（概率论与数理统计专业论文）寿险模型保费定价的有关探讨.pdf

摘要 在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基 本问题。由于寿险保费的收取与保额的给付不是同时发生的，其间 有一段较长的时间间隔( 往往一年以上) ，使得寿险公司一直被利率 风险所困扰，这就要求寿险精算必须考虑利息因素。如何有效对付 利率的易变性是精算科学中的一大难点。考虑到利率对厘定保费的 重要性。本文中，我们将分别在固定和随机利率下对寿险保费定价 问题进行研究。寿险精算模型分为两种：一种是连续的；一种是离散 的。 首先，在固定利率下，分别介绍了这两类寿险；并利用平衡原 理，分别计算了寿险模型的趸缴纯保费，终身和定期生存年金的精 算现值。 其次，在随机利率下，分别对这两类寿险模型的保费定价方法 进行了讨论。 ( 1 ) 离散精算模型一时间序列模型，用二阶自回归过程a r ( 2 ) 来建 立递推关系式。这一方法假定铂是基于长期平均利力及前面两个时期 的利力，即4 ，l = 万+ 畸( 气一厂万) + 乞( 气一：厂万) + q ，任何一种模型在正式使 用前都应先用经验数据来测试，来确定最优的加权系数毛，如，k 。 ( 2 ) 在连续随机利率模型中，目前对利率随机性的建模，有两种方 法：一种是对利息力建模，即假设利息力是一随机过程；另一种是对 利息力累积函数建模，即假设利息力累积函数是一随机过程。 本文利用g a u s s 过程的两种特殊形式w i e n e r 过程和 o m s t e i n u h l e n b e c k 过程分别模拟利息力累积函数和利息力建模，得 到了连续随机利率模型下趸缴纯保费的一般表达式；给出了维纳过 程下不同死力假设的增额寿险精算模型趸缴纯保费的一般表达式； 讨论了复合泊松过程下保险公司保费的厘定。 最后，讨论了固定利率和随机利率下联合保险模型，并根据所 建立的模型和所得到的一些结论进行了实例分析。 关键词：固定利率；随机利率；均衡纯保费；时间序列模型；平衡 原理；死亡分布 a bs t r a c t i nt h el i f ei n s u r a n c ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ，t h ec a l c u l a t i o no f i n t e r e s tr a t ea n dd e a t h sr a t ea r ef u n d a m e n t a l p r o b l e m s t ot h e d e t e r m i n a t i o no fl i r ei n s u r a n c ec o s t b e a c a u s eo fc o l l e c t i o no ft h e p r e m i u mo fl i f ei n s u r a n c ea n dt h ep a yo fc o v e r a g ed on o th a p p e na t t h es a m et i m e ，t h e r ei sa l s oa nl o n ge x t e n to ft i m eb e t w e e nt w oe v e n t s ( n o r m a l l ym o r et h a nay e a r ) ，w h i c hm a k ei n s u r a n c ec o m p a n yb o t h e r w i t hi n t e r e s tr a t ea l lt h et i m e ，t h u si ti sn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h ef a c t o r s o fi n t e r e s tr a t e h o wt od e a lw i t ht h em u t a b i l i t yo fi n t e r e s tr a t ei sa d i f f i c u l tp o i n ti nt h el i f ei n s u r a n c ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c s t h e r ea r et w o k i n d so fa c t u a r i a lm o d l e ，o n ei sd e c r e t e ，a n o t h e ri sc o n t i n u o u s i nt h i sp a p e r , i nc o n s i d e r a t i o no ft h ei m p o r t a n c eo fi n t e r e s tr a t et o t h ed e t e r m i n a t i o no ft h ep r e m i u mo fl i f e i n s u r a n c e ，p r o b l e m so fl i f e a n n u i t yu n d e r f i x e da n dr a n d o mr a t e so fi n t e r e s ta r ed i s c u s s e d r e s p e c t i v e l y f i r s t l y , n u d e rt h ef i x e dr a t e so fi n t e r e s t ，p r i n c i p l eo fe q u i l i b r i u m a r eu s e dt oc a l c u l a t en e ts i n g l ep r e m i u mi nl i f ei n s u r a n c em o d e l ，b o t ht h e a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u eo ft h ew h o l el i f ea n n u i t ya n dt e r ml i f ea n n u i t y u n d e rc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ep a y m e n t s s e c o n g l mu n d e rt h ec o n t i n u o u sr a n d o mr a t e so fi n t e r e s t ，w ea l s o d i s c u s st h et w ok i n d s r e s p e c t i v e l y ( 1 ) d e c r e t el i f ei n s u r a n c ea c t u a r i a lm o d e l t i m e s e r i e sm o d e l ， r e c u r s i v ee q u a t i o n se s t a b l i s h e db yt h ew a yo ft h es q u a r eo fa u t o r e g r e s s i v e p r o c e s s e s t a b l i s ha r ( 2 ) t h i sm e t h o ds u p p o s et h a t 咯，1 i sb a s e do n a v e r a g e dd e a t h sr a t eo v e rs o m el o n gp e r i o do f t i m ea n dt h ed e a t h sr a t eo f t h et w op e r i o da h e a d ，t h a ti s ： 晤，】2 8 + k 1 ( 8 t r - 1 1 一, ，) + k 2 c s f 门1 一万) + q ， e v e r ym o d l es h o u l db et e s t e dw i t he m p i r i c a ld a t ai no r d e rt od e t e r m i n e o p t i m a lw e i g h i n gp a r a m e t e r 岛，如，k b e f o r et 1 1 e ya r eo f f i c i a l l yu s e d ( 2 ) c o n t i n u o u sl i f ei n s u r a n c em o d e lu n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ：a t p r e s e n t ，t h e r ea r et w ow a y s t om o d l e ：o n ei st om o d e lf o rt h ef o r c eo f i n t e r e s t ，t h a ti st os a y , s u p p o s et h ef o r c eo fi n t e r e s ti ss t o c h a s t i c ；a n o t h e ri s t om o d e lf o rt h ef o r c eo fi t sa c c u m u l a t e dv a l u e ，w h i c hs u p p o s e a c c u m u l a t i o nf u n c t i o ni ss t o c h a s t i c w i e n e ra n do r n s t e i n u h l e n b e c kp r o c e s sa r eu s e dt om o d e lf o rt h e f o r c eo fi n t e r e s ta n di t sa c c u m u l a t e dv a l u e ，a n dw eo b t a i ns o m eg e n e r a l e x p r e s s i o no f n e t s i n g l ep r e m i u m m e a n w h i l e ，u n d e r t h ew i e n e r p r o c e s s ，t h es p e c i f i ce x p r e s s i o n so fn e ts i n g l ep r e m i u ma r es u m m a r i z e d u n d e rs o m es p e c i a ld i s t r i b u t i o n so fd e a t h si nt h ei n c r e m e n tl i f ei n s u r a n c e a c t u a r i a lm o d e l ；w ed i s c u s s e dt h ed e t e r m i n a t i o no ft h ep r e m i u mo fl i f e i n s u r a n c e a tl a s t ，u n d e rt h ef i x e dr a t e so fi n t e r e s ta n dt h ec o n t i n u o u sr a n d o m r a t e so fi n t e r e s t ，w ed i s c u s s f a m i l y u n i t e di n s u r a n c em o d e l ，t h e n a c c o r d d i n gt o t h ee s t a b l i s h e dm o d l e sa n ds o m ec o n c l u s s i o n ，w et a k e a d v a n t a g eo fs o m ep r a c t i c a le x a m p l e t om a k ef u r t h e rs t u d y k e y w o r d s ：f i x e dr a t e so fi n t e r e s t ；r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t ；n e ts i n g l e p r e m i u mm o d e l l i n gv i at i m es e r i e s ；p r i n c i p l eo fe q u i l i b r i u m ；d i s t r i b u t i o n s o fd e a t h s v 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 保险的产生和作用 第一章绪论 1 5 世纪以后，欧洲一些国家发现了新大陆，随后便开始了对海外的经济掠夺， 从而刺激了海外贸易和航运的发展：到了16 世纪，保险契约的买卖开始出现，保 险交换关系开始萌芽。但是对保险的需求从根本上来说根源于客观世界的不定 性，正如美国供给学派的鼻祖乔治吉尔德1 1 j 所说：“凡是寻求保障和确定性的 人，总是生活在过去的时代里，因为只有过去才是可靠的。 因为未来的不定性， 可能给人们带来突如其来的横祸。所以人类苦心追求的就是对未来不定性的转 嫁，而保险正可为人们提供这样一种机制。只要自然界和人类社会存在，就必然 有自然灾害和意外事故存在，而且随着新技术、新工艺的出现，还会出现人为的 破坏行为与自然现象相结合的新的灾害危险。因此，保险是经济社会中重要的一 个坏节。 所谓保险【2 。，是指投保人根据合同约定，向保险人支付保险费，保险人对于 合同约定的可能发生的事故因其发生所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或 者当被保险人伤亡、伤残、疾病或者达到合同约定的年龄、期限所应承担给付保 险金责任的商业保险行为。 保险的职能( 3 】：是指保险的内在的固有的功能，它是由保险的本质和内容决 定的，保险的主要职能就是补偿特定危险所造成的损害。保险的基本职能主要有： 1 补偿损失职能。保险是在特定危险损害发生时，在保险的有效期和保险合同 约定的责任范围以及保险金额内，按其实际损失金额给予赔付。 2 保险的防灾防损职能。 3 保险的融资职能。 保险的作用：是指保险职能在具体实践中所表现出的效果。在我国社会主义 市场经济的条件下，保险主要有以下作用 ( 一) 保险的宏观作用 1 保证社会再生产的正常运行。 硕士学位论文第一章绪论 2 有利于商品流通的顺畅。 3 有利于政收支计划和信贷收支计划的顺利实现。 4 有利于对外贸易的发展。 ( 二) 保险的微观作用 1 保险有助于企业及时恢复生产。 2 有助于安定群众生活。 3 促进个人或家庭消费的均衡。 正是由于保险在社会生活中具有举足轻重的地位，因此，保险业的稳定发展 以及保险精算技术的发展对于整个社会来说，是非常重要的。 1 2 寿险保费的研究历史和现状 保险公司所收取的保险费，应足以应付保险给付的支出和其他费用开支。 用来作为给付的那部分保险费是纯保险费，而用来作为业务费用开支的那部分 保险费称为附加保费。纯保险费与附加保费之和称为总保险费。 寿险保单其保险金的给付是以被保险人的生存或死亡为前提条件的，所以 被保险人的生存和死亡状况，是寿险保费定价的主要基础。我们视投保人的死 亡时间为随机变量，而保费、生存年金的计算都是在此前提下进行的。 利率和死亡率将是决定寿险纯保费的两大要素。死亡率的测算即生命表的建立 是寿险保费定价的核心工作。生命表是对一定数量的人口自出生直到全部死亡 这段时间的生存和死亡的记录。它有两个基本要素：年龄及相应的死亡率。生命 的不确定性在生命表中得以反映，厘定保费，提存责任准备金均以生命表为基 础。利率对纯保费的影响很大，由于受到社会经济环境、公司投资决策等诸多 因素的影响，利率很容易发生变化。 7 0 年代中期，随机利率开始作为精算假设，1 9 7 6 年b o y l e 1 考虑了寿险与 年金中死亡率与利率的随机情况，p a n j e r 和b e l l h o u s e ( 相关文献见【5 】- 【1 0 1 ) 研究了 利息力为独立、同正态分布时生存年金的1 阶、2 阶矩，但该模型的缺陷是对 利息力假定相互独立、同正态分布的条件与实际偏差较大。g i a e c o t t o ( 1 9 8 6 ) 、 d h a e n e ( 1 9 8 9 ) ( 相关文献见【1 州1 s 1 ) 等采用时间序列进行建模，如白噪声过程。 2 硕士学位论文第一章绪论 f r e e s ( 1 9 9 0 ) ( 相关文献【1 6 】- 【1 7 】) 研究了可逆m a ( 1 ) 投资利息力模型，得到投资利 息力的期望、方差，但该模型的不足之处在于投资利息力的不确定性仅与过去 紧邻一年的投资利息力相关，忽略了过去数年经济因素对未来投资利息力的影 响。h u r l i m a n n ( 1 9 9 2 ) 、h a b e r m a n ( 1 9 9 4 ，1 9 9 7 ) ( 相关文献见【1 8 】_ 【1 9 】) 研究了利 息力满足a r ( 1 ) 和a r ( 2 ) 模型时生存年金的矩母函数的性质，此后，有些学者将 自回归和滑动平均利率模型推广为a r m a 和a r i m a 等，如d h a e n e ( 1 9 9 8 ) ， z a k s ( 2 0 0 1 ) ，k r z y s z t o f , a g n i e s z k a ( 2 0 0 3 ) ( 相关文献见【1 9 】一【2 0 】) 但该类推广模型 仍存在不足，即利率的方差为常数。利用时间序列研究的利率模型的一个方向 就是研究a r c h 、g a r c h 类模型( 相关文献见【2 1 】- 【2 3 】) ，即考虑利率的不确定 性随时间变化而改变。 9 0 年代起，部分学者采用摄动方法建模，研究寿险精算现值问题，如 b e e k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 年和1 9 9 1 年分别得到利息力由o u 过程和w i e n e r 过程建模的某些年金的一、二阶矩，1 9 9 3 年又得到由o u 过程和w i e n e r 过程 建模的终身寿险给付现值的一、二阶矩。1 9 9 2 年d es c h e p p e r 、g o o v e r t s ( 相关 文献见【2 4 】- 【2 9 】) 等得到利息力由w i e n e r 过程建模的某些年金的矩母函数和 l a p l a c e 变换。1 9 9 8 年何文炯、蒋庆荣【3 0 】对随机利率采用g a u s s 过程建模，得 到了一类即期给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，并在死亡服从均匀分布假 设下得到了矩的简洁表达式。2 0 0 0 年田吉山、刘裔宏【3 1 】对随机利率采用w i e n e r 过程建模，对寿险理论中的年金、保费进行研究，并推出了相应的模型。2 0 0 1 年刘凌云、汪荣明f 3 2 】采用g a u s s 过程和p o i s s i o n 过程联合建模，给出了一类即 期给付的增额寿险的给付现值的各阶矩。2 0 0 4 年张奕、李志英p 3 1 研究了利率 w i e n e r 过程下损失分布为p a r c t o 分布时总赔款额的各阶矩的具体表达式。利用 随机过程研究利率模型的方向是，需要研究利率为非独立情况下模型，以及考 虑死亡率的分布情况。 3 硕士学位论文 第一章绪论 1 3 论文的主要内容 在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。由 于寿险保费的收取与保额的给付不是同时发生的，其间有一段较长的时间间隔 ( 往往一年以上) ，使得寿险公司一直被利率风险所困扰，这就要求寿险精算必 须考虑利息因素。如何有效对付利率的易变性是精算科学中的一大难点。考虑 到利率对厘定保费的重要性，本文中，我们将分别在固定和随机利率下对问题 进行保费厘定问题进行研究。 第一章，介绍了保险的产生和作用，寿险保费的研究历史和现状及论文的 主要内容； 第二章为预备知识，介绍了本文中所涉及到的一些基本概念，利息理论及 保费的计算原理等知识； 第三章，在固定利率下，利用保费的平衡原理，分别计算了寿险模型的趸缴 纯保费，以及终身和定期生存年金的精算现值；且分别对延期情况、全缴情况等 做了更为详细的划分，着重给出各个模型的纯保费的具体表达式； 第四章，也是全文的主要部分，我们主要讨论了离散精算模型时间序列模 型及其计算实例；随机利率下的连续精算模型，即通过g a u s s 过程的两种特殊 形式w i e n e r 过程和o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程分别模拟利息力累积函数和利息力 建模，得到连续随机利率模型下保费定价的一些结果；给出了维纳过程下不同 死力假设的增额寿险精算模型趸缴纯保费的一般表达式；讨论了复合泊松过程 下保险公司保费的厘定； 第五章，讨论了固定利率和随机利率下联合保险模型，并根据所 建立的模型和所得到的一些结论进行了实例分析。 第六章，总结与展望。总结本文主要工作，探求其不足之处及可拓展空间。 全文综合运用了精算学，概率论及随机过程的相关知识。通过对已有定理和性 质的学习总结，建立模型，分析计算，同时从数理和保险精算的角度对保费定 价问题做出了探讨。 硕士学位论文第二章预各知识 2 1 利息理论 第二章预备知识 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者 付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙 受的损失。由寿险长期性的特点，考虑投资收益，必然需要考虑利息的影响。 在资金市场中每项投资金额经过一段时间后再回收会发生变化，最终的总金 额称为积累值或者终值，用积累函数来衡量。这就可以定义积累函数y ( t ) ：y ( t ) 表示在时刻0 时投资一单位本金在时刻f 的积累值。y ( t ) 具有如下特性： y ( o ) = l ，即在时5 r i o 开始投资，本金金额为1 ； y ( t ) 通常是递增函数，随时间的推移，利息会增加； 当利息连续产生时，y ( t ) 是t 的连续函数。 一般情况下，本金金额不是一个单位，而是c 个单位，这时定义一个总量函 数y ( t ) ，又称金额函数，表示时刻0 的初始投资c 到时刻t 的积累值，此时有 】，( f ) = c ( f ) 。 ( 1 ) 实际利率：当计算利息时间和基本单位时间一致时，资本在该段时间获得利 息的能力，即某期内的利息金额与此期开始时投资的本金金额之比，以d ( f ) 表示 时刻t 的实际利率，则 m ，= 等等】厂( f ) 若0 时刻投资金额为1 ，则时刻f 返还1 + 砸) ，显然期末支付的利息以起初的资 本额为比较标准。 ( 2 ) 实际贴现率，又称“折现率 ，指今后收到或支付的款项折算为现值的利率， 表示一定时期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。实际贴现率的高 低，主要根据金融市场利率来决定。以d ( 厂) 表示时刻珀勺实际贴现率则 s 硕士学位论文第二章预备知识 ，= 等铲= 等：铲 若时刻f 想要得至1 1 1 个单位积累值，则在时刻0 必须投入卜d ( f ) 的资金。 在固定利率情形下有： d ( f ) ：y ( t ) - y ( t - 1 ) ：y ( 1 ) - y ( o ) ：上：1 一， 一 y ( f )y ( 1 ) 1 + i 其中，= 称为贴现因子。 1 + f ( 3 ) 名义利率：一个度量期内利息支付不止一次或者在多个度量期内利息才支 付一次的利率。设一个度量期内利息支付m 次，用f ( ”表示每个小周期内的实际 利率，则每土个时期末的资本额为1 + 竺，在单位时期末，积累资本为f ，1 + 翌 ”。 mm lm 根据与实际利率等价的原则，实际利率和名义利率之间的转化为： = 峙卜此卜叫。 ( 4 ) 单利：指仅按照本金和时间的长短计算利息，本金所产生的利息不加入本金 重复计算利息。 若第0 年本金为y ( o ) ，第t 年的实际利率为f ( f ) ，则在单利下有第f 年末的资本总 额y o ) = 】，( o ) 【1 + f ( 1 ) + f ( 2 ) + + f o ) 】。 如果各年实际利率相等，均为f ，则】，( f ) = 】，( o ) 【1 + 讹) 】。 ( 5 ) 复利：俗称“利滚利 ，即在一定时期按本金计算利息，随机将上期产生 的利息计入本金，作为下期计算利息的基础。 若第0 年本金为y ( o ) ，第f 年的实际利率为f ( f ) ，则在复利下有第f 年末的资本总 额】，( f ) = y ( o ) 【l + 娴】【1 + f ( 2 ) 】【l + 】。 如果各年实际利率相等，均为i ，则y ( t ) = y ( 0 ) ( 1 + f ) 。 ( 6 ) 连续计息：前面的各种度量方式都是用来度量在规定的时间区间内的利息， 但有的时候希望度量在每一个时间点上的利息，也就是在无穷小时问内获得的利 6 硕士学位论文第二章预备知识 息，这种利息在各个时点上的度量称为利思力。设4 表不第t 时间点上的利息力， 根据定义则有： 谚：l i m y ( t + a f t ) - y ( t ) ：y ( f ) ， 0+0匕v 在谚形式确定的情形下，我们可以得到积累函数如下：y ( f ) = e x pf 嗔凼。 若原始资金为1 ，到时刻f 的值为j ，( f ) ，此时j ，( f ) 也称为积累因子。设一定原始资 金到时刻f 的值为l ，则初始资金为v ( f ) = e x p ( 一f 睡凼) ，其中v ( f ) 称为折现因子。 在常数利率i 和利息力万条件下，根据积累函数的定义有： y ( t ) = ( 1 + f ) = e x p ( 8 t ) ，可得至0 万= i n ( 1 + f ) 。 2 2 寿险及保费的分类 人寿保险的分类方法很多，根据不同的标准，人寿保险有不同的分类： 以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，分为：定额受益保险，变额递增， 变额递减受益保险； 以保障期是否有限进行划分，分为：定期寿险和终身寿险； 以保单签约日和保障期是否同时进行划分，分为：非延期保险和延期保险； 以保障标志的进行划分，可分为：人寿保险( 狭义) 、生存保险、两全保险。 按受益金是否在被保险人死亡时立即给付可以分为离散型寿险和连续型寿险 两种： 离散型人寿保险，即保险赔付在事故发生年度末，由于赔付时刻都发生在 事件发生的当年年末，所以年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日 的时期长度就等于被保险人签约时的取整剩余寿命加一，这正好可以使用以整数 年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数； 连续型人寿保险，即保险赔付发生在事故发生时刻。由于事故可能发生在 被保险人投保之后的任意时刻，所以即刻赔付时刻是一个连续随机变量； 综上，人寿保险模型共有4 8 个基本类型。我们选取典型情况进行研究。本文 按照保险性质来分，将人寿保险分为如下四大类： 1 死亡保险 硕士学位论文第二章预备知识 死亡保险以被保险人在保险期内死亡为保险金给付条件，依保险期限的 不同可以分为定期死亡保险和终身死亡保险。 ( 1 ) 定期死亡保险是指在保险合同约定期限内，被保险人发生死亡事故而由保险 人依合同给付保险金的一种保险。 ( 2 ) 终生寿险是一种不定期的死亡保险，被保险人在保险有效期内无论何时死亡， 保险人都依合同给付保险金。 2 生存保险 生存保险是以被保险人在一定时期内生存为给付条件，生存期满后保险 公司给付保险金的一种保险。如果被保险人在保险期内死亡，保险公司不负 保险责任，且不退回投保人所交的保险费。实践中，纯粹的生存保险一般不 单独开办，常与死亡保险组成两全保险的形式。 3 两全保险 两全保险是将生存保险与死亡保险合二为一的一种保险，即若被保险人 在契约期内死亡则给付死亡保险金，若被保险人在保险期满时仍然存活则给 付生存保险金。两全保险也称生死合险或养老保险。 4 生存年金 生存年金指在被保险人生存期间，保险人依照合同的规定每年或每月给付一定金 额的保险金的一种保险。年金保险是为了避免人类寿命的提高、生存时间较长者 的经济收入的损失而进行的经济储备。 保费的支付通常分为三种：一次性付清，称为趸缴纯保费；定期缴纳一 固定款项，称为定期缴纳均衡保费；定期缴纳一可变款项，称为定期缴纳可变 保费。 2 3 与死亡年龄有关的概率及生命表函数 定义2 3 1 以x 记为新生儿的死亡年龄，则z 是一随机变量，记c ( 工) 为x 的 分布函数，则： e ( 力= p r ( x d ，x 0( 2 3 1 ) 而将s ( z ) = 1 一c ( x ) 称为生存函数( s 咖a l f u n c t i o n ) ，l l p 硕士学位论文第二章预备知识 s ( 功= p r ( x 功，x 0( 2 3 2 ) s ( 功表示新生一婴儿能活到x 岁( 即x 岁以后死亡) 的概率。我们一直假定 c ( o ) = 0 ，则s ( o ) = 1 。 定义2 - 3 2 我们用符号( x ) 表示年龄为x 岁的人，也称为x 岁的生命( 1 i f e - a g e - x ) ， 而x 为新生儿的死亡年龄，则新生婴儿在x 岁活着的条件下，未来仍生存的时 间( 或生存期) 是x x ，那么x x 称为新生婴儿在z 岁时的未来寿命，简称( 石) 的未来寿命( 或未来余命) ，并用符号t ( x ) 表示。即新生婴儿在z 岁时仍生存的 条件下，有t ( x ) = x - x 。记： ，q x = p 咧郴归1 _ 等吲吐 0 ( 2 3 3 ) 舻l - 舻岬州) = 等川 o 叫) 其中，q x 可解释为( x ) 将在未来t 年内死亡的概率，它是丁( x ) 的分布函数；而，n 表示( x ) 将至少活到x + t 岁的概率，它是关于t ( x ) 的生存函数。通常情况下， 当t = 1 时，可以把( 1 1 3 ) 式与( 1 1 4 ) 式中符号的前缀省略，也就是( z ) 在一年内 死亡的概率可以表示为q x ，同样( x ) 活过一年的概率可以表示为见，( 工) 生存t 年 后，在x + f 岁与x + h “岁之间死亡这一事件的概率，可用精算函数符号m 吼表 示，即： 啦q x = p r ( t 0 ，c l ，a 一b 。从而可以推出 s ( x ) ：e x p 一彳一胁c ( c x 1 ) ，t p x - t x + t = ( 么+ b c 肿，) e 础+ 嘉( 1 掣) ； ( 4 ) w e i b u l l 形式 此种形式下，( x ) = 缸n ，x 0 ，其中尼 o ，n 0 。从而可以推 出s ( 功= e 一| i ( 开+ 1 ) ，“，有，见以+ ，= k ( x + f ) ne k ( n + 1 ) x 州一( 川) 剃 ； 2 5 保费的计算原理 保费的精算，包括纯保费精算和总保费精算，其中纯保费精算是基础。纯保 费是指在给定的假设死亡率和利率下，不考虑保险公司的其它费用，保险公司支 付保险金额的期望。总保费是由纯保费和附加保费两部分构成，总保费的传统精 算方法是以纯保费的计算为前提，再附加一定的附加费用。 纯保费的计算，必须遵循收支平衡的原则，也就是说，纯保费收入的期望 现值应等于保险金支出的期望现值。根据保费的计算原理有：纯保费的精算现值 = 保额的精算现值；总保费的精算现值= 保额的精算现值+ 附加保费的精算现值。 因此，研究保费精算问题，应当首先研究纯保费的精算问题。 一个保费计算原理是一条规则，例如称做日，它把一个实数p 指定给有分 布函数f ( ) 的取值有限的一个随机变量j ，在保险中称为索赔量，用记号来表示 有p = 日o ) 。 2 5 1 一些重要的保费计算原理 a 纯保费原理( 平衡原理) ，即p = e ( s ) 。 b 期望值原理，p = ( 1 + 五) e ( s ) ，力 0 是安全系数，安全负荷与期望值成正比。 c 方差原理，p = e ( s ) + o t v a r ( s ) ，全负荷与方差成正比，口 0 为安全系数。 硕士学位论文 第二章预备知识 d 标准差原理，p = e ( s ) + 历页五，安全负荷与标准差成正比， o 为安全 系数。 e ，指数原理，p = 1 a l n e ( e 删) 。 f 分位数原理( 损失概率约束保费) 令o g _ 1 - ) ，即是使 得出现损失的概率最多为占的最小保费。 s 最大损失原理，p = ，s 是最大可能的索赔量，这对保险公司很有利但保 险监管者不会允许保险公司使用这个原理。 2 5 2 一个保费计算原理应该满足的五条性质 性质1 非负安全负荷，即对任意s ，p e ( s ) ； 性质2 不索取高价，即对任意s ，p ，保险不应超过最大可能的权益； 性质3 协调性，对任意j 及常数c ，1 t ( s + c ) = 日( s ) + c ，若权益增加了一个可加 的常数则这个常数必须加到保费上； 性质4 可加性，s l 、s 2 是独立的风险，$ i jz - i ( s i + s 2 ) = h ( s 。) + 日( j 2 ) ，即风险的和 的保费是它们保费之和； 性质5 累次性，若s 和x 是任意的风险，则h ( s ) = 日( 日( s i 功) ，即对s 的保费可以 分两步来计算。 表2 5 1 保费原理及其性质 性质保费原理 口 b c j e g 11 0111 01 21 0 0 01 11 3 1011111 41 1100 01 51000001 其中，1 表符合条件，0 表不符合条件 由表2 5 1 可知只有指数原理、纯保费原理及最大损失原理满足这五条性质。 1 2 硕士学位论文 第二章预各知识 但指数原理计算起来比较复杂，最大损失原理导致了超额的保证负荷，因此一般 是采取纯保费原理，即期望值原理。 2 5 3 人寿保险的总保险费 人寿保险的各项费用开支，有几种不同的性质。有些是在第一年承保时一 次性支出，例如用于对保险人的体检费用及业务招揽费用等，这些费用称为原 始费用；有些是按保额计算的，例如公司的一般管理费用；有些是根据总保险 费的一定比例计算的，例如代理手续费。所以，在计算附加保险费时，对不同 性质的业务开支，要作不同的处理。 总保险费的计算，没有固定的公式，按照各种不同性质的开支计加的附加 费率，是根据公司业务费用的分析及将来的预测来决定的。一般的，计算总保 险费可采用三元素法，该方法计算结果准确，但其计算过程复杂。下面来介绍 较为简单的比例常数法来计算总保险费。 比例法假定附加保费为总保费的一定比例，设为q ( o q 1 ) ，如果纯保费 为尸，总保费为p ，则 p = p + q 尸 由此可得p - _ 上。 1 一q 2 5 4 均衡纯保费的计算原理 对于保险公司来说，未来收取的保费和未来保额支付之间存在着一定的差 距，这个差距是保险公司对保单采取决策的重要依据。而这个差距是和投保人未 来的剩余寿命紧密联系在一起的，因此构造随机变量l = 未来保险人给付保额现 值一未来投保人缴纳保费现值 为此保单的未来随机损失变量。 对于未来随机损失变量，以均衡纯保费为例。假设投保人在第k ：k + 1 年死 亡，死亡年度末保险公司应付的保额为b ，设尸为投保人缴纳的均衡纯保费，根 据不同的险种，有不同的具体表达如下： k 一年死亡保险：l = 如( j | + 1 ) 一j p v ( f ) ，k = 0 , 1 ，万一l ； 1 3 硕士学位论文 第二章预备知识 ，1 年两全保险：l = 踟( 后+ 1 ) 一尸，o ) 乒= o ，1 ，n - l ； t = o 七 枷( ，1 ) 一p 1 ，( f ) 乒n k + m 延期聊年的万年死亡保险：= 枷( 七+ 1 ) 一p v ( f ) 乒= m ，m + l ，m + n - 1 ； i = o 其它险种均按照此种方法可以相应给出未来随机损失变量。对于趸缴纯保费类似 可以得到结论。 人寿保险中的纯保费是以预定年利率和预定死亡率为基础，并根据未来给 付保险金额而计算得到的，即要满足条件：未来给付保险金额现值的期望值( 即 趸缴纯保费) 等于缴纳纯保费的精算现值。这一条件也称为平衡原理。用三表 示，则平衡原理可表述为e ( l ) = 0 。 平衡原理也可称为收支相等原则，即满足保险公司在保险期内，纯保费收 入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。 1 4 硕士学位论文第三章固定利率下寿险保费精算模型的研究 第三章固定利率下寿险保费精算模型的研究 寿险保单其保险金的给付是以被保险人的生存或死亡为前提条件的，所以 被保险人的生存和死亡状况，是寿险精算的主要基础。我们视投保人的死亡时 间为随机变量，而保费、生存年金的计算都是在此前提下进行的。 货币的时间价值和群体死亡率是确定保险费的关键因素，本章我们研究如 何确定人寿保险的趸缴纯保费问题。这也是其它寿险业务纯保费的确定的基础。 3 1 离散型寿险模型的趸缴纯保费 有了前面的预备知识，我们运用复利理论来计算货币的时间价值，运用表格 生存模型( 生命表) 模拟群体的死亡率，可以计算出在确定利率和确定死亡率条件 下的寿险保费。 为了计算保险费，需要比较纯保险费与保额，但因保险费与保额的发生并 不同时，且在其中涉及到投保人的生死状况，所以这个比较是应在同一时间点 上。需要考虑货币的时间价值，投保人的生死状况及保险公司可能发生的费用， 还有可能存在的风险等因素的影响。保险费和保额要在精算现值的意义上相等。 所谓精算现值是指现值的期望值，又称期望现值。我们用随机变量z 表示给付保 险金额在签单时的现值，则它的期望e ( z ) 就是趸缴纯保费。 离散型人寿保险模型是指以离散型未来寿命k ( x ) 为基础，保险金在被保险 人死亡所处的保单年度末支付而建立的寿险模型。 定理3 1 1 离散型人寿保险模型趸缴纯保费的现值计算通式： a ，= e ( z ) = v i + l b i i q ， ( 3 1 1 ) k 1 0 证明：设被保险人在投保( 或签单) 时的年龄为x 岁，其未来寿命整年数为k ( 功， 其概率分布为 p r ( k ( x ) = 七) = p 嗽 r 尼+ 1 ) = k + l q x 一七级= 七见譬州= iq j k = 0 , 1 ，2 假设金额在定( 功+ 1 处给付，给付数额为瓯+ 。元，记唯+ 为在k ( 功+ 1 处给付一个 1 5 硕士学位论文 第三章固定利率下寿险保费精算模型的研究 单位在签单时的利息贴现系数，z 为给付保险金额在签单时的现值，则 z = 咋+ l 坟+ l( 七= 0 , 1 ，2 ) 因此在离散型人寿保险模型下，e ( z ) = 。b k + lk l q x k = o 为了便于研究，我们假设：人寿保险可分为生存保险、死亡保险和两全保 险，生存年金。以下列出死亡保险，两全保险，延期寿险的保额现值函数以 及精算现值。 3 1 2 死亡保险( 包括1 1 年定期保险和终身人寿保险) n 年定期保险假设 ) 投保离散型的保险金额为1 个单位的n 年定期保险， 则现值函数是 z = k 0 扎巍。扩di 哭他 其趸缴纯保费用符号a 。1 _ i 表示，根据( 3 1 1 ) 式有 a ，1 矗= e ( z ) = v 川剐级= ，“1 ( m q x i 吼) ：亨v k + 1 s ( x + k ) - s ( x + k + 1 ) 一k = os 【x jo 、 ， = 抄k = o 警= 艺k = o 箐 m ， x v x 终身人寿保险：对于o ) 投保保额为1 个单位的终身寿险，其趸缴纯保费( 用 符号4 表示) ，可在( 3 1 2 ) 式中令刀专得到4 = 1 ，剧q x ( 3 1 3 ) 3 1 3 两全保险 n 年期两全保险是由n 年期生存保险和n 年定期保险组成，同样假设( x ) 投保 离散型的保险金额为1 个单位的两全保险，则 = 彤昨絮n ，一= b k + l v k + 1 = v k + z v k 卸麓d4 + l = l ，l = 1 矿( 七彩 2 ( 七力 1 6 硕士学位论文第三章固定利率下寿险保费精算模型的研究 其趸缴纯保费( 用符号4 司表示) 是4 司2 荟( ，“1 ) 2 刮吼 l v n n 以 ( 3 1 4 ) 记钿1 = v nn 见表示n 年期生存保险的趸缴纯保费，则4 司= 4 司+ 4 司1 ( 3 1 5 ) 3 1 4 延期寿险 假设( x ) 投保离散型的保险金额为1 个单位的h 年延期n 年定期保险，则 ：n (拈死2：i：?+n-1i ，： ( 后- 0 ，l ，2 ，) k i 2 0( 其他) 唯+ - 2v 2u ，l 妒j 哼li v “ ( k = ，h + l ，h + 刀一1 ) 么- + t 心+ l2 1 0( 其他) 其趸缴纯保费记为 l a ，1 嗣或咖a ，则蹦a ，1 ：习= ，m 纠吼 ( 3 1 6 ) 类似地，记圳4 、剐t 习分别表示( x ) 投保离散型的延期h 年的保险金额为1 个单位的终身寿险和两全保险的趸缴纯保费。即