（应用数学专业论文）退化c0半群的基本问题.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 逞能c a u c h y 耀题农近二卡年霹一蹇受裂人嬲的广泛关注建子q 半群对予 # 遂 化c a u c h y 问题理论有着巨大的贡献，自然的，人们也考虑g 半群对于退化c a u c h y 问题的应用i 从这个角度出发，来讨论退化c a u c h y 问题已获得一些研究成果在研 究的过穗中，一些退化毕魏相继被引入和讨论，但是没有形成系统的理论，而有关遇 纯g 半群方落残架菝少，遨纯岛半群鳇壤论是基本懿移霆要懿，获理论上它是q 半群理论的近一步完善，从殿用上它可以作为研究退化c a u c h y 闻题的有力工舆 首先本文引入退化岛半群及其生成元的定义，指出退化q 半群的生成元是多俊 线性算子，并得到退化岛半群及其生成元的一些重要性质其次，对于多值线性算子 两富，考瘩箕裙应的单德分支是囊要稀有意义的，应瘸于逐讫岛半群襻弼一个重要 的结果：多僮线性葵子生成退化岛半辫当冀仅当其单值分支生成岛半嚣在她基础 之上本文讨论了退化q 半群的生成定理，i 耐且还讨论了一魑特殊的退化岛半群，包 括退化收缩半群，退化等距半群，退化范数连续半群，退化可微半群和退化解析半群 的生成定理最后，类锨于一般非运纯g 半群理论，本文蒸于所得蓟的邋亿岛半群 季曩收缝半嚣懿生戏定理讨论了楣纛的：i 爨化半群的拢动阕题；基予l a p l a c e 变换对于半 群理论的运用，讨论了退化岛半群的遇近间题另外，本文还讨论了退化g 半群对 于退化c a u c h y 问题的应用 关键谒：退化岛半群生成定耀扰动定理逼近定璎退化c a u c h y 闻题多 值线性算子 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec a u c h yp r o b l e mo fd e g e n e r a t et y p eg a i n e dw i d ea t t e n t i o nw i t h i nt h ep a s tt w o d e c a d e s b e c a u s ec os e m i g r o u pt h e o r yc o n t r i b u t e sal o tt ot h en o n d e g e n e r a t ec a u c h y p r o b l e m ，p e o p l ea r ee n l i g h t e n e dt od i s c u s st h ed e g e n e r a t ec a u c h yp r o b l e mb yu s i n go f g s e m i g r o u p ta n d o b t a i n e ds o m er e s u l t s 。s e v e r a lt y p e so fd e g e n e r a t es e m i g r o u p sw e r e i n t r o d u c e da n dd i s c u s s e d ，b u tn o n eo ft h e mc a m ei n t ob e i n gs y s t e m a t i ct h e o r y , a n d w h a ta b o u t d e g e n e r a t ec os e m i g r o u p r e m a i n e sl i t t l e h o w e v e r ，t h et h e o r y o f d e g e n e r a t e g s e m i g r o u pi si m p o r t a n ta n db a s i c i nt h e o r e t i c a lt e r m s ，i ti s as u p p l e m e n tt ot h e t h e o r yo fc os e m i g r o u p s ，a n di nt e r m so fa p p l i c a t i o n s ，i tp r o v i d e su sau s e f u l t o o li n t h er e s e a r c ho fd e g e n e r a t ec a u c h yp r o b l e m f i r s t ，i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fd e g e n e r a t e 岛s e m i g r o u pa n d i t sg e n e r a t o r ，p o i n to u tt h a tt h e g e n e r a t o ro fd e g e n e r a t ec os e m i g r o u p i sam u l t i v a l u e d l i n e a ro p e r a t o r ，a n do b t a i ns o m ei m p o r t a n t p r o p e r t i e s s e c o n d l y , a st ot h e m u l t i v a l u e d l i n e a ro p e r a t o r ，i ti ss oi m p o r t a n tt oc o n s i d e ri t ss i n g l e v a l u e db r a n c ht h a ta p p l y i n gi t t ot h ed e g e n e r a t e 岛s e m i g r o u pw e g e ta ni m p o r t a n t r e s u l ta sf o l l o w i n g ：am u l t i v a l u e d l i n e a ro p e r a t o rc a nb et h eg e n e r a t o ro fad e g e n e r a t eg s e m i g r o u pi fa n do n l yi fi t s s i n g l e - v a l u e db r a n c hi st h eg e n e r a t o ro f ac os e m i g r o u p ，a c c o r d i n gt ot h i sr e s u l t ，w e d i s c u s sg e n e r a t i o nt h e o r e m so fs p e c i a ld e g e n e r a t es e m i g r o u p s ，i n c l u d i n gc o n t r a c t i o n s e m i g r o u p ，i s o m e t r i cs e m i g r o u pn o r m c o n t i n u o u ss e m i g r o u p ，d i f f e r e n t i a b l es e m i g r o u p ， a n da n a l y t i cs e m i g r o u p t h i r d l y , w ed i s c u s st h ep e r t u r b a t i o np r o b l e mo fd e g e n e r a t e 岛 s e m i g r o u p s a n dc o n t r a c t i o ns e m i g r o u p sb a s e do nt h e i rg e n e r a t i o nt h e o r e m s ，a sw e l la s t h ea p p r o x i m a t i o np r o b l e mb a s e do nt h ea p p l i c a t i o no fl a p l a c et r a n s f o r m s m o r e o v e r ， i at h i sp a p e r ，w ep u ts o m e a p p l i c a t i o n st ot h ed e g e n e r a t ec a u c h yp r o b l e m ， k e yw o r d s ：d e g e n e r a t ec os e m i g r o u pg e n e r a t i o nt h e o r m p e r t u r b a t i o nt h e o r e m a p p r o x i m a t i o nt h e o r e md e g e n e r a t ec a u c h yp r o b l e m m u l t i v a l u e dl i n e a ro p e r a t o r l i 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 c a u c h y 问题这一名词是由h a d a m a r d 1 1 于1 9 2 1 年提出的，事实上自十九世纪以 来，它在偏微分方程理论中一直占据着显著的地位，无论是在十九世纪末期偏微分方 程的经典理论，还是在二十世纪的现代理论中，一直是偏微分方程的基本问题之一 由于研究c a u c h y 问题的需要。人们引入了算子半群算子半群理论自1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 分别独立得到算子半群的生成定理以来得以飞速发展，目前已经形成比较 完善的理论体系( 1 2 7 1 ) 而它的意义早已不仅仅限于对c a u c h y 问题的应用，已被 广泛的应用于偏微分方程，数学物理，控制理论以及工程技术等 非退化的c a u c h y 问题已有大量的理论和应用上的成果，如 8 ，9 】而作为c a u c h y 问题的重要特类，即退化c a u c h y 问题，则是1 9 7 6 年c a r r o l 和s h o w a l t e r 1 0 1 提出的， 在其后的二十多年里一直受到广泛的关注其一般形式如下； m u ( t ) = l u o ) ，0 ts 丁；钍( o ) = t o 其中m ，l 为b a n a c h 空间x 中的线性算子，且k e r m o ) 其有限维系统，d a i 1 1 给出了比较完备的理论其无穷维系统，早期的研究工作主要利用k e r m 的l 的相关 向量，要求空间x 能分解成两个线性子空间的直和，使得l 在其中一子空间上可逆 1 1 2 ；而对于强制算子则利用谱方法，如s h o w a l t e r 1 3 】利用商空间把退化c a u c h y 问 题化为非退化c a u c h y 问题，但是这种方法在处理m 的扰动和逼近问题比较困难 受岛半群对c a u c h y 问题应用的启发，我们希望用半群的观念来研究退化c a u c h y 问 题t h a l l e r 1 4 1 6 1 利用空间分解将问题转化为非退化形式，从而能够运用岛半 群的理论进行讨论 后来人们陆续引入了和退化c a u c h y 问题密切相关的退化半群t h i e m e 1 7 1 在 1 9 9 0 年提出退化积分半群，并运用商半群的方法给出生成定理d e l a u b e n f e l s 1 8 1 于 1 9 9 3 年提出退化正则半群的概念，方全蕾在她的毕业论文 1 9 】中给出其生成定理，以及 和其它一些算子半群的关系，并讨论了退化余弦函数和退化分布余弦函数m e l n i k o v a 2 0 2 5 讨论了退化q 半群，退化积分半群，退化分布半群，并利用退化c a u c h y 问 1 华中科技大学硕士学位论文 题适定性和相应退化半群的关系，给出它们的生成定理但是，对于退化半群的基础 理论，如扰动，逼近，表示，对偶半群，收缩半群，等距半群，可微半群，解析半群， 以及对退化c a u c h y 问题的深入的应用方面的工作还基本上处于空白 应用多值线性算子可以考虑一般的退化c a u c h y 问题，其形式如下： 钍( t ) 4 t ( t ) ，0 t t ；t ( o ) = z o f a v i n i 和y a 百利用岛半群和多值线性算子作了一系列有意义的工作 2 6 3 0 而有 关多值线性算子的基本理论理论可以参见 3 1 】 对于多值线性算子而言，考虑其单值分支是有意义的，n e u b r a n d e r 3 2 ，3 3 】利用 的单值分支生成q 半群，给出了退化c a u c h y 问题一致适定性的条件在此基础 之上，本文的工作主要是讨论多值线性算子生成退化g 半群，对于一些特殊的退化 g 半群也得到类似的结果，同时本文还讨论了退化q 半群的扰动问题和逼近问题， 以及对于退化c a u c h y 问题的一些应用 本文安排如下： 第二章主要引入退化q 半群及其生成元的定义，并讨论其基本性质和生成定理 第一节给出多值线性算子的一些基本的预备知识；第二节定义退化岛半群和生成元 的定义，并给出一些基本性质；第三节给出了退化岛半群的生成定理；第四节讨论 一些特殊的退化g 半群，包括退化的收缩半群，等距半群，范数连续半群，可微半群 和解析半群的生成定理 第三章主要讨论退化半群的扰动和逼近问题，以及对退化c a u c h y 问题的一些应 用第一节讨论多值线性算子在算子召下的扰动问题，其中因为侈是单值和多值 不同而得到相应的扰动定理第二节讨论多值线性算子生成的退化函半群的逼近问 题第三节讨论退化g 半群对于退化c a u c h y 问题的一些应用，如退化g 半群与古 典解和m i l d 解的关系 2 华中科技大学硕士学位论文 2 邋亿c 。半群 2 1 预备知识 除非另外声唆，本文总假设x 爽b a n a c h 空阕。 对予x 的两个线性子空闻f g ，记f + g = 扛+ g ；z e y g ，a f = a 嚣；z f ，a c 定义2 1 1 称多德映射a ：x 一2 x 为多值线性算子，若其定义域d ( a ) = 。x ；a x 鼯为x 的线慷子空闻，且对于v a ，_ “c ，茹，y d ( a ) 满熙 a a x + # a y 冬a ( a z + u y ) ，( 2 1 ) 称r ( ) = 妇出；z d ( 么) 必a 的蠖域。 注( i ) ( 2 1 ) 等价乎a a x + # a y = a ( a z + p 啦； ( i i ) a 为单值算子滔且仅当a 0 = o ) ； ( i i i ) 本文记x 上多值线性辣子的集合为m ( x ) ，单值有界线性算子的集合为 艿( x ) 铡2 , 1 。2 对疲手鳞沦孛赛考虑懿送纯c a u c h y 簿磁，定义算子a x ：= f o ( m ) ；m y = 霉 ，d 砖如o ( ) ；两d ( 磊f ) ，l x 一磊f 蓼 ，易躲a 鸯x 上 多值线性舞子从耐将退化c a u c h y 问蹶化必： 珏( 1 ) 氐( ) ，0 t f ；让( 0 ) = 翔 定义2 1 3 a ，f ( x ) ，称为闭算予，若d ( a ) 弓茹。_ z ，a x 。y n 叶y 蕴 涵霉蚤( ) ，蓼a x + 定义2 1 。4 浚盛，嚣艇晖) ，定义一乏魏递算子a 以鸯：a ”y = 。毫d ( 固，y 血 ，其中y d ( a _ 1 ) 一r ( 州；两募予的帮+ 8 为：+ s ) x 一一连z + 融，其中 茹d ( 且十b ) = d ( a ) n d ( 艿) ；两算子的积a b 为：a b z = ；y d ( ) n 尽z ) ， 其中z d ( 且柳= z d ( 8 ) ；d ( a ) n 脬z 易知，a + 嚣，a b 州( x ) 3 华中科技大学项士学位论文 e = _ l j _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ l _ l _ _ l _ _ l _ _ _ _ _ _ _ t 1 4 _ _ _ _ _ i _ 此外，定义4 的预解集为p ( 一4 ) = a c ；( h i 一4 ) - 1 b ( x ) ) ；记a 的预解式 为r ( h ，4 ) = ( h i 一4 ) ，其中，为x 中恒等算子 根据定义我们可以得到有关多值线性算子的一些基本性质 引理2 1 5 设且m ( x ) ，则 ( i ) 若p ( 一4 ) 毋，则a 为闭算子； 以下均假设p ( 4 ) o ，a p 似) ( i i ) r ( h ，4 ) a 是d ( a ) 上的单值算子，且, 4 0 = k e r ( h i 一4 ) _ 1 ； ( i i i ) p ( 4 ) 为c 的开集； ( i v ) r ( h ，4 ) 在p ( 4 ) 上解析，且 1 0 0 r ( h ，4 ) = ( h o a ) “r ( h o ，4 ) 1 ， ( 2 2 ) n = o 其中l a o a i 0 ，u 0 ，使得对于v t 0 ，有i i t ( t ) | | m e “； ( i i ) 对于v x x ，t20 ，有 r t ( s ) z d s d ( 一4 ) ，t ( t ) x - - x e 4 z t ( s ) z 如； ( m ) 对于z d ( 一4 ) ，t 0 ，有t ( t ) x d ( 一4 ) ，t ( ) z c 1 ( o ，o o ) ，x ) ，且 t ( t ) 。a t ( t ) x = t ( t ) 4 。； ( i v ) 对于( i ) 中的常数u ，有，o o ) cp ( ) ，且当比x ，a u 时， 。 r ( a ，_ ) 。：。e 一 t ( t ) zd t d t ； r ( a ，一4 ) 。工 8 一t ( t ) z ( v ) 对于a p ( a ) ，有 ( a r n ，4 ) 一，) 上t ( r ) d r = ( t ( t ) 一，) r ( a ，4 ) 证明( i ) 因为对于v x x ，t ( ) 。g ( o ，1 1 ，x ) ，所以s u p o 曼呸1 i | t ( t ) 。小由 b a n a c h s t e i n h a u s 定理 4 0 1 ，存在m 1 ，使得i l t ( t ) i ism ( 0 ts1 ) ，取u = l o g m ， 则对t o ，n 是大于t 的最小整数， i i t ( t ) i l = i i t ( t n ) “i l m “sm 件1 = m e “ ( i i ) 一( i v ) 由方【1 9 】定理2 3 3 得到 v ) 由( i v ) 知道，对于比x ，a u 有r ( a ，4 ) 。= 伊e “r ( o ) z d t ，则 ( a r ( a ，a ) 一f ) nt ( r ) d r = z ”a e 一蛔( t ( s ) 上t p ) 打一o t ( r ) d r ) d s = z 。a e 一 5 ( ! 蚪。? ( r ) d r z t ( r ) d r ) d s = z 。入e 一 5 ( z 件。t ( r ) d r 一0 5 t ( r ) d r ) d s = e - , s ( t ( t + s ) 一t ( s ) ) d s = t ( t ) r ( a ，a ) 一r ( a ，a ) 6 华中科技大学硕士学位论文 _ 目= _ _ 目- _ _ _ - - - | _ _ _ _ i _ - - _ 1i _ _ _ l _ _ _ 目目t j 目_ _ _ = = ； 注( i i ) 中的结论可以推广为：设f c 1 ( o ，o o ) ，x ) ，则届t ( s ) f ( s ) d s d ( x ) 且对于v t20 ，有 ，c t ( t ) ，( t ) ，( o ) 一zt ( s ) ，( s ) d s 4 上t ( s ) ，( s ) 如 2 3 生成定理 运用抽象函数的l a p l a c e 变换的方法在处理g 半群的基本问题时不但简洁有效， 而且能够体现问题的实质有关这方面的材料参觅郑权【2 ，3 4 】和a r e n d t 3 5 而关于 l a p l a c e 变换对于多值线性算子的应用见 3 6 3 8 】m e l n i k o v a 2 0 ，2 1 1 定义了退化q 半群的用l a p l a c e 变换刻划的生成元，并通过退化c a u c h y 问题适定性和退化g 半群 的关系间接给出用多值线性算子刻划的生成定理她所得结果包含在以下结论中 定理2 3 1a m ( x ) 是退化岛半群 t ( t ) ；t 0 ) 的生成元当且仅当存在 u 0 ，m 0 ，使得( u ，0 0 ) cp ( 一4 ) ，且对于比x ，a u ， r ( a ，4 ) z2 上8 一舳? ( ) 2 d t - ( 2 4 ) 证明由方全蕾f 1 9 1 定理2 4 1 直接推得 引理2 3 2 设a 朋僻) ，若存在m 0 ，u 0 ，使得( u ，o 。) cp ( 4 ) ，且对于 r e a u ，n n ，有 l l 兄( a ，4 ) “l lsm ( a u ) “， 则 ( i ) a z ：= a xn z 玎两，d ( a ) ：= 扣d ( a ) ；a x n i ，( = 可口 为单值算子； ( i i ) a 在o ( x ) 上生成岛半群 注结论的证明参见【3 3 】在本文中，以下始终用a 表示在( i ) 中所定义的4 的 单值分支，并记x 1 = d ( 一4 ) 定理2 3 3 设4 m ( x ) ，则下述等价 ( i ) 4 生成退化岛半群； ( i i ) x = a 0 0x l ，a 的单值分支a 在托上生成岛半群 7 华中科技大学硕士学位论文 lji _ | _ _ ，_ _ _ 自_ _ _ _ l l _ l ；自_ _ _ l i = = ；目_ = = = 目 证明( i ) 辛( i i ) 因为a 满足( 2 4 ) 式，对( 2 4 ) 两边n 次求导，并估计得 r ( a ，4 ) “| | ( a u ) “ 其中r e a u ，n n 从而根据引理2 3 2 知a 为单值算子，且a 在x 1 上生成g 半群，记为 t o ( t ) ；t o 下证x = a 0 0 x 1 v z x ，a p ( a ) 设y = ( a ，一4 ) 一1 z ，z = z 一( a ，一a ) y ，贝0 y d ( a ) = d ( a ) ，( a a ) y x 1 根据引理2 1 6 ( i i ) ，对于，x 1 ，有( a 一4 ) _ 1 f = ( a a ) - 1 ，从而 ( 入一a ) 一1 z = ( a 一4 ) _ 1 。一( a 一一4 ) 一( a a ) ( a 一4 ) _ 1 z 所以z k e r ( a 一4 ) 一1 = a 0 由此，对于v x x ，z = z + ( a a ) 可o + x 1 又由 于a 为单值算子，故a 0 = a o n x l = o ) ，则x = , 4 0 0 x 1 ( i i ) 寺( i ) 设4 的单值分支a 在x 1 上生成c o 半群 而( t ) ；t o ) ，构造半群 t ( t ) 茁= 蜀：凳 显然( r ( 班t 0 ) 为退化c o 半群，下证其生成元为a 事实上，设 t ( t ) ；t 0 ) 有 定义2 2 1 中形式的生成元舀，即 d ( 召) = x e x ；| x ，z 。t ( s ) 剪如= t 。) x - - x ，t o ) 8 z = y x ；z 。t ( s ) y d s = t o ) x - - x ，t o ) 则d ( b ) = d ( a ) = d ( 挪设z d ( 8 ) ，g ，则 z t ( s ) ”d s = 丁( ) 茹一z 从而y = a x 血另一方面，y a x ，加= y + a o = a x 十一4 0 ，则 z 蜀( s ) a 。d s = 上( s ) d s = t o ( n r z 一一 8 z一 净 i | sd 垮0 ，厶 即 华中科技大学硕士学位论文 其中z d ( 1 3 ) ，亦即i ：t ( s ) y d s = t ( t ) x z ，故y ，从而a = 8 注根据证明的过程，退化岛半群 丁( t ) ；t2o 在x l 上的限制是由一4 的单值 分支a 生成的岛半群，从而a 在x l 上满足g 半群生成元的所有的性质 2 4 一些特类 定义2 4 1 称a m ( x ) 是耗散的，如果比d ) ，存在z + f ( x ) ：= x ；l4 z 1 2 = i i 正+ 1 1 2 = ，使得r e 0 定义2 4 2 退化g 半群 t ( ) ；t o ) 是收缩的，若i i t ( t ) l i 1 定理2 4 3 设a m ( x ) ，则下述结论等价 ( i ) a 生成退化收缩半群； ( i l ) x = a 0 0 x 1 ，且一4 的单值分支a 在x 1 上生成收缩半群 证明( i i ) 辛( i ) 由题设，a 在x l 上生成收缩半群 t o ( t ) ；t o ) 构造半群 丁( t ) ；t o 如下 邢) z = 曩：；4 x 。l 则 t ( t ) ；t 0 为退化收缩半群，同时可以证明其生成元为a ( 0 ：争( i i ) a 生成退化收缩半群，由定理2 3 3 ，a 的单值分支a 在x l 上生成岛 半群 t o ( t ) ；t o ) ，且( 0 ，o o ) cp ( a ) = p ( a ) ，下面证明其为收缩半群事实上对于 o ，r ( a i a ) = x ，或r ( a j a ) = x 设。d ( a ) = d ( a ) ，o + f ( z ) ，则 l i i i t ( t ) x l h x + | l 恻1 2 ， 其中z d ( 4 ) ，又对于z d ( a ) = d ( 一4 ) ，a x = l i m t , o ( t ( t ) x z ) t ，则对于v 。+ f ( z ) ，r e 0 ，故a 为耗散算子根据非退化收缩半群的l u m e r p h i l l i p s 定 理( 【2 】定理2 1 5 ) ， 蜀( ) ；t o 为由a 生成的收缩半群 9 0 z$ 、j t zo z 、j 丁er 而因 华中科技大学硕士学位论文 定义2 4 4 称退化g 半群 丁( t ) ；t o ，为等距的，如果对于v t 0 ，x x 1 ，i i t ( t ) = l i = 恻f 定理2 4 5 设a m ( x ) ，则下述结论等价 ( i ) a 生成退化等距半群， ( i i ) x = a 0 0 x l ，且一4 的单值分支a 在蜀上生成等距半群 证明( i i ) 辛( i )由题设多值线性算子4 的单值分支a 在x l 上生成等距半群 t o ( t ) ；t 0 ) ，构造半群 t ( t ) ；t2o 如下 t ( 功z = 矛砷z z x 6 4 x 。, 显然p ( t ) ；t o 为退化等距半群，且容易验证其生成元为4 ( i ) 号( i i ) 设多值线性算子4 生成退化等距半群口( t ) ；t o ) ，则根据定理2 3 3 及 引理2 1 6 知，4 的单值分支a 在x l 上生成岛半群 t o ( t ) ；t o ，且t o ( ) = t ( t ) x 。 由此即见 t o ( t ) ；t2o 为等距半群 定义2 4 6 称退化c o 半群 t ( t ) ；t o 为范数连续的，如果t ( ) c ( ( o ，o o ) ，b ( x ) ) 又称t ( t ) 为可微的，如果比x ，t ( ) z g 1 ( ( o ，o o ) ，x ) 以下结果类似于定理2 4 5 可证 定理2 4 7 设a m ( x ) ，则 ( i ) 一4 生成退化范数连续半群当且仅当x = a 0 0 x 1 ，a 的单值分支a 在x l 上 生成范数连续半群； ( i i ) 4 生成退化可微半群当且仅当x = 4 0 审x 1 ，a 的单值分支a 在x l 上生 成可微半群 定义2 4 8 设e 。= z c ；j a r g a i 口) ，其中0 q 丌2 ，b ( x ) 中的算子族 t ( t ) 称为x 中的退化解析半群，若其满足 ( i ) t ( t ) 在。中解析； ( i i ) t ( t + 8 ) = t ( t ) t ( s ) ，v t ，s 。； ( i i i ) k e r t ( 0 ) o ； ( i v )对于v z x ，卢( 0 ，a ) ，l i m e 口b t - + 0t ( t ) 。= t ( 0 ) 。 1 0 华中科技大学硕士学位论文 一_ _ ；j _ 自目i i _ 目_ _ 目_ - # i _ 目l 口_ _ # ；口 仍然类似于定理2 4 5 可证 定理2 4 9 设a 朋) ，则a 生成退化解析半群当且仅当x = a 0 0 x 1 ，a 的单值分支a 在x z 上生成解析半群 下面我们给出退化岛半群延拓为退化解析半群的条件 推论2 4 1 0 设a m ( x ) 生成退化岛半群t ( t ) ，且0 p ( 一4 ) ，则以下结论等 价 ( i ) t ( t ) 可在。上延拓为退化解析半群， i t ( z ) l i 在口= z c ；i o r g z i 口 a 上一致有界； ( i i )3 0 盘 o ，使得p ( 4 ) 3 = a c ；i a r g a l 霄2 + u o ， 且对于a e ，有f i a r ( a ，4 ) | | m 一_ 一 1 1 华中科技大学硕士学位论文 目= 自目_ _ _ l _ _ _ _ _ _ l _ l l _ # _ _ _ _ = _ = 目目e = l = ； 3 扰动，逼近及对退化c a u c h y 问题的应用 3 1 扰动定理 注意到退化岛半群的生成元为多值线性算子，因而我们需要考虑多值线性算子 的扰动问题设4 为退化岛半群的生成元，讨论4 在算予召下的扰动一4 + 8 能否 生成退化岛半群，以及生成退化g 半群的限制条件，其中8 分别考虑单值和多值 的情形 定理3 1 1 设a m ( x ) 生成退化g 半群，3 b 噬) ，则a + b 生成退化 岛半群 证明先验证4 + 召为闭算子事实上，显然a + 8 为多值线性算子，且d ( 4 + 8 ) = d ( a ) n o ( s ) = d ( 4 ) ，设 d ( a ) 弓x 。z ，( a + b ) z 。弓y 。- y ， 因为一4 为闭算子，则。d ( a ) = d ( a + 1 3 ) ，且存在如知。，使得y n = 如+ 廖z 。， 从而如_ + y 一，所以y s x 如，即y ( a + 廖) 。 因为是退化岛半群的生成元，根据定理2 3 3 和引理2 1 6 ，a 的单值分支a 在 x 1 ：= 丽上生成c 0 半群，其中a x = a z n x l ，d ( a ) = 茁d ( ) ；血n x l 0 定义算子 一4 + b z ：= ( a + 尽) z n x l ， d ( 4 干8 ) ：= x d ( 4 + 艿) ；( 一4 + t 3 ) x n x l o ) 因为d ( a + b ) = d ( 4 ) ，( a + b ) o = 4 0 + 1 3 0 = 4 0 ，根据引理2 1 6 可知4 + 召为 4 + 廖的单值分支，且 d ( ，4 干层) = d ( a + 日) = d ( 4 ) = d ( a ) = d ( a + 8 ) ， 对于z _ d ( ) ， ( 一4 + 8 ) z = ( a + t 3 ) z + ( a + s ) o = ( a + t 3 ) x + 且0 ， 】2 华中科技大学硕士学位论文 = = _ _ _ _ _ _ _ 目_ _ i l _ _ _ i _ _ _ 自# _ ；i _ t ；= 日； 而另一方面， ( 一4 + b ) z = a z + 踟= a x + a o + = ( a + 8 ) z + a 0 ， 从而一4 + 8 = a + 廖根据g 半群的扰动定理( 【2 】定理3 3 9 ) ，a + 召在x 1 上生成 g 半群( 岛( t ) ；t o ，从而再由定理2 3 5 ，一4 + 召生成退化岛半群 对于两个单值算子，我们可以定义相对有界的概念【4 0 】设a ，b 8 ) ，称b 相对a 有界，若d ( b ) 3d ( a ) ，且存在常数o ，b o ，使得对于d ( a ) ，f b x l i a l f a z l f + b l l z l l 但是对于多值线性算子，我们需要加以变动，有如下结论 定理3 1 2 设a m ( x ) 生成退化收缩半群，8 为单值耗散算子，d ( b ) d d ( 4 ) ，且存在o o u ，存在z ( a ) x ，使得当n o o 时 ，f 。0 6 。e - ) 、td ( t ) 。( a ) ( i i ) 存在，l i p ( m ，u ，x ) ，使得当no 。时，厶( t ) - ，( t ) 而对于多值线性算子我们还需要如下结论 引理3 2 2 k 朋( x ) ，礼= 1 ，2 ，存在m 0 ，u 0 ，使得( u ，。o ) cp ( k ) ， i i r ( x ，a ) i l 墨m ( x u ) ，a u ，n ，k = 1 ，2 ， 且存在a o u ，使得当n _ o o 时，r ( a o ，a 、) z 在x 中收敛，则存在唯一多值线性算 子，使得对于v x x ，a u ， r ( a ，a ；) 茁一r ( 入，a ) x ，n 寸。o 且( u ，) cp ( 4 ) ，| | 冗( a ，) i ism ( a u ) ，其中k = 1 ，2 ， 证明不失一般性，设u = 0 以下证明 s ：= a ；r e , k 0 ，r ( ) 、，a 。) z 在x 中收敛) = ( 0 ，o o ) 先证s 是开集设a p ( 一4 ) ，对于比s ，n ，考虑 r ( u ， ) = ( a 一肛) 垤( a ，a ) 川， k = 0 根据引理2 1 5 ( i v ) 可知上式对于i a p i i i 兄( a ，4 n ) “ 1 成立，又根据题设条件， i i r ( a ，a ) | | m ( r e a ) ， 从而上面的t a y l o r 级数对于i a p i ( j r e a ) _ 1s0 0 ，对于给定的0 p 0 最后证明存在唯一的多值线性算子a ，使得r ( a ) = r ( ，) ，这只需要证明4 ：= a r ( a ) 一1 独立于a ，亦即证明对于a ，p 0 ，如果y 4 a z ，则y a p 事实上，由 y a z ，知a 。一y ( a 一4 ) 茁，从而 茗( a a ) 一1 ( a 口一y ) = r ( a ) ( a z p ) 又因为r ( a ) 是单值算子，则。= r ( a ) ( 沁一g ) ，由上面的r ( a ) 的预解性质， z = r ( 卢) ( a g y ) 十( r ( a ) 一r ( ) ( a z y ) = 冗( 弘) ( 入正一g ) + ( 肛一 ) r ( p ) r ( 入) ( 入茁一) = 兄( 肛) ( a 口一y ) 十一a ) r ( p ) z = r ( p ) ( p 茁一y ) ， 由此 p 。一y r ( 弘) 一1 。= ( “一a p ) 。， 从而y a 。z 记a = 一4 a 即知所证 定理3 2 3 b a n a c h 空间x 中退化c o 半群 矗( t ) ；t o