（概率论与数理统计专业论文）投资收益风险模型的破产问题研究.pdf

投资收益风险模型的破产问题研究 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o b a b i l i t yo fr u i ni nt h e c o n t i n u o u st i m ea n dd i s c r e t e t i m er i s km o d e l s i nt h ec o n t i n u o u st i m er i s km o d e l ，w es t u d yt h ed o u b l e - t y p er i s k m o d e lw h e r ep r e m i u m si st h ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sa n dc l a i m s p r o c e s si sc o m p o u n dp o i s s o n g e o m e t r i cp r o c e s s t a k i n gi n t oa c c o u n t i n f l a t i o na n di n t e r e s tr a t e si m p a c to nt h em o d e la n da d dar a n d o m i n t e r f e r e n c et e r m ，w eg e tt h ep r o b a b i l i t yo fr u i no ft h em o d e la n di t s l u n d b e r gu p p e rb o u n d i nt h ed i s c r e t et i m er i s km o d e l ，w ec o n s i d e rt h ed o u b l eb i n o m i a l r i s km o d e lw i t hm a r k o vc h a i ni n t e r e s t t h ep r e m i u m sa n dc l a i m ss a t i s f y t h eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ，a n dt h ei n t e r e s tr a t ei st i m eh o m o g e n e o u s m a r k o vc h a i n u s i n gt h em e t h o d so fr e c u r s i v e ，w ed e r i v et h ep r o b a b i l i t y o fr u i na n di t sl u n d b e r gu p p e rb o u n d ，a n dt h ep r o b a b i l i t yo fs u s t a i n a b l e np e r i o do fr u i ns a t i s f i e sai n t e g r a lf u n c t i o n k e yw o r d s c o m p o u n dp o i s s o n - g e o m e t r i cp r o c e s s ，m a r k o vc h a i n ， u l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y ，i n t e g r a le q u a t i o n 1 1 投资收益风险模型的破产问题研究 目录 第一章绪论1 第一节保险业发展现状1 第二节破产论的研究背景1 第三节本文研究的主要内容2 第二章预备知识4 第一节相关知识4 一p o i s s o n 过程4 二 布朗运动4 三 鞅5 第二节经典风险模型的研究6 一连续时间模型6 二离散时间模型9 第三章考虑投资利率与通货膨胀率的一类双险种的破产概率1 1 第一节引言1 1 第二节p o i s s o n g e o m e t r i c 过程。1 2 第三节模型的建立1 3 第四节重要引理及定义1 4 第五节主要结论1 6 第四章马氏链利率下的双二项风险模型的破产概率2 0 第一节引言2 0 第二节模型的描述2 0 第三节递推方法求破产概率一2 2 一破产概率的积分方程2 2 二破产概率的上界2 5 第四节破产持续时间2 7 第五章总结与展望3 0 第一节总结3 0 第二节展望3 0 参考文献3 2 攻读学位期间发表的学术论文目录3 5 致谢3 6 中央民族大学研究生学位论文作者声明3 7 投资收益风险模型的破产问题研究 。第一章绪论 第一节保险业发展现状 保险属于经济范畴，是一种重要的风险融资方法，是指保险人通过集中保 费以建立风险基金，用以补偿保险人可能遭受的经济损失，是商品社会中处理 风险的一种有效方法，已被全世界所普遍采纳。 精算学是一门集数学，统计学，计算机科学，保险学，金融学，会计学和 经济学等多种学科的交叉学科，精算学以现代数学和统计学为基础，对保险经 营中的某些问题进行定量化的分析和研究，为保险公司进行科学的决策和提高 管理水平提供依据和方法，它是保险公司在激烈竞争的市场环境中得以生存和 发展的重要保障。在保险领域中，保险经营中的核心问题，如保险的设计，保 险事故的出险率和损失程度的估计，费率的厘定，红利的制定，退保的处理， 准备金的提留，再保险的安排，保险资金的投资与管理，及保险人的资产负债 管理，与偿付能力管理等，始终是精算学的主题，因此，精算学也被称为保险 数学。 与外国几百年的保险史相比，我国的保险业发展缓慢，处于起步阶段，人才 培养远不能适应实际需要，特别是精算学的研究和精算人才的培养，未得到应 有的重视。在保险业实际运作中，也很少严格按照精算学的原理办事，影响了 我国保险业的进一步发展。 第二节破产论的研究背景 在保险精算的研究范畴内，破产论是风险理论的核心内容。破产理论研究 的是保险人长期的财务状况的变化，更确切的是保险人的盈余随着业务的发展 而产生变化。破产的主要问题是保险公司破产的可能性有多大，若有可能破产， 何时破产，破产时亏损有多大，影响这些事情的因素有哪些，如何控制这些因 素，进而控制破产的发生等等，破产问题的研究有助于保险公司的偿付能力管 投资收益风险模型的破产问题研究 理。破产概率使得我们可以对不同的保单组合进行比较，但是它并非真j 下表示 保险公司将在近期倒闭的概率。它只是保险公司作为综合保费和索赔过程的稳 健的一个指标，是风险管理的有效工具。破产概率高意味着保险公司不稳定， 这时保险人必须采取措施，如追加资本，转移一部分风险给再保险公司，提高 保费等来维持保险公司的正常运营。但是，它确实能够作为保险公司财务预警 系统的一个重要指标。 风险理论是非寿险领域的一个理论基础。由于其对非寿险精算具有特别重 要的作用，国外保险业发达国家尤其北美和欧洲在有关领域的论文层出不穷， 但我国在这个领域的研究还远远不够，由于我国现阶段保险业的高速发展，在 理论和实际中对于风险模型的需求很迫切。 概率作为保险公司测度风险的重要依据，有助于保险公司防范和化解 。破产理论主要用于风险经营过程的稳定性分析，预测经营者在有限 最终会破产的可能性大小，对经营决策起指导作用。在进行风险决策 来要进行的经营决策进行稳定性分析，有着及其重要的现实意义和理 特别是在保险和投资行业。对破产概率这一指标的研究分析和预测， 投资者决定对一个项目是否进行投资。这都是关系到整个保险公司的 ，以及业绩的重要因素。 本文研究的主要内容 更好的与保险公司的实际运行相符合，我们对经典风险模型的进行推 续时间模型中，把保费收取过程和索赔过程均作了一定的推广，随着 经营规模的同益扩大，险种的多元化，及新险种的不断开发，单一险 模型已远远不符合保险公司的实际运行情况，于是我们又考虑了双险 种的风险模型。离散时间模型中，我们也考虑了投资收益的影响，并 推广为m a r k o v 链，对其进行了一定的研究。 章首先介绍保险业的发展现状和破产论研究的背景，其次介绍破产论 容与研究方向，最后介绍本文研究的主要内容。 章我们介绍了本文所用到的一些预备知识，包括鞅论，p o i s s o n 过程， 2 投资收益风险模型的破产问题研究 布朗运动以及一些经典模型的研究成果。 第三章在连续时间的情况下，首先介绍复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程，然后 建立了一类连续时间双险种风险模型，其中保费收取过程是复合p o i s s o n 过程： 理赔过程是复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程。并且考虑了投资利率以及通货膨胀率 的影响，而且加进了随机干扰的影响。我们讨论了此模型的最终破产概率的一 般表达式，得到了破产概率满足的l u n d b e r g 上界。 第四章考虑在离散时间的情况下，我们研究了带马尔科夫链利率的完全离 散时问双二项风险模型的破产概率问题，给出了破产概率的递归方程和积分方 程，并用递推方法得到了破产概率和破产持续n 期的概率所满足的方程。 第五章是总结与展望，对本章的内容做了一下总结，然后对可以在此基础 上继续进行的一些探索研究进行一下展望。 投资收益风险模型的破产问题研究 第一节相关知识 一p o i s s o n 过程 第二章预备知识 0 ) 的p o i s s o n 过程，如果 n = 0 ，1 ，2 ， 序列， ( f ) ，t o 为p o i s s o n f ) 一x ( s ) 是期望为0 ，方差 投资收益风险模型的破产问题研究 ( 3 ) x ( t ) 关于f 是连续函数 则称 x ( f ) ，t 0 ) 是布朗运动或维纳运动。 三 鞅 首先介绍鞅的有关知识和概念。 定义2 4 随机过程 以，以o ) ，e ( 以+ 。ik ，k ) = 以称为关于 ，甩0 的下鞅，如果对刀o ，e 是( k ，k ) 的函数，珥 o 7 投资收益风险模型的破产问题研究 下面假定相对安全负荷： 假定2 2 设 c = ( 1 + p ) 舡 其中0 0 ，称为安全负荷 假定2 3 首先要求个体索赔额的矩母函数 m x ( ，) = p 崩 = f e “d f ( x ) = l + rj c o 【1 一f ( z ) 】出 ( 2 3 ) 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次要求方程 ( 2 4 ) 面方程若有证根，必是唯一 ( 2 5 ) 投资收益风险模型的破产问题研冗 ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m e r 近似：存在正常数c ，使得 ) c e 一肌，u 专o o ， 即 鲤磐：1 cj _ 。e 一 “ 以上结论表明：当初始盈余为0 时，破产概率y 似) 仅依赖于相对安全附加 系数护，和个体索赔分布的具体形式无关，并且保险公司收取的附加保费的比例 秒越大时，初始资本金为0 的保险公司破产概率y ( “) 越小，这个结论是显而易 见的。 到目前为止，国内外广大学者已经对以上经典模型进行了很多研究推广。 他们的推广研究主要集中于两个方面，一方面寻求比l u n d b e r g c r a m e r 理论更 加简便的破产论的研究方法，一种是对经典风险模型的推广，使之更加贴近现 实生活。 二离散时间模型 风险理论的大部分结论，都是关于连续时间模型的，而现实中，离散时间 模型则更易于应用，早期的工作有g e r b e r i 2 引，s h i u 2 9 1 ，w i l l m o t 3 0 1 以d i c k s o n 【3 1 】【3 2 1 近年来也有较多的文章研究离散的二项分布模型的破产问题，如t a n 和 y a n g 3 3 1 ，用自回归模型描述聚合理赔过程和随机保费收入过程，并且假定保险 人有投资收益，他们得到了破产概率的指数型和非指数型的上界，并且用数值 例子说明了指数上界的用途。 离散风险模型中讨论的最多的就是复合二项分布，复合二项分布即取定一 个时问单位后，假定在任一单位时f b j 内，仅可能出现两种情况：或有一次索赔 发生，或者没有索赔发生。用= o 表示在该单位时间内没有索赔发生，磊= 1 表示在该单位时间内有一次索赔发生，且满足 尸( 磊= 1 ) = p ，p ( 磊= 0 ) = l p = q 。( 0 0 ，0 p 1 。 定义3 2 设力 o ，o p 1 ，称 ( f ) ；f 0 为参数为兄，p 的复合 p o i s s o n g e o m e t r i c 过程，如果满足： ( 1 ) ( f ) = 0 ； ( 2 ) ( f ) ；f 0 ) 具有平稳独立增量； 。 ( 3 ) 对f 。有( f ) 尸g ( 允，p ) ，而且引j 7 v ( f ) 】= 啬， 1 2 投资收益风险模型的破产问题研究 v a r i n 】= 篱。 其中p 为偏离系数，当p = 0 时，复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程退化成符合 p o i s s o n 过程。 第三节模型的建立 本文继续对模型进行推广，建立了考虑投资利率与通货膨胀率的双险种模型。 设给定概率空间( q ，f ，p ) ，t 0 ， 一 n _ ( f ) n 2 i f ) n ，( f )心“) u ( f ) = + 1 + 2 ) ( 1 + f 一) 一一r n + o r b ( t ) ( 3 2 ) n l ( f )n ，( ，)n 1 f f v 4 ( f ) 为盈余过程，s ( f ) = ( 1 + 掣2 ) ( 1 + f 一_ ，) - zr o 一l 佗+ o r b ( t ) 为 盈利过程。 ( 1 ) u 0 是初始资本，f 0 为投资利率，j 0 为通货膨胀率。 ( 2 ) ，i = i ，2 ， ， 掣加，f = 1 ，2 ，) 为独立同分布的非负随机变 量序列，表示险种1 和险种2 在( o ，f 】时i 、日j 内保费收入。且e 墨= , t t i ， e 掣2 = 鸬 z m ，i = 1 ，2 ， ， z 孙，i = 1 ，2 ， 也垄独立同分布的非负随机变量序列， 表示险种1 和险种2 的理焙额。且e r = 鸬，e z 2 ) = 段 ( 3 ) i ( 叭t o 以a ) ， n l ( t ) ，t o p ( 五) ，n l ( t ) ，2 ( f ) 分别表示险种1 和险种2 在( o ，f 】时间段内保单到达个数。 3 ( f ) ，t 0 p g ( 五t ，岛) ， n 4 ( t ) ，t o p g ( 2 4 t ，岛) an 3 ( t ) ，n g ( t ) 分别表示险种1 和险种2 在( o ，f 】时问段 内索赔到达的个数。 ( 4 ) 召( f ) ，t 0 ) 是标准的布朗运动，表示保险公司不确定的投资收益， 投资收益风险模型的破产问题研究 盯 0 代表扰动强度。 ( 5 ) 掣1 ) 2 ) z f 2 ) i ( f ) 2 ( f 蝰 n 3 ( t ) n 4 ( t ) ) b ( f ) 是相互独 立的。 ( 6 ) 为保证保险公司的稳定经营，我们假定单位时间内收取的保费大于理 赔额，否则此险种就失去了经营的意义了。 e i s 】- ( 1 “卅( “+ 五舭一鸶卜筹玲。 由此我们定义相对安全负荷系数秒：( 1 + i - j _ ) ( _ 2 # 6 + 4 t = ) ( 1 一- p ) 一1 o 段十段 定义破产时间 丁_ 冀设羹篙罢集 定义最终破产概率 沙( f ) = p r 。所以 g ，( o ) = 1 + 卜力 m - ( 1 + 卜力五鸬+ 丛1 - p i + 等 o 因为m ( ，) = e lp 麒l 为递增的，0 0 使得 。 n m x ( ) ： 1 。当o r 时，l 肘x ( 厂) o 。同理 p、p、 当0 ， o n 以，当0 o ( 3 4 ) 。一( i + i j ) r u 纵2 希呐 5 投资收益风险模型的破产问题研究 “为初始资本，r 为调节系数，r 为破产时间。 证明对任意的t 0 ， o 有 e e - u ( o = e e - r u ( ”l r f p ( r f ) + e p u f i t t p ( t f ) 而 e e 洲 ：d 唧 邶+ z j x u - 竺墨n 一竺墨z ，) + ，艺，+ ，笠矿，一，盯即) l= 剖唧 邶+ f 一墨n 一墨2 ) + ，z u + ，巧伫一，- 盯b ( f ) l iii = 1 i = li = ii = 1 ji 2 唧小伽+ 丑鹕。小动一。+ 姒m x , 2 , ( - r ( 1 + i - j ) h 卜戮 + 垄坠! ! 盟二n + l r 2 盯2 t ) 、 1 一p 2 m y 2 ) ( ，) 2 当，= r 时，s ( r ) = o ，从而有e e - r u ( t ) = g 娟n + 卜加。因此， e - r l l + i - j ) u = e e - r v ) = p r u f l 丁f p ( r f ) + e l e 一只u ”l 丁 f p ( 丁 f ) 当t t 时， u ( f ) ：u ( 丁) + 缈( f ) 一u ( 聊：u ( 丁) + f 竺_ - ，+ 芝霹z ，1 ( 1 + f 一) 此时， 布： 1 ( t )4 f f ) 一r i 1 一i 2 + 盯( b ( f ) 一b ( 丁) f ； - ( 7 _ ) + l f = n 4 ( 7 _ ) + l n z t 掣2 分别服从参数为丑。一丁) 和五。一丁) 的复合p o i s s o n 分 i = n 2 ( 7 ) + i m ( f ) 4 ( f ) z ，鬈2 分别服从参数为( 五。一r ) ，一) 和( 五。一r ) ，岛) 的复合 i - ：- n 3 ( r l + l i = n 4 ( t ) + i p o i s s o n g e o m e t r i c 分布：b ( t ) 是标准的b r o w n 运动，从而 b ( f ) 一b ( r ) ( o ，t - t ) ，所以e p 一肛协i 丁f p ( r f ) 1 7 霹 m 帅 扭 投资收益风险模型的破产问题研究 钮 e x p ( 一r u ( t ) - r i 竺掣i ) + 芝_ z ) ( 1 + i - ) f = l ( r ) + l i = n 2 ( 7 ) + l 3 ( f ) 儿( f ) + 尺y ，n + 尺v 一r c r ( b ( t ) 一b ( 丁) ) ) ir f 】p ( t f ) 一 l j 一 j7 4 i f n ；( 7 ，+ lf = n 4 ( 7 ) + l = e e x p 一r u ( 丁) + o r ) g ( 尺) i t t p ( 丁f ) = e e x p 一r u ( t ) it t u p ( t t ) 当f 专o o 时，! ，i m 。e 一r u ( t ) it t p ( t t ) - - 0 。( t - - o o ) 令e x ”= 一；酬2 = p 2 ；e r , u = 鸬；e r , 2 = 以 e ( 掣1 ) 2 = 4 ；e ( f 2 ) 2 = 疋；e ( r i ) 2 = 岛；e ( f 2 ，) 2 = 哦 e 【u ( f ) 】：e n + 竺_ 1 ) + 艺掣z ， ( 1 + f 一_ ，) - m e “，一艺酽，+ 盯眦) 1e 【u ( f ) 】= + 掣+ 掣2 i ( 1 + f 一_ ，)矿一驴+ 盯b ( f ) l l f - i，= l ，= if - i j 却砷”咖z ) ( 1 “卅一尚鸬一苦以 l ， n j f f ) 也f f )、 n 3 ( f ) 丝f t )i v a r u ( t ) 】- v a r + 掣+ 2 l ( 1 + f 一) - z 矿一驴+ o r b ( t ) i l f - ii f f i l f - if _ i i = ( 丑f 磊+ 4 t 4 ) ( 1 + i 一) 2 + 卜等 啬+ 2 p 一2 岛, u _ 丛4 z ) 去仃r 舻( 丑“坳z ) ( 1 “卅一筹一筹 c 柑( 1 + 叫) 2 + 卜等 去+ h2 。p z 岛l t ：) 去 三 令q ( f ) = “( 1 + f 一歹) + 卜o t3 由模型假设知缈 o 在充分大时q ( f ) o e p 娟叭”i t f p ( r f ) _ - e l p 一只u l r f ，o u o ) q ( f ) p ( t t ，o 【厂( f ) q ( f ) ) 1 8 投资收益风险模型的破产问题研究 + e p 一尼，( jt t ，u o ) q ( f ) p ( 丁 f ，u ( f ) q ( ，) ) p ( o 【，( f ) q ( f ) ) + e x p ( 一r q ( f ) ) 。s p ( 。u 。) q ( ，) ) 尸( o t f i + e x p 一月 对上式取极限t 0 0 ，由控制收敛定理得： l i m e p 删“l t tl = 0 f - - - + q o l - 一 所以 e x p 一r u ( 1 + f 一) = e 卜r u ( t ) 丁 o ，u ( ，z ) o t “( o ) = “，o = 最终破产概率： 缈( ”；) = 尸( u ( 吼 o ) l u ( o ) = “，厶= ) = p ( t o o i u ( o ) = u ，厶= ) 七= i 有限时间内破产概率： n 纯 ；) = p ( u ( 证明很明显我们可知 k ) 蒯是取非负值的独立同分布的随机变量序列。当 y = 0 时， 当y 0 时， f ( o ) = p ( 匕= 0 ) = 尸( = o ) = q ： f ( y ) = p ( 艺j ，) = 尸( 幺= 0 ) + 尸( 巳= 1 ) 尸( 以y ) = q 2 + p z h ( y ) ， 得证。由引理4 3 1 我们可以将盈余过程写为 乩= 甜( 冉c + 厶， + 喜( c c 氧一砭，l ：旦。- i + 。( 1 + ，) c 4 3 ， k 的分布函数，( y ) 是有跳跃点y = 0 的分布函数，那么对任意的函数研( y ) 关于 投资收益风险模型的破产问题研究 f ( y ) 的r i e m a n n s t i e l j e s 积分为 fm ( y ) d f ( y ) = 肌( o ) f ( o ) + f m ( y ) d f ( y ) 定理4 3 1 破产概率妒( “；) 满足以下积分表达式： 咖；i s ) = 委o d 啪r 删叫妒( y ) 喜气只r 卜。删一心妒( y ) + 风( g 。户( “( 1 + ) ) + p f ( “( 1 + f f ) + c ) ) ( 4 4 ) 证明由( 1 4 ) 可知 尸( u o t 厶= ，。= ，y = y 。) = g 。p ( 甜( 1 + j 1 ) 一y o l o = ，= ，x = y ) + p 。p ( u ( 1 + i , ) + c - y o l i o = ，= ，x = y ) = # 0 y u o + ) u o + ) u ( 1 + ) + c 投资收益风险模型的破产问题研究 + i k七七 、 = p iu ( “( 1 + ) + - y ) 兀( 1 + ) + ( 一霉) 兀( 1 + 五) oi 元= f f ，i o = 之，誓= yi i = l，= l，= li = j + l = e ( 纯( “( 1 + f f ) + c g l y ；) ) = q l q ，( “( 1 + ) 一y ；) + 尼纪( u ( 1 + i t ) + c - y ；i t ) ( 2 ) u ( 1 + i t ) y “( 1 + ) + c 时 p(q(o)110k= ，= ，x = y ) iu ( = ，= ，x = yi = i = 尸( u 。l 厶= ，厶= ，x = y ) 1 f u n + l k = l ( 0 使得下歹, j - b 程成立 e ( e x p - r ( c ( 。一x ) ) = 1 ( 4 5 ) 其中r 成为l u n d b e r g 系数。 缈( 甜；) e ( e x p - r u ( 1 + i , ) ) i 厶= i s ) ( 4 6 ) e ( e x p - r u ( 1 + i , ) il o = i , ) _ e x p - r u 证明令c ，= 璁f f e x p s y d f ( y ) = ! n f of 。e e x x p p 。l c y ， 甜d f 。( y y ，) 则因为 投资收益风险模型的破产问题研究 j f o e x p 缈) 护( 少) f e x p r t d f ( y ) 所以( ) 叫1 ，即1 。 户c 曲= 絮 一1 e x pt - ，fe x pt 尽y ，五f c y ， _ pe x p 一瓜 fe x p r y d f ( y ) e x p ( - r x e ( e x p r y ) 对任意的u 0 ，0 仍( 甜；t ) = 尸( u l 0 i = “，o = ) = p ( “( 1 + ，) + 一k o l 砜= “，厶= ) = e ( f f ( u ( 1 + i 。) + c 夤) i 厶= ) - e ( e x p r y i ) e ( e x p - r ( u ( 1 + i 。) + 噶) ) ) 利用归纳法证明：假定对任意u 0 ，0 有 识( “；) e ( e x p 尺y ：) ) e ( e x p 一尺( “( 1 + ，。) + 嘴) i 厶= ) 对0 y u ( 1 + ) + c ，由上式得 e ( ( “( 1 + ) + 嘴一y ；f f ) ) o i u o = z f ，o = 之 定义4 4 2 破产持续时间为： ，宅= 气一0 瓦若5 普z t ： o o 定义4 4 3 破产持续n 期的概率为： 纯( “，) = p 雹= 1 u o = “，厶= l 令 e ( ) = p u i o ， o ，玑 o ，虬+ 。o l u o = ”，厶= 表示1 时刻破产且破产持续玎期的概率。 定理4 4 1 破产模型的破产持续n 期的概率为 纯( “，) = e ( “，) q ( 。) + 艺t = o