（应用数学专业论文）污染环境中生态学系统的持续生存与绝灭.pdf

摘要 本文主要考虑污染环境中单种群的长期动力学行为考虑到生物个体 对环境中毒素的吸收，生物体内的毒素对生物种群的增长产生了影响，生物 个体将一部分体内毒素排出体外，新生的生物个体从母体带出一。部分毒素， 并且死亡的生物个体将体内的毒素带到环境中去，用b i u l l o 幽l o i i o n l o 等人 的办法( 1 ) 对h a l l a m 等人建立的生态毒理学动力学中最基本的模型( 2 、3 , 4 ) 进行_ r 改进，得到了污染环境中单种群模型，并对该系统中种群的持续生存 与绝灭给予了分析，得到了种群一致持续生存、弱平均持续生存和绝灭的一 些充分判据，在某些条件下得到厂毒素使种群持续生存与导致绝灭的闯值 将其推广到渐近自治系统，并对其进行了同样的分析，得到j ，与自治系统同 样的结果考虑到种群还要受到环境中资源量的影响，我们也对文献5 中 的( 王f l l o p i n 系统进行了改进，得到_ r 种群弱持续生存与绝灭的充分条件，在 一定条件下得到了种群弱持续生存与绝灭的闽值，也将其推广到j ，渐近自治 g a l l o p i n 系统 本文内容具体安排如下：第一章简要地阐述了所研究问题的历史背景及 目前研究现状；第二章给出本文的主要结果，第1 节给出本文要用到的一些 基本概念和基础知识；第2 节建立了污染环境中的单种群模型，得到了，该系 统中种群一致持续生存、弱平均持续生存与绝灭的条件，将其推广到渐近自 治系统；第3 节考虑到种群受毒索和资源量的影响，对污染环境中的g ；l l l o p i n 系统也进行了改进，并对该系统中种群的持续生存与绝灭进行了分析，并将 结论推广到渐近自治g a l l o p i n 系统第4 节对进一步的工作进行了探讨 关键词：种群，环境污染，g a l l o p i n 系统，持续生存，绝灭 i i a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n c e n t r a t e so i lt h es t u d yo ft h el o n g t i m eb e h a v i o ro fa s i n g l e s p e c i e sp o p u l a t i o n 1 0 c a t e di n n p o l l u t e d e n v h o l i l n _ ! l l li r i o r g a l q - i s l i i i nt h ep o l l u t e de n v i r o n m e n tt a k e sw i t hi laq u a n t i t yo fi n t e r r m lt o x i c a ，n t ，a n d t h et o x i c a n ti nt h eo r g a n i s ma f f e c t s t i eg r o w t ho ft h ep o l n f l a t i o na n da n o r g a i l i s l t te g e s t ss o n l et o x i c a n ti n t ot h ee n v i r o n m e n tb y t h em e t h o do fb r u n o b u o n o i n oe ta l ，( 1 ) w em o d i f yt i l en i o s tb a m cm o d e li ne c o t o x i c o l o g ye s t a b l i s h e d h yh a l l a me ta l ( 2 ，3 ，4 ) ，a s s u m i n gt h a tab o r no i g a n i s mt a k e sw i ! ，h i taq u a n t i t yo fi n t e r n a lt o x i c a n t ，a n dt h ea m o u n to ft o x i c a i i ts t o r e di nt h e l i x i n go i g a n i s l u sw h i c hd i ei s d r i f t e di n t ot h ee n v i t o n n l e l i t ，s u f f i c i e n te r i t e r i ao nu n i f o r mp e r s i s t e n c e ，w e a kp e r s i s t e n c ei nt h e1 1 1 0 0 , 1 1a , n de x t i n c t i o no f t h ep o p u l a t i o na r eo b t a i n e dt h et h r e s h o l db e t w e e np e t s i s ie n e ea n de x t i n e l i o nc a nb ee s t a b l i s h e di ns o m ee & s e s 衍岳g e n e r m i z ef h er e s u l t si n t ot l i e a s y m p t o t i c a l l ya u t o n o n l o u 8s y s t e m ，a n do b t a i nt h es a m er e s n l t 8a st h ee a s e o fa u t o n o u l o u sc o n s i d e r i n gt h ee f f e c to fr e s o u r c e so nt h ep o p u l a t i o nw ea l s o m o d i f yt i l eg m l o p i n ss y s t e mi n5a n dg e ts o m es u t f i e i e n tc o n d i t i o n so nw e l l k p e r s i s t e n c ea n de x t i n c t i o n t h et h r e s h o l db e t w e e nw e a kp e r s i s t e n c ea l l de x t i n c t i o nc a nb ee s t a b l i s h e di n8 0 l l l ec k k s e 8 w ea l s oi l l l p r o v et h er e s u l t si i l fo a s y m p t o t i c a l l ya n t o n o n m u sg a l l o p i n l ss y s t e m t h et r e eo ft h i sp a p e ri xt h e f o l l o w i n g ：c h a p t e ro n e b e u s e so ni ：h l ：b a ：k g i o m mo ft h ep r o b l e mb e i n gi n v e s c i g a t e d c h a p t e rt w o0 1 ) h l i n ss o n n tl n l l i n r e s u h , s ：i ns e c t i o n1 ，w eg i v e ss o n l eh a s i cc o n c e p t i o na n dk n o w l e d g ei ns e e l i o n2 ，o i l es i n g l ep o p u l a t i o nm o d e li s e s t a b l i s h e d ，e m s i l yv e i i f i a b l es u f f i c i e n t c r i t e r i a f o rt h eu n i f o r mp e r s i s t e n c e ，w e a kp e r s i s t e c ei nt h en l e a na n de x t i n c t i o n 【) lt h ep o p u l a t i o ni nt h ep o l h l t e de n v i r e o n m e n ta l e ( 山1a i n e d w h 州1 h n l o r e ，w eg e n e r a l i z et h er e s t t l t si n t ot h ea s y m p t o t i c a l l ya u t ( ) n o n l o n ss y s le l l l i ns e c t i o n3 ，c o n s i d e r i n gt h ee f f e c to ft o x i e a n ta n dr e s o n i t e so nt h ep o p u l a l i o n ，w cm o d i r yt h eo a l i o p i n ss y s ( ，e n li nap o l h t t e de n v i r o n n l e n a n da , n a 1 y s e i i i p e r s i s t e n e ea n d e x t i n c t i o no ft h ep o p u l a t i o ni nt h i ss y s e i i lw ea l s og e n e i a l - i z et h er e s u l t si n t ot h ec a s eo fa s y m p l o c i c a l l y & u t o n o n l o u sg a l l o p i n ss y s t e m i ns e c d t o n4 w ed i s c u s st h ef l l r t h e rw o r k k e yw o r d s ：p o p u l a t i o n ；e n v i r o n n l e n t ；3 1p o l l u t ，i o n ：g a l l 0 1 ) i n ss y s r e i n ；p e r s i s t e n c e ； e x t i n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名6 亟毖垒日期 d 妒。“厶 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 0 + 7 l u 鸲= i1 ，6 u = 三r ( j + y l “ ( 删= 、触州s 慨= 罴 2 若存在常数m o ， o 使得o ms l i 扣m 。i n f _ ( ) l i l f l l l8 0 。1 1 川( ) 羔 n o 使得0 l i ms l l l ) ( z ( t ) ) n 0 使得0 0 0sc o ( o ) 0 ，c 川) o ) 是系统的一个不变集此外，l i r as u p z ( ) 曼，。】 证明：对于模型( a 矗) ，z 0 只要m ( ) 0 ，就有。( f ) 0 r + 又 匪i 1 d o l ( j 广( t ) 岛：。，c 。，。= 。( ，) 。、 掣l c 姐岛，帅，。= ( 口。+ 扎 “。( f ) ) 础) 州”州吵执 从而( m t ) 的轨线不能穿过相空间的任一坐标下面 由方程( 2 ) 我们有， 掣纠 l ) ( n 廿) 凶此我们利用比较定理可以得到 l i m s u p ? ( ) r i j ， 考虑到问题的实际意义，消费者种群体内毒素的浓度a ( f ) 与环境中毒 素的相对浓度q ( ) 均不可能达到l 否则，任何一种生物种群都是无法生 存的故此我们, f l 、充一些条件使得0 g l 曼1 ，0 o ( f ) l 对任意的 咒+ 成立 引理212 对模型( a 彳1 ) ，令9 + d ( 】十n 矗 9 - _ i d , ，u l 曼j ，则 ( ) sc f l ( t ) 1 osc 。( t ) s1 对任意的t “成立 证明：根据引理211 显然有岛( f ) o ，e ( f ) o ，er + 下面我们需要说明e ( ) l 和岛( f ) 1 ，v te 十我们采用反证 法证明，如果引理2 12 的结论不成立，那么使得a ) ( ，) 1 和q ( t ) 1 成立的最大区间是一个有限闭区间我们假设这个最大区间为【o ，t ，则f 面 三种情况必有其一成立：( 1 ) 岛( 丁) = 1 ，但c ( 丁) l ：( 2 ) ( 丁) 1 ，但 g ，( ? ) = 1 ；( 3 ) q ) 口) = g ( 7 - ) = 1 下面我们将证明其中任何一种情况都不 会成立 ( 1 ) 当岛( 丁) = 1 但e 口) 1 时，利_ h j 条件 叶m 和d ( 1 - j m ( 0 f 由于b ”一如( t ) 0 代表种群的出生率) ，由方程( 5 ) 我们可以得到 d v m a ( t ) 1 日= m e ( r j 一( g + m + b o - f z ( 7 1 ) ) 女一f 9 + m 1 0 ，使得c o ( t ) 兰1 ，e ( ，) l 对任意的t 【t ，t + l i l 】成 立但这与【0 ，t 】的定义矛盾因此不存在这样的t 使得瓯( t ) 1 t e 【0 ，丁】：岛( f ) 1 ，te 【0 ，t ) 但c j ) ( 丁) = l ( 2 ) 当岛( 丁) 1 但q ( 丁) = l 时，由方程( 7 ) 、我们可以得到 掣k ，= 一k l z ( 丁) 怕，砌十n ( 丁) ) z ( t ) c i 肛) + “( 功 ( g l + d i 十n l 一七1 ) 。( ? 1 ) + “1 一h 注意到模型( m 【) 中的系数关系，9 i = 9 m n m 。kj = 7 m ) 帆，d l = “m ( ) 7 n 。，c 1 1 = o ? 7 z i l r t e 由9 + d n + n k ，可得g l + d l + n 1 乜又由 饥h ，我们得到d g d t ) 使得 a ) ( ) 1 ，te 0 ，丁】；q ( f ) 1 ，t 【0 ，) ，但g ( t ) - = - = l 1 【1 ( 3 1 当g ( 1 1 ) = c e ( 丁) = l 时，由方程( 7 ) 我们可以得到 d g 矿( t ) i ：t = ( g l + d 1 + ( 1 1 一k 1 ) 3 。( 7 1 ) + ( 7 1 ) 一h 曼( g l + d l + o ：1 一1 ) x ( t ) + i l l 一h 0 ，存在t l 0 使得 z ( t ) t o 可+ 一c l ，t t l 则从方程( 5 ) ，我们可得 1 d g 广( o k 一( 9 + m + b r 7 r e 1 ) g ( t ) t t l 、 = k 一( g + + d o c 1 ) 南( t ) ，t l l( 8 ) 由 方程 1 d g r ( 0 = 一( g + m + d o - e 1 ) c ( ) ( ，) ( 9 ) 1 1 有一个乎衡点岛= ( 9 + m 十r f 0 一i 。) 那幺对任意给定的f 2 o 存在个 常数f 2 t i 、使得瓯( ) k ( i j + + d n c 1 ) + 如，t ：= 2 由( 8 ) 和( 9 ) ，我们知道岛( f ) 茎k ( 9 + m + d o 一1 ) 二2 ， t 2 那么 等一( 一“c 。i t ) 啦嘶，一r r 万杀托。) z 引。“t”+ l 】。1 利_ 旰：1 定理的条件，我们可以选择上述- 和! 。允分小，使得 七 一。 _ g + m + d o - e l 利用比较定理口j 得 日 l i 。r a i n 。( 1 云州 再由引理211 我们可知种群。( f ) 将一致持续生存 口 定理212 对模型( m ) ，若l i 罂粤。( ，n ( f ) ) 一h r ( f f ( + 瓦m _ + b ( 0 ，则种群 一将弱1 l t 均持续生存 证明： 我们采用反证法证明一若“m 。s 。e u i ( 。、( ) ) 。，即挫恐( 。( ) ) 2 1 这将导致矛盾 首先我们将说明 1 i 巴罂f ( a 】( ) ) 芸 方程( 5 1 和( 7 ) 可以写为如下形式： q ) ( ) 一c o ( o ) ( t ) 一g ( o ) = ( ：( ，) ) ( ( + ? n + b o 一，_ u ) 1 ( j ) ( t ) ) ( 1 0 既然岛( t ) 和e ( t ) 都是有界的，则 魄( c e ( 州t ) ) 2l i 2 n ( g ，( f ) z ( ，) ) 。拄怒( 锘( 州t ) ) = o 1 2 从表达式( 1 0 ) 和( 1 1 ) ，我们可以得到 l i 罂班( “t ) ) = m 1 巴f ( ( t ) ) = 丛! 二上：型鱼! l i 罂碧。( ( _ _ _ ( ) ( t ) ) ( 1 2 ) 则根据定理的条件我们立即可得l i p 2 i i l f ( 岛( t ) ) 塑掣+ 是，且a o ， 证明2 馓泼l i n ls 。t l p 【) 由刀栏( 2 j ，我i i w 得 1 n 磊x 2 旷球1 0 ) m ) ，( 1 4 ) = 扣叫扎警) ，nn r ( c o 。) = ；( ( z ) 一( - ，2 ) 一兰竖土产尘) ( 1 5 ) 将( 1 5 ) 代入( 1 1 ) 可得 ( g ) 一知，( c o 卅( ( f l 煽卅n 1 0 时，l l i 一 _ t , x ，1 ( z ) = 七 l d r o ， ? 。o ( 9 + m + b 【i ) 利用不等式( 1 7 ) ，我们可知这与定理条件矛盾 口 注l ：由定理21 2 和定理2l 3 我们可知，当鱼鱼产一m 。( 9 扣n i ，) 曼【】 时，种群x ( t ) 弱平均持续生存与绝灭的闽值为 塑u ! ! ! 旦型 ：( o 22 污染环境中的单种群渐近自治系统 在上节中我们假设模型( ，- ) 中的系数均为常数，然而在现实中这些系 数往往是随时间而变化的，所以在本节巾我们假设这些系数均为时间t 的正 值函数，我们的系统变为如下的一个非自治系统： ( m 2 ) 兰掣：z ( t ) ( n ) ( t ) 一，( t ) c l l ( t ) 一巾) z ( t ) ) ( 27 ) “t d c o ( ) 出 d 以“) d t 系统初值为。( 0 ) = z o 0 、0 e ( ( ) ) 【) c o ( t ) 0 e ( t ) 0 ) 是系统的一个不变集此外，l i ms u pr ( t ) ，o j 引理2 22 对于模型( 尬) 令9 + d c j + ( 1 a 邑 竺触 + 一 + + 一j r一岛+ b 堕讥 一 )，j驯 扛 o弘删 m 1 工从 一 q a 5 3污染环境中的g o l o p i n 系统 31 污染环境中的自治g a l l o p i n 系统 在本节我们考虑到种群增长还要受到环境中资源量的影响，仍然假没某 消费者种群生存于一给定空间，密度均匀，没有成员从此空间迁出与迁入在 f 时刻，此消费者种群在此空间内的全体成员数为z ( ，) ，资源量为“( t ) ，环境 中毒素的浓度为g ( ) ，消费者种群体内毒素的浓度为g ) ( t ) 我们来研究它 们的相互关系，以及在毒素的影响下消费者种群弱持续生存与绝灭的阈值 考虑到毒素和资源量对消费者种群的影响，我们假没种群的出生率为 b ( f ) = b o b w e 一雨，死亡率为d ( ) = d ( 1 + n o ( 地这里b mb “，n ，d ( ) 和n 均 为正常数，b u 与d 【) 分别表示无毒素时种群的自然出生率与自然死亡率我 们得到消费者种群数量x ( t ) 的变化所适合的方程： 掣= 酬叫，吲沪e 一等) 为方便起见，我们记ro = b o 一氏为无毒素时种群的内禀增长率，则上式可 写为 掣( t ，酬旷矿帮) ) 消费量n ( t ) 的变化，由于受到消费者种群的影响，我们不妨假设满足 如下方程： 掣刮一酬1 玎等) ， ( 1 9 ) 其中( ) 为资源的自然增长率，它为f 0 、c o ) 上的正值连续函数 消费者体内毒素的变化为 ! ! ! ! ；笋盟= k g ( t ) z ( t ) 一9 g ，( 咿。( ，) 一，一g 心) z ( t ) 一( ( f l ) + n g m ) ) g 小) z ( 蛆 ( * ) 其中也目、 l 均为常数， g ( t ) z ( t ) 表示t 时刻种群全体成员对环境毒素的吸 收量，它与时刻环境毒素的浓度e ( ”和种群的数量z ( t ) 成正比；口q ) ( ，p ( t ) 18 表示t 时刻种群体内毒素向环境的排泄量；7 n g ，( t ) z ( t ) 表示由于新陈代谢 等因素的作用，时刻种群体内毒素的净化量；( d 。+ c c j ，( 啪。( ) g ，( t ) 表示 死亡的种群个体将体内的毒素送回环境他们都分别与当时种群体内毒素的 浓度a 】( ) 和种群数量。( t ) 成正比 上述( s ) 式可以写成： 州 ) 坚+ c o ( t ) 掣= 吲啪一鼢州f ) _ m 刚) 础) 一( c 如+ o ( 7 0 ( t ) ) g ) ( f ) z ( f ) 则 掣= 蚓1 1 ：卜( 口+ 舶。，一鼬c - 筹) ) ) 下面我们考虑环境中毒素浓度的变化所满足的方程我们令。( t ) 表示 时刻环境内毒素的总量，它的变化率! 学应该是毒素向环境的输入率与毒 裹从环境的损失率的代数和 单位时间内向环境输入的毒素量有三部分组成：( 1 ) 从消费者种群 向环境排泄的毒素量g m o c o ( ) m ( t ) ，nc ，为种群内单个个体的甲均质量( 没 为常数) ；( 2 ) 死亡的种群个体把体内所带的毒素送回环境的毒素量( 幽4 - “a ，( ) ) z ( ) m ( ，q ) ( t ) ；( 3 ) 由环境外部向环境输入的毒素量u ( o 单位时间内，从环境损失的毒素量由两部分构成：( 1 ) 被种群的全体 从环境吸收的毒素量 e ( ) m 咿：( 2 ) 由于毒素的转移、挥发，细菌的退化与 死亡，以及光合作用等因素，从环境内损失到环境外的毒素量7 。( ，) ，t 为比 例常数 所以有 ! ：磬尘= 9 t ，岫c o ( o z ( f ) + ( d 0 + d ( 而( t ) ) z ( t ) ，m ，( _ ( t ) + u ( f ) 一七c i ( t ) m 。，( t ) 一 玑( ) 由于以) = ”k q ( t ) ，m 。为环境内介质的总质量( 设为常数) ，对上式两端 除以m 。，令“( t ) = c ，( ) m 。为外界向环境的毒素的输入率，它足 0 、o 。j 上 的非负有界连续函数，且s u p t ( f ) ：= 1 l 0 并令9 【= g m o y 1 1 9 k m n n i 。d d c , ( f ) ( n d o m o ? n e ，o l = ( ( ) mf 得 于是得到污染环境中g a l l o p i n 系统的单种群模型 ( a 如) ：。、r 0 n g ( f ) 一b c o e 帮) = ，( ) 一u ：，( t ) ( 1 一e 一酱鲁) t f = g 。( t ) ( 9 一- 7 n + b ( j b u e 一可) 0 ) ( t ) = 一七1 e ( t ) z ( f ) 十( l + d l + o l ( ( t ) ) f ( t ) ( ( t ) n e ( ) + f ( t ) 这里的密度均为相对密度，( f ) ，。c ( t ) 均为系统的控制函数系统初值 z ( f ) 一_ m 0 ，a ( o ) = 。o 0 ，0 蔓g ( 【j ) 0 ，c o ( ) 0 ，e ( t ) o ) 是系统的一个不变集 考虑到实际情况我们需要补充一一些条件使得0s ( i ) ( f ) l 、0 o ( t ) 1 对任意的t r + 成立 引理312 对模型( n 如) ，若口+ 凼j + “七曼口4 - + 一沁、1 【 ，l ， 吼00 c o u ) 1 0 墨q ( t ) l ，v t r 十 证明和引理21 2 类似 引理31 3 对于模型( n 如) - 若，( f ) r 拈 0 t 则 t l i m ( e 一可) = 0 证明：既然2 骢。( t ) = 0 ，那么出曼( z ( t ) ) = 0 根据引理3 - 1 4 我们只 需h e 明8 一蒜 ：。( z ( ) ) ( t 一。) 由于l i 。m 一。i n f ，( t ) 0 ，所以存在1 0 ，0 d ，t 札由t a y l 。r 展开定理我们可知e 帮1 一等等因此由方程( 1 9 ) 可得 掣6 一州州1 邓鬻) ) = - - k , t z a ，t 微分方程面d v = d u n - u 满足初值条件( ，1 a ( t - ) ) 的解为 吣) = 熹+ ( 础- ) 一熹) e ” 利用比较定理可得。( t ) u ( t ) ，t t i 由于0 ( ) t 芝l 即( t ) 丘 o ，t 兰t l 则l i t r a 一i n f n ( ) = ：m “ 0 因此存在常 2 l 数 0 使得( + ) 警，姚 t 2 因此当f t 2 时我们有( ) 最巧 o ，使得对于t t 3 有e 一! 筹曼。( ) 既然里銎( z ( f ) ) = 0 ，由引理2 14 可知， o 匙娶( e 而) 曼望登( ( ) ) 2 o 也就是说2 骢( e 一而) 5 1 口 下面两个定理我们给出系统( a 儿) 中种群弱持续生存与绝灭的条件 定理311 对模型( a 如) ，假设引理312 的条件满足并且l i r a 。i n f ( ，。( + ) ) o ，则种群。( t ) 将弱持续生存 证明：假没l i r a s u p z ( ) = 0 ，即i 骢。( t ) = 0 ，这将导致矛盾 首先，我们将要说明 l ，巴碧( q ( t ) ) i ，兰 l i 此外，当# o 时e z ，凼此f 1 “ 不等式两边同时除以。( t ) 并从t i 到t 积分可得 h 蒜h ( ，) 一“胁扣笔名小m s ， 即i 0z n 蒜+ 笔瓦1 序蛇珊一f 1 i i a 小) 如 在上述不等式两端同时取上极限可得， n i t ls l l 一丽1 k筹+笔-n2掣爵itl tt i 疋“洲s e 一。o ( t lj 五 t 一 一 ，t 1 、7 芝珊_ _ c r “墨磐毒z ( 掷) 如2 r n l i 2 - 2 i t g f ( c ( ) ) ( 2 4 j 由假发条件i 骢z ( t ) = 0 可以得到 “m 。s u p 壶小( s ) 如划 我们前面已证1 弛粤( 国( ) ) 。 但这是不可能的事实上，由假设苎曼z ( ) = ( j 可知l i 世嚣1 ，f 与l n 鬻3 曼 0 再由引理31 、3 可知定理结论成立 口 定理312 对模型( 蜴) 、如果引理31 2 和引理313 的条件满足j f ：且 下述条件之一成立，则种群将走向绝灭 姐) l i mi n f 巡警，且 j ( 夕+ m fb o ) 七( 口i + d 1 ) 埘， 【r 【9 1 + d 1 )h l ：) _ i 廿j ( 仃+ m + b o )茎 ( 口1 十f ) n f 吼ir 【) ( f l + 而) 一h o d u ( l + r z l l 且正，； ( 1 l ) l i n li n f ( t 。( ) ) h r o ( g + m - jb o ) 一舢。、“ 南o jn ( 9 + p n + ) lr l o ( g l + d 1 ) 771(-fo(i-d1)且， ( 1 1 1 七( g l + d 1 ) 且如 她等型+ 熹馒 黧9 1 7 d ： j l 。i 蹴捌瓶，其中一m i l x t r o 、- ，l r o ( + ) 七1 n6 u o l + d 1 ) 4 ，县。p 廿：= u ，4 | 4 ：= ：【良l n t 。( g l + d 1 ) ) 也+ b u ( 七( g i + 矾) 且矗一7 l ( 9 + ，y + ) ) 毛 证明：假设l i r a 。s u p x ( t ) 0 由方程( 1 8 ) 我们可得 扣磊x 一”州一妇( e 哗) ， 2 知一皆一篆d ) 、 o + ( g 。) 2 扣叫一：) 一华) 将( 2 6 ) 代入f 2 3 1 可得 ( q ) = ；( 咄( g 。) + ( f ：+ 以) ( g 。) + 。( c + ( 州) c ( t ) 一g ( o ) 、 ；( 咄( + 掣( 州山( 盯半) 一盟) 慨( 皤z ) 十( 删一型掣) 去( 喃。( e z ) + 锄+ 。“。) 一b ( j 。半) j 十o ( 。i ( ( 珞+ h ( z 一) ) + 。f 1 ) 2 4 ( 2 5 ) f 2 6 1 方程( 2 2 ) 意味着 ( 。+ m + b n b u r 一等) c 。) = k ( c ，) 一皇鱼壁攀 ( ( 研= 了羔( e _ 半岛) + 丽丁志孤( 幽啦卅( ( g t 4 d l 弘一 一( 9 l + d 1 ) b u z 8 一警) + n n l ( ( 瑁j ) + ( “) ) + o ( 1 ) 将上式带八( 2 5 ) 口j 得 堕等型l n 三= 胁如棚岫) - h c y b w f ) “( 嘶“ + ( ( 9 1 + dj ) ? h t 一0 l4 - d 1 ) b c o z c ，一半) + n ( z ) ) 一是。0 _ l ( 瑶_ ) 一b b w ( g + 7 n + b n ) ( ( 一一半) + 。( 1 ) 又由e ( t ) 1 、t r + ，上面式子可以写为如下形式 “( 曲s ，。珊b + m + ) 一堡鱼掣l n i ；+ ( f ( n ，) + 。( 1 ) ， 其中 f ( a ，t ) ：= k k l o x k ( g l + d 1 ) 7 1 n + 凫( 口l + d 1 ) u z e 一警一) 乩j ( 口+ 盯l + n 【】) p 一半 由引理31 3 可知z ( t ) 是有界的，则l i l l l l j h ( g + m _ 一+ b o ) 1 n 三：o 所以一。 tz “ 足“1 i 巴碧( 札) s 7 2 t 。( 仃+ m + + l i m 。一s u p ( f ( 忆j ) ) s h r o ( g + 7 n 十b 【1 ) + n 弩。f ( “z ) - ( 2 7 j 其中d = “，z ) ：n 【( ：) m 。】。 ( ) 矗 ) 令( f ) ：e 一帮定义 g ( “j ：= ，( n z ) = 七惫1 删。一 ( 1 十d j ) ，o ，+ ( 9 l + d 1 ) & v x g 一， n 。【口+ t _ _ b ( 1 j 下面我们希望能得到y ( t ) 的值域由表达式( 1 8 ) 和( 1 9 ) 可知， 。d ，( f i 。) = 去 面d a n 鲁) 半1 一n l 如f 】 n r o b w e u ( e 一半一1 ) 一兰( ? f j b “e 一警) f l 一 l l d l , = ( 6 u f 、o 若鼬i 0 一y 1 u 0 、利用比较定理可得 l i r a m f 兰芝竺 若b w r o n u 茎0 ，则至少自 l i m p 州) 因此嘴”，( n n 。p 一警1 1 ) ) 1 1 巴碧。a 20 根据 毛的定义我们可知 l _ | 1 ) s r r z l x a ( z ，) ，这里 d = ( z 、f ) ：z 【0 螈| _ 0 + - a g ) 令筹：= 瓦o g = 。，我们得到 p 一17 ( ) ( l + f z l ) b o j d i 。2 雨。干百广 fh ( 9 + m +) l ”2 西i 干丽一 要使一：0 ，0 ，须有7 ，o ( 9 1 + c 2 ，) l g ( z ，g ) 在p 点的值为 g ( p ) ：k 。1 i f 丽o + m q b o ) 一a n ，( g l + d 1 ) 垒黜 + t ( q i + d l 炒端拶! 并铲 ! 丛旦c ! ! 上! ! 竺 h a y ( 9 】+ d 1 ) 又由g ( o ，o ) = o 、我们可以断言1 学g ( e ) 一定在d 的边界上取到 2 g 卜 ，、 群 一 门 孙，护 州 w ，泌j 孙 = 一 1 叫 一 以 b ” 0 6 n z 一 一 “一z 1 i 山 击n 当h ( g 斗m + b o ) k ( g l + d 1 ) a _ 。且t o ( _ 1 + d i ) h r 1 时，我“ 有 g ( o ) = g ( m ，y ) = f w ( l + d 1 ) 时， i l u x g = o ： d 7 h ( g + 7 n +