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摘要 摘要 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题，在现代经济、政治活动 中起着越来越重要的作用。破产概率的研究是风险理论的重要分支之一。本文 是对经典破产模型加以推广，研究在索赔满足发射噪声过程的情况下保险公司 的破产概率。由于经典破产概率在解释保险公司实际运营有其自身的局限性， 因此文章的研究具有一定的实际意义。 第一章首先介绍风险理论的历史背景，其次介绍经典风险模型及其相关的 基础知识，以及近些年来经典风险模型推广的主要方向，最后介绍文章主要研 究的泊松发射噪声风险模型，并指出其研究的现实意义。 第二章主要是研究泊松发射噪声风险模型所对应的破产概率，得出其破产 概率与经典破产模型所对应的破产概率相等，并比较这两种模型对应的破产时 刻。 第三章和第四章主要是研究发射噪声过程的极限性质。 关键词：发射噪声过程，破产概率，弱收敛，高斯过程，布朗运动，逼近。 a b s t r a c t a b s t r a c t r i s kt h e o r yi sah o tt o p i ci nt h ep r e s e n ta c t u a r i a ls c i e n c ea n dm a t h e m a t i c s r e s e a r c h ，m i np r o b a b i l i t yi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e s t h ep a p e rf o c u so n t h es h o tn o i s ep o i s s o np r o c e s sr i s km o d e l ，i ti sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lr i s k m o d e l i t sp u r p o s ei st om a k et h em o d e lm o r er e a l i s t i c i nc h a p t e rl ，f i r s t l yw ew i l li n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g eo ft h em o d e l ，s u c ha s t h eh i s t o r yo fr i s kt h e o r y , a n dt h e nw ew i l li n t r o d u c et h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw h i c hi s t h ef o u n d a t i o no fr i s kt h e o r y , a tl a s tw ew i l li n t r o d u c et h es h o tn o i s ep o i s s o np r o c e s s r i s km o d e la n di t sa c t u a lm e a n i n g i nc h a p t e r2 ，w ew i l lc o m p a r et h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h er u i nt i m eo ft h es h o t n o i s ep o i s s o np r o c e s sr i s km o d e la n dt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w ef o c u so nt h el i m i t i n gp r o p e r t yo ft h es h o tn o i s e p o i s s o np r o c e s sr i s km o d e l k e y w o r d s ：p o i s s o ns h o tn o i s ep r o c e s s ；r u i np r o b a b i l i t y ；w e a kc o n v e r g e n c e ；g a u s s i a n p r o c e s s ；b r o w n i a nm o t i o n ；a p p r o x i m a t i o n i i 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： l 殓妮彳 拗夕年杏月弓日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：l 途戒 加f 7 r 年歹月了日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r , w ew i l lm a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fr i s kt h e o r y , t h es h o t n o i s ep r o c e s sr i s km o d e l ，a n dt h ea c t u a lm e a n i n go ft h em o d e l 1 1t h eh i s t o r yo fr i s kt h e o r y r i s kt h e o r y , 鹊ap a r to fi n s u r a n c e o ra c t u a r i a l - m a t h e m a t i c s ，w a sm a i n l y a s s o c i a t e dw i t hl i f ei n s u r a n c ea n dw a sb a s e do nc o n s i d e r a t i o no fi n d i v i d u a lr i s ku n i t s ( p e r s o n sm s u r e d ) t h eb e h a v i o ro ft h ew h o l ep o r t f o l i ow a sd e d u c e da st h es u mo f i n d i v i d u a lo u t c o m e s ar e v i e wo ft h es t a t e o f - t h e a r ta tm a tt i m ew a sg i v e nb y b u h r m a n n ( 19 0 9 ) an e wp h a s eo fd e v e l o p m e n to fr i s kt h e o r yb e g a nw i mt h es t u d i e so fl u n d b e r g ( 1 9 0 9 ，1 9 1 9 ) ，w h i c h ，t h a n k st oc r a m e r ( 1 9 2 6 ，1 9 3 0 ) a n do t h e rs w e d i s ha u t h o r s ， b e c a m ek n o w na st h ec o l l e c t i v et h e o r yo fr i s k t h eo c c u r r e n c eo fc l a i m sw a sd e a l t w i t hc o l l e c t i v e l y , w i t h o mr e f e r e n c et ot h ei n d i v i d u a lp o l i c i e s b o t ht h ei n d i v i d u a la n dt h ec o l l e c t i v em o d e l so fr i s kl e a dt os t o c h a s t i cp r o c e s s e s ， t h et h e o r yo fw h i c hh a sb e c o m eaw e l l d e v e l o p e dd i s c i p l i n es i n c el u n d b e r g s p i o n e e r i n gd a y s a d v a n c e si nt h et h e o r y o fs t o c h a s t i cp r o c e s s e sh a v eb e e nr e f l e c t e di n t h er e c e n td e v e l o p m e n to f r i s kt h e o r y w h a tw ed i s c u s s e dh e r ei sm a i n l ya b o u tc o l l e c t i v er i s kt h e o r y , w h i c hd e a l s 、i n l s t o c h a s t i cm o d e l so fa ni n s u r a n c eb u s i n e s s i ns u c ham o d e lt h eo c c u r r e n c eo f o c c u r r e n c eo ft h ec l a i m si sd e s c r i b e db yap o i n tp r o c e s sa n dt h ea m o u n t so fm o n e yt o b ep a i db yt h ec o m p a n ya te a c hc l a i mo fr a n d o mv a r i a b l e s t h ec o m p a n yr e c e i v e sa c e r t a i na m o u n to fp r e m i u mt oc o v e ri t sl i a b i l i t y t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ep r e m i u m c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n c o m ea n dt h ec o s tf o rt h ec l a i m si s t h e “s a f e t yl o a d i n g t h ec o m p a n yi s f u r t h e r m o r ea s s u m e dt oh a v eac e r t a i ni n i t i a lc a p i t a lua ti t sd i s p o s a l m a n ys c h o l a r sh a v ed o n eg r e a tj o b so nt h eg e n e r a l i z a t i o na n di m p r o v e m e n to f r i s kt h e o r yb a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，s u c ha sg r a n d e l l ，g e r b e r , w ur o n g ， c h e n gs h i x u e a n dt h ec l a s s i c a lr i s km o d e la r em a i n l yg e n e r a l i z e di nt h ef o l l o w i n g f o u rw a y s ： 1 ，t h ep r e m i u m sm a yd e p e n do nt h er e s u l to f t h er i s kb u s i n e s s 2 ，i n f l a t i o na n di n t e r e s tm a y b ei n c l u d e di nt h em o d e l 3 ，t h eo c c u r r e n c eo ft h ec l a i m sm a yb ed e s c r i b e db yam o r eg e n e r a lp o i n t p r o c e s st h a tt h ep o i s s o np r o c e s s 4c o n s i d e rt w oo ft h es i t u a t i o n sa b o v eo ra 1 1o ft h e m d a s s i o n sa n de m b r e c h t s ( 19 8 9 ) a n dd e l b a e na n dh a e z e n d o n c k ( 19 8 7 ) a r ev e r y r e a d a b l es t u d i e sf o c u s i n gm a i n l yo ng e n e r a l i z a t i o n s1 ，2 g r a n d e l ld i dal o to f j o bo n 3 a n dw i t ht h ed e v e l o p m e n to fr i s kt h e o r y , m a n ys c h o l a r sd i dal o to f j o bo n4 i nt h i sp a p e rw ef o c u so ng e n e r a l i z a t i o n3 1 2t h ec l a s s ic a ir i s km o d e i d e f i n i t i o n1 1ap o i s s o np r o c e s s n ( t ) ，t o ) d e f i n e di np r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，f ，di s ac o n t i n u o u s t i m ec o u n t i n gp r o c e s st h a tp o s s e s s e st h ef o l l o w i n g p r o p e r t i e s ： ( 1 ) n ( o ) = 0 ： ( 2 ) i n d e p e n d e n ti n c r e m e n t s ( t h en u m b e r so fo c c u r r e n c e sc o u n t e di nd i s j o i n ti n t e r v a l s a r e i n d e p e n d e n t f r o me a c h o t h e r ) ， i e v n n ，0 t o t l 乙 0 ，o + h ) - 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d e c r e a s i n gs a m p l ep a t h sr e p r e s e n t i n gt h ep a y - o f ff o rt h ei t hc l a i mi nt h ep o r t f o l i o i nt h ep e r i o d 0 ，t 】w i t ht h i sa p p l i c a t i o ni nm i n d ，k l u p p e l b e r ga n dm i k o s c h ( 1 9 9 5 a , 19 9 5 b ) s t u d i e dt h ew e a kl i m i tb e h a v i o rw i t hg a u s s i a nl i m i t s t r a d i t i o n a l l y , t h e s h o t n o i s ep r o c e s sh a sb e e nc o n s i d e r e dw i ms a m p l ep a t h sd e c r e a s i n gt oz e r o ，p o s s i b l y a l l o w i n gf o ras t a t i o n a r yv e r s i o no f s ；s e e ，f o re x a m p l e ，b o n d e s s o n ( 1 9 8 8 ；1 9 9 2 ) a n d p a r z e n ( 19 6 2 ) s h o tn o i s ep r o c e s s e sh a v eb e e nu s e dt om o d e lb u n c h i n gi nt r a f f i c ( b a r t l e t t19 6 3 ) ，c o m p u t e rf a i l u r et i m e s ( l e w i s19 6 4 ) a n de a r t h q u a k ea f t e r s h o c k s ( v e r e - j o n e s19 7 0 ) b u tm e yh a v er e c e n t l ya l s ob e e nu s e di no t h e rc o n t e x t s ，i n c l u d i n g a p p l i c a t i o n st ow o r k l o a di n p u tm o d e l sa n dt e l e t r a f f i c ( k o n s t a n t o p o u l o sa n dl i n19 9 8 ； k u r t z1 9 9 7 ；m a u l i ke ta 1 2 0 0 0 ；m a u l i ka n dr e s m i c k2 0 0 1 ) ，f i n a n c e ( s a m o r o d n i t s k y 19 9 6 ) a n dp h y s i c s ( g i r a i t i se ta 1 19 9 3 ) t h ea i mo ft h i s p a p e ri st oc o n s i d e rs h o tn o i s ep r o c e s si ni n s u r a n c e t ob e p r e c i s e ，t h em a i nr e s u l ti sag e n e r a t i o no ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l w ec o n s i d e rt h e ( f ) s i z e 置i nc l a s s i c a lr i s km o d e la sas h o tn o i s ep r o c e s s w h a t s i = l m o r e ，w ec o n s i d e r 置o - 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ifk = x j ( u m ) 一( “朋+ ( ) 一一( ) 】 而 i = oj = o j = o n - ifn ( + 。) 一( ) 】+ 巧( t 1 ) - - ( ) y ) i = 0j = o j = o n o t et h a tx ja r ei i d c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e s t h u sw ec a ns e et h a t fk ( “川) 一一( 吩) 】，i = 0 ，1 ，k - 1a n d ( t 1 ) - - 一( 蚝) 】a r ei n d e p e n d e n t j = 0j = 0 n o ww ec a n p r o o f t h a t m e y a r et h es a m ed i s t r i b u t e da s x j ( u f + 1 ) 一x j ( 咋) 】，i = o ，1 ，k 一1a n d x k ( t 1 ) 一x k ( u t ) f o rs i m p l i c i t y , w ec a l l o n l yp r o o f 夏o ( “1 ) = x o 女i s t h es a m ed i s t r i b u t e d n 0 ( u 1 ) a s 叉o ( u 。) = n o ( u 1k 七 ) s i n c e oo ) a n dn o ( t ) ，x o j i a n d x o ka r e t h es a m ed i s t r i b u t i o n ，a n dt h e ya r e i n d e p e n d e n t ，i ti so b v i o u s t h a tt h e ya r et h es a m ed i s t r i b u t i o n t h es a m ei st r u ea b o u tt h es e c o n dp a r to fe v e n taf o r t 2 n o wl e t sc o n s i d e rt h et w od i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o n so f s ( t ) 9 、l ，y 、，吩 一 2o墨 。瑚 x 、， 吩 一 ，1 ，l 墨 。枷 ，- t = 4 触 c h a p t e r2i n f i n i t et i m er u i n f 场e r e 尸( s ( ) x ，s ( t 2 ) y ) ：妻p ( 丙( 乞) ：以) p ( t 。 f l 死；否( ) x ，i ( 乞) y in ( t 2 ) = 咒) n = oo k s m = p ( 丙( 乞) = 刀) n = o o k m虿n i 土a , 幽- e f ：一。如tf 2 幽m 幽。p ( 动 b 2 怛t ( 矗一n ) x ，x n ( t 2 一n ) y ， = 艺( 夏r ( “) 一一x ，( “m + ( 牙t ( ) 一叉t ( ) ) z ， i = 0 n - 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