（应用数学专业论文）不可压流体动力学方程的数学方法.pdf

中文摘要 不可压流体动力学方程的数学方法 摘要 ：ot：u：i+三(u三。v。，)u，。=，-。v：p,。6职?，6。】+。 le u l e r 于1 7 5 5 年建 ( 01 ) f a u 十( uv ) “= u a u v p ，茹甜，t 0 ，十。) ， d t v “= 。，c 。， 【u ( o ) = u o ( z ) ，d i v u 0 = 0 用于描述粘性流体的运动规律 7 6 】这里p 是粘性系数，s t o k e s 于1 8 4 5 年进一步明确 了粘性项的物理意义 89 近两个多世纪以来，e u l e r 方程和n a v i e r s t o k e s 方程经历了 迅速的发展，在工程中，特别是船舶工业、航空航天工业以及气象学等领域有着广泛 的应用关于e u l e r 和n a v e r s t o k e s 方程，很多学者从不同的角度对它们进行了大量 的研究，研究方法不断更新、数学理论不断丰富1 9 3 3 年，l e r a y 提出能量方法和紧 致性方法，并且首次得到了n a v i e r - s t o k e s 方程弱解的存在性理论【5 8 3 随后，许多学 者都致力于l e r a y h o p f 弱解的正则性理论的研究 8 4 ，8 5 ，5 ，6 ，6 5 ，5 4 ，3 ，2 2 ，5 2 ，5 3 ，5 6 1 9 6 2 年。k a t o 和f u j i t a 利用半群的方法，直接在较正则的空间中研究了n a v i e r - s t o k e s 方程的强解 4 s 1 9 8 4 年，k a t o 在文章【4 2 中利用半群的方法得到了l n ( 科) 空间中 n a v i e r - s t o k e s 方程的适定性近年来，k a t o 的方法在各种不同的函数空间中得到了广 泛的应用 4 5 ，4 2 ，6 0 ，3 8 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，2 8 ，4 4 ，9 1 ，2 ，9 7 ，7 0 ，1 8 ，s 0 1 本文主要从两个方面来讨论不可压流体动力学方程，第一是在不同函数空间中讨 论c a u c h y 问题的适定性；第二是讨论弱解的正则性和光滑解的爆破准则主要内容分 为以下几部分 ( i ) 在弱m o r r e y 空间中研究n a v i e r s t o k e s 方程小解的整体适定性和自相似解 的存在性 中物院博士学位论文 作为m o n e y 空问和l o r e n t z 空间的推广，我们提出了弱m o r r e y 空间的概念它具 有许多优点首先，它包含了m o r r e y 空间m ，( 黔) ，1 曼p5g 。c 和所有的l o r e n t z 空 间工。( a t 。j ，1 p q5o 。其次，它包含了具有自相似结构的函数为了在弱m o r r e y 空间中研究n a v i m 一- s t o k e s 方程的适定性，我们以弱驴空间岛，。= ( 皿“) 为底空 间，定义了弱型m o r r e y 空间蟛 ( 静) ，0 兰a ；，p ，g i i ，删其中1 0 9 ”( z ) 是饱和的对数函数，我们得到 了不可压磁流体方程组在b e s o v 空间b o 。( 孵) 中光滑解的爆破准则即 如果( “( z ，t ) ，b ( z ，t ) ) 是磁流体方程组的光滑解，且满足 r 丁 ni f ( r o t t ( ，站，r 。t 眠砷川趣，。出( i ( o6 ) 则存在t t ，使得光滑解( u t ) ，b ( $ ，t ) ) 的存在区间可以连续延拓到( 0 ，t ) 这样， 就把n a v i e i s t o k e s 方程光滑解酶爆破准则完全推广到磁流体方程组的情形。 关键词：n a v i e r - s t o k e s 方程，e u l e r 方程，磁流体方程组，理想磁流体方程组， 适定电自相似解，爆破准则，弱m o r r e y 空间，b m o 空间，b m o 。空间，b m o 。 空间，b e s o v 空间，l i g t l e w o o d p a l e y 二进制分艇，b o n y 仿积分解 4 英文摘要 m a t h e m a t i c a lm e t h o d sf o ri n c o m p r e s s i b l eh y d r o d y n a m i ca n d m a g n e t o h y d r o d y n a m i ce q u a t i o n s a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，t h ei n c o m p r e s s i b l eh y d r o d y n a m i c sa n dm a g n e t o h y d r o d y n a m i c s e q u a t i o n sa r es t u d i e df r o mt h em a t h e m a t i c a lv i e wp o i n t l e u l e rf o r m u l a t e dt h e e u l e re q u a t i o nt od e s c r i b et h em o t i o no fa ni d e mf l u i d ( i n v i s c i df l u i d ) i n1 7 5 5 2 6 ra u + 知v ) “= 一v p ，z r n ，t 0 ，+ o 。) ， d i v u = 0 ，( 0 7 ) l 【“( 0 ) = “o ( g ) ，d i v u 0 = 0 n a v i e rd e r i v e d ，i n1 8 2 2 ，t h en a v i e r s t o k e se q u a t i o n r 孰u + ( uv ) 钍= y & u v p ，z 酣，t 【0 ，+ 。o ) ， d i v u = o ， ( 0 , 8 ) lu ( o ) = “o ( z ) ，d i v u 0 = 0 t od e , b c r i b et h em o t i o nl a wo fv i s c o u sf l u i df 7 6 1w h e r epi st h ev i s c o u sc o e f f i c i e n t ， a n ds t o k e sm a d ec l e a rt h ep h y s i c a lm e a n i n go ft h ev i s c o u sc o e f f i c i e n t i n1 8 4 5 8 9 d u li 1 1 9m o r et h a n2 0 0y e a r s t h er e s e a r c ho fe u l e ra n dn a v i e r s t o k e se q u a t i o n sh a s b e e nd e v e l o p e dr a p i d l y ，a n de x t e n s i v e l ya p p l i e dt oe n g i n e e r i n g ，i np a r t i c u l a r ，s h i p p i n g i n d u s t r y ，a e r o n a u t i c sa n da s t r o n a u t i c s ，a n dm e t e o r o l o g y m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e d e x t e n s i v e l ye u l e ra n dn a v i e r s t o k e se q u a t i o n sf r o md i f f e r e n tv i e wp o i n t s t h en e w s t u d y i n gm e t h o d sa r ec o n t i n u o u s l yp u tf o r w a r d ，a n dt h em a t h e m a t i c a lt h e o r i e sg e t c o n t i n u o u s l ya b u n d a n t f o re x a m p l e ，i n1 9 3 3 ，l e r a yu s e dt h ee n e r g y e s t i m a t e st op r o v e t h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n st on a v i e r s t o k e sf o rt h ef i r s tt i m e 【5 8 s u b s e q u e n t l y ， m a n yp a p e r sw e r ed e v o t e dt ot h er e s e a r c h o fr e g u l a rt h e o r i e so fl e r a y h o p fw e a k s o l u t i o n s 8 4 ，8 5 ，5 ，6 ，6 5 ，5 4 ，3 ，2 2 ，5 2 ，5 3 ，5 6 1 k a t oa n df u j i t ag a v e a na p p r o a c h b a s e do ns e m i - g r o u pt oc o n s t r u c tt h es t r o n gs o l u t i o n so nas t r o n gs p a c ed i r e c t l yi n 1 9 6 2f 4 5 1 ，a n dk a t oe s t a b l i s h e dt h ew e l l - p o s e d n e s sf o rn a v i e r s t o k e se q u a t i o n so n s p a c en n ( 船) b yt h es e m i g r o u pm e t h o di n1 9 8 4 4 2 1 k a t o sm e t h o d h a sb e e na p p l i e d 5 中物院博士学位论文 t od i f f e r e n tf u n c t i o n a ls p a c e se x t e n s i v e l yi nr e c e n ty e a r s 4 5 ，4 2 ，6 0 ，3 8 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，2 8 ， 4 4 ，9 1 ，2 ，9 7 ，7 0 ，1 8 ，5 0 1 i nt h i sp a p e rt h eh y d r o d y n a n r i ca n dm a g n e t o - h y d r o d y n a m i ce q u a t i o n sa r es t u d i e d f r o mt w od i f f e r e n tv i e wp o i n t so nt h eo n eh a n d ，w ed i s c u s st h ew e l l p o s e d n e s so ft h e c a u c h yp r o b l e m s0 nd i f f e r e n tf u n c t i o n a ls p a c e s ；o nt h eo t h e rh a n d ，t h eb l o w - u pc r i t e r i a o fs m o o t hs o l u t i o n st ot h em a g n e t o h y d r o d y n a m i ce q u a t i o n sa r es t u d i e d t h i st h e s i s i sd i v i d e di n t ot o u rp a r t s p a r to n e s t u d y i n gt h eg l o b a lw e l l - p o s e d n e s so fs o l u t i o n st ot h en a v i e r s t o k e s e q u a t i o n so i lw e a km o r r e ys p a c e sf o rs m a l li n i t i a ld a t aa n dt h ee x i s t e n c eo fs e l f - s i m i l a r s o l u t i o n s w ec o n s t r u c tt h ew e a km o r r e ys p a c e s ，w h i c hg e n e r a l i z em o r r e ya n dl o r e n t zs p a c e s a n dh a v em a n ya d v a n t a g e s o nt h eo n eh a n d ，t h e yi n c l u d em o r r e ys p a c e s 螂( 黔) ， 1 psq o 。a n da l ll o r e n t zs p a c e s p ，日( 辩) ，1 psgso o o nt h eo t h e rh a n d ， w e a km o r r e ys p a c em a ya d m i tt h ef u n c t i o n st h a ts a t i s f ys e l f - s i m i l a rs t r u c t u r ei no r d e r t oe s t a b l i s ht h ew e l l - p o s e d n e s so fs o l u t i o n st ot h en a v i e r s t o k e se q u a t i o n so i lw e a k m o r r e ys p a c e s ，w ed e f i n et h ew e a km o r r e ys p a c e s 蜗 ( 郧) ，0sa 0 时，温和解本质上就是光滑解与l e r a y h o p f 弱解理论相比，k a t o 的方法无需借助于能量不等式因此，工作空间的选择更加灵 活， 对于初始正则的解，可能永远不会发生爆破，即：是整体正则的解；可能经过一段 时问后发生爆破，没人知道究竟发生什么结果此问题是当今流体力学中非常重要的 公开问题之一，美国的c t a y 数学研究所在全世界范围内悬赏解决该问题【2 7 目前，在 该方向的最好结果仍是由l c a f f a r e l l i ，r k o h n 和l n i r e n b e r g 在【1 5 j 中得到的结果 即：n a v i e l s t o k e s 方程解发生奇异的点集的一维h a u s d o r f f 测度为零另见 6 2 1 0 中物院博士学位论文 关于流体力学以及磁流体力学方程组的c g u c h y 问题的适定性的进展情况是：在 适当的函数空问中，局部解是适定的；如果初值在某种模意义下充分小，则其整体解 也是适定的或者，在空问维数等于2 时，是整体适定的下面我们以n a v i e r s t o k e s 方程为例简要回顾其经典研究进程， 1 2 n a v i e r s t o k e s 方程的经典研究进程 从n a v i e r s t o k e s 方程的研究历史来看，主要有两个途径第一是通过研究l e r a y h u p f 弱解的正则性来获得经典解的整体存在唯一性当然，弱解若光滑，则一定唯 一第二是直接在较强的函数空间，如l ( 黔) ，r n ，m o r r e y 空间、l o r e n t z 空间 ，。f 删t ) 、b m o 一1 ( 渺) 等空间中研究n a v i e r s t o k e s 方程的适定性本质上，它的存 庄性就意味着唯一性 一般地，我们将n a v i e r s t o k e s 方程的定解问题表示为： u 一“+ ( u ，v ) “+ v p = o ， ( 11 ) d i v u = 0 ，( 12 ) u 勰= 0 ， ( 1 3 ) u 0 ) = “o ( g ) ，d i v u o = 0 ( 14 ) 这里。啦0 t tqc 皿扎是一光滑区域，特别地，若n = 彤，则去搏边界条件 ( 1 3 1 记 矿( t ) = u 。，t ) ；u c f ( n c 0 ，t 】) ， ( 15 ) 舾( t ) t i 州n ) 是一致有界的，。墨t 兰? ，。 ， 0 和 l e v a t y h o p f 弱解“t ) y ( 刃，使得对任意0 t t 有 1 1 0 t u ( t ) 1 1 2 ，f l w ( t ) 1 1 2 o o ( 1 1 3 ) 并且当n = 2 时，t = o o ；当n = 3 时，只要1 i t o l l w ：1 ，则t = 。 关于l e r a y h o p f 弱解的正则性和唯性，许多数学家做了大量的工作如js e r r i n 【9 4 85 】cf o i a s 【3 0 】，m a s u d af 65 】7v e i g a 【5 ，6 1 ，s t r u w e 【9 0 以及k o z o n o 与s o h r 【5 4 】等 等 1 2 中物院博士学位论文 定理1 23 设q ，r 满足条件 一2 + 2 茎1 ，n sr 。n 1 4 1 q t 设u ( z ，f ) 是( 11 ) - ( 1 4 ) 的l e r a y - h o p f 弱解，则下列结果成立 ( 1 ) 若“( 。，t ) l q ( 0 ，司；( n ) ) ，则有如下能量恒等式： t l u l l ；+ 2 4 v u 惦d t = j j u oj j ；0 s t t ( 11 5 ) j 0 ( 2 ) ，若u ( z ，f ) l q ( 0 ，司；工( n ) ) ，贝0u ( z ，t ) c 。( ( o ，t 】n ) ( 3 ) 若u ( z ，t ) 驴( 【0 ，t 】；l r ( n ) ) ， ( 。，是( 11 ) 一( 1 4 ) 的另个l e r a yh o p f 弱解， u 口( z ) 是其初值，并且满足能量不等式 f ”| | ；十2 i l v v l l i d t i l “。l | l ，0 t t j0 则对0 t s t 及。n ，“( z ，t ) ；v ( x ，) 定理1 23 的证明可参阅文献 8 4 ，8 5 ，5 ，6 等等，当g = o 。，r = n 时，可参阅文献 6 5 ，5 4 等等关于l e r a y - h o p f 弱懈的正则性和光滑解的爆破准则，最近几年有一系列 新进展 32 2 ，5 2 ：5 3 ，s 6 b e a l e ，k a t o 和m a j a d a 在文献 3 】中，于1 9 8 4 年得到的关于 e u l e r 方程光滑解爆破准则的经典结果是： 定理1 2 4 设“t ) e ( 0 ，t 1 ；h 。( 静) ) n c l ( 【0 ，t 1 ；h ”1 ( 衅) ) ，s a ，是e u l e r 方程 a “+ m v ) “+ v p = 0 ， d i v u = 0 的光滑解如果p 是光滑解u t ) 的最大存在时间，则 巾v 叫l l * d t = 。， 特另有 ( 1 1 7 1 f 1 1 8 ) ( 1 1 9 1 t ，l i m t 。8 “pl i v 。“怯= 。( 1 2 0 ) 对光滑解的这个爆破准则，许多数学家都进行了推广 k o z o n o 和t a n i u c h i 推广 到m b o 空间【5 2 ，k o z o n o ，o g a w a 和t a n i u c h i 推广到b e s o v 空间西譬o 。【5 3 ) ，注意到 l 。( 帮) qb m o ( m ) q 亩要。( 科) ， 1 3 第一章绪论 凶此，从宅间包含关系来看，k o z o n o ，o ga _ w a 和t a n i u c h i 的结果 5 3 是最好的， 1 9 9 9 年，c l - “dh c h o e 在文献 2 2 中考虑只用流体速度向量或旋度向量的两个分量来 控制爆破准则，他们的结果是： 定理l25 设n 0 ( z ) l 2 ( 衅) ：d i v u o = 0 记“o = c u r l u o 工2 ( 噼) 是旋度向量记 i = “e j + u 2 e 2 及西= u l e l + o j 2 e 2 分别是速度和旋度向量的前两个分量 ( i ) 对于n a v i e r s t o k e s 方程( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的l e r a y h o p f 弱解“t ) ，如果 玉弘姒丁；三j ( 败3 地：+ ；2 ，1 - q o o 及； r o o ；或者忪l 1 ，则弱解 “h ，t ) 是( 0t 上的光滑解 ( i ) 如果假定咖h 1 ( 础) ，v 百 ( o ，t ；( 贼) ) ，；+ ；兰l ，2 曼q o 。及3 茎r 曼。， 则l e i a yh o p f 弱馋“( z ，t ) 是( 0 ，t 上的光滑解 tk a t o ，hf u j i t a 和gp o n c e 在系列文章中引入了一种方法，直接在较强的函 数空间中，利用p i c a r d 迭代，获得n a v i e r - s t o k e s 方程对任意初值温和解的局部适定性 和小解的整体适定性本质上，温和解就是经典解 4 2 ，4 3 ，4 4 ，3 l ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 】下面 馥们更一般地讲讲tk a t o 的方法 记 e t = ，( z ) ( 口) “：d i v f ( x ) = o 在弱意义下成立) 耳= ( v ，( 。) ，如) w 1 , r ) 则l e b e s g u e 空间有如下的h e l m h o l t z 分解 ( ) ”= 目。耳 f l 2 1 1 ( 1 ，2 2 1 ( 12 3 ) 用h e h n h o l t z 投影算子p ：( 上，) ”( 犯) 一日( 眇) ，1 r o o 作用于( 1 1 ) 可以得到如下 抽象的抛物方程的c a u c h y 问题： o t u + a u = ，( u ) ( 12 4 1 这里a = p ，( u ) 一p v ( u o “) d ( a ) = u ；u w 2 , r ( 研) n 易( 孵) ) ，或者d ( a ) = u 咖2 , r ( 融) n 西( 时) ) ，1 r o o 记a 在耳上生成的解析半群为s ( t ) = e “i 州n a v i m s t o k e s 方程就可阱转化为如下积分方程： 皇 s ( t ) “o ( 茹) e - a ( 。7 ) p v ( t j 0 e - a ( “7 ) f ( u ) d r j 0 t 4 ( 1 2 5 】 中物院博士学位论文 下面引入n a v i e r s t o k e s 方程的三元容许簇和广义三元容许簇的定义 许簇给出的自由方程的时空估计请参阅【6 吼或者1 7 2 6 8 定义12 2 ( 苗长兴1 6 6 ，7 2 ) 称( gp ，r ) 是关于n a v i e r s t o k e s 方程的三元容许簇，如果 ；= ；( ；一p ! ) gz 7 这里 剽用三元容 f 12 6 1 - 嘞 0 ，使得对任意初值u o ( ) b m o ，d i v u o ( z ) = 0 ，只要i u 0 1 1 b m 0 一 邵么n a v i e r s t o k e s 方程存在整体温和解“( 。，t ) 满足 以“( 。，t ) l 。( ( o ，o 。) ，腿3 )( 1 3 5 ) 和 。，i 壶z 。正，两圳2 d r d z o 。 ( 1 s 。) 借助于l i t t i e w o o d p a l e y 分解技术， c a n n o n e 和m e y e r 【1 9 j 定义了所谓的合适的 b a m c h 空间x 。进而建立了n a v i e r -