o vs p a c e ，h e r z t y p e t r i e b e l - l i z o r k i n s p a c e ， s u b l i n e a r o p e r a t o r ，c o m m u t a t o r ， s i n - g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名 砌峨 日期：2 0 0 4 年5 月5 日 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许沦文被查阅和借 阅。本人授权湖南大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学应论文。 。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内扣”) 作者签名 彻袱 日期：2 0 0 4 年j 月5h 一备考拐掰 博士学位论文 第1 章绪论 调和分析的研究一直是分析学的重要问题之一它的起源可追溯到e u - l e r ，f o u r i e r 等著名数学家的研究之后，经历了近二百年的发展，已成为数学 的核心学科之一它的方法几乎渗透到数学的所有领域，鉴于它的思想和方法来 源于分析的许多领域，调和分析在数学的许多领域中有着广泛的应用，特别是对 偏微分方程、代数数论、小波理论及应用等而言尤为如此( 见【1 - 2 1 ) 众所周知，调和分析中建立的许多分析工具诸如算子插值方法、极大函 数方法、球调和函数理论、位势理论和一般可微函数空i 可等是研究偏微分方程的 必备工具经典的c a l d e r d n - z y g m u n d 奇异积分算子在椭圆方程组的应用，第二代 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子在拟微分方程中的应用、b m o 空间在研究椭圆 型方程的解的正则性等诸方面都充分体现了调和分析在偏微分方程研究中的巨大 作用( 参看【1 - 4 1 ) 近二十年来，随着调和分析理论的发展和逐步完善，它在偏微 分方程中的应用尤为突出所以函数空间和算子理论的研究就有着非常重要的意 义讨论偏微分方程的解的存在性，对各种线性和非线性算子的性质研究，都必 须用函数空间来刻画( 睁1 0 1 ) 其中b e s o v 空间就是在研究s o b e l e v 空间在低维 流形上的限制问题时提出的因为b e s o v 空问可以通过连续模定义，所以它也是 l i p s c h i t z 空间与s o b e l e v 空间的一种推广它在偏微分方程、变分法、逼近论、数 值分析，调和分析及算子理论等领域都有极其广泛的应用。 用一种统一的框架描述函数的光滑性态是函数空间研究中的一种趋势 1 9 7 6 年，j p e e t r e 用l i t t l e w o o d - p a l e y 理论统一处理了b e s o v 空间( 1 1 1 1 ) 同 样，t r i b e l 详尽地论述了t r i b e l - l i z o r k i n 空间二十世纪七十年代以来，通过用不 同特征的原子和分子构造函数空间成为了继l i t t l e w o o d - p a l e y 理论之后新的发展 方向而p 上的函数空间都有其原子分解特征比如，m f v a i z e r 和b j a w e r t h 就在1 9 8 5 年对p 上b e s o v 空间进行了原子刻画( 【1 2 】，【1 3 1 ，【1 4 ) 而近二十年 来，h e r z 型空间吸引了很多人的兴趣，在国内有北京师范大学陆善镇教授、杨大 春教授和他们的学生。近来还有刘宗光博士等在国外有a b a e m s t e i ni i ，e t s a w y e r ，y c h e n ，k l a u ，j g a r c i a - c u e r r a ，m l h e r r e r o ，j j b e t a n c e o r ，a m i y a c h i 和t k i t d a 等详情请查看参考文献特别地，h e r z 型h a r d y 空间和h e r z 型s o b e l e v 空间被相继引进并对它们进行了深入的研究 徐景实在他们的工作影响下，率先引进了r ”上的h e r z 型b e s o v 空间和h e r z 型 t r i b d l i z o r k i n 空间，并对这类空间上的一些基本性质：嵌入性质、提升性质、极 大不等式和f o u r i e r 乘子定理等进行了讨论 本文当中我们主要考虑局部紧的v i l e n k i n 群上函数空间的刻画和算子理 算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型空间上的有界性 论的研究及应用。关于拓扑群的知识可以查阅1 1 5 】 1 1 一些重要记号和预备知识 在整篇文章中，g 表示局部紧的v i l e n k i n 群，即g 为包含严格递增紧 开子群序列 g k ) 黯一。的局部紧的a b e l i a n 群，且 ( a ) u o o - - 0 0 瓯= ga n dn 器一。g 。= o ； ( b ) s u p o r d e r ( g 。a 。+ 1 ) ：n z ) = b 0 ，k z 有 ：( m 。) 1s g ( m 女) 1 n = k 以及 k ：( ) o 茎g ( m k ) o ， * 这里g 是与k 无关的常数v n z ，选取盈，。a ( 1 z 十) 使得g 的子集 g i ，n ：= 动，。+ ( k 满足当k z 时g ，。n g l ，= 妒，u 墨o g 协= g ，另外选取z o ，。 使得g o 。= g 。在此基础上如果我们定义函数d ：g g - - 9 r 如下；当一g = 0 时，d ( x ，y ) = 0 ；当z y g 。g k + 1 时，d ( z ，y ) = ( 0 2 。) 一，那么d 定义了一 个g 上的度量，并且由此度量产生的拓 b 就是g 的原始拓扑若对于z g ， 规定= d ( 。，0 ) ，则h = ( 竹k ) - 1 铮茹g 。g 。+ 1 设s ( a ) 表示g 上的检验函数空间，( g ) 为其对偶空间( 见 1 6 ) 函 数妒：g _ + c 属于s ( a ) 当且仅当依赖于妒的整数k ， 使得s u p p ( p c g 且妒在 g 的子群国的陪集上恒为常数若对于s ( a ) 中函数列 妒。 r ，存在常数k ，2 使 得妒。和l p 都支在集g 女上，在g l 的陪集上为常数。并且( z ) 在g 上一致收 敛到l p ( z ) ，则称 妒。) r 收敛到妒s ( c ) 因此( g ) 表示的就是s ( g ) 上的连 续线性泛函全体如果对于所有s ( a ) 中的妒，l i m ( 厶，西= ( ，妒) 。则称酽( g ) 中的序列 ，n ) p 收敛到，es ( g ) 设，( g ) ，定义其极大函数，+ ( z ) l， i ，( z ) = s u pl m 。 s ( y ) d y l 定义1 1 1 设a7 r ，0 p ，g 兰0 0 ， ( a ) 齐次h e r z 空间定义为 一2 博士学位论文 j 留一( g ) = ，：，为g 上可测函数且1 1 ，l i l ， o o 其中i l f l l 膂q g ) = m f ”i l f x g ，g z + 。i l l ( g ) 、l ” 当p = o 。或q = o 。时做通常的修改 ( b ) 非齐次h e r z 空间定义为 叼舻( g ) = f ：，为g 上可测函数且i i f i , c 1 g ) o o ， 、， 一1 、l p 其中i i 1 1 砖1 g ) = ，x g 0 1 1 暑。( g ) + m 7 ”i l f x g l g 。l 巳( g 】 ， 当p = o 。或口= o 。时做通常的修改 当1 q o o 时，h e r z 空间硪- - l q , 1 ( g ) ea q ，我们称这些空间为 b e u r l i n g 代数，而朋是由b e u d i n g 在文献【1 7 1 中引入的具有等价范数的不同空 间，其范数的等价性由f e i c h t i n g e r 在【1 8 】中给出当然h e r z 空间k y ( g ) 和 砰一( g ) 是h e r z 首先引入的( 见1 1 9 】) ，只是也是不同的范数然后f l e t t 在 2 0 】 中给出了这些h e r z 空间的特征刻画，说明了他们与上面的定义1 1 1 是等价的 同时h a r d y 空间理论也得到了巨大的发展( f 2 1 2 8 ) 陈和l a u 在文献 2 9 】中引入了当1 q 2 时，实直线上与b e u r l i n g 代数印相关的h a r d y 空间 g a r c i a - c u e r v a ( 3 0 ) 进步将【2 9 】中的理论一般化，将其做到高维，并且对所有满 足1 q o o 的q 都成立后来陆和杨在【3 2 3 3 1 中建立了相应的齐性空间上的理 论。最近，g a r c z a - c u e r v a 和h e r r e r o ( 3 1 ) ，以及陆和杨等在一系列文献( 3 4 - 4 0 ) 中更是独立地发展了h e r z 型实h a r d y 空间理论自然而然得，v i l e n k i n 群上的 h e r z 空间和h a r d y 空间理论也逐步发展，见( 【4 1 4 3 】) 等 定义1 1 2 设a r ，0 p ，q o o ， ( a ) 齐次h e r z 型h a r d y 空间定义为 日曰9 ( g ) = f 趴g ) ：f 曰9 ( g ) ， 而且， i i ，| i h 霹，( g ) = f i f + 0 船一( 。) ( b ) 非齐次h e r z 型h a r d y 空间定义为 日皤邯) = fd ( g ) ：f + 四郴) ， 而且， l i f l l 日，一( g ) = i i f + 0 日一( g ) 定义1 1 3 设0 o 。o ，0 p ，q o o 3 、l， g ， 1 加 簖 算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型空间上的有界性 ( a ) 函数n l q ( g ) 叫做中5 - ( q ，g ) 块，如果它满足： ( i ) s u p po g n ； ( i i ) 叫l l - ( g ) s 竹瑶， 其中s u p pa 表示函数n 0 ) 的支集 ( b ) 函数o l q ( g ) 被称做中心( o ，q ) 原子，如果它不仅满足上面( a ) 中 的条件( i ) 和( i i ) ，而且满足( i i i ) 7n ( 。) 如= 0 。 与妒上h e r z 空间和h e r z 型h a r d y 空间的分解类似，g 上的h e r z 型 h a r d y 空间也有相应的原子和分子分解，可参考 4 1 】，【4 2 】，【4 3 】 引理1 1 1设0 n o o ，1 q ，0 p o 。，那么， 砑一( g ) ( 或，舛一( g ) ) 当且仅当m ) = a k b k ( z ) ( 或m ) ：) 、k b k ( x ) ) 在分布意义下成立，其中6 女是中心( 。，譬) 块且l h 甲 o 。进一步有 1 1 1 岘n r ( 。抓= - c o1 9 ) v ) ， 其中下确界取遍，的所有上述分解 引理1 1 2设0 q o o ，1 1 q n o o ，0 p o 。那 么，h 砖一( g ) ( 或，日蜡一( g ) ) 当且仅当，( ) = k ( 。) ( 或，( 。) = k o 女( z ) ) 在分布意义下成立，其中虮是支在中一5 - g 女上的( o ，g ) n 子l g fi 儿1 9 o o 进一步有， 盯忆柏劬r ( 。塾i ) 枷) ， 其中下确界取遍，的所有上述分解 定义1 1 4设1 q o o ， 1 一i 1 曼o t d + ；1 1 ，记 o = 1 一；1 一o + e ，b = 1 一i 1 + ，称g 上函数m ( z ) 为中心( a ，口，) 分子，如 果它满足： ( i ) m ( x ) d x = 0 ； ( i i ) 殇( 肘) ：= i m 郴a b ) 矧m 郴1 - o b ) 一g 0 0 引理1 1 3设0 f ，q ，s 如定义1 ，1 4 所述，0 p 。，则 ，丑砖一( g ) ( 或，日碍，p ( g ) ) 当且仅当，o ) = k ( z ) ( 或，( z ) = 4 博士学位论文 o 儿m ( 。) ) 在分布意义下成立，其中m k 是支在中心g e 上的( o ，q ，5 ) 分子 女= 一o o o o 且1 k l ， o o 进一步有， k = - c o u ，峙忡一r ( 。邑o o i ，) 枷) 其中下确界取遍，的所有上述分解 1 2 主要结论和创新 由于两类空间b e s o v 空间彤。和t r i b e l - l i z o r k i n 空间咒。包含了几乎 所有的经典空间，比如：h b d e r 空间，s o b o l e v 空间，b e s s e l - p o t e n t i a l 空间， z y g m u n d 类，局部h a r d y 空间和局部b m o 空间都是它们的特例( 4 4 - 4 s ) ，所 以，理所当然地，人们对它们的研究给予了很多的关注，不仅对i r 上的空间进行 了原子分解，而且还有局部紧的v i l e n k i n 群上的原子分解和分子分解 m f r a i z e r 和b j a w e r t h 在1 1 2 】中对p 上的b e s o v 空间分解时，其原子 会满足一定阶的消失矩条件，而对于局部紧的v i l e n k i n 群来说，这个条件已不再 适合，在此时它已不再具备高阶消失矩因此，c w o n n e w e e r 和苏唯宜在【4 9 1 中对g 上的b e s o v 空间进行原子刻画时，对原子的尺寸大小做了相应的调整受 他们这些工作的启发，我们将在第二章中首先引入g 上的h e r z 型b e s o v 空间并 考虑其原子分解在这类空间中，将原有的b e s o v 函数范数定义中的胪空间范数 用h e r z 空间k 范数替代，重新定义h e r z 型b e s o v 空间，我们发现空间元素 分解后得到的级数的收敛性在h e r z 型b e s o v 空间j 曙，p 挪中与a ，p ，q ，卢 和8 等多个指标发生关系怎样确定其指标关系以控制级数的收敛便成为工作的 创新点在分解时，我们假设原子m 。支在某个盈。+ g ，- 上，并且其尺寸大小 满足k ， s n - i ) 一( s - a ) ”q ，当然也满足消失矩条件础，。( 宝) 如= 0 。这时若 n = 0 ，q = p 。那么j 留一哪( g ) = b 铲( g ) ，所以我们的结论包含了【4 9 】的情 形事实上，它是本文的一种特殊情况与此同时，我们也对h e r z 型b e s o v 空间 的嵌入性质和提升性质做了初步的研究然而，由于局部紧的v i l e n k i n 群g 上没 有导数定义，所以我们不能象实数域上一样直接在g 上考虑h e r z 型b e s o v 空间 的提升性质，于是将其放在局部域上考虑，得到与p 中类似的结果。这也是第= 章第三节的主要内容对，s ，( ( “) 定义算子厶为厶，= f - 1 ( ( ) 4 ，- ，) ，那么 l 是砰p 弼( ( ”) 到k ob 0 1 ( ( n ) 的同构映射 与此同时，自六十年代中期以来，随着偏微分方程理论的发展，算子理 5 算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型空间上的有界性 论也逐步完善，它们为研究偏微分方程中许多经典问题提供了强有力的工具。而 b e u r l i n g ( 1 7 ) 为了研究卷积代数首先引入了h e r z 空间的原始定义，后来h e r z 又 在文【1 9 】中引入了前面介绍的定义版本，从此以后，h e r z 空间理论得到充分发 展，它也被逐步证明在调和分析中应用广泛例如，b a e r n s t e i n 和s a w y e r 就利用 h e r z 空间来刻画标准的h a r d y 空间的乘子的特征( 见【5 0 】) 。所以我们在后面的几 章中着重探讨某些算子在局部紧的v i l e n k i n 群上h e r z 型空间中的有界性。 在第三章中我们将讨论次线性算子在h e r z 型空间上的有界性次线性算 子在妒上h e r z 空间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性的判定条件已有大量文 献进行了研究( 3 4 - 3 5 ，5 0 5 3 】) 陆善镇和杨大春等在局部紧的v i l e n k i n 群上引入 了h e r z 空间和h e r z 型h a r d y 空间的概念，并给出了此空间中函数的分解及某些 算子在此类空间上的性质第三章主要就齐性的情形将杨在【5 4 中的结论进一步 推广，讨论某些次线性算子在满足一定的尺寸条件时它在h e r z 型h a r d y 空间上 的有界性即，设0 d 1 ，1 口 o o ，1 1 qsn 1 1 q + j ， 0 p o o ，如果对于任意具有紧支集的工1 ( g ) 中的函数和z 簪s u p p ，次线 性算子t 满足： j 了了( z ) i c 。西! 黹d y 当t 在l q ( a ) 上有界时，我 们可以证明丁是h k 孑 p ( g ) 到k p ( g ) 的有界算子此定理是对文【5 4 1 中定理1 的延伸如果算子t 的大小可以被一与6 有关的积分控制，那么我们能够得到算 子在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性而对于局部的c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子来 说，如果算子t 满足消失矩条件p 1 = 0 ，就可以将文【5 4 1 中定理2 的结果进一 步改善，将算子的值域精确到h e r z 型h a r d y 空间 第四章和第五章主要讨论交换子的有界性设b 属于l i p s c h i t z 空间，t 是c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，那么他们的交换子的有界性任何呢? 事实上若南 p 墨1 且；1 = ：一卢，那么交换子i b ，卅将h p ( g ) 空间连续地映到空间 ( g ) 中 这是第四章第一节的主要结论当然我们也考虑了其临界指标的情况，即【b ，t 】从 日南( g ) 到w l l ( g ) 的有界性而它在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性则在第二 节中加以研究 1 9 9 5 年，m p a l u s z y c f i s k i 进一步将讨论交换子的有界性做到更一般的 情形( 参阅【5 5 ) 他证明了当1 p o 。，0 卢 1 时，【b ，卅是p ( p ) 到 船，o 。( 妒) 有界的算子等价于b l i p 口那么v i l e n k i n 群上的结果是否一致呢? 本章首先在v i l e n k i n 群研究l i p s c h i t z 函数与奇异积分交换子的性质徐景实和 杨大春在【5 6 】中引入了实数域i p 上的h e r z 型t r i e b e l - l i z o r k i n 空间于是在第 五章中，我们首先给出了v i l e n k i n 群上h e r z 型t r i e b e l o l i z o r k i n 空间蝣旁琊。( g ) 的几种等价定义，再利用与妒中类似的方法证明了当b l i p 口( g ) 时【b ，t 】是 口( g ) 到露，* ( g ) 的有界算子，最后给出了交换子从h e r z 空间到h e r z 型t r i e b e l 一 一6 博士学位论文 l i z o r k i n 空间的有界性，而此结果即使在妒上也是新的结果，所以这也是本篇论 文的创新之一 在最后一章，双线性算子在h e r z 空间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 是研究的重点众所周知多线性算子与分析中的许多问题有着紧密的联系，比如说 l i p s c h i t z 曲线上的柯西积分、偏微分方程中的补偿紧性等等( 5 7 - 5 9 ) 受【6 0 6 1 】 中工作的启发，我们主要考虑局部紧的v i l e n k i n 群上的多线性算子，将已知的双 线性算子在h a r d y 空间上的理论进一步推广到h e r z 型h a r d y 空间上g 及m n ，若口，霹为g 上的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，定义双线性算子 m b ( f ，9 ) ( 。) = ：( 霹，) ( z ) ( 霉9 ) ( z ) ，当双线性箅子满足一定的消失矩条件时，可 1 = l 以保证它在h e r z 空间和h e r z 型h a r d y 空间的有界性这个定理在欧氏空间的情 形虽然已由【6 1 】给出，但在局部紧的v i l e n k i n 群上的证明与其有本质差异 7 算子在局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型空问上的有界性 第2 章局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型b e s o v 空 间 2 1 h e r z 型b e s o v 空间的性质 函数空间的研究一直是分析学的重要问题之一讨论偏微分方程的解的 存在性，对各种线性和非线性算子的性质研究，都必须用函数空间来刻画用一种 统一的框架描述函数的光滑性态是函数空间研究中的一种趋势。b e s o v 空间就是 在研究s o b e l e v 空间在低维流形上的限制问题时提出来的因为它可以通过连续 模定义，所以它也是l i p s c h i t z 空间和s o b e l e v 空间的一种推广( 6 2 - 6 4 ) 。近二十 年来，h e r z 型空间得到了人们的普遍关注，徐景实在他的博士毕业论文 6 5 】中首 先引进了妒上的h e r z 型b e s o v 空间，并研究了此类空间的嵌入性和提升性等 那么局部紧的v i l e n k i n 群上的h e r z 型b e s o v 空间上情况如何呢? 在给出g 上的h e r z 型b e s o v 空间定义之前，我们先来说明测试函数