（应用数学专业论文）一类gob型养老金的定价分析.pdf

p4 673 0 l 摘要 f g o b ( g r e a t e ro f b e n e f i t s ) 型养老金的受益是相当复杂的不确定权益，生存 受益与死亡受益均依赖于工资水平及投资帐户价值，其定价问题已经超出了传统 精算方法的范畴。本文试图利用金融经济学中的不确定权益方法对特定的g o b 型养老金进行定价z 我们首先在假设工资水平与利率均为随机的情况下，将传统的精算现值计算 方法推广，即在风险中性概率测度下计算变量的精算现值，这样就可以应用于更 为复杂的不确定权益的计算。利用m o n t ec a r l o 数值模拟方法我们求出了不同参 数下的养老金价格，并进行了比较静态分析。 然后，我们使用偏微分方程来处理g o b 型养老金定价问题。在第二章中， 我们先假设利率为常数，归结出一个包含两维空间变量的定价p d e 。应用金融 学与精算学的相关理论，我们分析了养老金价格的两个性质。利用这两个特定性 质，我们对定价模型进行降维处理，并导出其边界条件，进而使用有限差分法求 出方程的数值解。在第三章，我们重新假设利率是随机的，从而归结出一个包含 三维空间变量的定价p d e ，并用与第二章类似的过程完成了方程的数值求解。 我们对两种方法( 模拟方法与p d e 方法) 的结果作了一些比较，从某种程度上 检验了两种方法的合理性。 在利用p d e 方法解决金融问题时，尤其是在数值求解过程中，求解区域以及 边界条件的确定是一个难点。在本文中，我们借助数值模拟方法确定求解区域以 及边界条件。这也是本文的主要特点之一。 在文章的最后，我们提出了一些值得进一步探讨的问题。 关键词：g o b ；不确定权益方法；m o n t ec a r l o 模拟方法；无套利；风险中陛概 率测度；e d v 方法有限差分方法 a b s t r a c t t h eb e n e f i t sp r o m i s e db yg o b ( g r e a t e ro fb e n e f i t s ) p e n s i o ns c h e m e s ，a r e r a t h e rc o m p l e xc o n t i n g e n t c l a i m sa n dt h e i rv a l u a t i o na r e b e y o n dt h ed o m a i no f t r a d i t i o n a la c t u a r i a lm e t h o d s t h eo b j e c to ft h i sp a p e ri st ov a l u e ，o na l li n d i v i d u a l b a s i s ，s u c hap e n s i o nb ya p p l y i n gt h ec o n t i n g e n t c l a i m sv a l u a t i o na p p r o a c h f i r s t ，u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h es a l a r i e sa n di n t e r e s tr a t e sa r eb o t hs t o c h a s t i c ， w eg e n e r a l i z et h et r a d i t i o n a la c t u a r i a lp r e s e n tv a l u em e t h o ds ot h a ti tc a nb eu s e dt o c a l c u l a t et h ev a l u eo ft h ec o m p l i c a t e dc o n t i n g e n tc l a i m s t h e nw eu s et h em o n t e c a r l os i m u l a t i o nm e t h o dt oc a l c u l a t eh u n d r e d so fv a l u e so ft h eg o b p e n s i o nw i t h d i f f e r e n tp a r a m e t e r sa n d a n a l y z es o m ec o m p a r a t i v es t a t i c sp r o p e r t i e s t h e n ，w et r yt os o l v et h ep r o b l e m sw i t ha n o t h e rt o o l ：p d e i nc h a p t e r2 ，w e a s s u m et h ei n t e r e s tr a t e sa r ec o n s t a n ta n do b t a i nap r i c i n gp d ew i t ht w o s p a c e v a r i a b l e s a f t e rs o m ea n a l y s i so ft h eg o b p e n s i o nv a l u e ，w eg e tas i m p l e rp d ew i t h o n l yo n es p a c ev a r i a b l ea n di t sb o u n d a r yc o n d i t i o n s w eu s et h ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o dt os o l v ei t i nc h a p t e r3 ，w ea g a i na s s u m et h ei n t e r e s tr a t e sa r es t o c h a s t i ca n d o b t a i nap r i c i n gp d ew i t ht h r e es p a c ev a r i a b l e s w ec a l c u l a t et h ep e n s i o nv a l u ea si n c h a p t e r2 w h e nu s i n gp d et os o l v ef i n a n c i a lp r o b l e m s ，e s p e c i a l l yi nn u m e r i c a lp r o c e s s ， y o um a ys o m e t i m e sf i n di tv e r yd i f f i c u l tt od e t e r m i n et h es o l u t i o na r e aa n db o u n d a r y c o n d i t i o n s i nt h i sa r t i c l e ，w eu s em o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o dt oh e l pu s t h i si s o n em a i nc h a r a c t e r i s t i e so f t h i sa r t i c l e i nt h ee n d w ec o n c l u d et h ea r t i c l ea n dp u tf o r w a r ds o m ep r o b l e m sf o rf l l r t h e r r e s e a r c h k e y w o r d s ：g o b ；c o n t i n g e n tc l a i m sa p p r o a c h ；m o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o d ； n o a r b i t r a g e ；r i s k n e u t r a lp r o b a b i l i t ym e a s u r e ；e d vm e t h o d ；j t 6k i e m m a ；f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d 复旦大学硕士学位论文 目l j吾 传统的养老金产品一般可以分为两种：d b ( d e f i n e db e n e f i t ) 型养老金与 d c ( d e f i n e dc o n t r i b u t i o n ) 型养老金。d b 型养老金规定了职员在退休后每月所 能获得的养老金金额，最常见的形式是退休时工资的固定比例。根据一定的精算 假设，可以计算出在职员工作期间，每月所需缴纳的金额( 一般由雇主与职员共 同分担) 。d c 型养老金则只规定在职员工作期间每月向投资帐户缴纳的金额( 一 般是工资的固定比例) ，养老基金负责这笔资金的投资管理。在退休时，职员将 获得投资帐户的余额。 后来，在一些国家( 美国、加拿大、澳大利亚等) ，出现了一种称为g o b ( g r e a t e ro fb e n e f i t s ) 型的养老金。与d c 型养老金类似，这种类型的养老金 同样规定职员在工作期间的缴纳额，职员在退休时可以获得投资帐户余额。不同 的是，g o b 型养老金规定了退休金的最小金额。也就是说，g o b 型的退休金是d b 型养老金与d c 型养老金的较大值，于是就给职员提供了更大的保障。本文的研 究对象就是这种类型的养老金。 养老金定价最初一般采用传统的精算方法。类似于寿险保单定价方法，这 种方法建立在一系列确定的精算假设( 包括关于死亡率、工资增长率与利率的假 设) 基础之上。然而在实际中，各种因素的变化常常是难以预测的。对于类似于 g o b 型养老金这样的新式产品，传统精算方法更是有些束手无策。 在金融经济学中，不确定权益方法( c o n t i n g e n tc l a i m sa p p r o a c h ) 常被用 于金融衍生物的定价，在处理随机因素方面取得了很好的效果。近些年来，许多 学者试图采用这种方法来解决养老金与其它保险产品的定价问题，例如 s h i m k o ( 1 9 9 2 ) u i 与沈玮熙( 2 0 0 0 【“、2 0 0 0 3 1 、2 0 0 1 ) 将它应用于保单定价，而 b a e i n e l l o ( 2 0 0 0 ) 1 5 与s h e r r i s ( 1 9 9 5 ) 6 1 则采用这种方法来研究g o b 型养老金的 定价问题。 本文引入了工资、利率的随机性，将不确定权益方法与传统精算方法结合起 来，分别使用数值模拟与偏微分方程两种数学工具来解决某一类g o b 型养老金的 定价问题。 在第一章中，我们先给出一般模型，工资与利率均满足特定的随机过程，在 将传统的精算贴现思想推广到风险中性概率测度下，并得到条件期望形式的养老 金价格表达式后，使用m o n t ec a r l o 模拟方法求出不同参数下的养老金价格，并 复旦大学硕士学位论文 对各种变量参数做比较静态分析。 在第二章中，假设利率为常数，运用不确定权益方法归结出一个包括两维空 间变量的定价p d e 。在设法将方程降维后，我们求出了方程的数值解即养老金 的价格。 而在第三章中，我们使用了与第一章完全相同的假设，在不确定权益方法的 框架下得到一个包含三维空间变量的定价偏微分方程。我们通过与第二章类似的 过程求出了它的数值解。 复旦大学硕士学位论文 第一章利用模拟方法对g o b 型养老金定价 在本章中，先给出较一般的假设，即工资与利率为相关的随机过程。在根 据推广的精算贴现值方法得到用条件期望表达的定价公式后，我们利用m o n t e c a r l o 模拟方法求出养老金的价格，并对各种变量与参数进行比较静态分析。 1 1 符号与假设 在这一节中，给出我们的符号与假设 ( 1 ) 记勒为某职员参加养老金计划时的年龄，x 为该职员的当前年龄，w 为法定退休年龄。我们设时间轴的起点对应于该职员参加养老金计划 的时刻，时间单位为年，并且令f = x x o ，显然有f 0 ，刀，其中7 1 = w x o 。 ( 2 ) 养老金计划规定，雇主必须按月将一笔相当于职员工资固定比例的金 额投入投资帐户，设该比例为c 。为了数学处理上的方便，我们假设 这种资金投入是连续性的。 如果中途死亡，职员指定的受益人可获得与该职员的投资帐户价值相 等的一次性死亡赔付。 职员在退休时可以取走投资帐户余额，而且保证不少于口职员退休 时的工资职员在养老金计划中的时间，即a t s ，其中口为常数。 也就是说，退休金金额为： m a x ( 4 ，a r s t ) 。 该养老金计划没有中途退出，只有中途死亡与退休两种退出方式。 ( 3 ) 市场是无套利的，因此必定存在一个风险中性概率测度q 。7 1 ( 4 ) 记，时刻该职员的工资为s ，且在q 下，s 满足随机微分方程： a s , = a , s , d t + a ，s a w , ， ( 1 1 1 ) 其中a 。为工资的增长率，盯。为随机波动率，两者均为常数。 而w 为标准布朗运动。 ( 5 ) 记f 时刻的利率为，且在q 下，满足随机微分方程： 4 复旦大学硕士学位论文 砖= d ，( p 1 ) 协+ 盯，c “咋 ( 1 1 2 ) 其中p 为的长期均值，d ，为调整速度，盯，为随机波动率，三者 均为常数。w ，为标准布朗运动。假设 与w ，的相关系数为 成( 一1 户。 o 。 之所以不使用几何布朗运动来描述，而采用了m e a n r e v e r t i n g 模 型，是因为它更接近经济现实，尽管这增加了数学处理的难度。 ( 6 ) 设f 时刻养老金投资帐户的价值为4 ，而且假设投资帐户的投资回报 率等于利率。则由假设( 2 ) 不难得出： d a , = ( 4 + 嚆) 出。 ( 1 1 4 ) ( 7 ) s 4 x ) 表示x 岁的职员的死亡效力，p 。表示x 岁的职员能活到工+ s 岁的概率，q ，表示z 岁的职员在x + s 岁之前死亡的概率a 显然有 。q ，= 1 一，p 。 1 2 定价公式与数值方法 我们用符号v ( t ，a ，s ，) 来表示当利率为，时，一个年龄为x o + t ，当前投资帐 户余额为a ，当前工资为s 的职员所拥有的g o b 养老金的价格。 在传统的精算方法中，养老金定价一般采用e d v ( e x p e c t e dd i s c o u n t e d v a l u e ，期望贴现值) 方法，即将未来现金流贴现后的期望值作为养老金的价格。 如果我们将“期望”的概念推广到“风险中性”的概率测度下，这种方法是完全 适用于本文所讨论的g o b 型养老金定价问题的。下面我们就使用这种推广的 e d v 方法来导出定价公式。 设t ( x o ) 为矗岁参加养老金计划的职员的剩余寿命。根据金融经济学方法和 复口入学锨i 学位论文 精算贴现思想，可以得到：【】 v ( t a s = e ? “ 未来受益在r 时刻的贴现值 ，s ，) = ( 爿，s ，) 。 ( 1 2 1 ) 而在川i 心l j ，来来受益有两种：死亡受益与生存受益。由假设( 2 ) 、( 7 ) ， 根据寿险精兮_ ；学的知识【”，对于任意y o t t 】，该职员住年龄x 。+ ，+ s 的死亡密 度为、p t ( x 。+ ，+ ，) ，死亡受益为a 。；陔员工活到退休的概率为n ，p 。一 退 休金大小为一“( a ，a t s ，) 。根据精算贴现思想，得到： 。一：r r * “爿。，p 。，心。+ ) 出+ p f7 r n d h m ( “口t s 7 ) h p 。( 1 2 2 ) 代同( 1 2 1 ) 得： p ，( ，爿，s = p ，t ：- e _ f z 幽爿、p 。+ ，( 工。+ f + s ) c 括+ p i i - t 脚似( 4 ”口t s ，) h p h 。 ( 。 ，s ，) = ( 爿s ，r ) 】 ( 1 2 3 ) 在本章中，我们采用m o n t ec a r l o 模拟方法来计算f ，具体步骤如下：1 8 1 ) 我们：瞄时叫从f 到r 等距离划分，问距为西。并且设= ( 丁一t ) 1 6 t ，同时 引入记号： 爿( f ) = - 4 , ，s ( f ) = s ，( f ) = 。 ( 1 2 4 ) 然后，我们用a ( i ，k ) 、s ( i ，k ) 与r ( f ，) 分别代表在第k 条随机路径上，a ( i ) 、 s ( f ) 与r ( i ) 的实现值。 2 ) 根据( 【11 ) 一( 1 1 4 ) ，我们给出下面的递推公式： s ( i + i ，t ) ：毗彬“、! “ 汀“， ( 1 2 5 ) r ( ，) = ，( f ，七) + d ，( 只一r ( i ，后) ) 国+ q 瓦xr a n d 2 ， ( 1 2 6 ) a ( i + l ，女) = 4 ( f ，七) e 。4 + c s ( i + i ，七) 昂 ( 1 2 7 ) 其中，m t l 与r a n d 2 为两个相关系数为p 、的，服从标准正态分布的随 机数。 复旦大学硕士学位论文 之所以有( 1 2 5 ) 式，是因为根据( 1 1 1 ) 式与i t o s 引理，我们可以 得到： d ( 1 n s , ) = ( a 。- 0 ? ) d t + as 抓s 我们不直接从( 1 1 1 ) 式导出递推公式，是因为( 1 2 5 ) 式的精确度 更高。 我们使用如下的步骤产生r a n d l 与r a n d 2 ： a ) 由计算机产生一个服从均匀分布u ( o ，1 ) 的随机数，利用b o x m u l l e t 函数转换成服从标准正态分布的随机数z 。 b ) 用同样的方法产生与毛独立的另一个服从标准正态分布的随机数 z 2 o c ) 最后，通过下面的公式取得r a n d l 与r a n d 2 ： r a n d l = z 1 ， r d 疗d 2 ：p 。z 。+ i ：鬲：。 由于a ( o ，k ) 、s ( o ，k ) 与r ( o ，k ) 均是已知的，这样，对于第七条随机路径， 我们可以得出任何的r ( i ，k ) 、s ( i , k ) 与a ( i ，k ) ，其中0 s f 。 3 ) 对于第k 条随机路径，我们引入记号： 一 r ( j ) ) 擅 k = 参笥 a ( i ，七) ( t 舻州一，& 氏。) 瑚 ( 1 2 8 ) 一，( j ) ) 拉 + p ”。 m a x ( a ( n ，七) ，c t t s ( n ，七) ) r 。p 。 根据前一步的结果，我们不难求出圪的值。 4 ) 根据( 1 2 3 ) 式，我们可以用下面的公式来求雎 1 m 矿( 删矗，) 2 玄否k 。 ( 1 2 9 ) 其中为随机路径的总数。 复旦大学硕士学位论文 1 3 数值结果与比较静态分析 在本节中，除非另外说明，我们取国= o 0 1 ，m = 1 0 0 0 0 。生命函数的值均来 自于生命表c l 9 3 a f ，并假定任何两个整数年龄之间的死亡效力为常数。 首先，我们取定组自变量与参数：x 0 = 2 0 ，t = 2 0 ，s = 1 0 0 0 0 ，4 = 5 0 0 0 0 ， 2 0 0 3 ，w = 6 0 ，口，= o 1 ，o 二= o0 2 ，口，= o 2 ，以= o 0 8 ，仃，= 0 0 1 ，c = 0 1 ， a = 0 1 ，p 。= o 4 。按照上一节所描述的算法，我们可以求出养老金价格为 8 1 9 5 6 4 9 。( 注：算法用v i s u a lb a s i c 实现，使用4 6 6 n 的c p u 运行时间为4 4 0 ”。) 然后，我们依次让每个自变量的值在原来的基础上变动，用同样的算法求出 养老金的价格，并分析它们对养老金价格的影响。不过在开始逐个分析之前，我 们先对养老金价格作一个拆分。 根据寿险精算学的知识【8 】，我们有： j ：- ijp + ，( + f + s ) c 如+ r 。p ：。+ ，= 1 ， 而且，下式是显然的； m a x ( 鼻，a 7 丐r ) = m a x ( c t t s r 一4 ，0 ) + 爿r ， 这样，我们就可以对( 1 2 3 ) 式作以下变形：( 下面推导中的期望均与( 1 2 3 ) 式样是条件期望，为简便起见省略了条件期望的符号。) y ( f ，4 ，s ，) = 4 + e 。【r 。f “4 + ，一4 ) ，氏+ ，( x 。+ f + s ) 出一4 p 。+ ， + p 一加( 懈( 盯珥一4 。o ) + 4 ) ，一r p 。+ ，j = a + e 口【r 。o _ 。“4 + ，一4 ) 。氏。( + f + s ) a s + ：。呜一4 ) ，。p 。+ ，】 + e o e - i 噜曲m 甜( 口7 昌一爿r ，o ) r 护“】 ( 1 3 1 ) 而由( 1 1 4 ) ，我们可以得到： 爿。= 4 j ”+ r j “幽成幽 ( 1 3 2 ) 即： 钾一胁一4 ：f t + s e - 胁戏砌 ( 1 3 3 ) 复旦大学硕士学位论文 代入( 1 3 1 ) 得： v ( t ，a ，s ，) = a + e o 盯( 厂c s u p p 幽) ，p 制, u ( x o + f + j ) a s + t ie - f ”c s o d u ) 。p 制】 + e 曾【e - 上唯曲巩a x ( a t s t - 4 ，0 ) ? 一，p 矗+ ，】 ( 1 3 4 ) 由上式，我们认为养老金价格由三部分组成，每一部分恰好对应一行。我们下面 分析每一部分的实际意义： 第一部分a 即当前投资帐户价值。 我们知道，对任意s e 0 ，t 一， ，职员在年龄x 0 + h s ( 即时刻t + s ) 的死亡密 度为，p w , u ( x o + t + s ) ，活到退休的概率为r 。p 。如果职员在t + s 时刻死亡， f ”c s 。e - “d u 正好是雇主在时间段【f ，f + s 】对该职员投资帐户总投入的现值；如 果职员活到退休，f t t e - j r k “c 咒幽正好是雇主在时间段 f ，卅对投资帐户总投入的 现值。因此，第二部分就是从时刻t 到退休或死亡( 看谁先发生) 之间雇主对投 资帐户总投入的现值的期望，可以理解为雇主未来投入的价值。 第三部分即退休时( 如果该员工能活到退休) z g r 值m a x ( a t s ，- 4 ，0 ) 的贴现值。 实际上，第一部分与第二部分之和正好是相应的d c 型养老金价格，第三部分则 可以理解为g o b 型养老金提供的额外利益所对应的价格。 下面我们先分析自变量对养老金价格的影响。 1 ) 当前工资s 。模拟结果在表1 1 中。 表格1 1 当前工资8 0 0 08 5 0 09 0 0 09 5 0 01 0 0 0 0 矿 7 3 7 6 1 0 47 5 5 4 8 2 47 7 4 9 4 2 07 9 6 2 5 9 98 1 9 5 6 4 9 当前工资1 0 5 0 01 1 0 0 01 1 5 0 01 2 0 0 0 y 8 4 4 8 3 9 38 7 2 0 0 5 59 0 0 9 0 3 09 31 3 4 6 3 9 复旦大学硕士学位论文 矿的值随着s 增加而增加。这是显然的，因为无论是生存受益还是死亡 受益都随着s 的增加而增加。 2 ) 当前投资帐户余额4 。模拟结果在表1 2 - 1 3 中。表中的鲋表示两个相 邻的4 之间的差值，a v 表示两个相邻的矿之间的差值。 我们从表中的数据可以得出两个结论： a ) 随着4 增加，v 的值也增加。这是显然的，因为无论是生存受益还是 死亡受益都随着4 的增加而增加。 b ) 表1 3 表明，当4 增大到一定程度后，a v 与爿的值非常接近。实际 上，在第二章中我们将说明当4 充分大后，有a v = a a 。 表格12 l 当前帐户4 0 0 0 04 2 0 0 04 4 0 0 04 6 0 0 04 8 0 0 05 0 0 0 0 矿 7 7 0 4 6 0 77 7 7 3 6 3 67 8 5 7 8 2 67 9 5 5 8 3 58 0 6 9 0 6 9 8 1 9 5 6 4 9 当前帐户 5 2 0 0 05 4 0 0 05 6 0 0 05 8 0 0 06 0 0 0 0 矿 8 3 3 4 8 6 68 4 8 6 2 8 68 6 4 6 8 6 18 8 1 5 7 9 38 9 9 1 8 4 6 表格1 3 当前帐户 2 0 0 0 0 02 0 2 0 0 02 0 4 0 0 0 2 0 6 0 0 02 0 8 0 0 02 1 0 0 0 0 矿 2 2 9 1 9 0 72 3 1 1 8 9 _ 32 3 31 9 0 52 3 5 1 8 5 92 3 7 1 8 8 7 2 3 9 1 8 6 4 4 2 0 0 02 0 0 02 0 0 0 2 0 0 02 0 0 0 矿 1 9 9 8 62 0 0 1 21 9 9 5 42 0 0 2 81 9 9 7 7 3 ) 当前利率r 。模拟结果在表1 4 中。 矿的值随着f 的增加而变小。 第一部分不变；工资不受i 的影响，而的增加会导致未来的利率( 即贴 1 0 复旦大学硕士学位论文 现率) 相应增加，因此第二部分变小；同样的道理，s 不变，而a ，增加， 此m a x ( c t t s r - a ，0 ) 变小，而且贴现率增加，所以造成第三部分变小。总 的效果是矿的值变小。 表格1 4 当前利率 0 0 1o 0 20 0 30 0 4o 0 50 0 6 矿 8 7 0 7 6 0 08 4 3 3 5 4 68 1 9 5 6 4 97 9 9 1 9 7 57 8 1 9 2 6 17 6 7 0 7 8 5 当前利率 0 ，0 7o 0 8o 0 90 1 00 1 1o 1 2 矿 7 5 4 2 2 9 97 4 2 9 2 5 07 3 2 8 3 8 57 2 3 5 8 5 27 1 4 9 2 1 17 0 6 7 7 8 7 最后，我们让参数的值在原来的基础上变动，以分析养老金价格的参数性质。 1 ) 参加养老金计划时的年龄石。为了分析更有实际意义，我们固定当前年 龄，即x o + t 。模拟结果在表1 5 中。 表格1 5 加入年龄 1 81 9 2 0 2 1 2 22 3 矿 8 7 7 5 7 0 08 4 7 6 7 2 2 8 1 9 5 6 4 98 1 2 6 7 4 98 0 7 0 4 2 48 0 2 6 2 4 4 随着加入年龄的增加，死亡受益也随着变小，而其它的量没有变化，因 此养老金价格随之变小。 2 ) 法定退休年龄w 。模拟结果在表1 6 中。 表格16 退休年龄5 55 65 75 85 96 0 矿 7 0 8 3 1 2 57 2 7 3 6 2 l7 4 7 9 8 2 77 7 0 1 9 4 37 9 4 0 9 7 98 1 9 5 6 4 9 退休年龄 6 i6 26 36 4 6 5 矿 8 4 6 6 0 5 68 7 5 1 1 7 69 0 4 8 8 3 0 9 3 5 9 8 6 29 6 8 1 7 3 6 随着退休年龄的增加，养老金价格变大。 复旦大学硕士学位论文 第一部分不变；第二部分增加也是显然的；工资的平均增长率大于长期 平均投资收益率，尽管s ，与珥都变大，前者增加的速度要大于后者， m a x ( a t s ，鸣，o ) 增加的速度要大于工资的平均增长率，更大于长期平均 贴现率，因此第三部分也增加。所以，v 的值变大。 3 ) 工资增长率口。模拟结果在表1 7 中。 随着口。的增加，r 的值变大。其中的原因是显然的，因为工资的增加会 导致生存受益与死亡受益一起增加。 表格1 7 工资增长率 o 0 80 0 8 5o 0 90 0 9 5o 1 矿 7 3 6 9 8 1 77 5 0 0 2 6 37 6 5 6 0 5 57 8 7 0 2 2 48 1 9 5 6 4 9 工资增长率 0 1 0 50 1 10 1 1 5o 1 2 矿 8 6 8 4 7 9 39 3 6 2 3 4 41 0 2 1 6 0 5 011 2 1 6 2 3 9 4 ) 工资的波动率盯，。模拟结果在表1 8 中。 非常有意思的是，随着盯，的增加，r 的值先是变小，而后变大。 表格1 8 工资波动率 0 0 lo 0 1 20 0 1 40 0 1 60 0 1 8 o 0 2 矿 8 2 0 6 9 5 4 8 2 0 2 6 6 3 8 1 9 9 0 0 6 8 1 9 7 3 3 28 1 9 5 4 6 08 1 9 5 6 4 9 工资波动率 0 0 2 20 0 2 40 0 2 60 0 2 80 0 3 矿 8 1 9 6 0 2 38 1 9 8 0 4 08 2 0 0 9 7 0 8 2 0 5 1 _ 3 28 2 1 0 2 6 l 5 ) 利率的调整速度口，。模拟结果在表1 9 中。 随着口，的增加，矿的值变小。这是由于当前利率( 0 0 3 ) 小于长期平均 利率，所以g t ，的增加意味着利率趋向于长期均值的速度更快，因此未来 利率总体上会相对大一些。正如我们在前面解释为什么v 的值会随着r 的 复旦大学硕士学位论文 增加而变小，同样的道理，v 的值会随着口的增加而变小。 表格19 利率调整率o 10 1 2o 1 40 1 60 1 8o 2 y 9 5 9 7 7 1 09 1 3 2 3 5 38 7 9 0 6 1 88 5 3 4 8 0 08 3 4 2 4 2 68 i 9 5 6 4 9 利率调整率0 2 20 2 4 0 2 6 0 2 8o 3 矿 8 0 8 2 5 6 47 9 9 4 6 3 87 9 2 5 1 7 37 8 7 0 3 0 87 8 2 5 8 4 5 6 ) 利率的波动率盯，。模拟结果在表1 1 0 中。 表格1 1 0 利率波动率 0 0 0 50 0 0 60 0 0 7 0 0 0 80 0 0 9o o l 矿 8 01 9 6 5 08 0 4 5 4 2 38 0 7 6 9 4 58 1 1 2 5 3 78 1 5 2 5 1 88 1 9 5 6 4 9 i 利率波动率 0 o l lo 0 1 2 0 0 1 30 0 1 4o 0 1 5 y 8 2 4 1 8 5 08 2 9 0 2 3l8 3 4 2 5 5 68 3 9 6 2 2 08 4 5 1 6 8 3 随着盯，的增加v 的值变大。这是由于当前利率( 0 0 3 ) 小于长期平均利 率，仃，的减少意味着利率更稳定地趋向于长期均值( 即更稳定地增加) 。 反之，盯，的增加意味着未来利率总体上的变小，因此会导致v 的值变大。 7 ) 利率的长期均值统。模拟结果在表1 1 1 中。 随着只的增加，v 的值变小。这是显然的，因为以的增加显然会导致未 来利率总体上的增加，从而导致y 的值变小。 表格1 1 1 利率均值0 0 5 50 0 60 0 6 50 0 70 0 7 50 0 8 矿 1 0 9 7 1 6 21 0 2 2 5 8 79 5 6 2 3 7 88 9 9 5 5 7 48 5 3 9 1 5 98 1 9 5 6 4 9 利率均值 0 0 8 5o 0 90 0 9 50 10 1 0 5 矿 7 9 5 1 8 6 07 7 8 1 47 87 6 5 9 1 0 3 7 5 6 2 2 0 07 4 7 7 1 6 6 复旦大学硕士学位论文 8 ) 利率与工资的相关系数服。模拟结果在表1 1 2 中。 我们不难看出，随着p 。的增加，r 的值有变小的趋势。 表格11 2 i 相关系数00 1 0 2 o 30 40 5 矿 8 2 9 2 6 2 88 2 6 9 2 3 58 2 4 5 1 6 28 2 2 0 9 2 2 8 1 9 5 6 4 98 1 6 9 9 9 6 i 相关系数 0 6o 7 0 8 o 9 1 矿 8 1 4 3 4 0 18 1 1 5 2 5 08 0 8 6 8 0 18 0 5 7 0 8 68 0 2 4 1 4 9 9 ) 常数c 。模拟结果在表1 1 3 中。 随着c 的增加，v 的值变大。这是因为死亡受益与生存受益都随之增大。 表格1 1 3 c o 0 80 0 8 50 0 90 0 9 5 o 1 矿 7 8 8 8 6 6 57 9 5 3 7 6 78 0 2 7 1 7 58 1 0 6 9 5 18 1 9 5 6 4 9 c 0 1 0 5 0 1 l0 1 1 50 1 2 矿 8 2 9 7 58 3 9 5 0 5 18 5 0 5 3 5 78 6 2 0 8 6 9 1 0 ) 常数a 。模拟结果在表l i1 4 中。 随着a 增加，r 的值变大。这是显然的，因为生存受益增加，而死亡受 益不变。 表格1 1 5 4o 0 80 0 8 5o 0 90 0 9 5o 1 矿 7 9 3 3 9 6 47 9 5 1 3 5 87 9 9 2 1 4 48 0 7 0 5 8 38 1 9 5 6 4 9 爿0 1 0 50 1 10 1 1 50 1 2 矿 8 3 7 2 4 7 18 5 9 8 3 3 78 8 6 6 4 4 29 1 6 7 7 1 3 从上面的分析可以看出，模拟方法的数值结果与理论分析是完全一致的。从 下一章开始，我们将重点放在p d e 方法上。 1 4 复旦大学硕士学位论文 第二章利用p o e 方法对养老金定价( 厂为常数) 在第一章中，我们利用m o n t ec a r l o 模拟方法分析了g o b 型养老金定价问 题。模拟方法的优点是实现容易，精度也比较高，可是程序运行时间比较长。以 第一章的程序为例，每组变量要运行约5 分钟，一个养老金计划里至少有数百组 变量，这样总的运行时间可能会达到数十个小时。 从本章开始，我们考虑另外一种工具：偏微分方程。在类似于第一章的假设 下，根据金融经济学与精算学的相关理论，可以得到一个定价偏微分方程。对这 个p d e 进行数值求解，就可以求出养老金的价格了。 在这一章，我们先考虑一种简单的情况：利率为已知常数。我们利用金融经 济学与精算学的理论，对养老金的性质进行了独立地分析，并据此得到定价偏微 分方程的边界条件。最后，我们利用有限差分法求出方程的数值解。需要指出一 点，在选取求解区域以及给出边界条件时，我们部分地利用了数值模拟的结果。 2 1 模型的建立 假设 在给出g o b 型养老金产品的p d e 定价模型之前，首先给出下面的符号与 ( 1 ) 记如为某职员参加养老金计划时的年龄，x 为该职员的当前年龄，w 为法定退休年龄。我们设时间轴的起点对应于该职员参加养老金计划 的时刻，时间单位为年，并且令f = 工一x o ，显然有， 0 ，刀，其中r = w x oo ( 2 ) 养老金计划规定，雇主必须按月将一笔相当于职员工资固定比例的金 额投入投资帐户，设该比例为c 。为了数学处理上的方便，我们假设 这种资金投入是连续性的。 如果中途死亡，职员指定的受益人可获得与该职员的投资帐户价值相 等的次性死亡赔付。 职员在退休时可以取走投资帐户余额，而且保证不少于口x 职员退休 时的工资职员在养老金计划中的时间，即a t s t ，其中口为常数。也 就是说，退休金金额为： 肌娃x ( 4 ，a t s r ) 。 复旦大学硕士学位论文 该养老金计划没有中途退出，只有中途死亡与退休两种退出方式。 市场是无套利的。 假定t 时刻该职员的工资为s ，s 满足以下的随机微分方程： 姆= a , ( t , s ) d t + a a t , s ) d w , ， ( 2 1 1 ) 其中，( f ，s ) 为工资的增长率，a 。 s ) 为随机波动率。两者均 依赖于时间t 与工资s ，而w 。为标准布朗运动。 假定利率为常数r 。 设f 时刻养老金投资帐户的价值为4 ，而且假设投资帐户的投资回报 率等于利率。则由假设( 2 ) 、( 5 ) 不难得出： 她= ( 以+ c s , ) d r 。 ( 2 1 2 ) 卢( x ) 表示x 岁的职员的死亡效力，p ，表示x 岁的职员能活到x + s 岁的概率，。以表示x 岁的职员在石+ s 岁之前死亡的概率。显然有 s q 。= 1 - - 。p 。 有了上面的假设，我们就可以开始建立模型了： 记一个年龄为+ f ，当前工资为s ，当前投资帐户余额为4 的职员 所拥有的g o b 养老金的价格为v ( t ，s ，a ) 。为了将s 调整到“风险中 性”状态，我们引入工资的风险价格2 ( t ，s ) ，同时定义： a ：( f ，s ) = a 。( f ，s ) 一2 ( t ，s ) a ， s ) ，及c m = ( 舨+ a ( f ，s ) d t ， ( 2 1 3 ) 则根据假设( 4 ) ，我们有： 勰2 t ( t , s ) - ，；f f t 婴：? 肌t ( t , s ) ( 批讹固d t ) ( 2 1 4 ) = d ：( s ) d ? + 巧，( t s ) c m ： 。 、 而在市场无套利的假设下，必然存在一个风险中性的概率测度q ，使 得w ：在该概率测度下为标准布朗运动，此时有： e q 【州 ：o 。 ( 2 1 5 ) 由( 2 1 2 ) 、( 2 1 4 ) 及t o j 引理，可得： ) ) ) ) ) 3 4 5 6 7 ( ( ( ( ( 堡呈奎兰堡主兰垡笙苎 d 矿= 警q ( 警+ 乏1 略豢+ ( 咀+ 晖) 著乜( 润面o v 眦。( 2 1 6 ) 由( 2 i 5 ) 与( 2 1 6 ) ，我们不难推出在【，+ 破】时间段内，养老金的期望资本收 益为： e c g = e 。 d 叼 = 【詈“) 西o v 掣1 润豢州+ o s ) a 删v 出。 妲- l7 从假设( 2 ) 、( 7 ) ，我们不难得知在p ，+ a t 时间段内，养老金的期望现金收益 为： e c f = a ( x 0 + t ) ( a v ) a t 。( 2 1 8 ) 另一方面，根据金融经济学理论，在风险中性状态下，【r ，+ a t 时间段 内期望资本收益与期望现金收益之和应该等于由利率r 所产生的增值，v d t ，即： e c g + e c f = r v d t 。 ( 2 1 9 ) 将( 2 1 7 ) 与( 2 1 8 ) 代入( 2 1 9 ) ，合并后得到： 百o v + j 1 咄豢q ( 润豢+ 删+ 西) 丽o v 七+ ( 而+ ，) ) + ( + ，) 4 ：口。 而假设( 2 ) 中关于退休金金额的假设则决定了该模型的终值条件为： t = t = w x o ：v = m a x ( a ，a t s ) 。 这样，我们就得到了r 为常数时g o b 型养老金的定价方程： 降扣瞄0 2 v 填，嚣州+ 岱秘州v 呦州挑扭。， 1 ，= 7 2 _ ：阽m a x ( a ，a r s ) 。 在本文中，我们只研究一种最简单的情况。我们假设工资满足几何布朗运动， 即n ， s ) = d ；s ，盯，( f ，s ) = 口，s ，其中a ，与盯，均为常数。我们还设2 ( t ，s ) 为常 数a ，这样a ：( ，s ) = ( a ，- 2 0 5 ) s ，设口：= 吼一五以。此时的定价方程为： j * 矿o z v o 婴v + ( r a + c s ) 旦0 4 ”础0 + f 炒州删- 0 ( 2 ，) i = t = w - x 。：v = m a x ( a ，a t s ) 。 复旦大学硕士学位论文 2 2 关于v 的一些分析 首先，从假设中我们不难发现养老金实际上由死亡受益与生存受益组成， 而且这两种受益均是a 与s 的一次齐次函数。即对任意常数k ，如果爿与s 均变 为原来的k 倍，则死亡受益与生存受益都变为原来的k 倍。根据金融学的常数， 此时y 也一定是原来的k 倍。即： v ( t ，k s ，k a ) = k v q ，s ，4 ) 。 ( 2 2 1 ) 上式的严格证明不难给出，这里就省略了。 第二个性质是关于i o v 的。下面我们从精算的角度考虑，在s 不变的情况下， 洲 如果a ，发生微小的变化a a ，的变化量将会是多少? 我们知道g o b 型养老金包括两种受益：死亡受益与生存受益。如果职员在 退休之前死亡，受益