（应用数学专业论文）sobolev空间中的径向基函数插值及其应用.pdf

摘要 本文从求解偏微分方程的角度出发，在被逼近函数u 属于一般的s o b o l e v 空 间h 2 ( q ) ( 1 ) 的情形，引入了一种径向基函数插值方法，并建立了相应的误差 估计；再利用这种插值性质，从一类特殊径向基函数出发构造s o b o l e v 空间的一组 基，针对p o i s s o n 方程第三类边值问题和重调和方程类似边值问题，为用无网格算 法求解偏微分方程边值问题建立了相应的理论，并通过算例来验证了这一算法。 我们不能直接应用这样的无网格算法求解二阶椭圆型方程的第一类边值问题 ( d i r i c h l e t 边值问题) ，因为第一类边界条件是本质边界条件( 对二阶椭圆型方程为 d i r i c h l e t 边界条件) ，而径向基函数的支集通常是全空间，由它们所生成的近似函数 空间一般不满足这样的条件。对高阶椭圆型方程情形是类似的。为克服这一困难， 我们用具自然边界条件的边值问题( 在二阶椭圆型方程情形为第三边值问题) 去逼 近相应的第一边值问题，并以重调和方程为例，证明了在一定条件下，其具自然边 界条件的边值问题的弱解在h 2 的意义下强收敛到相应的第一边值问题的弱解并 通过算例验证了这一做法的有效性 我们还在文中给出了整体稠密度的一个计算方法 关键词：s o b o l e v 空间，径向基函数插值，误差估计，整体稠密度计算，无网格 g a l e r k i n 方法，重调和方程，d i r i c h l e t 边值问题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h em e t h o do fi n t e r p o l a t i o nb yr a d i a lb a s i sf l m c t i o n si n 日。( q ) ( 1 ) a n dg i v es o m ee r r o re s t i m a t e s b ym e a n so fs u c hi n t e r p o l a t i o nw i t h a s p e c i a lk i n do fr a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，w ec o n s t r u c tab a s i si nh ( n ) ( 1 ) c o r n b i n e dw i t h 抛g a l e r k i nm e t h o d ，t h i st h e o r yc a r lb ea p p l i e dt os o l v eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s u c ha st h et h i r db o u n d a r yv a h m p r o b l e mf o rp o i s s o ne q u a t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e mf o rt h eb i h a r m o n i e e q u a t i o n ) ，a n ds o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa l ea l s og i y e n w ec a nn o ta p p l yg a l e r k i nm e t h o d sw i t hr a d i a lb a s i sf u n c t i o n st ot h ef i r s t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( t h ed i r i c h i e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) o ft h es e c o n d o r d e r e l l i p t i ce q u a t i o n ，b e c a u s ei tr e q u i r e st h a tt h ea p p r o x i m a t ef u n c t i o n ss h o u l df i tt h e e s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ，w h i l et h es p a c e ss p a n n e db yt h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n s f a i l st os a t i s f yt h i sk i n do fb o u n d a r yc o n d i t i o n ，a n di ti st h es a m ef o rt h eh i g h e r o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n t oo v e c o m et h i sd i f f i c u l t y , w eu s et h en a t u r a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ( a st h et h i r db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h es e c o n d - o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n ) t oa p p r o x i m t et h ec o r r e s p o n d i n gd i r i e h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m w ed e a lw i t h t h eb i h a r m o n i ce q u a t i o na n dp r o v e dt h a tu n d e ro u ra s s u m p t i o n s ，t h ew e e ks o l u t i o n o ft h en a t u r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ms t r o n g l yc o n v e r g e s ( i nh 2 ) t ot h a to ft h e f i r s tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ms o m en m n e r i c a le x p e r i m e n t sa r ep r e s e n t e dt os h o w t h ee r i e c t i v e n e s so fo u rm e t h o d w ea l s op r e s e n ta w a yt oc o m p u t et h eg l o b a ld a t ad e n s i t y k e yw o r d s ：s o b o l e vs p a c e ，r a d i a lb a s i sf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n ，e r r o re s t i m a t e l c o m p u t a t i o no ft h eg l o b a ld a t ad e n s i t y , m e s h l e s sc a l e r k i nm e t h o d ，b i h a l m o n i ce q u a - t i o n ，d i r i c h l e tb o u n d a r yp r o b l e m 第一章前言和主要结果 1 1 前言 有限元法是二十世纪中在工程数值计算方法方面最重要的发明，是目前求解边 值问题的最强有力的方法之一遗憾的是，尽管有限元法从理论基础到误差估计都 十分成熟，但它在处理许多问题( 如；高度大变形问题，高振荡、陡梯度问题，爆炸 等) 时仍存在困难或精度不能得到保证在求解这些问题时，有限元法需要在计算 过程中不断的重新划分网格，使计算量增大，精确度降低；而且由于它是用分片多 项式去逼近微分方程的解，对于多元散乱数据，样条函数基的表示就十分复杂，如 果还要求插值函数高阶连续，其构造更加困难相反，径向基函数的自变量只有一 个表示“距离”概念的径向量r ，相当简便直观，尤其在高维问题中更具优势 k r i g e 在1 9 5 1 年把矿藏的沉积看作是一个各向同性的稳定的随机函数的实现， 从而导出了广泛应用于矿藏分析的k r i g e 方法1 9 7 1 年h a r d y 用m q 径向基函数 来处理飞机外形设计的曲面拟合问题，取得了很好的效果。1 9 7 5 年d o u c h 从样条 能弯曲最小的理论出发导出了多元问题的薄板样条上面这些从不同领域导出的方 法实际上都是径向基函数的插值方法 自此人们对径向基函数进行了广泛的研究，针对径向基函数的插值以及径向基 函数空间的性质，主要有下面的研究工作： 1 径向基函数插值的收敛性与收敛速度，主要工作见 2 l ，2 4 ，2 7 ，3 7 ，4 7 】 2 径向基函数的计算稳定性问题，也就是最后所得的线性代数方程组的系数 矩阵的条件数问题，主要工作见 2 9 ，3 5 ，3 6 】 3 有关条件正定或严格条件正定径向基函数的数学性质的讨论，见【1 6 ，1 7 ，2 6 ， 2 8 ，3 8 ，3 9 】等 4 关于径向基函数的综述性的著作有 6 ，7 ，1 8 ，3 1 ，3 2 】 径向基函数插值已经大量的应用于地质勘探、外形设计、水纹学、绘图、遥感 等广泛领域在大多数利用径向基函数插值的文章中，所考虑的函数空间( 所谓的 妒的“n a t i v ef u n c t i o ns p a c e ”空间) 具有如下形式 2 耻l 嵋= 上。筹鹰 0 ，当整体稠密 度 垒s u pm i nl z z ( ，) i 满足h h o 时，就有以下的插值误差估计： z nz u ) e x i i u 一一5 u n i | h 一( n ) sc h k - s l 】u i l h * ( n ) ，0 冬s m a x ( k ，d 2 ) 则存在适当小的h o 0 ，当h h o 时，如下估计式成 立： | | 札一v , n 怕( o ) c h h “( n ) ， ( 1 2 6 ) 这里的常数c 0 与h 和u 无关 其次考虑薄板弯曲问题 i 2 u = 掣， 在q 内， 玩( 让) + 9 1 ( 舢) u = 9 2 ( 砌) ， ( 9 1 o ) ， 在r 上， ( 1 2 7 ) 【一螈。( u ) + 9 3 ( z ，可) 嘉= m ( z ，) ，( 9 32o ) ， 在r 上 其中，区域qcr 2 有界，其边界r 适当光滑，f 是垂直于板面的外载荷的面密 度，9 1 ，9 2 ，9 3 ，9 4 为已知的适当光滑的函数，d = 面b t t = a 可为板的刚度( e 一弹性模 5 量，7 l 板的厚度，一泊松比) ，假设0 0 ，当h h o 时，如下估计式成立： | | u 一仳i i h ：( n ) sc h k - 2 i i u l l h k ( q ) ， ( 1 2 9 ) 其中的常数c 0 与h 和u 无关 前面所考虑的都是具自然边界条件的边值问题对于二阶椭圆型方程的第一类 边值问题( d i r i c h l e t 边值问题) ，我们不能直接应用这样的无网格算法，因为径向 基函数的支集一般是全空间，由它们所生成的近似函数空间一般不满足所给定的条 件为克服这个困难，在【8 ，4 3 】中，已使用第三边值问题对相应的第一边值问题进 行逼近现在我们考虑四阶椭圆型方程的相应问题 l 2 札= ，( 2 ) ， 在q 内， u = o ， 在f 上， ( 1 2 1 0 ) 【舞= o ， 在r 上 这里，r 是q 的边界，适当光滑，而，l 2 ( q ) 6 i 2 u 。= ，( z ) ，在q 内， 玩( 札。) + q “。= 0 ，在r 上，( 1 2 1 1 ) 【一。( u 。) + q 虹o n = 0 ， 在r 上 第二章预备知识 2 1s o b o l e v 空间 设qc 删，1 pso 。，为非负整数w t 9 ( q ) 表示通常的s o b o l e v 空 间： ，( n ) = 训d 4 驴( q ) ，俐) ( 2 1 1 ) ( i 蒹。矗 d # v v d x ) ；( 1 l ( 。，。) e s ss u pi d 8 u i ( p = c o ) ， p 训吣御，2 ( 1 岳肭阳z ) ；( 1 邶) 1 ( 2 1 1 3 ) 咖) - 俐：k e s s s u n pi d l y ( p 2 o 。) ， 中的闭包记为晡2 ( q ) 在p = 2 时，w ，2 ( q ) 和晡2 ( q ) 分别简记为h ( q ) 和 = = p p k k j i j i u ” i i 为，j、【义 为 定 义 数 定 范 数 半 范 其 其 而 如果 f j 1 i 可l l z c l l y l l y ，vy y ，c 是某个正常数， 俐y 中任意一个有界序列在z 都是准紧( p r e c o m p a c t ) 的 定理2 1 3 ( s o b o l e v 嵌入定理，见心驯假设qcr 4 有界，其边界 续设k 是自然数，1 p 曼0 0 如果k p d ，i t , j w k 一9 ( n ) 一l ( n ) ，1 p s 了旦， 一尤口 如果p ， 鱼d - k p ，则上述嵌入关系还是紧的 8 l i p s c h i t z 连 ( 2 1 4 ) 定理2 1 4 陋定理，见心剐设k 是自然数，1 p 0 只依赖于p 及q 定理2 1 5 倔5 圳假设ncr d 有界，而0sk m ，p 1 则存在一个正常 数c = c ( k ，m ，p ，q ) ，使得对任何给定的u w g 。( q ) 有 8 d u 怯( n ) sc i i d ”u 怯( n ) ( 2 1 5 ) 定理2 1 6 阻心圳假设qcr 8 有界且具有c 1 边界则存在常数c = c ( a ) ， 使得对任何1 1 , w 1 , 2 ( q ) ，成立 上川2 如c 上i v u l 2 d x + c z 。川2 如 ( z l e ) 定理2 1 7 阻口假设区域qcr d 满足一致内部锥条件，并设e o 是有限正数， 则存在正常数c = c ( a ，e o ) 使对任意给定的e ：0 e 0 ，p 2 n t h i np l a t e 样条 ( 一1 ) 1 + h i 2 一i n r ，卢2 nc ( d # ) 1 1 1 1 4 一p1 - 1 - n 1 2 ( 一1 ) r n 2 i t # ，p 豫 o 2 n 旧2 s o b o l e v 样条 翰一a 2 ( r ) 一一4 2 ，p d 2 c ( d ，p ) ( 1 + 1 2 ) 一口 0 km a c d o n a i d sf u n c t i o n 紧支柱函数( 1 一r ) 知( r ) ( 1 + i i 1 1 ) 一4 - 2 卜1 0 c 2 1 a p = f ，p = 【d 2 j - 4 - 2 l + 1 表2 1 ：径向函数 2 3 径向基函数插值 假设仳是光滑函数，妒( z ) = 曲( h ) 是严格正定径向基函数如果知道u 在一 个两两互异的离散点集x = z ( “，z ( 。) 上的值，其径向基函数插值就是构造 如下的插值函数 n s 。( z ) = o ：西( i z z i ) ， ( 2 肌1 ) f = 1 其中系数a ；由如下的线性方程组决定： n 0 n ；咖( 眇一z ”i ) 宅宴醴= “( 。) 讧1 l = l 一： 因为径向基函数妒( z ) = ( 川) 为严格正定的， 题的解存在唯一 j = 1 ，一，( 2 3 1 2 ) 由定义( 2 2 2 ) 易知上述插值问 当妒( 。) = ( i x l ) 是q ( q 0 ) 阶严格条件正定径向基函数时 如下更一般的形式 n 0 8 u ( z ) = 。t ( f z 一州) + 6 f p f ( z ) ， i = l l = l 插值函数则具有 ( 2 3 1 3 ) 其中系数a 。“由如下的线性方程组决定： ，n0 i n i ( 妒) 一z ( i ) + 6 册( z o ) = “( z ( j ) ， j = 1 ，| ， 影 扛1 ( 2 3 1 4 ) ieo 。p f ( z ( ) = 0 ， f = 1 ，q 、t = l 当g = 0 时，系统( 2 3 1 3 ) 一( 2 3 1 4 ) 即退化为( 2 3 1 1 ) 一( 2 3 1 2 ) 关于严格条件正定径向基函数插值的唯一可解性，我们有如下定理 定理2 3 1 如果径向基函数妒( z ) = ( h ) 是q 阶严格条件正定函数，q 0 ， x = z ( ，一，z ( ) 中的点两两互异，并且存在x 的子集x ，它包含q 个两两 互异的点且满足以下条件： p i x ，= 0 ，p n意味着p 三0 ( 2 3 1 5 ) 则插值问题( 2 3 1 3 ) 一( 2 3 1 4 ) 是唯一可解的 我们在下一节里给出详细的证明 为了进行误差估计，我们还需引入如下的 定义2 3 2 设x = z ( ”，一，z ( ) 是q 中两两互异的点集 整体稠密度定义为 垒 ( x ；q ) = s u pm i n l z x ( j ) i 1 2 x 在区域q 中的 2 4 径向基函数插值的唯一可解性 ( 2 3 1 6 ) 记a = ( n 1 ，o _ ) 丁，b = ( bh 一，6 ) r ，( 2 3 1 4 ) 用矩阵记号写为 ( 三言) ( ：) = ( ：) ， 皿a 州 其中p = ( 功( 删) ，a = ( 咖( 眇一z u 叭x ，沙= ( “( z ) ，u ( z ( ) ) t 1 己 g 垒( 。a 丁尸0 ) 。+ 。，。+ q ，p 丁 ( _ + 0 ) 。( + q ) 我们断言 引理2 4 1 假设n q 那么，当p 的秩是q ( 满秩) 时， g 是非奇异的 证明：要证g 是非奇异，即证下述齐次线性方程组只有零解： 衅= a 如果a 0 ，将第一个方程两边左乘a 丁，再利用第二个方程，就得到 a 丁a a = 0 这与曲的严格条件正定性矛盾 但如果a = 0 ，由( 2 4 1 8 ) 的第一个方程到p p = 0 又根据假设，p 的秩为 q ，而n q ，必有肛= 0 证毕。 口 引理2 4 2 假设n q 那么，p 的秩为q 的充要条件是存在x 的子集x 它包含q 个两两互异的点，而且满足( 2 3 1 5 ) 证明：注意到当n q 时，p 的秩为q 等价于尸有一个q 阶子式 ，p 。( 妒 p ，= i ! p l ( 扣 p q ( x 。l p q ( x 2 。 0 x 0 1 3 为满秩的不失一般性，可设i j = j ，1sjsq 如果p 为满秩并且p l x ，= 0 ，p 峨。由于n ( z ) ，p q ( x ) 是峨的一 组基，存在一组数c 一，。o ，使得p ( z ) = c j p j ( x ) 这样，由所设条件易知 j = t c j = 0 ，j = 1 ，q ，从而p ( z ) 三0 反过来，假设( 2 3 1 5 ) 成立如果d e t p = 0 ，从而p 7 的列向量是线性相关， 存在一组不全为零的数a 1 ，a 2 ，a 口满足 0 这样，多项式功( z ) k = 0 ，但它又不是零多项式，矛盾 j = l 由引理2 4 1 和引理2 4 2 ，易得定理2 31 2 5 基本假设 口 在本文中，我们假设所考察的函数u h 2 ( q ) ，其中k 1 ：假设qcr 。有 界，其边界f c 一1 t 1n c l 我们总假设m d 2 ，而1 】f ，( z ) = 咖( ) 至少是一个g ”函数，并设妒( z ) 的广 义f o u r i e r 变换妒存在并且满足 c 1 ( 1 + | | 引1 2 ) 一”万幢) c 2 ( 1 + i i f i | 2 ) 一”，( 2 5 1 9 ) 其中c ，c z 是两个正常数 = z n 口芦 = 0 第三章s o b o l e v 空间中的径向基函数插值 3 1 引言 长期以来，人们一直都用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并应 用于各门科学和工程技术，不断地取得了显著的成效一个偏微分方程在经典意义 下的解必须具有出现在这个方程中的各阶连续偏导数；而将解的概念加以拓展后， 一些不那么光滑的函数也可以成为偏微分方程的广义解，在理论上对它们加以讨论 是十分自然和必要的以p o s s i o n 方程具自然边界条件的边值问题为例，其相应的 弱解只要求属于日1 就可以了；而在两维或多维的情形，这样的解并不一定连续 这时，为了获得近似解，怎样对s o b o l e v 空间中的函数进行插值就显得非常重要 s c o t t 和z h a n g 在 3 4 中曾经讨论过使用分片连续多项式来逼近不光滑函数， 但是他们要求正规的网格数据点对于散乱数据的插值而言，径向基函数是一个非 常有用的工具原因在于不仅径向基函数的选取很灵活，而且具有令人满意的逼近 阶；尤其对于高维和高阶问题，更具有优越性 在现有的利用径向基函数插值的文章中，所考虑的函数空间大多是妒的“n a t i v e f u n c t i o ns p a c e ”空间凡， 4 4 ，4 5 和 4 8 】讨论了在s o b o t e v 空间日中的径向基 函数插值的问题；然而他们都要求k d 2 事实上，根据s o b o l e v 空间的嵌入定 理，这就要求被逼近函数至少是一个连续函数 那么，对于更广泛的函数空间，例如s o b o l e v 空间，是否也能对其中的函数应 用径向基函数进行插值呢? 如何能，具体该怎样做? 进行这样的插值，其收敛性如 何? 我们在本章给出了上述问题的答案：对于任意给定的, h ( q ) ，k 1 ，虽 然谈论函数7 , 在单独一点的值并不一定有意义，但我们仍然可以通过其他途径对, 进行间接插值即先对它进行磨光后得到u “，再对让“进行径向基函数插值，得到 的插值函数记为s u “我们还在理论上证明了：当径向基函数妒( z ) = 妒( h ) 满足 1 4 j 一定的要求时，原函数“和对它磨光后进行插值得到的, s u “之间存在以下估计 1 5 u 一8 , “i i - ，( n ) c h 一5 i l u | i h k ( n ) ，0 s 0 ，当由( 2 3 1 6 ) 定义的h 满足h h o 时，有以下的插值误差估计 | | u s 。i i h s ( n ) sc h m - - s i l u l l m ( m ，0 s 7 n ，( 3 3 1 ) 这里的c 为一个与h 及u 均无关的正常数 我们将上述结果加以推广，证明当属于一般的s o b o l e v 空间日( 女1 ) 时， 类似的结果仍然成立： 定理3 3 2 设u 日o ( q ) ，1sk m 假设q 是r d 中的有界区域，边界 r c k - l , 1 n e l ，并设妒( z ) = t j i ( i x l ) 的广义f o u r i e r 变换咖存在并且满足( 2 5 1 9 ) x = z ( ”，z ( 。) 为q 中两两互异点集，s t “= o ( 0 z 一孔i i ) + b l p l ( x ) 是驴的插值函数，则存在常数h o 0 ，当由( 23 1 6 ) 定义的h h o 时，就有以 下的插值误差估计： u 一8 u h i i ，( n ) c h 一8 i l u l l h ( n ) ，0 s 七，( 3 3 2 ) 这里c 为一个与h 及u 均无关的正常数 在证明这个定理之前，我们先介绍一些预备性的引理 引理3 3 3 但圳假设qcr 。有界且具有c 一1 ，1 边界，而1 则 一j e ( 豆) 在。t 9 ( q ) 中稠密，而1 p 0 ( - b “和h 无关) ，使得 1 i u “i i ( r a ) c h k - m i i u i | h t ( r a ) ( 3 3 4 ) 证明：我们注意到，对于任意的整数s ，存在一个正常数c 使得 扣幢s 上。( 1 眯n 5 粥陬硎圳孙( r d ) ，v u 州r d ) ( 3 3 5 ) 注意到 ( 开再而) ( ) = 赢( ) 舀( ) = 甙k ) 舀( ) ，( 3 3 6 ) 有 ， “矿”孙) g 伊叫引2 p k 和。| 2 武( 3 3 7 ) e ( 1 + 阡) ”筇( k ) 宙( ) 2 d 由于筇( ) c 铲( b ( o ，2 ) ) ，且当i k l 2 ，即；时，筇( k ) ；0 ，上式可 进一步化为 u “i i 备m ( r a ) e d ；( 1 + l 1 2 ) l 甙 ) 霞( ) 1 2 4 = c l 甙 f ) 1 2 ( 1 + 2 ) “( 1 + 2 ) 。i 矗幢) 2 武 j 善 c 懋删| 2 ( h 筹) 一幽坩炜蜓3 3 8 c h 2 ( “一“( 1 + l 1 2 ) 2 a ( ) d ，口d = c h 2 “”备t ( r 4 ) 口 引理3 3 5 假设乱日( r 4 ) ，1 则存在正常数c ( 与札和h 无关) ，使得 0 u u “l | 押a ( r a ) c h 一5 1 1 u 1 1 h * ( r a ) ，0 s d 2 ，k 是m a c d o n a l d 函数 当口一n 2 = s + 1 2 时，其中s 是非负整数，m a c d o n a l d 函数有具体的表达 式( 见 4 1 p l o 的“纠式) 蒯= ( - 1 ) 3 横劳州( 忑d ) 8 孚 ( 3 3 1 4 ) s o b o l e v 样条函数的广义f o u r i e r 变换是c ( d ，7 ) ( 1 + i i 胪) 一口，对照( 2 5 1 9 ) 式，只要选择参数 p m ， 就可以保证估计式( 3 3 2 ) 成立 例2 紧支柱函数( 1 一r ) ；p ( r ) o p = l ，卢= l d 2 j + 2 1 + 1 它的广义f o u r i e r 变换是( 1 + 蚓i ) _ d - 2 卜1 ，因此，只要选择参数 f 一半， 就可以保证估计式( 3 3 2 ) 成立 3 4 基的构造 定理3 4 1 假设0 s q ) 次导数后得到 从而有 n a ，一n 妒( z z 。) 三0 ，q ( 3 4 2 ) ，= 1 _ 0 i o 。n 。砂 一z ( j )z j 、 j = 1 2 。，( 一一”p 确d ) = 小& ) v 。p a j e - i 砌西，比q jrd：=： 特别地，取z = z ( 2 ) 就得到 小靠) v 。“。p e - i z ( d , p 识f ) 武；o jrd：=： 将上式两边同乘以a l 并关于l 从1 到求和，得 小叫j = l a 3 e i 1 2 万武兰o ( 34 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) 由假设，是严格条件正定函数，从而妒非负且不恒为零( 见【3 8 】) 我们选择n 为偶数( 为保证( i 靠) n 在删上不反号) ，而j n e t c z ( ”p 1 2 是连续函数，于是由 j = 1 上式 e 一“”p 三0 ( 3 4 6 ) 又由于对于任意两两互异的点z ( ， 关的，由( 3 4 6 ) 就得到a j 三o ，j = 1 z ( m ，e - i 0 根据q 边界的c 1 连续性，存在 g o 。( 孬) i l u - v i i si 由定理3 32 ，存在充分小的 o ，使得当hs 时，存在形如( 2 3 1 3 ) 的s 。 w s v n ) i u s v i i - ，忡) i i t 正一v i i ，( n ) + i i v 一5 。| | h 。( n ) e 口 例3 对于 j s o b o l e v 样条 j 0 一d 2 ( r ) r 4 8 2 ，卢 d 2 ，其中，k 是m a c d o n a l d 函数，而p r n ， 2 紧支柱函数 ( 1 一r ) 旱p ( r ) 却= f ，卢= 【d 2 j + 2 f + 1 ，其中，f r n 一掣 它们均满足定理，# 所要求的条件( 2 51 9 ) ，并且两者都是严格正定的因 此，如果q 是r 4 中具c 1 边界的有界区域，而戈皇 。( 1 1 ，z ( 1 ，) 是任意给 定的q 中的两两互异点集，则 妒( z z ( 1 ) ，妒( z 一。( ) 可以构成s o b o l e v 空间日5 ( q ) ( 0 s m 一1 ) 的一组基 和 i 3 5 整体稠密度h 的计算 对vz ( j ) x ，1 j n ，分别定义 垒和z q ，i x - x ( j ) i i z 棚，vi # j ，15i ) ( 3 删 h j 垒s u pl 。一七u ) n o ( 3 5 9 ) 显然，岛= 豆，并且有 j = 1 定理3 5 1 设h 是由( 2 3 1 6 ) 定义的整体稠密度，则h = m a xh 1 0 ，当由( 2 3 1 6 ) i = l f = 1 定义的hsh o 时，就有以下的插值误差估计： 钆一s 。一l i h s ( n ) c h 。一3 1 1 “1 1 h - m ) ，0ss k ，( 3 6 1 1 ) 这里c 为一个与h 及u 均无关的正常数 定理3 6 2 假设0s8 d 2 ) ，都有 l i u s u ij h ，) c h 仇一5 i i u l i h m ( n ) ，0 s 0 ，使得 l d 。一d 。8 。l c h “一d 2 一i 。i | 训口，l a i 0 ，易见 i 出i = 上i v u l 2 d x + e e f r 嘲s ( 4 1 5 ) e | ；r l ( n ) ， 其中c 是与u 无关的正常数；且在a 0 1 0 0 时，c 可取得只与a o 有关，而与 o l 无关 由于q 的边界r c 1 ，根据迹定理2 1 4 ，有 i a ( u ， ) i i i w l i l 。( n ) l i v 训i 驴( n ) + a i l u i l 驴( r ) i l v i l ：( r ) j 1 w l i l ：( n ) l j v 口j j l ：( n ) + o c 2 ( q ) j l 让j j h ，( a ) j hj ，( n ) l l u l l ( n ) l l v l l ，( n ) + q c 2 ( q ) i i u | | 珂- ( n ) | i i l t ( n ) 彳0 钍1 | h ，( n ) | | 叫i ，( n ) ， 这里m = 1 + o c 2 ( q ) 因此o ( - ，) 是h 上的一个连续且对称正定的双线性泛 函，而f ( ) 显然是上的一个线性连续泛函根据l a x m i l g r a m 定理可得到弱问 题( 4 1 2 ) 解的存在唯一性 为了求( 4 1 1 ) 的数值解，我们使用g a l e r k i n 方法选取 h = s p a n p 1 ( z ) ，p 口( z ) ，妒( z z ( 1 ) ，妒( z z ( ) )( 4 1 6 ) 作为v 的有限维的子空间根据定理3 4 1 ，当所选的径向基函数砂是q ( q 0 ) 阶 严格条件正定函数，它的广义f o u r i e r 变换妒存在且满足( 2 5 1 9 ) ，并且 z ( ) ) 鉴。 两两互异时，对于任意给定的钆w ，有 q u n ( z ) = a i 妒i ( z 一+ b j m ( 。) ， ( 4 i 7 ) i = i ，= 1 这里的a i ，6 ，为某些常数，1 i n ，i j q 与( 4 1 2 ) 相对应的有限维子空间逼近问题就是：寻找u ，使满足 a ( u n ，v n ) = f ( ) ， v v n k ( 4 1 8 ) 由于cv ，易知问题( 4 1 8 ) 也有唯一的解u 定理4 1 1 假设q 是删中的有界区域，边界r c 一1 ，1nc 1 ，1 假设 问题( 4 1 2 ) 的解u h ( q ) ，而u h 是问题( 4 1 8 ) 的解又设妒( z ) = ( i x l ) 是 q ( q 0 ) 阶严格条件正定函数，它的广义f o u r i e r 变换1 】f ，存在并且满足( 2 5 1 9 ) ， 其中的m m a x ( k ，d 2 ) 则存在适当小的h o 0 ，当h h o 时，有如下估计式 成立： i l u 一札_ i l h ，( n ) c h 一1 i i 札l i h ( n ) ， ( 4 1 9 ) 这里的常数c 0 与h 和仳无关 证明：由c 6 a 定理( 见【1 2 ) 和( 3 3 2 ) 有 u u j i h ( 叫sc 。i n h f 。i i u 一 i i h l ( 删 c i l u s u bi i ，( n ) ( 4 1 - 1 0 ) c h k 一1 州k ( n ) 4 2 四阶椭圆型问题 口 砒蓦：魏叫蕞掣，名砌箍+ 彖叫蕞= 掣，一。 扭矩风( u ) d ( 1 ) ( a 2 b 2 ，、。o 。a 面u 一+ a b t 、。o 。j 一舞) 】，( 4 2 1 3 ) 等效剪力 玩( 札) = q 。+ 喾， ( 4 2 1 5 ) 件 2 9 假设板中面的求解区域q 的边界r 适当光滑，在边界r 上给出如下的边界条 玩( u ) + g l ( 巩x 2 ) u = 9 2 ( z 1 ，x 2 ) ，g l ( 钆勋) 0 ， 一a 霸。( u ) + 9 3 ( x l