（概率论与数理统计专业论文）负二项分布和平衡分布的随机优先序.pdf

原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本入承担。 论文作者签名：场玺薹日期：2 丛：复：2 1 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：墨蠢塞导师签期；r i 衄羔：! ：f1 兰州大学硕士学位论文 致谢 1 在三年的研究生学业即将完成之际，我衷心地感谢我的导师李效虎教授他严谨的 治学态度，对学术问题的敏锐洞察力，对工作的认真负责，以及对事业的追求都深深地 影响着我感谢他三年来对我在学习上的谆谆教诲和辛勤培养本论文是在他的精心指 导下完成的，在此表示衷心的感谢 同时我也要真诚感谢我们小组的每一位成员，学习期间同他们的讨论使我获益颇多 特别是要感谢曹文芹，这篇论文的完成与她的紧密协作是分不开的 冯秀英 2 0 0 5 年4 月 前言 随机变量或分布之间的随机比较是概率统计重要的研究方向之一通过随机序引入 的寿命分布类以产品的寿命特征为研究对象，是可靠性理论中的重要问题而且，近年 来随机序在保险精算理论中的应用也越来越广泛通过适当的随机序对风险进行比较， 比以往仅仅用均值，中位数，标准差等数字特征进行比较可以提供更丰富的信息，从而 更切合实际 本文关注的是由b o l a n d 在2 0 0 4 年提出的随机优先序，他讨论了二项分布随机变量 的和与另一个二项分布随机变量之闻的随机优先比较，并将其成功应用于抽样调查理论 和软件的故障检测问题中受它的启发，本文主要讨论负二项分布随机变量的和与另一 个负二项分布随机变量之间的随机优先比较，并将其应用到了现代的保险糟算理论中 此外，基于随机寿命和它的平衡寿命闻的随机优先比较，我们引入了一个新的寿命分布 类讨论了雹与c 类之间的关系，并为这个新的年龄性质建立了一个非参数检验方法 2 冯秀英 2 0 0 5 年4 月 兰州大学硕士学位论文 摘要 3 本文基于随机优先序，对负二项分布随机变量的和与另一个负二项分布随机变量建 立了比较，并将其应用于现代的保险精算理论中其次，基于随机寿命和它的平衡寿命 之间的随机优先比较，我们考察了一个新的寿命分布类，讨论了它与c 类之间的关系， 并为这个新的年龄性质建立了一个非参数检验方法 关键词：渐近正态性；j a c k n i f e 估计；p i t m a n 渐近有效性；随机序；随机优先序；假设 检验；u 一统计量 中图分类号：0 2 1 2 2 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t 4 i nt h i sp a p e r ，t h ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h es u mo fn e g a t i v eb i n o m i nr a n d o mv a r i a b l e s a n das i n g l eo n ei nt e r mo fs t o c h a s t i cp r e c e d e n c eo r d e ri sc o n d u c t e d ，a n di ti sa p p l i e dt o m o d e r na c t u a r i a lt h e o r y a f t e r w a r d ，w ef u r t h e ri n v e s t i g a t ean e wc l a s so fl i f ed i s t r i b u t i o n s b a s e do nt h es t o c h a s t i cp r e c e d e n c ec o m p a r i s o nb e t w e e nr a n d o ml i f ea n di t se q u i l i b r i u m v e r s i o n ，a n dan o n p a r a m e t r i ct e s tp r o c e d u r ef o rt h i sa g i n gp r o p e r t yi sp r o p o s e da sw e l l ， k e yw o r d s ：a s y m p t o t i cn o r m a l i t y ；j a c k n i f ee s t i m a t e ；p i t m a n sa s y m p t o t i ce f f i c i e n c y s t o c h a s t i co r d e r ；s t o c h a s t i cp r e c e d e n c eo r d e r ；t e s t i n gh y p o t h e s i s ；u s t a t i s t i c a m s s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：6 0 g 1 0 ，6 2 e 2 0 第一章预备知识 本章介绍正文中将要用到的一些年龄性质和随机序 1 1 一些随机序 设x 是随机变量，其分布函数和可靠性函数分别记为f ( t ) 和f ( t ) = 1 一f ( t ) ，当 x 绝对连续时，其密度函数记为，失效率是r f ( t ) = ，( 站于( t ) 年龄为t 0 的元件的 剩余寿命是x 。= ( x tlx t ) ，它的可靠性函数为 靴) = 帮，创 e x t = e ( x - t x t ) = 0 若f 0 其它 若五为相应于x 的平衡寿命，则其分布函数为 础) = m f ( s ) 眠， 其中“= e x 定义1 1 1 ( i ) x 和y 是两个随机变量，若对任意的t p ( x t ) p ( y f ) ， 则称x 随机大于y ，记作x 。y ； ( i i ) x 和，是非负随机变量，具有绝对连续的分布函数其失效率分别是r - 和r 2 ， 若对所有的t 0 ， r l ( t ) s 他( t ) ， 则称x 依失效率序大于y ，记作x 打y ； ( i i i ) x 和y 是连续( 离散) 随机变量，其密度( 频率) 函数分别是，和g ，若在x 和 y 的支撑集的并集内f ( t ) g ( t ) 关于t 递增，则称x 依似然比序大于y ，记作x f r y 以上详细介绍，可参阅文献s h a k e da n ds h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) 和m d l l e ra n ds t o y a n ( 2 0 0 2 ) 6 兰州大学硕士学位论文 7 下面介绍随机优先序和它的一些基本性质，这个基本概念早在1 9 9 4 年就被用来研究 可靠性中的冗余配置问题( r e d u n d a n c ya l l o c a t i o n ) ，具体细节参看s i n g h 和m i d r a ( 1 9 9 4 ) 定义1 1 2x 和】，是非负随机变量，若 p ( x y ) p ( x y ) + p ( x y ) p ( x y ) 一p ( x j ) p ( y = j ) 一p ( x o 9 所以，对于任意的负二项分布随机变量，累积概率f ( y 。) 一p ( x 0 因此对任意的( 肌，m ) ，方程y ( p ，p k ，p ) = 0 在( 0 ，1 ) 区间内存在唯一的根， 记为风，结论显然成立- 下面，我们先介绍一个引理，其证明参见a n a n d aa n db a l a k r i s h n a n ( 1 9 9 9 ) 中的定 理1 x l ，恐，是独立的几何分布随机变量，具有频率函数 p ( x i = n ) = a ( 1 一鼽) “，i = l ，2 ， 其中p i p j ，当i j 令x = 坠l x 。 引理2 1 1 随机变量x = 垒。墨的频率函数为 雌一) 2 善州刊n + k - l ，h p 堕j i ， ( 2 2 ) 因为几何分布是负二项分布的特例，我们得到下面的结论 推论2 1 1 假定五和y 分别是参数为鼽和p 的几何分布随机变量，其中i = 1 ，k ，且当i j 时，p 聊，则存在唯一的p 。p ( 0 ，1 ) 使得p p 。p 当且仅当 f 印 一 墨 。随 | | x 兰州大学硕士学位论文1 0 其中p ，。由方程 卜p 噻嵩舞高，巍；忐= ， 来确定 在推论2 1 1 中，如果p l p 2 - = p k = p ，则x = 叁l 五一n b ( k ，芦) 因此 我们有以下的结论，它表明了负二项分布随机变量与几何分布随机变量的随机优先序关 系 推论2 1 2 假定墨和y 分别是参数为f 和p 的几何分布随机变量，其中i = 1 ，k ，则存在唯一的p 印( 0 ，1 ) 使得p p 口当且仅当 其中p 。由方程 来确定 x = x i 印y 矿( 2 一p ) = 1 一( 1 一面) ( 1 一p ) 2 2p o i s s o n 索赔下的损失 作为前一节研究成果的应用，本节考虑现代保险精算理论中的索赔问题 首先，回顾一些基本的概念假定x i ，局是独立同分布的随机变量，甄是第i 次索赔的索赔额，在实际意义下通常假定它是非负的那么盈余过程可表示为 u ( t ) = u + c t s ( t ) ，t 0 其中u ( t ) 为保险公司在时刻t 的资金，u = u ( o ) 为初始资金，c 作为常数表示每单位 时间内的保险费收入，n ( t ) 为到时刻t 为止总的索赔次数，s ( t ) = _ n ( 1 t 墨表示到时 刻t 为止总的索赔额令 l = m a x ( s ( t ) 一c t l t 0 ) 表示到时刻t 为止最大的累积损失 最余过程每到达一个新的最低值时，就记录这一时刻点，这些记录的点只可能是索 赔发生的时刻点让随机变量l j ，j = 1 ，2 ，表示第j 一1 和第j 个记录点上盈余的差 额假设m 为这些记录点的个数，根据k a s se t a 1 ( 2 0 0 1 ) ， l = l i + 三2 + + 三m 兰州大学硕士学位论文 其中l o ，l m 是独立同分布的 假定一保险公司有k 个分公司，到时刻t 为止第i 个分公司的索赔次数是一个强度 为九的p o i s s o n 过程那么到时刻t 为止保险公司的总的索赔次数也是一个p o i s s o n 过 程，其强度为警。九令旭为第i 个分公司的记录点的个数，根据k a s se t a 1 ( 2 0 m ) ， 尬具有几何分布，参数为1 一慨( o ) = 1 一九p c ，其中协( o ) 为第i 个分公司在初始基金 为0 的情况下的破产概率，p = e 墨为第i 个索赔的索赔额的期望同时m 表示保险 公司的记录点的总个数，则m 服从参数为1 一p e 笔1a i c 的几何分布 由推论1 可以知，存在a 1 7 ，k 使得 k 。m ( 2 3 ) 令巧表示筘i 个分公司第j l 和第j 个记录点上盈余的差额：l i 表示总公司第 j 一1 和第j 个记录点上盈余的差额，它们是独立同分布的随机变量由( 2 3 ) 式可以得 到 由此可见 经营更安全 如果a l = 七 m i m 巧印l j = lj = t j = l 对保险公司来说，在随机优先意义下，各个分公司独立经营比公司统一 = h ，从推论2 1 2 可以得到p 满足方程 1 5 k ( 2 一p ) = 1 一( 1 一劫( 1 一p ) ， 其中声= 1 一a p c ，p = 1 一k a l # c 为随机变量m 的分布的参数在随机优先意义下要 想比较坠1 尬和m ，只需比较p 口和p 第三章n b r u s 寿命分布 在可靠性和生存分析理论中，通过对x 和五的随机比较，可以对一些寿命分布类 进行新的刻画例如， x 打x 。 = 号x i f r ， x x 。 = 号x d m r l ， x nx e = 争xen b u e ， x t ? 匕车= 争x n b r u e 关于以上刻画，读者可参阅文献w h i r r ( 1 9 8 5 ) 和a b o u a m m o he t a 1 ( 2 0 0 0 ) 受它们 的启发，本章考虑x 和x 。间的随机优先比较 3 1n b r u s 寿命的初步结果 定义3 1 1如果x 。，五，其中e x = “ 2 简单计算可得 p = l + 互1 e ， e m i n ( 孔，托) = 互1 + i 3 e 一， f 0 0 1 =互1+_ele-tl矛(x)dx一 = 百+ 百8 一；e _ 3 j 兰州大学硕士学位论文 由e r a i n ( x l ，x 2 ) ，得到f n b r u s 但 f o z 。0e - t 户( 舭c p x e 记 5 = e r a i n ( x 1 ，而) 一妄e x l ， 注意到在原假设h o 下，d = 0 ，在备选假设h l 下，5 0 因此6 可以用来度量凰和 研之间的差异 对于一组独立同分布的样本x ，五；，记 h o ( x t ，玛) = m i n ( 墨，玛) 一去五， 和 h ( x t ，玛) = 互1 ( x i ，x j ) + j 1 ( 玛，五) = m i n ( 置，玛) 一；墨一j 1 玛， 基于对称核h ( x ，) ，构建一个二阶的u 一统计量， = ( 旷聂。眠狲 慨。， 是5 的无偏估计，即e u n ：6 令 g ( z ) = e h ( x ，恐) 一6 ， = v a r g ( x t ) = e 多陋1 ) ( 3 3 ) 根据h o e f f d i n 9 ( 1 9 4 8 ) 中的u 一统计量理论得到以下结论 定理3 2 1 假定e x ，那么当n 。，对所有的。， 撬s u p p ( 避p s z ) 叫z ，j = 0 ， 兰州大学硕士学位论文 1 5 其中和o - g 分别由( 3 2 ) 和( 3 3 ) 确定，圣是标准正态变量的分布函数 显然，没有f 的精确形式就得不到嵋因此，有必要为露找一个合适的估计 j a c k n i f e 估计就是一个很自然的选择 令 = m 一1 ) 。九( 墨，x j ) ， 1 茎j 兰n i i j 其中1 i 2 ，这样3 2 式中的可表示为 “= 一1 n 记 碟= ( n 一1 ) - i - e ( k 。一巩) 2 ， 由a r v e s e n ( 1 9 6 9 ) 知，碟是仃：的强一致估计 应用s l u t s k y 定理和定理3 2 1 ，可以得到下面的定理 定理3 2 2 假定e x 羽叫】( o c ) = p ( 笾 c 一鲁) = 熙卜( c 一簧) c 3 4 ， = 熙西( 一番) 兰州大学硕士学位论文 1 6 其中西是标准正态变量的分布函数 显然，势函数关于6 0 递增，且有渐近置信水平a ( c ) = 3 ( o ) = 垂( 一c ) 满足 西( 一c ) 茎q 的最小的e 是通过设圣( 一c ) = a 而得到c = 一z ) = z ( 1 一q ) ，其中z ( 1 一q ) 是n ( o ，1 ) 分布的1 一。分位数 定理3 2 1 证明了检验统计量是均值为6 ( 8 ) 和方差为4 配n 的渐近正态随机变 量在原假设凰下，砖= a 2 4 8 ，其中a = e x l ，则的p i t m a n 效率为 酬咖溉鹄尝 我们考察上面的假设检验关于以下三个常用备选分布的性能 1 l i n e a rf a i l u r er a t e ( l f r ) 2 m a k e h a m 脚，= 1 - e x p 一( z + 等) ) z 0 8 0 f 2 ( 。) = 1 一e x p 一( z + o ( x + e x p 一z ) 一1 ) ) ) ，x 0 ， p o 3 w e i b u l l 见( o ) = 1 一e x p 一z 8 ) ，z20 ，口0 我们对该检验的效率和两个针对年龄性质h n b u e ( h n w u e ) 的检验的效率进行了 比较这两个检验的检验统计量分别为k + 和：它们是分别由h o l l a n d e ra n dp r o s c h a n ( 1 9 7 5 ) 和j a n m a l a m a d a k aa n dl e e ( 1 9 9 8 ) 给出的表3 1 列出了该检验和它们之间的渐 近相对效率从表中可以看出，该检验要比+ 对应的检验更有效，但对对应的检验 而言，该检验仅在备选假设为w e i b u l l 分布时更有效 t e s ts t a t i s t i c sl f rm a k e h a m k i b u l l 参考文献 a b o u a m m o h ，a m ，a h a m e d ，a n a n dk h a l i q u e ，a ( 2 0 0 0 ) s h o c k sm o d e i s o nn e wr e n e w a l b e t t e rt h a nu s e dc l a s s e so ff i f ed i s t r i b u t i o n s t a t i s t i c sa n d p r o b a b i l i t yl e t t e r s4 8 ，1 8 9 1 9 4 2 a h m a d ，i a ，( 2 0 0 1 ) m o m e n ti n e q u a l i t i e so fa g i n g f a m i l i e so fd i s t r i b u t i o n sw i t h a y p o t h e s i s t e s t i n ga p p l i c a t i o n s j o r u n a lo fs t a t i s t i cp l a n n i n gi n f e r e n c e9 2 ，1 2 1 1 3 2 ( 3 】a h m a d ，i a a n dm u g d a d i ，a r ( 2 0 0 4 ) f u r t h e rm o m e n t si n e q u l i t i e so fl i f ed i s t r i b u t i o n s w i t hh y p o t h e s i st e s t i n g t a p p l i c a t i o n s ：t h ei f r a ，n b u ca n dd m r l c l a s s e s j o u r n a lo f s t a t i s t i c a lp l a n n i n ga n di n f e r e n c e1 2 0 1 1 2 【4 a r c o n e s ，m a ，k v a m ，p h ，a n ds a m a n i e g o ，f j ( 2 0 0 1 ) o nc o m b i n i n g i n f o r m a t i o nf r o m o r d e r e de x p e r i m e n t s p r o c e d i n g so ft h ef i f t h 玑s a r m yc o n f e r e n c eo na p p l i e ds t a t i s t i c s s r 1 1 0 5 1 6 5 1 5 - a r c o n e s ，m a ，k v a m ，p h ，a n ds a m a n i e g o ，p j ( 2 0 0 2 ) n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o no fa d i s t r i b u t i o ns u b j e c tt os t o c h a s t i cp r e c e d e n c ec o n s t r a i n t j o u r n a lo fa m e r i c as t a t i s t i c a la s s o c i a t i o n9 7 ，1 7 0 1 8 2 【6 】b a f l o w ，r e a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 8 1 ) s t a t i s t i c a lt h e o r yo fr e l i a b i l i t y a n dl i f e t e s t i n g m a d i s o n ：s i l v e rs p r i n g 7 b o l a n d ，p j ，s i n g h ，h ，a n dc u k i cb ( 2 0 0 4 ) t h es t o c h a s t i c p r e c e d e n c eo r d e r i n gw i t h a p p l i c a t i o n si ns a m p l i n ga n dt e s t j o u r n a l 硝a p p l i e dp r o b a b i l i t y4 1 ，7 3 - 8 2 【8 c h e n ，z a n dd u n s o n ，d b ( 2 0 0 3 ) b a y e s i a ne s t i m a t i o n o fs u r i v a lf u n c t i o nu n d e rs t o c h a s t i c p r e c e d e n c e 三啦t i m ed a t aa n a l y s i s1 0 ，1 5 9 1 7 3 【9 1f r a n c o ，m ，r u i z ，j m a n dr u i z ，m c ( 2 0 0 1 ) o nc l o s u r eo ft h ei f r ( 2 ) a n dn b u ( 2 ) c l a s s e s j o u r n a lo fa p p l i e dp r o b a b i l i t y3 8 ，2 3 5 2 4 1 1 0 】h o l l a n d e r ，m a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 7 5 ) t e s tf o rt h er e s i d u a ll i f e b i o m e t r i k a6 2 ，5 8 5 - 5 9 3 1 1 】j a m m a l a m a d a k a ，s r a n dl e e ，e ( 1 9 9 8 ) t e s t i n gf o rh a r m o n i cn e wb e t t e rt h a nu s e di n e x p e c t a t i o n p r o b a b i l i t yi ne n g i n e e r i n ga n di n f o r m a t i o n a ls c i e n c e1 2 ，4 0 9 4 1 6 【1 2 】k a s s ，r ，g o o v a e r t s ，m ，d h a e n e ，j a n dd e n u i t ，m ( 2 0 0 1 ) m o d e r na c t u a r i a lr i s kt h e o r y k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，b o s t o n 【1 3 k l e f s j 5 ，b ( 1 9 8 3 ) au e s f u la g i n gp r o p e r t yb a s e do nt h el a p l a c et r a n s f o r m j o u r n a lo f a p p l i e dp r o b a l i t y2 0 ，6 1 5 - 6 2 6 14 l i ，x a n dz h o n g ，c ( 2 0 0 0 ) ，t e s tf o rn e w b e t t e rt h a nu s e di nc o n v e xo r d e r i n g c o m m u n c a t i o n s 衲s t a t i s t i c s - t h e o r ya n dm e t h o d s2 9 ( 1 2 ) 2 7 5 1 2 7 6 0 1 5 】m u g d a d i ，a r a n da h a m a d ，i a ( 2 0 0 4 ) m o m e n ti n e q u a l i t i e sd e r i v e df r o mc o m p a r i n g l i f ew i t hi t se q u i l i b r i u mf o r m j o u r n a lo fs t a t i s t i c a lp l a n n i n 9a n d i n f e r e n c e 1 6 m i i l l e r ，a a n ds t o y a n ，d ( 2 0 0 2 ) c o m p a r i s o nm e t h o d sf o rs t o c h a s t i cm o d e l sa n dr i s k s w i l e y , n e wy o r k ，d i e g o