（应用数学专业论文）椭圆型方程解的多重性.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 研究一类带有边值条件的偏微分方程解的存在性和多重性，是偏微分方程理论研究 领域的重要课题之一。 本文主要研究了一类带有d i r i c h l e t 边界条件的非线性椭圆型方程l u + g ( “) = ，( x ) 解的多重性，同时也研究了解的多重性与非线性扰动项的关系。 本文主要章节安排如下： 1 引言部分主要介绍偏微分方程解的多重性这一研究领域的研究背景、最新进展以 及取得的研究成果。 2 第一部分，我们介绍文中将要用到的一些重要定义和定理。 3 第二部分，我们通过变分法和压缩映射原理，把无限维空间的问题转化为有限维 空间的问题。 4 第三部分，我们研究方程解的多重性与非线性扰动项的关系。 关键词：椭圆方程；d i r i c h l e t 边界条件；解的多重性；非线性；变分法 椭圆型方程解的多重性 m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o re l l i p t i ce q u a t i o n a b s t r a c t ni so n eo ft h ek e ys u b j e c t so ft h er e s e a r c hc o n t e n t so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt o s t u d ye x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nu n d e rb o u n d a r y e o n d i t i o n n e p u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n u n d e rt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o nl u + g ( “) = ，( 工) ，w ea l s o i n v e s t i g a t et h er e l a t i o nb e t w e e nm u l t i p l i e i t yo f s o l u t i o n sa n dt h es o u r c et c n n so f t h ee q u a t i o n n l em a i ns e c t i o n so f t h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： 1 i nt h ei n t r o d u c t i o ns e c t i o n w ei n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dt h el a t e s t p r o g r e s so f t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c e ss o m ei m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s 3 i nt h es e c o n ds e c t i o n , w eu s et h ev 曲t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o dt or e d u c et h ep r o b l e m f r o ma ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lo n et oaf i n i t ed i m e n s i o n a lo n e 4 i nt h et h i r ds e c t i o n , w er e v e a lar e l a t i o nb e t w e e nm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa n dt h e s o u r c et e t l l l s k e yw o r d s ：e l l i p t i ce q u a t i o n ；d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ；m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s ； n o n l i n e a r ；v a r i a t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o d i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：自叁塑 导师签名：金区! 囝 导师签名：j l j ! 1 3 一 盟钲月翌日 大连理工大学硕士学位论文 引言 偏微分方程解的存在性与多重性是当代科学中比较重要的领域，是偏微分方程理论 的重要组成部分。作为其中的分支，非线性波动方程、桥梁模型方程解的多重性，不仅 具有重要的理论价值，而且对力学、物理、工科等各专业都有重要的实际意义。像桥梁、 大坝等一些工程都能建立波动方程、桥梁方程的数学模型。研究非线性波动方程、桥梁 方程解的多重性对这些实际问题提供了必要的理论依据，保证了工程的顺利进行。 在二十世纪以前，人们多是直接联系着具体的物理、几何问题来讨论各种偏微分方 程，包括线性和非线性的。偏微分方程植根于很深的古典理论问题，对这些问题的现代 处理应用了现代数学的许多工具，如变分理论和变分方法。 微分方程中的变分法就是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在，解的 个数以及求近似解的方法。变分理论的发展与力学、物理学的发展密不可分、相互促进。 古希腊人提出的等周问题就是一个变分问题。等周问题就是在长度相等的所有封闭曲线 中找出一条包含面积最大的。经验告诉人们，这是一个圆，但这一事实直到十八世纪由 欧拉和拉格朗日创立变分法后才得到令人满意的证明。 十九世纪初期，p o i s s i o n 、c a u c h y 、s o p h ig e r m a i n 等用变分法解决了许多弹性理论 问题。1 8 2 4 年至1 8 3 2 年，h a m i l t o n 建立了光学的数学理论，此后，他从最小作用原理 出发得到了更普遍的原理，在其他数学物理分支，如弹性理论、电磁理论、相对论和量 子理论中，得出了此相似的变分原理，不仅推动了交分法的进一步的研究，而且也推动 了微分方程的进一步的研究。 十九世纪末，随着数学理论的不断完善，人们开始对“一个非负的泛函在某一个可 容许的几何上总是存在极小点”这一原理的严格性产生了怀疑。w c i c r s t r a s s 给出了下面 的例子： 设 e = 妒c o ，l 】妒7 除了有线个第一类间断点外连续，妒( o ) = 1 ，妒( 1 ) = 0 1 ， ，、三 砸) = 州圳4 出， 取检验函数 r1 i - - ：x ，0 曼x 8 2 咕= 1 0 ，。 占x s l 椭圆型方程解的多重性 则不难说明 罐，( ) = 1 ， 但显然没有一个函数“e ，使得，( “1 = 1 。 二十世纪初，由于材料的大量积累，开始出现了新的变化。1 9 0 0 年在巴黎召开了第 二届国际数学家大会，h i l b e r t 在大会上提出了著名的二十三个问题，其中有三个问题都 涉及到如何系统地研究偏微分方程的边值问题，并提出了这种研究与变分法的关系问 题，这实际上已经孕育了现代偏微分方程理论的萌芽。二十世纪三十年代，l u s t e m i k s c h n i r e l m a n n 提出了流形上的泛函的临界点性质合流形的拓扑性质的一般理论，并把这 一理论推广到无穷维并成功应用到偏微分方程解的多重性等诸多问题中。1 9 7 3 年， a a m b r o s e t t i 、r h r a b i n o w i t z 等提出了著名的山路引理( m o u n t a i n - p a s sl e m m a ) ，由 此引出的一系列极大极小原理和环绕形式的临界点原理，解决了许多既无上界又无下界 的泛函的临界点问题，为超线性椭圆型方程边值问题，超线性弦周期振动问题，以及 h a m i l t o n 方程组周期轨道的研究提供了有效的工具。也就是说，在一定条件下，微分方 程边值问题常常可以转化为变分问题来研究。因此，变分法称为研究偏微分方程边值问 题的一种基本方法。 二十世纪七十年代，m e k e n n a 等利用拓扑度、变分法、临界点原理等方法研究了 一类非线性椭圆型方程解的多重性，取得了突破性的进展，为进一步研究这一领域提供 了全新的思想和方法。1 9 9 3 年，m e k e n n a 在t o p o l o g i c a l m e t h o d s f o r a s y m m e t r i c b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s 一书中对一类偏微分方程 上+ g ( ) = f ( x ) ，x q u = 0 ，z 硷 解的存在性及多重性作了详细的介绍。其中，q 是彤中的有界区域，且具有光滑边界 a q ，l 是l a p l a c e 算子。h a m m e r s t e i n 最早发现l a p l a c e 算子第一个特征值九的重要性， 且利用压缩映射原理证明了当一+ s ( s ) - 8 ( u ，s 0 ) 时，方程存在唯一解。随 后，a n l a 、h e s s 及d a n c e r 等人综合利用拓扑度、上解、下解等方法证明了下面的结论： 若 l i m 盟：4 ，l i m 地：b 5 “ss _ “s 且 哪 a a b + 0 0 ， 大连理工大学硕士学位论文 则存字f 0 ( 矗) 使得方程 三“+ g ( “) = 慨+ h ，工q ”= 0 ，z a q 在r t o 时至少有两个解。m e k e n n a 等人对方程中 的非线性项作了进一步的假设： 9 0 ) = b u + - a u 一， 且口 ，如 6 如。通过压缩映射原理，把无限维的问题转化为有限维的问题。并且， 充分利用l a p l a c e 算子第一个特征值 对应的特征函数吼为正这一特点，把所考虑的有 限维空间分为四个扇形区域，分别考虑这四个扇形区域所具有的性质，得出了更精确的 结论： l u + b u + 一a u 一= f 吼+ h ， x q 甜= 0 ， x a q 至少存在四个解。 在这篇论文中我们研究在q 中带有d i r i c h l e t 边界条件和非线性项g ( u ) 的椭圆算子 三的解u ( x ，t ) 的多重性 l u + g ( u ) = 厂( x ) ，( x , t ) f 2 r u = 0 ，z a q 其中，q 是掣中的有界区域，且具有光滑边界讹， 口 如 6 ，非线性项g ( u ) 为 b u + 一a u 一，l 是二阶椭圆型算予。 令日表示h i l b e r t 空间，定义为： 日= “r ( q ) ) ， 那么在h i l b e r t 空间日上上述方程可表示为 l u + b u + 一a u 一= ，( x ) ， 我们假设 a 屯 6 。我们的目标是找出在，：j ：h i l b e r t 空间h 的二维子空间时， 方程解的多重性与非线性项的关系。 令v 表示h i l b e r t 空间目的二维子空间，p 表示到矿的正交映射，西表示矿_ y 的映射，定义为 椭圆型方程解的多重性 m ( v ) = 上+ p ( 6 ( 1 ，+ e ( v ) ) + - a ( v + p ( v ) ) 一) ，v v 在第一部分，我们先介绍一些本文中将会用到的一些基本知识。在第二部分，我们 通过变分法和压缩映射原理，把问题从无限维空间转化到有限维空间来考虑。在第三部 分，我们研究m 的性质，并揭示当，属于二维空间矿时，方程( 1 2 ) 解的多重性与非线 性项的关系。 4 大连理工大学硕士学位论文 1 预备知识 为了以后讨论的方便，我们介绍相关的基础知识。 定义1 1 ( 弱微分) 设石、】，是实赋范线性空间，q 是x 中的开集，映射：厂：q 呻】，。 女口果对x q ，u x s 1 i m 丛兰型二丛生 存在，则称此极限为映射，在x 处沿u 方向的弱微分，记作o f ( x ，u ) ；如果对一切, x ， d f ( x ，u ) 存在，就称，在x 处弱可微。 弱微分的概念是由对泛函极值讨论的需要而引入的。 定义1 2 ( 强微分) 设工、y 是实赋范线性空间，q 是工中的开集，映射：，：q _ r 。 如果存在a b ( x n ，使得 艘虹气产型一o ， 则称，在处强可微微；称爿“为，在处的强微分，记作( x o ，“) 强微分常用于把非线性问题局部线性化。 定理1 1( 压缩映射原理) 设e 是b a n a c h 空间，是中的闭集，算子a ：e 寸e 在上是压缩的，即 a x z ，v x 且存在正数p 0 ，使得对于满足条件妒0 ) = z ，v x 。的任何连续映像：s 专e ， s 3 l 5 都有： 庐( d ) a v d ，d c s 那么，f 必是，的临界值，即必存在x 占，使得，x + ) = 口，9 1 ( x - - c 。 定理1 4 ( 山路引理) 设五是实b a n a c h 空间，厂：e 一矗1 是c 1 泛函，满足p s 条 件，x v ，而e ，q 是的开邻域，五仨q 。假定 m a x f ( x o ) ，厂( ) 0 ，除非“；m 。 大连理工大学硕士学位论文 2 变分法 在本文中，我们将考察带有d i r i c h l e t 边界条件和非线性项g ( u ) 的椭圆型方程 l u + g ( u ) = 厂( z ) ，( x ，r ) q r , = 0 ，x 弛 ( 2 1 ) 解的多重性。这里，q 是掣中的有界区域，且具有光滑边界a n ，非线性g ( u ) = b u + 一a l l 一， 且 a t b ，三是二阶椭圆型算子，且是r ( q ) 上的自共轭压缩映射，特征值 满 足 0 九 一 0 。 我们考察方程( 2 1 ) 的解的多重性，这里，由。和吼：张成。 首先，我们在上研究方程 l u + b u + 一a l l 一= f ( x 1 ， ( 2 2 ) 其中，f = j l 1 + 屯( s i , s 2 r ) 。 定理2 1 如果黾 o ，因此 ( 6 一如) 矿一( 口一九一弦* o ， 故，当屯 0 ，存在扇形区域c 1 ，c 3 ： c 1 = v = s l 妒o ，+ s w o ：i s 2 o ，s l i s o l s 2 1 ， c l ，c 2 和c 3 ，c 4 的并集就是空间v 。 现在我们定义映射中：y 斗y 为 m ( v ) = l v + p ( 6 ( v + 口( v ) ) + 一口( v + 日( v ) ) 一) ，v v 且中在空间矿上是连续的。 由于占( v ) 在矿上是连续的，则可得出下列引理： 引理2 4 对于v v 且c o ，有中( 删) = c 中( v ) a 证明：令c 0 ，如果v 满足 朋( v ) + ( 一p ) ( 6 ( v + p ( v ) ) + 一口( v + 8 ( ) 一) = 0 则 上印( v ) + ( j 一即( 6 ( 卯+ 胡( v ) ) + 一a ( c v + 胡( v ) ) 一) = 0 口( 删) = c o ( v ) 。因此得出 椭圆型方程解的多重性 m ( 洲) = 三( 钟) + p ( 6 ( 删+ 日( 卯) ) + 一口( 卵+ 日( 洲) ) 一 = l ( e v ) + p ( b ( c v + c o ( v ) ) + 一a ( c a , + c o ( v ) ) 一) = c l ( v ) + c p ( 6 ( v + p ( v ) ) + 一叫v + 口( v ) ) 一) = c o ( 力。 大连理工大学硕士学位论文 3 解的多重眭 在上一章中，我们已经运用变分方法和压缩映射原理把无限维问题转化为有限维问 题，本章将在上一章的的基础上来研究映射。的性质，并揭示当厂属于二维空间v 时， 方程( 2 2 ) 解的多重性与非线性扰动项的关系。 现在我们来研究映射。下c l 、c 3 的像。首先来研究c l 的像。若v = s l q 口o 。+ 屯c l ， 则有 中( v ) = l v + p ( b ( v + 日( v ) ) + 一“v + d ( v ) ) 一) = 一焉 q ，o l 一是九+ b ( s l p o l + 屯k ) = 焉( 6 一 ) 吼。+ 屯( 6 一九) ， 那么射线j 2 + 0 s i 啦0 1 ( 屯0 ) 的像可以表示为 屯( 6 一如) + g o s , ( b - ) 吼1 ，( 岛0 ) ， 因此，若 a 如 6 ，o 将c l 映射到扇形区域r i 焉= 卜咖：陋揶氏( 鼍h 其次，来研究c 3 的像。若v = 焉，一5 ：妒。c 3 ，则有 中( v ) = l v + p ( 6 ( v + 口( v ) ) + 一口( v + 臼( v ) ) 一) ；焉 _ 1 + 九+ a ( s j 缈o l 一岛) = 置( a - & ) ，+ s 2 ( 如一盯) ， 那么射线一屯2 士气q 吼。( s 2 0 ) 的像可以表示为 s 2 ( z 2 一订) 2 岛丑( 口一 ) 1 ，( 如0 ) 因此，若 a 如 6 ，西将c 3 映射到扇形区域玛 玛= 西吼。+ 以吼：i 如。，| 4 i s o l , - o l 畋 。 若 - 0 ，岛2 岛l 9 ， c j = v = s 。c p o 。+ s ：妒。i 墨s o ，s l l s o l s = l 。 根据定理2 1 和引理2 2 ，c 2 的像是扇形区域 恐= 卜咖，b 岛( 鼍) 吐郇岛 葛 以 e 的像是扇形区域 墨= 卜咖：b 喵( 嚣卜反喝( 鼍) 如卜 我们考虑o ：与。，定义线段f 2 、f 4 如下 毛= h + k 教卜 嚣 ) ， = 卜耐( 甚卜铀( 最 ) 。 我们来研究它们的反像j 1 ( 1 2 ) 与：1 ( 1 4 ) ，我们需要证明o ：、o 。均为满射。 引理3 2 令n ( i = 2 ，4 ) 为置( i = 2 ，4 ) 中任一终点在置边界的简单曲线，它与 每一条从原点出发的射线仅相交于一点，则n 的原像l ( n ) ( i = 2 ，4 ) 是c j ( = 2 ，4 ) 中终点在e 边界的简单曲线，且仅与从原点出发的射线相交于一点。 证明：我们注意到，由于中连续且n 在矿中是封闭的，因此町1 ) 是封闭的。假 设c 中存在一条从原点出发的射线与西i - ( r ，) 相交于两个不同的点，分别记作p 和a p 椭圆型方程解的多重性 ( a 1 ) ，则由引理2 4 得 o ，( a p ) = 口m ，( p ) 表明母，( 口，) n 和。p ) 九。这与原命题中仅与从原点出发的射线相交于一点的假设 矛盾。 我们认为点p 为平面矿上的一个径向矢量，可以定义a r g p 为p 与轴正向的夹 角。 我们令_ l ( n ) 通过g 内的所有从原点出发的曲线。否则，叮1 ( ”) 在g 内不封闭。 由于中i 1 ( n ) 封闭且与c 内每条射线至多一个点，因此在c f 内存在两点a 和见，使得 中j 1 ( n ) 不包含任何满足 a r g p l a r g p 0 ) ，使得中- l ( g ) 和i 1 ) 在同一条射线上，且 a r g p l a r g 中i 1 细) a r g p 2 ， 这是一个矛盾。故原命题得证。 引理3 2 表明中：、m 。均为满射。因此，我们有如下定理： 定理3 3 令i = 2 ，4 ，o 。将c j 映到曩，并且垂。、0 3 都是双射a 故当局c 马时，中 将矿映到置。 由定理3 3 ，我们不难得到如下定理： 定理3 4 设 口 九 丛乞觜，令，= 丑纯t + 屯钒：，则有 ( 1 ) 若f 置，则( 2 2 ) 有确定的两解，一为正，一为负。 ( 2 ) 若，在琏内部或者蜀内部，则( 2 2 ) 有一个负解和至少一个可交号的解。 大连理工大学硕士学位论文 ( 3 ) 着f 征马明边界上，则( 2 2 ) 有一个负解a ( 4 ) 若f 不属于马，则( 2 2 ) 无解。 3 2 关系置3 玛成立 关系置3 玛成立，当且仅当非线性项b u + - - a u - 满足口 z o s 2 ， c 4 = v = 岛，+ 屯b o ，b f 氏f 屯| 。 根据定理2 1 n 弓i n 2 2 ，c 2 的像是扇形区域 班卜+ 吐恤岛陪) 蚓岛( 甚h g 的像是扇形区域 如卜咖：b 嘞( 暑 吐郎飞( 鼍) 吐 a 我们考虑中：与m ，定义线段，2 、t , n - f 沓卜慨柑昔卜气( 葛 ， 弘b 岷卜岛( 甚) 纠s 嘞( 昔 ) ， 我们来研究它们的反像m ；1 ( z j ) 与_ l1 4 ) ，我们需要证明m ：、中。均为满射。 引理3 5 令( i - - 2 ，4 ) 为墨( i = 2 ，4 ) 中任一终点在置边界的简单曲线，它 与每一条从原点出发的射线仅相交于一点，则，。7 的原像i 1 ( y ，) ( i - - 2 ，4 ) 是c f ( 净2 ， 4 ) 中终点在c 。边界的简单曲线，目仅与从原点出发的射线相交于一点。 椭圆型方程解的多重性 证明与引理3 2 类似。 引理3 5 表明中2 、o 。均为满射。因此，我们有如下定理： 定理3 6 a 等- i = 2 ，4 ，由，将g 映到墨，并且o 。、0 3 都是双射。故当e3 恐时， 将y 映到冠。 由定理3 6 ，我们不难得到如下定理： 定理3 7 设 口 如 6 且4 塑尧糟，令，= 而- + 岛，则有 ( 1 ) 若f 忍，则( 2 ，2 ) 有确定的两解，一为正，一为负。 ( 2 ) 若厂在足内部或者r 内部，则( 2 2 ) 有一个负解和至少一个可变号的解。 ( 3 ) 若，在是的边界上，n ( 2 2 ) 有一个负解。 ( 4 ) 若，不属于墨，n ( 2 2 ) 无解。 3 3 关系墨= 玛成立 关系蜀。马成立，当且仅当非线性项施+ 一鲫一满足口= 丛乞揣。考虑映射 m ：v 矿， 定义为 o ( v ) = 三v + p ( 6 ( 1 ，+ 日( v ) ) + 一口( v + 日( v ) ) 一) ，1 ，v 热扣 w ，口= 絮等等。 我们来研究m 下c 2 和c 4 的像，这里 c 2 = 1 ，= 。+ 巳够。2 i s2 0 ，墨岛i 邑 ， c j = v = & 吼。+ 毛妒。2 l s 。o ，l 而i 岛l 屯0 。 对于确定的盯，定义映射 中。：( ，如) 斗y 1 8 大连理工大学硕士学位论文 如f ： m 。( 口) = l u + p ( b ( v + w ) + 一口( v + 1 9 。) ，口( ，如) 其中b 是确定的。 引理3 8 - z ：b 确定且 口 凡，则，在口o = 丛乞赭处连续a 证明：4 , 8 = a o + bi ! t - ， a 2 2 ，方程( 2 3 ) 可化为 ( 三一占) w = ( ，一p ) ( 6 ( v + w ) + - a ( v 一忉一- 5 ( v + w ) ) ( 3 1 ) 或等价形式 w = ( 一三一艿) 。( ，一e ) g ( a ，w ) ， ( 3 2 ) 其中 g ( a ，w ) = 6 ( v + w ) + - a ( v w ) 一一6 ( v + w ) 。 由引理2 2 ，当6 确定时，方程( 3 2 ) 有惟一解w = 吼( v ) 。令= 日。( v ) ，我们有 w w o = s 【g ( 口，w ) 一g ( a 。，w o ) 】 = s 【g ( 4 ，w ) - g ( a ，) + g ( 风w o ) 一g ( a o ，w o ) 】 = s 【g ( 口，叻一g ( a ， ) 】+ s 【g ( 吼w o ) - g ( a o ，w o ) 】， 其中，s = ( 一一占) 。( ，一p ) 。因为 i l g ( 口，w ) 一g ( a ，o ) 0 m a x 1 6 一占l ，1 8 - 4 l l w - w oli 以及 ，2 南一护渊ii 一口l 1 ， 我们有 卜h 1 1 w w o l l + 南卜w o l l i 卜 所以 椭圆型方程解的多重性 i l w 一i f 南i i v + w l 口一嘞i ， 这翱一嘶) 在= 絮等等处瓿故叱在嘞= 等等等处馘 首先，我们研究下c 2 的像。令吼= + 氏 争，吼= + s 。孚丑，确定6 并 d一，一口 p 仁篡攀， o 丛乞糟时，巾z 将c 2 映到恐，当口 丛乞糟时，中。将c 4 映到心，当口 堕乞赭时，m 将c 4 映 到马a 所以，当口趋近于等篆赭时，分别与弛、0 ? 4 连接的两条线的夹角趋 近于。又由于当口= 等觜时，。连续。因此，中将c 4 映到射线 岛= b + 吐k = 岛( 甚) 吃 o ， 因此我们得到如下结果： 定理3 9 当i = 2 ，4 时，中，将g 映到s ，并且o ，和呜是双射。因此，当r ；置2 墨 时，中将矿映到r 。 椭圆型方程解的多重性 定理3 - 。设扣 有一个负解和至少一个可变号的解。 ( 3 ) 若不) g - 于r ，则( 2 2 ) 无解。 大连理工大学硕士学位论文 结论 本文在第z - 部分和第三部分研究了一类非线性椭圆方程 l u + g ( u ) = f ( x ) ，x ，f ) q 胄 越= 0 ，x 施 解的多重性，其中，g ( u ) = b u + 一a u 一，f = s t q o 。+ 屯。在第三部分得出了一些主要结 果： “，孙絮特等，则有 ( 1 ) 若，墨，则( 2 2 ) 有确定的两解，一为正，一为负。 ( 2 ) 若，在兄内部或者日内部，则( 2 2 ) 有一个负解和至少一个可变号的解。 ( 3 ) 若，在恐的边界上，贝t j ( 2 2 ) 有一个负解。 ( 4 ) 若，不属于玛，则( 2 2 ) 无解。 瓠絮并等，则有 ( 1 ) 若f b ，则( 2 2 ) 有确定的两解，- - ) b i e ，一为负。 ( 2 ) 若厂在恐内部或者日内部，则( 2 2 ) 有一个负解和至少一个可变号的解。 ( 3 ) 若，在墨的边界上，则( 2 2 ) 有一个负解。 ， ( 4 ) 若，不属于蜀，贝l j ( 2 2 ) 无解。 枷等等，则有 ( 1 ) 若，在r 内部，贝l j ( 2 2 ) 有确定的两解，一为正，一为负。 ( 2 ) 若，在丑的边界上，则( 2 2 ) 有一个负解和至少一个可变号的解。 ( 3 ) 若，不属于r ，则( 2 2 ) 无解。 椭圆型方程解的多重性 参考文献 1 q h c h o i ，k p c h o i ，t s j u n g ，c h h a r t aw e a k s o l u t i o nf o ran o n l i n e a rb e a me q u a t i o n k a n g w e o n - k y u n g k im a t h j o u r 1 9 9 6 ，i ( 4 ) ：5 1 6 4 2 】q h c h o i ，t s j u n g a na p p l i c a t i o no fav a r i a t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o dt oan o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n j d i f f l r e n f i a le q u a t i o n s 1 9 9 5 11 7 ：3 9 0 - 4 1 2 【3 】h a m a n n , p h e s s am u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rac l a s so f e l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s r o y s o c e d i n b u r g h 1 9 7 9 ，8 4 ：1 4 5 1 5 1 4 】e n d a n c e r o nt h ed i r i c h l e tp r o b l e mf o rw e a k l yn o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i c a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p r o c r o y s o c e d i n b u r g h 7 6 a ( 1 9 7 7 ) ，2 8 3 3 0 0 5 q h c h o i ，t s j u n g ，p j m c k e r m a t h es t u d yo fan o n l i n e a rs u s p e n s i o nb r i d g ee q u a t i o n b yav a r i a t i o n a lr e d u c em e t h o d a p p l i c a t i o na n a l y s i s 1 9 9 3 ，5 0 ：7 3 - 9 2 【6 lq h c h o i ，t s j u n g m u l t i p l i c i t y r e s u l t s f o rn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n 谢t h n o n l i n e a r i t u e sc r o s s i n ge i g e n v a l u e s h o k k a l d om a t h j o u r 1 9 9 5 ，2 4 ：5 3 - 6 2 【7 】g t a r a n t e l l o a n o t eo l las e m i - l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m d i f f e r e n t i a li n t e g r a l e q u a t i o n s 1 9 9 2 5 ：5 6 1 - 5 6 5 8 】h a _ r c l a n n s a d d l ep o i n ta n dm u l t i p l es o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a l i o n m a t h z 1 9 7 9 ， 1 2 7 - 1 6 6 【9 】p j m e k e u n a , w w n l t e r m u l t i p l i c i t y r e s u l t s f o r a s y m p t o t i c a l l yh o m o g e n e o u s s e m i - l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a r m m a t p a r aa p p l 1 9 8 8 ，4 ( 1 4 3 ) ：3 4 7 - 3 5 7 1 0 p j m c k e n n a , l l r e d l i n g e ra n dw w a l t e r n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n si nas u s p e n s i o nb r i d g e a r c h i v ef o rr a t i o n a lm e c h a n i c sa n da n a l y s i s 1 9 8 7 ，9 8 ( 2 ) ：1 6 7 1 7 7 【11 k u n g - e h i n gc h a n g i n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o np r o b l e m s b i r k h o r s e r ，1 9 9 3 一2 4 塑三奎堂堡主塑笙壅 1 2 q h c h o i ，t s j u n g o np e r i o d i cs o l u t i o n so f n o n l i n e a rs u s p e n s i o nb r i d g ee q u a t i o nd i f f h a t e q u a t i o n 1 9 9 1 4 ：3 8 3 3 9 6 1 3 q h c h o i ，s c h e n ，t s j u n g t h em u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa n dg e o m e t r yo fn o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s t u d i am a t h 1 9 9 6 ，1 2 0 ：2 5 9 - 2 7 9 1 4 q ，h c h o i ，h n a m an o n l i n e a rb e a me q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r i t yc l o s s i n ga ne i g e n v a l u e j k o r e a nm a t h s o c 1 9 9 7 ，3 4 ：6 0 9 - 6 2 2 【1 5 a c l a z e r , p j m c k e n n a l a r g e a m p l i t u d ep e r o i d o co s c i l l a t i o n si ns u s p e n s i o nb r i d g e s s l a mr e v i e w ，1 9 9 0 【1 6 a c a s t r o , a c l a z e r c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dt h en u m b e ro fs o l u t i o n so fan o n l i n e a r d i r i c h l e t p r o b l e m a n n m a t p a r a a p p l 1 9 7 9 ，7 0 ：1 3 - 1 3 7 【1 7 】陆文端微分方程中的变分方法北京：科学出版社，2 0 0 2 1 8 p j m c k e n n a t o p o l o g i c a lm e t h o d sf o ra s y m m e t r i cb o u n d a r yv a l u ep r o n l e m s r e s e a r c h i n s t i t u t eo f m a t g e m a t i c sg l o b a ln a r d y s i sr e s e a r c hc e n t e r , 1 9 9 3 1 9 j s c h r d e r o p e r a t o ri n e q u a l i t i e s n e w y o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 0 2 0 y a oy a n g ，x i n ，w a n gj i a n x i a e x i a t e n s eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o ras e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n j o u r n a lo f s o y r t hc h i n a u n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g y 2 0 0 3 ，3 1 ( 9 ) ，4 7 - 4 9 2 1 郭大钧非线性泛函分析济南：山东科技出版社，2 0 0 1 2 2 1 a c a s t r o a c l a z e r a p p l i c a t i o n s o fam a x - m i n p r i n c i p l e r e x , c o l o m b i a n a m a t h 1 9 7 9 ，1 0 ：1 4 1 1 4 9 【2 3 r o b e r tf b r o w n at o p o l o g i c a li n t r o d u c t i o n t on o n l i n e a ra n a l y s i s b i r l d a a e u s e r 1 9 9 3 【2 4 q h c h o i ，t s j u n g n o n l i n e a rb e a me q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r i t yc r o s s i n gm e i g e n v a l u e d y n a m c o t i n d i s c r e t ei m