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曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程的解及其应用 摘要 非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的 各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性边值问 题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前分析数学中研究最 为活跃的领域之一其中，非线性脉冲微分方程问题来源于应用数学的各个领 域以及物理学中的模型，具有重要的理论意义和应用价值本文利用锥理论， 不动点理论，拓扑度理论并结合上下解方法等，研究了一类非线性脉冲微分方 程解的情况，得到了一些新成果这些结论是在相对较弱的条件下对文献【4 】 f 8 1 ，【1 1 1 5 】，【2 7 2 9 】的相关结论的推广，延伸 根据内容本文分为以下三章； 在第一章中，受文献 4 ，8 】的启发，我们在b a n a c h 空间中研究了一类二阶 脉冲微分方程周期边值问题： - - x = ( t ，z ，t z ，t s 。) ，t j ， a z ( t k ) = p k ( z ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，仇， 一z ( t k ) = q k ( x ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ，m ， 9 ( z ( 0 ) ，z ( t ) ) = 0 ，。7 ( o ) = 。7 ( t ) 的解的情况在上下解反向给定时，利用半序理论和新的比较定理，证明了问 题最小解和最大解的存在性以及解的唯一性，并给出了唯一解的迭代序列的误 差估计式将文献【8 的结论推广应用到脉冲微分方程 在第二章中，我们利用s c h a u d e r 不动点原理得出【0 ，+ o o ) 上二阶微分方程 无穷边值问题： l z = i ( t ，。( ) ) ，t 0 ，+ 。) ， 【x t ( o ) = 0 ，z ( + 。o ) = 0 的正解存在性定理此理论改进了文献【1 1 1 5 】中的相应结论 在第三章中，本章运用三解不动点定理，研究了一类二阶脉冲微分方程边 曲阜师范大学硕士学位论文 老-xh亍焉f(t,x,x篡),v t e j , ，m ， 关键词：脉冲周期边值问题；上下解；单调迭代；比较定理；正 解；不动点；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h m a t i c s ，b e c a u s ei tc a ne x p l a i na l lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，m o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e m s e l v e st oi t t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p s ) f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nav a r i e t yo fa r e a so fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p h y s i c sa n dv a r i a t i o n a lp r o b l e m so fc o n t r o lt h e o r y ，i ti sa tp r e s e n t o n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d s i na n a l y s em a t h e m a t i c s a m o n gt h e m ，i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o m ef r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n d p h y s i c s ，a n dt h e ya r ev e r ym e a n i n g f u li nb o t hp r a c t i c a la o at h e o r e t i c a la s p e c t s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y ，f i x e dp o i n tt h e o r y ，t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya n du p p e r l o w e rs o l u t i o n sm e t h o da n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st os o m ek i n d so fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h er e s u l t so b t a i n e da r ee i t h e rn e wo re s s e n t i a l l yg e n e r a l i z ea n d i m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e r1 ，m o t i v a t e db y 4 ，8 1 ，w ec o n s i d e rt h et h ee x i s t e n c eo fm i n i m a l a n dm a x i m a ls o l u t i o n s ，t h eu n i q u ep o s i t i v es o l u t i o n so fp e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rt h es e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a n c h s p a c e s ， z ， = f ( t ，z ，t z ，s x ) ，t j 7 ， a x ( t k ) = r ( z ( t 凫) ) ，k = 1 ，2 ，m ， - a x m 七) = q 七( z ( t 七) ) ， k = 1 ，2 ，m ， 夕( z ( o ) ，z ( 丁) ) = 0 ，x t ( o ) = z 7 ( 丁) ， w h e nt h ep r o b l e mh a v eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n si nt h er e v e r s e do r d e r ，b y u s i n go ft h eo r d e rm e t h o da n dn e wc o m p a r i s o np r i n c i p l e s w ea l s oo b t a i na n i t e r a t i v es e q u e n c ea p p r o x i m a t i n gt h eu n i q u es o l u t i o no ft h ep r o b l e mb e t w e e n l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s t h et h e o r e mi m p r o v e sa n dg e n e r a l i z e st h er e s u l t s o f 8 】t ot h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h es c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fi n f i n i t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h es e c o n d 曲阜师范大学硕士学位论文 o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， 五吾二 i 三：，三乏【o ，+ ) t h et h e o r e m sg e n e r a l i z e st h er e s u l t so f ( 1 1 1 5 i nc h a p t e r3 ，b yu s i n go ff i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h es o l u t i o n so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h es e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， ，m ， a n do b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s k e y w o r d s ：p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hi m p u l s e ；u p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n s ；m o n o t o n ei t e r a t i v e ；c o m p a r i s o np r i n c i p l e s ；p o s i t i v cs o u t i o n ； f i x e dp o i n t ；c o n e 一 = q 七 = m 以 、l，l 一 件 ，i、“o 如 = 文 八 砘叭 ，l i 巩l 一 一 以 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性微分方程的解及其应用， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所 取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对 本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：簟建磊日期西咄6 、 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( 非线性微分方程的解及其应用系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位 期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的 复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 日期： 知d 8 、6 、 日期：7 衫d 鬯( 乙 第一章b a n a c h 空间混合型二阶脉冲积分一微分方程周 期边值问题的解及其唯一性 1 1引言 本文在b a n a c h 空间中研究了一类二阶脉冲微分方程周期边值问题在 上下解反向给定时，利用半序理论和新的比较定理，证明了问题最小解和最大 解的存在性以及解的唯一性，并给出了唯一解的迭代序列的误差估计式对 于j = 【0 ，t 】，令0 = t o tx t 2 o ； ( b ) 存在t 。，t + j ，使v ( t 。) 0 若情况( a ) 成立由( 1 2 4 ) 式知, t t ( t ) 0 ，vt zt t k ，且a v 7 ( t k ) 一m u ( z 七) 0 ( k = 1 ，2 ，m ) 故v t ( t ) 是j 上的减函数又u 7 ( o ) f u7 ( 丁) ， 所以( f 一1 ) v 7 ( 丁) 0 因此 ( i ) 当i - 1 时，v t ( 丁) 0 ，故v i ( ) 0 ，vt j 所以u ( z ) 不是减的 且v ( 0 ) v ( t ) v ( t ) = u ( o ) 故v ( t ) = u ( o ) 为常数又v ( t + ) 0 ，所以 v ( t ) = c 0 则 r t ，丁 0 = 一v n ( t ) l c + c m 七( t ，s ) d s + c ( ，) d s o ， 3 第一章b a n a c h 空间混合型二阶脉冲积分一微分方程周期边值问题的解及其 唯一性 矛盾 ( i i ) 当j = 1 时，u ( 0 ) = u 7 ( 丁) = 俳) 为常数则 0 = 一钉( + ) l v ( t + ) + m t v ( t ) + n s v ( t ) 0 ， 矛盾 故情况( a ) 不成立 若情况( 6 ) 成立令i n i ，f 秽( ) = 一入，则入 0 故存在五= ( t j ，屯+ 1 】，使 得u ( t ) = 一a 对某t t j j 成立或v ( q ) = 一a 不妨设v ( t 。) = 一a ( 当 口( 哆) = 一a 时，证明类似) 由( 1 2 4 ) 式知 邶) l a + m 入l ：婶，s ) d s + n xf o t 吣8 ) d s m o 入，vt j 7 设 讹) 0 ，v t j 则a v ( t k ) = 他u 讹七) 0 ，k = 1 ，2 ，m 故秽在j 上是严格增的则v ( o ) u ( 丁) ，与( 1 2 4 ) 式中”( o ) = v ( w ) 矛盾所以存在 e o j ，使得u 7 ( 晶) o 不妨设晶五，则 可7 ( 毛)= u ( t - o ) 一 m ) + 叭t 七) 一秽讹川) 】+ u p ) k = i + l = 钉) u 他m ) + v t ( t k )一u ( 毒) + u 7 ( 嘉) 一v ( t k + i ) 1 + ”( 丁) 纠( 丁卜。萎m ，邮沪r 0 矿( s ) d s向= i + 1 ” 另外，任取t 4 ( 7 0 ，l ，m ) ，有 v i ( o ) 一u 印) r i = m 七) k = o r v ( t k + 1 ) 】+ 可7 ( 0 ) 一u 7 ( t ) = 一掣) 七= l 4 厂t ld i ( s ) d s ， j o ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 因此，由( 1 2 4 ) ，( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 式，有 p rr n 一”俅) 一卜( s ) d s 一u 他七) 一 j 0 七= 1七= i + 一a ( + t 一而) 一2 a n k 再设t + 以( 1 o ，1 ，m ) ) 不妨设t + t ，则 因此 0 v ( t + 1 一a + + t t k v ( t + ) 一钉( 。) u ，( s ) d s + a v ( t 七) t k ( 晶) + 2 a n k d s 七= 1 矗) + 2 a 眠】 ，t | v i i ( s ) d s 3c o n mr n7 n ， 一a + 芸m o a t 2 + 2 a 丁n k + 2 , k m o t 地+ 2 1 慨m “ k = 1七= 1 克= 1七= 1 矛盾所以，引理1 2 1 的结论成立证毕。 考虑二阶线性脉冲微分方程 其中 一z ( ) = a x ( t k ) = 一a x 讹七) l z + m t x + n s x + 仃( ) ，t j 7 ， 地z m 知) ，k = 1 ，2 ，m ， = 帆z ( t 七) ，k = l ，2 ，m ， x ( t ) = z ( o ) + 7 ，z 7 ( 丁) = z 7 ( o ) ， ( 1 2 8 ) ( 凰) l ，m ，帆，n k 0 ，q ，7 ，凤，以r ，k = 1 ，2 ，m 引理1 2 2 假设( 凰) 和( 1 2 3 ) 式成立则问题( 1 2 8 ) 至多有一个解 5 、l ， 愈 蚓 慨 凡 队 ，【 。 序地 第一章b a n a c h 空间混合型二阶脉冲积分一微分方程周期边值问题的解及其 唯一性 证明设方程( 1 2 8 ) 有两个不同的解y ，z p c i ( ze ) nc 2 ( ze ) 令 p = g ( y ( t ) 一z ( ) ) 则 i - p = l p + m t - p + n s p ，t j 7 ， ia p ( t k ) = m k p 七) ，k = 1 ，2 ，m ， l 一p 7 ( t k ) = n k p ( t k ) ，k = l ，2 ，m ， ip ( t ) = p ( o ) ，( t ) = p ，( o ) 由引理1 2 1 知，p ( t ) 0 ，vt j 当p ( t ) = g ( z ( t ) 一可( ) ) 时，同样可证p ( t ) 0 所以y ( t ) = z ( z ) ，vt j 即问题( 1 2 8 ) 至多有一个解证毕 根据文 4 】和【9 】我们有下面的结论 引理1 2 3 假设( 凰) 成立则z p c i ( ze ) n c 2 ( ze ) 足问题( 1 2 8 ) 的解当且仅当 ) ：! t s)盯，(s，小)ds+m-gc(t - c ( t s ) 酣) + h ( t ，t k ) a x ( t k ) 一手，0 z ( t ) = ，s ) 盯7 ( s ，z ( s ) ) d s + ，s ) z +， 一手， t ， 惫：1 ( 1 2 9 ) 其中盯7 = 2 l x + m t z + n s x + 盯( ) ， g c t ，s ，= 夏赤 三三：二：二：l 蔓：兰蓁；三：萎；： h ( t ，8 ) = 2 ( e l - i t e v 伍( t 一+ s ) 一e v l ( t 一引，0 8 t t ， e g y ( t + t s ) 一e 4 - 云( 8 一乱，0 冬t 茎sst 引理1 2 4 假设( ) 成立如果 = 漏【c 警t + 静+ 喜慨q 2 加， f = 壶( 竽+ 肌互i nm + 七= l v 伍( e 鬲v z t + - 1 ) 夕m ? 慨 1 ( 1 2 1 1 ) e v q ；7 1 1 台“ 、 则问题( 1 2 8 ) 有唯一解x ( t ) p c i ( ze ) nc 2 ( ze ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 证明定义算子 删= f o tg s m s ) ) d s + 争g 龇卅脚必邢训辛 其中g ，日，口7 都同上则vz ( t ) ，y ( t ) p c i ( ze ) ，有 a x a y l l p c s u pl g ( ，s ) 【盯( s ，z ( s ) ) 一盯7 ( s ，可( s ) ) 】d s + s 。u j p 七：1 g ( ，z 七) ( z 7 ( t 七) - a y ( 七) ) + 日( t ，t k ) ( a x ( t k ) 一y ( t 七) ) l 另外有 i i ( a x ) 一( a y ) 川p c t | | z 一可l i 尸g - 所以 i l a x a y n p c t m a x ， l l x y i p c 由压缩映像原理知算子a 有唯一不动点，即( 1 2 8 ) 式有唯一解证毕 1 3 主要结果 下面先给出本节用到的一些假设： ( h 1 ) z o ( ) ，y o ( ) p c i ( ze ) nc 2 ( ze ) 分别是问题( 1 1 1 ) 的下解和上 解且满足x o ( t ) y o ( t ) ，vt j ( 吼) 存在常数地，心0 ，k = 1 ，2 ，m 。使得vy o 珏u x 0 ，有 g k ( 钆( 七) ) 一g k ( u ( t 七) ) = 慨( u 7 ( t k ) 一钞也七) 】， q 七( u ( 七) ) 一q 七( u ( 七) ) 帆【u ( z 七) 一u ( 七) 】 ( 凰) ( 1 2 3 ) ，( 1 2 1 0 ) 和( 1 2 1 1 ) 式成立 7 第一章b a n a c h 空间混合型二阶脉冲积分一微分方程周期边值问题的解及其 唯一性 ( 风) 存在常数l ，m ，n 0 ，使得vy osu 百z o ，t y o u 雷 t x o ，s y o w 西ss x o ，有 f ( t ，豇，面，西) 一y ( t ，u ，u ，w ) - l ( u 一百) 一m ( v 一面) 一n ( w 一晒) ( 风) vy o u 面x o ，y o 秒雷x o ，有 定理1 3 1 假设( 日t ) 一( 月5 ) 成立则问题( 1 。1 1 ) 在【秽o ，x o 】中有最大 解和最小解 证明考虑 与 一可：( t ) = 一f ( t ，y n _ 1 ( ) ，( t y n 一1 ) ( ) ，( s y n 1 ) ( ) ) + l y n 一1 ( t ) + m ( t y n - i ) ( ) + n ( s y n 一1 ) ( t ) + l y n ( z ) + m ( - f l y n ) ( t ) + n ( s y n ) ( t ) ，t j 7 ， a y n ( t k ) = p k ( 一1 ( t k ) ) + 帆龇( 七) 一比一l ( t k ) 】，尼= 1 ，2 ，m ， - a y ( t 七) = q k ( y n 一1 ( t k ) ) + n k ( 惫) 一y n _ l ( 七) ， 后= 1 ，2 ，m ， 0 = 9 ( y n 一1 ( o ) ，y n - 1 ( t ) ) 一【可n ( 丁) 一y n 一1 ( 丁) 】+ 【y n ( o ) 一y n - l ( o ) ， 昵( o ) = 如( 7 ) l z ：( ) = 一f ( t ，x n - l ( t ) ，( t z n 一1 ) ( t ) ，( s x n 1 ) ( ) ) + l x n 一1 ( t ) + m ( t x n 一1 ) ( t ) i 十n ( s x 几一1 ) ( ) + l x n ( t ) + m ( t z n ) ( ) + ( s z n ) ( t ) ，t j ， la x n ( t k ) = p k ( z n l ( 七) ) + 慨k ( t 七) 一z ：一l ( t k ) 】， 七= 1 ，2 ，m ， i 一z ：( 七) = q k ( z n 一1 ( 七) ) + 帆i x n ( 七) 一x n - 1 ( t k ) 】， 惫= 1 ，2 ，m ， l0 = 夕( z n 一( o ) ，x n - 1 ( 丁) ) 一p n ( 丁) 一x n - 1 ( 丁) 】+ 【x n ( o ) 一x n - l ( o ) ， iz 幺( o ) = z 0 ( t ) 则由引理1 2 4 知x l ，y 1 是有意义的下面证明y o y l z 1 z o ，vt j 8 曲阜师范大学硕士学位论文 令p = y o y 1 由( 1 2 8 ) 式和( 1 2 9 ) 式得 l p ( ) l p + m t - p + n 5 p ，t zt t k ，k = l ，2 ，m ， p ( t k ) - 坳，( 如) b 1 2 ，矾 ( 1 3 1 ) i - p 7 ( t k ) 帆p ( 七) ，k = 1 ，2 ，m ， ip ( o ) = p ( t ) ，p ，( o ) 冬p 7 ( 丁) 所以由定理1 3 1 ，y o y 1 ，t 了同理可证x l x o ，vt j 现令p = y l z 1 则由( 飓) ，( 日3 ) 和( 凰) 有 - q ”一l ( y o z o ) 一m ( ( t y o ) 一( t z o ) ) 一n ( ( s y o ) 一( s x o ) ) + l y o + m ( 丁可o ) + n ( s y o ) + l y l + m ( t y l ) + n ( s y l ) 一l x o m ( t x o ) 一n ( s x o ) 一l z l m ( t x l ) 一n ( s x _ 1 ) = l q + m ( ( 丁g ) ) + n ( s q ) ， a q ( t k ) = r ( 可o ( 七) ) 一r ( z o ( t 七) ) + m k y ；( t k ) 一y ；( t k ) 一z ：( t k ) + z ：( t j c ) 】 = 慨 可：( z 是) 一z ：( t 七) 】+ 尥 夥：( t k ) 一秽：( 是) 一z ：( t k ) + z ：( 是) 1 = m k q m 七) ，七= 1 ，2 ，m ， 一口7 ( t k ) = - ( q k ( y o ( t k ) ) 一q k ( x o ( t , ) ) + n k b l ( t k ) 一y o ( t k ) 一x l ( t k ) + x o ( t k ) ) n k q ( t k ) ，忌= 1 ，2 ，m ， 0 = g ( y o ( o ) ，y o ( 丁) ) 一g ( z o ( o ) ，x o ( t ) ) 一( y l ( t ) 一y o ( t ) 一x l ( t ) + x o ( t ) 】 + 分l ( o ) 一y o ( o ) 一x l ( 0 ) + z o ( o ) y o ( o ) 一x o ( o ) 一y o ( t ) + z o ( t ) 一【y l ( t ) 一y o ( t ) 一x l ( t ) + x o ( t ) 】 + y l ( 0 ) 一y o ( o ) 一x l ( 0 ) + z o ( o ) = - q ( t ) + 口( o ) ，k = 1 ，2 ，m ， 9 7 ( o ) = 口7 ( 丁) 根据引理1 2 1 ，y 1 z 1 ，任意t j 同样，我们有 y o ( t ) y l ( t ) s n ( ) x n ( ) x l ( t ) z o ( t ) ， 9 第一章b a n a c h 空间混合型二阶脉冲积分一微分方程周期边值问题的解及其 唯一性 其中vt zn = 0 ，1 ，m ，则y ( t ) = l i my n ( ) ，x ( t ) = l i mz n ( t ) 满足问 九- 乱叶o o 题( 1 1 1 ) 且x ，y 【y o ，x o 下面证y 是问题( 1 1 1 ) 的最小解，x 是它的最大解设u 是问题( 1 1 1 ) 的一个解，则存在n o 使得y n 。( ) 冬让( t ) sx n o ( ) ，任意t j 令p l = y n o u 则 一p ：却l + m ( ( t p l ) ) n ( , - q p l ) ， a p l ( t k ) = 坂反( t k ) ，一烈( t k ) n k p l ( t k ) ，k = 主，2 ，m ， 0 - p l ( t ) + p l ( o ) ，耐( o ) = 最( 丁) 因此， y n o + l ( ) 珏( t ) ，任意t j 。同理可以得到x n o “( ) 钍( ) ，任意 t j 所以，y 是问题( 1 1 1 ) 的最小解，x 是它的最大解 这样有 y osy ( t ) 珏( t ) 。( ) 。( t ) ，vt j ， 即问题( 1 1 1 ) 在【y o ，x o 】中有最大解和最小解证毕 定理1 3 2 假设( 日1 ) 一( 风) 成立且有 ( 爿r 6 )c o = f 。n 一鲰f | p c t 壶翌! 竺： 一f 下m n + ( 2 l + t m k 。+ t n h 。) t 荔筹焉】+ 1 则问题( 1 1 1 ) 在f y o ，x o 中存在唯一解牙，定理1 3 1 中的 z n ) 和 y n 均在 ，上依范数一致收敛于面( t ) 且有误差估计式 z n 一雪 | p c ts ；| | z o y o l i p c , ，n = 1 ，2 ，。 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 证明由定理1 3 1 的证明过程，可得到迭代序列 x 札) 和 ) 且 口x n ( t ) 一y n ( z r g s ) 阻( x n - - y n ) ( s ) + m ( 丁( x n - y n ) ( s ) ) + ( 5 ( x t l - - y f t ) ) 】d s 【一c ( t ，t 七) ( 眠( z n y n ) ( t 七) + q 七( z n ( 七) ) 一q ( n ( 为) ) 一帆( ( z n y n ) ( t 七) ) 】+ h ( t ，七) 【( z n y n ) ( 去) 一( x n y u ) ( z 七) 】 x n - - y n l i p “2 l + t m k o 圳和 s ) d s + 血= 1g ( ) 驯z 一一1 l i 删+ 圳m z n 一可n 罟i i z n 一可n l l p c - + h x n - - y i l 尸c ，( 2 l + t m k 。+ t n h 。) 丁 + 2扫万丽 因此，由锥的正规性可得 z n - y n i | p c l m n 七i l x 一y n - - 1i l p c - i 。= l 2赫乏l帆vz(v-rt 1e 一1 厶七= l ”摩 1 + e , i ；t 2肛历可 + ( 2 l + t m k 。+ t n h 。) t n 湍 + 1 由( 凰) 知0 o 1 ，利用上式可得 z n y n l i p s , 懿l i x o y o l l p c , ， ，= 1 ，2 ， x n - 1 - y n l | | p c l ( 1 3 2 ) 于是l l z n 一蜘i l p c o0 ，n _ 又由定理1 3 1 ，有忪一y i i p c - g l i x n 一 i i p g 。0 ，n _ o o 所以z = y = 牙此外，可以证明牙为问题( 1 1 1 ) 的 解是唯一解因对m = 1 ，2 ，3 ，l i x n 一, t m + n i l p c r | i z n y n l l p g ，再由 ( 1 3 2 ) 式，可知i l z n 一牙ij p c - g c 3 l i x o y o l i p c t 证毕 1 4 应用 令t l = 7 r ，t 2 = ；丌，t 3 = 2 丌，j = 0 ，2 7 r 】，j 7 = j t l ，2 ) ，j o = 1 1 第一章b a n a c h 空间混合型二阶脉冲积分微分方程周期边值问题的解及其 唯一性 【t o ，t 1 ，j 1 = ( t l ，t 2 ，以= ( t 2 ，t 3 考虑二阶脉冲微分方程 - - x ”( t ) = z 7 r f ( t ，z ( t ) ) ，t j ， a x ( t k ) = 0 ，k 一1 ，2 ， a x 7 ( t 1 ) = 2 ，( t 2 ) = - 2 ， x ( o ) + 2 7 r = z ( 2 7 r ) ，0 7 ( o ) = z 7 ( 2 7 r ) 硎= 2 t r , tej o , 洲= - t r , te j o ； ， 则 芏：t t ，= 三；i 三兰i寥：ct，=三；i茎兰! 下面证明x 0 和! ，o 分另i 是方程( 1 4 1 ) 的上下解，事实上，我们有 及 巾翩，性 a x o ( t 1 ) 裟2 一q l ( 茹o ( t ) ) ，。；( 舌2 ) 然一2 一q 2 ( x o ( t ) ) ， g ( x o ( o ) ，z o ( 2 7 r ) ) 一g ( 2 r ，4 7 r ) = 0 ，鬈：( o ) = z ；( 2 万) 邢肭，= 忙鬻褡 ， 茹( 1 ) = 2 一q l ( 洳( t ) ) ，妊( t 2 ) 黧- 2 一q 2 ( y o ( t ) ) ， g ( y o ( o ) ，y o ( 2 - ) ) 踹9 ( 一霄，霄) 一0 ，编( o ) = 骗( 2 耳) ， 1 2 ( 1 4 。1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 所以3 7 0 ，y o 是方程的上下解此时，帆= n k = 0 ，k = 1 ，2 这样当 去 l 去时， ( 日。) 一( - 5 ) 成立，所以有定理知方程( 1 4 1 ) 有最大解 和最小解 1 3 第二章二阶微分方程无穷边值问题的存在性 2 1引言 近年来大家对非线性微分方程边值正解存在性的研究产生了浓厚的兴趣， 并且取得了丰硕的成果( 1 1 - 1 3 】) 在文 1 2 中，e r b e 与王应用k r a s n o s e l s k i l l 不动点原理研究了方程乱 + q ( t ) f ( u ) = o 的正解的存在性在文f 1 4 1 中，孙 彦、徐本龙和刘立山利用构造新范数的技巧，研究了无穷区间上非线性微分方 程单调有界的正解存在唯一性在文 1 5 】中，郭大钧利用不动点指数理论得 出了一阶非线性脉冲积分微分方程无穷边值问题两个正解的存在性受文章 f 1 1 1 5 】的启发，本文将利用s c h a u d e r 不动点原理得出 o ，+ o 。) 二阶微分方程 ，无穷边值问题正解存在性 ! 川”= f ( t , x ”【o ，佃) ( 2 1 1 ) lx i ( o ) = 0 ，z ( + ) = 0 2 2 预备知识 设j = 【0 ，十。) ，j o = 【0 ，翻c 【0 ，+ ) ， 刚圳= 。：z c 【删，s 川u p 邢) 1 1 ) 定义范数 i 且= s u pi z ( t ) l i 易知b c j , j 在范数”i i b 下为一b a n a c h 空间在b c j , j 】中定义一个算 子t ：b c j , j 】_ b c j , d 如下： ( t x ) ( t ) = o 。0 8 ，( r ，z ( r ) ) d r d s - z 。3 ，( r ，z ( r ) ) d r d s ( 2 2 1 ) 我们使用下列引理与条件： ( i ) ，c j z 卅，i i 片f ( r ，z ( r ) ) 打| j a ( s ) + b ( s ) i xj ，其中n ( s ) ，b ( s ) 在了上可积； 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i i ) 歹( t ，b ) 是相对鬃集，兵中bcj 是有界果。 引理2 2 1 设条件( i ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 有解等价于算子r 在b c j , j 1 中有不动点 证明任意z b c j , 卅，由条件( i ) 可知廿。f of ( r ，x ( r ) ) d r d s 收敛，设 x b c j ，j 】是( 2 1 1 ) 的解，那么对( 2 1 1 ) 式积分可得 z 7 ( z ) = z 7 ( o ) + o 一，( s ，峦( s ) ) d s 由z 7 ( o )