（应用数学专业论文）不确定时滞系统的鲁棒控制.pdf

摘要 本文考虑状态和输入带有时变时滞的不确定系统的时滞依赖鲁棒上k 控制问题和一 类控制具有饱和特性的不确定系统的鲁棒指数镇定问题对第一个问题，运用【3 0 1 中建 立的对二次交叉项估计的积分不等式，得到鲁棒风。控制存在的状态和输入时滞依赖条 件，并且得到一无记忆状态反馈控制器保证闭环系统渐近稳定；对第二个问题，合成了一 无记忆状态反馈控制器来保证有一个容许初值域，使得这类系统的所有从容许初值域出 发的解，以给定的收敛速率指数收敛到一个给定的区域 关键词；时滞系统；积分不等式；点k 控制；有界控制器；鲁棒指数镇定 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ep r o b l e mo fd e l a y - d e p e n d e n tr o b u s th o oc o n t r o lf o ru n c e r t a i ns y s - t e r n sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y sb o t hi ns t a t ea n di n p u t ，a n dt h ep r o b l e mo fr o b u s te x p o n e n t i a l s t a b i l i z a t i o no fae l a s so fu n c e r t a i ns y s t e m ss u b j e e tt oc o n t r o ls a t u r a t i o n f o rt h ef i r s tp r o b l e m ， a l li n t e g r a li n q u a l i t yf o rq u a d r a t i ct e r m se s t a b l i s h e di n 【3 0 】i su s e dt oo b t a i nas t a t ea n di n p u t d e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fr o b u s th o oc o n t r o l ，a n de n s u r e st h es t a b i l i t yo f c l o s e d - l o o ps y s t e mw i t ham e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r f o rt h es e c o n dp r o b l e m al i n e a r m e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri ss y n t h e s i z e dt og u a r a n t e et h a tt h e r ei sad o m a i no fa d - m i s s i b l ei n i t i a lc o n d i t i o n sf r o mw h i c ha l ls o l u t i o n so ft h ec l a s so fs y s t e m sc o n v e r g ee x p o n e n t i a l l y t oab a l lw i t hap r e s p e c i f i e dc o n v e r g e n c er a t e k e yw o r d s ：d e l a ys y s t e m s ；i n t e g r a li n e q u a l i t y ；h o oc o n t r o l ；b o u n d e dc o n t r o l l e r s ；r o b u s t e x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o n 引言 时滞在工程控制设计中是一种普遍现象，如长管道进料或皮带传输、极缓慢的过程或 复杂的在线分析仪等均存在时滞现象系统模型不但与现在的状态有关，而且依赖过去的 状态另外，任何一个物理系统都不可能用一个数学模型精确表示由于对某些特性或环 节缺乏足够的了解( 即难以建模的部分) ，系统环境的变化，元器件的老化，某些物理参数 的漂移或随时间的未知变化等因素所带来的系统行为的变化都有可能导致模型不确定性 的产生所以，研究时滞及带有不确定性参数的系统的鲁棒控制具有重要意义 对线性不确定时滞系统的研究已有的结果有：文献【l4 】中研究了带有不确定参数的线 性时滞系统的鲁棒稳定性与镇定； 2 5 】，【2 4 】研究了带有不确定参数的线性时滞系统的鲁棒 日矗控制，其中【2 5 】中的状态时滞为常时滞，1 2 4 】中的状态时滞为时变的；1 2 9 】采用新的 l y a p u n o v 泛函，运用非线性矩阵不等式，改进了 2 5 】的结果，降低了保守性；【3 1 】建立了 新的有界实引理，运用非线性矩阵不等式，降低了t 2 4 1 中结果的保守性然而，已有的结 果只带有状态时滞，对同时带有状态时滞和输入时滞的结果还很少本文主要对以下两个 问题作了研究：1 状态和输入带时变时滞的线性不确定系统的时滞依赖鲁棒凰。控制问 题。2 一类控制具有饱和特性的线性不确定系统的鲁棒指数镇定问题 对第一个问题，参考文献 3 0 】中讨论了系统 ( t ) = a o z ( t ) + a l x ( t t 1 ( ) ) + b o u ( t ) + b l u ( t 一亿( t ) ) x ( t ) = ( ) ，t 【一m n z e l ，亍2 ) ，o 】 的镇定问题可以看出，系统不仅带有状态时滞，而且带有输入时滞文献【3 0 】中建立了 对二次交叉项估计的积分不等式，使得在( a o ，岛) 或( 山+ a 1 ，岛) 不可控时，所设计的无 记忆状态反馈控制器也能保证闭环系统的稳定性本文基于文献【3 0 】的结果，考虑上述系 统在带有外扰u ( ) 和系数带有不确定参数时的鲁棒巩。控制问题即研究系统 圣( t ) = ( a o + a o ( t ) 净( t ) + ( a 1 + a a l ( t ) ) x ( t 一7 1 ( t ) ) + ( j 而+ b o ( t ) ) t ) + ( b 1 + a b l0 ) ) u o 一7 j ( t ) ) + b 。w ( t ) c x ( t ) + d 。w ( t ) q x ( t n ( t ) ) d u ( t ) z ( t ) = 咖( t ) ，t 【- m a z e l ，亍2 ) ，0 】 的鲁棒巩。控制问题对外扰和不确定项主要有以下假设： 假设1 外扰w ( ) l 2 0 ，o o ) 假设2 时变不确定矩阵a a o ( t ) ，a l ( t ) ，岛( t ) ，a b l ( t ) 具有如下形式t 【山( ) ，a a i ( t ) ，a b o ( o ，b 1 ( t ) 】= 蚍f ( t ) 【v 如，1 d ，n o b ，n 1 6 】 其中地， k ，l 。， n l b 是常矩阵，f ( t ) 卵。是未知实矩阵且满足f 丁( ) f ( t ) i 对第二个问题，参考文献 1 】中讨论了系统 圣( t ) = a x ( t ) + a d x ( t 一九0 ) ) + b s a t ( u ( t ) ) + e f ( t ) x ( t o + 8 ) = ( s ) ，8 【一r ，o 】，i 乃 的鲁棒指数收敛性可以看出，系统不但带有具有饱和特性的控制器，而且带有有界外部 扰动。运用线性矩阵不等式( l m i ) 处理方法，合成了一无记忆线性控制器，扩大了容许初 值条件域，使碍从容许初值域出发的系统的状态轨线，以给定的指数收敛速率一致指数收 敛到给定的区域本文考虑上述系统在系数带有不确定参数时的鲁棒指数收敛性即考虑 如下系统： 圣( t ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) + ( a d + a a d ( t ) ) x ( t 一 ) ) + b s a t ( u ( t ) ) + e f ( t ) z ( t o + s ) = ( s ) ，8 【_ f ，o 】，g 的指数收敛性对不确定项的假设为 2 假设3 不确定项a a ( t ) ，k a d ( t ) 具有如下形式 a a ( t ) = m 怕( ) ，a a d ( t ) = m 妒l ( t ) 其中也( t ) ，i = 0 ，1 是t 的未知矩阵值函数，且假定砒( t ) ，i = 0 ，1 是l e b e s g u e 可测且是范数 有界的，即i i 砒( t ) f i - - - 雁，i = 0 ，1 p i 为已知常数 记号：上标1 代表矩阵的逆，t 代表矩阵转置，舻为礼一维欧氏空间，舻m 为所 有n m 实矩阵集合，p 0 表示矩阵p 正定，i 表示单位矩阵，d i a g ) 表示准对角 矩阵， 对称矩阵的对称项用+ 表示，如 ：y z z = y ：y z 【j【 t j 3 第一章状态和输人带时变时滞的不确定系统的时滞依赖鲁棒日0 控制 关于时滞系统的o 。控制问题的研究，已有的结果可以分为两类：时滞依赖和时滞独 立一个依赖于时滞的k 控制器保证闭环系统对所有满足t ( t ) r 的时滞r ( t ) 是渐近 稳定的，且满足一指定的凰。性能指标而一个时滞独立的磊k 控制器保证闭环系统对 任意大的时滞r ( t ) 都是渐近稳定的，且满足指定的凰。性能指标近来，时滞依赖的反 馈设计是研究的热点时滞依赖三k 控制的目标是设计控制器，使得对一固定的风。性 能指标得到允许的时滞的一个上界或对一个给定的时滞的上界得到一最小的日o 。性能指 标时滞依赖风。控制器的保守性主要在于模型变换和对交叉项的估计为减少时滞依赖 的保守性，有许多不同的方法，要么选择新的l y a p u n o v 泛函，如【2 9 】采用新的l y a p u n o v 泛函，与f 2 5 】的结果相比，降低了保守性；要么对交叉项找一个新的估计界本文采用【3 0 】 中建立的积分不等式，为二次交叉项找到了一个新的上界所考虑的系统不仅带有状态时 滞，而且带有输入时滞即考虑如下系统 士( t ) = ( a o + a a o ( t ) ) x ( t ) 十( a 1 + a a l ( t ) ) x ( t 一7 1 ( ) ) + ( b b + b o ( t ) ) u ( t ) + ( b 1 + a b l ( t ) ) u 一亿o ) ) + z k “，( t ) 名( ) = c z ( t ) 十巩u ( t ) c d x ( t r 1 ( t ) ) d u ( t ) x ( t ) = 妒( t ) ，t 【一m a x 7 l ，亍2 ) ，0 】 的时滞依赖鲁棒月k 控制问题 4 1 1 系统描述及准备工作 考虑如下带状态和输入时游的线性系统： 士( 。) = ( a o + a a o o ) ) z ( t ) + ( a 1 + a a i ( 。) ) z o q ( ) ) + ( 1 1 ) ( b o + a b o ( t ) ) u 0 ) + ( b l + a b l ( o ) u ( t 一亿( t ) ) + z 乙u ( f ) c z ( t ) + d w w ( t ) c a x ( t n ( t ) ) d u ( t ) ( 1 2 ) x ( t ) = 咖( t ) ，t l - m a x 亍l ，亍2 ，o 】 ( 1 3 ) 其中x ( t ) 跪”是状态，u ( t ) 敬是控制输入，u ( t ) 舻是外部扰动输入，且w ( t ) l 2 o ，o o ) ，z ( t ) 科是受控输出，勘，a l ，岛，马，玩，e q ，d ，既是已知常实矩阵，口( t ) 是时变对滞，t = 1 ，2 ，且假定n ( ) 满足0 0 ，标量函数r ：= r ( t ) 0 ，下面积分不等式成立： 一名! r 圣r ( s ) _ x 圣( s l s t ( ：m t + “- m l _ r + m 2 ( t ， 。， 似飞，一 尬小， 。 引理4 ( 【2 9 】) 设m ，f i 和是适当维数的实矩阵，f = d i a g f 1 日 ，掣最， i = 1 ，r ，则对任意实矩阵h = d i a g a l l ，n 0 ，下面不等式成立； m f n + t f t 彳t m a 彳r + r a 一1 ( 1 1 0 ) 7 1 2 标称系统的日矗控制 为了便于理解，我们首先考虑下面标称系统： ( t ) = a o x ( t ) + a l x ( t 一丁1 ) ) + b o u ( t ) + b t u ( t 一他0 ) ) + b u w ( t ) z ( t ) = c x ( t ) + d 扣( t ) c d x ( t 一7 1 ( t ) ) d u ( t ) z 0 ) = 庐( t ) ，t 【- m a x f l ，亍2 ) ，o | 由( 2 1 ) 和( 1 , 5 ) 构成的闭环系统为； ( ) = a k x ( t ) + a l x ( t n ( ) ) + b k x ( t 一仡( t ) ) + b u w ( t ) c x ( t ) + d 。w ( t ) c d z ( t t 1 ( t ) ) d k x ( t ) z ( t ) = 毋( t ) ，t 【一m a , x ? l ，亍2 ) ，o 】 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中 a k = a o + b o k ，b k = b 1 k( 2 3 ) 定理1给定标量- y 0 ，矗 0 ，i = 1 ，2 给定九，z i , i = 1 ，2 ，对任意满足0 0 ，易 0 和国 0 ，使得下面矩阵不等 式( 2 4 ) 成立，则系统( 2 2 ) 渐近稳定，且对任意非零u ( t ) l 2 0 ，o o ) ，在零初始条件下， 有恻f 2 0 ，z l 0 ，历 0 沿系统( 2 2 ) ，v ( x t ) 对时间的导数为； 9 由 矿( 吼) x t ( t ) a 乏尸z ( t ) + x t ( t t 1 ( t ) ) a t p x ( t ) + x t ( t v 2 ( t ) ) b t p x ( t ) + t 0 ) 磁p x ( t ) + x t ( t ) p a l f x ( t ) + x t ( t ) p a l x ( t n ( t ) ) + x t ( t ) p b k x ( t 一亿( t ) ) + z t ( ) p 上乙( t ) + 垂弓圣t ( t ) z j e ( t ) 一( 1 - f l ( t ) ) x r ( t r l ( ) ) q 一n ( t ) ) j = 1 + x t ( t ) q x ( t ) 一塞正椰) ： t ( s ) z j s c ( s ) d s = 1 。 ( 2 6 ) 其中 则 其中 一位q t ”矿c 8 ，勿圣c s ，d i 谚：t ， m 舌：尬。：篙二麓 珊( 。： 帅，虿1 地岣 _u y ( 钆) + ) = h ( t - ，- j ( 引川，2 x ( t ) x ( t 一丁1 ( f ) ) u ( t ) 1 r x ( t ) x ( t n ( t ) ) 2 0 一r 2 ( t ) ) 甜( t ) f 日+ 垂弓r z j r l l l j 2 1 j 亍l 珂彳1 r 。+ 亍2 r 手虿1 r 。 1 0 x ( t ) z ( t 一丁1 ( t ) ) x ( t r 2 ( t ) ) u ( t ) x ( t ) x ( t n ( t ) ) x ( t 一亿( ) ) u ( t ) ( 2 8 ) h = 日1 1p a l 一坞+ m z l 一( 1 一p ) q a 塌一 如l p b k m 琶十m 2 z p b 。 0 一坞一m 2 2 0 0 o h 1 1 = p a k + a 嚣p + q + 瑶+ m n + 堰+ m 1 2 ， r 1 = 一玩】，r 2 = 卜。 1 r 3 = 。b 为了证明肛( 洲2 圳“，( t ) 恢把j o 改写成如下形式； 以。：- ”【z 7 ( t ) 2 0 ) 一一r 2 u t o ) u ( t ) + 矿( 观) 】出+ 矿( 研) i t ：o y ( 锄) f k 。 j o 因为在零初始条件下；y ( 魏) i ：0 = 0 ，v ( x o i t ：o o 0 所以 + 其中 x ( t ) z ( t t 1 ( t ) ) z ( t r 2 ( t ) ) u ( t ) i - i = = 。7 如j f 2 。r ( ) z ( ) 一1 2 r ( 亡) 山( t ) + l ? ( x t ) d t 露 丁 x ( t ) x ( t n ( t ) ) z ( t 一见( t ) ) u ( t ) 口音 x ( t ) z ( t r l ( t ) ) z ( t 一他( t ) ) u ( t ) 卜t z f i f 2 + 亍2 f 澍r 。+ j 圭= l 珊矾 西1 l 西1 2 垂1 3c r r d ，+ 尸上乙 0 0 珑d 。一千i x ( t ) z ( t r 1 ( t ) ) x ( t 一死( t ) ) u ( t ) 壬1 1 = 日1 l + c t c + k t d t d k 圣1 2 = p a l 一m 齐+ m 2 l ( i 1 3 = p b k m t ：+ 尬2 ， 西2 2 = 一( 1 一p ) q 一 锈一m 2 l + c 子c 台，( i ，3 3 = 一a 锡一m 2 2 1 1 ( 2 1 0 ) o 蚝 屹 + 牛 要使以。 0 ，只需下面矩阵不等式成立 b 亍1 r 亍2 r 亍l r 亨亍2 r 手 一于l z f l 000 一亍2 z f l 0 0 当u = 0 时，下面矩阵不等式保证矿 0 一亍l z l o 一亍2 历 0 f 2 1 1 ) 壬l l 西1 2 垂1 3 于l a 五于2 a 嚣亍1 埘磊于2 城 西2 2 0 亍1 4 亍2 a 于x m t 0 圣3 3 亍1 b 磊亍2 礤0 亍2 锡 一a z f l 000 tl $+ 一而虿1 00 一亍l z l 所以闭环系统满足( 项n 为了得到一控制器增益k ，采用文献【3 0 】中的方法，令 w = 则 p000 m nm 2 1 00 m 1 2 0 m 2 2 0 oooj a = a ka 1 il jo 壤c 0 o 一危z 2 b k玩 00 一，0 0 翌丝2 = 翌! 0 ( 2 1 2 ) - _ = = w 丁a + a r w + d i a g c t g + k t d 丁d k 十0 ，一( 1 一p ) q 十四c 0 ，0 ，0 ) 巧= w t o o o r 芋= w f o 0 o 考虑当m 1 l = a 1p 缸2 = a 2p ，m 2 1 = m q ，m 2 2 = 抛p ，p 1 0 ，p 2 0 时的情形，则w 可逆， p 一10 一a l p i l q 一1p i l q 一1 一a 。，。- 1 p 一1 0 oo 令t = d i a g w ，j ，j ，彳1 ，巧1 ) ，那么 t t e t ： 00 0 o 阿1 p 一1 0 oj 所亍l - t 砰亍2 一t r t亍l 町亍2 孵 $ 一亍1 2 1 1 0 oo o 0 一亍2 z f l ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中： 坼= a w 一1 + w 一丁a 丁+ w t d i a g c v c + k r d r d k + q ，一( 1 一u ) q + g 手c 台，0 ，o w 一1 吣o 卵00 耻o0 万1 01 把( 2 3 ) ，( 2 1 a ) 代入( 2 1 4 ) 中，令户= p 一，2 1 = z f l ，易= z f l ，国= q - l , y = k p 一1 经过运 算，则若矩阵不等式( 2 4 ) 成立，有t t e t o ，i = 1 ，2 给定凡，以，i = i ，2 ，对任意满足0 0 ，易 o ，0 0 ，和 a 2 d i a g a l ，n r ) ，使得下面矩阵不等式( 3 1 ) 成立，则系统( 1 1 ) 渐近稳定，且对任意非 零u ( t ) z 2 0 ，o 。) ，在零初始条件下，有1 1 2 1 1 2 圳u 怯此时，一鲁棒h o o 控制器可选为 n ( t ) = y p i 。( ) ， 其中： o l le 1 20 1 3 1 4 1 5e 1 60 0户 e 2 2e 2 3 0 2 5e 2 6 竹2 100 t 0 3 3 0 3 5 3 6 0 亍2 2 2 0 ttt e 4 4 4 5e 4 6 00 0 e 5 5 0 000 e 6 6 0 00 十 0 7 7 00 o s s 0 9 9 9 0 ， 从容许初值条件集p ( n ) 一致指数收敛到球b ( r ) ，若对所有初值条件p ( 。) ，存在 】7 扩( 0 曲 0 ，使得 0 。( t ) i l r + 旷( 1 l 西c ) e 一1 “一t o ) ，三t o( 1 7 ) 若r = 0 ，则平衡点z ；0 对容许初值条件集p ( n ) 是一致指数稳定的 引理l( f l 】) 设9 ( t ) 为一连续可微函数，对所有t2t o f 有a ( t ) 20 ，且舻 s u p t o t j 鲕9 ( s ) 设 口( t ) - a l g ( t ) + o r 2 s u p t r 5 t 9 ( s ) + ，t2t o 其中n 1 ，n 2 和为正常数若0 o t 2 o l i ，则 其中 1 是 的唯一解 g ) sr + e 一1 “一t o ) ，t2 t o r = 专n 1 一q 2 一 = - c t l + a 2 e 7 7 1 8 2 2 主要结果 在叙述本文的主要结果之前，我们运用类似于【2 0 】的方法把饱和系统表示成一多面体 模型 s a t ( 耳z ( ) ) = ： f ( q ( z ) ) z ( t ) ( 2 1 ) 其中m ( 町( z ) ) r ”。“为对角矩阵主对角元0 u o i ， 1 t ，一u o i k x ( t ) u o i ， ( 2 2 ) 一孝高# ，磁z ( t ) 0 ，假定存在对称正定矩阵x 舻”，矩阵z 舻“和标量p o ，如 o ，矗 0 和 0 满足下面矩阵不等式 x a r + a x + 硝+ b m ( 竹) z + m ( ) b t + a a l a t + e e t f 2 6 1 + 导o p o m m t + 车1 p 1 m m t + 莳1 x x t o 仁r ， 【裹警卜吐。m 协砷 x 一等厶 0 ，注意到k = z p 则 矿0 ( t ) ) j 2 ：m l 砖( t ) 陋t ( t ) a t + p z t m ( 7 f ) b t i f + p a + b m ( 1 j ) z p + 口p a d a f f p 十p e e t p + o p o p m m t p + 锈1i + l p t p m m t p x ( t ) 十口一1 $ t 一 ( ) ) z p 一 ( t ) ) + f l z t ( 一 o ) ) z 0 一 0 ) ) + 砖 若( 2 6 ) 满足，则 咖) ) 叫啪十毫筹s m 蜓删s ) ) + 砖 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 为得到上面不等式，我们运用了；三1x a t ) = 1 和 ( a - 1 + 矿( ( t ) m ( t ) ) s 毛辫s 鳓- r _ s t v 似s ) ) 运用p = x 。易看出( 2 9 ) 保证 胁! a 羔m i n ( 芷p ) + 弓 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 集e o = 扛舻：x t p x s l 是系统( 1 1 ) 的严格不变集我们要证 矿( 。) o , v x a e o ，v f ，? ，s 砖 ( 2 1 7 ) 其中a 钿是o 的边界若( 2 7 ) 和( 2 8 ) 满足，则对任意z ( t o + 8 ) = 毋( s ) p ( o ) ，v s 【一r ，o 】 有z ( t ) e 1 和z ( t ) f oc 2 0 ( k ，培) ，v t 【t o r ，t o 假定在t l = i n f l t o ，+ o o 】时，轨线z ( t ) 到达e o 的边界，则有y ( z ( 1 ) ) = 1 且s u p t i - r s u p t o - - r s 蔓f o 矿( 。( s ) ) + 、；磊一。，“t 幻，t2 如e 。， 可以看出，当a s = 0 时，由上式，系统是一致指数稳定的且l i m t 。o 。f iz ( t ) i i - - 0 ，系 统的解是一致渐近稳定的 2 1 参考文献 1o u c h e r i a h ，s r o b u s te x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c eo fac l a s so fl i n e a rd e l a y e ds y s t e m sw i t hb o u n d e d c o n t r o l l e r sa n dd i s t u r b a n c e s a u t o m a t i c a4 2 1 8 6 3 - 1 8 6 7 ，j u l y2 0 0 6 【2 1 e f r i d m a na n du r is h a k e d ad e s c r i p t o rs y s t e ma p p r o a c ht 0 kc o n t r o lo fl i n e a rt i m e * d e l a y s y s t e m s i e e et r a n s a u t o m a t c o n t r , v 0 1 4 7 ，n o 2 ，p p 2 5 3 - 2 7 0 ，f e b r u a r y2 0 0 2 【3 】g u i s h e n gz h a i ，y es u n ，a n t h o n yn m i c h e l s t a b i l i t ya n d l 2g a i na n a l y s i sf o rs w i t c h e ds y m m e t r i c s y s t e m sw i t ht i m ed e l a y p r o c e e d i n go ft h ea m e r 证a nc o n t r o lc o n f e r e n c ed e n v e r , c o l o r a d oj u n e 4 - 6 ，p p 2 6 8 2 - 2 6 8 7 ，2 0 0 3 【4 】e m i l l af d d m a n s t a b i l i t yo fs y s t e m sw i t hu n c e r t a i nd e l a y s ：an e w ”c o m p l e t e l y a p u n o v k r a s o v s k i i f u n c t i o n a l i e e et r o n s a u t o m a t c o n 虮v 0 1 5 1 ，n o 5 ，p p 8 8 5 8 9 0 ，m a y2 0 0 6 【5 】q i n g - l o n gh a n ，x i n g h u oy u ，a n dk e q i ng u o nc o m p u t i n gt h em a x i m u mt i m e * d e l a yb o u n df o rs t a r b i l i t y o f l i n e a rn e u t r a ls y s t e m si e e e t r a n s a u t o m a t c o n t r , v 0 1 4 9 ，u o 1 2 ，p p 2 2 8 1 2 2 8 5 ，d e c e m b e r 2 0 0 4 【6 ik e q i ng u n ，af u r t h e rr e f i n e m e n to fd i s c r e t i z e dl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o df o r t h es t a b i l i t yo f t i m e * d e l a ys y s t e m s i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r o l , v 0 1 7 4 ，n o 1 0 ，p p 9 6 7 - 9 7 6 ，j a n u a r y2 0 0 1 【7 1m r d j a nj a n k o v i c ，c o n t r o ll y a p u n o v - r a z u m i k h i nf u n c t i o n sa n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o no ft i m ed e l a y s y s t e m s i e e et r a n s a u t o m a tc o n t r , v o l ，4 6 ，n o 7 ，j u l y2 0 0 1 i s 】j e a n - p i e r r er i c h a r d ，t i m e * d e l a ys y s t e m s ：a l lo v e r v i e wo f $ o f a er e c e n ta d v a n c e sa n do p e np r o b l e m s a u t o m a t i c3 9 1 6 6 7 - 1 6 9 4 ，a p r i l2 0 0 3 【9 | v l a d i m rs u p l i n ，e r i d m a na n du r is h a k e d ap r o j e c t i o na p p r o a c ht oh o o c o n t r o lo ft i m e * d e l a y s y s t e m s 4 3 r di e e ec o n f e r e n c eo nd e c i s i o na n dc o n t r o l , d e c e m b e r1 4 - 1 7 p p 4 5 4 8 - 4 5 5 3 ，2 0 0 4 【1 0 j e f r i d m a n n e wl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l sf o rs t a b i l i t yo fl i u e a rr e t a r d e da n dn e u t r a lt y p e s y s t e m s s y s t e m s & c o n t r o ll e t t e r s4 3p p 3 0 9 3 1 9 2 0 0 1 【1 1 】j i n - h o o nk i m r o b u s ts t a b i l i t yo ff i n e s ts y s t e m sw i t hd e l a y e dp e r t u r b a t i o n s i e e et r a n so n a u t o m a t i cc o n t r o l , v o l4 1 ，n o 1 2 ，p p 1 8 2 0 - 1 8 2 2 ，d e c e m b e r1 9 9 6 【1 2 l e m i l i af r i d m a n ，u r is h a k e d i n p u t - o u t p u ta p p r o a c ht os t a b i l i t ya n dl 2 一g a i na n a l y s i so fs y s t e m s w i t ht i m e * v a r y i n gd e l a y s s y s t e m s & c o n t r o ll e t t e r s5 5 ，p p 1 0 4 1 1 0 5 3 ，2 0 0 6 【1 3 1 x i e f uj l a n g ，q i n g - l o n gh a n d e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t yf o ru n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m sw i t h i n t e r v a lt i m e * v a r y i n gd e l a y a u t o m a t i c s4 2 ，p p 1 0 5 9 - 1 0 6 5 ，2 0 0 6 f 1 4 】) 【il ia n dc a r l o se ，d es o u z a c r i t e r i af o rr o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o no fu n c e r t a i nl i n e a r s y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y a u t o m a t i c sv 0 1 3 3 ，n o 9 ，p p 1 6 5 7 - 1 6 6 2 ，1 9 9 7 【1 5 1h u i j u ng a oa n dc h a n g b e n gw a n g c o m m e n t sa n df u r t h e rr e s u l t so n ”ad e s c r i p t o rs y s t e ma p p r o a c h t o 比c o n t r o lo fl i n e a rt i m e - d e l a ys y s t e m s i e e et r a n sm a u t o m a t i cc o n t r o l , v 0 1 4 8 ，n o 3 m a r c h 2 0 0 3 【1 6 ly o n gh e ，m i nw u ，j i n - h u as h e a n dg u o - p i n gl i u p a r a m e t e r d e p e n d e n tl y a p u n o vf u n c t i o n a l f o rs t a b i l i t yo ft i m e - d e l a ys y s t e m sw i t hp o l y t o p i c - t y p eu n c e r t a i n t i e s i e e et r a n so na u t o m a t i c c o n t r o lv 0 1 4 9 ，n o 5 ，m a y2 0 0 4 【1 7 v l a d i m i rl k h a r i t o n o va n ds i l v i u -