（应用数学专业论文）非线性微分方程积分边值问题的解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程积分边值问题的解 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关 注，非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性分析及应用是 非线性分析中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现 象受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源于应用 数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性分析及应用中研究最为 活跃的领域之一，其中，积分边值问题来源于应用数学的各个领域以及物理学中 的模型，具有重要的理论意义和应用价值，是目前微分方程研究中的一个十分重 要的方向本文利用锥理论，不动点理论，拓扑度理论以及不动点指数理论等， 研究了几类非线性微分方程积分边值问题的解并把得到的主要结果应用到非线性 微分方程的积分边值问题 本文共分为三章： 在第一章中，我们利用锥理论中的不动点指数定理结合相应算子的第一特征 值，讨论了一类非线性二阶积分边值问题( 1 1 ) fu ) 十f ( t ，u ) = 0 ，0 t 1 ， tu ( 。) ：z 1u ( 丁) d a ( 下) u ( 1 ) 三z 1 u ( 7 - ) d 口( 下) l 1 的正毹的存在性，其中，：【0 ，1 】【0 ，十。) 一r 是连续的，且存在常数m 0 和b 0 使得对任意的z 0 有，( t ，z ) 一m x b ，即，是可以变号的q 和p 在 0 ，1 ) 上 是右连续的，在t = 1 点是左连续的，q ，p 在 0 ，l j 上是非减的且a ( o ) = 1 臼( o ) = o ； u ( 丁) d a ( 丁) 和乱( 丁) d z ( 7 - ) 分别是关于q 和p 的r i e m a n n s t i e l t j e s 积分 在文【1 】中作者在，满足：存在常数b 0 ，c 0 和o ( 0 ，1 ) 使得对任意的“r 有，( u ) 一b c 川q 的条件下，讨论了两点边值问题解的存在性与文【1 】相比本 文方程更具有广泛性，且讨论当q = 1 时积分边值问题的解，方法也与文f 1 】有 所不同 在第二章中，我们利用锥理论中的不动点指数定理，拓扑度理论，结合相应 算子的第一特征值，在与第一章类似的条件下，研究了非线性s 打钆m l i o u v i l i e 曲阜师范大学硕士学位论文 积分边值问题( 2 1 ) l o o ) “7 ( t ) ) 7 + q ( t ) u ( t ) = f ( t ，u ( ) ) ，0 t 1 ， 1 】 a u ( 0 ) 一p u ，( o ) 2 o u ( s ) d a l o ) ( 2 1 ) i6 u ( 1 ) - 1 - ，y u ，( 1 ) = u ( s ) d , 7 2 ( s ) 、 j 0 的正解的存在性，其中p ( t ) c 1 【o ，1 】，p ( t ) o ；q ( t ) c o ，1 1 ，q ( t ) o ；a ，p ，巧，7 0 是常数，且p 5 + a s + a 7 o ；，：【0 ，1 】 0 ，+ 。) 一冗是连续的；0 1 和0 2 在 0 ，1 ) 上 左连续，在t = 1 处右连续，在【0 ，1 】上非减，满足盯l ( o ) = z 2 ( o ) = o ；u ( s ) 而l ( s ) ，1 ，0 和u ( s ) d a 2 ( s ) 分别是关于盯1 和g 2 的r i e m a n n s t i e l t j e s 积分本文改进和 推广了第一章中的主要结果，并把得到的主要结果应用到积分边值问题 在第三章中，我们利用拓扑度理论，讨论了如下非线性四阶s t r u m l i o u v i i l e 积分边值问题的非平凡解的存在性： ，0 乍) ) ，0 t o ( i = 1 ，2 ) ； h ：i 0 ，1 ) 一【0 ，+ 。o ) 在( 0 ，1 ) 上连续，在t = 0 和t = 1 处可能奇异 f ：【o ，1 】 ( 一。o ，+ 。) ( 一。，+ o o ) _ ( 一。o ，+ 。) 连续；妒1 和西2 在 0 ，1 ) 上右连续，在t = 1 点左连续，在 0 ，1 】上非减，且l ( o ) = 咖2 ( o ) = o ；u ( s ) d l ( s ) 和u ”( s ) 螂2 ( s ) 是乱和u 所定义的分别关于西l 和毋2 的r i e m a n n s t i e i t j e s 积分我们得到积 分边值问题( 3 1 ) 至少存在一个非平凡解文 6 j 利用锥拉伸与压缩不动点定理及 平移变换法，证明了下面四阶s t r u m l i o ，, m i l t e 边值问题 的正解存在性其中，： 0 ，1 】【0 ，+ o o ) x ( 一o 。，0 j 一 0 ，+ o 。) 是连续的；6 ：( 0 ，1 ) 一 ( 一0 0 ，+ 。) 是l e b e s g u e 可积的，而本文假设，： 0 ，1 x ( 一。，+ 。) ( 一。，+ o o ) 一 幻 q 一一 删 卸 驴 弋 ， ， 嘶枷 w 跏 镌 f f 一 卜 妨 气 m 卿 0a n dq ( 0 ，1 ) s u c ht h a t ，( u ) 一b c f u l nf o ra l l 也r w eg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h e r e s u l t si n 【1 】，a n dc o f i s i d e ri n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o n a = 1 ，t h em e t h o di sa l s od i f f e r e n tf r o m ( 1 】 i nc h a p t e r2 ，u n d e rt h es i m i l a rc o n d i t i o no fc h a p t e r1 。t h ef i x e dd o i n tt h e o r y a n dt h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya r eu s e dt oi n v e s t i g a t et h ep o s i t i v es o l u t i o no f s t r u m l i o u v i l l ei n t e g r a lb o u n d a r yp r o b l e m sf 2 1 ) 黧罴爱 ”，0 g o ；q ( t ) c 0 ，1 】，q ( t ) o ；q ，p ，巧，y 0a r ec o n s t a n t s s u c ht h a t 6 + q 6 + q y o ；厂： 0 ，1 】 0 ，+ 。) _ ri sc o n t i n u o u s ；盯1a n d 观 a r er i g h tc o n t i n u o u so n 0 ，1 ) ，l e f tc o n t i n u o u sa tt = 1 ，a n dn o n d e c r e a s i n go i l 【0 ，l 】w i t h 盯l ( o ) = 盯2 ( o ) = o ； u ( s ) c z 盯l ( s ) a n d u ( s ) d 仃2 ( s ) d e n o t et h e r i e m a n n s t i e l t j e si n t e g r a l so f w i t hr e s p e c tt o 矿? 警n do 2 ，r e s p e c t i v e l y i n t h i sp a p e r ，w eg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h em a i nr e s u l t si n c h a p t e r1 ，a n da p p l y t h em a i nr e s u l t st ot h ei n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i nc h a p t e r3 ，t h ef i x e dp o i n tt h e o r ya n dt h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya r e u s e dt oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gf o u r t h - o r d e rs t r u m l i o u v i i l ei n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m w h e r e 毗，危，文：仇0 ( i = 1 ，2 ) a r ec o n s t a n t ss u c ht h a tp = 屈瓯+ q 文+ q 他 0 0 一i ，2 ) ；危：( 0 ，1 ) _ ( o ，+ 。) i sc o n t i n u o u so n ( 0 ，i ) a n dm a yb es i n g u l a ra t t = 0o r a n dt = 1 ；f ： 0 ，1 】x ( 一。，+ 。) ( 一。，+ ) _ ( 一。，+ 。) i sc o n t i n u o u s ；la n d 2a r er i g h tc o n t i n u o u so n 0 ，1 ) 1 e f tc o n t i n u o u sa tt = 1 ，a n dn o n r 1，1 d e c r e a s i n go n 0 ，1 】，w i t h l ( o ) = 2 ( o ) = o ；u ( 5 ) d l ( s ) a n d 让( s ) ( f 矽2 ( s ) l 】 曲 吐 彬 心 曲吖、 s i 乩z 广厶卜 l = 媳 d 0 “ 忱 舭 + + l q 弛 观 郇 跏 咖 j 一 跳 幻 瓯 f f o f f m | j 八m w w 以 叫 w 跏 镌 = 一 卜 幻 m 舭 ：塑皇堕薹奎堂堡主兰垡笙塞 ： d e c r e a s i n go n 0 ，1 】，w i t h 1 ( o ) = 2 ( o ) = o ；u ( s ) d 痧1 ( s ) a n d u ( s ) d 砂2 ( s ) d e n o t et h er i e m a n n s t i e l t je si n t e g r a lo fua n du w i t hr e s p e c tt o 1a n d 矽2 ，r e s p e c t i v e l y w eg a i n e dt h ei n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 3 1 ) a tl e a s t h a v ean o n t r i v i a ls o l u t i o n b yu s i n gt h ek ；a s o n s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e mi na c o n e ，i n 6 ，t h ea u t h o rp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ff o u r t h - o r d e r s t r u m l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc h a n g i n gs i g nn o n l i n e a r i t y w h e r e ，： 0 ，1 】 0 ，+ ) ( 一。，0 _ 0 ，+ 。) i sc o n t i n u o u s ；6 ：( 0 ，1 ) 一( 一。o ，+ 。) i sl e b e s g u ei n t e g r a b l e t h ep r e s e n tp a p e ri sm o t i v a t e db y 6 j ，w es u p p o s e f ： 0 ，1 ( 一o 。，+ 。) ( 一o 。，+ o o ) _ ( 一o 。，+ o o ) i sc o n t i n u o u sa n dc o n s i d e r i n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s w eo b t a i nt h ee x i s t e n c er e s u l t so fn o n t r i v i a ls o l u - t i o n s ，t h em e t h o da n dt h em a i nr e s u l t sa r ed i f f e r e n tf r o mp a p e r 【6 t h ei n n o v a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，t h en o n l i n e a rt e r m h a sb e e ni m p r o v e da n dt h ei n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sh a v eb e e nd i s c u s s e d a n dt h em e t h o d sa r ea l s od i f f e r e n tf r o mt h o s ei n 1 1 a tt h eb a s i so ft h e 出a p t e r 1 t h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n so fs t r u m l i o u v i l l ei n t e g r a lb o u n d a r y p r o b l e m sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e di nc h a p t e r2 t h ed i s c u s s i o ni sm o r ew i d ea n d t h er e s u l t sa r eb e t t e r i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c er e s u l t so fn o n t r i v i a ls o l u t i o n s ，a n dt h ee x i s t e n c er e s u l t so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs o m ec a s e s ) t h e m e t h o da n dt h em a i nr e s u l t sa r ed i f f e r e n tf r o mp a p e r 阶 k e y w o r d s ： s o l u t i o n ；f i x e d i n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；n o n t r i v i a l p o i n t ；c o n e ；e i g e n v a l u e 芒 仉 ， = i l q l d “，u 1 + m + 、， 卜 【 、， 一 h 、卜他 ， 1 z z(圯- z 五 卜矾m 啦 外，函 i l 删勘驴弋 厂吖、，u 谚乜纫帆剐伽 = 一 卜够 弘 必 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性微分方程积分边值问题的 解，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：土蘼日期：切口7 乡 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( ( 非线性微分方程积分边值问题的解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位 期间，在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所 有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学 关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件 和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或 其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名王藤日期：2 1 0 0 7 f 弓 导师签名：皴钐嘲聊m 争 第一章非线性二阶积分边值问题正解的存在性 本章考察下列积分边值问题 lu ( t ) + f ( t ，钆) = 0 ，o t 1 ， tu ( 。) = z 1 乱( 丁) d 口( 丁) ，札( 1 ) ：z 1 u ( 丁) d p ( 丁) l 1 的正解存在性，其中，：【0 ，1 】 o ，+ 。) _ r 是连续的，且存在常数m 0 和 b 0 使得对任意的x 0 有f ( t ，z ) 一m x b ，即，是可以变号的 q 和p 在f 0 ，1 ) 上是右连续的，在t = 1 点是左连续的，a ，p 在 o ，1 】上是非减 的且8 ( o ) = ( o ) = o ；让( 丁) 如( 丁) 和锃( 丁) 邸( 7 - ) 分别是关于q 和p 的 r i e m a n n s t i e l t je s 积分 非线性二阶非局部边值问题的正解存在性已被广泛研究，其中大部分要求非 线陛项是正的，而对于非线性项是变号的情况却很少有人研究，参见( 文【1 】， 2 】， 5 】， 7 ) 文，利用拓扑度理论，讨论了下列两点奇异边值问题 l u l l ( t ) = h ( t ) ，( u ( t ) ) ，0 0 和q ( 0 ，1 ) 使得对任 意的u r 有f ( u ) - b c 川a 受文 1 启发，本章主要利用不动点指数方 法，讨论a = 1 时( 即假设存在常数m 0 和b 0 使得对任意的u 0 有 f ( t ，让) 一m u 一6 时) ，一类积分边值问题正解的存在性，推广了文 1 】中的结 果 本章使用的b a n a c h 空间是e = c o ，l 】( 其中范数由| | = 恶罂f u ( t ) i 定义) 令 尸= u e ：u o ，v t o ，1 】) ，则尸是e 中锥记日= u e ： i u ! i 0 ) 为半径为r 的开球为了陈述和证明本章的主要结果，我们霭要以下 引理首先我们给出以下假设： ( 1 ) f ：( 0 ，i 】【o ，十。) q 冗是连续的，且存在常数m20 和6 o 使得 对任意的钍0 有f ( t ，札) 一m “一6 第一章 非线性二阶积分边值问题正解的存在性 ( 删z 1 删卅0 1 ( 1 叫蜊 1 我们定义g ( t ，u ) = f ( t ，u ) + m u ，则g ： o ，1 】爸 0 ，+ 。) _ r 是连续的，且问 ，一u ( ) + m u = 9 ( ，u ) ；05t 1 ， tu ( 。) = z 1u ( 丁) d a ( 丁) ，( 1 ) ：o l u ( 丁) d p ( 丁) l 2 p l ，pip 1 u ( ) = 0 日( 如) 9 ( s ，乱( s ) ) 如+ ( 1 一) j h 0 ( 丁) d 口( 丁) + tj 0 u ( 丁) 印( 丁) ，( 1 3 ) f_sinhwts i n h w ( 1 - s ) ，0 0 ，因此存在 a ，6 ic ( o ，1 ) 使得t l ( a ，b ) 且c ( t ，s ) 0 ，t ，5e a ，6 取u e 满足珏( ) 0 ，v t ( o ，1 ，u ( 1 ) 0 且u ( t ) = 0 ，v t ( a ，6 i 贝4 对t 【a ，6 4 有 ( l u ) ( t ) = g ( t ，s ) u ( 5 ) d s g ( t ，s ) u ( s ) 出 0 广l，0 ，o，o 因此，存在常数c 0 使得4 l u ) ( t ) 札( t ) ，te o ，1 】由引理1 2 2 知r ( l ) o 且l 有对应于第一特征值a 1 = r ( l ) 一1 的正的特征向量u l ，即扎l = a l u 1 证 毕 4 一曲阜塑蔓盔堂亟圭堂篁堡塞 - _ + 一一 引理1 2 4 伊例设e 是实b a n a c h 空间，pce 是锥， q ( p ) cp 是有 界开集设4 ：西雨_ p 是全连续算子若存在u o p 目) 使得对v u o n ( p ) ，a 芝0 有礼一a 札a u o ，贝1 ji ( a ，q ( p ) ，p ) = 0 引理1 2 5 伊例设e 是实b a n a c h 空问，pce 是锥，q ( p ) c p 是有界开 集，且伊q ( p ) ，设a ：硪雨一p 是全连续算子若对v u o a ( p ) ，肛1 有 弘u a u ，贝1 ji ( a ，q ( 尸) ，p ) = 1 1 3主要结果及其证明 定理1 3 1 假设( 日1 ) 和( h 2 ) 成立，且存在0 0 使得f ( t ，让) 入1 u ，v t u - - - , o + f 0 ，1 1 u 0 ，1 1 ，乱 0 ，7 1 1 】由g 的定义易知 g ( t ，u ) 入1 u ，v t o ，1 ，u o ，7 1 ( 1 8 ) 令乱1 是l 的对应于其第一特征值a 1 的正的特征向量，即1 1 1 = a 1 l “1 对v 心 a 研。np 由( 1 8 ) 式知 1产1 ( a u ) ( ) = c ( t ，s ) 9 ( s ，u ( s ) ) d s 入1 a ( t ，5 ) u ( s ) d s a z ( l u ) ( t ) ，t o ，1 o ，o f 1 9 ) 不妨设a 在a 耳，np 上没有不动点， ( 否则定理得证) 下面我们证明 珏一a u p u l ，v u a 磷。np ，p 三0 ( 1 i 0 ) 反之，如果存在u s a 日。np 和丁o 0 使得u 4 4 u + = = f o u l ，则t o 0 且 u = a u + y o u l u 1 令 丁1 = s u p 1 - ：u t i z i 5 第一章非线性二阶积分边值问题正解的存在性 这与丁1 的定义矛盾，即( 1 1 0 ) 式成立由引理3 2 3 知 i ( a ，研；n 只尸) = 0( 1 。1 1 ) 令也( t ) = 6 f 0 1g ( ? 5 ) d s ，则面尸由夕的定义知9 ( ，钆( ) ) 一6 因此 a ：p _ p 一证我们定义 = a ( u 一百) + 覆， 则a ：p _ p 由l i m s u p 1 t l a 3 ( u 一+ o 。t 6 【o ，1 】 0 叮l 盯 l 使得 ，( t ，u ) 所以 令 f ( t ，u ) u c o ，1 】 r 1 + ij 也l l 和 矿1 矿( 卜箸) 乱= 叭托一丢m u 叭鼍一地v t g ( t ，乱) o a l u ，v t 0 ，1 ，u t 2 ，+ o 。) l l u = a a l l u v u 尸 则三l ：e _ e 是有界线性算子且i ( p ) cp f 令 = 2 m a x 。即s u p 艇【。，。，ig ( t , s m s 删，啦 则n r 2 ，则u ( ) 一面( ) 0 ，否( ) = u ( t ) 一五( ) u ( ) 一r 2 之 - r 2 所以捌j 7 2 因此对v u 彬有 u ( z ) = 弘( 4 t ) ( f ) ( 4 ( “一面) ) ( t ) + 舀( t ) = g ( ，s ) 9 ( 5 u ( s ) 一面( s ) ) d 5 + g ( t ，s ) 9 ( s ? u ( s ) 一面( s ) ) d s + 豆 ) e ( u )f 0 ，1 】c ( u ) 巩z 1g 咖( s ) d s + f o ig ( 二l 让) ( ) + n s ) 9 ( s ，啻( s ) ) d s + 2 豆( t ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 即( ( ，一l 1 ) 乱) ) n ，v t 0 ，1 】由u i = 入l l u l 和0 m a x r 2 ，s u pw + f i 面l l ，则a 在 a 历。上不存在不动点事实上，若存在u 。p 耳。使得a u 。= u 。则乱。w 且 5 毯。| | = t 3 s u p 彬这与s u p w 是的上确界矛盾因此，由不动点指数的同 伦不变性知 i ( a ，b r 3n 只尸) = 1 ( 1 1 3 ) 下面我们定义h ( t ，u ) = a ( u t 面) + 玩，v ( t ，珏) 【0 ，1 3 瓦若存在( o ，u 2 ) o ，1 】，使得h ( t o ，u 2 ) = z l 2 ，则a ( u 2 一t o & ) = u 2 一z o 西且a ( u 2 一t o i l + 豆) = u 2 一o 面+ 舀因此2 2 2 一t o i l + 西w 且 乜2 一t o 5 + 五| | l i u 2 1 l 一( 1 一t o ) l l 面l i r 3 一| j 霞i l s u p 彬 这与s u p w 是w 的上确界矛盾则由不动点指数的同伦不变性及( 1 1 3 ) 式知 j ( a ，研。np ，p ) = i ( a ，b ，。np ，p ) = 1 ( 1 1 4 ) 结合( 1 1 1 ) 式和( 1 1 4 ) 式可得 i ( a ，( 耳。b i ) n 尸：p ) = i ( a ，屏。n 只p ) 一i ( a ，b 。n 尸，尸) = 1 所以a 在b ，。至上至少有一个不动点，即积分边值问题( 1 1 ) 至少有一个正 解证毕 7 第二章非线性s t r u m l i o u v i l l e 积分边值问题正解的存在 性 2 1引言 本章考察下列非线性s t r u m l i o u v i l l e 积分边值问题 i 一0 ( ) 珏7 ( ) ) 7 + g ) ( t ) = f ( t ，也( t ) ) ，0 t l ， q u ( 。) 一u 7 ( 。) = z 1 u ( s ) d 盯。( s ) ， ( 2 1 ) 卜( 1 ) 4 - 7 u ( 1 ) = j 0 0 t u ( s ) 拈。( 5 ) ， 的正解的存在性，其中p c 1 ( o ，l 】，p ( t ) o ；q ( t ) a o ，l j ，q ( t ) o ；位，卢，巧，- y 0 是常数，且卢巧+ a 6 + a 7 o ；，：( 0 ，1 x 0 ，+ ) _ r 是连续的；0 1 和o r 2 在 0 ，1 ) 上左连续，在t = 1 处右连续，在 o ，1 】上非减，满足盯1 ( o ) = a 2 ( o ) = o ； u ( s ) 如l ( s ) 和u ( s ) d 盯2 ( s ) 分别是关于口1 和叮2 的r i e m a n n s t i e l t j e s 积 分 本章是在第一章的基础上继续讨论非线性项变号，即，满足：假设存在函数 m ( t ) 0 和b ( t ) 0 ，使得对任意的“0 有，( t ，u ) 一m ( t ) u 一6 ( z ) 的情况下 积分边值问题的解，与第一章不同之处在于，本章节讨论的方程更广泛，得到了 更广泛的结果，推广了第一章中的相关结论 2 2 预备知识 本章使用的b a n a c h 空间是e = c o ，1 】( 其中范数由i l u l l20 0 ，v t ( 0 ，1 】；西2 c 2 o ，1 】是减函数 且妒2 ( z ) 0 ，v t 0 ，1 】是正常 易证，作为引理2 2 1 的一个结果，问题( 2 5 ) 等价于积分方程 呱) = j f o ik ( t ，s ) 以s 心( 5 ) ) d s + 。( t ) z 1u ( 7 一) d 盯- ( 丁) + ，( t ) z 1 u ( 7 一) d 眈( 丁) ( 2 9 ) 引理2 2 2 设( h 1 ) 成立，则偿圳等价于 u ( t ) = g ( t ，s ) h ( s ，u ( s ) ) d s ， ( 2 1 0 ) 其中 g ( t ，s ) = k ( ，s ) + k - 1 ( 七4 妒2 ( 亡) + k 3 妒1 ( ) ) ( 丁，s ) d 口1 ( 7 _ ) ，1 j o ( 2 1 1 ) + 后一1 ( 尼2 矽2 ( ) + 忌1 多l ( z ) ) k ( 7 _ ，s ) d 盯2 ( 丁) ， 是问题阳髟的g r e e n 函数，其中 七，= 1 一z 1 似丁) 州n 而z = f o 州喇州n 角。：厂1 西。( 丁) c t c ，2 ( 丁) ，忌。：1 一厂1 。( ，) d c r 2 ( 丁) j oj o 由( i - 1 1 ) 知，惫1 0 ，克4 0 ，南= 七1 七4 一k 2 k 3 0 证明若( 2 9 ) 成立，在( 2 9 ) 俩端同时乘以如l ( ) 并在【0 ，1 】上积分得 ：1u ( t ) d 盯。( t ) = 击( z 1z 1 ( 丁，s ) 九( s ，u ( s ) ) c f s d 盯- ( 丁) + 七：1z t ( 丁) d 仃：( 丁) ) 1 0 同理 u ( t ) d a ( t ) = 厅4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( f o l ik ( 丁，s ) 危( s ，u ( s ) ) d s d 盯z ( 丁) + 1 口( 丁) d 口- ( 丁) ) 由上面的两个方程，得 厶蚰州牡地上11 k 啪( s ，小m 酬丁) ) 和 札( t ) d 盯2 ( t ) 由( 2 9 ) 及以上两式得 ( z 1 1 k ( 丁，5 ) ( s ，u ( s ) ) d s d 盯z ( 丁) ) ， 砷s ) 郴似s ) ) 如咖( r ) ) 砷，s ) 似蝴d s 蚓r ) ) u ( ) ：厂1j f ( t ，s ) 忽( s ，札( s ) ) d s + ! 兰! ! ! i ! 掣 u ( 。) 2 j f ( 。，s ) 忽( s ，札( s ) ) d s + ：! 坚! 三! 上j 严 i 0 1 g ( 7 _ ，s ) ( s ，u ( s ) ) d s i 0 1k ( 丁，s ) ( s ，u ( s ) ) d s d 叮z ( 丁) k ( 丁，s ) 九( s ，u ( s ) ) d s d c r 2 ( t ) ， 因此( 2 ，1 0 ) 成立另一方面，若( 2 1 0 ) 成立，则有 和 u ( t ) d a l ( t ) 厂1 珏( ) d 沈( ) 0 k hs ) ( s ，u ( s ) ) d s d c h ( 7 ) k ( ls ) ( 5 ，u ( s ) ) d s d c r 2 ( t ) ， 1 1 l 一七 + z z l 1 z z 1 3 詹 老 1后1一后 i + z z z z 地一砖一后 丁 r ， l 2 扩 盯 d d s s d d 、i，、l，、，、， s 5 ，、，、 珏 u 5 5 ，i，j 如 尼 、i，、l， s s r 丁 必 k l l z z 1 1 z z 乜i兢一尼 | | + 第二章非线性& 7 u m l i o u v i l l e 积分边值问题正解的存在性 成立因此 t z ( t ) = z 1 ( t ，s ) 危( 5 ，u ) d 5 + k a c ? ( t ) 十kk 3 西l ( t ) ( 后。0 1 札( t ) d 盯。( ) 忌。z 1 札( t ) d 仃。( t ) ) + 生型垒兰壁掣( z 1u ( t ) d 盯z ( t ) 一后。0 1u ( 。) d 盯，( t ) ) = z 1k ( z ，5 ) ( s ，u ( s ) ) d s + 移。( 力1 札( ) d 伊。( t ) + 妒，( t ) 1 钍( t ) d 观( n 证毕 由a ( t ，s ) ，的定义知： a ( t ，8 ) 0 ，v t ，s 0 ，1 】，a ( t ，s ) o ，v t ，s ( 0 ，1 ) 下面我们定义一个线性算子l ：e e r l ( l u ) ( t ) = g ( ，5 ) u ( s ) d s ，v t 0 ，l 】， ( 2 1 2 ) 0 和一个非线性算子a ：e e ，1 ( 4 札) ( ) = g ( t ，s ) 愚( s ，u ( s ) ) d s ，v t 0 ，1 ( 2 1 3 ) 0 显然，由( h 1 ) 知： a ：e _ e 是一个非线性的全连续算子， ( 2 1 ) 的解就等价 于a 的不动点 l ：e e 是一个线性的全连续算子，满足l ( p ) cp 如果 b ( t ) 三0 ，则对任意的u p 1 ，有( a u ) ( ) o ，t 【0 ，1 】，即( a u ) ( t ) 是一个非负 的凹函数且a ( r ) cp l ，令 ，1 一 ( z c u ) ( t ) = g ( t ，5 ) u ( s ) d s ，v t 0 ，1 】( 2 1 4 ) ， 其中( 0 ，；) 易知：k ：e e 是一个线性的全连续箅子且& ( p ) cp 如同( 1 3 】中引理6 的证明易证，若( 日1 ) 成立，则l 的谱半径r ( l ) 0 且l 有一个对应于它的第一特征值a l = r ( l ) 。的特征向量 l 的谱半径r ( k ) 0 且k 有一个对应于它的第一特征值k = ( r ( l ) ) 。的特征向量，并且l 存在一 个特征值a 1 使得当_ o + 时有a _ a 1 引理2 2 3 似例设e 是一个b a n a c h 空间，pce 是一个锥假设q ( 尸) 是 尸中的一个有界开集，s ：f 2 ( p ) _ p 是一个全连续算子如果存在i t 0 p ( 口) 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 使得 u s u # u o ，v t 上a q ( p ) ，p 0 ， 则不动点指数l ( sq ( 尸) ，尸) = 0 引理2 2 4 伊叨设e 是一个b a n a c h 空间，pce 是一个锥假设q ( p ) 是 尸中的一个有界开集且口q ( p ) ，s ：a ( p ) 一p 是一个全连续算子若 s u p u ，v u a e ( p ) ，肛1 ， 9 i , i a - ，考、指数i ( s ，q ( p ) ，尸) = 1 2 3 主要结果 定理2 3 1 设( 日1 ) 成立，且存在常数0 0