（应用数学专业论文）有限步随机游动的最佳停时研究.pdf

摘要 摘要 随机游动是随机过程中最简单、最重要的特例。在随机过程和相关文献中研究的随 机游动都是无限制的，基于大数定律基础之上的。而在实际应用中，尤其在经济学、生 物学、预测等领域经常会遇到具有吸收壁的、有限制的具有小样本行为的随机游动模型。 与该类模型相关的最优停止问题( 简称为o s p ) ，在现实领域如网络、股市、随机控制尤 其是在博弈领域中有相当大量的重要应用，吸引着越来越多的研究者。 本篇论文首先提出了一个通过有限步简单随机游动到达吸收壁的博弈论游戏，阐述 了最优停止点( 也就是达到最大利润的吸收壁值) 问题，通过在数轴上建立其数学模型 将问题简化，接着以古典概率的计算为基础，给出了当随机游动的总次数m 取较小值 时最优停止点的求解过程，由此为出发点，分情况讨论了n m 与n m 时利润函数 的表达式及最优停止点k + 的求解思路，并借助计算机进行模拟，使问题的答案更加形 象、具体。最后从极限的角度讨论了布朗运动与随机游动的关系，为布朗运动的小样本 深入研究提供一种思路。 关键词随机过程简单随机游动吸收壁随机游动的最优停止点 a b s t r a c t a b s t r a c t r a n d o mw a l ki so n eo ft h es i m p l e s ta n dt h em o s ti m p o r t a n tr a n d o mp r o c e s s e si ns p e c i a l c a s e i nt h er a n d o mp r o c e s s e sa n dm o s te x i s t i n gl i t e r a t u r e ，t h er a n d o mw a l k sa r ei n v o l v e di n i n f i n i t e - s t e p sa n db a s e do nt h el a w o fl a r g en u m b e r s h o w e v e r ，i nm a n yr e a la p p l i c a t i o n s ， e s p e c i a l yi nt h ef i e l d so fe c o n o m i c s ，b i o l o g ya n dg a m b l i n gg a m e s ，w eh a v et od e a lw i t ht h e f i n i t e s t e pr a n d o mw a l kw i t ha b s o r b e n tb o u n d a r i e s o p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m ( o s p ) o fr a n d o mw a l k sw e r ef o u n dt oh a v eac o n s i d e r a b l e n u m b e ro fi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nr e a lf i e l d ss u c ha sn e t w o r k s ，s t o c km a r k e t ，s t o c h a s t i c c o n t r o l ，e s p e c i a l l yi nt h ef i e l do fg a m b l i n gg a m e ，w h i c hh a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r e r e s e a r c h e r s t h i sp a p e rp r o p o s e sag a m b l i n gg a m eo ff i n i t e - s t e ps i m p l er a n d o mw a l kw i t ha b s o r b e n t b o u n d a r i e s w ea d d r e s sap r o b l e mo fo p t i m a ls t o p ，w h i c hi sd e f i n e da st h ea b s o r b e n t b o u n d a r yv a l u ew i t hm a x i m u mp r o f i t w em a k et h i sp r o b l e mm o r es i m p l ew i t ht h eh e l po ft h e m a t h e m a t i c sm o d e lo nt h ea x i s b a s e do nt h ec l a s s i c a lp r o b a b i l i t yc o m p u t a t i o n ，w eg i v eo u t t h es o l v i n gp r o c e s so ft h i sp r o b l e mw h e nt h ev a l u eo fmi ss m a l l ，t h e nw ed i s c u s st h e e x p r e s s i o no ft h ep r o f i tf u n c t i o na n dt h eo p t i m a ls t o p p i n gt i m e k w h e nn mo r n m ，a tt h es a n l et i m e ，w eg i v eo u tt h es i m u l a t i o n sw i t ht h eh e l po fc o m p u t e r , w h i c h m a k e st h ep r o b l e mm o r ev i s u a la n ds p e c i f i c f i n a l l y ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i po fr a n d o m w a l ka n dt h eb r o w n i a nm o t i o nw h i c hg i v eo u tat r a i no f t h o u g h tt ot h es m a l ls a m p l eb e h a v i o r o ft h eb r o w n i a nm o t i o n k e y w o r d s r a n d o mp r o c e s s s i m p l er a n d o mw a l k a b s o r b e n tb o u n d a r i e st h eo p t i m a l s t o p p i n gt i m eo fr a n d o mw a l k i l 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 储签名：刍挲函日期：皇孕年上月土日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方格内打“4 ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 标懈商动岳孚主倦榔 的学位论文，是我个人在导师( 旦联瞍) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 刍芟窑函日期：塑4 年二量月土日 作者签名： j 立老函 导师签名： 日期：耳年月j l 日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究工作的来源与意义 随机环境中的随机过程是概率论的一个新的分枝，是研究随机现象变化发展过程的 理论，它产生于上世纪初期，是由于物理学、生物学、通讯与控制理论、管理科学等方 面的需要发展起来的。而随机游动是随机过程中最简单，历史最悠久且充满活力的一类 过程，因此是随机过程研究的重要模型之一。许多不同类型的重要随机过程都可以看成 是它的泛函或某种意义下的推广，因此了解并研究随机游动的性质可以给其它较一般随 机过程的研究提供必要的感性认识与启迪。对随机游动不断深入的研究使它不仅渗透到 偏微分方程、调和函数、计算方法、控制论等数学领域，而且在生物学、化学、物理学、 工程、经济管理、金融等学科中也成为不可缺少的研究工具f 1 6 1 。 正是由于它具有广泛的应用前景，故白7 0 年代初随机环境中的随机游动理论确立 以来，一直被人们关注和研究。从确定环境推广到随机环境，不仅由于一些结果会遇到 本质性的困难，还因为随机环境情形会出现许多新问题，需要许多新概念和新方法，而 这些正是随机环境中随机游动理论的精华所在。经典随机游动理论研究的主要还是确定 情形下的游动，其转移函数不含随机变量，不随时间或空间的变动而改变，同时具有时 齐性和空齐性，可以视为独立同分布随机变量的部分和系列。我们知道，确定情形在现 实生活是极为罕见的，比如：空间中所充物质不一样，粒子在各个位置的波动方式会有所 不同；随着时问的推移，赌徒的状态不断变化，每一赌局的胜算自然不尽相同。因此， 在许多情况下，需要考虑随机的因素，如粒子的波动，人口模型的种族繁衍，必须考虑 外在环境的影响。一般说来，环境的变化不是没有规律，而是遵循一定概率分布的。因 此，在随机游动中引入随机的环境因素十分必要。随机动力系统，实际物理模型以及现 实生活的种种实例表明，带随机环境的随机游动适用范围较经典随机游动广泛得多。由 于此类过程的转移函数含有随机参变量，不能保证时齐性或空齐性，某些结果难免会遇 到实质性问题，如常返状态与瞬时状态是否互相排斥，马氏性能否满足等。还有其它新 的困难都使得传统的随机游动研究途径不再适用，因而需要新的定义和新的研究手段。 在随机过程和有关文献中研究的随机游动类型为：直线或半直线上的广义随机游 河北人学理学硕十学位论文 动；直线或半直线上的具有反射壁的随机游动；直线或半直线上的具有一个或两个吸收 壁的随机游动。这几种随机游动都是无限制的，基于大数定律基础之上的。而在实际应 用中，尤其在经济学、生物学、预测等领域经常会遇到有限制的、具有小样本行为的随 机游动模型，与该类模型相关的最优停止问题( 简称为o s p ) ，吸引着越来越多的研究 者。这也是本文要做的主要工作。 1 2 本课题的国内外发展现状 随机游动的研究有一百多年的历史，但它真正的发展却是近二三十年的事。一维随 机环境中的随机游动首先由m v k o z l o v 提出，随后s o l o m o n 借助于马氏链的理论，讨 论了该模型的基本性质和大数定律。s a l i l i ( 1 9 9 9 ) 进一步推广了s o l o m o n 的模型，当 环境是平稳遍历时，他给出了常返与暂留准则，并利用从粒子观点看环境构造相应的马 氏链来研究相应的大数定律与中心极限定理。接着c h e m o v ，t e m k i n 对它的增长速度问 题作了大量研究。h k e s t e n ，m v k o z l o v 和f s p i t z e r 证明了该模型有稳定的增长速度， 同时得到了该模型的中心极限定理。s a k a l i k o w 给出了高维一般坏境中随机游动的统 一模型及其常返暂留准则，引发了学术界研究高维随机游动的极大兴趣，成果层出不穷。 柳向东研究了一维非紧邻的随机游动与可跳无穷远点的随机游动及高维随机环境中的 随机游动，他得到了相应的0 1 律和常返与暂留准则及大数定律。z e i t o u n i o 整理成一整 套完整的体系，其内容包括：常返暂留准则，大数定律，中心极限定理，等等。在这方 面研究逐步完善的同时，n a w o z t k i k 引入平稳的时间随机环境下马氏链的一般性的理 论，c o g b u r n 借助于马氏链的l 理论，发展了该理论。o r e y 和b d h u g h e s 整理了这方 面的结果，讨论了状态的分类，保守集与最小闭集的的存在性，不变测度，大数定律与 中心极限定理等相应的问题【】。 c s o r g o h o r v a t h 和r a v e s 讨论了随机环境中随机游动局部时的稳定性；b o l d r i g h i n i ， i g n a t y u k 等研究了中心极限定理成立的条件；胡迪鹤讨论了绕积马氏链的相关问题，引 进了一系列特征函数并讨论它们之间的关系；肖争艳讨论了绕积马氏链的状态分类；汪 荣明研究了状态空间为非负整数的一类随机环境中的随机游动，讨论了该随机游动的零 常返性，并计算了这一模型的吸收概率和具有两个吸收壁的生死链的平均吸收时间；王 文娟、唐加山考虑了平面上长方形格点区域中具有四条吸收壁的对称随机游动，给出了 该随机游动被某一条吸收壁吸收的概率和被边界吸收的平均吸收时间；毕秋香，陆中胜 第1 章绪论 讨论了半直线上随机环境中的随机游动的常返性，并进一步讨论了其正常返性以及极限 性质等若干性质【1 6 1 。毕秋香与柳向东讨论了在零点具有反射壁的右半直线上随机环境中 的随机游动，给出了其常返与暂留准则和在非常返情形下的大数定律。吴文忠【1 5 】介绍了 随机环境中一维紧邻随机游动的极限性质；李应求，胡杨利【1 4 1 计算了随机环境中广义随 机游动的灭绝概率：王熙照【1 1 等提出了带有吸收壁的有限步随机游动的模型；张玉芬【1 6 】 讨论了具有三条吸收壁的有限步随机游动。 1 3 本课题研究的主要内容 本文所研究的模型( 如图1 ) 数轴上的一个点从x = n 开始随机游动，其中n 是正整 数，假定此点的当前位置是x ，这罩x 是整数，接着，此点下一步将以o 5 的概率游动 到x + 1 或x 一1 ，在经典的教科书中，这种随机游动称为简单随机游动。x = 0 , x = n + k 为吸收壁，其中k 为正整数，总的游动次数最多为m 。当点游动至两个吸收壁中的任 何一个或者达到总次数m ，随机游动停止。 本文研究的主要问题是： ( 1 ) m 取较小值时，最优停止点k + 的取值情况。 ( 2 ) n m 与n m 时利润函数的表达式及最优停止点k 的求解方法。 ( 3 ) 将问题的结果进行计算机模拟，使之形象、具体化。 x 一1xx + 1 qnn+k 图l 带吸收壁的简单随机游动 本文分为5 章。第l 章首先介绍了课题的背景、意义、发展现状以及本文的主要内 容。第2 章对课题涉及的有关知识，作了简明的介绍。第3 章对基于简单随机游动有限 步到达吸收壁的最优停止问题进行了探讨，得到了一般结果，并将结果进行了计算机模 拟。第4 章讨论了布朗运动与随机游动的关系。第五章给出了本课题存在的问题及今后 的发展方向。 河，| 匕人学理学硕f ：学何沦文 第2 章预备知识 这一章，我们简要介绍本课题涉及到的相关知识，为后面的讨论奠定理论基础。 2 1随机过程中的相关概念及几种重要的随机过程 2 1 1随机过程中的相关概念 随机过程通常被视为概率论的动念部分。在概率论中所研究的随机现象，都是在概 率空间( q ，尸) 上的一个或有限多个随机变量的规律性。随着科学技术的发展和实际问 题的需要，我们必须对一些随机现象的变化过程进行研究。这罩我们将研究的无穷多个 ( 可能不是相互独立的) 随机变量，称为随机过程。随机过程的历史可以追溯到2 0 世 纪初g i b b s ，b o l t z m a n 和p o i n c a r e 等人在统计力学中的研究工作，以及后来e i n s t e i n ， w i e n e r ，l e v y 等人对b r o w n 运动的研究。而整个学科的理论基础是由k o l m o g o r o v 和 d o o b 奠定的，并由此开始了随机过程理论与应用研究的蓬勃发展阶段【1 1 】【2 0 五3 1 。 定义2 1 t 1 2 1 1 2 4 i 设( q ，f ，p ) 是概率空间，t 是给定的参数集，若对每个t t ，有一个 随机变量x ( t ，e ) 与之对应，则称随机变量族 x ( t ，e ) ，t t ) 是( q ，d 上的随机过程，简 记为随机过程 x ( f ) ，t t ) 。t 称为参数集，通常表示时间。x ( t ) 表示系统在时y 么l j t 所处 的状态。x ( t ) 的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为，。 值得注意的是，参数t 可以指通常的时间，也可以指别的，当t 是向量时，则称此随 机过程为随机场。 从数学的观点来说，随机过程 x ( t ，p ) ，t t ) 是定义在t xq 上的二元函数。对固定 的t ，x ( t ，e ) 是( q ，f ，一上的随机变量；对于固定的e ，x ( t ，e ) 是定义在丁上的普通函数， 称为随机过程 x ( t ，e ) ，t t ) 的一个样本函数或轨道，样本函数的全体称为样本函数空 间。根据参数集r 及状态空间，是可列集或非可列集，可以把随机过程分为以下四种类 型： ( 1 ) r 和都是可列的； 第2 章预备知识 ( 2 ) 丁非可歹0 ，可歹0 ； ( 3 ) 丁可歹0 ，非可歹0 ； ( 4 ) r 和，都非可列。 2 1 2 几种重要的随机过程1 2 】【2 4 】 随机过程还可以根据其概率结构进行分类。下面简单介绍几种常用的随机过程。 1 、正交增量过程 定义2 2 设 x ( f ) ，t t ) 是零均值的二阶矩过程，若对任意的t i t 2 t 3 t 4 t ，有 e x ( t 2 ) 一r ( ) x ( 岛) 一x ( ) 】= 0 则称x ( t ) 为正交增量过程。 2 、独立增量过程 定义2 3 设 x ( f ) ，t t ) 是随机过程，若对任意的正整数n 和 t 2 f 。t ，随 机变x ( t 2 ) 一x ( ) ，x ( 岛) 一x ( 乞) ，x ( t ) - - x ( t n 1 ) 是相互独立的，则称 x ( f ) ，t t ) 是独 立增量过程，又称可加过程。 3 、马尔可夫过程 定义2 4 设 x ( f ) ，t t ) 是随机过程，若对任意的正整数n 和 t 2 = p x ( 乙) 吒阻( 乙一1 ) = 吒一i ) 则称 x ( f ) ，t t ) 为马尔可夫过程。 4 、正态过程和维纳过程 定义2 5 设 x ( f ) ，t t ) 是随机过程，若对任意的正整数n 和 ，乞，t 。t ， ( x ( f 1 ) ，x ( 乞) ，x ( 乙) ) 是刀维正态随机变量，则称 x ( f ) ，t 乃是正态过程或高斯过程。 j 下态过程的一种特殊情形维纳过程，在现代随机过程理论和应用中也有重要的意 义。 定义2 6 设 ( f ) ，埘 t 0 则称 形( f ) ，砌 t o o ) 为维纳过程，也称布朗运动过程。 5 、平稳过程 定义2 7 设 x ( f ) ，t t ) 是随机过程，如果对任意常数f 和正整数刀， + f ，乞+ f ，乙+ f t ，t l9 f 2 ，乙t ，( x ( ) ，x ( 乞) ，x ( 乙) ) 和 ( x ( + z - ) ，x ( t 2 + f ) ，x ( 乙+ f ) ) 有相同的联合分布，则称 x ( f ) ，t t ) 为严平稳过程， 也称狭义平稳过程。 定义2 8 设 x ( f ) ，t t ) 是随机过程，如果 ( 1 ) x ( f ) ，t n 是二阶矩过程； ( 2 ) 对任意t t ，m x ( f ) = e x ( t ) = 常数； ( ) 对任意s ，t t ，r x ( s ，f ) = e ( x ( j ) x ( f ) ) = 戤( s - t ) ，则称 x ( f ) ，t t ) 为广义平稳过 程，简称为平稳过程。 若r 为离散集，则称平稳过程 x ( f ) ，t t ) 为平稳序列。 2 2 马尔可夫链的基本概念7 1 定义2 9 ( m a r k o v 链) 随机过程 x n ，刀= 0 , 1 ，2 ) 称为m a r k o v 链，若它只取有限或 可列个值毛，骂，岛，对任意的刀0 及状态i ，j ，i o ，一。有 尸 以+ 。= l 蜀= 毛，工= ，置= 之，以一。= ，以= n = p 以+ 。= 卅以= f ) 上式刻画了m a r k o v 链的特性，称为m a r k o v 性。 定义2 1 0 ( 转移概率) 称条件概率尸 以+ 。= l 以= f ) 为m a r k o v 链 以，刀= 0 , 1 ，2 ) 的一步转移概率，简称转移概率。 定义2 1 1 ( 时齐m a r k o v 链) 当m a r k o v 链的转移概率p 咒+ 。= 爿以= i ) 只与状态f ，j 6 第2 章预备知识 有关，而与咒无关时，称m a r k o v 链是时齐的，并记所= p e + ，= i 以= 班以0 ；否则， 就称之非时齐的。 定义2 1 2 ( 转移概率矩阵) 无论m a r k o v 链的状态有限还是无限，我们都可以将 助，( f ，j s ) 排成一个矩阵的形式，令 p = ( p f ) = 称p 为转移概率矩阵，一般简称为转移矩阵。 2 。3 随机游动及约束类型 p 0 2 p 1 2 p 2 2 p 3 2 ： 定义2 1 3 m 设 以) 。是独立同分布的对称伯努利随机变量序列，即对一切胛， p ( 咒= 1 ) = p ( 以= 一1 ) = 虿1 令晶= o ，最= 置，则 瓯) 。z + 就是一个取可列个状态的马尔可夫链，称为自由随机 i = 1 徘徊，也称为自由随机游动。 随机游动是随机过程中最简单、最重要的特征。自从k a r lp e a r s o n 在1 9 0 5 年首次提 出随机游动的问题以来，鉴于该问题在物理学、化学、经济学等领域的应用，很多随机 游动的模型诸如简单随机游动、对称随机游动和格随机游动被大家提出并进行了研究， 简单随机游动是其中最简单的一种，他指的是一点沿着一条直线随机游动；对称随机游 动是说一点以等可能性向每个方向游动；格随机游动指的是一点在平面或空间的格上随 机游动【l 】【18 1 。 对自由随机游动加以约束，或者说“设置障碍 ，可以导出丰富多彩的例子，包括 只取有限个状念的例子。设口 0 0 0 刀”+ j 1e 一月刀e 为了证明k ：瓦，我们做如下讨论。假设我们已经得到 甩+ 土 ，l ! 足咒2 p 1 在c ：p q ”。中，更重要的是在中心极限定理的证明中，利用这种等价近似替换。如果我 们遵循该证明的步骤，我们最终可以得到 l i mp ( 口 6 ) = 去j ：a 6 p 出 厅po 由于对任意刀，一定取某个数值，因此 p ( o o + o o ) = 1 即 l i m p ( - - o o 佃) = 1 可得 丢p 手一 通过概率计算我们知道 r o a e - 了d x ：瓜 + 。 2 = 2 万 结合以上结论，k 一定等于瓜 下面我们证明以上假设，说明存在那样的k 这将涉及到一些计算技巧。我们的目 标是证明存在一个非零的常数k ，使得 煅手= 尼 由于现在我们没有任何依据说明k 取何值，不妨设它取正值，用e 。表示，其中 c 是另一个常数( 我们接下来要进行取对数的操作，因此使用e 。会使得表示起来更简 第2 章预箭知识 便) 。现在，有 当且仅当 溉手彰 刀2 e 一” l i m l 。烈车) ：cn n + - - ，l2 e 一4 便用对数司以将乘除法转化为加减法，上式等价十 。l i m ( 1 - - ，。a o 。g ( 行! ) 一( 玎+ 三) l 。g ，z + ，z ) = c 一， 为了表示方便，令 d 。= l 。g ( 刀! ) 一( 刀+ 妻) l 。g ，z + 甩 我们想要证明当，l 趋近于o 。时，d 。收敛于某常数c 。这里我们使用一个技巧，考 虑序列 ( z - d i + 。) = ( 碣一畋) + ( d 2 一喀) + + ( 以一d 。+ 1 ) = d l 一以+ l 接下来我们证明该序列是收敛的，这就意味着d 川是收敛的，而这恰是我们的目标。 我们将要证明 k d 川i 百2 n + l 一石1 由于2 n + 1 和罗去收敛，因此我们的级数也是收敛的，这个证明过程需要较多 一i = 1 2 n 一智4 n 2 的计算。 我们知道，对任意的石，当l 叫 专时，有 l o g ( 1 州= x 一等川功 其中伊( 力是一个函数，对于所有的i 卅 专，有 河北人学理硕十学侮沦文 i p ( x ) l m 时的利润函数和最优停止点 舭= m 砌，= 笋= 志 求解最优停止点即求利润函数 m ) = ( m 砌) 万嵩丽 在约束条件：( 1 ) k = m 一2 r o 即， 渊， 竿 下的最大值点【2 1 。 由s t i r l i n g 公式，当n 较大时，有 ，z ! 赢”p 一一d - 5 从而利润函数可转化为 以，) m 卜。2 力瓦丽万李雨露而ei 丽 、u | 2 兀m m m _ m m + 三 = ( m - 2 r j 三b 2 材2 万厂”2 ( m 一，) 一2 l n 厂( 厂) = l n ( m 一2 ，) + ( m + 吉) 1 n m ml n 2 1 21 n ( 2 万) 一驴+ 三) l n ， 一( m r + 圭) 1 n 叫 一：志卅字1川n。，+等1dr2 r )( m 一 、 厂 。 朋一， r + !m - r + 2 1 - ：志乩，一字地( m 叫+ 面子 ( m 一2 ，) ， 、。 m 一， = 面- 丽2 一l n r - 1 - 上2 ，+ l n 一，) + 1 + 面1 丽( m 一2 厂) 2 ， 、 2 ( m 一，) = 一而22厂_lnr_12，+(一)+硒两1inr i nmr= 一+ l j 十_ m 一2 厂 2 ， 、 2 ( m r ) =丽_mz2r(m2 r ) + 1 n ( 丝r 1 ) 兰。一，) ( m 一 、。 求解上述关于，的隐函数方程在约束条件( 1 ) ( 2 ) 下的解，则 k = m 一2 r 1 6 - 第3 章墓丁简肇随机游动有限步到达吸收譬的最优停i 卜问题 3 2 2当n m 时的利润函数和最优停止点 p ( k = m 一2 ，) = 南= i 孑矿二i 歹f 求解最优停止点即求利润函数 m i 以，) = ( m - 2 r 矽刁焉莉 在约束条件：( 1 ) k ：必一2 r o 即， 一，( 后= 1 ，2 ，m ) 其中m 置= m 一2 ，【8 9 1 下的最大值点。 由s t i r l i n g 公式，当以较大时，有 以! 赢一e 一一【3 5 】 从而利润函数可转化为 m ) g = t m - 2 r ) 万砑丽箬篇禹丽 叫砌了型妄1 ( 2 m 一2 m - , v ) 2 j 芴r ”2 ( m r ) ”2 l n g ( r ) = l n ( m 一2 r ) + ( m + 互1 ) l n m l n ( 2 m - - 2 m - v ) 一三1 n ( 2 万) 一p + 三) 1 n ， 一似一，+ 三) l n ( 必叫 一：高卅孚川n。，+等1dr ( a z 一2 厂) 、 厂 7 、 7 f 一， r4 - !m r + !一 ，一，+ 一 = 二( m - 2 r ) 一i n r 手+ 1 n ( m - r ) + 音m rr j 河北人理硕+ 学何论文 = 面- 丽2 - l n r - 1 _ 1 2 ，+ 1 n ( m r ) + 1 + 面丽1( m 一2 ，) 2 ， 、7 2 ( m 一，) = 一而22厂lnr_12，+(一)+丽而1inr i nmr= 一+ l j 十 m 一2 厂2 ， 、 2 ( m 一，) =丽_m22r(m2 r ) + l n ( 丝r 一1 ) 竺o = 一十l t l 一一l i = 一厂) ( m 一 、 求解上述关于，的隐函数方程在约束条件( 1 ) ( 2 ) 下的解r ，则 k = m 一2 ， 3 3问题的模拟 当m 由5 增加到1 0 0 时，关于f ( r ) 和g ( ，) 的变化我们做了大量的模拟实验。从图2 图9 可以看出利润函数( ，) 和g ( ，) 的最大值点( 在上文用，+ 表示) 随着m 由5 增大到 1 0 0 的变化趋势，同时，由上文可知k = m 一2 r 。因此我们不难得到随着m 的增大最 优停止点k 的变化趋势。 我们对图2 图9 作简单分析。这些图分为两组，第一组为图2 图5 ，它们有相同 的限制条件n m ，其余图有相同的限制条件n m 。图2 是当m = 5 时的利润函数， 当厂等于1 时( 也就是说后等于3 时) ，利润函数取得最大值，这与上面的计算结果一致。 图3 是当m = 2 0 时的情况，最优值，是8 图4 是当m = 5 0 时的情况，最优值，+ 是2 2 图5 是当m = 1 0 0 时的情况，最优值r 是4 5 图6 是当m = 5 ，n = 2 5 时的情况，最优 值，是1 图7 是当m = 2 0 ，n = 1 0 时的情况，最优值，是8 图8 是当m = 5 0 ，n = 2 5 时的情况，最优值，是2 2 图9 是当m = 1 0 0 ，n = 5 0 时的情况，最优值，是4 5 我们注意到在两图组中m 取同样的值时，最优值，是相等的。这是由于s t i f l i n g 公 式的使用，该公式当，l 较大时才有效。从以上讨论我们得到：当m 取值5 ，2 0 ，5 0 ，1 0 0 时， 最优值，是1 ，8 ，2 2 ，4 5 ，相应的最优停止点k 为3 ，4 ，6 ，1 0 。 第3 市基丁简单随机游动有限步到达吸收鼙的最优停i 卜问题 图2 图9 当 m 时的利润函数 l 图2 当m = 5 时的利润函数 f 0 3 0 佶 0 1 图4 当m = 5 0 时的利润函数 当n m 时的利润函数 f 图3 当m = 2 0 时的利润函数 图5 当m = 1 0 0 时的利润函数 图6 当m = 5 ，n = 2 5 时的利润函数图7 当m = 2 0 ，n = 1 0 时的利润函数 图8 当m = 5 0 ，n = 2 5 时的利润函数 图9 当m = 1 0 0 ，n = 5 0 时的利润函数 1 9 河北人学理学硕 j 学位论文 第4 章布朗运动与随机游动【1 3 】 2 5 - 2 6 讨论布朗运动与随机游动的关系，可以为布朗运动的小样本深入研究提供一种思 路。 4 1b r o w n 运动的历史 1 8 2 7 年英国生物学家b r o w n 在显微镜下观测液面上的花粉，发现花粉的微粒作着 高度不规则的运动。但是直到1 9 世纪末，人们才清楚这种奇怪的现象是由于花粉微粒 受到大量液体分子的无规则碰撞造成的。 e i n s t e i n 通过建立b r o w n 运动的数学模型，对此现象首次做出理论的、量化的分析。 p a u ll e v y 从1 9 1 0 起数十年的工作，对b r o w n 运动的研究有着深远的影响。他的著作 ( ( p r o c e s s e ss t o c h a s t i q u e se tm o u v e m e n tb r o w n i e n ) ) ( 19 4 8 年第一版，19 6 5 年第二版) 至今 仍对这方面的研究工作有许多启示和参考价值。在l e v y 早期工作的基础上，w i e n e r 第一个( 1 9 2 3 年) 严格的给出b r o w n 运动的数学定义：构造出了一个概率空间( w i e n e r 空间) 及其上的随机过程来刻画e i n s t e i n 的物理严格意义下的b r o w n 运动。因而b r o w n 运动也叫做w i e n e r 过程。w i e n e r 的论文“d i f f e r e n t i a ls p a c e ，j m a t ha n dp h y s 2 ，1 3 1 1 7 4 是b r o w n 运动研究的里程碑。可以这样说，e i n s t e i n 首创的b r o w n 运动的数学模型， 由l e v y 和w i e n e r 大大地发展深化了。 至今，由于大量的数学家与自然科学家的工作，b r o w n 运动及其泛函的研究不断 的深入发展，它已成为随机过程的两大基石之一。它不仅渗透到偏微分方程、调和分 析、计算方法、控制等数学领域，而且在生物、化学、物理、力学、工程、经济管理、 金融等学科中b r o w n 运动也成为不可缺少的研究工具。它是“噪声 与“涨落 等随 机现象的典型，并提供处理的参考模式。 4 2b r o w n 运动的简单性质 定理4 1 设随机过程 六：t 0 ) 满足彘= 0 ，则它具有b r o w n 分布当且仅当它是 g a u s s 系( 即任意有限维( 联合) 分布都是g a u s s 分布) ，而且e 茧= 0 ，e ( 茧关) = t j 证明必要性：显然，具有b r o w n 分布的随机过程是g a u s s 系，且e 鼻= 0 又 第4 章布朗运动与随机游动 e ( 六六) = 互1e ( 参2 + 彘2 一( 参一) 2 ) = z - - ( t + s - 卜s i ) = f s 充分性：当条件成立时，我们有 e ( 六一晏) = 0 e ( 色一六) 2 = t + s - 2 ( t s ) = i t - s i e ( 参一关。) ( 参：一磊：) = t i s l o l 一5 1 ) = 0 ( 协l t l j 2 t 2 ) 可见，六一乒n ( 0 ，t s ) 由于g a u s s 系中有限个随机变量的不相关性就是独立性，因 而，对于弧l t l s 2 t 2 s 3 。) ； ( 4 ) 坍l 气，o ：t o ) ( 其中，一表示么的示性函数，t = 0 时，t b l i t o 理解为o ) ； ( 5 ) bt - t br ：0 t t ) 证明由定理4 1 及下列各式，( 1 ) 一( 5 ) 的结论显然成立： 盼e ) 咄吨) 叫击) 叫廖；) 瑙b r _ t - b t ) = 。 e ( ( 一e ) ( 一e ) ) = e ( b t 色) = t 人s e ( e + ，o e 。) ( 统+ ，0 一b t o ) = e ( e 域) = ( t4 - t o ) ( s + t o ) 一t o t o + t o = t 人s 河北人学理学硕f ：号：何论文 e 万1 ) 万1 既) = 去( ( 刀) ( 刎= e ( 即即= 括( 詈 三) = z s fj e ( ( b 7 一，一b 7 ) ( b r 一，一b 7 t ) ) = ( 丁一f ) ( 丁一s ) 一( 丁一f ) 一( 丁一s ) + t = t s 4 3b r o w n 运动的几种变化 定义4 1b r o w n 桥 设 b ，：t o ) 是b r o w n 运动。令 b ( f ) = b ( t ) 一t b ( 1 ) ，0 t 1 则称随机过程 b + ( f ) ，0 t 1 ) 为b r o w n 桥( b r o w nb r i d g e ) 。 因为b r o w n 运动是g a u s s 过程，所以b r o w n 桥也是g a u s s 过程，此过程在数理金融中 经常用到。 定义4 2 有吸收值的b r o w n 运动 设正为b r o w n 运动徊( f ) ) 首次击中x 的时刻，x 0 令 z c 。= ：。霆z l 则 z ( f ) ，t 0 ) 是击中x 后，永远停留在那里的b r o w n 运动。 对任何的f 0 ，随机变量z ( f ) 的分布有离散和连续两部分。离散部分的分布是 p = x ) = p t f ) = 面2 p 丢咖 连续部分的分稚是 p z ( t ) y ) = p b ( t ) sy ) 一p b ( t ) 2 x y ) = p b ( t ) y ) - p b ( t ) y 一2 x ) 第4 章布朗运动与随机游动 2 去丘：，p 。幽 “。 定义4 3 在原点反射的b r o w n 运动 由 】，( f ) - - 8 ( 1 ) 1 ，f o 定义的过程 】，( f ) ，t 0 ) 称为在原点反射的b r o w n 运动。它的概率分布为 p y ( t ) y ) = p b ( t ) y ) - p b ( t ) - y ) ( y 0 ) 定义4 4 几何b r o w n 运动 由 = 2 p b ( t ) 以- 1 = 南p 一丢 x ( t ) = e b ，t 0 定义的过程 x ( f ) ，t 0 ) 称为几何b r o w n 运动。由于b r o w n 运动的矩母函数为 e ( e 妇) = g 捃2 坨，所以几何b r o w n 运动的均值函数与方差函数分别为 e ( x ( f ) ) = e ( e 口) = e m v a r ( x ( t ) ) = e ( x 2 ( f ) ) 一【e ( x ( f ) ) 2 = e ( e 2 口) 一e = e 打一e 在金融市场中，人们经常假定股票的价格按照几何b r o w n 运动变化。 定义4 5 有漂移的b r o w n 运动 设 曰( f ) ) 是标准的b r o w n 运动，称 x ( f ) = b ( t ) + t t ) 为有漂移的b r o w n 运动，其中 常数称为漂移系数。容易看出，有漂移的b r o w n 运动是一个以速率漂移的过程。 河北大学理学硕+ 学位论文 4 4 b r o w n 运动作为随机游动的极限 b r o w n 运动可以作为随机游动的“极限纯数学地得到，这种理解方法不仅简单 直观，并且可为连续参数的随机过程b