（概率论与数理统计专业论文）相依随机变量序列的完全收敛性.pdf

致谢 净琶；。 在我两年多的求学过程中，林正炎教授、陆 传荣教授、张立新教授、苏中根副教授、陈上珠 副教授等各位老筛的认真授业，使本人的专业水 平得到很大的提高。他们的严格要求和热情帮 助，使我顺翻完成了学韭，在茈一并表示感谢。 本文是在陆传荣教授和株正炎教授的精心指 导下完成的。在论文写作期间，两位教授多次亲 自过问和热心指导，使本文得以顺利完成。作者 在此表示衷心的感谢。 同时也向数学系的各位老师和同学表示真诚 的谢意。他们的热情和友谊使我愉快地渡过了两 年多的时光。祝愿新的浙江大学数学系欣欣向 荣l 蔡小云 二0 0 0 年元蜀 摘要 本文主要讨论随机变量序列的完全收敛性。 首先给出了i i d 样本及m 一相依样本三角组列的 完全收敛性；接着研究相伴随机变量序列的完全 收敛性；最后，还给出了妒混合随机变量次序统 计量的强相合性及完全收敛性。 a b s t r a c t l nt h i s t h e s i s ，w ed i s c u s st h e c o m p l e t e c o n v e r g e n c e o fs e v e r a lc l a s s e so fr a n d o mv a r i a b l e s a t f i r s t ，w ep r o v et h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c eo ft r i a n g u l a r a r r a y s 。t h e n ，w eg i v e t h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c eo f a s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e sa ti a s t ，t h ea l m o s ts u r e c o n v e r g e n c ea n dc o m p l e t ec o n v e r g e n c eo f 妒一m i x i n g r a n d o mv a r i a b l e s lo r d e rs t a t i s t i c sa r e g i v e n 。 刖舀 在文【1 3 】中许宝睬和r o b b i n s 提出了完全收敛的概念。 定义o1 【1 3 】称随机变量序列 ，。11 完全收敛于常数t ，如果对任意的 f 0 ，有 p i t , ，一t e ， 1 且当n 茎1 时进一步假设e x ，= 0 ，则下列叙述等价： e i x l p o 。 3 【0 3 ) n 。9 2 p 紫i s e 铲) o 成立 ( o 4 ) 自志东和苏淳( 1 9 8 5 年) ，王岳宝，刘许国和苏淳( 1 9 9 8 年) 进一步改进了他们的结 果。张立新( 1 9 9 8 年) 还建立了强不变原理与完全收敛性的统一形式。 本文第一章讨论了三角组列的完全收敛性，首先考察i id 样本的完全收敛性， 随后推广到m 相依的情形，得到如下结果： 定理1 2设 x 。，i 1 ) 为m 一相依同分布的随机变量序列，且x 。的分布函数 f 连续， s u p e j h ( x t ，爿b ) p 0 ，有 ，茎。n v2 p 击1 争一”s ) q ) p x ： 。 - p 玛 z ，) ( 0 6 ) 4 这是随机变量之间的正相依性的一个简单而自然的定义。 关于相伴的基本概念，最初h a r r i s ( 1 9 6 0 年) 在渗透模型的章节里提出，随后 由f o r t u i n ，k a s t e l e y na n dg i n i b r e ( 1 9 7 1 年) 推广并且被运用到统计力学的可靠性模型 中；在后来发展起来的统计力学理论中，相伴随机变量被认为是满足f k g 不等式 的。 本文关于相伴随机变量序列的结果是： 定理21 设随机变量序列 墨，i 1 ) 是相伴的，a p 1 ，且当0 2 ) p ( i x 1 z ) i 1 且e i x u i3 2 u ( n ) = o ( n 一一) ，对某p 0 则对v e 0 ，当0 p 2 时，有 n 一。p t l m 悠俐：e n 。) n ) + t i p 2 p n = 1n = 1 i + i i 我们首先来估计i 忑1 j n 备- 1 k ( 托x ( x x ) i n ) 5 r i p - 1 p l h ( x l ，x 。) n ) 一1 o： 蔓扩。p ( t i h ( x t ，x 。) fs ( f + 1 ) ) n = 1l = t z f 兰p l i h ( x , ，x 。) 茎( f 十1 ) ) 一。1 f = 1n = 1 ) c 5 c p p i i h ( x , ，x 。) i ( f + 1 ) ) c e i h ( x 1 ，矗) p n 一 j ( p p 竹 。 = r 下面再来估计i i ，由m ”k o v 不等式可知 一，垂，n p2 p 击| 势一忪0 s 争。鼍擎 c n p2 e 嘛( x l ，x o ) t 茎c n ”2 e i h ( x , ，x , 3 1 i ( t 一1 ) p h ( x , ，矗) j 茎? ) ! g e i ( 函x 。) p 从而定理1 1 得证。 注：以上各式中的c 及以后各章中出现的c ，除非特别说明都指绝对常数 且即使在同一式中也可能表示不同的值。 1 2m 一相依样本三角组列的完全收敛性 设f 凰，k = 1 ，2 ，- ) 为一随机变量序列定义在概率空间( n ，p ) 上。对nsb ， 令肆= ，( x 。- ，甄) 表示由x 。，x 一产生的一一代数。 定义11 序列 氩，k = 1 ，2 ，) 称为m 一相依，如果对1 s ) 争1 p 击i 篆怖一m 为 + 耋扩2 p 击】喜n t x 。m ，炒；) + 重扩2 p 击眦x 。_ 1 , x n ，f ；) 9 对于i i i ，由m a r k o v 不等式知， = 熹扩2 p 击五, - 1 , x o ) l ；) 兰n 妻= i 矿2 黼笆 ! c 札 州) + c 1 一妻。n v - 2 p 击jn 擎z - 1 掘圳一胁啪0 g 荟n pi p m ( 蜀鳓 蚰 ， 。 w 。；，n p 一2 _ p 曲r 善, j - 1 州，圳 卜 用人们熟知的方法可得 由于x 。与蜀，讯 由对称性可知， = 。n 川p i h ( x 】，矗) j n ) e 占f ( 五，墨。j p - j e 争。z 1 p 击j n 酗1 - 1r 砜吲 佤扣 如p 2 川而1n 备k - i c 砜吵佤卜 + g n 妻= l * t ，0 1 户f 击c ，牝一、何江 1 l 令z 为标准正态随机变量，由引理1 1 得， 对于岛，鸯， 薹矿2 2 1p 【历1r 台l - 1 k ( 一瓶卜 g 薹矿“珊私彬妒+ 。妻，n v - 2 p 够 瓜 1 2 1 = = = c i ，p - 4 e ( 肖t ，t ) 1 3 s c 8 n 州嚣氟( x l ，t ) 1 3 曼c n 州e ( x l ，t 1 3 i ( j t ) t h ( x ，t ) t 曼j n = 1j = 1 崔x ! e e ( x l ，t ) 1 3 ，“卜1 ) 瓜 曼耋去e 嘣谛箬 1 2 所以应用f u b i n i 定理可知1 2 o o ，从而有i o 。 同理可得i i o 且对某个p 2 ，有e i x i p 0 ，有 p ( ，i 。l l 。a x 、恻h e ) o 。 ( 21 ) 反之，如果序列 x j ，j ) 满足p ( x j z ) = p ( x ，8 9 一2 露墨；2 f 2 。2 m = ( i s l l ，- 一， 最。| s m a x ( o ，最；，s ：十m a x ( o ，是，一& 辩毒c h e b y s h e v 不等式，霹缮 尹 m a x f | 是 。， 又转 ? m a x ( 0 ，是，一，) ；+ p m a x ( 0 ，一是，炙 畦一2 曰( m a x 骖，岛，一，s ；严+ 4 s 一2 e 姓l 毡x ( o ，s i ，一，炙) ) 2 曼拈e ( m x ( s l ，文) 妒+ 舸一。雾 m ( 一是，。一& ) r 记 鳆；= m a x ( 是，s ；) ； x n 世n 娃l l ( x | 年牛x n ，x 3 斗x 。，r 一，x n ，乜 k = m a r x ( x 2 ，弱+ 弱，迅+ + 墨) ； 磊： = m a x ( 0 ，五。) 则显然谢，a = 噩+ m a x ( 0 ，恐，x # + 弱，x 2 + + x 。) = 溉+ 矗。 注意戮，墨。= 玛+ 墨一矗隽瓣缀变量蕊瓣嚣终蘧数。 嚣竣，纛瑟设条；雩霹辩c o y ( 弱，致j 0 ，著虽矗。奴2 ，对黪海豹t l 郝成立。 簸 e m ，? = e ( x t 七3 冀 e x l 2 + 2 c o v ( x 1 ，矗1 + 晟，n 2 凹x 12 + 2 c o v ( x 1 ，恐+ 一斗z 。) 一2 e o v ( x l ，) + e 2 e x l 2 + 2 c o v ( x l ，x 2 + + 五。) + e 厶2 魏裙伴性，直接计算可知嚣厶2s 联弱2 + - + 并，。2 ) 。 从丽e 坛；2 嚣s 忆2 。 再用一置代替x ；，同理可得e ( m a x ( 一班，一靠) ) 。e 品2 。 综羔爨述可葶嚣f 2 2 ) 式。 引理2 1 证毕! 定义蕺太秘方差系数， 如净叱s u p 蠢孤踟b 溉知蚝舢静 b i r k e l ( 1 9 8 8 年) 给交了耪体蘧撬变量矩静一个上赛话诗。 引理2 , 2 【3 】设随机变量序列 ，。1 是相伴的，弗且均值为0 ，如果 且( n ) = o ( n ”) 对巢s 2 ， 对棠p 0 刚存在r 2 ，及一常数b 与1 2 无关，使得对所有n en ， 以下“”表示”o “。 8 u p露| 靠；+ 。一s m | 君n ； 2 e n u 0 ( 2 3 j ( 24 ) ( 2 5 ) 定理2 1 设随机变量序列 噩，# i 怒相伴的，蚴1 。且幽0 。) p x 0 j z ) 登e i x o l 3 ( o 。，对菜# 2 ( 社) 0 ( 站一”k对慕产 0 则对v 0 ，当0 p 2 时，有 至。h ，瑟蚓抛“) n 。) 一n a j 。) ， ( 2 l o ) 三一。躜。 岛i 独“ n 一3 琰蕊 霹| 扩 + 妒。琰蕊刚 酽 1一。一t = 1n = 1 一一 = l 斗 i 对于i i ，由( 26 ) ，( 27 ) ，知 j ，= n 一2 p 贸慧l 托 对于i ，我们先来证明 事实上，我们有 n “ 矿) = n 9 1 e p j “ l 弱ls0 + 1 ) “) n 1 o 。n f 2 1 1 ) = n c t p - 1 v j 。 i x o l 量u + 1 ) “) = 1 n = l p p 扩 1 时 a=祀一“m a x1 1 ， n 墨佗“) ! n 2 ”s u p 嚣 五f 圳墨f 炉) n ”“s u p | 西i x “ n 。o e 玉) 一0 当0 t ! n 1 一。 。1 9 s u p 1 l e l x f l 9 x ( t x i l n “) n 。”嚣i 而p i ( i x o i n c t ) 一。 怼予b ，当c t p 1 蹲，寿 b = = p ( i x d 矿) 4 = 1 嚣p | 五一 秸“j n l - ”e l 岛1 9 0 当o p = 1 时， b n p ( 1 x o n o ) 礼p “x o f 扎) _ 0 得犯1 2 ) 式成立。 xfxe ，出 因此，要证， 。，只需证明 ，= 一。p 。m 。a xi ( 霹一e 霹) n = 11 = j 二“i ：】 由耳为噩的单调非降函数知，“f e 耳) ，i = 1 ，2 ， 仍为相伴随机变量序 列，且均值为0 。所以，由引理2 1 ，h s l d e r 不等式及引理2 2 ，有 证毕 ，7 n a p - 2 n 。f i ( 霹一e x ? ) r 2 n = 1 7 = 1 xn n “( p2 ) - 2 e l ( 霹一e x ? ) r 2 ( 邓 ，4 = 1 t = 1 。( n = n “9 。一吲( 耳一e x ? ) i 7 一 n = 1i = 1 h a ( p - 2 - 2 ( n i ) ； n = 1 = h e y ( p - 2 j 。1 。 第三章妒混合随机变量次序统计照的完全收敛性 设x - - ，x ，：为i i d 的d 维随机变量，对固定的2 ，将工一，如按照 1 j x n ：一。f i x r ? 一$ j f 一一s ”。一z ：|( 3 1 ) 的次浮霾新摔鲫，得到一次序统计量( x n ，盖，x n 。) 。 约定 墨一。“= i l 乃一。薅i l 时，l l 瓜一z “在( 3 1 ) 式中摊在e i x j 一。“之蘸。 萁中。= ( z ( ”，。( 却) 的模j 可取成通常的e u c l i d 模，或i = m a x l 削妒j 。 记f 为x 浆分枣缀数，s ( r ) 表豕f 黪支撑；玩。表示激x 秀孛心，p 为半径 的闭球；i ( a ) 表示a 的示性函数。 对予上面酌次序统计量x n ，x r 一，x n 。) 静强裙合往，文p 3 】中有如下结果： 定理e ”“设z s ( f ) ，则当! 一。时，有 ，曼毁l | x 瓢一# l l = 0 ，一 ( 32 ) 文【3 4 中还有其完全收敛性： 定理f “1 设。f ) ，歪整数：k ，滚是：一。，叠i o o ，爨对任秘 0 n ，。一o ，稽 a 。( 荽) 。 j 夏飙一。| j 皇o ，( f ) 3 3 ) 瑗在考惑x ，纛为强乎穗铲溪舍抟d 难隧投交量，我绞谖鼹次羟统诗羹 ( x n ，x n 一，x n 。) 也有类似于i i d 情形时的结槊。 定理3 1 设 蜀，”2 l 怒强平稳轳灌台的d 隧税蜜量滓魏，其脊共同静分布 溺数f ( x ) ，墨。妒( 2 2 ) 郎谢3 而掣一+ c 1 a 2 叫， 3 6 ) 其中a 是实数，n l 是藤整数，满足msn 且n m d ；。 引理3 2 【g 蠢在非受函数g 。) ，使对一z f ) ，舂 嬲南矧咄 ( 3 1 7 定理3 1 的证明对v p 0 ，记& = j ( 工：风，) ，母。= 岛采，由z s ( f ) 知， p ：e $ ：蟊如。( 巩，) = f ( 玩，) 0 。囱：一0 ，知n 充分夫时，： p ) ：p ( 如( 女) = p ( 鲁一p i 令磊= ；( 螽一孽豪) = ；熊一功，羽| 磊| i 1 ；蟊霹s 嘉，取= ；，a = ( 口n - l o g n ) ， 由定理3 1 的假设，对充分大的b ，我们有 帆加( b - ，n l o g n ) 蛳：= 历1 ( 警声m n 茎面c 玉i 1 ， 所以，由引理3 1 得 p i 鼍1 z , i ) se x p ( 3 x e n 号掣一警+ e ，等) s c e x l o ( 一警+ c - 譬) c e x p ( 与笋+ c 1 警) !g e x p ( 一e 笋) ( 3 9 ) 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 知，对v p 0 ， p ( i i x r 。一z i i p ) 0 ，记r = f ( b 5 。) ，0 。= e ；2 l ，( 噩e b 。5 。) 要“咖) ， 故存在g ( z ) 0 ，当n 充分大时，就有 r ! g ( z ) 2 - ( ：) ， 此时：一只 e 6 。) 0 ，有 p 。n ( 御l 如。一z i i e 。， 故定理3 2 得证。 2 3 由引理32 ，有 ( 3 1 2 ) 参考文献 1 b a u m ，le ，k a t z ，m ，) c o n v e r g e n c er a t e si nt h el a wo f l a r g en u m b e r s7 k n sa m e r 如折 s o c ，1 2 0 ( 1 9 6 5 ) ，1 0 8 1 2 3 2 b i l l h , g s l e y ，p ，c o n v e r g e n c eo fp r o b a b i f i t ym e a s u r e s w i l e y ，n e wy o r k 1 9 6 8 ) 3 jb i r k e l ，t ，m o n l e n tb o u n d sf o ra s s o c i a t e ds e q u e n c e s a n np r o b ，1 6 ( 1 9 8 8 ) ，1 1 8 4 1 1 9 3 4 1b i r k e l ，t 、，t h ei n v a r a n e ep r i n c i p l ef o ra s s o c i a t e dp r o c e s s e s ，s t o c h a s t i cp r o c e s sa p p i 2 7 ( 1 0 8 8 ) ，5 7 7 1 5 】d e h f i n g h ，c o m p l e t ec o n v e r g e n c eo ft r i a n g u l a ra r r a y sa n dt h el a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h mf o ru 。s t a t i s t i c s ，s t a t i s t i c sa n d p r o b a b i l i t yl e t t e r s7 ( 1 9 8 9 ) ，3 1 9 3 2 1 【6 d e v r o y e ，l ，o nt h ea l m o s te v e r y w h e r ec o n v e r g e n c eo f n o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nf u n c t i o n e s t i n a t e sa n n s t a t i s t ，9 ( 1 9 8 1 1 、1 3 1 0 1 3 1 9 7 e r d s s ，p ，o nat h e o r e mo fh s ua n dr o b b i n s ，a n nm a t h s t a t i s t 2 0 ( 1 9 4 9 ) ，2 8 6 2 9 1 8 】e r d s s ，p ，r e m a r ko i lm yp a p e r ”o nat h e o r e mo fh s ua n dr o b b i n s ”a n n m a t h s t a t i s t 2 1 ( 1 9 5 0 ) ，1 3 8 【9 e s a r y ，j ，p r o s c h a n ，f w a l k u p ，d ，a s s o c i a t e do fr a n d o mv a r i a b l e sw i t ha p p l i c a t i o n s ， a n n m a t h s t a t i s t ，3 8 ( 1 9 6 7 ) ，1 4 6 6 1 4 7 4 1 0 f e l l e r ，w ，a ni n t r o d u c t i o nt op r o b a b i l i t yt h e o r ya n di t sa p p f i c a t i o n s 2 ，2 n de dw i l e y ， f ry o r kf 1 9 7 1 1 1 1 h a r r i s ，t e ，al o w e rb o u n df o rt h ec r i t i c a lp r o b a b i l i t yi nac e r t a i np e r c o l a t i o np r o c e s s p r o cc a m b 鼢越s o c5 9f1 9 6 0 ) 1 3 2 0 ， 1 2 】h e i n r i c h ，l ，am e t h o df o rt h ed e r i v a t i o no fl i m i tt h o e r e mf o rs u l i i so fn t d e p e d e n tr a n d o m v a r i a b l e s ，zb h r v e p w g e b i6 0 ( 1 9 8 2 ) ，5 0 1 5 1 5 1 3 h s u ，pl ，r o b b i n s ，h ，c o m p l e t ec o n v e r g e n c ea n dt h el a wo fl a r g en u m b e r s ，p m c n a t a e a ds c i 。u s a + 3 3f 1 9 4 7 ) ，2 5 3 1 j o a g - d e v ，k ，p r o s c h a n ，f ，n e g a t i v ea s s o c i a t i o no fr a n d o mv a r i a b l e sw i t ha p p l i c a t i o n ， a n n s t a t i s t 。，1 1f 1 9 8 3 ) ，2 8 6 2 9 5 k a t z ，m ，t h ep r o b a b i l i t yi i lt h et a i lo fad i s t r i b u t i o n ，a n n b l a t h s t a t i s t ，3 4 ( 1 0 6 3 ) ， 1 ：3 1 2 3 1 8 l e h m a n n ，e l ，s o m ec o n c e p t so f d e p e n d e n c e ，a n nm a t h s t a t i s t ，3 7f 1 9 6 6 ) ，1 1 3 7 1 1 5 3 l i n ，zy ，o nac o n j e c t t t r eo fa ni n v a r i a n c ep r i n c i p l ef o rs e q u e n c e so fa s s o c i a t e dr a n d o n v a r i a b l e s ，a c t am a t h ，s i n i c a ，n e w s e t ，t 1 9 8 5 ) ，3 4 3 3 4 7 ， n e w m a n ，cm ，n o r m a lf l u e t u a t i o n ss a i dt h ef k g i n e q u a l i t i e s ，c o m m m a t h p h y s ，7 4 f 1 9 s 0 ) ，1 1 9 1 2 8 n e w m a n ，c m ，w r i g h t ，a l ，a ni n v a r i a n e ep r i n c n p l ef o rc e r t a i nd e p e n d e n ts e q u e n c e s a n n p r o b ，9 ( 1 9 8 1 ) ，6 7 1 6 7 5 【2 0 in e w m a n ，c m ，w r i g h t ，a l ，a s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e sa n dm a r t i n g a l ei n e q u a l i t i e s zw a h r y e r w g e b i5 9 ( 1 9 8 2 ) 3 6 1 3 7 1 f 2 1 】p e t r o v ，v v 。，s 1 1 1 n 1 9 o fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s rb e r i i 蠕h e i d e i b e r 9 ，n e wy o r k ； 印r i n g e r ( 1 9 7 5 ) 【2 2 】s i m o n ，b ，c o r r e l a t i o ni n e q u a l i t i e sa n dt h em a s sg a p 试p f 垂1 2 ，i d o m i n a t i o nb yt h et w